随着国家倡导大数据公开政策的逐步落地以及无人驾驶技术的逐步成熟，使未来出行前发布出行计划以及获取出行计划数据成为可能. 不同于以往利用历史数据进行行程时间的预测，利用用户实时出行计划数据，提前获得路网中不同起讫点之间各路段将要承载的交通量，能让求得的行程时间更具时效性和准确性.

准确的行程时间计算值对整个路网至关重要，其中，计算行程时间的2个重要方法包括运用神经网络进行预测和运用路阻函数进行计算. 在神经网络预测方面，Zhao等^[1]提出利用2D-ODC-LSTM网络的时空相关性进行建模. Duan等^[2]研究用于行程时间预测的长短期记忆（long short-term memory, LSTM）神经网络模型. Siripanpornchana等^[3]基于不同的神经网络算法对车辆的行程时间预测做了大量的研究分析. Li 等^[4]提出新的数据驱动的车速预测方法，基于长期传播的短期记忆（BP-LSTM）算法，可对计划路线上的长期单个车速进行预测. Ma等^[5]提出新颖的卷积LSTM神经网络架构，用于多车道短期交通量预测. Xu等^[6-7]基于海量用户出行计划数据，构建交通流时间序列动态模型对道路上未来的交通流量进行预测. 在路阻函数计算方面，专家和学者们更偏向于改进路阻函数模型. Davidson^[8]基于排队论方法提出具有渐进性的阻抗函数. Spiess^[9]通过改进阻抗函数模型，解决模型中待定参数 $\;\beta $过大引起的函数拟合精度低以及饱和度低时出行时间计算结果较小的问题. 傅白白等^[10]基于时空网络流速度观测数据确定美国联邦公路局（Bureau of Public Roads, BPR）函数的标定方法. 王树盛等^[11]推导路段流量与路段通行时间的关系式，改进阻抗函数. 四兵峰等^[12]考虑不同道路条件下不同流量之间相互影响的因素，构造城市混合交通网络的路段阻抗函数形式. 王素欣等^[13]考虑交通状况由畅通到拥挤的过程中交通量先增后减的事实，改进路阻函数. 刘宁等^[14]在对大连市主干路的实证研究的基础上，提出启发式BPR函数. 李昂等^[15]通过分析道路路段及其下游信号控制道路交叉口交通流特性，重新建立和标定了城市道路路段车辆行程时间计算模型和下游信号道路交叉口交通延误计算模型. 潘义勇等^[16]利用交通量与交通密度间的相互关系优化BPR函数得到路段阻抗. 李彦瑾等^[17]为了更好地模拟机非混行道路上的路阻变化情况，提出新的模糊神经网络自组织测算模型. Zhao等^[18]考虑机动交通和非机动交通的相互作用，在经典的BPR函数的基础上提出改进的路阻函数.

本文基于LSTM神经网络进行路阻函数模型的改进研究，对经典的BPR函数进行改进，引入LSTM神经网络预测改进函数中待定系数的正负，以获得更加准确的行程时间计算结果.

基于LSTM的路阻函数模型的改进过程包括1）改进经典BPR函数；2）重新标定待定系数 $\alpha $，曲线拟合待定系数 $\;\beta $，运用LSTM神经网络的模型和算法预测待定系数 $\;\beta $的正负.

1964年，美国联邦公路局调查了大量的路段，并对获取的数据进行回归分析，得到BPR函数模型. 经典BPR阻抗函数的表达式为

(1) $T = {T_{\rm{f}}}[1 + \alpha {(Q/C)^\beta }].$

式中： $T$为实际通过该路段所需要的时间； ${T_{\rm{f}}}$为路段自由行驶时间； $Q$为当时通过该路段的交通量； $C$为路段的实际通行能力； $ \alpha {\text{、}}\;\beta $为模型待定参数，美国公路局的推荐值为 $\alpha {\rm{ = 0}}{\rm{.15}}$， $\;\beta {\rm{ = 4}}$.

经典BPR函数模型具有简单易行的优点，也存在不足之处. 1）该函数通过回归分析美国大量低饱和流量的道路得到，因此当城市交通状况处在饱和或过饱和状态时，其拟合精度较差. 例如当实时的交通量大于设计交通量时，道路开始拥堵，但是随着实时交通量的逐渐增加，车辆的行程车速下降的速度却越来越不符合实际状况. 2）该函数为单调增函数，不能反映出随着速度的增大，交通量先逐渐增加后逐渐减少的状况. 3）以往建立的阻抗函数，或将 $\;\;\beta $设定为固定值，或未曾考虑 $\;\;\beta $为负值的情况，这与实际情况不符. 为了改进经典BPR函数的这些不足，对原有BPR函数模型形式进行如下变化.

(2) $T = {T_{\rm{f}}}[1 + \alpha {(x/C)^\beta }].$

式中：

(3) $ \;\beta =\pm \frac{{p_{_1}}(x/C){p_{_2}}}{(x/C)+{p_{_3}}};$

(4) $x = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! Q ,\\ {2C - Q} , \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {Q \leqslant C}; \\ {Q > C} . \end{array}$

其中 ${p_{_1}}{\text{、}}{p_{_2}}{\text{、}}{p_{_3}}$为模型的参数. 待定系数 $\;\beta $的正负由LSTM神经网络预测. 此时 $\;\beta $的底数与经典函数的有所不同，更改底数便于 $\;\beta $的曲线拟合.

与以往的计算行程时间的方法相比，基于LSTM神经网络改进后的BPR函数具有以下特点. 1）保留了BPR函数结构简单的优点，所需的输入参数量少. 2）引入 $x$， $ (x/C)$不大于1，将实际交通量大于设计交通量的部分转换至 $Q/C = 1$的左侧，使得改进后的模型能够更好地拟合拥堵产生后的路段交通运行状态. 3） $\;\beta $是关于 $ (x/C)$的有理函数，不同路段在不同时间段随着交通量的变化有不同的 $\;\beta $， $\;\beta $取值单一带来的拟合精度较差的情况被消除. 4）通过LSTM神经网络对 $\;\beta $的正负取值情况进行预测，使得 $\;\beta $的取值不局限于正值，大大提高了函数拟合结果的精度.

选取2015年8月25日到9月21日，杭州市上塘高架至中河高架路段上6个远程交通微波检测器连续4周采集的交通数据进行参数标定，微波检测器的位置如图1所示，其编号从北到南依次为164、148、163、144、162、161.

数据集包括微波检测器检测路段的流量、速度、车道占有率、时间、车道编号以及检测器编号数据。选取采集点7:00—22:00的数据进行参数标定，包含高峰时间段和平峰时间段，每个点位448组数据，6个采集点共计2 688组数据. 参数标定以及验证所需的数据包括平峰时段的交通量和高峰时段的交通量，部分时间段的部分路段存在拥堵现象，但是不存在大范围或长时间的拥堵状况，也不存在因拥堵而产生的车辆停滞情况.

由式（2）可以看出，当通过该路段的交通量 $Q$等于路段的实际通行能力 $C$时，待定参数 $\alpha $仅与实际通过该路段所需要的时间 $T$及路段自由行驶时间 ${T_{\rm{f}}}$有关.

(5) $ {\alpha }_{i}=({T}_{i}/{T}_{{\rm{f}}})-1;\; i=1,2,3,\cdots,t.$

(6) $\alpha = {\rm{mean}}\;\left(\sum\limits_{i = 1}^t {{\alpha _i}} \right).$

式中： ${\alpha _i}$为当第 $i$组路段交通量 $Q$与路段的实际通行能力 $C$相等时的 $\alpha $， ${T_i}$为当第 $i$组路段交通量 $Q$与路段的实际通行能力 $C$相等时的实际通过该路段所需要的行程时间， $t$为路段交通量 $Q$与路段的实际通行能力 $C$相等时数据的个数.

通过筛选数据 ${\alpha _i}$中通过路段的交通量 $Q$与路段的实际通行能力 $C$相等的数据，根据式(5)求得第 $i$组数据的值，根据式(6)将获取的所有 $\alpha $的和求平均，得到最终的 $\alpha = {\rm{0}}{\rm{.568\;6}}$.

$\;\beta $有正有负，多数研究或将 $\;\beta $固定，或未考虑 $\;\beta $为负的情况，影响了阻抗函数计算结果的准确性. 实验结果表明，虽然单纯地使用LSTM神经网络预测 $\;\beta $得到的结果不佳，但是LSTM神经网络在预测 $\;\beta $的正负时表现出较高的精度. 需要先对 $\;\beta $进行曲线拟合，以便求出 $\;\beta $的绝对值，再组合LSTM神经网络预测的 $\;\beta $正负结果，求出 $\;\beta $. 推导过程如下. 由式（1）可得

(7) $\left(\frac{T}{{{T_{\rm{f}}}}} - 1\right) = \alpha {\left(\frac{x}{C}\right)^\beta }.$

两边取对数

(8) $\ln\; \left(\frac{T}{{{T_{\rm{f}}}}} - 1\right) = \ln \;\alpha + \;\beta \ln \;\left(\frac{x}{C}\right).$

求得

(9) $\;\beta = \frac{{\ln\; (T/{T_{\rm{f}}} - 1) - \ln \;\alpha }}{{\ln\; (x/C)}}.$

式中： $T{\text{、}}{T_{\rm{f}}}{\text{、}}\alpha {\text{、}}x{\text{、}}C$均已知，因此可以得到 $\;\beta $的准确计算值. 如图2所示为 $\;\beta $的散点分布图. 可以看出， $\;\beta $的散点分布并非处于一条直线上，而是沿直线 $\;\beta = 0$对称分布的， $\;\beta $的取值有正负之分，因此将 $\;\beta $标定为固定数值会导致整个函数的拟合精度较低. 由于 $\;\beta $沿直线 $\;\beta = 0$呈对称分布，将 $\;\beta $沿直线 $\;\beta = 0$定义为2个区域：1）当 $\;\beta $取正值时，属于区域Ⅰ，此时 $T/{T_{\rm{f}}} > \alpha + 1$；2）当 $\;\beta $取负值时，属于区域Ⅱ，此时 $T/{T_{\rm{f}}} < \alpha + 1$. 当 $\;\beta $分散在2个区域时，难以选取一个函数模型对其进行统一表达. 为了简化 $\;\beta $的分布，将图2中区域Ⅰ的 $\;\beta $沿 $x = 1$对称变换，将区域Ⅱ中的 $\;\beta $沿点 $ (1,0)$对称变换，得到 $\;\beta $的拟合曲线，如图3所示. 此时，经过处理的 $\;\beta $均为正数.

用确定系数R-square判断模型拟合结果的优劣，系数R-square的取值为[0，1.0]. 拟合结果越接近1.0，说明模型的拟合精度越高，计算公式为

(10) ${\rm{R}} \text{-} {\rm{square}} = \frac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}{{({{\hat y}_i} - {{\overline y}_i})}^2}} }}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}{{({y_i} - {{\overline y}_i})}^2}} }}.$

式中： $n$为样本的个数， ${\lambda _i}$为权重， ${\hat y_i}$为拟合结果， ${\overline y_i}$为原始数据的均值， ${y_i}$为原始数据. 对 $\;\beta $进行有理数函数拟合，R-square=0.946，此时 $\;\beta $的拟合精度较好，在可接受范围内， $\;\beta $的函数表达式为

(11) $ \;\beta =[1.31-0.795(x/{\rm{Q}})]/[1-(x/Q)].$

此时拟合得出的 $\;\beta $为绝对值，需要通过LSTM神经网络预测正负.

LSTM神经网络是特殊的循环神经网络（recursive neural network，RNN），能够较好地解决梯度消失问题，被专家、学者普遍应用于行程时间预测. LSTM神经网络在预测路阻大小这种较长时间依赖性的时间序列问题上具有较大优势.

如图4所示为LSTM神经网络的单个模型结构. 图中，上一时间段的单元状态 ${{{C}}^{t - 1}}$、上一时间段的输出 ${{{h}}^{t - 1}}$以及本时间段的输入 ${{{X}}^t}$共同作为本时间段的输入；结构包含3个门，即遗忘门 ${{{f}}^t}$、输入门 ${{{i}}^t}$、输出门 ${{{o}}^t}$；输出结果为本时间段的 ${{{h}}^t}$以及本时间段的单元状态 ${{{C}}^t}$. 本时间段的 ${{{h}}^t}$以及本时间段的单元状态 ${{{C}}^t}$将作为下一阶段的输入. LSTM神经网络内部单个模型结构的计算公式如下. 遗忘门：

(12) ${{{f}}^{t}} = {\rm{sigmoid}}\;({{{W}}_{{f}}}{{{h}}^{t - 1}} + {{{U}}_{{f}}}{{{X}}^{t}} + {{{b}}_{{f}}}).$

输入门：

(13) ${{{{{i}}}}^{t}} = {\rm{sigmoid}}\;({{{W}}_{{i}}}{{{{{h}}}}^{t - 1}} + {{{U}}_{{i}}}{{{X}}^{t}} + {{{b}}_{{i}}}).$

当前输入单元的状态：

(14) ${{{a}}^{t}} = {\rm{tanh}}\;\;({{{W}}_{{a}}}{{{h}}^{t - 1}} + {{{U}}_{{a}}}{{{X}}^{t}} + {{{b}}_{{a}}}).$

状态单元：

(15) ${{{C}}^t} = {{{f}}^{t}} \circ {{{C}}^{t - 1}} + {{{i}}^t} \circ {{{C}}^t}.$

输出门：

(16) $ {{{o}}^{t}} = {\rm{sigmoid}}\;\;({{{W}}_{{o}}}{{{h}}^{t - 1}} + {{{U}}_{{o}}}{{{X}}^{t}} + {{{b}}_{{o}}}). $

LSTM最终结果：

(17) $ {{{h}}}^{t}={{{o}}}^{t}\circ {\rm{tanh}}\;({{{C}}}^{t}).$

激活函数 ${\rm{sigmoid}}$的表达形式为

(18) ${\rm{sigmoid}}\;(x) = \frac{1}{{1 + {{\rm{exp}}\;{( - x)}}}}.$

激活函数 ${\rm{tanh}}$的表达形式为

(19) ${{\rm{tanh}}\;x} = \frac{{{{\rm{exp}}\;{x}} - {\rm{exp}}\;{(-x)}}}{{{\rm{exp}}\;{x} + {\rm{exp}}\;{(-x)}}}.$

式中： ${{{W}}_{{f}}}$、 ${{{W}}_{{i}}}$、 ${{{W}}_{{a}}}$、 ${{{W}}_{{o}}}$、 ${{{U}}_{{f}}}$、 ${{{U}}_{{i}}}$、 ${{{U}}_{{a}}}$、 ${{{U}}_{{o}}}$为权重矩阵， ${{{b}}_{{f}}}$、 ${{{b}}_{{i}}}$、 ${{{b}}_{{a}}}$、 ${{{b}}_{{o}}}$为偏置矩阵， $ \circ $表示Hadamard积.

本文构建的LSTM神经网络如图5所示. 实验发现， $\;\beta $的正负与前2周相同时间点以及前1个小时的交通量、 $\;\beta $有关，将这3组交通量和3组 $\;\beta $共6个特征量进行归一化处理的结果，作为LSTM神经网络在 $t$时刻的输入参数 ${{{x}}^t}$，经计算再通过反归一化处理预测未来的 $\;\beta $正负值 ${\tilde {{x}}^{t + 1}}$. ${\tilde {{x}}^{t + 1}}$的计算公式为

(20) ${\tilde {{x}}^{t + 1}} = {{w}}{{{h}}^{{t}}} + {{b}}.$

式中：w为输出层矩阵.

LSTM神经网络的神经元个数同样影响着神经网络预测结果的准确性. 神经元较少影响网络的联想能力，神经元较多不但会降低运算速度，还会使计算结果发散或者陷入局部最小值. 因此合理的神经元数量对于LSTM神经网络模型至关重要. 实验发现，在本研究中当神经元的数量为10时，计算的结果较好.

LSTM神经网络的损失函数为

(21) $L = \frac{1}{{2n}}\sum\limits_{t = 0}^n {{{({{\tilde {{x}}}^{t + 1}} - {{{x}}^{t + 1}})}^2}} .$

式中： $n$为样本的长度， ${{{x}}^{t + 1}}$为输出的目标结果. LSTM神经网络取学习率为0.01，模型的收敛趋势取目标值10⁻⁶，训练次数为10 000次.

选取远程交通微波检测器采集28天数据中的前90%的数据用于训练，后10%的数据用于LSTM神经网络建模合理性验证. 拟合准确度计算公式为

(22) $P = \frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} \times 100{\text{%}} .$

式中： ${k_1}$为预测结果的正负值与实际数据正负值相同的个数， ${{{k}}_{\rm{2}}}$为实际数据的总数. $P$=92.1%，拟合精度较高，即LSTM神经网络模型能较准确地求解 $\;\beta $的正、负取值问题.

根据调查已知该路段两车道的通行能力为2 500 pcu/h，自由流速度为80 km/h，结合标定过程得到行程时间 $T$的散点函数模型表达式为

(23) $ T ={\rm{45}}L[1 + 0.568\;6{(x/2\;500)^\beta }], $

(24) $ \;\beta =\pm \frac{1.31-0.795(x/2\;500)}{1-(x/2\;500)}, $

(25) $ x = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! Q, \\ {5\;000 - Q}, \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {Q \leqslant 2\;500}; \\ {Q > 2\;500} . \end{array} $

$\;\beta $取值的正负由LSTM神经网络模型预测得出.

为了检验改进的BPR函数具有较好的拟合精度，选取2015年9月22日到2015年9月28日杭州市上塘高架至中河高架路段上6个远程交通微波检测器采集的7:00—22:00共672 h的交通数据进行计算与验证. 将前2周和前1个小时的流量和 $\;\beta $作为模型的输入值，将行程时间作为模型的输出结果. 同时，从 $T/{T_{\rm{f}}}$拟合结果、行程时间拟合结果、误差3个方面，将本文模型与传统BPR阻抗函数方法、经典的EMME/2锥形延误函数计算方法、BP神经网络预测方法、LSTM神经网络预测方法得出的结果进行对比分析.

实际观测值与各种方法的计算结果对比如图6~9所示. 如图6、8所示分别为基于LSTM改进的路阻函数模型的 $T/{T_{\rm{f}}}$和行程时间计算结果与实际观测结果、2种经典的路阻函数模型计算结果的对比图. 如图7、9所示分别为基于LSTM改进的路阻函数模型的 $T/{T_{\rm{f}}}$和行程时间计算结果与实际观测结果、2种经典神经网络的拟合结果的对比图. 为了清晰地展现不同方法计算结果的优劣，图8、9在绘制时，随机选取了其中连续的100组计算结果进行展示.

误差分析如表1所示，误差的计算公式如下. 平均绝对误差为

(26) ${\rm{MAE}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {f({x_i}) - h({x_i})} \right|} .$

平均绝对百分比误差为

(27) ${\rm{MAPE}} = \frac{{100{\text{%}} }}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {\frac{{f({x_i}) - h({x_i})}}{{f({x_i})}}} \right|} .$

平均均方根误差为

(28) ${\rm{RMSE}} =\left[ { {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{[f({x_i}) - h({x_i})]}^2}} }} \right]^{1/2}. $

式中： $f({x_i})$为实际采集的结果值， $h({x_i})$为改进模型的计算结果.

从图6可以看出，经典的BPR函数模型、经典的EMME/2锥形延误函数计算结果都呈现出单调递增的状态，这与实际情况不符. 从图6、8可以看出，相较于真实观测值经典的BPR函数模型、经典的EMME/2锥形延误函数的计算结果偏小，这2种函数模型计算出的行程时间相当于实际观测数据的1/3，与实际有较大出入. 由图7、9可以看出，对于实际情况下行程时间较长的数据BP神经网络预测方法和LSTM神经网络的拟合结果偏大，且较分散. 从图6~9的对比结果可以看出，相较于实际观测的结果，本文模型计算得出的 $T/{T_{\rm{f}}}$ 拟合结果以及行程时间结果拟合准确度都比较高.

由表1可以看出，本文模型计算的结果具有更小的误差以及更高的拟合精度，说明该模型能较准确地计算调查区域内路段的行程时间.

针对经典BPR函数存在的诸多问题，建立基于LSTM神经网络改进的路阻函数模型. 结合实际采集数据，将改进模型计算结果分别与2种经典路阻函数模型、2种经典的神经网络预测结果进行对比. 结果表明：1）利用改进后的模型能够较好地解决经典路阻函数模型单调递增、求解结果值偏小的问题；2）利用改进后的模型能够较好地解决经典的神经网络在预测行程时间时拟合结果偏大且较分散的问题. 利用本文模型能够较精确地计算调查区域内路段的行程时间.

由于数据获取难度较大，本研究仅结合杭州市上塘高架至中河高架部分快速路路段，未来将考虑研究不同等级的道路交通阻抗，以扩大本文模型的适用范围.