数控机床在制造业的发展中起着重要作用.影响机床精度的主要因素是切削力、机械精度和控制轴的动态特性^[1]. 高速进给对机床的驱动系统提出了更高的要求. 机床在高速运行时其动态特性会随时间变化. 随着速度和加速度的增加，滚珠丝杠进给系统的阻尼和刚度分布将发生变化^[2]. 伺服系统的带宽影响控制精度. 当系统的输入信号频率达到带宽频率时，将会产生强烈的振动. 此外，电子元件的噪声干扰和系统内的摩擦力也会影响控制精度.

抑制振动和减小摩擦力的干扰，可以有效地提高控制精度. Erkorkmaz等^[3]提出带有摩擦补偿的滑模控制方法，并且采用陷波滤波器和主动阻尼技术抑制振动. Sun等^[4]采用带有额外工作台速度反馈的控制器改善振动特性. Sun等^[5]在文献[4]的基础上提出考虑工作台和电机之间速度差反馈的方法，可以抑制机械振动，但没有考虑干扰. Gordon等^[6]提出极点配置方法来抑制系统的振动，并且加入包含速度和高阶速度微分的前馈控制器. Qian等^[7]描述非线性滑模控制器，可以改善系统的阻尼特性，收敛速度更快，但是没有考虑系统的不确定性. 上述研究均未对系统的时变特性做出充分的考虑.

在机床工作时，存在摩擦力和电子元件噪声的干扰. 当机床高速启停时，滚珠丝杠进给系统的阻尼和刚度系数会发生变化^[2]. 充分考虑系统的时变特性，可以进一步提高控制精度. Dong等^[8]建立滚珠丝杠驱动系统的时变不确定模型，针对该模型设计自适应反演滑模控制器，并且估计系统的不确定性. Utkin等^[9]介绍积分滑模控制器，可以在有限时间内保证整个系统的稳定，但是没有针对时变系统进行研究. Bao等^[10]分析滚珠丝杠进给系统的不确定性，设计非线性干扰观测器，消除不匹配干扰. 此外，滑模趋近律的选择会对控制效果产生较大影响，传统的趋近律可能产生较大的抖动. 王坤等^[11]采用多幂次趋近律的滑模控制策略减小抖动，并且通过有限时间干扰观测器估计非匹配不确定性. 考虑系统带有不确定性，Wang等^[12]设计状态反馈鲁棒控制器，但是仅仅证明了稳定性. Lian等^[13]考虑不确定切换系统，设计H∞稳定的滑模面，但是仅仅进行了有限的仿真验证，没有考虑高速进给的实际情况. Tokat等^[14-15]设计时变滑模面，但只是针对滑模面初始状态进行设计，有一定的缺陷. Yang等^[16]设计非线性干扰观测器，消除不匹配的扰动，但是在较大增益时会产生抖动.

在上述文献中缺少全面考虑系统未知干扰和时变特性的研究. 很多学者只是应用仿真来验证自己的方法，并且没有使用高速度和高加速度的目标轨迹来实际检测控制性能. 针对以往研究的不足，本研究全面考虑滚珠丝杠进给系统的时变特性, 并设计改进的控制器. 为了描述系统的实际状态，本研究首先建立参数不确定模型. 针对不确定模型，设计H∞积分滑模控制器（H∞ integral sliding mode control，HISMC），使用线性矩阵不等式（linear matrix inequation, LMI）方法对滑模面参数做出优化. 改进的指数干扰观测器（exponential disturbance observer，EDO）可以补偿系统中的干扰. 使用lyapunov方法证明系统是稳定的，并且满足L₂增益. 最后，在滚珠丝杠实验台进行轨迹跟踪实验验证控制器的性能.

实验设备如图1所示. 本研究采用的滚珠丝杠实验平台为自主设计的综合实验台. 实验设备采用高精密滚珠丝杠副和伺服电机. 电机通过联轴器与丝杠连接. 实验台采用直线光栅尺反馈工作台位置，采用旋转编码器反馈丝杠转角. 实验设备带有Dspace控制系统.

分析表明，研究对象的第1阶模态频率约为100 Hz^[17]. 由于高阶模态影响较小，只考虑系统低阶轴向振动特性，选择二自由度模型研究该系统. 该系统可以分为等效直线运动部件和等效旋转部件. 移动部件包括丝杠螺母、工作台和工件等. 转动部件包括电动机、丝杠和轴承等.

滚珠丝杠进给系统等效模型如图2所示. 根据如图2所示的模型可以得到系统的运动方程：

(1) $\left. \begin{array}{l} {m_{\rm{1}}}{{\ddot x}_{\rm{1}}} = - {b_{\rm{1}}}{{\dot x}_{\rm{1}}} + c\left( {{{\dot x}_{\rm{2}}} - {{\dot x}_{\rm{1}}}} \right) + k\left( {{x_{\rm{2}}} - {x_{\rm{1}}}} \right) + {u} + {d_{\rm{1}}}, \\ {m_{\rm{2}}}{{\ddot x}_{\rm{2}}} = - {b_{\rm{2}}}{{\dot x}_{\rm{2}}} + c\left( {{{\dot x}_{\rm{1}}} - {{\dot x}_{\rm{2}}}} \right) + k\left( {{x_{\rm{1}}} - {x_{\rm{2}}}} \right) + {d_{\rm{2}}}. \\ \end{array} \right\}$

式中： ${m_{\rm{1}}}$为滚动部件等效质量的名义值， ${m_{\rm{2}}}$为移动部件等效质量的名义值，c为丝杠螺母阻尼系数的名义值， ${b_{\rm{1}}}$为电机阻尼系数的名义值， ${b_{\rm{2}}}$为导轨阻尼系数的名义值，k为系统等效刚度， ${x_{\rm{1}}}$为旋转部件的等效位移， ${{x} _{\rm{2}}}$为工作台的位移，u为电机的控制电压， ${d_{\rm{1}}}$、 ${d_{\rm{2}}}$为未知干扰. 模型的名义值是指通过辨识手段得到的近似值，名义值是常数.

为了方便研究，将式(1)转化为

(2) $\dot{ z} = {Az} + {B}{u} + {Dd}.$

式中： ${z}$为系统的状态变量; A、B、D为通过式(1)得到的常线性矩阵，表达式如下：

(3) $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{{z}} = {{{\rm{[}}\begin{array}{*{20}{c}} {{z_{\rm{1}}}}{\text{，}}{{z_{\rm{2}}}}{\text{，}}{{z_{\rm{3}}}}{\text{，}}{{z_{\rm{4}}}} \end{array}{\rm{]}}}^{\rm{T}}} = } \\ \qquad {[\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{\rm{2}}}}{\text{，}}{{x_{\rm{1}}}}{\text{，}}{{{\dot x}_{\rm{2}}}}{\text{，}}{{{\dot x}_{\rm{1}}}} \end{array}{{\rm{]}}^{\rm{T}}}}{\text{，}} \\ {{A} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{0}}&{\rm{0}}&{\rm{1}}&{\rm{0}} \\ {\rm{0}}&{\rm{0}}&{\rm{0}}&{\rm{1}} \\ { - \dfrac{k}{{{m_{\rm{2}}}}}}&{\dfrac{k}{{{m_{\rm{2}}}}}}&{ - \dfrac{{{b_{\rm{2}}} + c}}{{{m_{\rm{2}}}}}}&{\dfrac{c}{{{m_{\rm{2}}}}}} \\ {\dfrac{k}{{{m_{\rm{1}}}}}}&{ - \dfrac{k}{{{m_{\rm{1}}}}}}&{\dfrac{c}{{{m_{\rm{1}}}}}}&{ - \dfrac{{{b_{\rm{1}}} + c}}{{{m_{\rm{1}}}}}} \end{array}} \right]}, \\ \begin{array}{l} {B} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{0}}{\text{，}}{\rm{0}}{\text{，}}{\rm{0}}{\text{，}}{{{\rm{1}}}/{{{m_{\rm{1}}}}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}, \\ {D} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{0}}&{\rm{0}}&{\rm{0}}&{{{\rm{1}}}/{{{m_{\rm{1}}}}}} \\ {\rm{0}}&{\rm{0}}&{{{\rm{1}}}/{{{m_{\rm{2}}}}}}&{\rm{0}} \end{array}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}, \\ {d} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{d} _{\rm{1}}}},{{{d} _{\rm{2}}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} . \end{array} \end{array}} \right\}$

运行中的滚珠丝杠进给系统的模型是时变的. 在机床加工时，工件的变化导致工作台质量的不确定. 工作台的位置变化、加速度变化，会导致丝杠螺母副的轴向刚度发生改变. 在不同速度下会有不同的阻尼特性. 摩擦力和传感器噪声带来的干扰也在变化. 如图3所示为工作台在不同位置的频率特性. 图中，f为频率，Q为频率响应幅值，P为频率响应相位. 工作台从位置1到位置3逐渐远离电机. 图3说明系统存在时变特性.

由于模型存在时变特性，模型参数中包含时变参数. 定义 ${{m} _{\rm{1}}}^*$为滚动部件等效质量的实际值， ${{m} _{\rm{2}}}^*$为移动部件等效质量的实际值， ${{c} ^*}$为丝杠螺母阻尼系数的实际值， ${{b} _{\rm{1}}}^*$为电机阻尼系数的实际值， ${{b} _{\rm{2}}}^*$为导轨阻尼系数的实际值， ${{k} ^*}$为二自由度系统刚度系数的实际值.可以得到时变状态方程如下：

(4) $\dot{ z} = \left( {{A} + \bar{ A}} \right){z} + \left( {{B} + \bar{ B}} \right){u} + \left( {{D} + \bar{ D}} \right){d},$

(5) $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\bar{ A} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{0}}&{\rm{0}}&{\rm{1}}&{\rm{0}}\\ {\rm{0}}&{\rm{0}}&{\rm{0}}&{\rm{1}}\\ {{{\bar a}_{{\rm{31}}}}}&{{{\bar a}_{{\rm{32}}}}}&{{{\bar a}_{{\rm{33}}}}}&{{{\bar a}_{{\rm{34}}}}}\\ {{{\bar a}_{{\rm{41}}}}}&{{{\bar a}_{{\rm{42}}}}}&{{{\bar a}_{{\rm{43}}}}}&{{{\bar a}_{{\rm{44}}}}} \end{array}} \right],}\\ {\bar{ B} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{0}}&{\rm{0}}&{\rm{0}}&{\left( {{m_{\rm{1}}} - {m_{\rm{1}}}^*} \right)} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}}\dfrac{{\rm{1}}}{{{m_{\rm{1}}}{m_{\rm{1}}}^*}}},\\ {\bar{ D} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{0}}&{\rm{0}}&{\rm{0}}&{\dfrac{{\left( {{m_{\rm{1}}} - {m_{\rm{1}}}^*} \right)}}{m_1m_1^*}} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{0}}&{\rm{0}}&{\dfrac{{\left( {{m_{\rm{2}}} - {m_{\rm{2}}}^*} \right)}}{m_2m_2^*}}&{\rm{0}} \end{array}} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}}},\\ {{{\bar a}_{{\rm{31}}}} = \dfrac{{k{m_{\rm{2}}}^* - {m_{\rm{2}}}{k^*}}}{m_2m_2^*},\;\;{{\bar a}_{{\rm{41}}}} = \dfrac{{{m_{\rm{1}}}{k^*} - k{m_{\rm{1}}}^*}}{{m_1m_1^*}}},\\ {{{\bar a}_{{\rm{32}}}} = \dfrac{{{m_{\rm{2}}}{k^*} - k{m_{\rm{2}}}^*}}{m_2m_2^*},\;\;{{\bar a}_{{\rm{42}}}} = \dfrac{{k{m_{\rm{1}}}^* - {{\rm{m}}_{\rm{1}}}{k^*}}}{m_1m_1^*}},\\ {{{\bar a}_{{\rm{33}}}} = \dfrac{{{\rm{(}}c + {b_{\rm{2}}}{\rm{)}}{m_{\rm{2}}}^* - {m_{\rm{2}}}{\rm{(}}{c^*} + {b_{\rm{2}}}^*{\rm{)}}}}{{m_2m_2^*}},\;\;{{\bar a}_{{\rm{43}}}} = \dfrac{{{m_{\rm{1}}}{c^*} - c{m_{\rm{1}}}^*}}{{m_1m_1^*}}},\\ {{{\bar a}_{{\rm{34}}}} = \dfrac{{{m_{\rm{2}}}{c^*} - c{m_{\rm{2}}}^*}}{{m_2m_2^*}},\;\;{{\bar a}_{{\rm{44}}}} = \dfrac{{{\rm{(}}c + {b_{\rm{1}}}{\rm{)}}{m_{\rm{1}}}^* - {m_{\rm{1}}}{\rm{(}}{c^*} + {b_{\rm{1}}}^*{\rm{)}}}}{m_1m_1^*}}. \end{array}} \right\}$

式中： $\bar{ A}$、 $\bar{ B}$、 $\bar{ D}$为时变不确定部分，而A、B、D为名义模型的常数矩阵.

为了方便研究，将系统中的不确定部分与常数矩阵分开. 根据式（4）可以得到

(6) $\dot{ z} = {Az} + {B}{u} + {\delta } + {f},$

(7) ${f} = \bar{ Az} + \bar{ B}u + \bar{ Dd,}\;\;{\delta } = {Dd}.$

式中：f为参数不确定对系统的影响， ${\delta }$为未知干扰对系统的影响.

与以往的时不变系统不同，考虑时变不确定系统，设计满足H∞要求的控制器. 滑模控制具有快速响应和对扰动变化不敏感的特点. 由于研究目标是减少工作台轨迹跟踪误差，定义参考轨迹 ${r} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{\rm{1}}}}{\text{，}}{{r_{\rm{2}}}}{\text{，}}{{r_{\rm{3}}}}{\text{，}}{{r_{\rm{4}}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$， ${r_{\rm{1}}}$、 ${r_{\rm{2}}}$分别为滚动部件和移动部件的参考位移， ${r_{\rm{3}}}$、 ${r_{\rm{4}}}$分别为相应的参考速度. 跟踪误差定义为 ${e}={z}-{r,}\;\;{e} \in {{\bf{R}}^{{\rm{4}} \times {\rm{1}}}}$.

先仅考虑f的影响. 设计改进的积分滑模结构如下：

(8) ${{\sigma}} = {e} - \int {{\rm{(}}{A} + {BK}{\rm{)}}{e}} .$

式中：K为状态反馈矩阵， ${K} \in {{\bf{R}}^{{\rm{1}} \times {\rm{4}}}}$.

相比于以往用状态变量设计滑模函数，本研究使用跟踪误差设计滑模函数.当系统处于滑模面上时， $\dot {{\sigma}} = {{\sigma}} = {\bf{0}}$，此时可以得到 $\dot{ e} - {\rm{(}}{A} + {BK}{\rm{)}}{e} = {\bf{0}}$. 当 ${A} + {BK}$特征值全为负值时，系统内部稳定. K可以经过优化来改变系统的极点分布.

将式(8)对时间求导可以得到

(9) $\begin{split}\dot {{\sigma}} =& \dot{ e}{\rm{ - (}}{A} + {BK}{\rm{)}}{e} = \dot{ z} - \dot{ r} - {\rm{(}}{A} + {BK}{\rm{)}}{e} = \\ & {Ar} + {B}{u} + {f} - \dot{ r} - {BKe}.\end{split}$

如果f可以确定，并且在到达滑模面时 $\dot{ \sigma } = {\bf{0}}$. 则根据式(9)可以得到

(10) ${u} = {{B}^ + }\left( {\dot{ r} - {Ar} - {f}} \right) + {Ke},$

(11) ${{B}^ + } = {\left( {{{B}^{\rm{T}}}{B}} \right)^{{\rm{ - 1}}}}{{B}^{\rm{T}}}.$

实际上f是未知的，须加入鲁棒补偿项 ${{u} _{\rm{s}}} = - {{B}^ + }h\times{\rm{sgn\;(}}{\sigma }{\rm{)}}$来补偿f，sgn为切换函数. 设计控制律u如下：

(12) ${u} = {{B}^ + }\left( {\dot{ r} - {Ar} - h\times{\rm{sgn\;(}}{\sigma }{\rm{)}}} \right) + {Ke}.$

根据式(9)、(12)，可以得到

(13) $\dot{ \sigma } = {Ar} + {B}{u} + {f} - \dot{ r} - {BKe} = {f} - h\times{\rm{sgn\;(}}{\sigma }{\rm{)}}.$

控制律须保证外部稳定性.外部稳定分析如下.

定理1 对于式(6)所列的系统，若式(12)提出的控制律满足 $\left\| {f} \right\| < h$，则系统的输出能够在有限时间内稳定追踪输入目标信号.

证明 设计lyapunov函数为

(14) ${V} = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{{\sigma }^{\rm{T}}}{\sigma }.$

对时间求导可以得到

(15) $\dot V = {{\sigma }^{\rm{T}}}\dot{ \sigma } = {{\sigma }^{\rm{T}}}({f} - h\times{\rm{sgn\;(}}{\sigma }{\rm{))}}.$

设定 $h > \left\| {f} \right\|$，则

(16) $\dot V = {{\sigma }^{\rm{T}}}\dot{ \sigma } = {{\sigma }^{\rm{T}}}({f} - h\times{\rm{sgn\;(}}{\sigma }{\rm{))}} < 0.$

当 ${V} {\rm{ > 0}}$， $\dot V < {\rm{0}}$时，根据lyapunov第二法理论，从能量观点出发，控制系统是外部稳定的. 根据Barbalat引理，当时间 ${t} \to \infty $时， ${e} \to {\bf{0}}$， ${\sigma } \to {\bf{0}}$. 定理得证.

以往的研究多通过极点配置确定滑模参数，本研究使用LMI方法计算矩阵K可以更好地优化滑模参数. 使用H∞理论可以减小参数摄动的影响，改善控制性能^[18-20]. 暂时忽略系统的时变特性以及不确定性. 利用线性时不变理论求得状态反馈矩阵来优化系统性能. 整个系统现在是线性近似的.

(17) $\dot{ z} = {Az} + {B}{u} .$

把控制律分成3个部分， ${Kz}$为状态反馈， ${{u} _{\rm{r}}}$为前馈项， ${{u} _{\rm{s}}}$为鲁棒项：

(18) ${u} = {Kz} + {{u} _{\rm{r}}} + {{u} _{\rm{s}}},$

(19) ${{u} _{\rm{s}}} = {{B}^ + }\left( { - h\times{\rm{sgn\;(}}{\sigma }{\rm{)}}} \right),\;\;{{u} _{\rm{r}}} = {{B}^ + }\left( {\dot{ r} - {Ar}} \right) - {Kr}.$

利用鲁棒理论设计滑模面可以保证其稳定性. 可以将式(17)与标准H∞模型联系起来. 标准H∞模型如下：

(20) $ \left.{\begin{array}{*{20}{l}} {\dot{ z} = {Az} + {{B}_{\rm{1}}}{w} + {{B}_{\rm{2}}}{u} }, \\ {{{y}_{\rm{1}}} = {{C}_{\rm{1}}}{z} + {{D}_{{\rm{11}}}}{w} + {{D}_{{\rm{12}}}}{u} }. \end{array}} \right\} $

式中： ${w} \in {{\bf{R}}^{\rm{4}\times1}}$为有限扰动信号; ${{B}_{\rm{2}}} = {B}$; ${{y}_{\rm{1}}}$ 为系统参考输出，用来评价性能指标; 研究对象为工作台的跟踪误差，输出只考虑 ${{x} _{\rm{2}}}$，所以设定参数矩阵 ${{D}_{{\rm{12}}}} = {\bf{0}}$， ${{C}_{\rm{1}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{1}}\;,\;{\rm{0}}\;,\;{\rm{0}}\;,\;{\rm{0}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$, ${{D}_{{\rm{12}}}} \in {{\bf{R}}^{{\rm{4}} \times {\rm{1}}}}$； ${{B}_{\rm{1}}}$、 ${{D}_{{\rm{11}}}}$为须设定的参数，其中 ${{B}_{\rm{1}}} \in {{\bf{R}}^{{\rm{4}} \times {\rm{4}}}}$， ${{D}_{{\rm{11}}}} \in {{\bf{R}}^{{\rm{4}} \times {\rm{4}}}}$. 定义从w到 ${{y}_{\rm{1}}}$传递函数为 ${T_{w{y_{\rm{1}}}}}{\rm{(}}{s} {\rm{)}}$. 对于给定指标值 $\gamma > {\rm{0}}$，当系统满足 $\left\| {{T_{w{y_{\rm{1}}}}}{\rm{(}}{s} {\rm{)}}} \right\| \leqslant \gamma $要求时，具有H∞性能.

对于式(20)定义的系统，满足 $\left\| {{T_{w{y_{\rm{1}}}}}{\rm{(}}{s} {\rm{)}}} \right\| \leqslant \gamma $指标的充要条件为

(21) $\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{min}}}&\rho; \end{array}} {\rm{s.t}}{\rm{.}}\\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!{{{A}^i}{X} \!\!+ \! \! {B}_{\rm{2}}^i{W} \! \!+ \! \! {{{\rm{(}}{{A}^i}{X} \!\!+\!\! {B}_{\rm{2}}^i{W}{\rm{)}}}^{\rm{T}}}}& \! \!{{{B}_{\rm{1}}}} \! \!& \! \!{{{({{C}_{\rm{1}}}{X} \! \!+ \! \! {{D}_{{\rm{12}}}}{W})}^{\rm{T}}}} \\ *&{ - {I}}&{{{D}_{{\rm{11}}}}^{\rm{T}}} \\ *&*&{ - \rho {I}} \end{array}} \right] < {{0}} ,\\ \quad\quad \;{{X} > {{0}}} . \\[-10pt]\end{array}$

式中：X为对称正定矩阵，i表示第i组边界参数. 由于系统的实际模型参数是不确定的，本研究综合考虑矩阵A、B的变化边界代入式(21).

由式(21)可以得到反馈控制器 ${{u} ^*} = {{K}^*}{z}$，其中 ${{K}^*} = {W}{{X}^{{\rm{ - 1}}}}$， ${X} \in {{\bf{R}}^{{\rm{4}} \times {\rm{4}}}}$， ${W} \in {{\bf{R}}^{{\rm{1}} \times {\rm{4}}}}$. 在本例中， $\rho = {\gamma ^2}$. 将 ${K} = {{K}^*}$带入式(18)，可以得到优化的控制律.

在机床工作时会有切削力、摩擦力和传感器噪声的干扰. 干扰观测器可以有效地估计未知干扰并提高控制精度^[21-22]. 在以往的研究中，观测器的参数是定值，其收敛速度也受到限制.设计改进的观测器来补偿 ${\delta }$带来的影响. 由式(1)可以得到

(22) ${{M }}{\ddot {{x}}} + {C\dot x} + {Lx } = {F} + {d},$

(23) $\left.\begin{split}& {M} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!{{m_{\rm{1}}}}&{\rm{0}}\!\! \\ \!\!{\rm{0}}&{{m_{\rm{2}}}} \!\! \end{array}} \right],\;{C} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\! {{b_{\rm{1}}} + c}&{ - c} \!\!\\ \!\! { - c}&{{b_{\rm{2}}} + c} \!\! \end{array}} \right],\\&{L} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\! k&{ - k}\!\! \\ \!\! { - k}&k \!\! \end{array}} \right], {x}\left( {t} \right) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\! {{{x} _{\rm{1}}}}\;,\;{{{x} _{\rm{2}}}} \!\! \end{array}} \right]^{\rm{T}}},\;\\& {F} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\! {u}\;,\;{\rm{0}} \!\! \end{array}} \right]^{\rm{T}}}. \end{split}\right\}$

利用估计干扰 $\hat {{d}}$与实际干扰 ${{d}}$差值设计：

(24) ${\dot {\hat {{d}}}} = \psi \left( {{y} ,{r_{\rm{1}}}} \right)\left( {{{d}} - \hat {{d}}} \right),$

(25) $\psi = \beta {{\rm{exp}}\;{(\alpha \left| {{y} - {r_{\rm{1}}}} \right|)}}.$

式中：y为系统实际输出，即为工作台的位移； ${r_{\rm{1}}}$为工作台y的参考位移，即为工作台的理想轨迹； $\alpha $、 $\beta $为常参数， $\alpha > {\rm{0}}$， $\beta > {\rm{0}}$. 函数 $\psi \left( {{y} ,{r_{\rm{1}}}} \right)$能够在输出误差 $\left| {{y} - {r_{\rm{1}}}} \right|$偏大时快速修正干扰估计值，函数 $\psi \left( {{y} ,{r_{\rm{1}}}} \right)$能够改善收敛速度.

干扰的变化速度相对于观测器的动态变化速度和采样频率是很小的，所以设 $\dot{ d} = {\bf{0}}$. 定义干扰估计值与实际值之差为

(26) $\tilde{ d} = {d} - \hat{ d},$

(27) ${\dot{\tilde { d}}} = - {\dot{\hat { d}}} = - \psi \left( {{y} ,{r_{\rm{1}}}} \right)\left( {{d} - \hat{ d}} \right) = - \psi \left( {{y} ,{r_{\rm{1}}}} \right)\tilde{ d}.$

求解式(27)可以得到

(28) $\tilde{ d}\left( {t} \right) = \tilde{ d}\left( {{t_{\rm{0}}}} \right){{\rm{e}}^{ - \psi {t} }}.$

由式（28）可知，观测器是指数收敛的，且收敛速度由 $\psi \left( {{y} ,{r_{\rm{1}}}} \right)$决定. 由式(22)可知，d的表达式中含有不可测的加速度项, 因此引入辅助参量：

(29) ${\omega } = \hat{ d} - {M}\psi \dot{ x}.$

由式(22)、(24)、(29)可以得到指数干扰观测器的表达式：

(30) $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\dot{ \omega } = - \psi \hat{ d} - {M}\dot \psi \dot{ x} + \psi \left( {{C\dot x} + {Lx} - {F}} \right),} \\ {\hat{ d} = - {M}\psi \dot{ x} + {\omega }.} \end{array}} \right\}$

取 $\hat{ \delta } = {D\hat d}$， $\tilde{ \delta } = \hat{ \delta } - {\delta }$. 采用干扰观测结果来改进控制律（式(18)），得到

(31) $\begin{split} {u} =& {Kz} + {{B}^ + }\left( { - {Ar} + \dot{ r} - \hat{ \delta }} \right) - {Kr} + \\& {\rm{ }}{{B}^ + }\left( { - \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\eta ^2}}}{\sigma } - \frac{{\rm{1}}}{2}{\sigma } - h\times{\rm{sgn\;(}}{\sigma }{\rm{)}}} \right) \end{split}. $

由式(31)、(8)可以得到

(32) $\dot{ \sigma } = - \frac{{\rm{1}}}{{2{\eta ^2}}}{\sigma } - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\sigma } + \tilde{ \delta } + {f} - h\times{\rm{sgn\;(}}{\sigma }{\rm{)}}.$

改进后须进行新的稳定性分析.

定理2 对于如式(6)所示的系统，用式(30)所示的观测器对干扰进行估计，则式(31)所示的控制律能够让系统稳定跟踪输入参考信号，并且满足L₂增益条件.

证明 设计新的lyapnouv函数：

(33) ${{V} _{\rm{1}}} = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{{\sigma }^{\rm{T}}}{\sigma } + \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\tilde{ d}^{\rm{T}}}\tilde{ d}.$

对时间求导得到

(34) $\begin{split}{\dot V_{\rm{1}}} =& {{\sigma }^{\rm{T}}}\dot{ \sigma } + {\tilde{ d}^{\rm{T}}}{\dot {\tilde { d}}} = {{\sigma }^{\rm{T}}}\left( { - \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\eta ^{\rm{2}}}}}{\sigma } - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\sigma } + \tilde{ \delta } + {f} - h\times{\rm{sgn\;(}}{\sigma }{\rm{)}}} \right)-\\ & \psi \left( {{y} ,{r_{\rm{1}}}} \right){\tilde{ d}^{\rm{T}}}\tilde{ d}.\\[-12pt]\end{split}$

设定 $h > \left\| {f} \right\|$，有

(35) ${\dot V_{\rm{1}}} < {{\sigma }^{\rm{T}}}\left( { - \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\eta ^{\rm{2}}}}}{\sigma } - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\sigma } + \tilde{ \delta }} \right) < \\ \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\eta ^{\rm{2}}}{\left\| {\tilde{ \delta }} \right\|^{\rm{2}}} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\left\| {\sigma } \right\|^{\rm{2}}} < {\rm{0}}.$

设计系统抗干扰指标：

(36) ${J} {\rm{ = sup}}\;{{{{\left\| {\sigma } \right\|}^{\rm{2}}}}}\Big/{{{{\left\| {\tilde{ \delta }} \right\|}^{\rm{2}}}}}.$

根据Hamilton-Jacobi Inequality理论，实际上J为系统的L₂增益. J越小，系统性能越好. 根据式(35)、(36)可以得到 ${J} < {\eta ^2}$，因此 $\eta $影响着系统的性能. 定理证毕.

由于sgn函数导致较大的抖动问题，用 ${\rm{tanh}}$函数代替sgn函数. ${\rm{tanh}}$函数定义如下：

(37) ${\rm{tanh}}\left( {x} \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{x} } - {{\rm{e}}^{ - {x} }}}}{{{{\rm{e}}^{x} } + {{\rm{e}}^{ - {x} }}}}.$

当 ${\rm{tanh}}$函数的自变量为 ${x / \varepsilon },\;\;\varepsilon > {\rm{0}}$时，可以通过 $\varepsilon $改变 ${\rm{tanh}}$函数拐点的曲率.

因此，控制律改进为

(38) ${u} = {Kz} + {{u} _{\rm{r}}} + {{u} _{\rm{s}}}.$

式中：

(39) $\begin{split}&{{u} _{\rm{r}}} = {{B}^ + }\left( { - {Ar} + \dot{ r} - \hat{ \delta }} \right) - {Kr},\\& {{u} _{\rm{s}}} = {{B}^ + }\left( { - \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\eta ^{\rm{2}}}}}{\sigma } - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\sigma } - h\times{\rm{tanh\;(}}{{\sigma }}/{\varepsilon }{\rm{)}}} \right).\end{split}$

综上所述，带有未知干扰的参数不确定系统可以在上述控制方法下稳定运行. 第2节针对系统参数不确定性设计了HISMC控制器. 第3节设计EDO观测器彻底消除了未知干扰. 整个系统的结构如图4所示.

实验设备为如图1所示的滚珠丝杠实验台. 实验台的模型参数如表1所示^[17]. 研究目标为减小工作台轨迹跟踪误差. 考虑到滚珠丝杠模型的不确定性，取 ${{A}^{\rm{1}}}{\rm{\! =\! 1}}{\rm{.2}}{A}$， ${{B}^{\rm{1}}} \!=\! {\rm{1}}{\rm{.2}}{B}$， ${{A}^{\rm{2}}} \!=\! {\rm{1}}{\rm{.2}}{A}$， ${{B}^{\rm{2}}} \!=\! {\rm{0}}{\rm{.8}}{B}$， ${{A}^{\rm{3}}} = {\rm{0}}{\rm{.8}}{A},$ ${{B}^{\rm{3}}} = {\rm{1}}{\rm{.2}}{B},$ ${{A}^{\rm{4}}} = {\rm{0}}{\rm{.8}}{A},$ ${{B}^{\rm{4}}} = {\rm{0}}{\rm{.8}}{B}.$ 求解式(21)得到增益矩阵K.

输入参考轨迹采用曲线如图5所示. 图中，x为位移， $\dot x$为速度， $\ddot x$为加速度， $\dddot x$为跃度，t为时间. 立方加速度曲线具有优越的光滑特性. 目标轨迹最大位移为 ${\rm{0}}{\rm{.13\; m}}$，最大速度为 ${\rm{0}}{\rm{.2 \;m/s}}$，最大加速度为 ${\rm{2 \;m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$. 参考最大速度和加速度远高于工业生产时的工作状态. 往返运动可以充分检测控制器性能. 本研究检测指标为工作台轨迹跟踪误差.

实验台如图1所示. 机床实际工作环境存在随机不确定性. 由第1节建模分析可知，系统存在时变特性和未知干扰. 为了检测HISMC和EDO的实际应用性能，在滚珠丝杠实验台上进行轨迹跟踪实验. 实验输入参考轨迹如图5所示.

在实际工业生产中，传统的比例-比例积分（proportion-proportion integral，P-PI）控制器被广泛使用^[17]. 采用带有速度前馈（velocity feed-forward，VFF）和加速度前馈（acceleration feed-forward，AFF）的P-PI控制器做对照实验. 为了检测质量参数变动的影响，在实验过程中改变工作台的质量进行对比. 实验结果可重复.

如图6所示为P-PI控制器的实验结果.图中， ${e_{\rm{2}}}$为工作台的轨迹跟踪误差，t为时间.图6（a）表明带有速度前馈和加速度前馈的P-PI控制器最大跟踪误差为28.16 μm. 图6（b）显示，在工作台添加25 kg质量块后，带有速度前馈和加速度前馈的P-PI控制器的最大跟踪误差增大为32.27 μm. 最大误差出现在加速阶段.

如图7所示为HISMC控制器的实验结果. 由图7（a）可知，HISMC控制的最大跟踪误差为16.85 μm. 使用HISMC方法相比于P-PI方法降低了跟踪误差.图7（b）表明，在HISMC与EDO结合时最大跟踪误差为10.18 μm. 图7（a）、（b）对比结果表明，EDO能够有效地估计干扰、减小误差. 由图7（c）可知，在工作台添加25 kg质量块后，使用HISMC控制器，最大跟踪误差为22.75 μm. 由图7（d）可知，在工作台添加25 kg质量块后，使用带有EDO的HISMC控制器，最大跟踪误差为15.16 μm. 图7（c）、（d）表明，在增加25 kg质量块后，跟踪误差有所增加，但是变化不大. 最大误差出现在加速阶段.

为了进一步比较P-PI控制器、HISMC控制器以及HISMC加上EDO的控制效果，将3种方法的实验结果进行对比，如图8所示.可以看出，相比于传统的P-PI控制方法，HISMC能够大大提高控制精度. 在加上EDO后，能够进一步减小最大跟踪误差. 如图8（b）所示为在工作台加上25 kg质量块之后的实验结果.可以看出，改变工作台质量之后HISMC和EDO依然能够保持较好的跟踪效果.

（1）系统参数变动和未知干扰的不确定性会导致跟踪精度的损失. 本研究对滚珠丝杠进给系统的参数不确定性和未知干扰进行分析，建立时变模型.

（2）使用HISMC和EDO在实验台进行轨迹跟踪实验. 实验结果表明，HISMC方法具有较高的控制精度，使用EDO之后可以进一步提高控制精度. 使用该方法在工作台质量变动的情况下依然能保持较好的鲁棒性.

（3）由对比实验可知，HISMC控制器的控制性能优于传统的P-PI控制器.