塔式光热发电技术是太阳能规模化热利用的有效方式，美国等国家已实现这种技术的商业化运营. 定日镜是塔式光热电站的重要单元，由反射镜及其支撑结构、传动结构、立柱等部分组成，入射光经反射镜汇聚形成光斑. 美国Sandia实验室通过对ATS系列定日镜多年的测试运行，得到如下设计经验^[1]：1）反射镜与支撑结构采用粘接工艺；2）面形支撑结构采用桁架方式. 目前商业运营的塔式光热电站，在进行定日镜结构设计时均遵循此经验. 定日镜面形一般设计成微弧球面，其半径是定日镜和目标点距离的2倍^[2].

反射镜与支撑结构的粘接有3种工艺^[3]. 第1种是“面”粘接方式，即反射镜背面与支撑板（背板）粘接，背板再连接到桁架；西班牙GemaSolar电站、美国CrescentDunes电站、北京延庆DAHAN电站采用了这种方式^[4]. 第2种是“点”粘接方式，即桁架上的多个独立连接片与同一块反射镜粘接；美国Ivanpah电站、中控德令哈电站采用了这种方式^[5]. 第1种粘接方式的反射镜与背板接触点多，通过控制背板的面形，可获取理想的反射镜面形. 采用这种方式粘接的定日镜质量较好且成形精度较高，但是背板的造价提高了整机的制造成本. 第2种粘接方式，由于粘接点个数有限，反射镜载荷集中在连接片粘接处，形成较大的局部应力，此外该方式的成形效果较差，适合于小型定日镜. 第3种是“线”粘接方式. 该方式将型材与反射镜背面粘接，利用型材（视为梁）的弯曲变形特性形成整机在高度方向的微弧形，各组型材在相对扭矩管上的高低错落分布，形成整机在宽度方向的微弧形. 采用这种粘接方式的定日镜其反射镜面形在现场装配时自然形成，避免了一系列机加工序，降低了生产成本. 此外，相比于第2种粘接方式，这种方式增加了粘接的接触面积，降低了反射镜的局部应力及其破损率.

为了提高“线”粘接型定日镜的光斑质量，本文研究了反射镜面形支撑结构优化的技术路线. 为了验证此方法，试制定日镜，进行了光斑实验，并与标准球面镜面形进行对比分析.

定日镜的面形规格是指反射镜尺寸及其阵列布局关系，目前主要有大型和中型2种发展趋势. 根据中控电站运营实践^[6]，反射镜面积20 m²的中型定日镜被认为是经济上最合理的规格. 反射镜一般整体呈矩形，宽高比接近或略大于1.0，如DAHAN电站定日镜宽高比为1.0，Sener的定日镜宽高比为1.25^[4]. 定日镜的宽高比由光学效率、风荷载等因素确定.

镜场一般呈环形布局，故定日镜投射到吸热器表面的光斑尺寸随当地时间、定日镜的分布位置而变化. 为了降低太阳辐射的溢出损失，要求光斑尺寸及方差最小.

定日镜光斑尺寸用等效圆域的大小来表示，是指含90%总聚光能量的圆域^[7]. 定日镜光斑能流密度分布的解算方法有蒙特卡罗法和光锥卷积法. Collado^[8]通过解析方法估算定日镜投射到靶面上的能流密度分布，是代表性的光锥卷积法，是镜场优化软件UNIZAR的核心算法^[9]：

(1) $F(x,y) = {C_{{\rm{mir}}}}(x,y)*{S_{{\rm{sun}}}}(x,y)*{E_{\rm{s}}}(x,y)$

式中： $* $为卷积运算，F（x，y）为靶面的光斑能流密度函数，C_mir（x，y）为由定日镜面形、定日镜与靶面之间的位置关系所确定的聚光比函数，S_sun（x，y）为太阳的形状函数，E_s（x，y）为镜面的光学误差函数.

太阳能热利用设计中，一般采用春分作为设计点^[10]，可以在较小的计算资源代价下，获得一个较准确的结果. 仿真样例的时间取2018年3月21日（春分）从8:30至18:30；地理位置取北纬37.22 °、东经97.23 °（德令哈）；取点周期为0.5 h；如图1所示，定日镜取镜场中心距200 m和1200 m各均匀8组方位角共16个典型位置，中心高度为3 m.

镜场坐标系以中央吸热塔为原点，正北x轴、竖直向上z轴. 吸热塔高170 m，吸热器高20 m，直径为15 m. 定日镜镜场典型位置坐标值如表1所示，由表1可以确定 ${C_{{\rm{mir}}}}{\rm{(}}x,y{\rm{)}}$^[8].

若镜场的太阳辐照度为1 000 W/m²，太阳像散误差为2.51 mrad，定日镜的镜面反射率为0.92，镜面误差为2.50 mrad，则可确定S_sun（x，y）和E_s（x，y） ^[8].

根据式（1），可得每台定日镜投射到吸热器靶面上的光斑能流密度分布函数.

表1中，1~8号定日镜处于镜场内圈，用于调节吸热器表面能流分布，因而要求光斑尺寸小。如图2所示为这8台定日镜在不同宽高比R时，设计点时间段内光斑尺寸的平均值M和方差V图.

表1中，9~16号定日镜处于镜场外圈，用于承担吸热器表面的基础负荷，因而要求光斑溢出小，即光学效率高。如图3所示为这8台定日镜在不同宽高比时，设计点时间段内光斑的平均光学效率E曲线.

风荷载是定日镜的主要外部载荷，当反射镜呈竖直姿态时，受风荷载最大，作为初设时的载荷计算姿态^[11]. 定日镜俯仰角是指镜面中心法线与竖直z轴的夹角. 在俯仰角90°即如图4的姿态下，镜面承受的推力^[11]为

(2) $\left. \begin{split} &{F_{{x}}} = {C_{{{F_{x}}}}}QA, \\ & Q = \rho {v_{\rm{o}}}^2 \left/{ {2} }\right., \\ & {v_{\rm{o}}} = {v_{{\rm{ref}}}}{({{{{\textit{z}} _{\rm{o}}}} / {{{\textit{z}} _{{\rm{ref}}}}}})^a}. \\ \end{split} \right\}$

式中： ${C_{F_x}} $为风载的阻力系数；Q为反射镜中心点平均风压；A为反射镜轮廓面积；ρ为空气密度，标准空气密度为1.225 kg/m³；v_o为反射镜中心点风速；z_o为中心点高度；z_ref为参考点高度；α为地面粗糙度指数.

由式（2）可知，当A为定值时，F_x是z_o的单调函数. 根据定日镜的结构特点可知，z_o随宽高比的增大而减小， 即F_x随宽高比的增大而减小.

1）根据图2可知，镜场内圈的定日镜，当宽高比为0.8~1.3时，光斑尺寸平均值及方差最小，光斑质量最好.

2）根据图3可知，镜场外圈的定日镜，当宽高比为0.9~1.4时，光学效率最高.

3）根据式（2）可知，定日镜宽高比越大，表面的风荷载推力越小.

根据以上分析可知，当定日镜宽高比取0.9~1.3时，光斑质量和光学效率较优。若宽高比取1.2，即20 m²反射镜宽4.9 m、高4.1 m，并取镜厚4 mm. 如图4所示，定日镜子镜采用2×2布局，背面粘接6组平面桁架组件，各节点采用铰接方式，材料为Q235.

图4中，定日镜设计面形为球面、半径为500 m，面形标准误差为2.5 mrad. 在平面桁架的结构确定后，上弦杆的挠度取决于截面矩. 由于上弦杆的微弧半径很大，计算中上弦杆近似直线处理. 假设整机中6组平面桁架的支撑力相同，则当反射镜旋转到水平姿态时，单根上弦杆的受力如图5所示。图中，A、B是两端的铰接点，C是中点.

如忽略自重的影响，图5中的上弦杆是单跨梁，其中g是反射镜自重分布力，密度ρ_m参数见表2，表中，μ为泊松比. 上弦杆两端同时承受横向和纵向分力，故属于杆的复杂弯曲情况，弯曲微分方程^[12]为

(3) $EI{\textit{z}}{\rm{''''}} - T{\rm{z}}'' = g.$

式中：E为弹性模量，z为上弦杆的挠度，T为纵向分力，I为截面矩.

由于上弦杆在A点的挠度z（0）=0、弯矩M（0）=0、剪力 $N(0) = - {{gL}}\left/{ {2}}\right. + {P}\left/{{\rm{2}}}\right.$、B点的挠度z（L）=0，将式（3）化为

(4) $\;{\textit{z}}{\rm{ \!=\!\! }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\begin{array}{*{20}{l}} \!\!{\dfrac{{g{L^4}}}{{2EI{{(2u)}^2}}}\!\!\left[\!\! {\dfrac{y}{L}\left(\! {1 \!\!-\!\! \dfrac{y}{L}} \!\right)\!\! -\! \!\dfrac{{\sinh \;(\!2u \!- \!\beta y\!) \!-\! \sinh \;(2u)\! +\! \sinh \;(\beta y)}}{{2{u^2}\sinh \;(\!2u\!)}} } \!\!\right]\!- } \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\dfrac{{P{L^3}}}{{2EI{{(2u)}^3}}}\left[ {\beta y - \dfrac{{\sinh \;\beta y}}{{\cosh \;u}}} \right],\! y < \dfrac{L}{2};} \end{array}}\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\begin{array}{*{20}{l}} \!\!{\dfrac{{g{L^4}}}{{2EI{{(\!2u\!)}^2}}}\!\!\left[\! {\dfrac{y}{L}\left(\!\! {1\! \!-\!\! \dfrac{y}{L}} \!\right) \!\!-\!\! \dfrac{{\sinh \;(2u \!-\! \beta y\!)\!\! -\! \sinh \;(2u) \!+\! \sinh \;(\beta y)}}{{2{u^2}\sinh \;(2u)}} } \right] } \!\!-\!\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{array}{l} \dfrac{{P{L^3}}}{{2EI{{(2u)}^3}}}\left\{ {\beta y - \dfrac{{\sinh \;\beta y}}{{\cosh \;u}} + 2\left[ {\sinh \;(\beta y - u) - } \right.} \right.\\ \left. {\left. {(\beta y - u)} \right]} \right\}, y \geqslant \dfrac{L}{2}. \end{array} \end{array}} \end{array}} \right.$

式中： $\beta = \sqrt {{T}\left/{{{EI}}}\right.}$， $u = {{\beta L}}\left/{ {2}}\right.$. 式（4）中，z、T、I、P是未知量，数量多且表达式复杂，因此I的最优值难于直接求解.

由式（4）可知，C点的弯曲要素表达式为

(5) $\left. \begin{split} & {\textit{z}} \left( {\frac{L}{2}} \right)= \dfrac{5}{{384}}\dfrac{{g{L^4}}}{{EI}}{f_0}(u) - \dfrac{{P{L^3}}}{{48EI}}{f_1}(2u), \\ & M \left( {\frac{L}{2}} \right) = - \dfrac{{g{L^2}}}{8}{\varphi _0}(u) + \dfrac{{PL}}{4}{\varphi _1}(u). \\ \end{split} \right\}$

式中：f₀（u）、f₁（2u）、 $\varphi_0$（u）、 $\varphi_1$（u）为辅助函数：

$\begin{split} & {f_0}(u) = \dfrac{{24}}{{5{u^4}}}\left( {\dfrac{{{u^2}}}{2} - 1 + \dfrac{1}{{\cosh u}}} \right), \\ &{f_1}(2u) = {{3(u - \tanh \;u)}}\left/{ {{{u^3}}}}\right., \\ &{\varphi _0}(u) = \dfrac{2}{{{u^2}}}\dfrac{{\cosh\; u - 1}}{{\cosh\; u}}, \\ & {\varphi _1}(u) = \dfrac{{\tanh\; u}}{{u}}. \\ \end{split} $

假设集中力P取100~200 N，I取2×10⁴~1.5×10⁵ mm⁴，则T<270 N，u<0.48，因而f₀（u）>0.91，f₁（2u）>0.92， $ \varphi_0 $（u）>0.91， $ \varphi_1 $（u）>0.93。这种情况下即可认为辅助函数f₀（u）、f₁（2u）、 $ \varphi_0 $（u）、 $ \varphi_1 $（u）≈1，则式（5）写为

(6) $\left. \begin{split} &{\textit{z}} \left( {\frac{L}{2}} \right) = \dfrac{5}{{384}}\dfrac{{g{L^4}}}{{EI}} - \dfrac{{P{L^3}}}{{48EI}}, \\ &M\left( {\frac{L}{2}} \right) = - \dfrac{{g{L^2}}}{8} + \dfrac{{PL}}{4}. \\ \end{split} \right\}$

式（6）与杆简单弯曲的表达式一致^[13]，故可认为上弦杆变形近似于简单弯曲，以求取上弦杆截面矩最优解，再以此解校核纵向力对此杆弯曲要素的影响大小.

在简单弯曲模式下，上弦杆的挠曲线方程：

(7) $\;{\textit{z}} = \dfrac{{Py}}{{{\rm{48}}EI}}\left( {{\rm{3}}{L^{\rm{2}}} \!-\! {\rm{4}}{y^2}} \right) - \dfrac{{gy}}{{{\rm{24}}EI}}\left( {{L^{\rm{3}}} - {\rm{2}}L{y^{\rm{2}}} + {y^3}} \right);y \in [0{\rm{,}}\;L{\rm{/2]}}.$

式（7）中，P和I为未知量，最优解是使得z（y）与半径500 m的圆弧最佳拟合，可以采用最小二乘法解算. 以0.01 m间距生成理想圆弧切向的数据集A_i={A₁，A₂，···，A_n}，zd_i是式（7）挠曲线上对应点的切向数据集. 设向量t=[P，I]，则两者的残差函数和目标函数分别为

(8) $ f{\rm{(}}{{t}}{\rm{) = }}\left( {{f_1}{\rm{(}}{{t}}{\rm{), }}{f_2}{\rm{(}}{{t}}{\rm{), }}\cdots{\rm{, }}{f_n}{\rm{(}}{{t}}{\rm{)}}} \right), $

(9) $ S{\rm{(}}{{t}}{\rm{) = }}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{f_i}^2({{t}})}. $

式中：f_i（t）=zd_i（t）−A_i，i=1，2，···，n.

利用式（9）求t=[P，I ]的最小二乘最优解属于非线性问题. 该类解法中LM算法采用阻尼系数改变Hesse矩阵的性态，同时具有梯度法和牛顿法的优点，因而收敛速度快.

设式（8）中残差函数f（t）的Jacobi矩阵为J、Hesse矩阵为H. 定义LM算法的分解矩阵为

(10) ${{G}} = {{H}} + \lambda {{I}}{\rm{.}}$

由于目标数据A_i具有单调性的特点，故阻尼系数λ取较大值1 000，可以达到较快的收敛速度，该算法的流程图如图6所示. 令初值P₀=10 N，I₀=1 000 mm⁴，允许误差eps=2×10⁻⁶，经过10次迭代计算，得最优值P=125 N，I=96 930 mm⁴，则f（t）的标准误差为0.12 mrad.

当上弦杆截面形状相似时，I越大则其截面积越大，将占用更多材料. 若I取（10⁴，1.5×10⁵），则得到f（t）的标准误差F_se曲线，如图7所示. 当标准误差取允许最大值0.5 mrad，则对应I为40 000 mm⁴，此时集中力为170 N.

根据图5可知，上弦杆的纵向分力T=370 N，由复杂弯曲辅助系数 $u = \left( {{L}/{{\rm{2}}}} \right)\sqrt {{{{R_{{\rm{A}}x}}} / \left( {{EI}} \right)}} = 0.22$，得辅助函数约为1，故对上弦杆的弯曲要素如挠度影响很小，即平面桁架的上弦杆弯曲适用于简单弯曲理论进行求解.

当反射镜呈竖直姿态时，上弦杆与反射镜的粘接处集中承受反射镜的自重和风荷载推力. 由我国规范^[14]，工况取乡村地区，则式（2）中地面粗糙度指数α=0.15；由行业推荐检测标准^[10]，则式（2）中参考点高度z_ref=10 m、工作风速v_ref=14 m/s；由实验结论^[11]，则式（2）中风阻系数 ${C_{F_x }}$=2；由图4，取定日镜中心高度z_o=2.255 m. 则风荷载F_x=3 072 N，故每组平面桁架平均承受512 N的水平风荷载以及33.3 kg的纵向重力. 根据黏合剂的特性，选择厚度为2 mm、宽度为28 mm的3M双面胶带. 上弦杆布置成U型带卷边的截面，以使得截面矩与截面面积最佳化，如图8所示.

由于定日镜左、右侧对称，故平面桁架组若沿横向对称、沿纵向平行布局，将有利于发挥桁架结构的抗弯特性，这就产生了平面桁架组的最优间距问题，即布局定义. 由于反射镜属于薄板，抗弯刚度小，在重力的作用下，反射镜非粘接区域有下凹的趋势. 此外，由于定日镜的俯仰运动，将使得反射镜同时发生面形的微观变化. 所以平面桁架的布局影响面形误差大小，要求在整个俯仰行程范围内，面形标准误差最小.

有限元方法是结构分析的有力工具. 定日镜支撑结构材料参数如表2所示，添加铰接约束和重力负荷后，在Ansys中进行有限元计算，从计算结果可提取反射镜变形数据. 数据以离散点格式保存后，导入Matlab中拟合成曲面. 以50 mm间隔提取该拟合曲面的法向量集，这个法向量集与理想球面相应法向量的夹角集是当前模型的面形误差集，整机面形误差以它的标准误差表征.

如图9所示为反射镜水平姿态时，平面桁架不同间距I_t布局时的面形标准误差S_se. 由图可知，当上弦杆间距为950 mm时，整机面形标准误差为最小值1.5 mrad.

如图10所示为当平面桁架间距为950 mm，俯仰角A_n为0~90 °时，整机面形误差的变化曲线. 可知，随着俯仰角的增大，整机的面形标准误差先减小再增大，这是由于不同位姿时，反射镜的水平和竖直自重分力大小变化不同. 当俯仰角为0°时适宜进行平面桁架的布局，可校核最大整机面形标准误差，该模型的平面桁架布局取950 mm.

反射镜厚度与边长之比远小于1/5，属于薄板结构^[15]. 玻璃材质的抗拉强度较低，故反射镜是结构的薄弱部分. 当镜面呈水平姿态时，受自重作用，反射镜发生弯曲变形；当镜面呈竖直位姿时，反射镜面承受的风阻力最大^[16]. 这2种情况是反射镜的典型载荷形式. 如图11所示，单块反射镜可以近似看作是一对边简支的矩形薄板结构。

根据Kirchhoff假设可知，反射镜薄板的弯曲微分方程可以表示为：

(11) $D{\nabla ^4}\omega = q.$

式中： $D ={{E{\delta ^3}}} \left/{ {\left[ {12(1 - {\mu ^2})} \right]} }\right.$，其中，δ为薄板厚；ω为薄板挠度；q为表面横向载荷.

根据图11的反射镜的边界条件，式（11）可以采用莱维法表达.

(12) $\omega = \sum\limits_{m = 1}^\infty {{Y_m}(y)\sin \frac{{m{\rm{ {\text{π}} }}}}{a}} .$

反射镜薄板的另一对边是自由边，因而ω是偶函数，由薄板弯曲理论可知，式（12）可以进一步表达为

(13) $ \left. {\begin{array}{l} {\omega = \displaystyle \sum\limits_{m = 1}^\infty {\left[ \begin{array}{l} {A_m}{\rm{cosh}}\dfrac{{m{\text{π}} }}{a}y{\rm{ + }}{B_m}\dfrac{{m{\text{π}} y}}{a}{\rm{sinh}}\dfrac{{m{\text{π}} }}{a}y{\rm{ + }}\\ \dfrac{{2{{{q}}_{\rm{0}}}{a^4}}}{{{{\text{π}} ^5}D{m^5}}}(1{\rm{ - }}\cos m{\text{π}} ) \end{array} \right]\sin \frac{{m{\text{π}} }}{a}x,} }\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{{{\left( {\dfrac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {y^2}}}{\rm{ + }}{\mu}\dfrac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {x^2}}}} \right)}_{y = b/2}} = 0,}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{{{\left( {\dfrac{{{\partial ^3}\omega }}{{\partial {y^3}}}{\rm{ + }}(2{\rm{ - }}{\mu})\dfrac{{{\partial ^3}\omega }}{{\partial {x^2}\partial y}}} \right)}_{y = b/2}} = 0.} \end{array}} \right\} $

由式（13），解得

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_m}\! =\! \dfrac{{4{\mu}{{{q}}_{\rm{0}}}{a^4}{\rm{sinh}}\dfrac{{b{a_m}}}{2}}}{{{{\rm{{\text{π}}}}^{\rm{5}}}D{m^5}\left[ {\dfrac{{3\! +\! {\mu}}}{2}{\rm{sinh(}}b{a_m}{\rm{)}} - \dfrac{b}{2}{a_m}{\rm{(}}1 - {\mu}{\rm{)}}} \right]}},} \\ {A_m} = \left( {\dfrac{{1 + \mu }}{{1 - \mu }} - \dfrac{{b{a_m}}}{{2{\rm{tanh}}\left( {b{a_m}/2} \right)}}} \right){B_m}.\end{array}} \right\}$式中： ${a_m} = {{m{\rm{{\text{π}} }}}} \left/{ {a} }\right.$.因而可得ω的解析表达式，则薄板的应力为

(14) $\left. {\begin{split} {{\sigma _x} = - \dfrac{{E\delta }}{{1 - {{\mu}^2}}}\left( {\dfrac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {x^2}}} + {\mu}\dfrac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {y^2}}}} \right){{,}}} \\ {{\sigma _y} = - \dfrac{{E\delta }}{{1 - {{\mu}^2}}}\left( {\dfrac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {y^2}}} + {\mu}\dfrac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {x^2}}}} \right){\rm{.}}} \end{split}} \right\}$

根据八面体应力理论^[15]可知，单块反射镜薄板中心的应力最大，即中心点是反射面强度的校核点，即

(15) ${\sigma _{{\rm{cnt}}}} = \sqrt {{\sigma _x}^2 - 2{\sigma _x}{\sigma _y} + {\sigma _y}^{\rm{2}}} .$

根据表2可得，分别由式（15）和Ansys下计算的反射面中心应力随表面横向载荷变化的曲线图。如图12所示.

由图12可知，在一定区间范围内，镜面中心应力与横向载荷近似呈线性关系；理论计算方式与仿真结果的差值小于5.6%，所以式（15）得到的镜面中心应力与仿真方式下基本一致，用于强度校核时是可信的.

只考虑重力载荷情况下，自重q=98 Pa，由图12中理论计算曲线，可得σ_cnt=3.3 MPa；在工作风速^[10]情况下，由我国规范^[14]和实验结论^[11]，式（2）中，取 ${C_{F_x}}$=2，z_o=2.255，z_ref=10，v_ref=14，α=0.15，ρ=1.225，则最大工作风速载荷F_x=3 072 N，故单个反射面等价横向风荷载为153.6 Pa. 由图11中理论计算曲线可知，σ_cnt=5.1 MPa.

由于反射镜的超白玻璃材料的抗拉强度为41 MPa，重力、最大工作风速载荷作用下，反射镜整体模型的强度充分.

平面桁架精度是整机面形精度的基础. 平面桁架的各部件通过铰接方式连接，但由于机加工不可避免的误差，将造成各部件上孔的尺寸和位置存在偏差. 上弦杆和斜杆的长度较大，机加工时易产生较大定位误差，因而是孔偏差的主要来源. 如图13所示，铰接点A或B的空间位置偏差导致平面桁架弯曲线形误差.

在图13中，由于上弦杆1/2长度与斜杆长度相近，故对于铰接点的孔位置偏差H_pd来说，上弦杆与斜杆的影响基本等同. 只考虑等价的斜杆孔位置偏差. 假设反射镜1、2区各斜杆A点对应的6个铰接点存在空间位置偏差−1.5~1.5 mm，在Ansys环境中进行反射镜成形计算，结果导入Matlab中进行面形误差分析，变化曲线如图14所示.

从图14中抽取定义域[0.4，1.5]进行线性拟合，斜率约为2，标准偏差为0.04，即在这个区间内，孔距偏差与面形误差呈近似线性关系，即孔位置有较高的精度要求. 在满足理论精度为2.5 mrad的前提下，根据图14可知，斜杆孔距偏差小于0.9 mm. 这是机加工中的控制要点，即孔距和孔径须给予高精度的工艺控制.

由上述形成平面桁架构建的定日镜面形支撑结构的设计技术路线，如图15所示.

为了对图15的技术路线环节进行验证，试制规格为1.12 m²定日镜，主要参数如表3所示.

在反射镜背面贴标记点，并利用三维扫描仪HSCAN331得到标记点的点云数据，以获取实验定日镜的实际面形. 点云数据在Geomagic环境中进行干扰区域删除、整体降噪和平滑等处理，以及坐标系的对齐等操作，使z轴垂直于镜面中心切平面，并以stl格式封装数据. 将此stl数据导入Matlab环境，以5 mm的数据间距，求取这个数据集的法向量集. 以半径74 m的球面相应点的法向量为真值，处理得到镜面整体的标准误差为2.7 mrad. 如图16所示.

如表4所示为光斑实验条件。在目标位置放置朗伯靶，并调整定日镜的位姿，使得光斑投射在朗伯靶内.

单个定日镜的能流特性分析中，为了得到准确的结果，一般采用蒙特卡罗（Monte Carlo）法. 蒙特卡罗法是以概率统计理论为基础的数值计算方法，当样本容量足够大时能够得到高精度的计算结果.

定日镜光斑特性主要由入射光的能流密度分布、反射镜的面形及其误差分布这2个因素决定.

太阳辐射的能流密度分布又称为SunShape，有多种模型来表示，在太阳能热利用领域一般采用PillBox模型^[17]，如图17所示，计算公式为

(16) $ \gamma (\beta )=\left\{\begin{array}{c}1,\;\;\beta \leqslant 4.65\;{\rm{mrad}},\\ 0,\;\;\beta >4.65\;{\rm{mrad}}.\end{array}\right.$

式中：γ（β）为圆锥角β的太阳辐射密度概率.

设图17右侧的坐标系oxyz中的ds是单位光锥球面上的一个微元，圆锥角为9.3 mrad，z轴是光锥的对称中心轴. 设oxyz相应的球坐标系中，该微元的方位角为 $\varphi $、高度角为θ，则

(17) ${\rm{d}}s = \sin \theta {\rm{d}}\theta {\rm{d}}\varphi = - {\rm{d}}\cos \theta {\rm{d}}\varphi .$

对于任意位置点的微元ds相等，则

(18) $\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\theta = \cos {r_1}, {\kern 1pt} \cos \;\left( {4.65 \times {{10}^{{\rm{ - 3}}}}} \right) \leqslant {r_1} \leqslant 1.0;} \\ {\varphi = 2{\text{π}} {r_2}, {\kern 1pt} 0 \leqslant {r_2} \leqslant 1.0.} \end{array}} \right\}$

式中：r₁、r₂为均匀随机变量，这时式（17）成立.

当某一时刻太阳方位角为 $\varphi_s $和高度角为θ_s，z向单位向量t_z，则得到符合PillBox分布的入射光向量为：

(19) ${{s}} = {\rm{Rot}}\;( {\textit{z}},{\varphi _{\rm{s}}}){\rm{Rot}}\;(y,{\theta _{\rm{s}}}){{t}}_{{{z}}}.$

实际的反射镜面形会发生偏差，其中面形成型误差是实际面形与设计面形之间的误差. 由于反射镜表面的波浪，称为粗糙度误差或者斜率误差（slope error）^[18]，如图18所示.

斜率误差分布符合圆形高斯概率特性^[17]，即误差分布函数

(20) $f(x,y) = \frac{1}{{2{\text{π}} {\sigma ^2}}}{{\rm{exp}}\left( { { - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}} \right)}{\rm{.}}$

式中：σ为斜率误差的标准偏差，本文取2.7 mrad.

式（20）不是以镜面法向误差作为自变量，故不能直接生成满足圆形高斯分布的镜面法向随机向量. 如果用球坐标方式表达斜率误差，则斜率误差的径向分量和轴向分量可独立表达. 径向误差在[0，2π）内均匀分布，即

(21) ${\varphi_{\rm{r}}} = 2{\text{π}} {u_1}.$

式中：u₁为[0，1.0]的均匀分布随机变量， ${\varphi_{\rm{r}}}$为镜面斜率误差的径向角度.

误差的轴向密度函数不能直接表达，须先对式（20）进行径向积分，以求取轴向分布函数为

$ \begin{split} \begin{split} F(r) =& {\iint_{\begin{split} {{\varphi_{\rm{r}}} \in [0,2{\text{π}} )}\\ {r' \in [0,r)} \end{split}}}f(x,y)r'{\rm{d}}r'{\rm{d}}{\varphi_{\rm{r}}} = \\ &{\int\!\!\!\int _{\begin{split} {{\varphi_{\rm{r}}} \in [0,2{\text{π}} )}\\ {r' \in [0,r)} \end{split}}}f(r\cos{\varphi_{\rm{r}}} ,r\sin {\varphi_{\rm{r}}} )r'{\rm{d}}r'{\rm{d}}{\varphi_{\rm{r}}} = \\ &{{\int\!\!\!\int _{\begin{split} {{\varphi_{\rm{r}}} \in [0,2{\text{π}} )}\\ {r' \in [0,r)} \end{split}}}\dfrac{1}{{2{\text{π}} {\sigma ^2}}}{{\rm{exp}}\left( {{ - \dfrac{{{r^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}} \right)}r'{\rm{d}}r'{\rm{d}}{\varphi_{\rm{r}}} } =\\ &1 - {{\rm{exp}}\left( {{ - \frac{{{r^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}} \right)}. \end{split} \end{split} $

故式（20）沿轴向分布的密度函数为

(22) $f(r) = F'(r).$

根据概率积分变换定理^[19]，式（22）运用反变换法可得

$r = \sqrt {( - 2{\sigma ^2})\ln\; (1 - {u_2})} .$

可表达为

(23) ${\theta_{\rm{e}}} = \sqrt {( - 2{\sigma ^2})\ln\; (1 - {u_2})} .$

式中：u₂为[0，1.0]的均匀分布随机变量，θ_e为镜面法向误差数值.

式（21）、（23）是标准偏差为σ的反射面斜率误差在球面坐标系下的误差表达式. 与式（19）相似，反射面任一点的法向量进行相应旋转后，即符合误差圆形高斯分布特性.

由光的反射定律可知，已知入射光方向矢量和镜面上反射点坐标，则根据几何运算可得吸热器上交点的坐标值. 如果认为每根入射光所带能量相同，则吸热器上任一区域的能流密度为

(24) ${F_i} = {{{N_i}I}} \left/{ {{{S_i}}}}\right..$

式中：N_i为该区域的入射光交点数，I为每根太阳光所带的能量，S_i为该区域的表面积.

式（18）、（19）、（21）、（23）、（24），即为定日镜的光斑能流密度分布公式，记为SolHelioSpot模型.

朗伯靶上光斑数据经过畸变校正、视角校正、非线性校正^[20]等处理，结果如图19（a）、（c）、（e）、（g）所示. 根据表4，用SolHelioSpot模型生成无面形成型误差的球面反射光斑，如图19（b）、（d）、（f）、（h）所示. 由于能量分布及其密度是光斑特性的重要参数，如图20、21所示分别为0、2.7 mrad面形成型误差的2个仿真光斑及本次实验光斑沿径向（中心距R）能量占比E_p、能量密度比E_dp分布曲线.

1）由图16可知，面形标准误差分布总体较均匀，两侧的误差较大. 这是由于粘接位置处，成形过程中存在一定的内应力导致镜面发生非理想的微小变形.

2）由图19可知，与仿真计算类似，实验方式的光斑略显椭圆形，形状和主轴方向随时间而变化. 这是由于入射光分布在定日镜和目标靶连线的两侧^[21]. 实验方式光斑的等效直径为0.80 m，而仿真计算的光斑直径为0.36~0.40 m. 经测量，两侧上弦杆的铰接孔的位置有误差，造成了反射面形的误差及光斑尺寸的扩大.

3）由图20可知，相对于无面形成型误差的SolHelioSpot仿真光斑，实验方式和带面形成型误差仿真光斑的能量沿径向分布曲线较相似. 这是由于两者的面形标准误差相同. 相对于带面形成型误差的SolHelioSpot仿真光斑，随着时间的变化，实验方式光斑的能量径向分布率曲线存在一定变化. 这是由于实验定日镜的面形不是理想球面，误差分布不规则所致.

4）由图21可知，相对于其他2种方式，随着时间的变化，实验方式下光斑沿u、v方向能量概率密度有一定变化. 这也是由于实验定日镜面形误差的非规则分布. 实验方式与带面形成型误差的仿真光斑能流分布特性相似，图21中实验方式下数据点分别在Matlab环境进行高斯曲线拟合^[22]，拟合优度R-square分别为（0.982，0.989）、（0.994，0.994）、（0.996，0.996）、（0.950，0.989），吻合性较高，符合球面反射面形的能流分布特性.

（1）反射镜宽高比为1.2，能够得到最优的光学和效率属性，且节点通过铰接方式连接.

（2）上弦杆和斜杆呈小角度夹角，上弦杆的弯曲适用于简单弯曲理论求解，截面矩约为40 000 mm⁴，能够得到较优的弯曲线形.

（3）反射镜水平状态是面形误差最佳评价姿态，平面桁架组间距为950 mm，能够使得面形标准误差最小，且反射镜最大应力达标.

（4）机加工的控制要点是上弦杆和斜杆的开孔偏差，建议公差小于0.9 mm.

（5）按照上述技术路线，试制小定日镜，分析光斑形状、尺寸和能流分布特性，证实平面桁架构建的定日镜面形支撑方式，从原理和实践上都是可行的.

定日镜承受的载荷是一个随机过程，故面形支撑结构的激励响应是动态的，这是面形质量的影响因素，需要后续型号迭代中加以考虑，通过仿真和实验方式确定.