机械系统是机械产品基础元件和重要的组成部分. 机械传动系统的设计方案决定机械产品功能、经济性、后续设计及产品传动质量水平. 机械系统方案设计是指在确定设计任务之后，通过抽象化，拟定功能结构，寻求适当的作用原理及组合，确定基本的求解途径，得出求解方案的过程. 机械系统设计范围较广，涉及创新设计、变型设计、适应性设计等. 研究内容包括产品概念设计^[1]、变异设计^[2]、设计推理^[3]等. 设计方案推理方面主要有智能重组设计^[4]以及基于规则^[5]、机器学习^[6]、粗糙集^[7]等的理论研究. 以上方案设计理论主要基于功能的设计，目的是完成抽象功能到结构实体的映射. 典型的映射模型有功能-运动-动作-结构、功能-行为-结构、功能-环境-行为-结构等. 这类设计策略包括总功能到子功能、结构到子结构的分解过程. 功能与结构通过行为关联是多对多的映射关系，每个分功能往往对应多个结构，由于缺少行为设计约束，易映射为多个冗余结构. 这些冗余结构会增加形成组合方案的复杂度，降低设计效率. 组成复杂产品的多个子结构实体之间或子结构实体内部要素之间存在着作用关系. 在这些作用关系中，一部分为意图行为，一部分为非意图行为. 在基于功能分解与功构映射的设计方法中，行为能表示达到某种意图的相互作用关系，但无法准确表达环境、成本、振动等非功能性或者非意图作用关系. 以电梯为例，运行平稳安静是乘客基本需求之一. 作为电梯关键部件的曳引机，在其减速箱传动系统的关键部件滚动轴承的运行过程中，在滚动轴承对轴有支撑作用的同时，轴系对滚动轴承有力的传递作用. 在滚动轴承的内部，滚动体与滚道之间的摩擦与碰撞会引起噪音和磨损. 这些相互作用关系将引起电梯噪音和振动，时间长了会导致滚动轴承失效，从而导致乘客乘坐电梯舒适感欠佳甚至引起电梯故障. 因此，基于功能的设计方法缺少对产品顶层设计与底层设计的有效衔接.

与功能相比，可供性可以表达产品不同周期的非功能性作用关系，且具有结构相关性. Jonathan等^[8]将可供性概念引入工程设计领域，提出基于可供性的设计方法，涉及内容包括可供性分类^[9]、基于可供性的产品设计流程^[10]、可供性模板^[11]、可供性结构矩阵^[12]等. Chen等^[13]结合产品详细设计提出零件可供性概念. Hsiao等^[14]建立在线可供性评估模型测量可供性度来评价产品的可用性. 在产品方案设计方面，Cormier等^[15]提出期望的可供性模型，试图在设计的早期捕捉用户需求. You等^[16]面向人机交互设计问题，提出考虑可供性、感知、符号三维度信息的模型. 姜少飞等^[17]提出物场可供性模型，实现产品原理方案改进设计过程.

总之，在产品设计初期阶段，由于设计信息的不完善、不确定性，现有的基于功能的传动系统方案设计方法缺乏对于结构实体之间非功能性作用关系的有效映射机制. 为此，本研究面向产品变型设计推理过程，引入传动可供性概念，基于可供性理论与多色集合理论提出机械传动系统多色模型，利用围道矩阵合取规则获得机械传动类型方案粗糙集. 以传动可供性约束统一颜色评价为设计准则，借助跳跃路径位置更新机制和多样性测度维护策略，给出改进多目标0-1规划布谷鸟算法进行求解传动件配置方案，通过引入传动可供性约束，减少冗余结构，降低设计方案复杂度，实现传动系统的原理设计与结构设计的衔接.

可供性是实体间的交互作用，机械传动系统中的实体包括传动件和传动过程中所涉及的其他资源. 传动可供性指机械传动系统在运动和动力传递、制造使用维修过程中通过传动件与其他资源交互产生的作用关系，即传动零部件、传动件与传动件、传动件与操作者、传动件与环境之间产生的交互作用关系. 传动可供性分为传动功能可供性、非功能可供性. 传动功能可供性为在传动件之间的运动传递过程中，传动件之间相互给予的功能作用，比如连接、支撑、换向等；非功能可供性指传动过程中传动件给予其他资源的影响作用关系，比如传动件对环境有振动、噪声、污染等影响. 同时，传动可供性关系对传动系统性能具有有益或有害作用关系性质.

传动可供性模型由发生交互作用的可供性主体即传动件、可供性客体即传动件和其他资源、交互作用以及作用性质四部分组成. 传动可供性可以表示为C=（S，O，V，F），其中，S为可供性主体，O为可供性客体，V为交互作用关系，F为作用关系性质. F取值为{+，−}，F取值为“+”表示有益的传动功能可供性，记作C_b；F取值为“−”表示有害的非功能可供性，记作C_h.

以减速器机械传动系统设计为例，如图1所示为其设计需求、传动类型、传动元件、传动元件相互作用关系及其作用关系性质的关联关系. 齿轮箱传动可供性分析如表1所示.

机械传动系统设计知识具有多领域层次性特点. 机械传动系统设计方案可以从选用传动件及确定约束性质2个方面进行描述. 传统集合理论只描述集合元素的名称，不能表示集合元素的其他性质和属性. 多色集合理论是一种信息处理数学工具，能够表达集合本身，同时可以描述性质、属性、参数、特征、指标等技术概念，不仅可以表达确定的量，而且可以表达模糊量和自然语言量，易于实现问题的形式化表达. 采用多色集合理论建立机械传动系统设计知识模型. 机械传动系统多色集合模型表达式为

(1) $ {\rm{PS}}=\left(A, F\left(A\right), F\left(a\right), { Q}, { R}, { T}, {C}, F\left({C}\right), { U}, { W}\right). $

式中：PS为多色集合，A为多色集合中的元素即为传动元件的集合，F（A）为多色集合元素的统一颜色即为各种不同设计需求集合，F（a）为多色集合元素的个人颜色即为传动类型集合，Q为元素与个人颜色关系围道矩阵即为传动件与传动类型围道矩阵，R为个人颜色与统一颜色关系围道矩阵即为传动类型与设计需求围道矩阵，T为传动元件之间传动可供性关系矩阵，C为传动可供性集合，F（C）为传动可供性性质集合即为约束的统一颜色，U为传动元件与传动可供性围道矩阵，W为传动可供性性质围道矩阵.

A、F（A）、F（a）、Q、R、T、C、F（C）、U、W的表达式分别为

(2) $ A=\left\{{a}_{1}, {a}_{2}, \cdots , {a}_{n}\right\}, $

(3) $ F(A)=\left\{{F}_{1}, {F}_{2}, \cdots , {F}_{m}\right\}, $

(4) $ F(a)=\left\{{f}_{1}, {f}_{2}, \cdots , {f}_{v}\right\}, $

(5) $ { Q}=\left[{ A}\times F\left(a\right)\right], $

(6) ${ R}=\left[F(a)\times F(A)\right], $

(7) $ { T}=\left[{ A}\times { A}\right], $

(8) $ \begin{aligned} {C}=\left\{{C_1}, {C_2}, \cdots , {C_q}\right\},\; F({ C})=\left\{{F}_{{\rm{c}}1}, {F}_{{\rm{c}}2}, \cdots , {F}_{{\rm{c}}k}\right\}, \end{aligned} $

(9) $ { U}=\left[{ A}\times { C}\right], $

(10) $ { W}=\left[{C}\times F\left({ C}\right)\right]. $

式中：a_n为第n个传动元件；F_m为第m个具体的设计需求，如转速、精度等级；f_t为第t个具体的传动类型，如直齿圆柱齿轮传动、锥齿轮传动；c_q为第q个传动可供性；F_cp为第p个传动可供性关系性质或类型，性质包括有害或有益程度的评价值，类型包括传动功能可供性或非功能可供性.

得到支持传动可供性约束的机械传动系统多色集合理论的数学表达式. 该数学模型将设计需求、传动类型、传动元件、传动可供性关系及其性质，分别抽象为多色集合及其元素、组成元素的性质、组成元素性质与集合整体性质之间的关系，以及组成元素与集合性质之间的关系，如图2所示. 该机械传动系统多色集合可以支持机械传动系统知识表示，易于在计算机上描述传动件、属性及其传动可供性之间关系，有效解决机械传动系统知识表示与传动方案推理生成2类问题.

根据传动系统多色集合模型，将传动系统映射过程分成3个步骤：将设计需求映射为传动类型；将传动类型映射为传动件；获得传动类型粗糙集，删除冗余传动件.

采用围道矩阵描述设计需求向各个传动类型、传动件的映射推理过程. 综合比较机械传动系统专业知识和经验，分别构建设计需求 $ F({ A}) $与传动类型 $ F(a) $的围道矩阵R和传动类型 $ F(a) $与传动件A的围道矩阵Q. R和Q的表达式分别为

(11) ${{R}} = \left[ {F\left( a \right) \times F\left( {{A}} \right)} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{11}}}& \ldots &{{r_{1m}}}\\ \vdots &{}& \vdots \\ {{r_{v1}}}& \cdots &{{r_{vm}}} \end{array}} \right],$

(12) ${{Q}} = \left[ {{{A}} \times F\left( a \right)} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_{11}}}& \ldots &{{q_{1v}}}\\ \vdots &{}& \vdots \\ {{q_{n1}}}& \cdots &{{q_{nv}}} \end{array}} \right].$

式中：r_ij=1表示传动类型i满足需求j，反之，r_ij=0；q_ij=1表示传动件i具有传动类型j所表达的属性，反之，q_ij=0. 由此建立R、Q的映射关系，合取推理得到符合设计需求的传动类型粗糙集及传动件可行解集.

以齿轮传动为例，设计需求为高速传动、平行轴传动. 高速传动的传动类型有斜齿轮渐开线齿轮传动或圆弧齿轮；平行轴传动可以通过圆柱直齿轮或圆柱斜齿轮实现. 因此，满足上述设计需求的传动类型为斜齿圆柱齿轮传动类型.

在机械系统传递运动和动力过程中，传动可供性关系存在于传动零部件间、传动件与传动件以及传动件与环境等多个要素之间. 选用不同的传动件会因传动件结构不同而引起传动可供性作用关系的改变. 比如轴承是传动系统中提供支撑功能的典型传动元件. 轴承可以分为滚动轴承和滑动轴承两大类：滚动轴承靠滚动体的转动来支撑转动轴，属于点接触或线接触，运动形式为滚动；滑动轴承没有滚动体，靠接触面来支撑转动轴，属于面接触，运动形式为滑动. 运动形式不同、摩擦形式不同、使用场合不同. 因此在传动元件类型选用时，须考虑传动元件与传动元件之间、传动元件内部零部件之间的传动可供性关系. 这些相互关系对传动系统性能会起到有益或有害作用. 同时，传动可供性可以分为功能可供性和非功能可供性两大类. 因此，在机械传动系统多色模型中将传动可供性看作传动件之间的约束，将传动可供性的分类和性质看作约束的统一颜色.

根据领域专家知识获得传动元件之间传动可供性关系矩阵：

(13) ${{T}} = \left[ {{{A}} \times {{A}}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{t_{11}}}& \ldots &{{t_{1n}}}\\ \vdots &{}& \vdots \\ {{t_{n1}}}& \cdots &{{t_{nn}}} \end{array}} \right].$

式中：t_ij为第i、j个传动件之间存在的传动可供性，如轴对齿轮支撑关系、轴弯曲引起轴承不对中、齿轮传动引起振动等，t_ij=0表示传动元件之间不存在可供性关系.

由围道矩阵U描述传动件与传动可供性约束推理：

(14) ${{U}} = \left[ {{{A}} \times {{C}}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{11}}}& \ldots &{{u_{1q}}}\\ \vdots &{}& \vdots \\ {{u_{n1}}}& \cdots &{{u_{nq}}} \end{array}} \right].$

式中：u_ij=1表示传动件i具有传动可供性j所表达的约束属性，反之，u_ij=0.

传动可供性约束C与约束统一颜色F（C）的围道矩阵W表达式如下：

(15) ${{W}} = \left[ {{{C}} \times F\left( {{C}} \right)} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_{11}}}& \ldots &{{w_{1k}}}\\ \vdots &{}& \vdots \\ {{w_{q1}}}& \cdots &{{w_{qk}}} \end{array}} \right].$

式中：若w_ij=1，则传动可供性c_i具有F_cj所表达的性质.

以传动可供性约束统一颜色和上层推理得到的传动类型方案粗糙集建立推理矩阵，进一步对传动件方案解集选择.

在传动类型设计方案粗糙集和W的基础上，进一步对传动件配置. 此时须对传动件之间的传动可供性进行识别，并对作用关系进行评价. 传动可供性评价准则为功能可供性信息量最小和非功能可供性的理想度最大. 根据公理设计中信息公理计算传动件功能可供性信息量. 由相关领域专家给出传动可供性有害或有益评价值，计算非功能可供性的理想度最大值，构建多目标0-1规划配置方法，如图3所示.

信息公理是公理设计理论中评价产品功能需求实现程度的方法，核心思想是在满足各评价指标相互独立的条件下，以产品功能组合的信息量最小的设计方案为最优方案^[18]. 信息量由满足给定功能要求的概率确定，若满足给定功能可供性的成功概率为P_f，则与概率有关的信息量的表达式为

(16) $ I=-{\mathrm{log}}_{2}\;P_{\rm{f}}. $

成功概率P_f可以由功能可供性的设计范围DR和系统范围SR确定，设计范围和系统范围重叠的部分为公共范围CR. 因此，对于简单的均匀分布，信息量的表达式为

(17) $ I={\mathrm{log}}_{2}\;\left({\rm{SR}}/{\rm{CR}}\right). $

对于功能可供性，当某个属性值为实数时，假设第j个传动可供性的属性值为s_j，最佳属性值为s₀₁，最劣属性值为s₀₂，则满足传动功能可供性的概率P_f=s_j/s₀₁. 功能可供性通常分为效益型、成本型2种.

效益型功能可供性和成本型功能可供性的候选规格的信息量分别为

(18) $ I=\Big[{s}_{01}/\left({s}_{01}-{s}_{02}\right)\Big]{\mathrm{log}}_{2}\;\left({s}_{01}/{s}_{j}\right), $

(19) $ I=\Big[{s}_{02}/\left({s}_{02}-{s}_{01}\right)\Big]{\mathrm{log}}_{2}\;\left[{s}_{02}/\left({{s}_{01}+{s}_{02}-s}_{j}\right)\right]. $

传动件之间含有能实现有益行为的有益可供性，不应该包含能够产生有害行为的有害可供性. 不同结构会引起可供性的改变，会导致行为和功能的改变.

由相关领域专家给出传动件与非功能可供性之间的作用关系评价，“+”表示有益作用，“−”表示有害作用，例如斜齿轮在工作时会产生轴向力，不利于传动，属于有害作用，故采用“−”；圆锥滚子轴承可以承受轴向载荷，属于有益作用，故采用“+”.

关于非功能可供性的理想度的计算方法，首先统计可供性受传动系统组成部分支持程度，有益关系是指传动件对某一可供性有益作用的统计，即某一非功能可供性中“+”的数量；同理，有害关系是“−”的数量. 有益可供性和有害可供性比值可以用来描述传动系统的理想程度. 比值大于1说明该可供性为有益可供性；比值小于1说明该可供性为有害可供性. 因此，非功能可供性的理想度描述如下：

(20) $ L=\sum {A}_{\rm{{U}}}\bigg/\sum {A}_{\rm{{H}}}. $

式中： $ {A}_{\rm{{U}}} $为有益可供性关系百分比； $ {A}_{\rm{{H}}} $为有害可供性关系百分比.

根据传动可供性性质要求，考虑机械系统多色模型约束统一颜色评估为设计准则，以功能可供性信息量最小、非功能可供性理想度最大为目标，在成本约束条件下建立0-1线性规划模型：

(21) $\left. {\begin{aligned} &{\mathop {{\rm{min}}}\nolimits_{} \;{f_1} = \sum\nolimits_{j = 1}^m {\sum\nolimits_{p = 1}^n {I_j^pX_j^p}} ,}\\ &{\mathop {{\rm{min}}}\nolimits_{} \;{f_2} = 1\Big/\sum\nolimits_{j = 1}^m {\sum\nolimits_{p = 1}^n {L_j^pX_j^p}};} \\ &{{\rm{s}}.{\rm{t}}.}\;\;\;\;{\sum\nolimits_{j = 1}^{m_p^i} {X_j^p} = 1}, \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\sum\nolimits_{j = 1}^m {\sum\nolimits_{p = 1}^n {V_j^pX_j^p}} \leqslant B,}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;{X_j^p \in \left\{{0,1} \right\},}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;{p = 1,2, \cdots ,n,}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;{j = 1,2, \cdots ,m,}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;{m \in \left\{{m_p^1,m_p^2, \cdots ,m_p^i} \right\}.} \end{aligned}} \right\}$

式中： $ {X}_{j}^{p} $为第p个轴系的第j个传动元件被选中与否标识， $ {X}_{j}^{p}\in \left\{0,1\right\} $， $ {X}_{j}^{p}=0 $表示第p个轴系的第j个传动元件不被选中， $ {X}_{j}^{p}=1 $表示被选中； $ {I}_{j}^{p} $为第p个轴系的第j个传动元件功能信息量； $ {L}_{j}^{p} $为第p个轴系的第j个传动元件非功能理想度； $ {V}_{j}^{p} $为第p个轴系的第j个传动元件单价；B为预算成本；m为第p个轴系所包含传动元件个数；n为轴系个数； $ {m}_{p}^{i} $为第p个轴系中第i个传动类型中备选传动件的个数.

布谷鸟算法（Cuckoo search，CS）是Yang等^[19]提出的新型群智能优化算法. CS算法通过模拟布谷鸟巢寄生育雏行为，结合Levy飞行机制进行寻优操作. 与其他智能算法相比，具有全局寻优能力强、参数少、易于实现且多目标问题求解能力强等特点. 然而，经典CS算法只能求解连续型的优化问题. 针对以上传动件配置模型0-1规划问题，本研究给出编码机制、跳跃路径二进制更新机制及鸟巢位置非支配更新维护策略等.

以上传动件配置模型为多目标0-1规划问题，采用布谷鸟算法进行求解. 考虑到搜索效率和质量，基于传动可供性规则对轴承配置方案进行布谷鸟位置编码. 每一个传动配置方案均可以用一个布谷鸟的鸟巢位置信息表示. 将目标问题的可行解看作布谷鸟的N维搜索空间，则布谷鸟i在t时刻找到的鸟巢位置坐标 $x_i^t = \left\{ {x_{i1}^t,} \right. $ $\left. {x_{i2}^t, \cdots ,x_{iN}^t} \right\}$. 每一个传动配置方案均可以用一个布谷鸟的鸟巢位置信息表示. 在鸟巢位置信息中，传动系统中不同轴的传动类型定义为一个片段，轴系传动件定义为一个基因. 传动系统设计要求为每一种传动类型选取一个轴承元件. 被选取的轴承元件基因编码为1，不被选为0. 假设有3种轴传动类型，每一种传动类型有4个备选传动元件，若选用每一轴类型的第1个轴承元件，即为3个片段，每一片段的第1个基因为1，其余为0，则该布谷鸟位置编码表示为[100010001000]，如图4所示. 布谷鸟位置的每一维度表示不同的候选传动元实例.

令 $ {\rm{Step}}=\alpha \times {\rm{Levy}}\left(\lambda \right)=\alpha \times {{{s}}} $，则Step为布谷鸟在解空间中每次从旧鸟巢 $ {x}_{ij}^{t} $出发随机搜索新鸟巢位置 $ {x}_{ij}^{t+1} $时所经历的路径；取α=0.01；s为Levy飞行跳跃路径，模拟计算此路径^[20]：

(22) $ {s}=\mu /{\left|\upsilon \right|}^{1/\beta}. $

式中：β为参数， $ 0<\beta <2.0 $；参数μ、 $\upsilon $为正态分布随机数，服从正太分布.

借用Levy飞行每次位置更新的跳跃路径Step进行二进制代码变换^[21]：

当Step≤0时，

(23) $ {\rm{Sig}}\;\left({\rm{Step}}\right)=1-2/\left(1+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\;\left(-{\rm{Step}}\right)\right), $

(24) $x_{ij}^{t + 1} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}} {0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{rand}}\;\left( {} \right) \leqslant {\rm{Sig}}\;\left( {\rm{{Step}}} \right);}\\ \hspace{-60pt}{x_{ij}^t,\;\;\;\;\;\;\;{\text{其他}}.} \end{array}} \right.$

当Step>0时，

(25) $ {\rm{Sig}}\;\left({\rm{Step}}\right)=2/\left(1+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\;\left(-{\rm{Step}}\right)\right)-1. $

(26) $x_{ij}^{t + 1} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}} {1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{rand}}\;\left( {} \right) \leqslant {\rm{Sig}}\;\left( {\rm{{Step}}} \right);}\\ \hspace{-60pt}{x_{ij}^t,\;\;\;\;\;\;\;{\text{其他}}.} \end{array}} \right.$

利用式（22）~（26）进行布谷鸟位置更新，其收敛性较强，但全局多样性较弱.

经典布谷鸟算法由于布谷鸟的多样性逐渐下滑，容易早熟. 因此，本研究引入多样性测度计算布谷鸟位置更新之后成熟度. 对于二进制的布谷鸟算法，利用多样性测度m来描述布谷鸟成熟度，当多样性测度下降到一定值时，再对布谷鸟进行相应避免早熟的操作.

布谷鸟位置更新多样性测度定义^[22]如下：

(27) $\begin{split}m\left( {{X}} \right) \!=\!& 1 \!-\! \frac{1}{{N n}}\!\!\sum\nolimits_{i\! =\! 1}^N\left( \mathop {{\rm{max}}}\nolimits_{} \;\left\{{\sum\nolimits_{j \!=\! 1}^n { \!{{x_{ij}^{t+1}}} } ,\sum\nolimits_{j\! =\! 1}^n \!{\left( {1 \!-\! {x_{ij}^{t+1}}} \right)}} \right\} \!-\!\right.\\ &\left. \mathop {{\rm{min}}}\nolimits_{} \;\left\{{\sum\nolimits_{j = 1}^n { {{x_{ij}^{t+1}}} } ,\sum\nolimits_{j = 1}^n {\left( {1 - {x_{ij}^{t+1}}} \right)} }\right\} \right) .\end{split}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

式中：X为布谷鸟位置群体，N为编码长度，n为群体规模大小， $ {x}_{ij}^{t+1} $为t+1时刻布谷鸟每一个鸟窝位置个体. $m\left( {{X}} \right) \in \left[ {0,1.0} \right]$，在 $ m\left({ X}\right)=1.0 $时多样性达到最大， $ m\left({X}\right)=0 $时多样性消失.

通过机械传动系统多色集合的围道推理，初步形成传动类型设计方案粗糙集. 以传动功能可供性信息量最小和非功能可供性理想度最大为评价准则，依据鸟巢位置编码规则将不同轴系传动件进行编码，构建初始布谷鸟群. 利用改进的二进制多目标布谷鸟算法进行优化计算，从方案粗糙集中得到传动件配置方案. 具体流程如图5所示，其中关键计算步骤如下：1）以设计需求为统一颜色、传动类型为个人颜色、传动件为元素、传动可供性为约束构建机械传动系统多色集合模型；2）确定设计需求，通过设计需求传动类型围道矩阵合取规则推理得到传动类型方案粗糙集；3）通过传动类型传动件围道矩阵推理，得到备选传动件方案集；4）计算传动件候选规格传动件功能可供性信息量、评价非功能可供性理想度，构建传动件配置多目标模型；5）布谷鸟位置编码规则，对备选传动件方案集编码，形成初始鸟巢位置X₀，并计算相应的目标函数值；设定布谷鸟算法迭代次数t_max；6）通过非支配排序得到非支配解得到新一代鸟巢位置B；7）跳跃路径二进制更新得到候选鸟巢位置C₀，并计算相应目标函数；8）合并鸟巢位置B与候选鸟巢位置C₀，并通过非支配排序选取非支配解存入外部档案集D；9）通过拥挤度计算外部档案集D，得到新一代E；10）根据选择概率P_a，随机淘汰生成新鸟巢位置F；11）合并E和F，非支配排序存入外部档案集D；12）计算外部档案集D多样性测度；13）判断多样性测度是否等于0. 是，则转到步骤14），否则，转到步骤7）；14）判断鸟巢位置E最优个体是否劣于D. 是，则随机生成鸟巢位置G，以外部档案集D中最优个体替换G中随机位置，转到步骤15），否则，转到步骤18）；15）跳跃路径二进制更新鸟巢位置；16）更新外部档案集D；17）转步骤12）；18）判断是否达到最大迭代次数. 是，转步骤19），否则，t=t+1，转步骤7）；19）输出最优位置.

以某型号减速器各轴传动系统配置为例进行应用验证. 通过对减速器输入输出功率、减速比、转速、作用空间等信息综合考虑，进行减速器传动件的选择.

二级减速器设计要求：电机功率为4 kW，3根轴转速分别为n₁= 1440 r/min，n₂= 268 r/min，n₃= 65 r/min. 3根轴最小轴径d₁=20 mm，d₂=35 mm，d₃=55 mm. 根据减速器齿轮传动可供性分析可知，圆柱齿轮箱的轴承应具有高承载能力、高刚度、高尺寸精度和运行精度、低摩擦、低运行噪音的特点；输入轴的工作条件为高转速，会产生大摩擦及高工作温度；在减速器启动时温差大、升温快，由驱动会产生振动非平衡.

构建减速器传动系统多色集合模型，多色集合元素为减速器传动件，记为 $ { A}={{A}}_{1}\cup {{ A}}_{2}\cup {{ A}}_{3} $. 根据机械设计手册^[23]确定，A₁为轴类型集合，A₂为齿轮类型集合，A₃为轴承类型集合. 轴类型细分为A₁={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，a₁₀，a₁₁，a₁₂}，a₁~a₁₂分别为圆柱齿轮箱输入轴、圆柱齿轮箱中间轴、圆柱齿轮箱输出轴、圆锥小齿轮轴输入轴侧、圆锥小齿轮轴小齿轮侧、圆锥齿轮齿轮侧、圆锥齿轮相反侧、蜗轮齿轮箱蜗杆轴、蜗杆齿轮箱蜗轮轴、行星轴、太阳轮轴、行星轮支承架. 齿轮类细分为A₂={a₁₃，a₁₄，a₁₅，a₁₆，a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀，a₂₁，a₂₂，a₂₃}，a₁₃~a₂₃分别为直齿圆柱齿轮、斜齿圆柱齿轮、人字齿轮、齿轮齿条、直齿锥齿轮、交错轴齿轮、圆柱蜗杆传动、环面蜗杆传动、锥面蜗杆传动、行星齿轮、少齿差行星齿轮. 轴承类细分为A₃={a₂₄，a₂₅，a₂₆，a₂₇，a₂₈，a₂₉，a₃₀，a₃₁，a₃₂}，a₂₄~a₃₂分别为深沟球轴承、角接触轴承、四点接触轴承、自动调心球轴承、圆柱滚子轴承、滚针轴承、球面滚子轴承、CARB圆环滚子轴承、圆锥滚子. 作为标准件，轴承生产厂家各不同. 选用SKF轴承^[24-25].

设计需求为多色集合统一颜色，记作F（A）={F₁，F₂，F₃，F₄，F₅，F₆，F₇，F₈，F₉，F₁₀，F₁₁，F₁₂，F₁₃，F₁₄}，F₁~F₁₄分别表示平行轴、相交轴、交错轴、传动比大、传动比中、传动比小、精度高、精度中、传动功率大、传动功率中、传动功率小、转速高、转速中、转速低.

齿轮箱传动类型为多色集合个人颜色，记作F（a）={f₁，f₂，f₃，f₄，f₅，f₆，f₇，f₈，f₉，f₁₀，f₁₁，f₁₂}，f₁~f₁₂分别为渐开线圆柱齿轮传动、圆弧齿轮传动、直齿锥齿轮传动、曲线锥齿轮传动、准双曲面齿轮传动、圆柱蜗杆传动、圆弧蜗杆传动、环面蜗杆传动、锥面蜗杆传动、普通渐开线行星齿轮传动、渐开线少齿差行星齿轮传动、摆线少齿差行星齿轮传动. 传动类型和设计需求围道矩阵和传动件和传动类型围道矩阵^[24]如表2、3所示.

在齿轮传动类型中确定齿轮传动设计需求为平行轴间传递、大传动比、中等速度. 根据传动类型与设计需求围道矩阵[F（a）×F（A）]，设计需求集合表示为F（A）={F₁，F₄，F₁₃}对应的传动类型分别为F（F₁）={f₁，f₂，f₁₀，f₁₁，f₁₂}，F（F₄）={f₁，f₂，f₆，f₇，f₈，f₉，f₁₁}，F（F₁₃）={f₁，f₂}. 经合取推理，得到的传动形式为渐开线圆柱齿轮传动、圆弧齿轮传动. 确定传动形式为选用渐开线圆柱齿轮传动.

通过传动类型与传动件围道矩阵[A₁×F（a）]和[A₂×F（a）]推理得到轴类为圆柱齿轮箱输入轴、圆柱齿轮箱中间轴、圆柱齿轮箱输出轴. 齿轮类为直齿圆柱齿轮、斜齿圆柱齿轮、人字齿轮、齿轮齿条和交错轴齿轮.

输入轴、中间轴、输出轴的轴承候选规格及传动功能可供性信息量计算值如表4所示. 表中，D₀为外径，W₀为宽度，Cr为轴承基本额定动载荷，Cor轴承基本额定静载荷，n_g为脂润滑转速，I_tot为总信息量，V为单价. 减速器组件传动可供性约束及有害关系数^[23-25]如表5所示，其中传动可供性符号含义如表1所示. 轴承候选规格的传动可供性评价与理想度^[24-25]如表6所示. 表中，P_B、P_H分别为有益、有害关系百分比.

根据式（1）建立的优化模型，改进的布谷鸟算法参数设置为t_max=35，布谷鸟个数为5. 分别借助改进的布谷鸟算法和改进的NSGAⅡ算法进行求解. 在成本约束为300的条件下，2种算法求解得到的候选轴承配置方案对比如图6所示. 图中，No为候选轴承编号.

根据专家给出的3组不同的非功能可供性理想度，L₁为原始的理想度，L₂={3.5，5.0，5.0，3.5，5.0，3.5，3.5，5.0，9.0，9.0，3.5，3.5，5.0，3.5，9.0}，L₃={5.0，3.5，5.0，9.0，9.0，3.5，3.5，5.0，9.0，9.0，5.0，3.5，3.5，5.0，9.0}. 计算在相同成本约束条件下候选规格配置方案，结果如图7所示. 可以看出，在成本约束不变的情况下，非功能可供性理想度改变，轴承选配随之发生相应的变化. 当非功能可供性理想度增大时，与其关联性较强的轴承传动件更倾向于选择更优的候选规格，例如，在输入轴系轴承模块，当非功能可供性理想度增大时，可以选配2（理想度为5.0）或4（理想度为9.0）.

计算不同成本约束D₁=350，D₂=300，D₃=200的条件下，轴承候选规格配置方案对比，如图8所示. 可以看出，当非功能可供性理想度不变时，改变价格，轴承选配随之发生相应变化. 当价格增大时，与其关联性较强的轴承传动件更倾向于选择更优的候选规格，例如，在输出轴系轴承模块，当价格放宽时可以选配轴承12（单价180）.

在成本约束为350的条件下，本研究方法与不考虑非功能可供性理想度的轴承配置方案对比如图9所示. 可以看出，当成本约束不变时，不考虑非功能可供性理想度，轴承选配随之发生相应的变化，倾向于选择深沟球轴承.

（1）考虑传动件之间的作用关系，定义传动可供性，构建设计需求、传动类型、传动元件、传动可供性的关联关系模型. 给出机械传动系统多色集合模型及其合取推理方法，实现机械传动系统方案设计知识表达.

（2）以功能可供性信息量最小、非功能可供性理想度最大为评价目标，建立传动元件多目标0-1线性规划模型. 借助跳跃路径二进制位置更新机制和多样性测度维护的布谷鸟算法，实现机械传动件配置方案优化求解.

（3）以减速器机械传动方案设计为例，对所提出方法进行应用验证. 与改进的NSGAⅡ方法求解进行计算结果对比. 结果表明，本研究方法的收敛性较好.

（4）下一步将在考虑工况不确定性的情况下对机械传动系统设计进一步研究.