浙江大学学报(工学版), 2021, 55(6): 1036-1047 doi: 10.3785/j.issn.1008-973X.2021.06.003

交通工程、土木工程

盾构掘进行为对盾壳-土体接触应力的影响

金慧,, 袁大军,, 金大龙

1. 北京交通大学 城市地下工程教育部重点实验室,北京 100044

2. 北京交通大学 隧道及地下工程教育部工程研究中心,北京 100044

3. 北京交通大学 土木建筑工程学院,北京 100044

Effect of shield excavation on shield shell-soil contact stress

JIN Hui,, YUAN Da-jun,, JIN Da-long

1. Key Laboratory of Urban Underground Engineering of Ministry of Education, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China

2. Tunnel and Underground Engineering Research Center of Ministry of Education, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China

3. School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China

通讯作者: 袁大军,男,教授. E-mail: djyuan@bjtu.edu.cn

收稿日期: 2020-05-30  

基金资助: 国家自然科学基金“联合基金项目”资助项目(U1834208)

Received: 2020-05-30  

Fund supported: 国家自然科学基金“联合基金项目”资助项目(U1834208)

作者简介 About authors

金慧(1991—),女,博士生,从事隧道与地下工程的研究.orcid.org/0000-0002-6024-0546.E-mail:17115308@bjtu.edu.cn , E-mail:17115308@bjtu.edu.cn

摘要

针对盾构掘进行为对盾壳和土体间接触应力的影响,将盾构和土体相互作用模型简化为含孔洞的弹性半空间平面应变模型,将盾构掘进作用简化为洞周径向、竖直和水平位移模式,基于复变函数理论,提出盾构掘进行为诱发的盾壳-土体附加接触应力计算方法,通过三维数值模拟进行分析与验证. 采用该方法,对相关参数进行敏感性分析. 研究表明,随着机土相对位移的增大,附加接触应力出现多个逐渐增大的应力峰值,相同量值的不同位移模式对应的附加应力峰值基本一致;在相同的掘进行为下,泊松比越小、土体弹性模量越大,极值点处的附加接触应力越大,盾壳-土体附加接触应力受埋深的影响较小. 定义盾周附加应力系数的分布函数,建立盾构机力和力矩增量平衡方程. 通过计算发现,盾构机的水平和竖向调姿荷载、偏转力矩与姿态角改变量呈正比例关系,纵向调姿荷载受姿态角改变的影响较小.

关键词: 盾构施工 ; 机土附加接触应力 ; 复变函数 ; 盾构掘进行为 ; 姿态调整

Abstract

The interaction model between the shield and the soil was simplified into the elastic half-space hole problem in order to analyze the contact stress between shield shell and soil during shield tunneling. The shield tunneling was simplified into radial, vertical and horizontal displacement boundary modes. Then a method of the additional contact stress between the shield shell and soil was proposed by using the complex variable function method, and the method was verified by three-dimensional numerical simulation. The sensitivity analysis of relevant parameters was conducted by using the method. Results show that the additional contact stress appears a number of gradually increasing stress peaks with the increase of the relative displacement of the machine and soil, and the corresponding peak stresses are approximately the same when the displacements in different modes are the same. When the displacement boundary condition is the same, the smaller Poisson's ratio and the larger elastic modulus of soil are, the greater the additional contact stress at the extreme point is, while the burial depth has little effect on the mechanical - soil additional contact stress. The distribution function of additional stress coefficient around the shield shell was defined, and the balance equations of force and moment increment of the shield were established. The calculations show that the horizontal posture adjustment load, vertical posture adjustment load, yaw moment of the shield machine are proportional to the change of attitude angle, and the longitudinal posture adjustment load is less affected by the change of attitude angle.

Keywords: shield construction ; machine-soil additional contact stress ; complex variable function ; shield excavation behavior ; posture adjustment

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本文引用格式

金慧, 袁大军, 金大龙. 盾构掘进行为对盾壳-土体接触应力的影响. 浙江大学学报(工学版)[J], 2021, 55(6): 1036-1047 doi:10.3785/j.issn.1008-973X.2021.06.003

JIN Hui, YUAN Da-jun, JIN Da-long. Effect of shield excavation on shield shell-soil contact stress. Journal of Zhejiang University(Engineering Science)[J], 2021, 55(6): 1036-1047 doi:10.3785/j.issn.1008-973X.2021.06.003

盾构机掘进荷载取决于掘进过程中盾构机和土体之间的相互作用,准确计算机土相互作用是控制盾构掘进行为、调整盾构掘进姿态的重要依据. 影响机土相互作用的因素众多,其中盾构掘进行为是关键因素之一,尤其影响盾壳上的负载. 盾构在掘进过程中不能保证盾构机中线始终与隧道设计轴线重合,产生沿隧道纵向波动的曲线开挖边界,工程界将盾构机的这种掘进运动特性称为盾构机的蛇形运动. 这种蛇形运动直接决定盾壳和土体间的动态接触作用,影响盾壳上的荷载及分布. Festa等[1-2]考虑盾构掘进的运动特征和盾构几何特征,建立4种曲线掘进模型,描述了盾构运动特征和几何特性对盾构机和周围土体相互作用的影响,计算出了盾构机和土体接触位移. 目前,盾壳上荷载计算普遍借用盾构隧道荷载的计算模型. 周奇才等[3]采用全覆土重法计算盾壳上部土压力,考虑盾构机重量计算盾壳下部土压力,引入侧压力系数计算两侧土压力. 邓孔书[4]以土柱理论和压力拱理论为基础,考虑盾构机变形产生的土体反力,计算盾构上土压力. 上述方法均不能反映盾构掘进行为对盾壳上土压力的影响. Sugimoto等[5-6]提出盾壳上土压力必须考虑盾构掘进行为的影响,根据盾构受力平衡的条件,基于地基反力曲线,采用等效弹簧的方式模拟盾构与土的相互作用关系,建立盾构机姿态调整量和盾构上土压力改变量的关系. 沈翔等[7]在Sugimoto模型的基础之上,考虑盾构俯仰角,建立盾构机-土体相互作用模型,推导盾构机的弯矩平衡方程. Sugimoto等[5-6, 8]所提方法的不便之处在于地基反力曲线须结合地层参数、采用有限元方法进行参数确定[8],不利于工程的应用.

如何将盾构机和土体作为一个系统、考虑盾构掘进行为引起的盾构机土体相对运动、分析盾构机和土体之间的动态接触问题,目前没有见到相关的研究. 复变函数在求解边界条件较复杂的半空间孔洞问题时具有一定的优势. Verruijt[9]采用复变函数法,求解半无限空间中孔洞受径向均布位移作用下的围岩应力及变形影响的问题. Park[10-11]给出包括隧道径向收缩、隧道衬砌椭圆化和衬砌竖向沉降及其组合的4种洞周径向变形模式,推导了弹性解. 王立忠等[12-14]基于Park提出的洞周变形模式,采用复变函数法进行围岩应力及变形的计算.

考虑到盾构和土体的相互作用本质上可以简化为特殊接触边界条件下土体和结构的变形问题,本文将复变函数方法引入到盾构和土体相互作用的问题,将盾构掘进行为扩展为符合盾构机-土体接触条件的洞周位移模式,以地层附加应力为突破点,分析盾构掘进行为对盾构机-土体接触应力的影响,提出盾构掘进行为产生的盾壳-土体附加接触应力计算方法. 建立盾构机力和力矩增量的平衡方程,研究成果为盾构姿态调整提供了理论参考.

1. 盾构掘进对周围土体应力状态的影响

盾构机的掘进行为可以通过盾构偏移轨迹和盾构机姿态角(包括俯仰角和水平偏角)进行描述. 掘进行为对盾壳周围土体的影响如图1所示,可以分为以下5个阶段. 1)盾构掘进姿态角为零,盾构机平行隧道轴线掘进. 2)盾构姿态角逐渐增大,盾构机轴线沿远离隧道轴线方向转动,并发生侧向位移. 3)盾构姿态角非零且保持不变,盾构机与隧道轴线保持一定角度掘进. 4)盾构姿态角逐渐减小,盾构机轴线向隧道轴线转动,并发生侧向位移. 5)盾构姿态角为负,盾构机向隧道轴线转动,并发生侧向位移,是阶段4)的延续.

图 1

图 1   掘进姿态角对机土相对位移的影响

Fig.1   Relative displacement of machine-soil under different driving attitude


对于1)、3)阶段,盾构机轴线以常姿态角掘进,盾构机不发生转动,盾构机对盾壳周围土体的作用表现为超挖间隙产生的收敛位移,如图1所示. 对于2)、4)和5)阶段,盾构机以变姿态角掘进,盾构机平动的同时将发生转动,除超挖间隙产生的收敛位移外,还将对盾壳周围土体产生侧向挤压,如图2所示. 当开挖面平衡控制良好时,盾构掘进行为对周围土体的影响可以通过盾构机-土体相对位移进行描述.

图 2

图 2   掘进中盾构与土体的接触关系

Fig.2   Contact relationship between shield and soil during excavation


由于盾构机和其掘进行为的存在,产生的机-土相对位移将对盾构周围土体产生附加应力,改变盾构周围土体及接触面上的应力状态,如下所示:

${f_i} = {\sigma _i} + {\sigma _{i\_0}}.$

式中: ${f_i}$为掘进扰动后盾壳-土体接触应力; ${\sigma _i}$为盾构掘进行为在盾壳-土体接触面上产生的附加接触应力; ${\sigma _{i \_0}}$ 为盾构开挖轮廓处的初始地层应力;i=xyxy. 考虑盾构掘进行为对盾壳-土体接触应力的影响,关键是明确盾构掘进行为与机土附加接触应力的关系.

2. 盾壳-土体附加接触应力

2.1. 盾壳-土体相互作用模型

在盾构掘进过程中,盾构机-土体相对位移不仅沿横向不均匀分布,沿纵向也具有一定的非均匀性,同时探讨横向和纵向不均匀位移下机-土相互作用是困难的. 考虑到机-土相对位移远小于盾体长度,单位长度上机-土相对位移仅相差1~5 mm(盾构方向偏角一般控制小于5 mm/m),不均匀分布率为0.001~0.005. 假定盾壳-土体相对位移沿纵向均匀分布,盾壳-土体变形模型基本符合平面应变条件,则以盾构周围土体为研究对象,将盾壳-土体相互作用模型简化为含孔洞的弹性半空间平面应变问题,将盾构掘进行为对周围土体的影响转化为洞周位移模式,研究掘进行为对盾壳-土体接触应力的影响. 该模型遵循以下假定.

1)土体发生弹性变形,土体应力状态与应力历史无关.

2)盾构机不发生变形,只产生刚体移动.

图3所示的直角坐标系中,r1为盾构开挖洞室半径,h为盾构中心距地表的垂直距离,L为盾构覆土厚度,A为坐标原点,B为无穷远处点,C为开挖洞室顶点,D为开挖洞室最低点,R区域为开挖洞室外围土体.

图 3

图 3   含孔洞的弹性半空间模型

Fig.3   Elastic half-space model with holes


2.2. 复变函数求解

2.2.1. 解析函数

根据复变函数解法可知,当盾构机和周围土体接触面上发生相对位移时,盾构周围土体的附加应力和位移分量可以由2个在R区域内的解析函数 $\phi \left( z \right)$$\psi \left( z \right)$表示. 应力公式为

位移公式为

$ 2G\left( {U + {\rm{i}}V} \right) = \kappa \phi \left( z \right) - z \overline {\phi '\left( z \right)} - \overline {\psi \left( z \right)} .$

式中:G为切变模量, $G = {E/{\left( {2 + 2\mu } \right)}}$,对于平面应变问题, $\kappa = 3 - 4\mu $,其中 $\;\mu $为土体的泊松比.

z平面,边界条件为

$z=\overline{z}:\;\;\;\;\;\;\phi \left( z \right){{ + z}} \overline {\phi '\left( z \right)} + \overline {\psi \left( z \right)} = 0.$

$\begin{split}\left|z+h{\rm{i}}\right|={r}_{1}:\;\;\;\; & 2G\left( {u + {\rm{i}}v} \right) = \\ & \kappa \phi \left( z \right) - z \overline {\phi '\left( z \right)} - \overline {\psi \left( z \right)} . \end{split} $

2.2.2. 共形映射

采用共形映射函数 $\omega \left( \zeta \right)$将直角坐标系下的含孔洞半无限空间映射到复平面上,映射后的计算模型如图4所示. 直角坐标系下的R区域映射为阴影圆环 $\gamma $区域. R区域中的孔洞周线 $\left| {z + h{\rm{i}}} \right| = {r_1}$、水平线 $z = \overline z $、点ABCD分别映射为 $\gamma $区域中的圆环 $\left| \zeta \right| = \alpha $、圆环 $\left| \zeta \right| = 1$、点 ${{A'}}$${{B'}}$ ${{C'}}$ ${{D'}}$.

图 4

图 4   共形映射区域

Fig.4   Conformal mapping area


$z = \omega \left( \zeta \right) = - {\rm{i}}h\frac{{1 - {\alpha ^2}}}{{1 + {\alpha ^2}}}\frac{{1 + \zeta }}{{1 - \zeta }},$

$\frac{{{r_1}}}{h} = \frac{{2\alpha }}{{1 + {\alpha ^2}}}.$

2.2.3. 解析函数的Laurent级数展开

$\phi \left( z \right)$$\psi \left( z \right)$R区域内是解析函数,映射函数 $\omega \left( \zeta \right)$是解析函数,因此由复变函数理论得出 $\phi \left( \zeta \right)$$\psi \left( \zeta \right)$$\gamma $区域内都是解析函数. 将 $\phi \left( \zeta \right)$$\psi \left( \zeta \right)$$\gamma $区域内展成Laurent级数:

式中: $ {a}_{0}{\text{、}}{a}_{k}{\text{、}}{b}_{k}{\text{、}}{c}_{0}{\text{、}}{c}_{k}{\text{、}}{d}_{k}$为待定系数,通过边界条件确定.

$\zeta = \rho \sigma $(其中 $\;\rho $$\zeta $ 平面半径, $\sigma = \exp \;\left( {{\rm{i}}\theta } \right)$$\theta $为极角),可以得到

$\frac{{\omega \left( \zeta \right)}}{{\overline {\omega '\left( \zeta \right)} }} = - \frac{1}{2}\frac{{\left( {1 + \rho \sigma } \right){{\left( {\sigma - \rho } \right)}^2}}}{{\left( {1 - \rho \sigma } \right){\sigma ^2}}}.$

2.2.4. 按 $\zeta $平面上的边界条件求级数系数

  1)应力边界条件.

将地表应力条件转化到复平面中,可得

$ \left|\zeta \right|=1:\;\;\;\;\begin{array}{cc}& \end{array}\varphi \left(\zeta \right)\rm+\omega \left(\zeta \right)\frac{\overline{{\varphi }^{\prime }\left(\zeta \right)}}{\overline{{\omega }^{\prime }\left(\zeta \right)}}+\overline{\psi \left(\zeta \right)}=0.$

将式(6)~(8)代入式(10),可得

式中: $ k = 1,2,3 \cdots $.

2)位移边界条件.

将式(5)映射到复平面中,可得

$ \left|\zeta \right|=\alpha $

$\begin{split} 2G\left( {u + {\rm{i}}v} \right) =& \kappa \phi \left( \zeta \right) - \omega \left( \zeta \right)\frac{{\overline {\phi '\left( \zeta \right)} }}{{\overline {\omega '\left( \zeta \right)} }} - \overline {\psi \left( \zeta \right)} =\\ & f\left( \zeta \right) = f\left( {\alpha \sigma } \right). \end{split} $

${f^ * }\left( {\alpha \sigma } \right) = \left( {1 - \alpha \sigma } \right) f\left( {\alpha \sigma } \right) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{A_k}{\sigma ^k}} .$

将式(6)~(8)、(11)、(12)代入式(13),可得

式中:A0A1Ak为傅里叶级数参数,可以通过开挖洞室圆周上的位移边界条件计算得到. 由此可知,当A0A1${a_0}$给定时,通过迭代计算可得所有的待定参数.

2.3. 考虑盾构机掘进行为的机土相对位移模式

根据盾构掘进特点,将盾构横断面机-土体相对位移分为以下2部分. 第1部分为盾构超挖间隙引起的均匀径向位移,用于描述刀盘开挖土体产生的洞室边界发生径向位移,收敛于盾构外围的过程. 第2部分为盾构偏移运动产生的侧向挤压位移,描述盾构机姿态角的改变导致盾构机对周围土体的挤压和卸载作用.

孔洞边界径向位移采用Verruijt[9]提出的计算公式,各项系数如下所示:

$\left. {\begin{split} &{A_0} = - 2{\rm{i}}G{u_0}\alpha, \begin{array}{*{20}{c}} &{{A_1} = 2{\rm{i}}G{u_0},} \end{array} \\ & {A_k} = 0\left( {k \geqslant 2} \right),\begin{array}{*{20}{c}} &{{A_{ - k}} = 0\left( {k \geqslant 1} \right)} \end{array}. \end{split} } \right\}$

式中:径向位移u0指向开挖洞室圆心时为正.

盾构偏移位移分解为水平偏移位移 $\Delta u$和垂直偏移位移 $\Delta v$,如图5所示,方向与坐标正向相同时为正. 根据Park[10-11]提出的隧道竖向位移下的径向围岩位移边界函数大致服从三角函数分布的假设,将盾构竖向偏移位移引起的洞周径向位移表示为

图 5

图 5   盾构偏移产生的位移边界条件

Fig.5   Displacement boundary conditions due to shield migration


${u_{\rm{r}}} = \Delta v\sin\; \theta '.$

目前较常用的洞周变形模式为径向收敛、椭圆化及竖向位移[13],没有洞周发生横向位移时的径向位移函数. 考虑到同样具有横向挤压特征的椭圆化和轮廓类似的竖向位移模式(式(16))均采用洞周径向位移近似服从三角函数分布的假定,结合两者,假定当盾构发生水平偏移位移 $\Delta u$时,将洞周的径向位移函数表示为

${u_{\rm{r}}} = \Delta u\cos \theta ',$

则洞室边界圆周上总的径向位移为

${u_{\rm{r}}} = \left( {\Delta v\sin \theta ' + \Delta u\cos \theta '} \right).$

由于洞室边界上任一点直角坐标系 $o'$下的围岩水平和竖向位移为

$2G(u + {\rm{i}}v) = 2G{u_{\rm{r}}}\frac{{z + {\rm{i}}h}}{R}.$

${u_{\rm{r}}}$转化到xoy坐标系下,需要将 $o'$坐标系转化为 $o$坐标系,即将转角变量 $\theta '$转换成 $\theta $;将z平面转换到 $\zeta $平面,即将自变量z转化为 $\sigma $. 盾周任意一点围岩M与两坐标系的关系如图5所示,经坐标变化[12],可得

$\left. \begin{array}{l} \sin\; \theta ' = \dfrac{{ {1 + {\alpha ^2}} }}{{2\alpha }} - \dfrac{{{{\left( {1 - {\alpha ^2}} \right)}^2}}}{{2\alpha }}\dfrac{1}{{\left( {1 - \alpha \sigma } \right)\left( {1 - \alpha {\sigma ^{ - 1}}} \right)}}, \\ \cos \;\theta ' = \dfrac{{{\rm{i}}\left( {1 - {\alpha ^2}} \right)}}{2}\dfrac{{ {{\sigma ^{ - 1}} - \sigma } }}{{\left( {1 - \alpha \sigma } \right)\left( {1 - \alpha {\sigma ^{ - 1}}} \right)}}. \\ \end{array} \right\}$

将式(20)代入式(18),可得复平面上内圆环 $\left| \zeta \right| = \alpha $上的径向位移:

$\begin{split} {u_{\rm{r}}} =\;& \Delta u\frac{{{\rm{i}}\left( {1 - {\alpha ^2}} \right)}}{2}\frac{{{{\sigma ^{ - 1}} - \sigma }}}{{\left( {1 - \alpha \sigma } \right)\left( {1 - \alpha {\sigma ^{ - 1}}} \right)}} + \\ &\Delta v\left[ {\frac{{1 + {\alpha ^2}}}{{2\alpha }} - \frac{{{{\left( {1 - {\alpha ^2}} \right)}^2}}}{{2\alpha }}\frac{1}{{\left( {1 - \alpha \sigma } \right)\left( {1 - \alpha {\sigma ^{ - 1}}} \right)}}} \right]. \end{split} $

将式(6)、(20)和 $\zeta = \alpha \sigma $代入式(19),可得

$2G({u_{}} + {\rm{i}}v) = 2{\rm{i}}G{u_{\rm{r}}}\frac{{\alpha - \sigma }}{{1 - \alpha \sigma }}.$

由式(13)、 ${f^ * }\left( {\alpha \sigma } \right) = 2{\rm{i}}G{u_{\rm{r}}}\left( {\alpha - \sigma } \right)$,经整理可得

$\left. { \begin{array}{l} {A_0} = {\rm{i}}G\left[ { - \Delta u{\rm{i}}\left( {1 - {\alpha ^2}} \right) + \Delta v\left( {1 + {\alpha ^2}} \right)} \right]; \\ {A_1} = {\rm{i}}G\left[ { - \Delta u{\rm{i}}\alpha \left( {1 - {\alpha ^2}} \right) - \Delta v\left( {3\alpha - {\alpha ^3}} \right)} \right]; \\ {A_k} = {\rm{i}}G\left[\!\!\! \begin{array}{l} - \Delta u{\rm{i}}\left( {1 - {\alpha ^2}} \right)\left( {{\alpha ^k} - {\alpha ^{k - 2}}} \right) + \Delta v{\left( {1 - {\alpha ^2}} \right)^2}{\alpha ^{k - 2}} \\ \end{array} \!\!\!\right],\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{k \geqslant 2}; \end{array} \\ {A_{ - k}} = 0,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}k \geqslant 1 .\\ \end{array}} \right\}$

将式(15)和(23)叠加,得到盾构刀盘超挖径向位移和侧向位移叠加的合位移对应的傅里叶级数的对应系数.

2.4. 迭代求解

根据Verruij[9]提出的方法可知,要想使解析函数的级数展开式收敛于 $\zeta = 1$处,则要求当 $k \to \infty $时, $\lim {a_k} = {b_k} = 0$. 由式(14.a)、(14.b)可知,位移傅里叶级数系数 ${\lim _{k \to \infty }}{A_k} = {A_{ - k}} = 0$,只有 ${a_0}$取真值时才能满足上述要求. 针对洞周均匀径向位移、竖向位移和水平位移,分别进行迭代求解. 1)对于均匀径向位移,取纯虚数 ${a_0} = 0$${a_0} = 10\;000{\rm{i}}$,分别计算 ${\lim _{k \to \infty }}{a_k} = {C_0}$${\lim _{k \to \infty }} {a_k} = {C_1}$,利用迭代函数的线性特征,求 ${\lim _{k \to \infty }} {a_k} = 0$时对应的 ${a_0}$. 2)对于竖向位移,与均匀径向位移相同,取纯虚数 ${a_0} = 0$${a_0} = 10\;000{\rm{i}}$,插值求解 ${a_0}$. 3)对于水平位移,经试算,取纯实数 ${a_0} = 0$${a_0} = {\rm{10\;000}}$,分别计算 ${\lim _{k \to \infty }} {a_k}$,再插值求解 ${a_0}$,可以满足函数的收敛. 当k=10时,各系数最大数量级为10−8,经试算可以满足精度要求. 利用式(14)、(11)求得各位移形式下的解析函数级数系数,可得解析函数并开展盾构掘进行为引起的机土附加接触应力的计算.

3. 数值验证

为了验证本文理论的合理性和适用性,以某软土地层为例,采用Abaqus有限元软件进行三维建模,与所提理论进行对比分析. 采用的盾构机刀盘直径为6.28 m,盾构机头部直径为6.25 m,盾尾直径为6.23 m,盾构机长度为10 m. 如图6所示,建立三维数值模型,模型尺寸长50 m,宽50 m,高40 m,洞室开挖直径为6.28 m,轴线埋深为12 m. 单元最大尺寸为4 m,最小尺寸为0.5 m,共建立14 837个单元. 土体采用弹性本构模型,相关参数如表1所示. 表中,Es为压缩模量,μ 为泊松比,γ为重度,K0为侧压力系数. 土体弹性模量参考上海地区,取土体压缩模量的2~3.05倍,本文取3倍. 假设盾构机向上产生3 mm/m的仰角增量,向右产生3 mm/m的水平偏角增量,盾尾竖向和水平方向偏移量为零,盾构机上各位置开挖半径均为3.14 m. 考虑盾构机的楔形量影响,间隔2 m取一个计算断面,各盾周计算断面产生的机土相对位移如表2所示. 表中,s为距盾尾距离,r1为开挖半径,R为盾构外径,u0为均匀径向位移,Δv为盾构竖向偏移位移,Δu为盾构水平偏移位移. 通过分步施加3种位移边界条件,模拟盾构机-土体接触作用.

图 6

图 6   机-土接触作用三维数值模型

Fig.6   Three-dimensional numerical model of machine-soil contact


表 1   地层参数

Tab.1  Formation parameters

Es /MPa μ γ /(kN·m−3 K0
3.01 0.491 17.7 0.55

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表 2   各断面的机土相对位移

Tab.2  Relative displacements of machine and soil in each section

s /m r1 /m R /m u0 /m Δv /m Δu /m
0 3.14 3.115 0.025 0 0
2 3.14 3.117 0.023 0.006 0.006
4 3.14 3.119 0.021 0.012 0.012
6 3.14 3.121 0.019 0.018 0.018
8 3.14 3.123 0.017 0.024 0.024
10 3.14 3.125 0.015 0.030 0.030

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取距盾尾6 m断面的数值模拟结果与本文理论进行对比,如图7所示. 可以看出,理论和数值解沿洞周的分布规律基本一致,峰值处的理论计算结果较数值计算结果稍大. 其中径向收缩机土相对位移模式引起的应力偏差最小;水平机土相对位移引起的水平应力理论值和数值结果基本相同;竖向机土相对位移引起的竖向应力理论值和数值结果基本相同,说明在位移方向产生的接触应力受纵向不均匀位移影响较小.

图 7

图 7   附加接触应力的理论和数值结果

Fig.7   Theoretical and numerical value of contact stress


选取不同位移模式下各计算断面上的代表性应力峰值 ${\sigma _{{\rm{peak}}}}$进行纵向分析. 如图8所示,沿纵向三维结果和理论结果在2~8 m时符合较好,在端部具有一定的偏差. 不同位移模式所产生的附加接触应力峰值偏差不同,收缩位移模式产生的竖向和切向应力峰值在2~8 m时的三维模拟和理论结果基本相同,水平应力峰值偏差稍大;竖向位移模式引起的竖向和切向应力峰值与三维模拟结果较接近,水平应力峰值偏差随偏移量的增加而增大;水平位移模式引起的水平应力与三维模拟结果较接近,竖向和切向应力峰值偏差随着偏移量的增加而增大.

图 8

图 8   应力峰值纵向分布

Fig.8   Longitudinal distribution of stress peak


综上所述,除盾构端部一定范围外,平面应变假定所带来的机土附加接触应力计算误差较小,尤其是位移方向的应力,但由于纵向机土相对位移的非一致性,采用平面应变假定会在盾构端部产生一定的偏差. 产生偏差的原因主要是忽略了土体的纵向抗剪能力. 以盾首和盾尾为例,盾首断面左、右两侧土体相对盾首断面围岩有向下的位移趋势,将对盾首断面围岩产生向下的作用力,削弱盾首的附加接触应力. 盾尾断面左、右两侧土体有阻碍盾尾围岩变形的抗力作用,削弱盾尾的附加接触应力. 削弱程度受土体剪切刚度的影响,剪切刚度越大,削弱幅值越大,纵向不均匀位移的影响越显著.

4. 参数敏感性分析

4.1. 机土相对位移

基于3章的算例,分析机土相对位移敏感性. 如图8所示,表2中各整机位移模式下机土附加接触应力峰值的理论和数值解在一定范围内均随着机土相对位移的增加而线性增大. 将各位移模式下的附加接触应力进行求和,附加接触应力如图9所示. 可知,盾构下半环的应力峰值较上半环大;在相同量值的机土相对位移模式下,各向附加接触应力的波动幅值基本一致,在110 kPa下,与开挖轮廓处的初始地应力相比,最大水平附加接触应力约为1倍的水平初始地应力;最大竖向接触应力约为0.5倍的竖向初始地应力;最大切应力约为0.5倍的初始竖向地应力. 可见,姿态偏移引起盾壳和土体接触应力的波动较大.

图 9

图 9   不同机土相对位移下的盾构机-土体附加接触应力

Fig.9   Additional contact stress between shield machine and soil under different relative displacements


4.2. 盾构轴线埋深

盾构轴线埋深是盾构掘进荷载设计的一个主要变量,选取第3节的算例盾构机尺寸和土层参数,假设盾构机中间(z=5 m)断面产生径向收缩位移0.015 m,垂直向下的位移0.015 m和水平向右的位移0.015 m,以盾构轴线埋深为变量,得到盾构机掘进引起的盾构机土体附加接触应力,如图10所示. 可以看出,在相同的位移模式下,盾构掘进引起的机土附加接触应力随着埋深的增加基本保持不变,说明掘进运动引起的盾构机-土体附加接触应力受埋深的影响较小.

图 10

图 10   不同埋深下的机土附加接触应力

Fig.10   Additional contact stress between machine and soil under different burial depths


4.3. 土体泊松比、弹性模量

基于3章算例中的盾构机尺寸,假设盾构机中间(z=5 m)断面产生径向收缩位移0.015 m、垂直向下的位移0.015 m和水平向右的位移0.015 m,盾构轴线埋深为12 m,开展土体参数敏感性分析. 假定土体弹性模量为9.03 MPa,土体泊松比取0、0.5、1,得到盾构机掘进引起的盾壳-土体附加接触应力,如图11所示. 可知,随着泊松比的增加,各向附加应力逐渐减小,且与泊松比成线性反比关系. 取土体泊松比为0.491,土体弹性模量为9.03、20、50和100 MPa,得到盾构机掘进引起的盾壳-土体附加接触应力,如图12所示. 可知,随着弹性模量的增加,各向附加应力逐渐增大,且与弹性模量成正比例线性相关.

图 11

图 11   不同泊松比的机土附加接触应力

Fig.11   Additional contact stress between machine and soil with different Poisson’s ratios


图 12

图 12   不同弹性模量的机土附加接触应力

Fig.12   Additional contact stress between machine and soil with different soil elastic module


5. 分析与讨论

5.1. 附加接触应力系数

通过上述敏感性分析可以看出,机土相对位移、弹性模量和泊松比对盾构掘进引起的盾壳-土体附加接触应力影响较大,盾构轴线埋深几乎没有影响. 经试算发现,洞周附加接触应力通过机土相对位移、弹性模量和泊松比归一化处理后为特定分布函数. 将特定分布函数定义为附加接触应力系数:

$\lambda = \frac{{{\sigma _{ij}}}}{{2G{\varDelta _j}}}.$

式中: ${\sigma _{ij}}$为各机土相对位移模式引起的盾壳-土体附加接触应力分量; ${\varDelta _j}$为盾构掘进产生的机土相对位移; $i = x,y,xy$$j = {u_0},\Delta v,\Delta u$.

图13所示为归一化处理后的应力系数分布函数,每个应力系数分量分别包含3个机土相对位移模式对应的子项. 该应力系数分布函数适用于开挖直径为6.28 m的土压盾构机.

图 13

图 13   应力系数分布函数

Fig.13   Stress coefficient distribution function


5.2. 盾构机掘进平衡条件

由式(1)可知,在盾构掘进过程中,掘进行为通过产生附加接触应力,改变盾构机-土体接触应力状态. 假设盾构掘进中处于静力平衡状态,且不考虑盾构姿态偏移对盾构机上其他力的影响,则盾构机在盾构推力增量与土体附加荷载作用下保持力和力矩的平衡,盾周土体附加荷载由盾壳外表面上的附加接触应力积分得到,则有以下结论.

xy方向静力平衡:

$\Sigma \Delta {T_i} = \int_{{L_{\rm{s}}}}^{} {\int_{{C_{\rm{s}}}}^{} {{\vartheta _i}\left( {\theta '} \right){\sigma _{ij}}{\rm{d}}c{\rm{d}}l;} } \begin{array}{*{20}{c}} {}&{i = x,y} . \end{array}$

纵向静力平衡:

$\Sigma \Delta T_{x \times y}^{^{}} = {\mu _{\rm{s}}}\int_{{L_{\rm{s}}}}^{} {\int_{{C_{\rm{s}}}}^{} {{\sigma _{ij}}{\rm{d}}c{\rm{d}}l} } ;\begin{array}{*{20}{c}} {}&{i = x,y}. \end{array}$

盾尾截面中心力矩平衡:

$\Sigma \left( {\Delta {T_{x \times y}} e} \right) = \frac{{2{L_{\rm{s}}}}}{3}\int_{{L_{\rm{s}}}}^{} {\int_{{C_{\rm{s}}}}^{} {{\vartheta _i}\left( {\theta '} \right){\sigma _{ij}}{\rm{d}}c{\rm{d}}l;\; i = x,y} }. $

式中: $\Delta {T_i}$为盾构机水平和竖向推力增量; $\Delta {T_{x \times y}}$为盾构机纵向推力增量,并将 $\Delta T$定义为调姿荷载;Ls为盾构长度;l为长度微元;Cs为盾壳外围周长;c为弧线微元; $\;{\mu _{\rm{s}}} $为盾构土体接触面摩擦系数, ${\mu _{\rm{s}}} = {\eta _{\rm{s}}}\tan \delta $,其中δ为盾构-土界面摩擦角,Potyondy[15]通过界面剪切试验得到黏土与光滑钢材界面摩擦角为6.5°~9°;ηs为界面软化系数,一般取为0.9; $e$为千斤顶推力力臂;盾周土体附加荷载沿盾构纵向线性分布,距盾尾截面中心的力臂约为2Ls/3. 考虑到洞周微元面积上力和应力方向定义不同,添加符号调整系数 ${\vartheta _i}\left( {\theta '} \right)$

$\left. {\begin{array}{l} {\vartheta _x}\left( {\theta '} \right){\rm{ = }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} 1,&{\theta ' \in \left( {{{\text{π}} / {\rm{2}}},{{{\rm{3}}{\text{π}} } / {\rm{2}}}} \right]} ; \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1},&{\theta ' \in \left( { - {{\text{π}} / {\rm{2}}},{{\text{π}} / {\rm{2}}}} \right]} ; \end{array}} \end{array}} \right. \\ {\vartheta _y}\left( {\theta '} \right){\rm{ = }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1},&{\theta ' \in \left[ {0,\;{\text{π}} } \right)} ; \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&1 , \end{array}}&{\theta ' \in \left[ {{\text{π}} ,2{\text{π}} } \right)} . \end{array}} \end{array}} \right. \\ \end{array} } \right\}$

假设 $\Delta t$时间内上、下、左、右分区推力增量分别为 $\Delta {T^{\rm{U}}}$$\Delta {T^{\rm{D}}}$$\Delta {T^{\rm{L}}}$$\Delta {T^{\rm{R}}}$,则俯仰角增量对应的盾尾截面中心的倾覆力矩和纵向推力为

$ \left( {\Delta {T_{x\times y}}^{\rm{U}} - \Delta {T_{x\times y}}^{\rm{D}}} \right) e = \frac{{2{L_{\rm{s}}}}}{3}\int_{{L_{\rm{s}}}}^{} {\int_{{C_{\rm{s}}}}^{} {{\vartheta _y}} } \left( {\theta '} \right){\sigma _{y\Delta v}}{\rm{d}}c{\rm{d}}l, $

$\Delta T_{x \times y}^{^{\rm{U}}}{\rm{ + }}\Delta T_{x \times y}^{^{\rm{D}}} = {\mu _{\rm{s}}}\int_{{L_{\rm{s}}}}^{} {\int_{{C_{\rm{s}}}}^{} {{\sigma _{y\Delta v}}{\rm{d}}c{\rm{d}}l} } .$

通过式(29)、(30)可以求得上、下分区盾构推力改变量,由水平偏角增量对应的水平偏转力矩和纵向推力增量平衡可得左、右分区盾构推力改变量.

求得洞周面积上的接触应力积分,即可得到盾构机各分区调姿荷载. 考虑到洞周应力为数值解,将内层洞周积分公式转化为求和公式,经整理可得,盾周土体附加荷载转化为沿纵向分布的机土相对位移和盾周周长的定积分为

$\begin{split} & \int_{{L_{\rm{s}}}}^{} {\int_{{C_{\rm{s}}}}^{} {{\vartheta _i}\left( {\theta '} \right){\sigma _{ij}}{\rm{d}}c{\rm{d}}l} } \!=\!\! 2G\int_{{L_{\rm{s}}}}^{} {{\varDelta _j}(s)\int_{{C_{\rm{s}}}}^{} {{\vartheta _i}\left( {\theta '} \right){\lambda _{ij}}({\theta '}){\rm{d}}c{\rm{d}}l} } \!=\\ & \frac{G}{{2n}}\sum\limits_{k=1}^{4n} {\left( {{\vartheta _i}\left( {\frac{{k{\text{π}} }}{{2n}}} \right){\lambda _{ij}}\left( {\frac{{k{\text{π}} }}{{2n}}} \right)} \right)} \int_{{L_{\rm{s}}}}^{} {{\varDelta _j}(s){C_{\rm{s}}}{\rm{d}}l} . \\[-21pt] \end{split} $

式中: $\int_{{C_{\rm{s}}}}^{} {{\vartheta _i}\left( {\theta '} \right){\lambda _{ij}}{\rm{d}}c} = \left[ {{C_{\rm{s}}}/(4n)} \right]\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^{4n} {{\vartheta _i}\left( {\dfrac{{k{\text{π}} }}{{2n}}} \right){\lambda _{ij}}} \left( {\dfrac{{k{\text{π}} }}{{2n}}} \right)$n为圆周上离散的单元数.

图14所示,盾构掘进产生的均匀径向位移仅与开挖半径和收敛半径有关,考虑盾构机楔形量,沿纵向分布函数为

图 14

图 14   盾构掘进运动

Fig.14   Shield tunneling movement


式中: ${R_{\rm{R}}}$为盾尾半径, ${R_{\rm{F}}}$为盾首半径. 对于盾构竖向偏移位移和水平偏移位移,由盾构机平移和转动构成,其中第1部分为盾尾偏移改变量,第2部分为姿态角改变量,如下所示:

式中: $\Delta {\alpha _{\rm{s}}}$$\Delta t$内俯仰角改变量, $\Delta {\beta _{\rm{s}}}$$\Delta t$内水平偏角改变量, $\Delta {y_{\rm{R}}}$$\Delta t$内盾尾的竖向偏移量, $\Delta {x_{\rm{R}}}$$\Delta t$内盾尾的水平偏移量.

盾构机轴线偏移轨迹可以通过盾构机信息平台监测记录,姿态角可以通过盾构偏移轨迹确定. 忽略端部小范围内的误差,基于该方法可以初步计算随盾构掘进轨迹变化的盾周土体附加荷载.

5.3. 算例分析

基于3章的算例,计算盾构机发生不同偏角时的调姿荷载和力矩. 在水平方向,均匀径向位移和竖向偏移位移产生左右对称分布的附加接触应力,对盾构外表面积的积分为零. 对于竖向,水平偏移位移不产生竖向附加应力,均匀径向位移由于上、下边界条件不对称,会产生竖向附加荷载,但竖向附加荷载数值较小(当盾尾径向位移为0.025 m时,考虑盾构楔形量,产生了16.3 kN的竖向附加荷载). 综上分析,水平附加荷载和偏转力矩主要由水平偏角改变量产生,竖向附加荷载和倾覆力矩主要由俯仰角改变量产生.

图15所示为关于姿态角增量的水平和竖向调姿荷载曲线. 可以看出,水平和竖向调姿荷载曲线基本相同,调姿荷载随着姿态角增量的增加而线性增大. 当水平偏角和俯仰角增量均为3 mm/m时,水平调姿荷载为1 183.41 kN,竖向调姿荷载为1 185.02 kN(远大于16.33 kN),竖向调姿荷载偏大可能由于上、下边界条件不对称. 如图16所示为关于姿态角增量的水平偏转力矩 $\Delta M_{y} $和倾覆力矩 $\Delta M_{{x}} $曲线,两者基本相同,正比于姿态角增量. 如图17所示为盾构纵向推力改变量曲线. 如图17所示盾构的纵向调姿荷载较小,尤其是水平偏角增量对应的纵向调姿荷载基本为零. 上述分析结果是基于本文方法土体拉(卸载)、压模量相同的假定,事实上土体的卸载模量往往小于压缩模量,产生不对称的应力. 如图15~17所示,当土体卸载模量为零时,卸载面不产生拉力,水平和竖向调姿荷载约减小至原来的一半,纵向推力随着姿态角的增加而增大,但与水平和竖向调姿荷载相差约一个数量级. 调姿荷载应处于拉模量为零和拉压模量相同2种情况对应的荷载曲线之间. 综合来看,盾构掘进行为对水平和竖向调姿荷载的影响较大,对纵向调姿荷载的影响较小.

图 15

图 15   水平和竖向调姿荷载曲线

Fig.15   Horizontal and vertical posture adjustment load curves


图 16

图 16   力矩曲线

Fig.16   Torque curve


图 17

图 17   纵向推力曲线

Fig.17   Longitudinal thrust curve


本文方法可以考虑盾构掘进行为对盾壳上所受荷载的影响,与现有的盾构荷载设计方法相比,更符合盾构的实际负载情况. 本文采用平面应变模型假定,未考虑沿盾构纵向土体连续变形产生的切应力作用,在后续工作中需要进一步研究,以满足盾构机三维受力特点和计算精度的要求.

6. 结 论

(1)针对盾构掘进行为对盾壳和土体接触面上接触应力的影响,将盾构和土体相互作用模型简化为弹性半空间孔洞问题,将盾构掘进行为简化为径向、竖直和水平方向的洞周位移模式. 采用复变函数理论,建立盾壳和土体附加接触应力计算方法,通过三维数值模拟对所提方法进行分析与验证. 结果表明,在盾构端头处有一定的偏差,在绝大盾构长度范围内,理论上与三维模拟结果较接近.

(2)采用本文方法对影响盾构和土体附加接触应力的相关因素进行敏感性分析,随着机土相对位移的增加,附加接触应力峰值逐渐增大,盾构下半环的应力峰值较上半环大. 当盾构掘进引起的洞周位移模式相同时,泊松比越小,土体弹性模量越大,极值点处的接触应力越大. 机土附加接触应力随着埋深的增加而基本保持不变.

(3)经归一化处理,得到附加接触应力系数的分布函数. 考虑盾构掘进轨迹,建立沿盾构纵向分布的机土相对位移计算公式,得到沿盾构纵向分布的盾壳-土体附加接触应力;通过盾构外表面应力积分得到盾壳附加荷载,建立盾构机上力和力矩增量平衡方程. 通过算例分析,给出适用于直径为6.28 m的土压平衡盾构机的关于盾构水平偏角和俯仰角改变量的调姿荷载、水平偏转力矩和倾覆力矩曲线. 结果显示,姿态角改变量越大,水平、竖向调姿荷载和偏转力矩越大,纵向调姿荷载变化越小.

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