在能源问题和环境问题日益严峻的当下，风电作为清洁可持续的能源得到了越来越多的关注. 截止到2019年9月，我国新能源装机占比超过20%，风电装机总容量达1.98亿千瓦^[1]；计划2050年，我国总装机容量将达71亿千瓦，其中风电容量24亿千瓦，占比33.8%^[2]. 然而，风电出力具有随机性和波动性，容易造成弃风现象的发生，如何提高风电的消纳能力成为进一步发展风电技术的关键. 另一方面，短期的负荷预测是制定电网调度计划的重要依据，而现今用户需求日益复杂，使得负荷侧的不确定性和随机性增加，已经成为电网调度中不可忽视的部分^[3]. 如何应对源荷波动对电力系统的影响，提高电网运行的经济性和安全性成为建设坚强智能电网的必然要求.

2008年，国际能源署（international energy agency，IEA）发布专题报告提出“电力系统灵活性（power system flexibility，PSF）”概念，指出通过提高电力系统的灵活性水平增加系统应对功率波动的能力^[4]. 目前在灵活性的理解上国际尚未形成统一观点，北美电力可靠性委员会（North American electric reliability council，NERC）认为电力系统灵活性主要体现在运行灵活性上，是指其能够利用系统资源满足负荷的变化^[5]；IEA认为电力系统灵活性是电网快速响应供应和负荷波动的能力^[6]；肖定垚等^[7]在综合各国学者观点的基础上，将电力系统灵活性定义为在某时间内电力系统有效优化调配资源，响应功率变化的能力. 在灵活性评估上，李海波等^[8]从统计学的角度对电力系统进行分析，将灵活性不足概率和不足期望作为评价准则构建电力系统灵活性指标体系；Wang等^[9]提出基于风险的可允许性评估方法，将风电波动和不确定性带来的风险作为系统的可接受性度量；面对火电机组总量富余但灵活性不足的问题，李星梅等^[10]构建了含火电机组投资决策及电力系统长期调度决策的混合整数非线性规划模型，从而优化火电机组参与调峰的能力. 但以上研究大多仅针对电源侧的出力情况展开讨论，随着电力市场的发展和用电需求的不断增加，电网对负荷侧不确定性的承受能力也成为规划和调度运行中不可忽视的影响因素.

为了分析电力系统应对电源侧和负荷侧波动的能力，本研究提出电力系统灵活性运行域（power system flexible operation region，PSFOR）概念，即在保证一定灵活性运行水平下电力系统所能接受的最大不确定性因素波动范围. 在此基础上，将灵活性约束加入到系统运行中，以容许风电出力变化和负荷波动区间作为优化目标，考虑电力系统的经济性，构建灵活性运行域的鲁棒优化模型；针对该模型的求解，提出极限场景法（extreme scenario method，ESM）和基于列和约束生成（C&CG）的鲁棒优化算法（C&CG-based robust optimization，CRO）. ESM通过构造极限波动场景将原鲁棒优化问题转化为多个场景优化问题，而CRO借助强对偶理论将原min-max-min多层鲁棒优化问题化为min-max双层优化问题并基于C&CG算法进行迭代求解. 在算例上，对6节点系统和IEEE RTS-39节点系统进行仿真验证所提方法的合理性及有效性，并将区间平均值和标准差作为运行域的评价指标，进一步分析各种调节资源对电力系统灵活性运行域的影响.

安全域（security region，SR）是从域的角度出发研究系统整体可安全稳定运行范围的方法. 在电力系统中，输电系统安全域是指注入功率空间满足潮流、电压约束和稳定性要求的所有功率的集合，主要包括潮流安全域（又称静态安全域）、小扰动稳定安全域和暂态稳定动态安全域^[11]. 在此基础上，Xiao等^[12]提出配电系统安全域（distribution system security region，DSSR）概念，定义DSSR为在满足N−1的约束下，配电网能够安全运行的所有节点负荷功率的集合.

与安全域相似，运行域（operation region）也是利用“域”的方法对电力系统的运行范围进行研究，但更偏向于运行状态的分析. 杨明皓等^[13]为实时监视配电变压器运行点的轨迹并分析运行经济性，提出配电变压器cos $\varphi $-P平面经济运行域的概念，即在满足容许经济运行条件下，变压器最大损耗率在cos $\varphi $-P平面上对应的等值线所界定的范围；王博等^[14]基于配电网安全域理论提出主动配电网运行域概念，使所有节点均满足配电网安全运行约束工作点的集合；刘柳等^[15]为了研究综合能源配电系统的最大运行边界，提出综合能源配电系统运行域的概念，定义其为在综合能源配电系统下所有满足安全运行约束工作点的集合. 以上研究结果表明，运行域能够直观地反映系统的运行状态和可行域量，可以为系统的预警和预防性控制提供重要的参考依据.

电力系统灵活性是指系统响应源荷功率变化并进行调节的能力，具有以下3个特点^[7]：灵活性、方向性和时间尺度性. 在电网运行过程中，系统向上灵活性不足将导致用户失负荷，而系统向下灵活性不足则会带来弃风现象的发生，灵活性是电网经济性和可靠性的综合体现. 在灵活性指标上，Capasso等^[16]考虑规划过程中的系统灵活性，针对潮流和容量的变化，提出技术不确定性灵活指数和技术经济不确定性灵活指数的概念；Lannoye等^[17]认为电力系统中出现灵活性不足的现象大多是由于机组调节能力不足导致的，提出爬坡资源不足期望值作为电力系统的灵活性评估指标；李海波等^[8]从系统整体性角度进行概率抽样评估，基于蒙特卡洛模拟方法和经济调度模型，提出上调灵活性不足概率、上调灵活性不足期望、下调灵活性不足概率和下调灵活性不足期望4个指标. 但以上各种方法都是从规划或者整体的角度对电力系统灵活性进行分析，不能反映电网运行过程中的实时灵活性情况. 为了丰富灵活性研究的内涵，本研究在Hedayati等^[18-20]研究的基础上提出电力系统灵活性运行域（PSFOR）的概念，以下就灵活性运行域、运行边界和用途方面展开阐述.

1）电力系统响应并调节功率变化的能力水平称为灵活性水平. 在风电渗透率增加或负荷波动变大的情况下，电力系统弃风或失负荷量越少，系统的灵活性水平越高. 2）电力系统灵活性运行域（power system flexible operation region，PSFOR）指系统在一定灵活性水平下能接受的不确定性因素最大变化范围.

如果不确定因素的变化处于灵活性运行域的范围内，则认为电力系统灵活性满足要求；否则电力系统很可能发生灵活性不足的现象. 灵活性运行域能够给出电力系统所能接受的不确定性因素变化范围，展示系统应对功率波动的能力，从灵活性的角度为系统的安全可靠运行提供理论依据.

灵活性运行域的边界是指在满足灵活性运行水平下系统可接受不确定性因素最大波动范围的边界. 如果电网不确定性因素存在向上和向下的变化，那么其容许最大向上变化量和最大向下变化量的集合分别对应灵活性运行域的上界和下界. 对于风电波动和负荷波动显著的系统，灵活性运行域边界具体表现为系统允许风电出力和负荷波动的上下界.

灵活性是系统的固有性能，而灵活性运行域是保证系统在此区域任意工作点满足灵活运行要求的区域范围，具有较好的鲁棒性，是电力系统灵活性的具体体现. 因此，灵活性运行域边界是从鲁棒优化的角度反映系统不确定性因素的容许偏移情况.

1）灵活性运行域由于计算所得结果是范围区间，主要适用于不确定因素连续变化的情况，对于N−1或N−k设备线路故障带来的风险问题，暂不具备评估能力. 2）对于电源侧出力变化、负荷波动情况，灵活性运行域以经济性和安全性为基础，能够较好地反映电力系统所能够承受的源荷波动水平，可以作为风电接入和负荷控制调节的依据，为电网的规划和调度运行提供一定的理论指导. 3）灵活性运行域可以从另种角度展示系统的灵活性，运行域范围越大则系统灵活性越高，同时有助于观察不同调节资源对电力系统灵活性的影响.

当须对风电出力波动范围进行研究时，在给定的系统灵活性水平下所得到的容许风电出力最大变化区间即为风电波动灵活性运行域（wind power flexible operation region，WPFOR），记为

(1) ${\varOmega _{{\rm{WPFOR}}}}{\rm{ = \{ }}P_{\rm{w}}\left| {P(x)} \right. \leqslant {\rm{0;}}\;F(x) \geqslant {\rm{0\} }}.$

式中： $P_{\rm{w}}$为风电出力， $P(x) \leqslant 0$为系统安全运行约束条件， $F(x) \geqslant {\rm{0}}$为系统灵活性水平约束.

研究^[21]表明，引入需求响应（demand response，DR）措施能够有效提高电力系统的运行效率. 从响应机制上来看，DR可以分为2种^[22]：一种是基于价格型的DR，如分时电价、实时电价；另一种则是基于激励型的DR，如可中断负荷、直接负荷控制. 本研究结合分时电价和可中断负荷对电力系统的灵活性运行域进行研究.

分时电价（time of using，TOU）是通过制定峰、平、谷不同时段的电价来刺激用户减少负荷高峰时期用电并增加负荷低谷时期用电的经济手段^[23]. 为了反映电价对用户电力需求的影响，常引入价格弹性系数的概念^[24]，即

(2) $e_{mn}^i = \left( {\Delta q_m^i/q_m^{0,i}} \right)\left/{\left( {\Delta p_n^i/p_n^{0,i}} \right)}\right..$

式中： ${q^{0,i}}$、 ${p^{0,i}}$为电价调整前用户 $i$的电力需求和电价； $\Delta {q^i}$、 $\Delta {p^i}$为电价调整前、后用户 $i$的电力需求和价格的变化量； $m$、 $n$为时刻，当 $m = n$时， $e_{mn}^i$为自弹性系数，当 $m \ne n$时， $e_{mn}^i$为交叉弹性系数；由各弹性系数 $e_{mn}^i$构成的矩阵为价格弹性系数矩阵，记为 ${{{E}}^i}$.

在实施TOU后，用户 $i$在 $m$时刻的电力需求为

(3) $q_m^i = q_m^{0,i}\left[ {1 + e_{mm}^i\frac{{p_m^i - p_m^{0,i}}}{{p_m^{0,i}}} + \sum\limits_{n = 1,\;n \ne m}^{{N_{\rm{T}}}} {e_{mn}^i\frac{{p_n^i - p_n^{0,i}}}{{p_n^{0,i}}}} } \right].$

式中： $p_m^i$、 $q_m^i$分别为实施TOU后 $m$时刻用户 $i$的用电价格和用电量， ${N_{\rm{T}}}$为系统运行时间.

可中断负荷（interruptible load，IL）是在特定时段，用户根据事先签订的合同响应中断负荷请求，并获得相应的经济补偿^[25]. 补偿方式包括容量补偿和电量补偿：容量补偿指供电方与用户签订合同的可中断负荷容量的停电前折扣，一般为固定支出，且与事故无关；电量补偿为停电后赔偿，即为事故发生后由于实施负荷中断而进行的赔偿.

除了需求响应外，储能站的参与也有利于提升电网的功率调节能力从而提高系统的灵活性，但这会在模型中引入内层0-1变量使得问题求解变得更加复杂和困难^[26]，因此本研究暂不对储能进行研究.

与风电灵活性运行域（WPFOR）相似，当须对电力系统所能够允许的负荷波动范围进行研究时，可以得到负荷波动灵活性运行域（net load flexible operation region，NLFOR），记为

(4) ${\varOmega _{{\rm{NLFOR}}}}{\rm{ = \{ }}L\left| {P(x)} \right. \leqslant {\rm{0;}}\;F(x) \geqslant {\rm{0\} }}.$

式中： $L$为系统负荷， $P(x) \leqslant 0$为系统安全运行约束条件， $F(x) \geqslant {\rm{0}}$为系统灵活性水平约束.

在实际的电力系统中，风电出力和系统负荷都会发生随机波动，因此灵活性运行域的计算结果应在当前运行条件下保证 ${\varOmega _{{\rm{WPFOR}}}}$和 ${\varOmega _{{\rm{NLFOR}}}}$尽可能大，且运行成本最低，是多目标优化问题. 以灵活性运行域为基础，构建目标函数如下：

(5) $\max\; \left( {f\left({{{u}}^{{\rm{UB}}}},{{{u}}^{{\rm{LB}}}}\right) + } {\min \;\left({C_{\cos\! {\rm{t}}}}\right)} \right).$

式中： $f\left({{{u}}^{{\rm{UB}}}},{{{u}}^{{\rm{LB}}}}\right)$为风电出力和负荷波动范围函数， ${C_{\cos\! {\rm{t}}}}$为系统运行成本.

$f\left({{{u}}^{{\rm{UB}}}},{{{u}}^{{\rm{LB}}}}\right)$可以表达为上下波动范围面积的形式^[19]，通过调整权重系数满足相应的不确定性偏好需求，即

(6) $f\left({{{u}}^{{\rm{UB}}}},{{{u}}^{{\rm{LB}}}}\right) \!=\! \sum\limits_{t = 1}^{{N_{\rm{T}}}} {\left( {{\sigma _{\rm{w}}}\left(u_{{\rm{w}},t}^{{\rm{UB}}} \!-\! u_{{\rm{w}},t}^{{\rm{LB}}}\right){\rm{ + }}{\sigma _{\rm{d}}}\left(u_{{\rm{d}},t}^{{\rm{UB}}} - u_{{\rm{d}},t}^{{\rm{LB}}}\right)} \right)}. $

式中： $u_{{\rm{w,}}t}^{{\rm{UB}}}$和 $u_{{\rm{w,}}t}^{{\rm{LB}}}$为风电出力的上界和下界， $u_{{\rm{d,}}t}^{{\rm{UB}}}$和 $u_{{\rm{d,}}t}^{{\rm{LB}}}$为负荷波动的上界和下界， ${\sigma _{\rm{w}}}$、 ${\sigma _{\rm{d}}}$分别为风电和负荷波动范围的权重系数.

系统运行成本具体表达如下：

(7) $ \begin{split} {C_{\cos \!{\rm{t}}}} =\;& \sum\limits_{t = 1}^{{N_{\rm{T}}}} {\left\{ {\sum\limits_{{{g}} = 1}^{{N_{\rm{G}}}} {\left( {{F_{{g}}}({P_{{{g}},t}}) + C_{{g}}^{{\rm{su}}}{u_{{{g}},t}} + C_{{g}}^{{\rm{sd}}}{v_{{{g}},t}}} \right)} } \right.}+ \\ &\sum\limits_{{{b}} = 1}^{{N_{\rm{B}}}} {C_{{{b}},t}^{{\rm{IL0}}}} L_{{{b}},t}^{{\rm{IL0}}} {\rm{ + }}\sum\limits_{{{b}} = 1}^{{N_{\rm{B}}}} {C_{{{b}},t}^{{\rm{IL}}}} L_{{{b}},t}^{{\rm{IL}}}{\rm{ + }} \sum\limits_{{{w}} = 1}^{{N_{\rm{W}}}} {C_{{{w}},t}^{{\rm{PUNS}}}P_{{{w}},t}^{{\rm{curt}}}} {\rm{ + }}\\ &\left.\sum\limits_{{{d}} = 1}^{{N_{\rm{D}}}} {C_{{{d}},t}^{{\rm{PUNS}}}P_{{{d}},t}^{{\rm{shed}}}} \right\}. \end{split} $

式中： $ {N}_{\rm{G}}$、 $ {N}_{\rm{B}}$、 $ {N}_{\rm{W}}$、 $ {N}_{\rm{D}}$分别为常规机组、可中断负荷、风电场和系统负荷的数目； ${P_{{{g}},t}}$、 $L_{{{b}},t}^{{\rm{IL0}}}$、 $L_{{{b}},t}^{{\rm{IL}}}$、 $P_{{{w}},t}^{{\rm{curt}}}$、 $P_{{{d}},t}^{{\rm{shed}}}$分别为 $t$时刻系统的常规机组出力、可中断负荷合同容量、中断负荷量、弃风量和切负荷量； ${F_{{g}}}( \cdot )$为常规机组的费用函数； $ {u}_{{g},t}{\text{、}}{v}_{{g},t}$分别为机组的启停标志，为0-1变量； $ {C}_{{g}}^{\rm{su}}{\text{、}}{C}_{{g}}^{\rm{sd}}$分别为机组的启停成本； $C_{{{b}},t}^{{\rm{IL0}}}$、 $C_{{{b}},t}^{{\rm{IL}}}$分别为单位可中断负荷的容量补偿和电量补偿成本； $C_{{{w}},t}^{{\rm{PUNS}}}$、 $C_{{{d}},t}^{{\rm{PUNS}}}$分别为单位弃风惩罚成本和切负荷成本.

一般地，常规机组的燃料费用可以表示成输出功率的二次函数，即

(8) ${F_{{g}}}({P_{{{g}},t}}) = {a_{{g}}}P_{{{g}},t}^2 + {b_{{g}}}{P_{{{g}},t}} + {c_{{g}}}.$

式中： ${a_{{g}}}{\text{、}}{b_{{g}}}{\text{、}}{c_{{g}}}$为系统燃料费用系数.

为了简化计算，参照陈金富等^[27]的做法，将该函数用线性函数近似表征如下：

(9) ${F_{{g}}}\left({P_{{{g}},t}}\right) = \frac{{{F_{{g}}}\left(P_{{g}}^{\max }\right) - {F_{{g}}}\left(P_{{g}}^{\min }\right)}}{{P_{{g}}^{\max } - P_{{g}}^{\min }}}\left({P_{{{g}},t}} - P_{{g}}^{\min }\right).$

式中： $P_{{g}}^{\max }$、 $P_{{g}}^{\min }$分别为机组出力上限和下限.

根据灵活性运行域的定义，电力系统须满足一定的灵活性水平. 在实际运行过程中，当系统灵活性不足时，会发生弃风或切负荷的现象，因此可以将弃风和切负荷的惩罚作为系统的灵活性约束，即

(10) $\sum\limits_{t = 1}^{{N_{\rm{T}}}} {\left\{ {\sum\limits_{{{w}} = 1}^{{N_{\rm{W}}}} {C_{{{w}},t}^{{\rm{PUNS}}}P_{{{w}},t}^{{\rm{curt}}}} {\rm{ + }}\sum\limits_{{{d}} = 1}^{{N_{\rm{D}}}} {C_{{{d}},t}^{{\rm{PUNS}}}P_{{{d}},t}^{{\rm{shed}}}} } \right\}} \leqslant \varepsilon. $

式中： $\varepsilon $为系统灵活性不足最大容许度.

为了保证系统稳定安全运行，还须满足以下约束：

1）常规机组启停约束：

(11) ${u_{{{g}},t}} - {v_{{{g}},t}} = {i_{{{g}},t}} - {i_{{{g}},t - 1}},$

(12) ${u_{{{g}},t}} + {v_{{{g}},t}} \leqslant 1,$

(13) $\left(t_{{{g}},t}^{{\rm{ON}}} - T_{{g}}^{\rm{U}}\right)\left({i_{{{g}},t - 1}} - {i_{{{g}},t}}\right) \geqslant 0,$

(14) $\left(t_{{{g}},t}^{{\rm{OFF}}} - T_{{g}}^{\rm{D}}\right)\left({i_{{{g}},t}} - {i_{{{g}},t - 1}}\right) \geqslant 0.$

式中： ${i_{{{g}},t}}$为 $t$时刻机组运行状态，为0-1变量； $t_{{{g}},t}^{{\rm{ON}}}$、 $t_{{{g}},t}^{{\rm{OFF}}}$分别为机组 $t$时刻已持续开机和停机时间； $T_{{g}}^{\rm{U}}$、 $T_{{g}}^{\rm{D}}$分别为机组最小持续开机和停机时间.

2）机组出力和爬坡约束：

(15) $0 \leqslant {P_{{{g}},t}} \leqslant P_{{{g}}}^{\max }{i_{{{g}},t}},$

(16) ${P_{{{g}},t}} - {P_{{{g}},t - 1}} \leqslant {R_{{\rm{U}},{{g}}}}\Delta t,$

(17) ${P_{{{g}},t - 1}} - {P_{{{g}},t}} \leqslant {R_{{\rm{D}},{{g}}}}\Delta t.$

式中： ${R_{{\rm{U}},{{g}}}}$、 ${R_{{\rm{D}},{{g}}}}$分别为机组向上爬坡最大速率和向下爬坡最大速率， $\Delta t$为爬坡时间间隔.

3）需求响应约束. 对于分时电价，为了提高用户参与TOU的积极性，须保证实施TOU后用户的总用电费用不会增加，且各时段电价处于合理范围内. 假定电价调整前后用电总量不变，须满足：

(18) $Q = {Q'_{\rm{p}}} + {Q'_{\rm{f}}} + Q_{\rm{v}}',$

(19) ${p_0}Q \geqslant {p_{\rm{p}}}{Q'_{\rm{p}}} + {p_{\rm{f}}}{Q'_{\rm{f}}} + {p_{\rm{v}}}Q_{\rm{v}}',$

(20) $p_k^{\min } \leqslant {p_k} \leqslant p_k^{\max };\;\;\;k = {\rm{p}},\;{\rm{f,}}\;{\rm{v}}.$

式中： $Q$为电价调整前所有时段的用电负荷总量， ${Q'_{\rm{p}}}$为在峰时段的用电负荷总量， ${Q'_{\rm{f}}}$为在平时段的用电负荷总量， ${Q'_{\rm{v}}}$为在谷时段的用电负荷总量， ${p_0}$和 ${p_{\rm{p}}}$、 ${p_{\rm{f}}}$、 ${p_{\rm{v}}}$分别为实施TOU前的电价和调整后的峰、平、谷电价， $p_k^{\min }$、 $p_k^{\max }$分别为各时段电价的上限和下限.

对于可中断负荷，其须满足签订合同容量和中断控制时间的限制^[28]，即

(21) $\;0 \leqslant L_{i,t}^{{\rm{IL}}} \leqslant I_i^tL_{i,t}^{{\rm{IL0}}},$

(22) $\sum\nolimits_{t = 1}^{{N_{\rm{T}}}} {I_i^t} \leqslant S_i^{{\rm{IL}}},$

(23) $\left(I_i^t - I_i^{t - 1}\right)\sum\nolimits_{k = 1}^{\pi _i^{{\rm{IL}}} + 1} {I_i^{t + k}} \leqslant \pi _i^{{\rm{IL}}}.$

式中： $I_i^t$为可中断负荷的调用状态，为0-1变量； $\pi _i^{{\rm{IL}}}$为用户 $i$的单次最大中断持续时长； $S_i^{{\rm{IL}}}$为用户 $i$的日内最大总中断时长.

4）电力平衡约束：

(24) $\sum\limits_{{{g}} = 1}^{{N_{\rm{G}}}} {{P_{{{g}},t}}} + \sum\limits_{{{w}} = 1}^{{N_{\rm{W}}}} {\left({P_{{{w}},t}} - P_{{{w}},t}^{{\rm{curt}}}\right)} = \sum\limits_{{{d}} = 1}^{{N_{\rm{D}}}} {\left({L_{{{d}},t}} - P_{{{d}},t}^{{\rm{shed}}}\right)} - \sum\limits_{{{b}} = 1}^{{N_{\rm{B}}}} {L_{{{b}},t}^{{\rm{IL}}}}. $

式中： ${L_{{{d}},t}}$为电价调整后的用户在 $t$时刻的负荷需求.

5）线路传输容量约束. 对于每个节点 $k$，定义其节点净输出功率为

(25) $ \begin{split} \zeta _k^t =\;& \sum\limits_{l \in k({\rm{out}})} {F_l^t} - \sum\limits_{l \in k({\rm{in}})} {F_l^t} = \sum\limits_{g \in {{{G}}_k}} {{P_{g,t}}} + \sum\limits_{b \in {{{B}}_k}} {L_{b,t}^{{\rm{IL}}}} + \\ &\sum\limits_{w \in {{{W}}_k}} {({P_{w,t}} - P_{w,t}^{{\rm{curt}}})} - \sum\limits_{d \in {{{D}}_k}} {({L_{d,t}} - P_{d,t}^{{\rm{shed}}})}. \end{split} $

式中： $l \in k({\rm{out}})$和 $l \in k({\rm{in}})$分别表示与母线 $k$相连的功率流出和功率注入的输电线路， $F_l^t$为线路 $l$在 $t$时刻的传输功率，G_k、B_k、W_k、D_k分别为连接在节点k处的所有发电机组、可中断负荷、风电机组、节点负荷的集合.

线路 $l$的直流潮流约束为

(26) $ - F_l^{\max } \leqslant \sum\limits_{k = 1}^N {{T_{l,k}}\zeta _k^t} \leqslant F_l^{\max }.$

式中： $N$为系统所有节点数， ${T_{l,k}}$为功率传输分布系数PTDF矩阵第 $l$行第 $k$列数值， $F_l^{\max }$为线路 $l$的最大有功传输功率.

采用鲁棒的思想对上述模型进行求解，因此其可以称为灵活性鲁棒运行域模型，考虑到表述方便，以灵活性运行域代指灵活性鲁棒运行域模型. 为了使求解过程表达更为简洁，现将灵活性运行域模型写成：

(27) $\left.\begin{array}{c} \max\; f({{{u}}^{{\rm{UB}}}},{{{u}}^{{\rm{LB}}}}){\rm{ + }}\mathop {\min }\limits_{\forall {{u}} \in [{{{u}}^{{\rm{LB}}}},{{{u}}^{{\rm{UB}}}}]} \;{{{c}}^{\rm{T}}}{{x}} + {{{b}}^{\rm{T}}}{{y}};\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\rm{s.t.}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{Fx}} \leqslant {{f}},\\ {{Ax}} + {{By}} \leqslant {{g}},\\ {{Hy}} + {{Du}} \leqslant {{h}},\\ {{{x}}_i} \in \{ 0,1\} ,\;{{y}} \geqslant {\bf{0}},\\ {{u}}_{\min }^{{\rm{LB}}} \leqslant {{{u}}^{{\rm{LB}}}} \leqslant {{{u}}^{{\rm{UB}}}} \leqslant {{u}}_{\max }^{{\rm{UB}}}. \end{array}\right\}$

式中： ${{x}}$为所有机组的启停变量和状态变量， ${{y}}$为机组出力、可中断负荷量、弃风量和切负荷量等连续调节变量， ${{u}}$为风电出力和负荷波动的不确定量， ${{F}}{\text{、}}{{H}}{\text{、}}{{D}}{\text{、}}{{A}}{\text{、}}{{B}}$为系数矩阵， ${{c}}{\text{、}}{{b}}{\text{、}}{{f}}{\text{、}}{{g}}{\text{、}}{{h}}$为各变量和约束对应的向量， ${{u}}_{\max }^{{\rm{UB}}}$和 ${{u}}_{\min }^{{\rm{LB}}}$为根据实际情况对不确定量上、下界进行预先的范围限制.

可以看出，式（27）为多层鲁棒优化问题，难以直接进行计算，考虑到 $f\left({{{u}}^{{\rm{LB}}}},{{{u}}^{{\rm{UB}}}}\right)$的最大值等价于 $ - f\left({{{u}}^{{\rm{LB}}}},{{{u}}^{{\rm{UB}}}}\right)$最小值，可以将其转化为以下问题：

(28) $\left. \begin{array}{l}\min\; \left[{{{c}}^{\rm{T}}}{{x}} - f\left({{{u}}^{{\rm{LB}}}},{{{u}}^{{\rm{UB}}}}\right) + \mathop {\max }\limits_{{{u}} \in \left[{{{u}}^{{\rm{LB}}}},\;{{{u}}^{{\rm{UB}}}}\right]} \mathop {\min }\limits_{{{y}} \in \varOmega ({{x}},{{u}})} {{{b}}^{\rm{T}}}{{y}}\right];\\ {\rm{s.t.}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{Fx}} \leqslant {{f}},\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{{x}}_i} \in \{ 0,1\} ,\;\;{{u}}_{\min }^{{\rm{LB}}} \leqslant {{{u}}^{{\rm{LB}}}} \leqslant {{{u}}^{{\rm{UB}}}} \leqslant {{u}}_{\max }^{{\rm{UB}}}.\end{array}\right\}$

式中： $\varOmega ({{x}},{{u}})$为在给定 ${{x}}$和 ${{d}}$下 ${{y}}$的可行范围，满足 $\varOmega ({{x}},{{u}}) = \{ {{y}}|{{Ax}} + {{By}} \leqslant {{g}},{{Hy}} + {{Du}} \leqslant {{h}}\} $.

针对式（28），其本质为在给定的运行条件下，求解机组运行的最优组合方式和允许不确定变量 ${{u}}$最大波动区间，使 ${{u}}$在所得区间范围内任意波动均能满足系统灵活性要求. 为此，本研究提出极限场景法和基于列和约束生成的鲁棒优化算法进行求解.

根据以上分析可知，电力系统能够满足灵活性运行域内任意风电出力或负荷波动情况，其允许不确定量变化的最大值对应于运行域的边界. 故可以利用功率波动的极限场景将原鲁棒问题转化为多个场景问题，进而确定灵活性运行域的范围.

首先，定义波动向量 ${{e}}_{\lim }^0$和 ${{e}}_{\lim }^1$，在系统运行时间 ${N_{\rm{T}}}$内其具体表达式为

(29) ${{e}}_{\lim }^0 = \left[0,1,0, \cdots ,\left[{( - 1)^{{N_{\rm{T}}}}} + 1\right]/2\right],$

(30) $ {{e}}_{\lim }^1 = \left[1,0,1, \cdots ,\left[{( - 1)^{{N_{\rm{T}}} + 1}} + 1\right]/2\right]. $

在系统灵活性运行域内，以风电场为例，设其预测出力 ${{P}}_{\rm{w}}^*$、实际出力 ${{{P}}_{\rm{w}}}$，定义风电出力运行上下界偏移量分别为 ${{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{UB}}}$、 ${{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{LB}}}$，可以得到

(31) ${{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{UB}}} = {{P}}_{\rm{w}}^{{\rm{UB}}} - {{P}}_{\rm{w}}^*,$

(32) $ {{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{LB}}} = {{P}}_{\rm{w}}^* - {{P}}_{\rm{w}}^{{\rm{LB}}}. $

风电场出力主要包括以下3种极限波动情况.

1）情况1. 在预测值和运行上界间波动，可以分为2个子场景：

(33) ${{P}}_{\rm{w}}^{{\rm{s}},1 - 1} = {{P}}_{\rm{w}}^* + {{e}}_{\lim }^0 \circ {{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{UB}}},$

(34) ${{P}}_{\rm{w}}^{{\rm{s}},1 - 2} = {{P}}_{\rm{w}}^* + {{e}}_{\lim }^1 \circ {{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{UB}}}.$

式中： ${{e}}_{\lim }^0 \circ {{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{UB}}}$为 ${{e}}_{\lim }^0$每个元素与 ${{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{UB}}}$相同位置元素的乘积向量，结构仍为 $1 \times {N_{\rm{T}}}$； ${{e}}_{\lim }^1 \circ {{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{UB}}}$同理可得.

2）情况2. 在预测值和运行下界间波动，同样地，可以分为2个子场景：

(35) ${{P}}_{\rm{w}}^{{\rm{s}},2 - 1} = {{P}}_{\rm{w}}^* - {{e}}_{\lim }^0 \circ {{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{LB}}},$

(36) ${{P}}_{\rm{w}}^{{\rm{s}},2 - 2} = {{P}}_{\rm{w}}^* - {{e}}_{\lim }^1 \circ {{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{LB}}}.$

3）情况3. 在运行上界和下界间波动，分为如下2个子场景：

(37) ${{P}}_{\rm{w}}^{{\rm{s}},3 - 1} = {{P}}_{\rm{w}}^*{\rm{ + }}{{e}}_{\lim }^0 \circ {{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{UB}}} - {{e}}_{\lim }^1\circ {{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{LB}}},$

(38) ${{P}}_{\rm{w}}^{{\rm{s}},3 - 2} = {{P}}_{\rm{w}}^*{\rm{ + }}{{e}}_{\lim }^1 \circ {{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{UB}}} - {{e}}_{\lim }^0 \circ {{\varDelta }}_{\rm{w}}^{{\rm{LB}}}.$

针对以上3种情况，在计算上先分析情况1、2，分别求取波动范围的上界和下界；在此基础上对情况3展开研究，进一步确定风电允许波动范围. 当同时考虑风电出力和负荷波动时，可以对各场景进行组合.

通过以上分析可以得到多个确定性场景，记每个场景不确定量的实际值为

(39) ${{{u}}^{\rm{s}}} = {{{u}}^ * }{\rm{ + }}{{\rho }}_1^{\rm{s}} \circ {{\Delta }}{{{u}}^{{\rm{UB}}}} - {{\rho }}_2^{\rm{s}} \circ {{\Delta }}{{{u}}^{{\rm{LB}}}}.$

式中： ${{{u}}^ * }$为不确定量的预测值， ${{\Delta }}{{{u}}^{{\rm{UB}}}}$和 ${{\Delta }}{{{u}}^{{\rm{LB}}}}$分别为允许不确定量波动的上界和下界， ${{\rho }}_1^{\rm{s}}$和 ${{\rho }}_2^{\rm{s}}$为由波动向量 ${{e}}_{\lim }^0$和 ${{e}}_{\lim }^1$组合构成的极限场景.

那么针对每个场景，有

(40) $\left.\begin{array}{c}\min\;[{{{c}}^{\rm{T}}}{{x}} - f({{{u}}^{{\rm{LB}}}},{{{u}}^{{\rm{UB}}}}) + {{{b}}^{\rm{T}}}{{y}}];\\ {\rm{s.t.}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{Fx}} \leqslant {{f}},\\ {{}}{{Ax}} + {{By}} \leqslant {{g}},\\ {{Hy}} + {{Du}} \leqslant {{h}},\\ {{{x}}_i} \in \{ 0,1\} ,\;{{y}} \geqslant {{0}},\;{{u}} = {{{u}}^{\rm{s}}}.\end{array}\right\}$

可以看出，式（40）为混合整数规划问题（MILP），可以直接调用Gurobi或Cplex求解器进行优化计算. 根据各场景的求解结果，可以得到系统灵活性运行域的上界 ${{{u}}^{{\rm{LB}}}}$和下界 ${{{u}}^{{\rm{LB}}}}$分别为

(41) ${{{u}}^{{\rm{UB}}}}{\rm{ = min\;(}}{{{u}}^ * } + {{\Delta }}{{{u}}^{{\rm{UB}}}}{\rm{)}},$

(42) ${{{u}}^{{\rm{LB}}}}{\rm{ = max\;(}}{{{u}}^ * } - {{\Delta }}{{{u}}^{{\rm{LB}}}}{\rm{)}}.$

由于式（28）中的目标函数为min-max-min三层鲁棒优化问题，无法直接求解. 为此，本研究基于列和约束生成（C&CG）算法^[21]将该问题分解为主问题和max-min双层子问题进行迭代求解，在迭代过程中，子问题向主问题返回原切平面约束；在处理上，通过强对偶理论将双层子问题转化为单层优化问题，当迭代收敛时即可以获得原问题的计算结果.

主问题根据风电出力和负荷预测结果制定机组启停计划并计算灵活性运行域，其模型为

(43) $\left. \begin{array}{c}\min\; \;{{{c}}^{\rm{T}}}{{{x}}^0} - f({{{u}}^{{\rm{LB}}}},{{{u}}^{{\rm{UB}}}}){\rm{ + }}{{\eta }};\\ {\rm{s.t.}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{\eta }} \geqslant {{{b}}^{\rm{T}}}{{{y}}^0},\\ {{F}}{{{x}}^0} \leqslant {{f}},\\ {{A}}{{{x}}^0} + {{B}}{{{y}}^0} \leqslant {{g}},\\ {{H}}{{{y}}^0} + {{D}}\overline {{u}} \leqslant {{h}},\\ {{{x}}_i} \in \{ 0,1\} ,\;{{y}} \geqslant {\bf{0}},\\ {{u}}_{\min }^{{\rm{LB}}} \leqslant {{{u}}^{{\rm{LB}}}} \leqslant {{{u}}^{{\rm{UB}}}} \leqslant {{u}}_{\max }^{{\rm{UB}}}.\end{array}\right\}$

式中： ${{\eta }}$为调整变量； ${{{x}}^0}$、 ${{{y}}^0}$为在现有条件下制定的机组启停计划、机组出力计划和中断负荷等变量； $\overline {{u}} $为不确定量的预测结果； ${{u}}_{\min }^{{\rm{LB}}}$、 ${{u}}_{\max }^{{\rm{UB}}}$为不确定量的波动下界和波动上界，可以结合极限场景法或实际运行要求对其进行预处理.

子问题根据主问题的求解结果对系统经济调度和灵活性运行域进行修正，由强对偶理论可知，其max-min优化目标函数 ${{{b}}^{\rm{T}}}{{y}}$可以对偶成以下问题

(44) $\left.\begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{{{u}},{{\lambda }},{{\varphi }}} \;{{{\lambda}} ^{\rm{T}}}({{A}}{{{x}}^0} - {{g}}) + {{{\varphi }}^{\rm{T}}}({{Du}} - {{h}});\\ {\rm{s.t.}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - {{{\lambda }}^{\rm{T}}}{{B}} - {{{\varphi }}^{\rm{T}}}{{H}} \leqslant {{{b}}^{\rm{T}}},\\ {{\lambda }} \geqslant {{0}},\;{{\varphi }} \geqslant {{0}},\;{{u}} \in [{{{u}}^{{\rm{LB}}}},{{{u}}^{{\rm{UB}}}}].\end{array}\right\}$

式中： ${{{x}}^0}$、 ${{{u}}^{{\rm{LB}}}}$、 ${{{u}}^{{\rm{UB}}}}$为主问题的求解结果， ${{\lambda }}$、 ${{\varphi }}$为对偶优化变量， ${{u}}$为不确定量的实际值.

在式（44）中，双线性项 ${{{\varphi }}^{\rm{T}}}{{Du}}$的存在使得该问题非凸，给求解带来了较大难度. 考虑到 ${{u}}$在 $\left[{{{u}}^{{\rm{LB}}}}, $ $ {{{u}}^{{\rm{UB}}}}\right]$范围内波动，可以引入各元素均为0-1变量的向量 ${{{z}}^ + }$和 ${{{z}}^ - }$，得到

(45) ${{u}} = \overline {{u}} + \Delta {{{u}}^{{\rm{UB}}}}\circ {{{z}}^ + } - {{\Delta }}{{{u}}^{{\rm{LB}}}}\circ {{{z}}^ - },$

(46) ${{{z}}^ + } + {{{z}}^ - } = {\bf{1}}.$

把式（45）、（46）代入式（44）中，得到2个双线性项 ${{{\varphi }}^{\rm{T}}}{{D(\Delta }}{{{u}}^{{\rm{UB}}}}\circ {{{z}}^ + })$和 ${{{\varphi }}^{\rm{T}}}{{D(\Delta }}{{{u}}^{{\rm{LB}}}}\circ {{{z}}^ - })$，考虑 ${{{z}}^ + }$和 ${{{z}}^ - }$均为0-1变量，可以采用大M法添加辅助变量 ${{{\theta }}^ + }$和 ${{{\theta }}^ - }$进行处理^[21]，以 ${{{\theta }}^ + }$为例，设 ${M_1}$为足够大的正数，有

(47) $\left.\begin{array}{c}{{{\theta }}^ + } \geqslant - {M_1}{{{z}}^ + },\\ {{{\theta }}^ + } \leqslant {M_1}{{{z}}^ + },\\ {{{\theta }}^ + } \leqslant {{{\varphi }}^{\rm{T}}}{{D\Delta }}{{{u}}^{{\rm{UB}}}} + {M_1}({\bf{1}} - {{{z}}^ + }),\\ {{{\theta }}^ + } \geqslant {{{\varphi }}^{\rm{T}}}{{D\Delta }}{{{u}}^{{\rm{UB}}}} - {M_1}({\bf{1}} - {{{z}}^ + }).\end{array}\right\}$

同理，可以得到辅助变量 ${{{\theta }}^ - }$相应的线性化约束条件. 根据子问题的求解结果，向主问题中返回约束：

(48) $\left.\begin{array}{c}{{\eta }} \geqslant {{{b}}^{\rm{T}}}{{y}}_{(k)}^{\rm{s}},\\ {{Hy}}_{(k)}^{{{\rm{s}}}} + {{D}}(\overline {{u}} + {{\Delta }}{{{u}}^{{\rm{UB}}}}\circ {{z}}_k^ + - {{\Delta }}{{{u}}^{{\rm{LB}}}}\circ {{z}}_k^ - ) \leqslant {{h}}.\end{array}\right\}$

式中： ${{z}}_k^ + $和 ${{z}}_k^ - $为第 $k$次迭代中子问题返回的波动变量， ${{y}}_{(k)}^{{{\rm{s}}}}$为在子问题返回的第 $k$次波动场景下机组出力、可中断负荷量连续调节变量.

因此，基于C&CG的鲁棒优化算法步骤如下. 1）初始化，设置目标函数上界 ${U_{\rm{B}}} = \infty $和下界 ${L_{\rm{B}}} = $ $ - \infty $；设置迭代次数 $k = 1$和收敛判据 $\delta $. 2）求解式(43)主问题，得到目标函数 ${V_k}$和优化变量 $ {{{x}}}_{k}^{0}$、 ${{{u}}}_{k}^{\rm{LB}}$、 ${{{u}}}_{k}^{\rm{UB}}$，及目标函数下界 ${L_{\rm{B}}} = {V_k}$. 3）求解式（44）子问题，得其目标函数 ${J_k}$以及波动变量 ${{z}}_k^ + $和 ${{z}}_k^ - $，返回约束（48）到主问题中，更新目标函数上界 ${U_{\rm{B}}} = $ $ {{{c}}^{\rm{T}}}{{x}}_k^0 - f({{u}}_k^{{\rm{LB}}},{{u}}_k^{{\rm{UB}}}) + {J_k}$. 4）收敛性判断，如果 $|({U_{\rm{B}}} - $ $ {L_{\rm{B}}})/{L_{\rm{B}}}| < \delta $，则问题收敛，停止迭代；否则 $k = k + 1$，返回步骤2）. 综上，可以得到电力系统灵活性运行域的求解流程，如图1所示.

基于MATLAB 2018a平台对6节点系统和IEEE RTS-39节点系统进行仿真，调用商业求解器Gurobi 8.1.0对优化问题进行求解. 取日内调度时间数 ${N_{\rm{T}}} = 24$，除特别说明外，可中断负荷的容量补偿和电量补偿价格分别设置为2、 ${\rm{15\;\$ /MW}}$，弃风惩罚和切负荷惩罚成本分别设置为10、 ${\rm{100\;\$ /MW}}$，迭代收敛判据设置为 $\delta {\rm{ = }}0.01{\text{%}}$.

首先，对于6节点系统进行分析，其接线图如图2所示，该系统包含3台发电机、3个负荷和11条输电线路，在节点5处连接1个装机容量为200 MW的风电场. 系统各时刻的负荷与风电预测数据如表1所示. 表中，L^*为负荷预测值.

在进行电力系统灵活性运行域计算之前，可以利用分时电价对系统负荷曲线进行优化，各时段区间的划分如表2所示.

对于价格的制定，设原电价 $ {p}_{0}=5\;\$/({\rm{MW}}\cdot {\rm{h}})$，根据孔强等^[23]的价格弹性系数，结合式（18）~（20）价格约束对各时段电价进行调整，得到实施TOU后峰、平、谷时段的电价分别为 $ {p}_{\rm{p}}{=6.0}\;\$/({\rm{MW}}\cdot {\rm{h}})$、 $ {p}_{\rm{f}}{=4}{.5}\;\$/({\rm{MW}}\cdot {\rm{h}})$和 $ {p}_{\rm{v}}{=3.0}\;\$/({\rm{MW}}\cdot {\rm{h}})$，且调整前、后系统负荷曲线如图3所示. 可以看出，在实施分时电价后，系统负荷的日峰谷差由121.15 MW降到91.18 MW，降低了24.74%. 从用户侧来看，实施分时电价前、后用户用电总量未发生变化，但是用电总费用由 $4.940\;2 \times $ $ {10^4}\;\$ \; $变为 $4.760\;9 \times {10^4}\;\$ \; $，降低了3.63%，有利于提高需求响应的参与度. 在此基础上，可以与用户签订可中断负荷合同，本研究取其中断合同容量为预测用户负荷的5%.

为了保证优化问题有解，应先对预测的源荷功率场景进行最优潮流计算并求其灵活性不足度 ${\varepsilon _0}$，然后令系统灵活性不足最大容许度 $\varepsilon $满足 $\varepsilon > {\varepsilon _0}$，分别利用极限场景法（ESM）和基于C&CG的鲁棒优化算法（CRO）对运行域进行求解. 在本节点系统中设 $\varepsilon = 0$，其灵活性运行域计算结果如图4所示. 图中，采用ESM和CRO的计算结果各有上下2条线，分别表示所得运行域的上界和下界. 在灵活性运行域计算上，极限场景法和基于C&CG的鲁棒优化算法所得结果大致相同. 当负荷或风电变化越大，相应的灵活性运行域区间则越窄，这是由于当电网的功率发生变化时，为了保障系统正常运行需要多种调节资源参与，且功率变化越大所需要的调节资源则越多，使得剩余调节资源能够支撑的运行域范围越小. 针对日负荷变化情况，其在谷时段的向上灵活性运行域范围大于向下灵活性运行域范围，而在峰时段的向下灵活性运行域范围则大于向上灵活性运行域范围，因此实施分时电价调节方式在削减负荷峰谷差的同时也有利于提高系统灵活性运行域的范围；对于风电波动，可以看出，当其“反调峰”特性较为明显时，风电向上灵活性运行域范围大于向下灵活性运行域范围，即此时系统对风电向上波动具有较好的消纳能力.

此外，由图4中运行域的区间范围也可以发现，利用ESM计算所得结果范围要略小于CRO的计算结果范围，这是因为灵活性是表征系统应对功率变化的能力，ESM将各功率波动场景极限化进行求解，保守性较高，但随着系统规模的扩大，ESM所需要的场景数量也越多，在构建上也更为复杂.

在实际计算中，可以根据系统对不确定量变化的偏好程度调整风电及负荷波动范围的权重系数 ${\sigma _{\rm{w}}}$和 ${\sigma _{\rm{d}}}$. 以灵活性运行域面积S作为研究对象，设定 ${\sigma _{\rm{d}}}{\rm{ = }}100$，利用极限场景法求解在不同风电/负荷权重比下的运行域范围，所得结果如图5所示. 可以看出，当风电/负荷权重系数比在1附近时，灵活性运行域面积变化的灵敏度较高；随着风电/负荷权重系数比的增大，负荷灵活性运行域面积逐渐减小而风电灵活性运行域面积逐渐增加，但两者之和基本不变；在对风电/负荷权重系数比进行调节的过程中，灵活性运行域面积的改变具有“阶梯性”，即在变化后的一段范围内保持恒定，且权重系数比距离1越远，梯度越小.

考虑系统运行过程中，可以接受一定的灵活性不足情况. 为此，针对风电和负荷的波动情况，分别利用极限场景法（ESM）和基于C&CG的鲁棒优化算法（CRO）计算不同灵活性不足、最大容许度 $\varepsilon $下的灵活性运行域（FOR）面积. 其中，风电灵活性运行域面积计算结果如表3所示，负荷灵活性运行域结果见图6. 表中，t为计算时间.

根据表3计算结果可知，在 $\varepsilon = 0$时，ESM和CRO对风电灵活性运行域的计算结果偏差为2.58%，而随着 $\varepsilon $的逐渐增大，两者计算结果偏差越来越小，当 $\varepsilon = 400$时偏差降为0.05%，其原因在于为了保证灵活性运行域的实际计算意义，防止在个别时段过度优化，已经提前对其范围进行了初步限制，随着运行域的变大，这些限制条件起到了一定的约束作用. 另外，在计算时间上，ESM方法计算时间要略大于CRO方法，且随着 $\varepsilon $的增大，2种方法的计算时间总体均有所增加，这是因为ESM本质上是借助波动向量的组合实现极限场景的快速穷举，须对每个场景进行优化求解，而CRO的计算速度主要取决于子问题波动场景的计算时间以及迭代次数；另一方面，随着 $\varepsilon $的增大，其为求解带来了更多灵活性资源优化分配的协调问题，使得计算时间有所增加.

在上述分析的基础上，对IEEE RTS-39节点系统展开进一步研究，该系统的接线如图7所示，节点4、27处分别接入装机容量为900、600 MW的风电场，系统的负荷预测和风电场的出力预测数据如表4所示. 表中，P^* _w,1、P^* _w,2分别为风电场1、2预测出力.

为了研究需求响应对电力系统灵活性运行域的影响，对以下4种方案进行分析：1）方案1，不考虑分时电价和可中断负荷的参与；2）方案2，计及分时电价，但不考虑可中断负荷的参与；3）方案3，计及可中断负荷，但不考虑分时电价的参与；4）方案4，计及分时电价和可中断负荷的共同参与. 由于在复杂系统中利用ESM直接构建极限场景较为困难，本算例采用CRO对灵活性运行域进行求解，设灵活性不足最大容许度 $\varepsilon {\rm{ = }}0$，以风电为例，所得结果如表5所示.表中，基准运行成本和运行利润为未考虑风电波动的系统的运行成本和运行利润；最恶劣工况运行成本和运行利润为风电在灵活性运行域范围内任意波动产生的最大运行成本及此时的运行利润. 可以看出，与方案1相比，方案2中分时电价通过负荷削峰填谷在降低系统运行成本的同时提高了系统的基准运行利润和灵活性运行域的范围，但最恶劣工况下的运行利润却有所减少，这是由于灵活性运行域的增大反映了系统抵御不确定因素能力的提升，且更恶劣的工况会降低系统的运行利润；方案3由于签订了可中断负荷容量合同，在提高系统运行的灵活性和安全性的同时在一定程度上降低了系统的经济性；方案4考虑分时电价和可中断负荷的参与，较于方案1，其在降低系统基准运行利润4.14%的同时使灵活性运行域的面积增加了19.97%，实现了2种需求响应机制的协同.

考虑到网络阻塞和各调节资源的性能都会对电力系统的灵活运行产生影响，本研究将系统各时点的灵活性运行域平均值和标准差作为评价指标. 以风电为例，设灵活性不足最大容许度 $\varepsilon {\rm{ = }}0$，分析线路传输容量、可中断负荷容量和机组爬坡速率对系统灵活性运行域的影响，计算结果如图8所示. 图中，μ_FOR、σ_FOR分别为FOR平均值、标准值，F_l^max、F₀^max分别为线路、原线路传输容量，R_g、R_g ⁰分别为机组、原机组爬坡速率.

由图8（a）可以看出，当线路传输存在阻塞现象时，对传输容量进行扩容有利于系统抵御不确定因素的波动，但从标准差指标变化上来看，传输容量的扩容使得运行域范围的均匀性有所降低，即其在恶劣工况下灵活性提升效率有所减少；由图8（b）可以看出，随着可中断负荷容量的增加，灵活性运行域的平均值呈线性增长，但标准差的变化不具有单调性，当可中断负荷容量比约为0.025时，灵活性提升效率较高，如果容量比过高会使得系统运行的经济性大幅度降低；由图8（c）可以看出，提升机组爬坡速率能够有效增强系统的灵活性，在扩大运行域范围的同时改善运行域的均匀性，但机组爬坡速率的提升一般费用较高且在电网规划中进行，限于篇幅，本研究暂不展开进一步的讨论.

为了评估系统应对不确定因素波动的能力，提出电力系统灵活性运行域（PSFOR）的概念并建立相应的数学模型；在计算上，提出极限场景法和基于C&CG的鲁棒优化算法对所建立的运行域数学模型进行求解，并利用6节点系统和IEEE RTS-39节点系统对所提方法进行仿真验证.

（1）灵活性运行域可以直观地反映系统的运行状态和所能接受的功率波动范围，能够为电网的调度运行提供一定的理论指导作用.

（2）与基于C&CG的鲁棒优化算法相比，极限场景法原理简单，但保守性更高，在场景的构建上随着系统规模的不断增大而变得更加复杂，主要适用于小节点系统.

（3）通过调节风电/负荷权重系数比可以满足系统对源-荷波动的偏好需求，且在权重系数比调节过程中，灵活性运行域的变化具有一定的“阶梯性”.

（4）引入需求响应机制能够以较小的成本增大电力系统灵活性运行域的范围，从而提升系统抵御不确定因素的能力.

（5）提高线路传输容量和可中断负荷容量有利于增强系统的灵活性，但须考虑其在恶劣工况下的效率问题；提升机组爬坡速率在增大运行域范围同时可以改善其均匀性，但一般在规划中进行研究.

下一步将结合灵活性运行域的概念对电力系统的规划进行研究，探索如何有效配置调节资源从而实现系统的安全可靠、经济灵活运行.