轴流式流体机械中，在动叶叶顶与端壁之间，为了避免摩擦存在尺度较小的间隙，在间隙压差作用下，间隙流动形成间隙涡及涡空化，导致水力机械性能变化、诱导振动和噪声等现象的产生^[1-2]. 分析间隙涡形成机理和间隙几何对间隙流动及其涡形态的影响，有利于优化叶轮、叶片几何参数，提高流体机械设备的工作效率^[3-7].

Dreyer等^[8-9]以NACA0009水翼为实验研究对象，对不同进口速度、攻角、间隙条件下的绕水翼间隙流动进行立体粒子图像测速（stereo particle image velocimetry，SPIV）实验，发现间隙尺寸与叶顶泄漏涡（tip leakage vortex，TLV）有很强的相关性，间隙尺寸不但影响涡核轨迹，而且存在特定的间隙宽度使得涡强度最大；同时认为涡旋引起的黏性变化和边界层卷吸至涡核区造成的动量损失共同影响TLV流向速度. You等^[10-11]以不同间隙大小直列叶栅叶顶间隙流动为对象，分析间隙涡结构的演变与空化机理，认为间隙射流产生的速度梯度是形成泄漏涡量、湍流动能和雷诺应力的原因. Laborde^[12]分别对4种间隙几何形状轴流式叶轮进行间隙空化和间隙涡空化分析，认为压力边圆角有利于抑制间隙空化，间隙几何的改变对间隙涡空化影响较小. Giuni^[13]对2种叶顶NACA0012翼形进行气动低雷诺数下的翼尖涡旋结构可视化实验和研究，发现圆形翼尖流动形成在吸力边一侧，多涡流稳定结构以螺旋结构为主涡；方形翼尖流动在压力边一侧形成分离涡旋，逐渐发展至吸力边，并与螺旋结构的主涡掺混、融合，形成不稳定涡结构. Decaix等^[14]采用RANS和LES对不同间隙宽度绕水翼流动进行模拟分析，得出间隙涡由叶顶泄漏涡、分离涡和诱导涡组成，间隙大小对涡轨迹、强度、涡尺度及轴流速度有影响.

水翼间隙泄漏流及涡旋是间隙及其附近流体在压力面（pressure surface，PS）与吸力面（suction surface，SS）的压差作用下推动的. 泄漏流经间隙处加速，以横向“射流”形式在吸力边一侧形成以TLV为主的涡旋，在间隙区和吸力边附近形成叶顶分离涡（tip separation vortex，TSV）和诱导涡（induce vortex，IV）. 带端壁的叶顶间隙区空间狭小，受实验装置分辨率及光学反射等影响，相关实验数据较少，因此数值计算模拟是获取相关信息的重要手段. 对间隙流动的研究，大量集中在TLV的生成、演绎及其尾迹发展，对叶顶间隙内部流场及涡成形过程和机理研究较少. 本文对绕水翼NACA0009流动一个典型工况进行数值计算，分析10 mm间隙下压力边直角叶顶（plain tip，PT）、圆角叶顶（rounded tip，RT）2种几何设置下的间隙流动及其涡结构等流场特性. 通过对比分析，探究TLV和TSV的演变规律和叶顶几何对间隙涡的影响.

根据均相流假设可知，水、汽两相具有相同的速度与压力. 控制方程由质量方程和动量方程组成：

(1) $\frac{{\partial {\rho _{\rm{m}}}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial ({\rho _{\rm{m}}}{v_j})}}{{\partial {x_j}}} = 0,$

(2) $\frac{{\partial ({\rho _{\rm{m}}}{v_i})}}{{\partial t}} + \frac{{\partial ({\rho _{\rm{m}}}{v_i}{v_j})}}{{\partial {x_j}}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial {x_i}}} + \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left({\mu _{\rm{m}}}\frac{{\partial {v_i}}}{{\partial x}}\right).$

式中：v为速度，下标i和j为笛卡尔坐标系下的不同方向；p为压力； ${\rho _{\rm{m}}}$和 ${\mu _{\rm{m}}}$分别为混合密度和混合黏性系数，

(3) ${\rho _{\rm{m}}} = {\alpha _{\rm{v}}}{\rho _{\rm{v}}} + (1 - {\alpha _{\rm{v}}}){\rho _{\rm{l}}},$

(4) ${\mu _{\rm{m}}} = {\alpha _{\rm{v}}}{\mu _{\rm{v}}} + (1 - {\alpha _{\rm{v}}}){\mu _{\rm{l}}}.$

其中 ${\alpha _{\rm{v}}}$为汽相体积分数， $\;{\rho _{\rm{v}}}$和 $\;{\rho _{\rm{l}}}$分别为汽相和液相的密度， $\;{\mu _{\rm{v}}}$和 $\;{\mu _{\rm{l}}}$分别为汽相和液相的黏性系数.

采用切应力输运-曲率修正湍流模型（shear stress transport-curvature correction，SST-CC）进行数值计算. SST-CC^[15-16]通过修正系数 ${\tilde f_{\rm r}}$，使SST $k - \omega $湍流模型中的湍流生成项P_k对流线曲率及旋转运动敏感， ${\tilde f_{\rm r}}$的表达式如下：

(5) ${\tilde f_{\rm{r}}} = \max \ [\min\ ({f_{{\rm{rot}}}},1.25),0],$

式中： ${f_{{\rm{rot}}}}$为考虑旋转和曲率影响的修正函数，

(6) ${f_{{\rm{rot}}}} = (1 + {c_{{\rm{r1}}}}){f^*}[1 - {c_{{\rm{r3}}}}{\rm{arctan}}({c_{{\rm{r2}}}}\tilde r)] - {c_{{\rm{r1}}}},$

其中c_r1、c_r2、c_r3为经验常数，分别取值为1、2和1， ${f^*}$为旋转修正因子，

(7) ${f^*}{\rm{ = }}\frac{{2{r^{\rm{*}}}}}{{1 + {r^{\rm{*}}}}}.$

式中：r^*和 $\tilde r$为系统旋转速度 ${\varOmega ^{{\rm{rot}}}}$的函数.

经过曲率修正后的湍流模型为

(8) $\frac{{D(\rho_{\rm m} k)}}{{Dt}} = \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left({\mu _{{\rm{kf}}}}\frac{{\partial k}}{{\partial {x_j}}}\right) + { f_{\rm{r}}}{P_k} - {\beta ^{\rm{*}}}\rho_{\rm m} \omega k;$

(9) $\frac{{D(\rho_{\rm m} \omega )}}{{Dt}} = \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left({\mu _{\omega {\rm{f}}}}\frac{{\partial \omega}}{{\partial {x_j}}}\right) + { f_{\rm{r}}}\frac{{{\rm{\alpha }}\omega }}{{k}}{P_k} - {D_\omega } + C{d_\omega };$

(10) $\left. \begin{aligned} & {\mu _t}{\rm{ = }}\frac{{\rho_{\rm m} {\alpha _{\rm{1}}}k}}{{\max ({\alpha _{\rm{1}}}\omega ,S{F_2})}},\;{\mu _{{\rm{kf}}}}{\rm{ = }}\mu_{\rm m} + \frac{{{\mu _t}}}{{{\sigma _k}}} , \\ & {\mu _{\omega {\rm{f}}}}{\rm{ = }}\mu_{\rm m} + \frac{{{\mu _t}}}{{{\sigma _\omega }}},\;{f_{\rm{r}}} = \max \left[ {0.1 + {C_{\rm{s}}}\left( {{{\tilde f}_{\rm{r}}} - 1} \right)} \right] ,\\ & {D_\omega } = \beta \rho_{\rm m} {\omega ^2} ,\;{d_\omega } = \frac{1}{{\omega {{\rm{\sigma }}_{\omega {\rm{2}}}}}}\frac{{\partial k}}{{\partial {x_j}}}\frac{{\partial \omega }}{{\partial {x_j}}}, \\ & C = 2\rho_{\rm m} (1 - {F_1}). \end{aligned} \right\}$

式中：k为湍动能； $\omega $为湍动频率；S为应变率的不变量；F₁、F₂为混合函数；C_s为尺度系数，默认为1； ${\beta ^{\rm{*}}}$、 $\beta $、 $\alpha $、 ${\alpha _{\rm{1}}}$、 ${\sigma _k}$、 ${\sigma _\omega }$、 ${\sigma _{\omega 2}}$均为经验系数.

采用文献[17]的Vortex空化模型，该模型通过修正Zwart空化模型中的凝结系数 ${F_{{\rm{cond}}}}$，对空化可准确预测. 修正后的凝结系数表达式为

(11) ${F_{{\rm{cond}}}} = \left\{ \begin{aligned} & {0.000\;1,}\;\;{{f^*} < 0.6;} \\ & 0.345\;8{({f^*})^3} - 0.716\;3{({f^*})^2} + \\ & \qquad\;\; 0.492\;9{f^*} - 0.112\;5,\;0.6 \leqslant {f^*} < 1; \\ & {0.010\;0,}\;\;{{f^*} \geqslant 1.} \end{aligned} \right.$

Zwart空化模型表达式如下：

(12) $\frac{{\partial ({\alpha _{\rm{v}}}{\rho _{\rm{v}}})}}{{\partial t}} + \frac{{\partial ({\alpha _{\rm{v}}}{\rho _{\rm{v}}}{v_j})}}{{\partial {x_j}}} = {\dot m^ + } + {\dot m^ - }.$

(13) $ {{{\dot m}^ + } = {F_{{\rm{cond}}}}\frac{{3{\alpha _{\rm{v}}}{\rho _{\rm{v}}}}}{{{R_{\rm{B}}}}}\sqrt {\frac{2}{3}\frac{{p - {p_{\rm{v}}}}}{{{\rho _l}}}} };\;{p \geqslant {p_{\rm{v}}}}. $

(14) $ {{{\dot m}^ - } = {F_{{\rm{vap}}}}\frac{{3{\alpha _{{\rm{nuc}}}}(1 - {\alpha _{\rm{v}}}){\rho _{\rm{v}}}}}{{{R_{\rm{B}}}}}\sqrt {\frac{2}{3}\frac{{{p_{\rm{v}}} - p}}{{{\rho _{\rm{l}}}}}} };\;{p < {p_{\rm{v}}}} .$

式中： ${\dot m^ + }$与 ${\dot m^ - }$分别为凝结项与蒸发项，饱和蒸气压 ${p_{\rm{v}}}$=3169 Pa， ${F_{{\rm{cond}}}}$=0.01，蒸发系数 ${F_{{\rm{vap}}}}$=50，气泡半径 ${R_{\rm{B}}}$= ${\rm{1}}{\rm{0}}^{{\rm{ - 6}}}$ m，气核体积分数 ${\alpha _{{\rm{nuc}}}}$= ${\rm{5}} \times {\rm{1}}{{\rm{0}}^{{\rm{ - 4}}}}$.

采用和文献[8]、[9]实验相同的间隙几何NACA0009翼形，压力边倒圆1 mm（即RT方案为实验几何）. 如图1所示为计算域与RT方案几何示意图. 翼型弦长c=100 mm，最大厚度为9.9 mm，攻角为 ${10^ \circ }$，翼型前缘（leading edge，LE）距离进口为2c，距离翼型尾缘（trailing edge，TE）5.5c. 端壁与叶顶之间的间隙τ=10 mm，坐标原点z向在端壁上、x/y向在间隙处弦线的中点处.

如图2所示为水翼网格分块结构及网格示意图. 对水翼计算域进行O形块结构网格划分，并对间隙区和叶顶、端壁等边界层进行网格加密，以提高网格质量.

为了进行网格无关性验证，划分3组计算网格模型. 总网格单元数分别为 $8.5 \times {10^6}$（网格1）、 $6.5 \times {10^6}$（网格2）、 $4.5 \times {10^6}$（网格3）. 边界条件与实验设置一致，采用速度入口、压力出口，进口速度U_inlet为10 m/s，出口压力p_outlet为10⁵ Pa，由于计算域较短，进口压力接近10⁵ Pa，进口湍流强度设置为5%，雷诺数 $Re{\rm{ = }}1.12 \times {10^6}$，水的饱和蒸气压 ${p_{\rm{v}}}{\rm{ = }}3169 \;{\rm{Pa}}$，空化数 $\sigma = 1.967$，采用无滑移壁面条件进行稳态计算.

文献[8]详细说明了绕水翼NACA0009流动实验获得的数据，并提供了实验在无空化条件下的水翼下游3个流向截面上（x/c=1.0、1.2、1.5）的速度信息列表和空化条件下的录像文件.

空化条件下的间隙为10 mm的时均流动实验图像与上述稳态数值计算获得的空化体积分数等值面对比如图3所示. 可知，计算结果与实验较接近，泄漏涡轨迹与翼型的相对位置及夹角基本相等. 不同网格数量下的等值面图基本位置和形态一致，验证了网格无关性和数值模拟的可靠性.

取水翼下游x/c=1.2处的截面流向（x向）速度，对数值计算结果进行验证. 如图4所示为经MATLAB处理后的无空化条件下的实验速度数据和数值计算结果对比图. 可知，云图数值大小与分布较一致，数值计算结果可信.

取x/c=1.2截面各自涡心位置（v_y=0，v_z=0）处沿y向、z向直线采样（图4虚线所示），获得速度曲线如图5所示. 可知，涡心附近的速度分布、计算结果与实验值较接近，3种网格数量下的计算结果相差较小.

为了获得较准确和精细的间隙内流动形态和物理量分布，取 $8.5 \times {10^6}$（网格1）作为计算网格. PT方案的几何模型如图6所示. 根据上述方法获得PT方案的计算网格，在相同边界条件下进行数值计算.

为了方便数据说明和对比，对压力、速度、涡量、湍动能等物理量进行无量纲化处理，后文中图表数据均为无量纲后取值.

水翼压力面与吸力面存在的压力差是形成间隙流动和间隙涡的原因. 定义压力系数 $C_p= \left( {{p-p_{\rm{outlet}}}} \right)/\left( {{0.5\rho_1U^2_{\rm{inlet}}}} \right)$，如图7所示为沿水翼展向提取各截面（xoy）压力边、吸力边的压力，取平均后绘制的压力分布曲线. 可知两方案压力基本一致，压力边圆角几何对水翼表面整体升力系数的影响较小. 压力差值在水翼LE处最大，沿流向逐渐降低，在水翼TE处降为0.

如图8所示为空间流线结合Q准则等值面附加流向涡量 ${\omega _x}$云图，展示了间隙流及其涡结构特征. 间隙流动从LE出发由压力面经间隙流至吸力面一侧，在叶顶区和吸力面一侧分别形成涡量较大的涡系TSV和TLV. 对比RT和PT方案，可知：

1）从流线上看，泄漏流在PT间隙内产生了明显的涡旋结构（TSV），RT由于圆角几何的光顺作用，间隙区没有捕捉到相关涡旋结构. 在吸力面一侧近间隙区，PT和RT存有明显的螺旋涡旋结构（TLV），来源均由压力面一侧流体经间隙区流入. 涡核轨迹均沿 $ y $正向（垂向）和 $ z $正向（展向）迁移. PT中的间隙涡TSV在翼形中后部上升迁移与TLV融合，涡尺度和影响范围明显大于RT.

2）从Q准则 ${{Q = }}2.5 \times {10^6}$等值面分析，等值面沿弦线方向延伸，PT至流向0.9c处，在接近尾缘处有与TSV融合的过程，RT延伸至1.2c处，结构圆整平滑，说明RT泄漏涡具有相对稳定的涡结构，延伸得更远. PT等值面基本覆盖叶顶区，RT叶顶区等值面主要集中在前缘和中部，范围较小，说明压力边圆角几何对分离涡有很强的抑制作用.

3）翼形前缘形成的涡量值均最大. 随着Q等值面涡核半径沿流向逐渐增大，流向涡量值逐渐减小，涡量在翼形间隙区中前部明显大于中后部，反映了间隙涡系的生成、发展和耗散的过程.

沿弦线取间距相等的18个节点，在所在 $ YOZ $平面作二维平面流线和涡量 ${\omega _x}$云图，以进一步捕捉间隙流及其涡系的流动细节，获得PT、RT间隙涡系的分布特点，如图9所示. 由图9可得如下结论：

1）从整体上看，泄漏流通过间隙流入到吸力边上方，涡旋半径沿弦线快速增大. 在RT方案中，泄漏涡在整个涡系中起主导作用，分离涡尺度小且紧贴叶顶. 在PT方案中，翼形中前部分的主要涡系是分离涡，涡量和尺度较大，TLV在中后弦长处逐渐形成大尺度的涡旋.

2）PT方案的分离涡在间隙内占据较大流道，在图示区域A中，TSV与TLV相对独立形成，TSV在前缘涡量较大，其发展消耗了泄漏流流量和动能，通过间隙流向吸力边形成的TLV涡量和尺度与RT方案相比均较小. 在区域B中，TLV和TSV互相掺混、融合，涡结构出现交叠演化、涡心位置迁移的过程，分离涡在主流和泄漏流的推动下逐渐迁移至吸力边上方，最终在区域C融合成较稳定的涡旋结构. RT方案的TSV尺度相对较小，涡核中心逐渐向吸力面一侧迁移，在B区域中，TSV虽然与TLV出现融合现象，但是基本没有影响到TLV的涡结构.

3）PT方案在间隙处出现由于壁面诱导产生的涡IV，旋向与TSV相反，涡量为负，在RT中没有捕捉到. 在压力边附近有较大的正向涡量，这是在间隙进口处的几何突缩造成局部流速加快、流向突变形成的.

如图10所示为取x/c=0所在截面（yoz）中的间隙平面，间隙平面定义了相关位置，以便后续说明. 图中，y为垂向，z为展向. 用符号PT_in、RT_in表示叶顶几何类型和间隙进口边，出口边用符号PT_out、RT_out表示. h为点到端壁的距离，用 $h/\tau $表示展向位置. 进口边间隙系数（0.8~1.0）之间设为S区，进口边右侧角点设为A点，出口边处取3个点：L、M、R，其中M为中点. 分别对间隙区和TLV区的物理量进行分析和对比.

间隙泄漏流是在压差作用下间隙区流体从压力面一侧通过间隙流道流出至吸力面一侧. 由于间隙在翼形压力面左侧，间隙流体微团在流动中受到y轴正向和z轴负向的推力，这一过程在yoz平面上看，流体微团形成了垂向速度v_y和负的展向速度v_z.

如图11所示为间隙内垂向速度分布云图和进口边速度曲线. 在进口边，PT方案中由于间隙进口几何突变造成近叶顶一侧S区v_y速度降低，有较大的负值速度梯度，A点处速度接近为0. RT压力边圆角几何对泄漏流起光顺、导流作用，圆角几何S区速度梯度较小，A处速度接近6 m/s. 在间隙内，v_y在压差作用下从进口边至出口边加速，由于分离涡的形成，叶顶附近存在回流速度. RT中分离涡占据较小流道，PT中分离涡区较大，占约1/4流道宽度并影响到叶顶侧出口边. 受流道变窄的影响，在间隙内的泄漏流速度PT大于RT.

在进口边，受压力面和端壁相对位置影响，泄漏流从压力面进入间隙进口边时带有z负向速度，方向指向端壁. 如图12所示为间隙内展向速度分布云图和间隙出口边取值采样绘制的速度曲线. 由于压力边圆角起光顺引流作用，v_{z-RT_in}<v_{z-PT_in}. v_z垂直于端壁和叶顶，泄漏流通过间隙时受到端壁、叶顶z向的反作用力为F_z. 在间隙内，间隙流动过程中，2个方案的展向速度变化趋势一致，间隙流体受端壁法向力F_z作用，使其速度沿z正向加速，至间隙出口边时速度为正，这一过程近似刚体碰撞的“反弹作用”，PT方案较显著.

如图13（a）所示为 ${{\partial {v_y}} / {\partial z}}$速度梯度云图，可知高负值区域与分离涡相当；RT方案高负值区域紧贴叶顶，所占约1/10流道宽度，较PT方案小. 由于 ${{\partial {v_y}} / {\partial z}}$速度梯度的存在，泄漏流与叶顶区流体之间形成剪切，而剪切力与应变率成正比，PT方案间隙内形成了较大的剪切层区域. 如图13（b）所示为 ${{\partial {v_z}} /{\partial y}}$速度梯度云图，可知进口边S附近有较大的速度梯度和剪切层，易形成涡旋.

v_y和v_z的合速度称为圆周速度v_cir，速度为

(15) ${v_{{\rm{cir}}}} = \sqrt {{v_y}^2 + {v_z}^2} .$

沿间隙进口边对这一速度采样，速度方向与z轴正向的夹角为 $\theta $，沿间隙进口边进行逐点采样取值，绘制曲线如图14所示. 可知， ${\theta _{{\rm{PT\_in}}}} > {\theta _{{\rm{RT\_in}}}}$.

如图15所示为间隙内压力分布云图，图中在分离涡区附加了v_y的矢量分布，v_y=0的连线为线d，C点为线上v_z=0的点，该点为分离涡涡心. 可以看出，分离涡中心压力较低，PT方案更明显. 图15中，框式箭头示意为逆压梯度方向，在逆压梯度作用下垂向速度v_y逐渐降低并回流，形成了分离涡结构.

在PT方案间隙平面内，以进口边为起始边沿y正向每隔1 mm抽取间隙宽度为10 mm的线段，并在线段上均匀取30个采样点，分别得到单段采样点平面流线与圆周速度分布，如图16所示. 泄漏流从间隙进口边以图16（a）所示速度进入间隙后，由于v_z、 ${\theta _{{\rm{PT\_in}}}}$ 较大，发生流动分离，分离点为A点. 间隙内流体由于受端壁力F_z作用，逐渐形成正向的展向速度，最后泄漏流从间隙出口边流出. 这一过程形成了近端壁侧的泄漏区（leakage area，LA）和近叶顶侧新月形的分离区（separation area，SA）的平面流线结构. 分离区内v_y和v_z均较小，形成相对流动低速区. 流体进入间隙时，在LA区内近叶顶侧流体有较大的圆周速度，进入间隙后受新月形分离区结构阻塞流道，泄漏流进一步加速，从而靠近SA边缘处的流体圆周速度较大. 在SA内部流体圆周速度较小，因此边界处的速度梯度较大，易产生较大的剪切力，带动SA内流体逐渐加速向间隙出口流动. SA内部流体在剪切力作用下逐级加速，圆周速度沿分离涡径向逐级减小. 近叶顶处流体流至出口边时，在逆压梯度作用下产生回流，最终形成稳定的分离涡旋结构.

如图17所示为RT方案间隙内平面流线与速度分布. 由于v_z、 ${\theta _{{\rm{RT\_in}}}}$较小，虽发生流动分离，但分离区较小. 分离区紧贴叶顶，且速度梯度较小，很难有效形成分离涡，在 $ y $=3 mm处，受逆压梯度的作用在叶顶边壁处流体出现回流，形成尺度较小的分离涡旋结构.

对比PT方案和RT方案可知，间隙进口边圆周速度方向与z轴正向夹角 $\theta $越大，在间隙内越容易生成分离涡. PT方案进口边流体有较大负值展向速度v_z，从而 $\theta $较大，形成了较大的间隙分离区和TSV，可将v_z称为“不利速度”. RT方案中压力边圆角几何对泄漏流起光顺和导流作用，有效抑制了TSV的形成.

如图18所示为涡量和湍动能（turbulent kinetic energy，TKE）云图. 可知，2个方案在TSV涡心附近涡量均较大，而涡心处TKE的2方案有明显不同，PT方案TKE较大. 这是由于在PT方案中在进口边S区有较大的速度梯度和剪切层，生成的TKE随泄漏流输运至涡心处所致.

如图19（a）所示为以间隙出口边取采样点绘制的速度分布曲线. 可知，在h/t=0~0.85时， ${v_{{\rm{cir - PT\_out}}}} > {v_{{\rm{cir - RT\_out}}}}$；在 $h/t={\rm{0}}{\rm{.85\!\!\sim \!\!1.00}}$时， ${v_{{\rm{cir - PT\_out}}}} < {v_{{\rm{cir - RT\_out}}}}$. 如图19（b）所示为吸力面TLV区圆周速度分布云图. PT方案中出口边速度带有较大的展向速度分量，而RT速度方向基本垂直于出口边，这一速度特征将对TLV的形成和发展有较大影响. LM侧泄漏流受上方流体阻滞作用快速减速，MR侧泄漏流则逐渐与泄漏涡区融合，圆周速度较大.

如图20所示为吸力面一侧平面流线图，泄漏流从间隙出口边以“射流”形式流出，出口边分为LM和MR侧2部分. 图中LM侧流线形成TLV外围区（TLV_peripheral area），MR侧流线形成TLV涡旋核心区（TLV_central area）. TLV主要由MR侧泄漏流形成. LM侧流体处于端壁和MR侧流体之间，泄漏流沿速度矢量方向向上流动.

如图21所示为TLV区压力分布云图. 由于吸力边一侧圆周速度较低、静压较高，形成了持续的逆压梯度，图中用框式箭头示意其方向. 这一压力分布使泄漏“射流”沿垂向逐渐减速至回流，从而形成了TLV外围区，这一区域圆周速度和涡量均较低.

如图22所示为TLV区速度梯度云图，MR侧流体以“射流”形式进入吸力面一侧后，由于吸力面一侧流体圆周速度较低，“射流”受右侧相对“低速”流体的剪切作用，图中箭头所示为剪切力较大处. 低速流体在剪切力作用下，在开阔区域极易形成涡旋. 在射流的持续作用下，剪切能持续输运给低速流体，逐渐形成了TLV中心涡旋区，并形成局部低压. MR侧“射流”在图21所示的吸力面上方，逆压梯度作用和右侧涡旋低压吸力作用下，速度方向快速改变，形成图示速度矢量形态. 在涡旋中心右侧，在图21所示的横向逆压梯度作用下产生回流，形成稳定的TLV涡旋结构.

如图23所示为TLV区流向涡量和TKE云图. 湍动能集中在TLV涡核区，且在近端壁处边界层附近较大，在图22中的箭头所示的剪切层位置，湍动能最大. 涡量在涡核区中心处最大，在端壁边界层附近出现负涡量.

在相同边界条件设置下，对RT方案进行无空化条件下的瞬态计算. 如图24所示为 $t = 0 \sim 5\;{\rm{ms}}$内MR侧间隙出口边“射流”形成的平面流线图，展示TLV发展演化过程. 可知，涡核中心位置在剪切力作用下逐渐斜向上移动，涡旋半径逐渐增大，圆周速度逐渐降低.

对比PT和RT方案，主要不同在于PT方案中TLV中心区涡尺度和涡强度较小. 这是由于一方面，PT方案中MR一侧“射流”流速较低，间隙出口边右侧“低速”流体所受的剪切力小于RT方案，形成的涡旋尺度和强度均较小；另一方面，图19（b）所示PT方案中展向速度分量较大，射流偏吸力边一侧“斜向”进入TLV区，因而剪切涡旋形成区域不够开阔，形成的涡旋易受吸力面的物理阻挡，因此TLV发展受限.

在间隙涡旋区附近，在yoz截面上某点v_y=0、v_z=0时，则该点为所在间隙平面的涡旋转中心. 如图25所示为依此方法得到的涡核轨迹线. 由图可知：

1）2个方案中TSV涡核基本重合，在接近尾缘处，TSV受TLV卷吸作用、相互掺混，最终融合至吸力面一侧. RT中涡核更靠近叶顶而远离端壁.

2）TLV随主流流向流动，受叶顶直角几何影响，PT方案的涡核中心在垂向略低于RT值，基本走势一致，在x/c=0.75后在垂向上基本重合. PT方案的TSV涡尺度较大，进入吸力面一侧后，TLV涡核轨迹有明显迁移、变化的过程；RT方案中这一现象不明显.

为了分析翼形间隙涡强度分布，引入涡强度 $ \varGamma $^[18]公式：

(16) $\varGamma {\rm{ = }}\iint\limits_{A'} {{\omega _x} {\rm{d}}A'}.$

式中： $ A' $为特征面的面积.

如图26所示为间隙涡强度采样面示意图. 图中以x/c=0截面为例说明了采样面截取方法，y向取值为[−5，15] mm，其中−5 mm表示压力边y向坐标值，其值随弦长位置不同而改变；为了避免诱导涡对间隙涡强度的影响，z向取值为[1，20] mm. 在截取平面上，分别对间隙区和TLV区进行涡强度的计算.

根据该方法，沿弦线等间距取一系列采样截面对涡强度取值拟合，得到涡强度沿流向分布曲线，如图27所示，图中总涡强度为TLV与TSV涡强度之和. 当x/c取值为（−0.5，0.5）时，对涡强度分析可得如下结论.

1）PT的TSV涡强度远大于RT，这与图9相对应，其变化趋势均在中前部沿流向增大后逐渐下降，这与在B区域与TLV发生掺混、融合有关.

2）TLV涡强度整体沿流向增大，近尾缘处开始下降. PT在前缘LE至x/c=0.1区间基本略小于RT，随着分离涡沿间隙向 $ Y $正向迁移，逐渐与TLV融合，涡强度快速增大，最大值约为RT的2倍.

3）总的涡强度在前缘LE至x/c=0.25处于上升期，而后由于压差减小，涡量的生成不足以抵消耗散，涡强度逐渐降低. RT方案中，TLV是间隙涡的主要部分；PT方案中，在翼形中前部TSV是主要涡系，而后TLV吸收了分离涡的涡量，逐渐成为主要涡系. 整体来看，PT方案涡强度远大于RT，差值最大在x/c=0.25处，说明压力边圆角对间隙涡有明显的抑制作用.

（1）流线可形象展示间隙流及其涡结构特点，压力边圆角几何对间隙涡结构的影响较大. PT方案中TSV涡尺度较大，并在水翼中后缘与TLV相互掺混、融合，间隙涡系相对杂乱、紊乱. 相比而言，RT方案中TSV涡尺度较小，TLV发展相对独立，涡系较为规律和稳定.

（2）泄漏流在间隙内形成新月形分离区，在逆压梯度作用下形成一定尺度和强度的分离涡结构. TSV的形成、发展与间隙进口边v_z有关，速度越大则在间隙进口边的圆周速度方向与z轴正向夹角 $\theta $越大，间隙内流动分离区和分离涡越大.

（3）间隙出口边射流与吸力面侧低速流体因速度梯度形成持续剪切，后者在剪切能持续输运作用下形成涡结构并逐渐发展和迁移，与近叶顶一侧泄漏流在逆压梯度作用下形成TLV核心区，端壁侧泄漏流则形成TLV外围结构. “射流”速度大小和方向，影响泄漏涡尺度和强度.

（4）PT方案涡强度整体大于RT，且差值较大，说明压力边圆角有利于降低涡旋的产生，特别对分离涡的形成有明显抑制作用.