随着全球经济的一体化，海上集装箱货物的运输作业也取得了突飞猛进的发展. 在相对复杂的海上作业中，船舶会受到风、浪以及自身航行等因素的影响产生横摇、纵摇、首摇、横荡、纵荡、升沉运动等6个方向的运动^[1-2]. 这些运动导致货物的碰撞、悬空和摇晃等危害，无疑给海洋平台作业运作带来安全问题. 在这6个不规则运动中，船舶运动过程中的横荡、纵荡、首摇都可以借助船舶的动力定位或者锚泊技术实现补偿^[2-3]. 剩余横摇、纵摇、升沉这3个不规则运动则较难借助船舶自身动力定位或者锚泊技术实现补偿，其中沿竖直方向的升沉运动是引起货物与甲板碰撞的主要原因，而横摇和纵摇是造成起吊设备摇晃的重要原因. 因此，升沉、横摇、纵摇这3个方向上的运动补偿是实现海上平台安全作业的关键技术.

从上世纪末开始，研究人员对波浪补偿技术进行了大量研究，实现了从单自由度运动补偿逐渐向多自由度运动补偿的快速发展. 波浪补偿方式按照控制力的执行方式可以分为被动式补偿和主动式补偿^[4]. 被动式波浪补偿主要是根据绳子张力的变化来控制补偿参数，属于单自由度的恒力补偿^[5-6]. 传统的设计方法导致机构补偿精度低和响应慢，补偿效果不理想. 主动式波浪补偿技术是利用传感器检测到船舶位姿信号来产生补偿所需要的动力驱动信号，再通过控制执行器来实现波浪运动补偿^[7-11]. 目前，主动式波浪补偿大多只能实现一个升沉方向上的精确补偿，对风浪产生的横摇和纵摇方向几乎没有补偿效果. 为了保证货物安全且精准地吊装，以应对复杂海况，波浪补偿系统必须具备多自由度运动补偿功能，以实现横摇、纵摇、升沉这3个方向上的波浪运动补偿.

目前，大部分多自由度波浪补偿技术主要是依靠纯刚性或者绳驱动并联机构来实现^[12-19]. 纯刚性并联机构波浪补偿装置承载能力大、精度高，但工作空间小、质量和惯量大、液压驱动响应慢. 与纯刚性并联机构相比，绳驱动波浪补偿装置可以减少驱动器的重量和惯性，使得补偿装置具有较高的动态性、快速的响应性和较大的工作空间. 但是，绳驱动波浪补偿装置的承载能力小，同时绳子与绳子之间也可能存在干涉. 在绳驱动波浪补偿装置中可以添加刚性支链组成刚柔混合式波浪补偿装置，这样既有传统刚性并联机构的刚度大且精度高的优点，又兼具绳驱动并联机构的低惯量且大工作空间的优点. 因此，本研究创新设计刚柔混合驱动式并联机构，实现船舶之间的波浪补偿功能.

目前，已经有学者对刚柔混合并联机构进行了研究. 例如，郭浩等^[20]提出电致动聚合物（electro-active polymer，EPA）和绳索混合驱动机器人，但是其承载能力较小，且EPA信号有较大的不确定性. 王立东等^[21]研制了六自由度绳驱动刚柔混合并联补偿机构，但是由于实现对船舶6个方向的完全补偿，驱动绳之间易造成碰撞干涉且控制较为复杂. 陈涛等^[22]设计了刚柔混合并联柔顺装配装置，该装置结构复杂且工作空间小，无法将其运用于波浪补偿技术中. 美国佛杰尼亚大学^[23]设计了结合绳子和中间刚性支链的混合驱动式超冗余机器人，然而该机器人的承载能力有限. Zi等^[24]将传统刚性并联机器人中的部分刚性支链用绳子替代，设计出刚柔混合驱动式并联机构，但是该机构的震荡性较大、动态性较差. 在复杂海况条件下吊装时，波浪补偿装置不仅须对横摇、纵摇、升沉3个方向上的波浪运动进行补偿，而且须具有一定的承载能力，较大的工作空间，甚至要求补偿装置的震荡性低、响应快、动态性好. 因此，本研究创新设计三自由度刚柔混合驱动主动式波浪补偿装置.

设计三自由度刚柔混合驱动式波浪补偿装置；采用螺旋理论对刚柔混合式波浪补偿装置进行自由度计算，验证补偿的可行性；利用几何封闭法建立刚柔混合驱动式波浪补偿装置的逆解模型，并利用几何法求解该装置动平台的位姿正解；构建该装置的速度雅可比矩阵，分别建立输出速度与输入速度之间，以及输出加速度与输入加速度之间的映射关系；建立系统刚度矩阵，分析影响系统刚度的因素. 通过实验验证，证明该补偿机构能够实现横摇、纵摇、升沉这3个方向上的波浪运动补偿.

在复杂的海况运动影响下，海上的船舶产生6个方位的运动，不仅造成船舶自身的晃动，更造成船舶货物补给中的货物损坏. 4级海况造成的最大船舶横摇倾斜角为6.43°，平均角度为2.78°，船舶纵摇的最大倾斜角为5.27°，平均角度为2.30°，浪高约为7 m，6级海况造成船舶横摇最大倾斜角为15.00°，纵摇最大倾斜角为13.52°，浪高约为12 m，而海面有90%以上的时间处于4~6级海况下^[3，25]. 因此，为了减小船舶晃动造成的货物补给中的损坏，提高容错率，提出刚柔混合主动式波浪补偿并联机构.

如图1（a）所示为刚柔混合主动式波浪补偿并联机构的补偿原理图. 在海上实施并靠补给时，补给船和被补给船在锚泊的状态下并靠在一起，利用缆绳或者缓冲垫将两船连接起来，通过吊装设备将补给船上的货物吊到被补给船上. 如图1（b）所示为该刚柔混合波浪补偿并联机构的运动调整图. 可以看出，为了实现横摇、纵摇、升沉3个自由度的补偿运动，刚柔混合并联补偿机构由中间刚性支链和3根驱动绳来实现三自由度的运动补偿，并通过位姿传感器进行实时监测与控制. 位姿传感器将检测到的波浪运动造成的两船之间的相对运动传递给控制器，然后控制器根据这些信号计算出控制量，即执行器各个电机的位移、速度或者转矩，并将这些控制量输出到执行器中. 波浪补偿并联机构的每根绳子由一个电机控制，中间刚性支链也是由一个电机控制. 当传感器检测到补给船和被补给船之间有横摇、纵摇的相对运动时，则产生相应的控制信号，继而控制电机运动产生运动和力矩，通过绳子、中间刚性支链以及万向节，使得动平台产生如图2（a）所示的绕X轴转动和如图2（b）所示绕Y轴转动的运动，控制动平台产生横摇、纵摇的运动来补偿吊装货物与船舶之间的相对运动. 同理，当两船有升沉方向的相对运动时，可以通过绳子以及中间支链的运动使动平台产生如图2（c）所示沿Z轴的平动运动，动平台产生的升沉运动补偿两船之间的相对运动.

如图3所示为所设计的三自由度刚柔混合主动式波浪补偿并联机构，该机构由动平台、定平台、3条驱动绳子以及1条中间驱动支链组成. 3条驱动绳子可以控制动平台在2个方向上的转动自由度. 为了增强主动式波浪补偿并联机构的整体刚度，增加承载能力，在定平台与动平台之间加入1条UP刚性支链，支链与动平台以U副链接，刚性支链的驱动副是移动副.

根据机构分析须建立如图3所示的坐标系. 固定坐标系{O−x₀y₀z₀}位于定平台上，其中坐标原点O设置在定平台的几何中心，x₀沿着 $O{A_1}$方向，y₀垂直于中心点O和 ${A_2}{A_3}$中点的连线. 惯性坐标系{P−x_py_pz_p}位于动平台上，坐标系原点P位于动平台的几何中心，x_p沿着PB₁方向，y_p垂直于原点P和 ${B_2}{B_3}$中点的连线.

基于反螺旋自由度理论来分析机构的自由度. 构建如图4所示的分支坐标系{O_A−x_Ay_Az_A},主动支链在支链坐标系中可以将绳子1的运动表示为7个螺旋，所以绳子1的运动螺旋系为

(1) $ \left. \begin{array}{l} {\not S_{A1B1}} =\left\{{{\not S}_{i1}},\;{{\not S}_{i2}},\;\cdots,\;{{\not S}_{i7}}\right\},\\ {{\not S}_{i1}} = (1,0,0;0,0,0), \\ {{\not S}_{i2}} = (0,1,0;0,0,0) , \\ {{\not S}_{i3}} = (0,0,1;0,0,0), \\ {{\not S}_{i4}} = (0,0,0;a_{14}^{},0,{b_{14}}) , \\ {{\not S}_{i5}} = (1,0,0;0,0,{b_{15}},{c_{16}}), \\ {{\not S}_{i6}} = (0,1,0;{a_{16}},0,0) , \\ {{\not S}_{i7}} = (0,0,1;{a_{17}},0,0). \end{array} \right\} $

式中： $ {a}_{ij}{\text{、}}{b}_{ij}{\text{、}}{c}_{ij}$为螺旋线距的参数. 应用螺旋互易积为零的原理对绳子1的反螺旋进行求解，在{O_A−x_Ay_Az_A}坐标系下可以看出，在绳子1的运动螺旋的plücker表达式中，第1~6个元素中没有1个元素全为零，所以绳子1不具有约束螺旋，即不存在约束力通过绳子对动平台起约束作用.

中间UP刚性支链的螺旋可以表达为

(2) $ \left. \begin{array}{l} {\not S_{A4B4}} =\left\{{{\not S}_{01}},\;{{\not S}_{02}},\;{{\not S}_{03}}\right\},\\ {{\not S}_{01}} = (1,0,0;0,0,0) , \\ {{\not S}_{02}} = (0,1,0;0,0,0), \\ {{\not S}_{03}} = (0,0,0;0,0,{a_{43}}) . \end{array} \right\} $

同样，根据螺旋互易积为零的原理可以求出中间支链的反螺旋：

(3) $\left. \begin{array}{l} \not S_{A4B4}^{\rm{r}}=\left\{{{\not S}_{01}^{\rm{r}}},\;{{\not S}_{02}^{\rm{r}}},\;{{\not S}_{03}^{\rm{r}}}\right\},\\ {{\not S}_{01}^{\rm{r}}} = (1,0,0;0,0,0) , \\ {{\not S}_{{{02}}}^{\rm{r}}} = (0,1,0;0,0,0) , \\ {{\not S}_{03}^{\rm{r}}} = (0,0,0;0,0,1) . \end{array} \right\}$

绳子驱动支链属于零终端约束支链，所以机构自由度由中间PU刚性支链决定. 由式（3）可以看出， $\not S_{03}^{\rm{r}}$是沿着Z轴方向的螺旋力偶， $\not S_{01}^{\rm{r}}$、 $\not S_{02}^{\rm{r}}$分别为沿着X、Y轴方向的约束力，它们限制了动平台绕Z方向的转动，以及沿X、Y方向的平动. 所以，在约束力和约束力偶的限制下，该机构具有3个自由度，分别为沿着坐标系Z向的平动，以及绕X、Y方向的转动.

由自由度修正K-G公式可以将该机构的自由度表达为

(4) $M = d(n - g - 1) + \mathop {\sum {} }\nolimits_{i = 1}^g f_i^{} + v - \xi .$

式中：M为机构自由度数；d为机构阶数，平面机构为3，空间机构为6；n为包括机架的构件数目；g为机构中运动副数目； ${f_i}$为运动副的自由度；v为多环并联机构在去除公共约束的因素后冗余约束的数目； $\xi $为机构中存在的局部自由度. 在不考虑绳子的可压缩性能的前提下，将绳子简化成为SPS型支链，有d=6, n=9, g=11, $\displaystyle \sum\nolimits_{i=1}^g {{f_i} = 24} $，v=0， $\xi $=3. 由式（4）可以计算出该机构的自由度为3. 通过机构自由度修正K-G公式计算的自由度与螺旋理论分析结果一致.

刚柔混合主动式波浪补偿并联机构的运动学逆解能解决机构输出件的位置和姿态已知条件下机构输入件的位置和姿态问题. 然而，已知机构主动件位置，求解机构输出件的位置和姿态，这是刚柔混合主动式波浪补偿并联机构的正解问题. 本研究利用封闭几何法求解波浪补偿并联机构的位置逆解，采用几何分析法求解波浪补偿并联机构的位置正解.

刚柔混合主动式波浪补偿并联机构的位置逆解是在给定动平台动平台绕X轴转动的姿态角 $\alpha $、绕Y轴转动的姿态角 $\;\beta $、Z方向上的位置等条件下，求解绳子和中间支链长度的变化. 如图3所示，给定绳子与定平台链接点A_i在定坐标系{O−x₀y₀z₀}下位置向量为 ${{{A}}_1} = [a,0,0]$， $ {{{A}}}_{2}=[-0.5{{a}}, \sqrt{3}/ $ $ 2a,0]$， $ {{{A}}}_{3}=[-0.5{{a}},-\sqrt{3}/2a,0]$，a为固定平台的半径. 动平台相对于定平台的旋转变换矩阵 ${}_{{P}}^{{O}}{{R}}$可以通过动平台姿态角 $\alpha $、 $\beta $求得：

(5) ${}_{{P}}^{{O}}{{R}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}\;\beta }&0&{\sin \;\beta } \\ {\sin\; \alpha \sin\; \beta }&{\cos\; \alpha }&{ - \sin \;\alpha {\rm{cos}}\;\beta } \\ { - \sin \;\beta \cos \;\alpha }&{\sin\; \alpha }&{\cos\; \alpha {\rm{cos}}\;\beta } \end{array}} \right].$

动平台与绳子链接点 ${B_i}$在固定坐标系下的坐标为

(6) ${}^{{O}}{{{r}}_{Bi}} = {}_{{P}}^{{O}}{{{R}}_{}}{}^{{P}}{{r}}_{Bi}^{} + {{{r}}_{O1}}.$

式中： ${}^{{P}}{{{r}}_{Bi}}$为点 ${B_i}$在惯性坐标下的位置矢量， ${}^{{P}}{{{r}}_{B1}} = $ $ [ b,\;\;0,\;\;0 ]^{\rm{T}}$， ${}^{{P}}{{{r}}_{B2}} = \left[ - \dfrac{1}{2}b,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}b,0\right]^{\rm{T}}$， ${}^{{P}}{{{r}}_{B3}} \!=\! \left[ - \dfrac{1}{2}b, - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}b, $ $ 0\right]^{\rm{T}}$，b为动平台的半径； ${{{r}}_{O1}}$为动平台中心位置P变换前在坐标系{O−x₀y₀z₀}中的矢量表达， ${{{r}}_{O1}}$=[0, 0, − h_m]^T.

根据几何封闭关系 $\overrightarrow {{B_i}{A_i}} = \overrightarrow {O{B_i}} - \overrightarrow {O{A_i}} $，每根绳子的矢量表达式L_i在固定坐标系下可以表示为

(7) ${{L}_i} = {}^O{{r}_{Bi}} - \overrightarrow {O{A_i}} .$

将式（6）和 $\overrightarrow {O{A_i}} $代入式（7）中，可以得到动平台位姿和3条绳子长度之间的关系：

(8) $\left. \begin{array}{l} {l_1} = {\left[ {{{\left(b\cos\; \beta - a\right)}^2} + {{\left(b\sin\; \alpha \sin\; \beta \right)}^2} + {{\left(b\cos\; \alpha \sin\; \beta + {h_{\rm{m}}}\right)}^2}} \right]^{1/2}} , \\ {l_2} \!=\! {\left[ {{{\left( -\! \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}b\cos\; \beta + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a\right)}^2} \!+\! {{\left( - \dfrac{1}{2}b\sin\; \alpha \sin\; \beta \!+\! \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}b\cos\; \alpha \!-\! \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a\right)}^2} \!+\! {{\left(\dfrac{1}{2}b\cos\; \alpha \sin\; \beta \!+\! \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}b\sin\; \alpha \!-\! {h_{\rm{m}}}\right)}^2}} \right]^{1/2}}, \\ {l_3} = {\left[ {{{\left( - \dfrac{1}{2}b\cos\; \beta + \dfrac{1}{2}a\right)}^2} + {{\left( - \dfrac{1}{2}b\sin\; \alpha \sin\; \beta - \dfrac{1}{2}b\cos\; \alpha + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a\right)}^2} + {{\left(\dfrac{1}{2}b\cos\; \alpha \sin\; \beta {\rm{ - }}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}b\sin\; \alpha - {h_{\rm{m}}}\right)}^2}} \right]^{1/2}} , \\ {l_4} = \sqrt {h_{\rm{m}}^2} . \end{array} \right\}$

并联机构的位置正解，就是根据给定驱动支链的长度求解出动平台的位置中心P和姿态 ${}_{{P}}^{{O}}{R}$. 如图3所示，过点B₁画一条垂直于OA₁的直线，其垂线的高度设定为h₁，由△OB₁A₁的几何关系可以计算出h₁（即OB₁在Z方向上的距离）. 绳子l₁与OA₁之间的夹角θ₁来表示绳子1的姿态，依次类推用θ₂、θ₃来表示绳子2与绳子3的姿态. 利用几何关系可以表示动平台上的点B_i在固定坐标系下的矢量表达式：

(9) $\overrightarrow {O{B_{{i}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {a - {l_i}\cos\; {{\theta _i}}} \right)\sin\; {{\varphi _i}} } \\ { - \left( {a - {l_i}\cos\; {{\theta _i}} } \right){\rm{cos}}\; {{\varphi _i}} } \\ {{l_i}\sin\; {{\theta _i}} } \end{array}} \right].$

式中： ${\varphi _i}$=0°、120°、−120°.

将θ_i代入式（9）中，容易求得 $\overrightarrow {O{B_i}} $. 通过顶部正三角形形盘刚体重心的求解法，可以求得动平台的位置中心P的矢量表达式：

(10) ${{{P}}_0} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{B_2}} + \overrightarrow {O{B_3}} } \right).$

在求得P₀后，可以写出B_i点在固定坐标系和动坐标系之间的位置关系：

(11) ${}_{{P}}^{{O}}{{R}} \overrightarrow {P{B_i}} + {{{P}}_0} = \overrightarrow {O{B_i}} .$

将上述方程写成如下矩阵形式：

(12) $ \begin{split} {}_{{P}}^{{O}}{{R}}\;&{\left[ { {\overrightarrow {P{B_1}} + {{{P}}_0}},\;{\overrightarrow {P{B_2}} + {{{P}}_0}},\;{\overrightarrow {P{B_3}} } + {{{P}}_0}} \right]^{\rm{T}}} = \\ &{\left[ {\overrightarrow {O{B_1}} },\;{\overrightarrow {O{B_2}} },\;{\overrightarrow {O{B_3}} } \right]^{\rm{T}}} . \end{split}$

$\overrightarrow {P{B_i}} $在惯性坐标系{P−x_py_pz_p}的P−x_py_p的平面内，这样 $\overrightarrow {P{B_i}} $向量的最后一个元素为0，所以旋转矩阵 ${}_{{P}}^{{O}}{{R}}$不能通过奇异矩阵 $\left[ {\overrightarrow {P{B_1}} + {{{P}}_0}},\;\;{\overrightarrow {P{B_2}} + {{{P}}_0}},\;\; {\overrightarrow {P{B_3}} } + {{{P}}_0} \right]$的逆解求出. 如果将这3个列向量中最后一个向量用叉乘来代替，那么可以消除奇异矩阵. 综上，式（12）可以表达为

(13) $ \begin{split} {}_{{P}}^{{O}}{{R}}&{\left[ {\overrightarrow {P{B_1}} {_{}},\;\;\;{\overrightarrow {P{B_2}} },\;\;\;{\overrightarrow {P{B_1}} \times } \overrightarrow {P{B_2}} } \right]^{\rm{T}}} = \\ & {\left[ { {\overrightarrow {O{B_1}} - {{P}}{}_0},\;\;\;{\overrightarrow {O{B_2}} - {{{P}}_0}},\;\;\;{(\overrightarrow {O{B_1}} - {{P}}{}_0)} \times (\overrightarrow {O{B_2}} - {{{P}}_0})} \right]^{\rm{T}}} . \end{split}$

令矩阵 ${\left[ {\overrightarrow {P{B_1}} \begin{array}{*{20}{c}} {_{}},&{\overrightarrow {P{B_2}} },&{\overrightarrow {P{B_1}} \times } \end{array}\overrightarrow {P{B_2}} } \right]^{\rm{T}}} = {{{M}}_P}$，矩阵 $\left[ \overrightarrow {O{B_1}} \!-\! $ $ {{P}}{}_0,\;\;{\overrightarrow {O{B_2}} \! -\! {{{P}}_0}},\;\;{(\overrightarrow {O{B_1}} \!-\! {{P}}{}_0)} \!\times \!(\overrightarrow {O{B_2}} \!-\! {{{P}}_0}) \right]^{\rm{T}} \!\!=\! {{{M}}_O},$则式（13）变为

(14) ${}_{{P}}^{{O}}{{R}} = {{{M}}_O}{{M}}_P^{ - 1}.$

采用数值仿真软件MATLAB对位置正逆解进行相互验证. 将给定机构中绳子参数代入式（9），使用具有三重while循环的递归算法来搜索和确定θ_i，该算法从θ_i=10°开始至170°为止，每搜索到一个θ_i的解，就自动停止. 通过计算式（10）、（14）得到位置向量P₀和旋转矩阵 ${}_{{P}}^{{O}}{{R}}$. 将计算结果中P₀和 ${}_{{P}}^{{O}}{{R}}$代入位置逆解公式（8）中，可以计算出如表1所示的绳子长度. 通过对比表1中给定绳子长度和计算出的绳子长度，可以看出通过位置逆解计算出的绳子长度（即计算长度）与实际给定的绳子长度（即给定长度）较接近，误差不超过实际值的2.25%，说明所建立的位置正解和逆解模型的正确性.

利用矢量求导求解出动平台输出速度与驱动绳子和刚性支链输入速度之间的映射关系，动平台输出加速度与驱动绳子和刚性支链输入加速度之间的映射关系，即速度和加速度的雅可比矩阵，并基于该矩阵分析机构的运动学性能.

对逆运动学公式（式（7））两边分别对时间求导，整理后得到：

(15) ${\dot {{L}} _i} = {\rm{diag}}\;({{Q}}_i)({\mathop {{}^{{O}}\dot{{r}} _{Bi}} } + {\dot {{P}}_0 }).$

式中： ${{{Q}}_i}$为驱动绳子和中间刚性支链的单位向量， ${{{Q}}_i} = \dfrac{{{{{L}}_i}}}{{\left\| {{}_{}^{{O}}{{{r}}_{Bi}} - \overrightarrow {O{A_i}} } \right\|}}$；diag为对角矩阵函数，设A=[a₁，a₂$,\;\cdots, $ a_n]^T，则 ${\rm{diag}}\;({ A}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a_1}&{0} &\cdots &{0}\\{0}&{a_2} &\cdots& {0}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\{0}&{0}& \cdots &{a_n}\end{array}} \right] $； ${\dot {{P}} _0} = {\left[ 0,\;\;0,\;\;v \right]^{\rm{T}}}$，v为平台的线速度； ${\mathop {{}^{{O}}{{r}} _{Bi}}\limits^ \cdot } ={{ \omega}} \times {\mathop {{}^{{P}}{{r}}_{Bi}}\limits^{} }$， ${{\omega}} $为动平台运动的角速度.

将各变量具体表达式代入式（15）中，得到：

(16) $\mathop {{{{L}}_i}}\limits^ \cdot = {\rm{diag}}\;({{Q}}_i)({{v}} + {{\omega}} \times {}^{{P}}{{{r}}_{Bi}}).$

式中：v为动平台相对于定平台的速度矢量. 由旋转矩阵 ${}_{{P}}^{{O}}{{R}} \in 3 \times 3$的正交特性可知 ${}_{{P}}^{{O}}{{R}}{}_{{P}}^{{O}}{{{R}}^{\rm{T}}} = {{{I}}_n}$，对该式两边同时对时间求导得到： $\mathop {{}_{{P}}^{{O}}{{R}}}\limits^ \cdot \mathop {{}_{{P}}^{{O}}{{{R}}^{\rm{T}}}}\limits^{} +{\left(\mathop {{}_{{P}}^{{O}}{{R}}}\limits^ \cdot \mathop {{}_{{P}}^{{O}}{{{R}}^{\rm{T}}}}\limits^{} \right)^{\rm{T}}} = $ $ {{0}}$，因此 $\mathop {{}_{{P}}^{{O}}{{R}}}\limits^ \cdot \mathop {{}_{{P}}^{{O}}{{{R}}^{\rm{T}}}}\limits^{} $是斜对称矩阵. 动平台上的惯性坐标系{P−x_py_pz_p}相对于固定坐标系{O−x₀y₀z₀}的方位随时间的变化为角速度，所以动平台的瞬时角速度可以写为 ${\omega } \times {}^{{P}}{{r}_{Bi}} = \mathop {{}_P^O{{R}}}\limits^ \cdot \mathop {{}_P^O{{{R}}^{\rm{T}}}}\limits^{} $. 因此，动平台的广义角速度可以表达为

(17) ${{\omega }} \times {}^{{P}}{{r}_{Bi}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \mathop \beta \limits^\cdot \cos\;\alpha \sin\;\beta }&{\mathop {\dot \beta \sin\;\alpha } }&{ - \mathop \beta \limits^\cdot \cos\;\beta } \\ {\mathop \alpha \limits^\cdot \cos\;\alpha \sin\;\beta }&{\mathop { - \dot\alpha \sin\;\alpha } }&{ - \mathop \alpha \limits^\cdot \cos\;\alpha \cos\;\beta + \mathop \beta \limits^\cdot \sin\;\alpha \cos\;\beta } \\ {\mathop \alpha \limits^\cdot \sin\;\alpha \sin\;\beta - \mathop \beta \limits^\cdot \cos\;\beta }&{\mathop \alpha \limits^\cdot \cos\;\alpha }&{\mathop \alpha \limits^\cdot \sin\;\alpha \sin\;\beta - \mathop \beta \limits^\cdot \cos\;\alpha \sin\;\beta } \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b\cos\;\varphi } \\ {b\sin\;\varphi } \\ 0 \end{array}} \right].$

式中： $\mathop \alpha \limits^ \cdot $、 $\;\mathop \beta \limits^ \cdot $为动平台角度的变化量； $ {}^{{P}}{{r}}{}_{Bi}=\left[b{\rm{cos}}\;\varphi, \;\;\; $ $ b{\rm{sin}}\;\varphi ,\;\;\; 0\right]^{\rm{T}},\;i=1,2,3$， $\varphi $=0°、120°、−120°. 令式（16）中 ${{v}} + {{\omega}} \times {}^{{P}}{{{r}}_{Bi}} = {{{J}}_{{\rm{a}}i}}$，整理得到：

(18) $ {{{J}}_{{\rm{a}}i}} \!\!=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{\rm{ - }}b\cos\;\;\varphi \cos\;\;\alpha \sin\;\beta + b\sin\;\varphi \sin\;\alpha }&0 \\ {b\cos\;\;\varphi \cos\;\;\alpha \sin\;\beta {\rm{ - }}b\sin\;\varphi \sin\;\alpha }&{b\cos\;\;\varphi \sin\;\alpha \cos\;\;\beta }&0 \\ {b\cos\;\;\varphi \sin\;\alpha \cos\;\;\beta + b\sin\;\varphi \cos\;\;\alpha }&{ - b\cos\;\;\varphi \cos\;\;\beta }& 1 \end{array}} \right] \left[ \begin{aligned} {\mathop \alpha \limits^ \cdot } \\ {\mathop \beta \limits^ \cdot } \\ v \end{aligned} \right]. $

由于中间刚性PU支链只存在Z方向上的运动速度，其运动的雅可比矩阵为 ${{\bf{0}}_{3 \times 3}}$. 令向量 $\dot {{q}} = \left[ {\mathop {\rm{\alpha }}\limits^ \cdot },\;\;\;{\mathop \beta \limits^ \cdot },\;\;\;v \right]$，J_Mi=diag (Q_i)J_ai. 将J_Mi写成矩阵形式，可以得到动平台的广义速度：

(19) $ \dot {{L}}_{i}={{{J}}}_{{\rm{M}}i}\dot{{ q}};\;i=1,2,3,4.$

式中： ${{{{J}}_{{\rm{M}}i}}} $为该机构的速度雅可比矩阵.

在速度公式（式（16））两边分别乘上绳子长度l_i，得到如下表达式：

(20) $\mathop {{{{L}}_i}}\limits^. {l_i} = {\rm{diag}}\;({{{L}}_i})({{v}} + {{\omega}} \times {}^{{P}}{{{r}}_{Bi}}).$

式中： ${{{L}}_{{i}}}$为绳子在固定坐标系下的向量表达式. 将式（20）两边分别对时间进行求导，得到：

(21) $\begin{split} \mathop {{{{L}}_i}}\limits^{..} = \;&{\rm{diag}}\;({{Q}}_i)(\dot {{v}} + {{\varepsilon}} \times {}^{{P}}{{{r}}_{Bi}} + {{\omega }} \times ({{\omega}} \times {}^{{P}}{{{r}}_{Bi}})) +\\ &\frac{1}{{{l_i}}}({\rm{diag}}\;({{v}}_{Bi}){{{v}}_{Bi}} - {\rm{diag}}\;(\dot {{L}}_i) \dot L_i). \end{split}$

式中： ${{{v}}_{Bi}} = ({{v}} + {{\omega}} \times {}^{{P}}{{{r}}_{Bi}})$； $\mathop {{v}}\limits^. $为惯性坐标系坐标原点P的加速度， $\mathop {{v}}\limits^. = {\left[ 0,\;\;\;0,\;\;\;a \right]^{\rm{T}}}$； $\mathop {{\omega}} \limits^. $为动平台的角加速度， $\mathop {{\omega}} \limits^. = { \varepsilon} = {[ {{\varepsilon _x}},\;\;{{\varepsilon _y}},\;\;0 ]^{\rm{T}}}$.

令 $\mathop {{P}}\limits^{..} = {[ {{{{\varepsilon}} ^{\rm{T}}}},\;\;{\mathop {{{{v}}^{\rm{T}}}}\limits^ \cdot } ]^{\rm{T}}}$为动平台的加速度. 将式（21）中 ${\rm{diag}}\;({{Q}}_i)({ {\dot v}} \!+\! {{\varepsilon}} \times {}^{{P}}{{{r}}_{Bi}})$写成[ ${\rm{diag}}\;\;({{Q}}_i)$， ${\rm{diag}}\;\;({{Q}}_i)$× $\left.{\rm diag}\; \left({}^{{P}}{{{r}}_{Bi}}\right) \right]\left[\! {\begin{array}{*{20}{c}} { \dot v} \\ {\varepsilon } \end{array}} \!\right] \!= {{{G}_i}} \ddot {{P}} $形式，由前面的速度分析可知G_i=J_Mi；同样 ${{\omega }} \times {}^{{P}}{{r}_{Bi}} = {{{J}_{{\rm{a}}i}}} \mathop {{P}}\limits^. $，可以将式（21）中 ${{\omega }} \times ({{\omega }} \times {}^{{P}}{{r}_{Bi}})$整理成如下矩阵形式 ${{\omega}} \times ({{\omega }} \times {}^{{P}}{{r}_{Bi}}) = $ $ \mathop {{{P}^{\rm{T}}}}\limits^. {{{H}_{Bi}}} \mathop {{P}}\limits^. $. 将式（21）整理为如下形式：

(22) $ \begin{split} \ddot {{L}} =\;& {{{J}_{Mi}}} \ddot {{P}} + {\rm{diag}}\;\left({{\dot P}}^{\rm{T}}\right) \Bigg(\left[ {{\rm{diag}}\;\left({{Q}}_i^{\rm{T}}\right) {{H}_{Bi}}} \right] + \frac{1}{{{l_i}}}\left({\rm{diag}}\;\left({{J}}_{{\rm{M}}i}^{\rm{T}}\right)\right.\\ & \left.\left. {{{J}_{{\rm{M}}i}}} \!\!-\!\! { {{{J}^{\rm{T}}_{{\rm{M}}i}}} }{\rm{diag}}\;({{Q}}_i) {\rm{diag}}\;({{Q}}_i){{{J}_{{\rm{M}}i}}} \right)\right)\mathop {{P}}\limits^ \cdot . \end{split}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

令 ${{H}_i}\! =\! {\rm{diag}}\;({{Q}}_i) \!{{ H}_{Bi}} \!+\! \dfrac{1}{{{l_i}}}\left({\rm{diag}}\;\left({{J}}_{{\rm{M}}i}^{\rm{T}}\right)\;{{J}_{{\rm{M}}i}} \!-\! {{{J}^{\rm{T}}_{{\rm{M}}i}}} {\rm{diag}} \;({{Q}}_i) $ $ {\rm{diag}} \;({{Q}}_i){{J}_{{\rm{M}}i}}\right)$，则式（22）写成矩阵形式：

(23) $\mathop {{{L}_i}}\limits^{..} = {{J}_{{\rm{M}}i}}\mathop {{P}}\limits^{..} + \mathop {\mathop {{{P}^{\rm{T}}}}\limits^. [{{H}_i}]\mathop {{P}}\limits^. }\limits^{};\; i = 1,2,3.$

式中： $\mathop {{{L}_i}}\limits^{..} $为3根绳子的输入加速度. 式（23）即为绳子输入的加速度与动平台输出的加速度之间的映射关系.

当在动平台上施加外力时，有必要去分析机构在各个方向的刚度，因为刚度的大小决定了施加外力时刚柔混合并联机构动平台工作的稳定性和精度. 将驱动绳看成具有一定弹性的柔性体，且只考虑重力，分析刚柔混合并联机构中对系统刚度影响最大的因素. 根据前面运动学关系，雅克比矩阵可以表达固定坐标系和末端执行器所在的惯性坐标系之间的映射关系：

${J} = \frac{{{\rm{d}}{{l}}}}{{{\rm{d}}{{P}}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q}_1^{}}&{{Q}_2^{}}&{{Q}_3^{}}&{{Q}_4^{}} \\ {{Q}_1^{} \times {}^{{P}}{{r}_{B1}}}&{{Q}_2^{} \times {}^{{P}}{{r}_{B2}}}&{{Q}_3^{} \times {}^{{P}}{{r}_{B3}}}&{{{{0}}_{}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$

整体机构的静力平衡方程表达式可以写成：

(24) ${W} + {{J}^{\rm{T}}}{F} = {\bf{0}}.$

式中： ${W}$为外部力和力矩， ${W} = {[ {{{F}_{\rm e}}},\;\;\;{{{W}_{\rm e}}} ]^{\rm{T}}}$； ${F}$为绳子的预紧拉力以及刚性支链提供的支撑力， ${F} = $ $ \left[ {{f_1}},\;\;\;{{f_2}},\;\;\;{{f_3},\;\;\;{{f_4}} }\right]^{\rm{T}}$.

根据刚度定义，刚度矩阵K描述的是作用在机构无穷小的力 $\partial {W}$与引起其空间无穷小位移 $\partial {p}$之间的线性关系，有

(25) $\partial {W} = {K}\partial {p}.$

对式（24）两边进行微分，得到：

(26) $\partial {W} = - \partial {{J}^{\rm{T}}}{F} - {{J}^{\rm{T}}}\partial {F}.$

将式（26）代入式（25），整理后得到：

(27) ${K}\partial {p} = - \partial {{J}^{\rm{T}}}{F} - {{J}^{\rm{T}}}\partial {F},$

(28) $\partial {F} = {\rm{ - }}{{K}_{\rm{l}}}\partial {\chi }.$

式中： ${{K}_{\rm{l}}}$为驱动支链的空间刚度矩阵， ${{{K}}_{\rm{l}}} = $ $ {\rm{diag}}\; \left[{{k_1}},\;{{k_2}},\;{{k_3}},\;{{k_{\rm{s}}}} \right]$， ${k_i}$为绳子的刚度， $ {k}_{i}\!=\!{EA}/{{l}_{i}},\; i=1, $ $ 2,3$，E为绳子的弹性模量，A为绳子的截面积， ${k_{\rm{s}}}$为刚性支链的系数； $\partial {\chi }$为绳子受力引起的无穷小变形，根据动平台无穷小变形和驱动绳子无穷小变形之间的映射关系， $\partial {\chi }$可以写为 $\partial {\chi } = {J}\partial {p}$. 将 $\partial {\chi }$的表达式代入式（28）中，可以得到：

(29) $\partial {F} = {\rm{ - }}{\rm{diag}}\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {k_1^{}},&{{k_2}},&{{k_3}},&{{k_{\rm{s}}}} \end{array}} \right]{J}\partial {p}.$

如图5所示，当动平台位置发生细微变化时，绳子长度的单位向量从Q_i变成 ${Q}_i'$. 式（27）中右边第1项可以表达为

(30) $ \partial {{J}^{\rm{T}}}{F} = \partial [ {{{Q}_1}},\;\;\;\;{{{Q}_2}},\;\;\;\;{{{Q}_3}},\;\;\;\;{{{Q}_4}} ]{F} =\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^{4} {(\partial {{Q}_i}{{f}_i})} .$

单根绳子变化的雅可比矩阵为 ${I} = \dfrac{1}{{{l_i}}}{\left[ {{Q_{ix}}},\;\;\;{{Q_{iy}}},\;\;\;{{Q_{iz}}} \right]^{\rm{T}}}$，因此有如下表达式：

$\partial {{Q}_i} = \frac{{{Q}_i'}}{|{{Q}_i'}|} - \frac{{{Q}_i^{}}}{|{{Q}_i^{}}|} = \frac{1}{{{l_i}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {Q_{ix}^2 - 1}&{{Q_{ix}}{Q_{iy}}}&{{Q_{ix}}{Q_{iz}}} \\ {Q_{ix}^{}{Q_{iy}}}&{Q_{iy}^2 - 1}&{{Q_{iy}}{Q_{iz}}} \\ {{Q_{ix}}{Q_{iz}}}&{{Q_{iy}}{u_{iz}}}&{Q_{iz}^2 - 1} \end{array}} \right]\partial {p}. $

因此，系统的整体刚度矩阵式（27）可以写为

(31) ${K} = \sum\limits_{i = 1}^4 {(\partial {{Q}_i}} {{f}_i})/\partial {p} + {{J}^{\rm{T}}}{{K}_{\rm{l}}}{J}.$

基于式（28）、（30），系统的整体刚度矩阵可以写为

(32) $ \begin{split} {K} =\;& \sum \limits_{i = 1}^{4} \left( - \dfrac{{{f_i}}}{{{l_i}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {Q_{ix}^2 - 1}&{{Q_{ix}}{Q_{iy}}}&{{Q_{ix}}{Q_{iz}}} \\ {Q_{ix}^{}{Q_{iy}}}\!&\!{Q_{iy}^2 - 1}&{{Q_{iy}}{Q_{iz}}} \\ {{Q_{ix}}{Q_{iz}}}\!&\!{{Q_{iy}}{Q_{iz}}}&{Q_{iz}^2 - 1} \end{array}} \right]\right) +\\ & \left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{{Q}_1}},\!\!\!&\!\!\!\!{{{Q}_2}},&{{Q}_3^{}},&{{{Q}_4}} \end{array}} \!\!\!\!\right]{\rm{diag}}\;\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{EA}}{{{l_1}}}},\!\!\!&\!\!\!{\dfrac{{EA}}{{{l_2}}}},&{\dfrac{{EA}}{{{l_3}}}},\!\!\!&\!\!\!{{k_{\rm{s}}}} \end{array}\!\!\!\right) \\ & {\left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{{Q}_1}},&{{{Q}_2}},&{{Q}_3^{}},&{{{Q}_4}} \end{array}} \!\!\!\!\right]^{\rm{T}}} . \end{split} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

在考虑并联机构物理样机满足基本运动的前提下，尽可能减小尺寸，降低自身的重量. 由于无法在真实的海上环境中进行实验研究，刚柔混合波浪补偿并联机构的参数设计以集装箱的实际尺寸为参考依据，按照等比1∶20的缩小比例进行选取. 结合波浪补偿并联机构所需要承载的能力，确定刚柔混合并联机构中构件的各个参数，如表2所示.

给定动平台的运动轨迹 $\alpha = \dfrac{{\text{π}}}{6}\sin\; ({\text{π}}t)$， $\;\beta = $ $ - \dfrac{{\text{π}} }{6}\sin \;({\text{π}} t)$， $z = 70 + 30\sin\; ({\text{π}} t)$，即动平台末端执行器以振幅为π/6绕着X轴与Y轴运动，同时以 $70 + 30\sin\; ({\text{π}} t)$的规律在Z轴上做平移运动. 在MATLAB中通过前文所建立的运动学模型的数值仿真数据与ADAMS中建立的虚拟样机运动的仿真数据进行对比，验证理论模型的正确性.

将表2中并联机构的各项参数代入式（8）中，动平台按照上面给定的运动轨迹进行运动. 仿真时间设置为5 s，在MATLLAB中编写程序计算得到动平台按上述轨迹运动时绳子长度l随时间t的变化曲线. 如图6所示，3根绳长呈规律的周期性变化. 另外，当分别产生横摇和纵摇时，绳子速度v随时间t的变化曲线如图7所示.可以看出，3根绳子的速度曲线呈规律的周期性变化. 绳子的长度以及速度变化都呈现规律的周期性变化且无突变跳跃情况，说明机构设计的合理以及机构运动学模型的正确性.

为了验证加速度模型的正确性，将表2中的数据代入式（23），动平台以给定的轨迹运动. 仿真时间为5 s，在MATLAB编写程序计算得到第3根绳子的输入加速度的理论曲线，并在ADAMS下建立虚拟样机，设定相同的仿真参数，得到输入的加速度仿真曲线. 为了更加直观地对比分析，将ADAMAS中的输入加速度a的数据取出拟合成曲线与MATLAB计算得到的理论曲线进行合并对比，如图8所示.

如图8（a）所示，仿真曲线和理论曲线较吻合，误差主要出现在波峰和波谷中，但最大误差基本不超过理论值的2%. 由图8（b）可以看出，理论曲线和仿真曲线较吻合，最大误差出现在波峰和波谷中，最大误差为6 mm/s²，最小误差为1 mm/s²，平均误差不超过理论值的7.4%. 速度速降中的波动和误差的累积是导致理论曲线与仿真曲线出现误差的主要原因. 但是，误差在末端定位精度的要求中是允许的，由此可以验证加速度模型的正确性.

在系统刚度矩阵式（32）中可以看出系统的刚度矩阵主要分为两部分，一部分主要取决于绳子的预紧力，另一部分主要取决于绳子的物理参数以及中间刚性支链的物理参数. 将表2中的参数代入式（32）中，利用MATLAB计算出式（32）中参数对系统刚度的影响规律. 首先，假设动平台绕X轴旋转由0变化到π/6，Y轴与Z轴方向运动保持不变，各个方向刚度变化如图9所示. 其次，保持Y轴与X轴方向的运动不变，在Z轴方向从0增加高度到500 mm，对系统各个方向刚度的影响如图10所示. 最后，将绳子的预紧力从50 N增加到500 N，对系统刚度的影响如图11所示.

由图9可以看出，在系统稳定状态下，动平台在绕着坐标轴做旋转运动的过程中，系统3个方向上的刚度只有略微波动，说明末端执行器绕着X轴与Y轴转动对系统刚度基本没影响. 由图10可以看出，当Z轴增大（即机构整体高度增高）时，系统刚度随高度增高而减小，而K_Z方向的刚度又主要由刚性支链决定，故Z轴方向的刚度随着刚性支链高度的减小而增大. 因此，在实际的运用中，在满足机构需求外应尽可能减少机构的整体高度，以增大系统刚度. 由图11可以看出，系统刚度系数和预紧力呈线性关系，其中K_X和K_Y方向受到的影响较小，K_Z方向受到的影响较大；随着绳子预紧力的增大，系统的刚度呈明显增加趋势，这是由于在后续张紧力存在的情况下，各个绳子以及刚性支链都处于张紧状态，从而避免了X轴与Z轴方向的刚度的影响. 因此，在实际操作过程中可以通过增加绳子预紧力来增加系统的刚度. 不过，预紧力不能无限增大，应以机构中所使用的电机输出力矩为标准.

为了验证刚柔混合并联机构的补偿性能，搭建机构的缩比样机. 在实验条件下无法实现机构的实际尺寸和真实的海洋环境，因此必须通过实验样机进行分析. 在实验样机模拟波浪运动的过程中，正弦运动的幅值和频率分别代表船舶运动的极限位姿和频率，由此便可满足在此极限范围内船舶的运动补偿. 如图12所示，该实验样机主要由波浪起吊机械臂和带有激光测距仪、2个HWT905型九轴高精度姿态传感器和K3D60型力传感器的刚柔混合并联机构并联机构组成. 姿态传感器分别安装在动平台和被补给船上，用来实时测量补给货物与船舶甲板之间的姿态变化. 激光测距仪安装在被补给船上用来测量货物与船舶甲板之间的位置变化. 拉力传感器固定在绳子中间用来测量绳子的拉力变化. 由于波浪补偿系统是复杂的多变量系统，且具有非线性和时滞性. 本研究利用经典PID控制算法进行闭环反馈控制，控制框图如图13所示. 输入量u(t)为被补给船的角度和升沉方向位移与动平台的角度和升沉方向位移的差值，输出量y(t)为动平台的实际运动角度和升沉方向的位移. G₁(t)、G₂(t)分别为电机和执行机构的传递函数. 通过试凑法选择如下PID参数：K_P=20,K_D=0.5，K_I= 0.02. 设置采用周期T=0.01 s，由于传感器在测量的过程中会遇到一定的干扰成分而使数据产生一定的误差，若这种误差不处理，在后续的积分环节误差会持续放大，最终导致数据不准确，所以必须经过滤波环节去除原始数据中的干扰信号. 波浪补偿装置样机实验平台设计如图12（a）所示，实验搭建平台如图12（b）所示. 根据实际补偿的性能指标，实验样机的缩小版仅仅是尺寸上的缩小，主要的性能指标须满足实际补偿的性能指标. 样机性能指标要求的升沉补偿范围为0.3 m，横摇补偿范围为±16°，纵摇补偿范围为±16°，响应时间小于0.5 s，稳态误差小于10%.

绳牵引刚柔混合波浪补偿并联机构的补偿原理如图14所示. 当补给船舶在产生升沉、横摇和纵摇的运动时，安装在船舶上的位姿传感器会测量出运动的位移和姿态变化并传输给控制单元；当控制单元接受到位姿变化的信号后，通过计算预先得到驱动支连的运动幅值；通过调整脉冲长度，控制单元通过绳索的缩放来调整末端执行器的姿态让起吊的货物避免摇晃达到补偿的目的.

初始位置设置为动平台与静平台平行（即横摇和纵摇的实际姿态角度 $\alpha $、 $\beta $均为零）且升沉方向的位移也为零. 采用间接测量方法测量柔性绳索的位移，先通过位移传感器测得动平台与静平台之间的中心垂直距离z以及动平台和静平台之间的横摇和纵摇所产生的实际姿态角度 $\alpha $、 $\;\beta $，再将其代入公式得到每根柔性绳索的位移表达式：

(33) $ \begin{split} \left| {\overrightarrow {{B_i}{A_i}} } \right| =\;& \left| {\overrightarrow {O{A_i}} {\rm{ - }}\overrightarrow {O{B_i}} } \right| = [{{{\left( {{a_1}\cos\; {\psi _i} - {b_1}\cos\; {\psi _i}\cos \;\beta } \right)}^2} }+\\ &( {{a_1}\sin \;{\psi _i} }-{{{ {b_1}\sin\; {\psi _i}\cos\; \alpha } )}^2}+\\ &{ {{\left( {z + {b_1}\cos\; {\psi _i}\sin \;\beta + {b_1}\sin \;{\psi _i}\sin \alpha } \right)}^2}}]^{1/2}. \end{split}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

式中：i=1,2,3， ${\psi _i}$=0°、120°、−120°，a₁、b₁分别为绳索连接点到静平台和动平台中心的距离.

为了验证刚柔混合波浪补偿装置的性能，通过位移和姿态传感器分别测量船舶和末端执行器的位移/姿态角，并进行对比分析. 末端执行器分别在横摇、纵摇和升沉方向进行补偿时，船舶和末端执行器的姿态和位移变化曲线如图15所示. 实验稳态相对误差定义为船舶的实际测量值与动平台对应的实际测量值的差值除以船舶的实际测量值. 在图15（a）中，横摇状态下船舶的横摇角位移和末端执行器的横摇角位移之间的最大稳态相对误差为7.13%，满足稳态误差小于10%的要求. 船舶位姿与末端执行器在纵摇方向运动的变化如图15（b）所示，末端执行器纵摇角位移的最大稳态相对误差为8.25%. 同理，在船舶的升沉运动中，绳牵引刚柔混合波浪补偿并联机构与船舶升沉方向的运动情况如图15（c）所示，其在升沉方向的平均稳态相对误差较小，小于5%. 通过实验分析得出稳态相对误差最大为8.25%，证明绳牵引刚柔混合波浪补偿机构能够对被补给船进行实时波浪补偿.

为了验证机构在运动过程中是否会发生摆动的现象，根据上面实验运动学的运动轨迹，末端执行器在横摇运动过程中，测得各个绳索的拉力变化如图16所示. 设置位姿为 ${{q}} = {\left[ 0,\;\;\;0,\;\;\;{100\;{\rm{cm}}} \right]^{\rm{T}}}$和负载为20 kg. 由图16可知，绳索拉力的数值始终大于0，说明在运动的过程中绳索始终保持在张紧状态. 根据绳牵引刚柔混合并联机构不发生摆动的条件（绳索始终处于张紧状态）可知，机构在实验过程中不会发生摆动，末端执行器在转动过程中拉力平缓呈现正弦曲线变化不存在突变不规律的变化，说明机构能稳定地完成补偿运动.

（1）创新设计刚柔混合驱动主动式波浪补偿并联机构，该机构基于刚柔混合驱动，结构简单，在速度、加速度的数值仿真以及虚拟样机仿真的过程中，可以看出曲线变化规律、平缓，由此可以保证补偿运动连续规律地进行补偿.

（2）基于几何封闭法以及空间几何法建立绳驱动并联机构的位置正/逆解的数学模型. 基于while的三重递归算法得到正解状态下位姿参数，并与逆解下驱动绳子以及刚性支链的长度进行对比，数据之间最大误差不超过实际值的2.25%，验证了模型的正确性. 在此基础上运用对位置逆解的求导法建立机构的速度以及加速度模型，并运用仿真软件对模型进行验证，仿真与理论较吻合，验证了机构数学模型的正确性以及机构的合理性. 为后续机构运动性能的分析打下基础.

（3）基于绳子为柔性体变形体，建立并联机构的刚度数学模型，并在此基础上探究绳子预紧力与机构设计参数对机构系统刚度的影响，得到绳子预紧力与系统刚度关系，给机构设计时整体机构的参数选择提供依据.

（4）搭建实验样机，验证补偿机构的运动自由度能满足补偿所需的横摇、纵摇、升沉方向运动补偿，且在横摇、纵摇、升沉方向的补偿效果都大于90%. 在运动控制中，绳索运动速度稳定平缓，具有一定的可控制规律，没有较大振动、摆动与抖动等不稳定现象存在. 证明波浪补偿机构实验样机具有较好的运动补偿性能.

（5）由于绳索存在一定的弹性，导致补偿机构的运动存在一定的误差和滞后. 下一步将考虑通过运动控制算法，对绳索的弹性进行补偿.