“守门人（gatekeeper）”制度广泛应用于美国、英国、荷兰、西班牙和澳大利亚等发达国家的医疗系统^[1-2].“守门人”医疗系统（gatekeeper healthcare system，以下统称GK系统）一般由社区医院（全科医生）充当“守门人”为进入系统的患者提供首诊服务，根据患者病情，轻缓疾病患者留在社区医院，疑难疾病患者转诊到综合医院（专科医生）处诊疗^[3]. 在医疗实践当中，社区医院往往由于诊疗成本高、收治患者收益低，倾向于将大量的患者上转给综合医院 ^[4-5]；综合医院由于医疗服务成本高、资源量有限，倾向于接受较少的患者^[6]，这样使得系统整体效益必然受损. 因此，设计使双方协调的转诊机制尤为必要.

目前GK系统的协调研究主要考虑如何应用支付机制促使系统实现最优转诊阈值. Shumsky等^[3]较早研究GK系统，并在委托-代理博弈模型下得出系统最优转诊阈值，分析GK系统制度对整体效用的影响. Hasija等^[7]扩展文献[3]中的模型，考虑排队时间的影响，研究系统最优人员配置水平和最优转诊率，以及激励方案. Lee等^[8]研究GK系统运营商将一层或二层服务外包的问题，结果表明服务外包会导致系统失控，并可能导致效率低下和满意度降低. Liu等^[9]通过系统决策和成本分摊协调的方式分别研究了GK系统按服务付费和按绩效付费2种成本分摊协调契约，得出在大规模医疗系统有4种特例契约无法协调的结论. Gao等^[10]通过两阶段博弈模型研究协调GK系统的收益共享机制，应用仿真实验补充理论分析，验证了收益共享机制的可行性和效率. Adida等^[11]研究GK系统中的转移支付契约，分析在保持成本可控的同时如何提高服务质量.

GK系统协调机制的研究大多数以非竞争型双层系统为聚焦点，然而在国外的医疗系统管理与运作中，医疗机构间的服务竞争对于系统协调的研究有较大的影响^[12]. 竞争型契约协调机制的研究在供应链管理领域中应用广泛. Cachon等 ^[13-14]提出供应链协调的分析框架，探讨了收益共享契约、折扣定价契约、服务支付契约等竞争协调机制的优劣. Yao等^[15]应用斯塔伯格模型研究2家零售商竞争，发现收益分享契约比纯价格契约协调效率高，零售竞争能够提高协调效率. Guo等 ^[16]研究在事前和事后定价设定下两家价格竞争公司间的产能共享，发现不同定价顺序下对称产能会减弱价格竞争. 周健等^[17]研究传统零售商渠道竞争与选择策略微分博弈模型，发现增设线上零售竞争对系统效益提升显著. 秦星红等^[18]针对由1个网络商店和2个物流服务商组成的竞争型网购服务供应链，设计多边旁支付激励契约，给出多物流服务商竞争环境下电商和物流服务商的合作决策建议.

近年来对于医疗系统的竞争研究愈加受到学界青睐^[19-21]. 蔡力辉^[22]认为医疗卫生服务在我国目前还必须由政府主导，这是充分发挥市场机制和竞争机制基础上的“政府提供”或“政府购买”，因此医疗市场竞争应建立在完善医院机构与设施上，从而为患者提供更好的医疗卫生服务. Jiang等^[23]研究市场结构对医院成本和质量绩效的影响，分析竞争对医疗服务业绩效的作用，认为竞争有助于改善按照死亡率衡量的医疗结果. 医疗市场的竞争往往在运作管理中现实存在，因此，本文在考虑一家社区医院与一家综合医院之间的转诊博弈基础上，拓展延伸到一家社区医院在对多家综合医院的竞争环境下考虑如何协调系统的情形. 本研究聚焦于综合医院在对社区医院转诊模型中设计服务支付契约，探究实现系统的协调最优契约形式；且进一步拓展模型引入多家综合医院竞争定价支付机制，研究最优协调契约形式，对比分析引入竞争与否对协调效率的影响.

某城市内某辖区的GK系统是由社区医院（community health center，CHC）和综合医院（general hospital，GH）2类医疗服务机构组成的排队网络. 系统内，CHC和GH为患者提供异质化医疗服务，CHC作为“守门人”收治各类轻缓疾病患者，GH收治各类专科、疑难疾病患者. 在该区域内，单位时间内需要前往GK系统就医患者总量为固定值，即总到达率为 $\varLambda $，患者选择任意一家医院接收诊疗. 建立2种类型的服务系统模型：模型1研究的是某CHC与某GH的集中决策与协议协调问题；模型2研究的是某CHC与2家GH在就诊需求竞争情况下的集中转诊与协议协调问题.

如图1所示，在非竞争型模型中，设GK系统内的患者随机地选择CHC和GH，单位时间内患者到达分别为 $\lambda _0^{{\rm{chc}}}$和 $\lambda _0^{{\rm{gh}}}$，满足 $\lambda _0^{{\rm{chc}}}{\rm{ + }}\lambda _0^{{\rm{gh}}}{\rm{ = }}\varLambda $. 到达后分别得到医院初诊、判断其病情复杂程度x（ $0 \leqslant $ $ x \leqslant 1$），CHC据此确定病情复杂度转诊阈值r（ $0 \leqslant $ $ r \leqslant 1$）. 对于病情复杂度超过 $r$的患者 ${\lambda ^{\rm{U}}}$，CHC因能力、资源有限无法诊疗，需向上转诊到GH；对于病情复杂度低于 $r$的患者 ${\lambda ^{\rm{D}}}$，将会依据阈值从GH向下转诊到CHC. 经过“守门人”CHC据病情阈值分类、划定诊疗方向分诊之后，留在CHC的患者为 ${\lambda ^{{\rm{chc}}}}{\rm{ = }}r\varLambda $，留在GH的患者为 ${\lambda ^{{\rm{gh}}}}{\rm{ = }}(1 - r)\varLambda $.

留在CHC治疗的患者因病情演变为疑难症的需要上转，记为 $\lambda _{\rm{c}}^{\rm{U}}$；病情为 $x$的患者，在CHC成功治愈的概率分布函数为 $f(x)$（ $0 \leqslant f(x) \leqslant 1.0$）； $F(r) = $ $\displaystyle\int_0^r {f(x){\rm{d}}x}$为CHC成功治愈患者的比例，疑难上转率为 $\lambda _{\rm{c}}^{\rm{U}}{\rm{ = }}r\varLambda - F(r)\varLambda $.

CHC对于病情程度为 $x$的患者，医生的平均治疗时间分布函数为 ${t^{{\rm{chc}}}}(x)$，所有病情下治疗期望总时间为 ${T^{{\rm{chc}}}}(r) = \displaystyle\int_0^r {{t^{{\rm{chc}}}}(x)} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{d}}x$，CHC的服务速率为 ${\mu ^{{\rm{chc}}}}(r) = {r}/{{{T^{{\rm{chc}}}(r)}}}$. GH医生对于病情 $x$患者平均治疗时间分布函数为 ${t^{{\rm{gh}}}}(x)$，GH所有患者的治疗期望总时间为 ${T^{{\rm{gh}}}}(r) = \displaystyle\int_r^1 {{t^{{\rm{gh}}}}(x){\kern 1pt} {\kern 1pt} } {\rm{d}}x + \displaystyle\int_0^r {{t^{{\rm{gh}}}}(x)(1 - f(x)){\kern 1pt} {\kern 1pt} } {\rm{d}}x$，GH服务速率为 ${\mu ^{{\rm{gh}}}}(r) = {{(1 - F(r))}}/{{{T^{{\rm{gh}}}(r)}}}$.

如图2所示，在竞争模型中，通过双向转诊之后，留在CHC的患者为 ${\lambda }^{\rm{chc’}}{=}r\varLambda$，剩余的患者量为 $(1 - r)\varLambda$，2家GH分别给出单位付费 ${\omega _1}$和 ${\omega _2}$，CHC根据其支付情况分配上转患者，以获得最大的利润，由此产生竞争.

设CHC按照 ${\phi _1}$和 ${\phi _2}$（ $\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^2 {{\phi _i}} = 1$）的比例分别分配上转患者到GH1和GH2. 分配策略^[15]定义为 ${\phi _i}{\rm{ = }} \alpha {\rm{ + }}\beta {\omega _i} - \gamma {\omega _{3 - i}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} i = 1,2$. 策略中 $\alpha $为固定分配基础系数；β为分配比例受自身支付定价的敏感系数； $\gamma $为分配比例受竞争者出价影响的敏感程度，即竞争系数. 分配比例受自身支付的影响程度更大，即 $\;\beta > \gamma $. 通过初步双向转诊后留在2家GH的到达率为： $\lambda _i^{{\rm{gh}}}{\rm{ = }}{\phi _i}(1 - r)\varLambda ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} i = 1,2$；后续需要上转的疑难转诊为 $ \lambda _{{\rm{c}}i}^{\rm{U}}{\rm{ = }}{\phi _i}{\rm{(}}r - F(r))\varLambda ,i = 1,2$.

CHC的治疗时间和服务速率表达式与模型1一致. 2家GH的治疗时间和服务速率与分配比例有关；对于病情为 $x$的患者，医疗服务人员的平均诊疗时间分布为 $t_i^{{\rm{gh}}}(x)$，2家GH所有患者诊疗期望总时间为 $T_i^{{\rm{gh}}}(r) = {\phi _i}\left[ {\displaystyle\int_r^1 {t_i^{{\rm{gh}}}(x) } {\rm{d}}x + \displaystyle\int_0^r {t_i^{{\rm{gh}}}} }(x)(1 - f(x)) {\rm{d}}x \right],$ $i = 1,2$，GH1和GH2的服务速率为 $\mu _i^{{\rm{gh}}}(r) = {\phi _i}(1 - F(r))/ {{T_i^{{\rm{gh}}}(r)}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} i = 1,2$.

为了使研究更具有医疗实践可行性，作如下假设. 1）CHC和GH具有多个服务台排队系统，每个医护人员可视作一个服务台；排队规则遵循先到先服务原则. 2）患者病情复杂度变量 $x$服从 $[0,1]$上的均匀分布，成功诊治的概率分布函数 $f(x)$随 $x$的增加单调递减，即疾病愈复杂，治愈概率愈小. 3）CHC初诊后的病情演化为疑难症的患者在CHC治愈率极低，即 $0 < F(1) < 1$，为了保障患者健康，这部分患者必须上转到GH；转入GH的疑难症患者均能得到诊治.

每位到达GH和CHC进行初诊的患者平均支付的医疗费用（挂号、初诊费用）为 $R_1^j(j = {\rm{gh,}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{chc}})$；若患者继续在CHC进行治疗或患者被转到GH所需支付的费用为 $R_2^j(j = {\rm{gh,}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{chc}})$. CHC疑难患者上转，GH取 $R_{\rm{c}}^{{\rm{gh}}}$的治疗费用. 2家医院的目标函数 ${{\text{π}} ^{{\rm{chc}}}}$、 ${{\text{π}}^{{\rm{gh}}}}$分别为

(1) $\begin{split} {{{\text{π}}} ^{{\rm{chc}}}}{\rm{ = }}& R_1^{{\rm{chc}}}\lambda _0^{{\rm{chc}}}{\rm{ + }}R_2^{{\rm{chc}}}r\varLambda - {c_{\rm{m}}}(r - F(r))\varLambda - \\& c_{\rm{s}}^{{\rm{chc}}}{n^{{\rm{chc}}}} - c_{\rm{w}}^{{\rm{chc}}}r\varLambda {W^{{\rm{chc}}}}, \end{split} $

(2) $\begin{split} {{{\text{π}}} ^{{\rm{gh}}}}{\rm{ = }}& R_1^{{\rm{gh}}}\lambda _0^{{\rm{gh}}}{\rm{ + }}R_2^{{\rm{gh}}}(1 - r)\varLambda {\rm{ + }}R_c^{{\rm{gh}}}(r - F(r))\varLambda - \\& c_{\rm{s}}^{{\rm{gh}}}{n^{{\rm{gh}}}} - c_{\rm{w}}^{{\rm{gh}}}(1 - F(r))\varLambda {W^{{\rm{gh}}}}. \end{split} $

式中： $c_{\rm{s}}^j$表示医院 $j$的单位服务成本（单个医生薪酬支付）， $c_{\rm{w}}^{}$表示GK系统内单位时间的等待成本， $R_1^{{\rm{chc}}}\lambda _0^{{\rm{chc}}}$、 $R_1^{{\rm{gh}}}\lambda _0^{{\rm{gh}}}$分别为CHC和GH的初诊收益， $R_2^{{\rm{chc}}}r\varLambda $和 $R_2^{{\rm{gh}}}(1 - r)\varLambda $为经过双向转诊后CHC和GH的进一步诊疗收益， ${c_{\rm{m}}}(r - F(r))\varLambda $为CHC对疑难上转患者的转诊成本， $R_{\rm{c}}^{{\rm{gh}}}(r - F(r))\varLambda $为GH对从CHC转诊而来的疑难患者收取治疗收入， $c_{\rm{s}}^{{\rm{chc}}}{n^{{\rm{chc}}}}{\rm{ + }} c_{\rm{w}}^{{\rm{chc}}}r\varLambda {W^{{\rm{chc}}}}$和 $c_{\rm{s}}^{{\rm{gh}}}{n^{{\rm{gh}}}} + c_{\rm{w}}^{{\rm{gh}}}(1 - F(r))\varLambda {W^{{\rm{gh}}}}$分别为CHC和GH的最优人员配置成本和等待成本之和. 根据文献[24]提出的简化规则，当到达率为 $\lambda $，服务速率为 $\mu $时，根据简化规则可得相应的最佳人员配置水平为 ${n^{j*}} = {\rho ^j} + {\chi ^{j{\rm{*}}}}\sqrt {{\rho ^j}} ,j = {\rm{gh}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{chc}}$. 其中，医院 $j$根据近似估计，可得其最优的标准化可超容量^[11]为 ${\chi ^{j{\rm{*}}}} \approx \sqrt {{{{\varepsilon ^j}}}\left/{ \left[ {{{{\rm{1 + }}{\varepsilon ^j}(\sqrt {{{\text{π}} / 2}} - 1)}}} \right] }\right. } , {\varepsilon ^j}{\rm{ = }}\dfrac{{c_w^{}}}{{c_s^j}}, 0 <$ ${\varepsilon ^j} \leqslant 10 $， ${\rho ^j}{\rm{ = }}\dfrac{{{\lambda ^j}}}{{{\mu ^j}}}$. 因此，GH和CHC的期望等待时间为： ${W^j}({\chi ^{j{\rm{*}}}},r) = {{g({\chi ^{j{\rm{*}}}})}} \left/{\left[ {\! {{{\lambda ^j}(r){\mu ^j}(r)}}}\! \right]}\right.,j \!=\! {\rm{gh}}, {\rm{chc}},$其中， $g({\chi ^{j{\rm{*}}}}){\rm{ = }} $ $\left[ {{\chi ^{j{\rm{*}}}}{\rm{ + }}{{({\chi ^{j{\rm{*}}}})}^2}} \!\!\times\! \right.$ ${\left. \varPhi ({\chi ^{j{\rm{*}}}})/{\varphi ({\chi ^{j{\rm{*}}}})} \right]^{ - 1}}$， $\varPhi ( \cdot )$和 $\varphi ( \cdot )$分别为标准正态分布CDF和PDF. 进而 式（1）、（2）可分别简化为

(3) ${{{\text{π}}} ^{{\rm{chc}}}}{\rm{ = }}{\pi} _0^{{\rm{chc}}}{\rm{ + }}R_1^{{\rm{chc}}}r\varLambda - {c_{\rm{m}}}(r - F(r))\varLambda - {\varTheta ^{{\rm{chc}}}},$

(4) ${{{\text{π}}} ^{{\rm{gh}}}}{\rm{ = }}{\pi} _0^{{\rm{gh}}}{\rm{ + }}R_2^{{\rm{gh}}}(1 - r)\varLambda + R_{\rm{c}}^{{\rm{gh}}}(r - F(r))\varLambda - {\varTheta ^{{\rm{gh}}}}.$

第1项 ${{\text{π}}} _0^j{\rm{ = }}R_1^j\lambda _0^j$是2家医院的初始基本收益，第2项 $R_1^{{\rm{chc}}}r\varLambda $和 $R_2^{{\rm{gh}}}(1 - r)\varLambda $ 分别为CHC和GH在转诊后剩余患者的收费收入，第3项 ${\varTheta ^j}{\rm{ = }}c_{\rm{s}}^j{\rho ^j}(1 + $ $ 2{\theta ^j}({\varepsilon ^j}, r))$， $j = {\rm{gh}}, {\rm{chc}}$是标准化简化的最优人员配置和等待成本函数，其中的标准化函数^[11]为： ${\theta ^j}({\varepsilon ^j},r){\rm{ = }}[B({\varepsilon ^j}) + {{{\varepsilon ^j}g(B({\varepsilon ^j}))]}}/{{2\sqrt {\varLambda {T^j}(r)} }}$.

根据上述分析与简化，可以得到集中决策模式下非竞争GK系统的总效用函数为

(5) $\begin{split} {\varPi ^{{\rm{NC}}}}(r) = &{{{\text{π}}} ^{{\rm{chc}}}}{\rm{ + }}{{{\text{π}}} ^{{\rm{gh}}}} = \\& \varLambda \left[ {R_1^{{\rm{chc}}}r - {c_{\rm{m}}}(r - F(r)){\rm{ + }}R_2^{{\rm{gh}}}(1 - r)} \right] + \\& R_{\rm{c}}^{{\rm{gh}}}(r - F(r))\varLambda {\rm{ + }}\sum\nolimits_j {\left( {{\text{π}} _0^j - {\varTheta ^j}(r)} \right)} . \end{split} $

系统协调性求解的最优性条件由引理1给出.

引理1　非竞争型GK系统的总效用函数 ${\Pi ^{{\rm{NC}}}}(r)$为转诊阈值 $r$上的严格凹函数，须满足：1） ${c_{\rm{m}}} > R_{\rm{c}}^{{\rm{gh}}}$；2） ${T^{{\rm{gh}}}}(r)'' \! > \! 0, {\kern 1pt} \forall r \in [0,1.0]; \;$ 3） $\sqrt \varLambda \! > \! \max \; \left\{ { \overline {{\lambda ^{{\rm{chc}}}}} , \overline {{\lambda ^{{\rm{gh}}}}} } \right\}$。式中：

$ \begin{split} & \overline {{\lambda ^{{\rm{chc}}}}} {\rm{ = }}\frac{{{\eta ^{{\rm{chc}}}}[{{({t^{{\rm{chc}}}})}^2} - 2{t^{{\rm{chc}}}}'{T^{{\rm{chc}}}}]}}{{4{t^{{\rm{chc}}}}'{{({T^{{\rm{chc}}}})}^{1.5}}}},\\& \overline {{\lambda ^{{\rm{gh}}}}} {\rm{ = }}\frac{{{\eta ^{{\rm{gh}}}}[{{({T^{{\rm{gh}}}}')}^2} - 2{T^{{\rm{gh}}}}''{T^{{\rm{gh}}}}]}}{{4{T^{{\rm{gh}}}}''{{({T^{{\rm{gh}}}})}^{1.5}}}}. \end{split}$

命题1　给定总效用方程严格凹性，GK系统集中决策的一阶最优转诊阈值 $r_0^{{\rm{NC*}}}$由下式给出：

(6) $\begin{split} r_0^{{\rm{NC*}}} = & \left\{ {r\left| {R_2^{{\rm{chc}}} - R_2^{{\rm{gh}}} + R_{\rm{c}}^{{\rm{gh}}}(1 - f(r)) - } \right.} \right.\\ & {c_{\rm{m}}}(1 - f(r)) - c_{\rm{s}}^{{\rm{chc}}}{t^{{\rm{chc}}}}(r){\varTheta ^{{\rm{chc}}}}(r) + \\ & {\left. {c_{\rm{s}}^{{\rm{gh}}}f(r){t^{{\rm{gh}}}}(r){\varTheta ^{{\rm{gh}}}}(r) = 0} \right\}_.} \end{split}$

根据命题1可得非竞争型系统最优转诊阈值 $r_0^{{\rm{NC*}}}$，且该阈值是转诊决策的“分水岭”，能够系统最优地将病情复杂度低于 $r_0^{{\rm{NC*}}}$的患者留在CHC进行诊疗，将高于 $r_0^{{\rm{NC*}}}$的患者留在GH进行诊疗. 在这种转诊策略下的GK系统运作管理可以保证最大程度使用医疗资源，系统性提高医院总效用.

考虑疑难疾病患者上转的成本完全由CHC承担，服务支付契约决策顺序：GH确定契约支付决策，CHC针对GH的决策确定转诊阈值决策.

对于病情复杂度超过 $r$的患者，GH对每个患者支付 $\omega $来激励CHC；对于上转的疑难患者，因为CHC承担初诊误判责任，GH无须对这一部分患者支付费用成本. 转移支付费用为 ${\rm{TP}}(r,\omega ) = \omega (1 - r) \varLambda $，在转移支付情况下，CHC和GH的效用函数为

(7) $\begin{split} {{{\text{π}}} ^{{\rm{chc}}}}{\rm{(}}r{\rm{) = }}&{\pi} _0^{{\rm{chc}}}{\rm{ + }}R_1^{{\rm{chc}}}r\varLambda - {c_{\rm{m}}}(r - F(r))\varLambda - \\& {\varTheta ^{{\rm{chc}}}}{\rm{ + }}{\rm{TP}}(r,\omega ), \end{split} $

(8) $\begin{split} & {{\text{π}} ^{{\rm{gh}}}}{\rm{(}}\omega {\rm{) = }}\pi _0^{{\rm{gh}}}{\rm{ + }}R_2^{{\rm{gh}}}(1 - r)\varLambda {\rm{ + }}R_{\rm{c}}^{{\rm{gh}}}(r - F(r))\varLambda - \\& \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\varTheta ^{{\rm{gh}}}} - {\rm{TP}}(r,\omega ). \end{split} $

系统通过服务支付契约达到集中决策模式下的目标效用函数最优值，则为完美协调. 非竞争型模型下的完美协调旨在通过转移支付，使得在支付价格激励下达到集中决策系统最优的转诊阈值，即 $r_{{\rm{pc}}}^{{\rm{NC}}} = r_0^{{\rm{NC*}}}$. CHC与GH协商达成一致意见，通过调整转移支付从而来实现系统总效用最大化. 根据2个阶段的博弈逆序推导求解模型.

为保证均衡解的稳定性和唯一性，给出引理2.

引理2　CHC和GH效用函数为严格凹函数的条件分别为

$ \begin{aligned} & 1)\quad \frac{{{c_{\rm{m}}}f(r)'}}{{c_{\rm{s}}^{{\rm{chc}}}}} < {t^{{\rm{chc}}}}'{\rm{ + }}\frac{{{\eta ^{{\rm{chc}}}}{t^{{\rm{chc}}}}'}}{{2\sqrt {\varLambda {T^{{\rm{chc}}}}} }} - \frac{{{\eta ^{{\rm{chc}}}}{{({t^{{\rm{chc}}}})}^2}}}{{4\sqrt \varLambda {{({T^{{\rm{chc}}}})}^{1.5}}}}, \\& 2)\quad \frac{{R_2^{{\rm{gh}}}f(r)'}}{{c_{\rm{s}}^{{\rm{gh}}}}} + {T^{{\rm{gh}}}}'' + \frac{{{\eta ^{{\rm{gh}}}}{T^{{\rm{gh}}}}''}}{{2\sqrt {\varLambda {T^{{\rm{gh}}}}} }} > \frac{{{\eta ^{{\rm{gh}}}}{{({T^{{\rm{gh}}}}')}^2}}}{{4\sqrt \varLambda {{({T^{{\rm{gh}}}})}^{1.5}}}}. \end{aligned} $

命题2　给定系统最优转诊阈值 $r_0^{{\rm{NC*}}}$，有

1）GH的完美协调最优服务支付价格 ${\omega _{\rm{p}}^*}$为

(9) $\begin{split} \omega _{\rm{p}}^* = &R_2^{{\rm{chc}}} - \left[ {{c_{\rm{m}}}\left( {1 - f\left( {r_0^{{\rm{NC*}}}} \right)} \right) - } \right.\\ &\left. {c_{\rm{s}}^{{\rm{chc}}}{t^{{\rm{chc}}}}\left( {r_0^{{\rm{NC*}}}} \right)\left( {1 + {\theta ^{{\rm{chc}}}}\left( {r_0^{{\rm{NC*}}}} \right)} \right)} \right]. \end{split}$

2）完美协调条件为

(10) $\begin{split} & R_{\rm{c}}^{{\rm{gh}}}(1 - f(r)) + {\omega _{\rm{p}}^*} - R_2^{{\rm{gh}}} = \\& \; \; \; \; \; \; \;c_{\rm{s}}^{{\rm{gh}}}f(r){t^{{\rm{gh}}}}(r)(1 + {\theta ^{{\rm{gh}}}}(r)). \\ \end{split} $

命题2说明GH通过对每个直接上转患者支付 ${\omega _{\rm{p}}^*}$ 的费用，使CHC做出转诊阈值为 $r_0^{{\rm{NC*}}}$ 的决策；协调条件保证了GH和CHC分别实现效用最大化. 因此，2家医院可以通过服务支付契约协商的方式，在保证各自获得最大利润的基础上，通过选取适当的支付价格契约参数 ${\omega _{\rm{p}}^*}$ 来实现系统最优.

非完美协调情况下，GH和CHC独立地进行决策实现自身效用最大化，决策顺序和内容不变. 根据2个阶段的逆向推导思路求解转诊博弈模型.

命题3　给定第1阶段GH支付决策 $\omega $，第2阶段CHC定非完美协调下最优的转诊阈值 $r_{{\rm{np}}}^{{\rm{NC*}}}$为

(11) $\begin{split} r_{{\rm{np}}}^{{\rm{NC*}}}(\omega ) = & \left\{ {r\left| {R_2^{{\rm{chc}}} - \omega - {c_{\rm{m}}}(1 - f(r)) = } \right.} \right.\\ & \left. {c_{\rm{s}}^{{\rm{chc}}}{t^{{\rm{chc}}}}(r)(1 + {\theta ^{{\rm{chc}}}}(r))} \right\}. \end{split}$

在命题3的基础上，命题4给出了非完美协调情况下的GH最优决策支付价格.

命题4　给定非竞争型系统下GH的最优反应方程 $r_{{\rm{np}}}^{{\rm{NC*}}}(\omega )$，GH第1阶段最优服务支付价格为

(12) $\begin{split} \omega _{{\rm{np}}}^{{\rm{NC}}*} = & \left\{ {\omega \left| {\frac{{R_{\rm{c}}^{{\rm{gh}}}(1 - f(\omega ))}}{{1 + {\theta ^{{\rm{gh}}}}(\omega )}} - c_{\rm{s}}^{{\rm{gh}}}{T^{{\rm{gh}}}}^\prime (\omega ) = } \right.} \right.\\ & \left. {\frac{{R_2^{{\rm{gh}}} - \omega }}{{1 + {\theta ^{{\rm{gh}}}}(\omega )}} + \frac{{1 - r_{{\rm{np}}}^{{\rm{NC}}*}(\omega )}}{{(1 + {\theta ^{{\rm{gh}}}}(\omega ))r_{{\rm{np}}}^{{\rm{NC}}*}(\omega )'}}} \right\}. \end{split}$

命题3、4说明，当GH和CHC只考虑自身效用最大化，不考虑系统最优时，GH做出对每个直接上转患者支付 $\omega _{{\rm{np}}}^{{\rm{NC*}}}$的决策，CHC据GH的最优反应，确定转诊阈值为 $r_{{\rm{np}}}^{{\rm{NC*}}}(\omega _{{\rm{np}}}^{{\rm{NC*}}})$.

在模型1的基础上，模型2考虑了2家GH共同竞争上转患者的情形. 根据图2的竞争型机制，且考虑竞争需求的分配策略 ${\phi _i}({\kern 1pt} {\kern 1pt} i = 1,2)$，可得：

(13) ${{{\text{π}}}^{{\rm{chc}}}}{\rm{ = }}{{\text{π}}}_0^{{\rm{chc}}}{\rm{ + }}R_1^{{\rm{chc}}}r\varLambda - {c_{\rm{m}}}(r - F(r))\varLambda - {\varTheta ^{{\rm{chc}}}},$

(14) $\begin{split} {{\text{π}}} _{}^{{\rm{gh,}}i}{\rm{ = }}&{\pi} _0^{{\rm{gh,}}i}{\rm{ + }}{\phi _i}[R_2^{{\rm{gh,}}i}(1 - r)\varLambda - \varTheta _{^{}}^{{\rm{gh,}}i} + \\& R_{\rm{c}}^{{\rm{gh,}}i}(r - F(r))\varLambda ]. \end{split} $

式中： ${{\text{π}}} _0^{j,i}{\rm{ = }}R_1^j\lambda _0^{j,i}$为初始基本收益， ${\phi _i}({\kern 1pt} {\kern 1pt} i = 1,2)$为GH1和GH2分别对价格依赖的分配比例， ${\varTheta ^{{\rm{gh}},i}}{\rm{ = }}c_{\rm{s}}^{{\rm{gh}}}{\rho ^{{\rm{gh}},i}} $ $(1 +2{\theta ^{{\rm{gh}},i}}({\varepsilon ^{{\rm{gh}}}},r)) $( ${\kern 1pt} i = 1,2$)为标准化的最优人员配置和等待成本函数，其中的标准化函数为 ${\theta ^{j,i}}{\rm{ = }} $ $[B({\varepsilon ^{j,i}}) + {\varepsilon ^{j,i}}g(B({\varepsilon ^{j,i}}))]/\left({{2\sqrt {\varLambda {T^{j,i}}(r)} }}\right)$.

以3家医院为一个整体，得系统总效用目标函数为

(15) ${\varPi ^{\rm{C}}}(r){\rm{ = }}{{\text{π}} ^{{\rm{chc}}}} + \sum\limits_{i = 1}^2 {{\pi ^{{\rm{gh}},i}}} .$

引理3　竞争型模型的目标效用函数 ${\varPi ^{\rm{C}}}(r)$为转诊阈值 $r$上的严格凹函数，须满足：1） ${c_{\rm{m}}} \! > \! \displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^2 {{\phi _i}R_{\rm{c}}^{{\rm{gh,}}i}}$；2） ${T^{{\rm{gh,}}i}}(r)'' > 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \forall r \in [0,1.0]$；3） $\sqrt \varLambda > \max \{ \overline {{\lambda ^{{\rm{chc}}}}} ,\overline {{\lambda ^{{\rm{gh,}}i}}} \} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} i = 1,2 .$. $\overline {{\lambda ^{{\rm{gh,}}i}}} {\rm{ = }}{{{\eta ^{{\rm{gh,}}i}}[{{({T^{{\rm{gh,}}i}}')}^2} - 2{T^{{\rm{gh,}}i}}''{T^{{\rm{gh,}}i}}]}}/ \left(\!4{T^{{\rm{gh,}}i}}'' {T^{{\rm{gh,}}i}} \sqrt {{T^{{\rm{gh,}}i}}} \right)$.

命题5　给定系统效用函数凹性，竞争型系统最优转诊阈值 $r_0^{\rm{C*}}$满足下列一阶最优性关系给出：

(16) $\begin{split} r_0^{{\rm{C}}*} = & \left\{ {r\left| {{c_{\rm{m}}}(1 - f(r)) + c_{\rm{s}}^{{\rm{chc}}}{t^{{\rm{chc}}}}(r){{\varTheta }^{{\rm{chc}}}}(r) = } \right.} \right.\\ & R_2^{{\rm{chc}}}{\rm{ + }}\sum\nolimits_{i = 1}^2 {{\phi _i}R_{\rm{c}}^{{\rm{gh}},i}(1 - f(r))] - } \\ & \left. {\sum\nolimits_{i = 1}^2 {c_{\rm{s}}^{{\rm{gh}},i}{T^{{\rm{gh}},i}}^\prime (r){{\varTheta }^{{\rm{gh}},i}}(r) + \phi R_2^{{\rm{gh}},i}} } \right\}. \end{split}$

命题5说明，为实现系统总效用最大，当患者病情严重程度低于 $r_0^{\rm{C*}}$时，由下级医院进行治疗；当患者病情严重程度高于 $r_0^{\rm{C*}}$时，按照外生确定的分配比例将患者分配给2家上级医院进行治疗. 命题5给出在竞争型系统下的系统最优转诊阈值策略.

CHC、GH1和GH2独立决策，2家GH竞争定价，CHC根据其2家的支付水平，确定转诊阈值，决策顺序为GH1与GH2同时确定契约支付策略，接着CHC根据两者的竞争支付契约决策，确定转诊阈值策略.

协调转移支付形式根据支付价格表达为 ${\rm{T}}{{\rm{P}}_i}(r,\omega ) = {\phi _i}{\omega _i}(1 - r)\varLambda $，因此3家医院在协调支付机制下的效用函数分别为

(17) $\begin{split} {{{\text{π}}} ^{{\rm{chc}}}}{\rm{(}}r{\rm{) = }}&{{\text{π}}} _0^{{\rm{chc}}}{\rm{ + }}R_1^{{\rm{chc}}}r\varLambda - {c_m}(r - F(r))\varLambda - {\varTheta ^{{\rm{chc}}}} + \\& \sum\nolimits_{i = 1}^2 {{\rm{T}}{{\rm{R}}_i}(r,{\omega _i})} , \end{split} $

(18) $\begin{split} {{\pi} ^{{\rm{gh,}}i}}{\rm{(}}{\omega _i}{\rm{) = }}&{{\text{π}}} _0^{{\rm{gh,}}i}{\rm{ + }}R_2^{{\rm{gh,}}i}(1 - r)\varLambda - {\varTheta ^{{\rm{gh,}}i}} + \\& R_{\rm{c}}^{{\rm{gh,}}i}(r - F(r))\varLambda - {\rm{T}}{{\rm{R}}_i}(r,{\omega _i}). \end{split} $

竞争型模型下的完美协调旨在达到系统集中决策中的总效用最大化的目标，即令CHC的竞争模型转诊阈值为系统最优阈值，即 $r_{{\rm{pc}}}^{\rm{C}} = r_0^{\rm{C*}}$，再得到相应的完美协调契约参数以及协调的条件.

引理4　基于引理2，易得CHC的效用函数为凹函数，则使GH1和GH2的效用函数为严格凹函数的条件为

$ \frac{{R_2^{{\rm{gh,}}i}f(r)'}}{{{\phi _i}c_{\rm{s}}^{{\rm{gh,}}i}}} + {T^{{\rm{gh}}}}'' + \frac{{{\eta ^{{\rm{gh,}}i}}{T^{{\rm{gh,}}i}}''}}{{2\sqrt {\varLambda {T^{{\rm{gh,}}i}}} }} - \frac{{{\eta ^{{\rm{gh,}}i}}{{({T^{{\rm{gh,}}i}}')}^2}}}{{4\sqrt \varLambda {{({T^{{\rm{gh,}}i}})}^{1.5}}}} > 0. $

命题6　给定系统最优转诊阈值 $r_{{\rm{pc}}}^{\rm{C}} = r_0^{\rm{C*}}$，

1）在竞争环境下，能够实现完美协调的GH1和GH2最优支付价格 $\omega _{{\rm{p}},i}^{\rm{C*}}$为

(19) $\begin{split} \omega _{{\rm{p}},i}^{C{\rm{*}}} = & \left\{ {{\omega _i}\left| {R_2^{{\rm{chc}}} - {c_{\rm{m}}}(1 - f(r_0^{{\rm{C}}*})){\rm{ + }}\sum\limits_{i = 1}^2 {{\omega _i}{\phi _i}} = } \right.} \right.\\ & \left. {c_{\rm{s}}^{{\rm{chc}}}{t^{{\rm{chc}}}}(r_0^{{\rm{C}}*})(1 + {\varTheta ^{{\rm{chc}}}}(r_0^{{\rm{C}}*}))} \right\}. \end{split}$

2）竞争模型下的完美协调条件为

(20) $\begin{split} R_2^{{\rm{gh,}}i} & + c_{\rm{s}}^{{\rm{gh,}}i}f(r){t^{{\rm{gh,}}i}}(r)(1 + {\theta ^{{\rm{gh,}}i}}(r)) = \\& R_{\rm{c}}^{{\rm{gh,}}i}(1 - f(r)) + \omega _{{\rm{p}},i}^{C*}{\rm{.}} \end{split} $

命题6给出完美协调的契约价格和协调条件，说明如果要达到GK系统最优的效用，不但服务支付机制要按式（19）的支付价格进行协调，而且系统的成本、收费参数要满足式（20）给出的完美协调条件. 可以看出，与命题2相比，命题6的完美协调要求更加严格，条件也更难满足.

非完美协调不以系统最优为目标，3家医院独立决策使得自身效用最大化. 应用逆序推导的思路，分别求解CHC、GH1和GH2的均衡策略.

命题7　给定2家医院支付契约参数，第2阶段CHC会做出最优反应，得出竞争模型下一阶最优转诊阈值 $r_{{\rm{np}}}^{\rm{C*}}({\omega _i})$：

(21) $\begin{split} r_{{\rm{np}}}^{\rm{C*}}({\omega _i}) = & \left\{ {r\left| {R_2^{{\rm{chc}}} = {c_{\rm{m}}}(1 - f(r)) + } \right.} \right.\\ & \left. {\sum\nolimits_{i = 1}^2 {({\omega _i}{\phi _i}){\rm{ + }}} c_{\rm{s}}^{{\rm{chc}}}{t^{{\rm{chc}}}}(r)(1 + {\theta ^{{\rm{chc}}}}(r))} \right\}. \end{split}$

命题8　给定 $r_{{\rm{np}}}^{\rm{C*}}(\omega )$非完美协调的CHC最优反应函数，GH1和GH2定其最优契约定价 $\omega _{{\rm{np}},i}^{C*}$为

(22) $\begin{split} \omega _{{\rm{np}},i}^{C{\rm{*}}} = & \left\{ {\omega \left| {\frac{{{\phi _i}R_{\rm{c}}^{{\rm{gh}},i}(1 - f({\omega _i}))}}{{(1 + {\theta ^{{\rm{gh}},i}}({\omega _i}))}} = } \right.} \right.\\ & c_{\rm{s}}^{{\rm{gh}},i}{T^{{\rm{gh}},i}}^\prime ({\omega _i}){\rm{ + }}\frac{{{\phi _i}R_1^{{\rm{gh}},i} - {\omega _i}}}{{(1 + {\theta ^{{\rm{gh}},i}}({\omega _i}))}} + \\ & \left. {\frac{{{\phi _i}(1 - r_{{\rm{np}}}^{{\rm{C}}*}({\omega _i}))}}{{(1 + {\theta ^{{\rm{gh}},i}}({\omega _i}))r_{{\rm{np}}}^{{\rm{C}}*}({\omega _i})'}}} \right\}. \end{split}$

命题7、8说明在只考虑3家医院各自效用最大化的情形下，GH1和GH2竞争定价 $\omega _{{\rm{np}},i}^{{C*}}$决策确定之后，CHC会根据其进行最优反应决策确定最优转诊阈值 $r_{{\rm{np}}}^{\rm{C*}}(\omega _{{\rm{np}},i}^{{C*}})$. 可以看出，命题7、8所得结论与命题3、4类似，但是竞争型模式的转诊阈值高于非竞争型模式的.

数值分析主要目的：1）描绘GK系统集中决策的总效用函数变化规律，最优转诊阈值随GK系统环境如何变化；2）验证完美协调的均衡解在不同模型、不同规模的GK系统中的存在性；3）根据契约协调，探究提高协调效率的方向，以启示管理思路.

应用Mathematica、Minitab、Python等数学计算工具进行模拟数值实验. 将小规模医疗需求表达为 $\varLambda {\rm{ = }}10$ 人/min，大规模医疗需求表达为 $\varLambda {\rm{ = }}100$ 人/min. 数值实验其他数据主要参考文献[8]、[9].

GK系统服务水平存在差异，因此设置了4种就医环境情形和5种数值实验方案，说明解析结论的鲁棒性. 如表1所示，4种GK系统就医环境情形由不同的CHC与GH的服务时间分布函数（service time distribution function，SDF）组成. 不同情形下，病情复杂度为 $x$的患者，成功治愈概率分布函数为 $f(x) = 1 - x$. 在4种环境的服务水平下，设置5种实验方案模拟系统变化，如表2所示.

表2中，各方案由4个参数组成：单位等待成本 ${c_{\rm{w}}}$，单位疑难转诊成本 ${c_{\rm{m}}}$，CHC单位时间内人员服务成本 $c_{\rm{s}}^{{\rm{chc}}}$，GH单位时间内人员服务成本 $c_{\rm{s}}^{{\rm{gh}}}$；方案A是基准设置，方案B、C、D、E分别模拟CHC单位服务成本降低、CHC疑难转诊单位成本降低、2家医院单位等待成本降低和GH单位服务成本降低的情况.

小规模GK系统就诊需求量设置下，不同情形的系统总效用函数变化如图3所示. 可以看出，在小规模GK系统患者需求设置下，4个实验方案相比于基准方案A，均具有更好的总体效用. 说明降低等待成本、疑难转诊成本和单位服务成本都能提升系统总效用. 方案B的提升效果最佳，即总体效用对于CHC单位服务成本变化最敏感. 对于使得系统达到集中优化最高的转诊阈值，最高的是方案B，其次是方案C，然后是方案D或方案E，因此对于如何使得CHC提高首诊率，可以考虑按照这个方案顺序调整.

大规模GK系统患者需求设置下，不同情形的系统总效用变化如图4所示. 与图3的结论类似，在大规模系统中成本敏感性成立. 可以发现，随着GK系统的就诊需求规模增大，方案A和方案D越接近，即系统总收益对单位等待时间越不敏感，即大规模医疗系统设计应更加考虑其他2个方面的成本影响.

分析还发现，在不同规模的系统集中决策下，单位疑难转诊成本的增加会提高系统最优的转诊阈值，导致更多的患者在CHC就诊，提高社区首诊率；单位等待成本的减少会降低最优转诊阈值，导致更多的患者在GH就诊.

如图5所示，非竞争模型中，4个GK就医环境情形下，均存在完美协调的均衡解. 从数值上验证了命题2中的完美协调理论分析结果，且验证和补充了文献[9]中对于无成本分摊协议的大规模无法协调的情形. 在小规模设置下，情形1、2、3的GH服务时间稳定（线性）分布，CHC服务时间越长，均衡转诊阈值越低，即留在CHC的患者越少，GH的转诊支付价格降低（医疗需求越来越充足）；当情形4出现两者均为指数分布的情形时，CHC倾向于更多地保留患者，GH倾向于低价支付转诊.

定义系统协调效率^[15]$e{\rm{ = }}{{({{\pi ^{{\rm{gh*}}}}{\rm{ + }}{{\pi ^{{\rm{chc*}}}})} / {{\varPi ^{{\rm{NC}}}}}}}}$，通过数值算例可得表3所示的结果. 可以看出，无论规模大小，非竞争型GK系统的服务支付机制均能够达到较高的协调效率，大于93%.

在4种情形中，线性服务时间分布的情况协调效率最高，说明诊疗服务时间随着病情复杂度升高而缓慢延长（线性递增<二次递增<指数递增）时，协调效率更好.

由表3分析可知，各情形下小规模系统的服务支付协调效率均低于大规模系统，当2家医院的服务水平差距越来越大时（情形1到情形4服务速率差距递增），小规模与大规模系统协调效率差距越大. 这是因为非竞争情形下，当外部医疗需求恒定且充足时，系统资源利用率较高，协调效率较高；当医疗需求不充足时，容易产生资源的浪费，使协调效率受损.

竞争型模型不同情形下的变化规律与非竞争型类似，如图6、7所示分别为大、小规模下竞争型设置环境在不同情形下的总效用函数变化曲线. 可以看出，所有系统总效用函数均为转诊阈值的凹函数；方案B是5个方案中使得系统效用最高的方案，即从成本控制的角度看，将患者留在单位服务成本较低的医院有利于提升系统总体效用.

以小规模情形2为例，对比分析竞争与非竞争型系统. 竞争系统的最优转诊阈值 $r_0^{\rm{C*}}$=0.379，比非竞争系统的最优转诊阈值 $r_0^{{\rm{NC*}}}$=0.358高，即与非竞争系统相比，竞争系统倾向于将患者保留在CHC，原因是为保证系统存在唯一最优转诊阈值，需满足引理1的凹性条件，即对于后续疑难转诊的惩罚程度高于对于上转至GH的收益程度，引入竞争势必会增加系统的转诊成本，在较高的转诊成本下，系统最优转诊阈值升高，更多的资源在最优策略下会被分配给成本低的CHC，较少资源被分配给成本更高的GH，使得CHC首诊率提高产生较高的系统效用.

如图8所示为竞争型系统完美协调解示意图. 可知，不同规模的竞争型GK系统，完美协调依然存在，这一点为文献[9]的协调存在性作了补充. 以情形2小规模为例，在竞争的情况下，单家GH的完美协调价格 $\omega _{{\rm{p}},i}^{{C*}}$=2.801要低于非竞争的完美协调价格 ${\omega _{\rm{p}}}^*$=2.827. 表明引入竞争使得系统的转诊成本升高，系统基于效用最大化原则会调节资源分配至成本更低的CHC，从而在更高的最优转诊阈值下，利用支付机制实现完美协调，可以竞争的资源更少，竞争的双方支付的意愿降低. 在GK系统下的引入竞争，会对GH制定支付价格起抑制作用.

针对小规模、大规模医疗系统环境，相应协调转诊的分析计算结果见表4和表5. 结合表4、表5所得算例可以发现，不同规模下，竞争系统内相互竞争资源增加系统转诊成本，降低系统集中最优的总体效用，2种模型下的契约协调效果大体一致，因此竞争系统比非竞争系统协调效率高；在竞争系统下，因为大规模设置的契约协调条件涉及三方博弈，较大规模的协调条件比较小规模系统的更难达成，所以小规模竞争系统协调效率高于大规模. 由此，建议在医疗系统的设计时，设置多家小规模GH（疑难症专科医院）与少数几家大规模CHC（全科普通社区医院）以促成竞争系统，实现协调；对于系统设计与协调机制，应当考虑设置小规模的转诊，如医院内部单元转诊协调、小型医疗单元系统协调，在医疗改革与医疗系统设计的实践，有利于指导如何划分医疗分区、精细化管理区域医疗资源，如此能提升系统协调效率，提供有效的决策参考依据.

由表4、5可以看出，在竞争型模型中支付机制越依赖自身价格敏感性，协调效率越高，GH和系统整体均衡效用提升，CHC均衡效用降低；支付机制越依赖竞争对手的价格敏感性，协调效率越低，CHC均衡效用提升，GH和系统整体均衡效用降低. 竞争支付价格依赖程度降低、自身支付价格依赖程度升高，使均衡转诊阈值趋近于系统集中决策下的最优阈值，提升了系统协调效率.

本文研究GK系统在系统集中决策和服务支付契约合作2种模式下，考虑竞争与否对实现系统内部协调的影响. 得出GK系统集中决策优化总体效用最优转诊阈值及其最优转诊策略. 分析服务支付契约合作模式下，使得系统达到最优效用的GH最优契约形式，激励CHC选择系统最优转诊阈值，给出完美协调条件. 从两阶段博弈的角度分析均衡解下的GH均衡契约形式与CHC均衡转诊阈值. 实验结果显示，非竞争型GK系统在不同规模下均较优，通过服务支付契约协调机制可使得现实医疗实践存在的竞争型系统得到相近的效果. 研究还发现，从协调效率的角度看，竞争型系统协调效率较高；特别地，竞争系统下由于大规模实现多主体的协调条件比小规模严格，小规模竞争系统协调效率高于大规模. 研究表明，如果竞争无法避免，设置多个小型竞争医院能够比设置少量大型医院带来更高的社会效率.