微驱动器被广泛应用在微夹钳、微开关、微机电系统（micro-electromechanical systems，MEMS）和光学平台微定位等^[1-2]方面. 在微驱动器中，电热驱动器相较其他类型驱动器（压电、静电、电磁等）^[3-5]，具有驱动位移大、工艺兼容性好、输出力稳定等优势. 因此，大位移电热驱动器的设计一直是国内外研究和应用的热点.

众多学者主要从理论和仿真两方面进行大位移电热驱动器的设计研究. Karbasi等^[6]通过简化的一维U型驱动器电热和热力耦合模型推导出位移公式，并以此作为遗传算法的适应度函数，经遗传算法优化的U型驱动器的位移提高了50%. Chen等^[7]对U型梁进行有限元仿真，通过田口法设计正交仿真并分析尺寸对其位移的影响，发现当冷臂长度等于热臂的86%时，U型驱动器的位移最大. Atre^[8]利用ANSYS拓扑优化中的一阶优化法即罚函数法设计U型驱动器，与原始尺寸下的驱动器相比，新尺寸下的驱动器输出力提高8%. 上述方法对大位移电热驱动器的设计具有较好的指导意义，但存在效率低下和不精确的问题. 尽管针对电热微驱动器已经建立大量的简化理论模型^[9-11]，但这些简化模型公式结果与实验结果差异较大，仿真仍然是计算电热驱动器位移的有效手段. 上述根据位移公式结合遗传算法优化出的结果存在误差较大、精度较低的缺点. 通过田口法得到的更多是尺寸与位移的定性关系，而一阶优化方法又有易陷入局部最优的缺点. 此外，精确的有限元仿真模型由于模型复杂并涉及多场耦合，本身计算耗时较长，因此采用传统的遍历搜索得到大位移驱动器的方法是不切实际的.

本研究针对大位移U型电热驱动器的设计开展研究. 对U型电热驱动器进行有限元仿真；通过实验对部分仿真结果进行验证；根据大量的仿真结果建立克里金元模型从而代替有限元模型进行驱动器位移的预测；结合粒子群算法与遗传算法对克里金元模型进行优化，得到大位移U型电热驱动器的尺寸.

使用有限元软件ANSYS对U型电热驱动器进行稳态位移特性分析. U型电热驱动器的结构如图1所示. 图中，L_h、W_h分别为热臂长度和宽度，L_c、W_c分别为冷臂长度和宽度，L_f、W_f分别为柔性臂长度和宽度，g为冷臂和热臂之间的间隙. 驱动器材料选定为单晶硅，经过一定的掺杂后，实验测得其电阻率为0.22 Ω·mm. 单晶硅和空气的材料参数如表1、2所示. 表中，T为温度，λ为导热系数，E为弹性模量，µ为泊松比，ρ为电阻率，α为热膨胀系数. 在仿真中采用SOLID227强耦合单元^[12]，该单元包含位移、电流和电压等5个自由度，矩阵方程为

(1) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{K}}&{{{{K}}^{{\rm{ut}}}}}&{{0}} \\ {{0}}&{{{{K}}^{\rm{t}}}}&{{0}} \\ {{0}}&{{0}}&{{{{K}}^{\rm r}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u}} \\ {{T}} \\ {{v}} \end{array}} \right]{{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F}} \\ {{Q}} \\ {{I}} \end{array}} \right]{{.}}$

式中：K为单元刚度矩阵，K^ut为单元热弹性刚度矩阵，K^t为单元热传导矩阵，K^r为单元电阻率矩阵，u、T、v分别为单元的位移、温度和电压，F、Q、I分别为单元内节点外力、热量、电流之和. 与单向弱耦合单元相比，该公式考虑了自由度之间的相互耦合作用，提高了计算精度. 在驱动器的锚点上施加电压条件并约束其位移. 在电热驱动器锚点以及上表面分别施加恒温和热对流边界条件. 驱动器底面与基底之间存在较狭小的空气间隙，文献[13]表明这种传热强度介于热传导与热对流之间，因此在驱动器底面施加特殊热对流边界条件. 这2处传热极大影响驱动器整体温度分布. 为了提高仿真精度，在有限元模型中建立2处狭小的空气域. U型电热驱动器整体的仿真几何模型如图2所示.

为了进一步提高仿真效率，快速得到不同尺寸下驱动器的位移，创建MATLAB和ANSYS联合自动仿真平台，流程图如图3所示. 图中，N为电热驱动器的仿真组数. 自动仿真具体流程如下：1）将电热驱动器在ANSYS图形界面下的仿真操作转化成相应的命令流；2）在MATLAB中随机生成驱动器尺寸，对驱动器命令流文件中对应的尺寸变量重新赋值；3）调用ANSYS程序读取命令流文件从而进行计算；4）得到当前尺寸下驱动器的位移并返回步骤2）.

电热驱动器采用反应离子干法深刻蚀（deep reactive ion etching，DRIE）^[14]工艺进行加工，工艺主要包含键合、光刻、溅射、合金化和深刻蚀等主要步骤. 在加工完成后先进行划片，然后使用红胶将电热驱动器黏在印刷电路板（printed circuit board，PCB）上，经烘干后引线，最终如图4所示. 经测量，U型电热驱动器的尺寸如表3所示. 表中，t_g为驱动器厚度. 对U型电热驱动器在不同加载电压下的稳态位移进行实验测量，实验装置如图5所示. 稳压源为驱动器提供电压，驱动器在焦耳热效应作用下温度升高，由于冷、热臂之间的温差导致两臂不同的热膨胀，驱动器会朝冷臂一侧偏转即位移. 相机拍摄显微镜下驱动器在不同电压下的位置照片，照片经图像采集卡传给计算机并进行图像处理. 通过对驱动器末端在加载电压前、后的图像中所处位置的比较，得到驱动器在不同电压下的位移. 在不同电压U下，驱动器仿真和实验的位移D曲线如图6所示. 可以看出，随着电压的升高，U型电热驱动器的位移逐渐增大. 由于驱动器仿真位移与实验位移之间的误差较小，本研究所使用的仿真模型能够准确计算驱动器的位移.

克里金法^[15-18]以变异函数和结构分析为基础，根据有限域内已知的样本点对未知样点进行线性无偏、最优估计. 该方法认为有限域（尺寸变量定义域）内任意尺寸的驱动器的位移可通过对域内所有已知尺寸的驱动器位移进行加权得到，即

(2) $\bar Z ({x_o}) = \sum\nolimits_{i = 1}^n {{\lambda _i}Z({x_i})} .$

式中： $\bar Z ({x_o})$为点x_o处的位移估计值，λ_i为待定权重系数， $Z({x_i})$为点x_o附近已知样本点的位移估计值.

x_o处满足无偏估计条件，即

(3) $E[\bar Z ({x_o}) - Z({x_o})] = 0.$

式中：Z（x_o）为点x_o处的真实值.

将式（2）代入得到

(4) $\sum\nolimits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} = 1.$

x_o处还须满足最优估计条件：

(5) $\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{Min}}}&{J = {\rm{Var }}\;\left[ {\bar Z ({x_o}) - Z({x_o})} \right]} \end{array},$

(6) $\begin{split}&{\rm{Var }}\;\left[ {\bar Z ({x_o}) - Z({x_o})} \right] = \sum\nolimits_{i = 1}^n {\sum\nolimits_{j = 1}^n {{\lambda _i}} } {\lambda _j}C({x_i},{x_j}) -\\&\quad\quad 2\sum\nolimits_{i = 1}^n {{\lambda _i}C({x_i},{x_o})} + C({x_o},{x_o}).\end{split}$

式中：C（x_i，x_j）为Z（x_i）、Z（x_j）的协方差函数. 最优估计是寻找一组λ_i（i=1,···,n）使得J最小，且λ_i须满足式（4）. 这是带约束条件的优化问题，所以引入拉格朗日乘子φ，构造新的目标函数如下：

(7) $J + 2\varphi \;\left(\sum\nolimits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} - 1\right).$

J最小化即对λ、φ分别求偏导数：

(8) $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\partial \left(J + 2\varphi \left(\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} - 1\right)\right)} \Big/ {\partial {\lambda _i}}} = 0} ,\\ {{{\partial \left(J + 2\varphi \left(\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} - 1\right)\right)} \Big/ {\partial \varphi }} = 0.} \end{array}} \right\}$

经整理得到

(9) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{11}}}&{{r_{12}}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{{r_{1n}}}&1 \\ {{r_{21}}}&{{r_{22}}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{{r_{2n}}}&1 \\ { \vdots }&{ \vdots }&{ }&{ \vdots }&{ \vdots } \\ {{r_{n1}}}&{{r_{n2}}}&{ \cdot \cdot \cdot }&{{r_{nn}}}&1 \\ 1&1&{ \cdot \cdot \cdot }&1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}} \\ {{\lambda _2}} \\ { \vdots } \\ {{\lambda _n}} \\ { - \varphi } \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{1o}}} \\ {{r_{2o}}} \\ { \vdots } \\ {{r_{no}}} \\ 1 \end{array}} \right].$

式中：r_ij为根据任意2个已知点之间距离计算得到的空间变异函数值^[2]. 典型空间变异函数包括球状、指数和高斯型函数，具体形式分别如下.

(10) $\gamma (h) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 0, & h=0; \\ {C_0} + C [3h/(2a)-h^3/(2a^3)],&0<h \leqslant a;\\C_0+C, & h >a. \end{array}} \right.$

(11) $\gamma (h) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 0, & h = 0; \\ {C_0} + C(1 - {{\rm e}^{ - h/a}}), & h > 0. \end{array}} \right.$

(12) $\gamma (h) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 0, & h = 0; \\ {C_0} + C(1 - {{\rm e}^{ - {h^2}/{a^2}}}), &h > 0. \end{array}} \right.$

式中：C₀为块金值，C为拱高值，h为两点间的距离，a为变程. 可以通过计算已知点和未知点的空间几何距离得到变异函数值，进而求解出系数λ、φ，从而得到任意尺寸下的驱动器的位移.

大位移U型电热驱动器整体优化设计流程如图7所示. 具体流程如下：1）优化问题定义，包括优化目标、优化变量和变量取值范围；2）在定义域内随机采样；3）采样点的有限元仿真；4）以已知样本点数据作为训练样本从而建立克里金模型，得到位移与设计变量的关系；5）对克里金模型进行收敛条件检验，若无法收敛，则须更新变异空间函数参数或重新定义变异空间函数，直至满足收敛条件；6）对满足收敛条件的克里金模型使用遗传算法优化，得到大位移电热驱动器的尺寸. 步骤2）、3）可以由联合自动仿真平台实现.

经分析，柔性臂长度、冷热臂宽度和冷热臂间隙对U型电热驱动器位移的影响显著且关系复杂. 因此，可以将这4个尺寸作为设计变量，驱动器其他尺寸保持不变，从而U型电热驱动器位移优化问题表达如下：

(13) $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{Max}}}&{X = f\left( {{L_{\rm{f}}},{W_{\rm{h}}},g,{W_{\rm{c}}}} \right);} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{l}} {\rm{s.t.}}&{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {200 \leqslant {L_{\rm{f}}} \leqslant 1\;000,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} }\\ {40 \leqslant {W_{\rm{h}}} \leqslant 100,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} }\\ {40 \leqslant g \leqslant 100,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} }\\ {200 \leqslant {W_{\rm{c}}} \leqslant 400.} \end{array}} \right.} \end{array}} \end{array}} \right\}$

约束条件给出各个尺寸变量的合理取值范围.

在仿真中，驱动器的电压均为18 V. 通过采样及有限元仿真共得到420组U型电热驱动器的位移数据，其中400组数据作为克里金模型的训练样本，剩余20组数据作为训练后的克里金模型的测试样本. 采样使用随机简单抽样法，过程表示如下：

(14) $V(i) = b({l_{\rm{u}}}(i) - {l_{\rm{d}}}(i)) + {l_{\rm{d}}}(i);{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} i = 1,2,3,4.$

式中：b为随机数，b∈[0，1.0]；l_u为变量的最大取值；l_d为变量的最小取值；V为变量的当前采样值；i为变量序号. 采用不同变异空间函数所建立的克里金模型和有限元模型对训练样本点.处进行位移预测，结果如图8所示. 图中，n为样本点. 可以看出，克里金模型所预测的U型电热驱动器的位移与仿真结果几乎一致. 如图9所示为不同变异空间函数所建立的克里金模型在测试样本点处的预测误差. 图中，e为预测误差. 可以看出，立方体型变异函数下的克里金模型所得到的误差分布最离散，最大误差小于3 µm. 高斯和指数型函数下的克里金模型得到的误差相对较小，所以选用高斯型函数作为变异空间函数，从而得到更精确的位移预测结果.

基于精确的克里金模型，进一步对U型电热驱动器的设计参数进行详细分析. 如图10所示为克里金模型下不同尺寸变量对U型驱动器位移的影响. 为了便于比较，本研究预先将每个尺寸变量的取值范围进行归一化处理. 可以看出，驱动器的位移随柔性臂长度、热臂宽度和冷热臂之间间隙的增加而减小；随冷臂宽度的增大而增大. 两臂间间隙对驱动器位移的影响较小，热臂对驱动器位移的影响主要呈非线性关系. 如图11所示为热臂和冷臂宽度同时作用下的驱动器位移响应特性. 可以看出，当同时改变两臂宽度时，得到的位移范围要比单个设计变量变化下的位移范围大. 单个设计变量与驱动器位移的关系较简单，而多个设计变量相互作用下的位移关系较复杂，所以采用算法对U型驱动器进行优化设计很有必要.

遗传-粒子群^[19-21]组合算法能提高搜索效率、加速收敛也能避免陷入局部最优，因此可以用来对克里金模型下的U型电热驱动器进行优化设计. 在算法中，克里金模型作为组合算法的适应度函数，粒子群数为40，迭代次数为200. 优化程序运行3次后的U型电热驱动器优化结果如表4所示. 在第1次优化过程中，驱动器位移与迭代次数间的关系如图12所示. 图中，n_i为迭代次数. 可以看出，随着迭代次数增加，驱动器位移逐渐增大并最终趋于收敛. 由表4可以看出，克里金模型得到的最优位移与仿真结果一致，进一步说明克里金模型的正确性. 在组合算法的优化下，克里金模型下的最大位移为120.3 µm，经有限元仿真修正后，最大位移为118.0 µm. 与初始设计的U型电热驱动器相比，经优化后的电热驱动器的位移提升35.2%.

（1）本研究创建U型电热驱动器的ANSYS和MATLAB联合仿真脚本，实现样本数据的高效批量采集. 基于在ANSYS中建立的U型电热驱动器模型得到的位移与实验结果一致.

（2）基于大量的有限元仿真样本数据建立的克里金模型能够替代有限元模型对U型电热驱动器的位移进行精准预测，高斯型和指数型变异空间函数下的克里金模型精度最高. 在克里金模型下，U型电热驱动器的位移与单个设计变量之间的关系较简单，与多个设计变量之间的关系较复杂.

（3）基于克里金模型，经遗传-粒子群组合算法优化，在18 V加载电压下，新尺寸U型电热驱动器的位移与初始驱动器的位移相比提高35.2%，优化效果较显著.