海上风电正逐步走向深海，当水深大于50 m时，浮式风力机比固定式风力机更具经济性^[1]. 目前，浮式风力机支撑平台主要包括Spar型、半潜型、张力腿型等型式. 其中，张力腿型浮式风力机的支撑平台与系泊系统的设计思想均来源于张力腿平台（tension leg platform，TLP），采用垂向张紧的张力腿系泊系统，运动响应较小，有利于风机的工作. 极端海况（如50 a一遇海况）中的高阶波浪载荷会引起张力腿平台产生高频弹振（springing）和超高频弹振（ringing）2种非线性动力响应^[2]，导致张力腿系泊系统筋腱失效，甚至导致平台损毁. 2005年，飓风Rita使得工作于墨西哥湾的张力腿平台Typhoon TLP发生筋腱失效事故，最终产生倾覆^[3]. 相较于张力腿平台，张力腿型浮式风力机重心高，在工作过程中还受到风力机空气动力载荷和风倾力矩的作用^[4]，系统各组成部分之间耦合效应明显^[5]，对筋腱系统的可靠性要求更高，因此研究筋腱失效模式下张力腿型浮式风力机的瞬态响应是必要的.

近年来，浮式风力机系泊系统失效模式下的瞬态动力响应研究引起了学术界的持续关注. Bae等^[6]研究OC4-DeepCwind半潜型浮式风力机在工作海况下发生单根锚链失效后的响应，结果表明锚链失效会导致平台产生超过700 m的漂移运动，同时对锚链张力和机舱偏航误差产生一定影响. Li等^[7]研究OC3-HywindSpar型浮式风力机在额定海况下发生单根锚链失效后的响应，发现风电场中发生锚链失效的风力机会给相邻风力机带来碰撞风险. 施伟等^[8]研究额定海况下单根及2根锚链失效对OC4-DeepCwind半潜型浮式风力机动力响应的影响，结果表明，在单根锚链失效后，浮式风力机的纵荡运动响应会大幅增加.

挪威船级社（DNV GL）指出在设计浮式风力机的系泊系统时，应考虑单根系泊缆失效的意外极限状态（accidental limit state），从而保证系泊系统有足够的安全裕度^[9]. 美国船级社（ABS）和日本船级社（ClassNK）均指出，按照是否考虑系泊失效引起的瞬态响应，浮式风力机单根系泊缆失效的设计工况分为2种：一种是考虑瞬态响应的系泊失效工况，即浮式风力机运动在系泊失效后先产生瞬态响应，之后达到新的平衡状态；另外一种是不考虑瞬态响应的系泊失效工况，即仅考虑浮式风力机重新达到平衡状态下的系泊系统稳态响应^[10-11]. 美国船级社和日本船级社均规定了单根系泊缆失效工况下的系泊系统安全系数：美国船级社要求考虑瞬态响应的系泊失效设计海况应为50 a一遇，对应的安全系数为1.05；日本船级社则要求系泊失效的设计海况至少为1 a一遇，按照是否考虑瞬态响应，规定了2种安全系数.

本研究针对由上海交通大学海洋工程国家重点实验室于2012年提出的新型多立柱张力腿型浮式风力机（WindStar TLP system）^[12]，研究WindStar TLP system筋腱失效模式下的瞬态响应，分析其在50 a一遇海况中的自存性. 在风力机数值模拟软件FAST中建立全耦合动力模型，并对FAST的系泊计算模块进行二次开发，使其具备模拟筋腱失效的功能. 浮式风力机在不同方向环境载荷下的动力响应差异显著^[13]，因此本研究分析浪向角对筋腱失效模式下的浮式风力机支撑平台运动响应、机舱加速度响应和筋腱张力响应等关键设计参数的影响.

WindStar TLP system主要由风轮系统（rotor nacelle assembly，RNA）、塔筒和张力腿型支撑平台构成，如图1所示. 风轮系统采用由美国国家可再生能源实验室（NREL）发布的海上5 MW风力机^[14]，为了保证筋腱系统的冗余性，3组相同的张力腿互成120°布置于筋腱支撑结构下方，每组张力腿包括2根由聚酯材料制成的筋腱. 多立柱张力腿型浮式风力机的具体参数如表1所示.

考虑风机、塔架、支撑平台和系泊系统非线性耦合的浮式风力机时域运动方程为

(1) ${{{M}}_{ij}}(t){\ddot{{\eta}} _j} = {{F}}_i^{\rm{Aer}}(t) + {{F}}_i^{\rm{Hyd}}(t) + {{F}}_i^{\rm{Moo}}(t).$

式中： ${{{M}}_{ij}}(t)$为风力机系统的惯性质量矩阵， $i,j = 1,2,3, \cdots ,6$； ${\ddot {{\eta}} _j}$为系统在 $j$自由度下的加速度； ${{F}}_i^{\rm{Aer}}$为气动载荷； ${{F}}_i^{\rm{Hyd}}$为水动力载荷； ${{F}}_i^{\rm{Moo}}$为系泊载荷.

使用经典的叶素动量理论（blade-element momentum theory，BEM）进行气动载荷的计算. 根据叶素动量理论，整个叶片所受的推力、扭矩如下：

(2) $T = \frac{1}{2}\left( {{C_{\rm{L}}}\cos\; \phi + {C_{\rm{D}}}\sin\;\phi } \right)\rho {v^2}{(1 - a)^2}cB\frac{{\Delta r}}{{{{\sin }^2}\;\phi }},$

(3) $\begin{split} M =& \frac{1}{2}\left( {{C_{\rm{L}}}\sin \;\phi - {C_{\rm{D}}}\cos\; \phi } \right)\rho v \times \\ & (1 - a)\left( {1 + a'} \right)cB\frac{{\Delta r}}{{\sin\; \phi \cos \;\phi }}\omega_{\rm o} r. \end{split} $

式中： ${C_{\rm{L}}}$、 ${C_{\rm{D}}}$分别为升力和阻力系数， $\phi $为入流角， $\rho $为空气密度， $v$为相对风速， $a$、 $a'$分别为轴向诱导因子和切向诱导因子， $c$为翼型弦长， $B$为叶片数，r为叶片截面到轮毂的距离， $\Delta r$为叶片截面沿径向长度， $\omega_{\rm o} $为风轮旋转角速度.

在风轮实际运行过程中，风轮平面上由尾涡诱导的速度分布不均匀，导致诱导速度变化和来流变化在时间上不同步，因此当风速大于8 m/s时，引入广义动态尾流模型，修正未考虑动态入流的BEM方法^[15].

支撑平台所受水动力载荷主要包括静水力 ${{F}}_i^{\rm{Hys}}$、波浪辐射力 ${{F}}_i^{\rm{Rad}}$、波浪激励力 ${{F}}_i^{\rm{Exc}}$和黏性力 ${{F}}_i^{\rm{Vis}}$：

(4) ${{F}}_i^{\rm{Hyd}} = {{F}}_i^{\rm{Hys}} + {{F}}_i^{\rm{Rad}} + {{F}}_i^{\rm{Exc}} + {{F}}_i^{\rm{Vis}}.$

考虑一阶波浪激励力和二阶波浪激励力，表达式分别为

(5) ${{F}}_i^{{\rm{Exc}}\left( 1 \right)} = \int_0^{{t}} {{{{h}}_i}} ({{t}} - \tau ){{\eta }}(\tau ){\rm{d}}\tau ,$

(6) ${{F}}_i^{{\rm{Exc}}\left( 2 \right)} = \int_0^t {\int_0^t {{{{h}}_2}} } \left( {{\tau _1},{\tau _2}} \right){{\eta }}\left( {t - {\tau _1}} \right){{\eta }}\left( {t - {\tau _2}} \right){\rm{d}}{\tau _1}{\rm{d}}{\tau _2}.$

式中： ${{{h}}_i}(t - \tau )$为线性脉冲响应函数， ${{{h}}_2}({\tau _1},{\tau _2})$为二阶脉冲响应函数， ${{\eta }}(\tau )$为 $\tau $时刻的波面升高.

系泊载荷的分析方法主要有准静态法和有限元法. 有限元法的优点在于可以考虑惯性力和拖曳力，将筋腱建模为弹性杆模型^[16]，如图2所示. 图中，s为弧长.

单位长度弹性杆的力与力矩平衡方程为

(7) ${{{F}}_{\rm{r}}}^{\prime} + {{F_{{\rm{e}}}}} = {{{m}}}{{ r''}},$

(8) ${{{M}}_{\rm{r}}}^{\prime} + {{{r}}^{\prime} } \times {{{F}}_{\rm{r}}}^{\prime} + {{M_{{\rm{e}}}}} = {{0}}.$

式中： ${{{F}}_{\rm{r}}}$、 ${{{M}}_{\rm{r}}}$分别为弹性杆的应力与力矩； ${{F_{{\rm{e}}}}}$、 ${{M_{{\rm{e}}}}}$分别为作用于杆上的外力和力矩； $m$为杆的质量； ${{r}}$为用于定义锚链位置的矢量.

考虑到杆所受重力、静水力和水动力，运动方程可以写为

(9) $m{{ r''}} + {C_{\rm{a}}}{\rho _{\rm{w}}}{{{ r''_{\rm n}}}} + (EI{{r''}})'' - (\tilde \lambda {{r'}})' = {\tilde{ w}} + {{\bar{ F}}_{\rm{r}}^{\rm{d}}}.$

式中： ${C_{\rm{a}}}$为水动力系数， ${\rho _{\rm{w}}}$为水的密度， $EI$为杆的弯矩， $\tilde \lambda $为与杆的张力和曲率有关的标量函数， $ {{ r''_{\rm n}}}$为杆的垂直加速度， ${\tilde{ w}}$为杆的湿重， ${{\bar{ F}}_{\rm{r}}^{\rm{d}}}$为杆所受水动力.

假定弹性杆是可拉伸的，并且伸长是线性且微小的，关于杆的变形协调条件可以近似为

(10) $\frac{1}{2}({{r}}' {{r}}' - 1) = \frac{T}{{{A_{\rm{r}}}E}} \approx \frac{\lambda }{{{A_{\rm{r}}}E}}.$

式中： ${A_{\rm{r}}}$为杆的横截面积，T为杆的张力， $\lambda $为拉格朗日乘子.

式（9）、（10）构成了弹性杆的控制方程. 该方程是非线性的，难以解析求解，所以应用有限元方法，将弹性杆离散成数个单元，将控制方程转化成代数方程，进行数值求解^[17].

采用由NREL开发的风力机全耦合动力学仿真软件FAST，其数值仿真准确性已经被在上海交通大学海洋深水试验池开展的WindStar TLP system模型试验所验证^[18-20]. 在FAST中建立WindStar TLP system的气动-水动-结构-弹性时域耦合模型，其数值模拟流程如图3所示，分别使用FAST子模块AeroDyn、HydroDyn、FEAM进行气动载荷、水动力载荷、系泊载荷的计算. 水动力载荷的计算须先由三维势流软件Wadam^[21]计算得到频域水动力系数、频域一阶和二阶波浪载荷，再导入HydroDyn中进行频域-时域转换.

为了模拟筋腱失效，通过修改FAST系泊载荷计算子模块FEAM的源代码，增加对筋腱失效时刻、失效筋腱的定义，使得指定失效筋腱在指定失效时刻后所受力 ${{{F}}_{\rm{r}}}$与力矩 ${{{M}}_{\rm{r}}}$变为零值，再重新编译，生成新的可以模拟筋腱失效工况的FAST软件.

所研究的是三立柱结构支撑平台，当位于同一立柱下的2根筋腱均发生失效时，平台会失去稳性，进而倾覆，因此研究单根筋腱失效. 选取位于不同位置的单根筋腱失效，根据支撑平台和筋腱系统的对称性，分别选取筋腱#1和筋腱#3作为失效筋腱，作为对比，也模拟了筋腱完整的工况.

WindStar TLP system的预定安装地点位于北纬 $61^{\circ} 20'$、东经 $0^{\circ} 0'$，靠近苏格兰北部的Shetland群岛，水深为160 m^[22]. 所研究的极端海况为50 a一遇海况，具体参数如表2所示. 表中， $v_{\rm w} $为风速， $ H_{\rm s}$为有义波高， $T_{\rm p} $为谱峰周期， $\gamma $为谱峰因子，D为浪向. 风载荷入流方向固定为0°，为了考虑不同浪向对筋腱失效后风力机动态响应的影响，波浪入射范围设置为0~360°，间隔为30°，如图4所示. 风谱和波浪谱分别选用Kaimal谱和JONSWAP谱.

针对每种工况，进行6次单次时长为1 h的模拟，每次模拟选取不同的风速种子和波浪种子，取6次仿真结果的统计值的平均值作为最终统计值. 设定筋腱失效发生在第300 s.

为了研究WindStar TLP system在筋腱完整时以及筋腱失效模式下的运动固有周期，分别考察其在静水中的自由衰减运动以及筋腱失效模式下的运动响应. 利用傅里叶变换，将各自由度运动的时域响应转换为频域响应，频域响应谱峰值点对应的横坐标即为固有频率，如图5所示. 图中， $ \omega$为纵摇固有频率， $S(\omega) $为纵摇功率谱. 当筋腱完整时，张力腿浮式风力机的纵摇固有频率为1.29 ${\rm{rad}} /{{\rm{s}}}$，即固有周期为4.87 s，筋腱失效模式下张力腿浮式风力机的纵摇固有周期增大，为6.40 s. 张力腿浮式风力机各自由度的固有周期如表3所示. 表中，T_sur、T_swa、T_hea、T_rol、T_pit、T_yaw分别为纵荡、横荡、垂荡、横摇、纵摇、首摇的固有固期. 垂荡、横摇、纵摇固有周期受筋腱失效影响较大，在筋腱失效后有所增大，其余自由度几乎不受影响.

在筋腱完整工况和筋腱#1失效工况下，在浪向为180°下，200~600 s内的纵摇时历如图6所示，功率谱如图7所示. 图中，A_pit为纵摇幅值. 如图6所示，在筋腱#1失效后，纵摇运动响应显著增大，最大值为3.44°，为筋腱完整工况下最大值的3.35倍，纵摇响应平衡位置相较于筋腱完整工况下的纵摇响应平衡位置增大了1.38°. 如图7所示，相较于筋腱完整工况下的功率谱，筋腱#1失效后的纵摇功率谱值明显增大，主要体现在波浪频率处，在纵摇固有频率处也出现一定的增大，体现了纵摇运动响应在筋腱#1失效模式下的加剧.

如图8所示为不同浪向下筋腱失效后的平台纵摇、横摇响应最大值. 筋腱#3所处位置与风载荷入流方向不共线，其失效会导致较大的横向运动响应，因此须研究不同浪向下筋腱#3失效后的平台横摇运动响应. 结合筋腱#1、#3的位置可知，对于同一失效筋腱，其位于背浪侧时的平台角运动响应明显大于其位于迎浪侧时的平台角运动响应. 当浪向为180°时，筋腱#1失效下的纵摇运动响应最大，当浪向为60°时，筋腱#3失效下的横摇运动响应最大，说明当位于背浪侧的失效筋腱与波浪共线时，平台的角运动响应最大.

如图9所示为不同浪向下筋腱失效后的平台纵荡运动响应最大值. 当浪向为180°时，纵荡运动响应最大，当浪向为90°或270°时，纵荡运动响应最小. 当浪向为180°时，纵荡运动最大；当波浪为90°或270°入射时，波浪载荷垂直于纵荡方向，在所有浪向中对纵荡运动的贡献最小，因此纵荡运动响应最小. 在各个浪向下，筋腱#1失效后的纵荡运动响应均大于筋腱#3失效后的纵荡运动响应，筋腱#1的失效对纵荡运动响应影响更大.

在筋腱完整工况和筋腱#3失效工况中，60°浪向下的机舱横荡加速度时间历程如图10所示. 图中，A_nsw为机舱横荡加速度. 在筋腱#3失效后，机舱横荡加速度产生明显波动，最大值为2.37 ${\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}$，最小值为−2.19 ${\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}$，分别为筋腱完整工况下对应极值的2.29、2.04倍. 筋腱#3失效工况与筋腱完整工况下的机舱横荡加速度均值均为0，机舱横荡加速度均值受筋腱失效影响较小.

不同浪向下筋腱失效后的机舱加速度响应最大值统计结果如图11所示. 根据筋腱#1、#3所在位置与风载荷入流方向的关系，分别研究筋腱#1失效下的机舱纵荡加速度与筋腱#3失效下的机舱横荡加速度. 结果表明，筋腱#1失效下的机舱纵荡加速度受浪向的影响较小；筋腱#3失效下的机舱横荡加速度在浪向为60°时达到最大值，与筋腱#3失效下横摇运动响应的变化规律相似.

在180°浪向下，筋腱#1失效后剩余筋腱张力T_ten时间历程如图12所示，在筋腱#1失效后，筋腱#2张力显著增大，其最大值为13.95 ${\rm{MN}}$，为筋腱完整工况下最大值的2.14倍，筋腱#1失效后的筋腱#2张力均值为8.16 ${\rm{MN}}$，为筋腱完整工况下均值的2.04倍. 其余剩余筋腱的张力在筋腱#1失效后变化相对较小，相较于筋腱完整工况下的张力略有减小. 以筋腱#4为例，其在筋腱#1失效工况下的最大张力为5.18 ${\rm{MN}}$，为筋腱完整工况下最大张力的0.97倍；张力均值为3.57 ${\rm{MN}}$，为筋腱完整工况下张力均值的0.93倍. 筋腱#2张力的显著增大使得其余剩余筋腱的张力有所减小.

在180°浪向下，筋腱完整工况和筋腱#1失效工况中的筋腱#2张力功率谱如图13所示. 图中，S_ten(ω)为张力功率谱. 可以看出，相较于筋腱完整工况下的张力功率谱，筋腱#1失效后的筋腱#2张力功率谱值明显增大，主要体现在波浪频率处，体现了筋腱#1失效引起筋腱#2张力的显著增大.

在筋腱失效后，最邻近失效筋腱的筋腱所受张力在整个筋腱系统中最大，因此研究不同浪向下筋腱#1失效后的筋腱#2张力最大值以及筋腱#3失效后的筋腱#4张力最大值，如图14所示. 结果表明，在筋腱#1失效后，筋腱#2的张力值在浪向为180°时达到最大，而在筋腱#3失效后，筋腱#4的张力值在浪向为60°时达到最大. 这与筋腱失效后的角运动随浪向的变化一致. 在筋腱#1失效工况中，当浪向为180°时，筋腱#2最危险，其最小筋腱张力为2.27 ${\rm{MN}}$，最大筋腱张力为13.95 ${\rm{MN}}$，安全系数为1.24，大于1.05，符合美国船级社规范要求，说明在筋腱失效后，不同浪向下的筋腱系统仍是安全的.

（1）在筋腱失效模式下，WindStar TLP system的运动固有周期发生改变，其中垂荡、横摇、纵摇运动响应固有周期明显增大，其余自由度所受影响较小.

（2）在50 a一遇海况下，WindStar TLP system的支撑平台运动、机舱加速度、筋腱张力在筋腱失效后的瞬态响应较显著，其中，在180°浪向下，筋腱#1失效工况中的浮式风力机纵摇运动响应最大值为筋腱完整工况下最大值的3.35倍，筋腱#2张力最大值为筋腱完整工况下最大值的2.14倍；在60°浪向下，筋腱#3失效工况中的机舱横荡加速度最大值为筋腱完整工况下最大值的2.29倍.

（3）对于同一失效筋腱，位于背浪侧时的浮式风力机瞬态响应大于位于迎浪侧时的瞬态响应，当位于背浪侧的失效筋腱与波浪共线时，浮式风力机瞬态响应最大. 在筋腱#1失效工况中，当浪向为180°时，纵摇响应、筋腱#2张力响应达到最大；在筋腱#3失效工况中，当浪向为60°时，横摇响应、机舱横荡加速度响应和筋腱 #4张力响应达到最大.

（4）在筋腱#1失效工况中，当浪向为180°时，筋腱#2最危险，张力最大值为13.95 ${\rm{MN}}$，安全系数为1.24，符合美国船级社规范的要求，表明WindStar TLP system在极端海况中发生筋腱失效后具备较好的自存性.