磁瓦是瓦状永磁体，主要由铁氧体材料构成，用于形成永磁直流电机的恒定磁场. 由于磁瓦生产工艺复杂，磁瓦成品偶尔会出现内部缺陷^[1-2]. 这些隐藏的缺陷会严重降低磁瓦产品的性能，同时直接影响电机的使用寿命和运行效率. 鉴于磁瓦内部缺陷的复杂性，常规检测方法难以满足在大规模、批量化磁瓦生产条件下，对内部缺陷实现自动化、准确、快速检测的高要求. 在当前磁瓦生产中，磁瓦内部缺陷的检测主要依赖于人耳辨识磁瓦的撞击声来决策内部缺陷的存在与否. 这种检测方法效率低、精度稳定性差，受人为因素的影响大. 因此，研究高效、准确、自动化的磁瓦内部缺陷检测方法成为亟待解决的现实问题.

近年来，随着无损检测技术的快速发展，诸如超声^[3]、红外热成像^[4]技术在无损检测领域取得了较多成果和突破. 然而，对于磁瓦这种大批量制造的产品来说，这些无损检测方式的检测速度慢、检测成本高，不利于实际应用；相比而言，声振检测具有速度较快、成本较低、容易实施的优点，较匹配磁瓦生产线对于产品质量检测的各项需求. 声振检测也存在难点，尤其是在声振信号的处理和识别问题上. 磁瓦声振信号具有非线性、非高斯、非平稳的特点，在简单的时频分析手段下，较难发掘表征磁瓦内部缺陷的特征，因此须借助高效的时频分析方法才能正确识别磁瓦内部缺陷.

在现代信号处理技术中，能够将信号分解成独立模态分量的方法具有较大的发展潜力. 极具代表性的算法有经验模态分解^[5]、局域均值分解^[6]，不过Ma等^[7]指出它们都容易造成模态混叠的问题. Dragomiretskiy等^[8]提出变分模态分解（variational mode decomposition，VMD）是新的自适应时频分析方法，具有可靠性高、模态混叠小的优点. 张云强等^[9-12]利用VMD使非平稳的振动信号与噪声脱离. 尽管VMD有出色的信号处理潜力，但其在分解信号时须预设分解层数 $K$和惩罚因子 $\alpha $^[13-14]，它们对于VMD的分解效果有至关重要的影响. 因此，VMD的参数优化在近年得到广泛的关注. 杨大为等^[15]通过VMD模态分量中心频率的变化来寻找最佳的 $K$，这种方法适用于单个独立信号的应用场景，但针对类型不同、个体存在差异的磁瓦声振信号，这种参数优化方式在优化效率上并不可取. Jiang等^[16]采用由粗到细的分解策略来确定VMD分解参数，逐个对 $K$和 $\alpha $寻优，取得的分解参数是相对最优分解参数组合. 唐贵基等^[17-18]利用粒子群优化算法（particle swarm optimization，PSO）对VMD的 $\left[ {K,\alpha } \right]$进行全局寻优，使VMD成功分解滚动轴承的振动信号. 文献所提出的PSO寻优VMD分解参数的方法并不适用于磁瓦声振信号的VMD处理，主要问题归结于它们的PSO适应度函数不能反映磁瓦声振信号在VMD处理下的分解特点，从而严重影响了寻优效果. 为了实现参数的正确优化，必须依据磁瓦声振信号的特点设计有效的适应度函数来充分描述参数对VMD处理效果的影响，即用这个适应度函数来表达VMD参数与其处理性能的关联.

VMD作为优异的自适应时频分析方法能够有效处理非平稳信号，但其处理性能严重受制于参数的设置；PSO在优化VMD参数问题中具有显著的应用价值，但依赖于对适应度函数的正确设计. 目前两者并没有在磁瓦声振信号分析中得到合理解决和正确应用，因此本研究首先针对磁瓦信号处理特点，设计反映VMD参数与处理性能关联的适应度函数作为PSO的目标函数，以适应度函数最小对应的参数作为最优执行参数，从而确定最佳的分解层数 $K$和惩罚因子 $\alpha $；利用最优参数进行磁瓦声振信号的VMD处理，进而利用VMD处理后得到的模态分量的能量筛选出特征模态，并从中提取特定的时频特征数据来反映磁瓦内部缺陷的存在情况；由随机森林分类器进行特征识别，以此实现对磁瓦内部缺陷的快速、精准识别.

PSO^[19]是全局随机搜索算法，利于实现收敛速度快、可靠性高的优化过程. 它主要模仿鸟类觅食行为. 将鸟类觅食过程简化为粒子根据自适应函数找到最优解的过程. 通过不断的迭代，持续地更新粒子的局部和全局最优解最后找到目标值. PSO算法的数学模型简化如下.

假设由 $d$维向量组成的搜索矩阵中共有 $n$个粒子，定义第 $i$个粒子位置和速度分别为 ${{{x}}_i} = [ {x_{i1}}, {x_{i2}}, \cdots ,{x_{id}} ]$和 ${{{v}}_i} = \left[ {{v_{i1}},{v_{i2}}, \cdots ,{v_{id}}} \right]$，它经历的最好位置为 ${{{p}}_i} = \left[ {{p_{i1}},{p_{i2}}, \cdots ,{p_{id}}} \right]$，种群中所有粒子所经历的最好位置为 ${{{p}}_g} = \left[ {{g_{g1}},{g_{g2}}, \cdots ,{g_{gd}}} \right]$. 在整个优化过程中，每个粒子要经过一定的迭代，即不断更新每个粒子的位置和速度. 若迭代到第 $l$次，则第 $d$维的速度和位置的更新公式如下：

(1) $\left. \begin{array}{c} {x_{id}}\left( {l + 1} \right) = {x_{id}}\left( l \right) + {v_{id}}\left( {l + 1} \right),\\ {v_{id}}\left( {l + 1} \right) = w_1{v_{id}}(l) + {c_1}\eta \left[ {{p_{id}} - {x_{id}}\left( l \right)} \right] + \\ \quad\;\;\;\;{c_2}\eta \left[ {{p_{gd}} - {x_{id}}\left( l \right)} \right]. \end{array} \right\}$

式中： $w_1$为惯性权重； ${c_1}$、 ${c_2}$为学习因子； ${p_{id}}$为第 $i$个粒子的第 $d$维的个体极值； ${p_{gd}}$为第 $g$个粒子的第 $d$维的全局最优解； $\eta $为随机数， $\eta \in \left[ {0,1.0} \right]$.

VMD可以将信号表示为若干调幅调频信号的叠加，即将原信号分解为若干模态函数，其中每个模态^[20]可以表示为

(2) ${u_k}\left( t \right) = {A_k}\left( t \right)\cos \;\left( {{\varphi _k}\left( t \right)} \right).$

式中： ${u_k}\left( t \right)$为模态函数； ${A_k}\left( t \right)$、 ${\varphi _k}\left( t \right)$为信号瞬时幅值和相位， $\varphi _k'\left( t \right) \geqslant 0$. 瞬时频率 ${w_k}$与 ${A_k}\left( t \right)$变化比 ${\varphi _k}\left( t \right)$变化要缓慢，所以在较小的时间变化范围内， ${u_k}\left( t \right)$可以看作幅值和频率不变的谐波信号.

VMD的处理过程如下.

1）对每个模态函数 ${u_k}\left( t \right)$进行Hilbert变换，构造解析信号，并得到 ${u_k}\left( t \right)$的单边频谱.

2）模态分量通过自身估计的中心频率，用指数修正进行频率混合，将中心频率逐步调整到对应带宽上.

3）引入高斯平滑解调信号，估计模态分量频带带宽，通过范数梯度的平方根得到变分模型的约束表达，表达式为

(3) $\!\!\!\left. \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\left\{ {{u_k}} \right\},\left\{ {{w_k}} \right\}} \left\{ {\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\left\| {{\partial _t}\left[ {\left( {\delta \left( t \right) + \frac{\rm j}{{{\text{π}{t}}}}} \right) {u_k}(t)} \right]{{\rm{exp}}\;{ (- {\rm j}{w_k}t)}}} \right\|_2^2} } \right\},\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{u_k}\left( t \right) = x(t).} \end{array} \right\}$

式中： ${{\partial_t}}$为对t求偏导， ${{\delta (t)}} $为脉冲函数， $K$为模态分解数； $\left\{ {{u_k}} \right\}$为模态分量集合， $\left\{ {{u_k}} \right\} = \left\{ {{u_1},{u_2}, \cdots ,{u_K}} \right\};$ $\left\{ {{w_k}} \right\} $为每个模态分量的中心频率， $\left\{ {{w_k}} \right\} = \left\{ {{w_1},{w_2}, \cdots, }\right.$ $ \left.{w_K}\right\}; $ $x(t)$为输入信号.

4）引入惩罚因子 $\alpha $和Lagrange乘子 $\lambda $来构造Lagrange函数，致使变分约束问题转化为非约束变分问题. Lagrange乘子 $\lambda $可以保证模型约束条件的严格性，其增广Lagrange函数定义如下：

(4) $\begin{array}{l} L\left( {\left\{ {{u_k}} \right\},\left\{ {{w_k}} \right\},\lambda } \right)\! =\! \alpha\!\! \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K \!\!{\left\| {{\partial _t}\left[ {\left( {\delta \left( t \right) \!+\! \frac{\rm j}{{{\text{π}} t}}} \right) {u_k}\left( t \right)} \right]{\exp\,{ (\!-\! {\rm j}{w_k}t)}}} \right\|} _2^2 \!+ \\ \quad\quad \left\| {x\left( t \right) - \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{u_k}\left( t \right)} } \right\|_2^2 + \left\langle {\lambda \left( t \right),x\left( t \right) - \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{u_k}\left( t \right)} } \right\rangle . \\[-19pt] \end{array} $

式中： $\lambda(t) $为加强约束.

对增广Lagrange函数进行时频域转换后可以求取对应的极值解，从而得到模态分量和中心频率的表达式：

(5) $\left. \begin{array}{c} \hat{u}_k^{n + 1}\left( w \right) = \dfrac{{\hat{x}(w) - \displaystyle\sum\limits_{i \ne k} {\hat{u}_{i}\left( w \right) + {{\hat{\lambda} \left( w \right)}}/{2}} }}{{1 + 2\alpha {{\left( {w - {w_k}} \right)}^2}}},\\ w_k^{n + 1} = \dfrac{{\int_0^\infty {w{{\left| {\hat{u}_{k}\left( w \right)} \right|}^2}{\rm{d}}w} }}{{\int_0^\infty {{{\left| {\hat{u}_{k}\left( w \right)} \right|}^2}{\rm{d}}w} }}. \end{array} \right\}$

式中： $\hat{u}_k^{n + 1}\left( w \right)$为 $u_k^{n + 1} $的傅里叶变换， $u_k^{n + 1}$为VMD在迭代过程形成的模态分量； $ w_k^{n + 1}$为 $u_k^{n + 1}$的功率谱重心； $\hat u_k(w){\text{、}}\hat x (w){\text{、}}\hat \lambda (w)$分别为模态分量u_k(t)、原始信号x(t)、Lagrange乘子λ的傅里叶变换.

最后利用交替方向乘法，通过不断迭代更新 $\left\{ {{u_k}} \right\}$、 $\left\{ {{w_k}} \right\}$、 $\lambda $来求取Lagrange函数的鞍点，并以此得到式（3）的最优解，最终得到 $x(t)$的 $K$个模态分量.

随机森林（random forest，RF）^[21]是集成式的机器学习算法. 它由一系列的分类决策树组成，在训练数据集时，它可以将训练数据随机分配到不同的决策树上，通过决策树投票进行分类决策，投票最多的决策将作为最终的判别结果，决策表示如下：

(6) ${y^*} = \mathop {\arg \max }\limits_{y \in Y} \sum\limits_{f \in F} I \;\left( {f\left( {x,\theta } \right) = y} \right).$

式中： $I\;\left( \cdot \right)$为示性函数，取值0或1，其中1表示赞同，0表示反对； ${y^*}$为输出结果；Y为所有类别标签集合；F为随机森林中所有决策树；f(x, θ)为决策树，x为给定自变量，θ为服从独立分布的随机向量. 在整个过程中，RF能够实现较快的训练速度，有效克服过拟合.

实验使用4种不同尺寸的铁氧体磁瓦作为实验样本，4种磁瓦在尺寸和材料上涵盖了产量和销量都较高的磁瓦产品，因而较具有代表性. 磁瓦样本的结构示意图如图1所示. 图中， $R$为半径， $H$为高度， $T$为厚度， $L$、 $W$分别为长度和宽度.

将4种类型的磁瓦样本简称为A、B、C、D. 每类磁瓦有240片，合格与缺陷磁瓦各占一半. 每类样本分为2个部分，一部分为训练样本，用于算法设计和信号分析，目的是建立检测算法，训练样本个数记作 ${N_{{\rm{train}}}}$；另一部分为测试样本，用于验证和评估算法的有效性，测试样本个数记作 ${N_{{\rm{test}}}}$. 为了保证所收集样本的可靠性，每片磁瓦的合格与缺陷结果均由3名经验丰富的检验员通过人工检测方法共同确认. 4种磁瓦样本的尺寸、数量和用途信息如表1所示.

自动收集磁瓦声振信号的检测装置沿用Huang等^[22]设计的检测系统. 磁瓦声振信号的采集如图2所示. 如图2（a）所示为磁瓦声振信号采集示意图. 图中，传送带尾端与激振块的垂直高度为4 cm，在该高度下能确保磁瓦不会产生新的缺陷. 激振块中的导音孔便于将产生的信号传输给传声器，同时传声器用隔音箱隔离保证收集到的信号受外界干扰较小. 如图2（b）所示为磁瓦声振信号采集系统的实物图，挡板主要用来固定磁瓦在跌落时的姿态，使磁瓦与激振块碰撞位置保持一致. 采集过程如下：步进电机按固定方向匀速输送待检磁瓦，当磁瓦传输到传送带尾端时，开始跌落且与激振块发生碰撞. 磁瓦在跌落过程中阻断光电传感器，光路触发信号调整仪，信号经放大滤波后再由数据采集卡进行数据采集存入计算机，进行后续信号处理. 在信号采集完毕后由计算机运行基于Matlab开发的检测算法来处理信号得出检测结果. 计算机硬件配置为CPU 2.20 GHz，内存为8 GB.

本研究提出的磁瓦内部缺陷声振检测算法如下，算法检测流程如图3所示.1）根据声振信号特点构建反映VMD分解参数和处理性能关联程度的适应度函数，并由此函数配合PSO执行参数空间中的函数极值搜索，将获得的函数极值对应的参数组合作为VMD最佳的 $K$和 $\alpha $. 2）利用获得的最优参数执行每个磁瓦声振信号的VMD处理，得到最优VMD处理结果. 3）针对每个声振信号，分别计算各模态分量的能量大小，以能量最大的模态分量作为特征模态. 4）从上述特征模态中提取过零率、谱质心和最大峰值频率信息作为内部缺陷存在情况的联合描述，为每个信号构建特征数据向量. 5）将训练样本的特征数据向量输入给RF，以训练和建立能够识别磁瓦内部缺陷的分类器，然后将测试样本特征数据输入训练好的RF分类器进行识别性能测试与验证.

随机选取A类训练样本中一个合格与缺陷磁瓦作时域和频域分析，采样周期为0.5 s，采样频率为40 kHz，时域、频域图如图4所示. 图中， ${A_{\rm{N}}}$为信号的归一化幅值. 将信号的时、频域幅值作归一化处理，其目的是便于比较合格与缺陷磁瓦的不同. 由图4可以看出，合格与缺陷磁瓦声振信号在时域和频域波形有一定相似性，无法有效捕捉有关磁瓦内部结构缺陷的特征. 将图4中的合格与缺陷样本分别用VMD进行分解，当分解参数设置为 $K = 5$， $\alpha {\rm{ = 2\;000}}$时可以得到如图5所示结果.不难看出，VMD作为优异的自适应分解方法，能够将信号按频域成分由低到高分解成若干模态分量，使噪音干扰信号有效分离，突出合格与缺陷磁瓦声振信号的差异成分和细节信息.

在VMD算法中， $K$决定模态分量的个数； $\alpha $决定模态分量的带宽， $\alpha $越大则模态分量带宽越小， $\alpha $越小则模态分量带宽越大^[23]. 过小的 $K$、过大的 $\alpha $容易造成信号欠分解，致使信号分解不充分、丢失部分有用信息；过大的 $K$、过小的 $\alpha $容易导致信号过分解，增加算法计算量、产生过多冗余信息. 为了验证VMD参数设置不恰当引起的信号欠分解和过分解现象，以A类磁瓦中的一个随机样本来验证. 由3.3节磁瓦样本的VMD参数寻优可知，A类磁瓦样本的VMD寻优分解参数分别为 $K$=5， $\alpha $=2 041. 以A类磁瓦的最佳VMD分解参数为标准，当信号欠分解时，将 $K$和 $\alpha $分别设置为4和2541；当信号过分解时， $K$和 $\alpha $分别设置为6和1541，如图6所示. 当优化参数设置恰当时，VMD可以将磁瓦声振信号各个频段信号有效分解，如图6（b）所示的用虚线标出的第5个模态分量为原信号频率较高的成分，而如图6（c）所示，由于分解参数过小，原信号该频率成分未被有效分解出来. 如图6（a）所示，分解参数过大造成信号过分解，重合部分为用实线标注的第3、4模态分量. 因此设置合理的VMD分解参数是有效分解信号的关键.

在利用PSO优化VMD分解参数时，优化效果取决于适应度函数，而适应度函数又主要依赖于被分解信号的特点. 轴承振动信号具有周期性和脉冲性的特点，依据自身信号特性构造的适应度函数一般为熵. 磁瓦声振信号不具有周期性且脉冲现象较弱，因此这些适应度函数不适合作为反映VMD对磁瓦声振信号分解效果的评判标准. 须根据磁瓦声振信号的分解特点构造相应的适应度函数. 许子非等^[24]指出，当经VMD分解后的模态分量完全正交时，模态能量之和与原始信号能量应该相等. 在现实的VMD分解中，各模态分量不完全正交，模态分量的能量之和与原始信号的能量存在一定误差，误差越小说明VMD对信号分解的效果越好. 实验证明，当VMD对信号欠分解时，模态分量与原信号的能量差值较大，但当误差小于某一阈值时，VMD存在对信号过分解的风险. 许子非等^[24]通过实验确定了这一阈值，但是本研究的研究对象为种类繁多、数量巨大的磁瓦产品，因此确定这一阈值较为困难. 为了避免信号过分解，由贾亚飞等^[25]的研究结果可知，当相邻模态分量的中心频率差值不大于1 kHz时，可以认为信号存在过分解现象.

本研究设计的适应度函数从两方面入手，即防止VMD对信号过分解和欠分解，从而达到找到最佳VMD分解参数的目的. 欠分解利用VMD分解后模态分量能量与原信号能量的差值比来避免；过分解利用相邻模态分量中心频率差值不大于1 kHz的次数来预防，适应度函数为两者之和，最佳适应度值为两者和的最小值. 适应度函数表达式如下：

(7) $\left. \begin{array}{l} F = \left(E - {\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^K {E\left( j \right)}}\right) \bigg/{E} + p, \\ E = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {\left| {x{{\left( i \right)}^2}} \right|,} \quad E\left( j \right) = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {\left| {{u_j}{{\left( i \right)}^2}} \right|.} \end{array} \right\}$

式中： $F$为适应度函数； $p$为相邻模态分量的中心频率差值不大于1 kHz的次数； $E$为原始信号的能量； $N$为信号的长度； $x\left( i \right)$为原始信号， $i \in ( 1,2, \cdots , N )$； $E\left( j \right)$为模态分量 $u\left( j \right)$的能量， $j \in ( {1,2, \cdots ,} K )$. 在创建适应度函数后，使用PSO在参数空间对VMD参数进行寻优. 按VMD参数预设经验， $K$范围通常为2~7、 $\alpha $范围为2 000~10 000.

PSO中粒子位置代表VMD中 $K$和 $\alpha $，由于每个粒子的位置不同，每个粒子对应的VMD分解结果也不同. 在每一次迭代中，根据式（7）计算每个粒子位置的适应度并确定其中最小的适应度作为局部极小值，同时记录对应的粒子位置. 为了找到最佳的VMD分解参数，要进行多次迭代直至搜索到最小适应度. 在每次迭代中找到该次迭代下函数的局部极小值和对应的粒子位置，比较不同迭代次数之间的局部极小值，以历次迭代中的最小值作为全局极小值，由此不断更新寻优结果直到迭代结束.

随着PSO的不断迭代，适应度的变化会逐步趋于平稳，说明PSO寻优过程逐渐收敛，最终粒子位置会停靠在一个固定坐标，该坐标对应着适应度函数的最小值，该最小值对应的粒子位置为该样本的最佳VMD分解参数. 以训练样本A中的一个随机磁瓦声振信号为例，在迭代过程中PSO粒子的最佳位置分布如图7所示. 根据图中粒子位置对应的参数可知，在多次迭代过程中， $K$取值为4或5； $\alpha $取值为2 000~3600. 以适应函数的极小值为最佳适应度值的原则，整个迭代过程中粒子的全局最佳位置为图7中的点 $A$，即 $K$=5， $\alpha $=2 008.

不同信号之间存在一定差异，会导致每个信号在参数寻优后可能有不同的寻优结果. 如果每个信号都执行参数寻优，势必会在检测过程中增加计算时间，降低检测效率. 因此，为了检测效率最大化，利用训练样本来确定VMD的最终分解参数.

将训练样本的声振信号逐个PSO寻优并得到各自最优 $K$、 $\alpha $参数；对于 $K$参数，以所有寻优结果出现频率最高的值作为统一的 $K$；对于 $\alpha $参数，以所有寻优结果的平均值作为统一的 $\alpha $；在测试样本检测中，每个信号直接使用上述获得的统一参数进行VMD处理. 信号之间虽有所差异，但最优参数都较为接近. 分解参数的统一虽然牺牲了小部分信号的最优处理结果，但是确保了整体信号的分解效果，同时提升了信号处理效率，避免反复参数寻优带来的检测效率下降问题. 4种样本的最优参数修正结果如表2所示，每种磁瓦的测试样本将按照该表中对应的参数进行VMD处理.

信号经VMD处理后会产生代表信号子成分的模态分量，但并非每一个模态都包含着有关内部缺陷的特征信息，因而须对这些模态进行筛选. 研究发现，模态分量能量越大说明含有的有效信息越多，更有利于提取到区别合格和缺陷磁瓦的特征；模态分量能量较少说明含有的噪声信号较多，会干扰特征的正确提取，所以利用模态能量大小筛选特征模态能精简数据处理量并促进特征提取的有效性.

具体实施如下：计算每类样本中所有训练样本的模态能量，取同类训练样本的相同模态的能量平均值并做归一化处理，每类样本的特征模态即为归一化平均能量最大的模态. VMD模态平均能量归一化表达式^[26]如下：

(8) $\left. \begin{array}{c} {e_i} = {{\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^{{N_{\rm{train}}}} {\displaystyle\sum\limits_{t{\rm{ = 1}}}^N \left[ {{u_j^i\left( t \right)}} \right]^2 } }}/{{N_{\rm{train}}}}, \\ {{E}} = \left[ {{e_1},{e_2}, \cdots ,{e_i}} \right],\\ {{E}}_{\rm{NM}} = \left[ \dfrac{e_1}{{e_{\max}}},\dfrac{e_2} {e_{\max}} ,\cdots ,\dfrac{e_i}{{ {e_{\max}}}} \right]. \end{array} \right\}$

式中： ${e_i}$为所有训练样本的第 $i$个模态分量的能量平均值，e_max为e_i中的最大值， $N$为模态分量的长度， $u_j^i\left( t \right)$为第 $j$个训练样本的第 $i$个模态分量在 $t$点的数值， ${{E}}$为模态的平均能量， ${{E}}_{\rm{NM}}$为模态的平均能量归一化值.

如表3所示为4类样本的各模态归一化平均能量计算结果，A、B、C、D这4种样本的特征模态依次确定为第3、3、6、3模态.

提取有效的特征对识别磁瓦内部缺陷有重要作用. 合格与缺陷磁瓦因内部结构不同，受外部力量撞击而产生的声音信号也有所不同，声音的不同主要在于音色方面的区别. 因此，本研究从特征模态中提取音色方面的3个时频域信息联合作为表征磁瓦内部缺陷的特征. 具体特征信息如下：

1）过零率^[27]. 当周期成分较多时，过零率较小；当噪声成分较多时，过零率较大. 过零率表达式如下：

(9) ${Z_{{\rm{cr}}}} = \sum\limits_{i = 1}^{N - 1} {\left| {{\rm{sgn}} \;\left[ {u\left( i \right)} \right] - {\rm{sgn}}\; \left[ {u\left( {i + 1} \right)} \right]} \right|} .$

式中： ${Z_{{\rm{cr}}}}$为过零率； $u\left( i \right)$为特征模态第 $i$点的数值； ${\rm{sgn}}\; \left[ \cdot \right]$为符号函数，表达式如下：

(10) ${\rm{sgn}}\; \left[ {u\left( i \right)} \right] = \left\{ \begin{array}{l} {\rm{ }}1,\;\quad u\left( i \right) \geqslant 0; \\ - 1,\;\;\;u\left( i \right) < 0. \\ \end{array} \right.$

2）谱质心^[28]. 谱质心为信号频率与其能量分布概率值乘积的总和，代表信号能量的重心，也是重要的音色描述特征，具有较强的抗干扰能力和鲁棒性. 表达式如下：

(11) ${f_{{\rm{sc}}}} = {{\displaystyle\sum\limits_{{f_i} = {f_1}}^{{f_i} = {f_2}} {{f_i}s\left( {{f_i}} \right)} }}\bigg/ {{\displaystyle\sum\limits_{{f_i} = {f_1}}^{{f_i} = {f_2}} {s\left( {{f_i}} \right)} }}.$

式中： ${f_{{\rm{sc}}}}$为离散傅里叶变换的谱质心， ${f_1} \sim {f_2}$为信号频率范围， $s\left( {{f_i}} \right)$为信号的能量谱.

3）最大峰值频点. 特征模态在快速傅里叶变换下会得到其频谱，谱中最大峰值频点代表磁瓦声振信号的振动频率，频率和磁瓦物理结构有直接关联，所以能够作为区别合格磁瓦与缺陷磁瓦的特征之一.

每个磁瓦声振信号都提取了3个特征，将特征数据的3个特征放入3维数据空间，如图8所示. 图中， ${f_{{\rm{mp}}}}$为最大峰值频点. 图8展示了4类磁瓦中所有合格训练样本与缺陷训练样本、合格测试样本和缺陷测试样本对应的特征数据聚类效果. 为了更好地观察特征聚类的效果，将较聚类的样本用虚线圈标注，并在图中空白区域放入该部分的放大图. 可以看出，合格样本的特征聚类效果更集中，都聚拢在小范围空间内；缺陷样本的特征较为分散，往往随机分布在广阔的数据空间中. 合格与缺陷样本的特征聚类空间没有明显的重叠和交叉，且彼此存在一定空间边界. 这些特征聚类结果说明所提取的特征能较为理想地区分合格与缺陷样本.

在提取有效特征后须进行特征识别，以判别内部缺陷是否存在. 利用RF作为分类器，使用支持向量机（SVM）和反向传播神经网络（back propagation neural network，BPNN）作为对比，验证识别方法的有效性.

分类器的识别能力得益于训练样本的训练效果，由于训练样本仅提供有无缺陷信息，故样本之间在信息贡献上可视为是一致的，因而对于识别能力的影响主要体现在训练样本的数量上. 理论上，训练数量越多，训练越充分，但过多训练数量易造成重复训练降低训练效果. 本研究逐步增加训练数量，通过识别率来探究训练数量的合理值；训练样本由等量的合格与缺陷样本构成，数量相同是为了确保样本在表征合格与缺陷情况时的概率平衡. 如图9所示为不同训练样本数量对识别精度的影响.图中， ${N_{{\rm{train}}}}$为训练样本数量，且合格与缺陷各占一半； ${R_{\rm{T}}}$为测试样本的总体识别率. 由图可知，当合格与缺陷样本都为40时，4类样本的 ${R_{\rm{T}}}$都达到最高，因此 ${N_{{\rm{train}}}}$确定为80. 依据测试样本的各种类型识别率和单片样本的平均识别时间来检验不同分类器的识别能力. 如表4所示为RF、SVM和BPNN这3种分类器对4种磁瓦的识别效果. 表中，S_T为单片测试样本的平均识别时间， ${R_{\rm{D}}}$和 ${R_{\rm{N}}}$为测试样本的缺陷和合格识别率. 在实际生产中，只要缺陷样本能100%被识别就能保证受检的磁瓦没有缺陷产品，因此在缺陷样本没有被误检的条件下，合格样本识别率越高的方法就越有效. 由表4可以看出，能够满足对4种类缺陷样本100%识别的分类器只有RF和SVM. 同时，RF对D类合格磁瓦的识别率高于SVM对它的合格识别率. 根据实际生产中对磁瓦识别的通用要求，在表4中能满足条件的只有RF方法. 此外，为了保证检测的快速性，在实际检测中希望识别的时间越短越好，由表4可知，对4种磁瓦平均识别时间最短的方法就是RF. 综合识别率和识别时间，可以发现RF在磁瓦内部缺陷特征识别上具有更好的性能和优势，故选用RF作为最优分类器.

为了验证优化VMD分解参数对磁瓦内部缺陷有效识别的重要性，以D类样本为例. 由表2可知D类磁瓦样本的VMD优化分解参数分别为3和2 014. 根据D类样本的寻优参数和参数寻优空间，将未优化的 $K$设置为2、3、4， $\alpha $从数值2500开始，到9500结束，步长设置为1 000. 将上述未优化的VMD分解参数两两组合，最终比较它们对D类测试样本的总体识别率和识别所需时间，如图10所示.

如图10（a）所示为不同VMD分解参数对D类测试样本总体识别率的变化，可以看出优化后的VMD对D类训练样本的总体识别率高于未经优化后的VMD. 在识别速度上，即单片测试样本所需时间，只有当分解层数为2时，识别时间才低于优化VMD的识别时间. 综合识别率和识别时间，优化后的VMD能够更加准确地识别合格与缺陷磁瓦. 须注意的是，虽然在分解层数为2时，对D类测试样本的识别速度更加快速，但是这是以牺牲识别率为代价，不符合磁瓦内部缺陷识别的通用要求和准则.

为了实现磁瓦内部缺陷的有效识别，提出结合PSO、VMD和RF的信号分析方法. 整个方法在4类磁瓦样本检测实验中取得了满足实际检测需求的效果，为磁瓦内部缺陷的快速精准检测提供了可行方案.

（1）以反映VMD参数与其处理性能关联的适应度函数作为PSO的目标函数进行寻优，能够在参数空间中准确找到VMD最佳的 $\left[ {K,\alpha } \right]$参数组合. 借助对所有训练样本最优参数的修正能确定统一的优化参数，使每个磁瓦声振信号都能得到合适的VMD处理效果，有效解决VMD参数优化问题.

（2）利用每个模态分量的能量来筛选特征模态，有效精简特征提取量并突出特征信息，从而提高算法的运算速度、检测效率和识别精度.

（3）联合特征模态中的过零率、谱质心和最大峰值频率3种信息可以充分表述内部缺陷的存在情况，组成的特征数据量小、聚类清晰，有助于识别和判断.

（4）采用RF作为特征识别分类器，其结构简易、对参数设置依赖性弱，极大简化了分类器训练和设计的难度. 在保证4种磁瓦样本的缺陷识别率到达100%的条件下，有较高的合格磁瓦识别率，同时在检测速度上获得了有别于SVM和BPNN的明显优势.

（5）在利用VMD处理磁瓦声振信号之前，须利用PSO对VMD分解参数进行寻优，这不可避免地会花费一定的额外时间，且寻优过程存在一定复杂性，在实施快速化在线检测方面还有进一步改进的空间. 因此在后续研究中有望通过对VMD分解性能的深入研究，构建更为简单和直观的适应度函数来降低优化的难度，同时提高优化的时效性.