多智能体系统同步是指智能体通过相互作用，逐渐演化最后趋于某个共同状态. 多智能体系统同步问题已被广泛研究，取得了丰富成果^[1]，如高阶智能体同步问题^[2-3]、时滞干扰同步问题^[4-7]、跟踪同步问题^[8-10]等，大部分成果是在无限时间区间内取得的. 有限时间同步是指使系统状态在有限时间内同步的技术，是一种时间最优的控制技术. 一般来说，有限时间同步系统具有更好的鲁棒性和抗扰动性^[11-12]. Shen等^[13]讨论了一类离散时变随机复杂网络有限时间 ${H_{\infty} }$同步问题，通过求解一类递归线性矩阵不等式，得到有限时间 ${H_{\infty} }$同步判据.

上述成果是基于智能体系统状态已知的情况下得到的，在实际工程应用中，智能体状态往往无法测量或者测量成本非常高. 相比之下，系统输出变量具有明确的物理意义，容易测量得到^[14]. 姜伟等^[15]针对一类离散时间不确定混沌系统，提出动态输出反馈同步算法. Zhous等^[16]基于智能体输出，研究高阶智能体系统编队控制. Lv等^[17]设计多智能体系统输出反馈同步自适应控制器. Du等^[18-19]针对二阶多智能体系统，基于观测器给出有限时间同步的输出反馈控制方法.

迄今为止，大部分文献研究同步输出反馈多为动态输出反馈和基于观测器的输出反馈. 动态输出反馈控制本质上是增广系统的静态输出反馈控制问题. 基于观测器的输出反馈称为输入、输出反馈，它有2个反馈信号：基于真实的输出和输出经观测器形成的信号，是一种动态补偿形式.

本文研究线性高阶多智能体系统同步和有限时间同步问题. 基于智能体节点输出构造静态协议，得到使该系统达到同步和有限时间同步的充分条件. 该协议的阶数小、结构简单、易于工程实现. 协议仅利用单一的输出信号改善系统品质，是一种不完全的信息反馈形式. 一般来说，基于Lyapunov理论导出的静态输出反馈控制往往要通过求解双线性不等式得到，计算成本高，是NP-hard问题^[20]，相关结果较少.

本文通过引入自由变量，有效分离出输出反馈增益矩阵. 采用迭代算法给出最小化性能指标，克服了扰动带来的影响. 通过数值仿真验证了结果的可行性. 研究参数对解空间的影响，得到参数的可行域. 本文给出的方法可以综合满足多个性能要求，对单个智能体系统建模具有很好的鲁棒性.

智能体节点间的通信拓扑结构用加权图表示，记为 $G(V,\;E,\;A)$. 其中， $E \subseteq V \times V$ 表示边集，其中 $V = \left\{ {{\rm{1}},2, \cdots ,N} \right\}$ 表示顶点集； ${{A}} = {[{a_{ij}}]_{N \times N}}$ 称作邻接矩阵，其中 ${a_{ij}} = 1$，表示智能体 $i$ 能收到来自智能体 $j$ 的信息；否则， ${a_{ij}} = 0$. $N_k$ 是与第 $k$ 个智能体能互通信息的邻居节点的集合. 此外， ${{\bf{1}}_N}$ 表示所有元素均为1的列向量. $\left\| {{x}} \right\|$ 为向量 ${{x}}$ 的欧几里得范数. ${{X}} \otimes {{Y}}$ 为矩阵 ${{X}}$ 和 ${{Y}}$ 的克罗内克积. 矩阵 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X}}&{{Y}} \\ *&{{Z}} \end{array}} \right]$ 中“ $ * $”表示 ${{{Y}}^{\rm{T}}}$， ${\rm{Sym}}\left\{ {{A}} \right\}$ 表示 ${{A}} + {{{A}}^{\rm{T}}}$. ${\rm{Ker}}\left( {{A}} \right)$ 表示 ${{A}}$ 的核.

考虑含有扰动的多智能体系统，第 $k$个智能体的动态特性和输出由下式描述：

(1) $\left. \begin{array}{l} {{{{\dot x}}}_k}(t) = {{A}}{{{x}}_k}(t) + {{B}}{{{u}}_k}(t) + {{{F}}_x}{{r}}(t), \\ {{{y}}_k}(t) = {{C}}{{{x}}_k}(t) + {{{F}}_y}{{r}}(t); \\ k = 1,2, \cdots ,N. \end{array} \right\}$

式中： ${{{x}}_k}(t) \in {{\bf{R}}^n}$、 ${{{y}}_k}(t) \in {{\bf{R}}^p}$分别表示系统第 $k$个节点的状态和测量输出； ${{{u}}_k}(t) \in {{\bf{R}}^m}$为控制输入； ${{r}}(t)$为外部扰动，满足 $\int_{\rm{0}}^{{T}} {{{{r}}^{\rm{T}}}(t){{r}}(t){\rm{d}}t} \leqslant d$； ${{A}}$、 ${{B}}$、 ${{C}}$、 ${{{F}}_x}$、 ${{{F}}_y}$为常数矩阵，其中 ${{C}}$行满秩.

注1　在实际传感器系统中，不同传感器往往具有不同的技术特征/属性，一般不会使用冗余的传感器（仅在需要时使用，例如在容错系统中）. 此外，在理论和应用中，状态变量的数量通常都大于（或等于）传感器的数量，因此关于输出矩阵 ${{C}}$行满秩的假设是合理的.

基于系统输出反馈设计分布式协议：

(2) $ {{{u}}_k}(t) = {{K}}\sum\limits_{j \in {{ N}_k}} {{a_{kj}}[{{{y}}_j}(t) - } {{{y}}_k}(t)];\;k = 1,2, \cdots ,N. $

若令 ${{y}}(t) \!=\! {[{{y}}_1^{\rm{T}}(t), \cdots ,{{y}}_N^{\rm{T}}(t)]^{\rm{T}}}$， ${{u}}(t) \!=\! {[{{u}}_1^{\rm{T}}(t), \cdots ,{{u}}_N^{\rm{T}}(t)]^{\rm{T}}}$，则

(3) ${{u}}(t) = - ({{L}} \otimes {{K}}){{y}}(t). $

注2　在实际运用中，大量智能体是非内省的，自身的状态信息无法获知，但邻居智能体的相对输出往往可测（例如自治的水下车辆、车辆间的相对距离信息可以用声呐传感器测出，技术上容易实现，而且成本低廉）. 上述基于系统输出设计的分布式协议不需要测量每一个智能体的状态信息，维度低，运算简便，更符合工程实际.

定义被控输出为

(4) ${{{z}}_k}(t) = {{{C}}_z}[{{{x}}_k}(t) - {{\bar x}}(t)] + {{{B}}_z}{{{u}}_k}(t) + {{{D}}_z}{{r}}(t).$

式中： ${{{B}}_z}$、 ${{{C}}_z}$、 ${{{D}}_z}$为常数矩阵； ${{\bar x}}(t) = \sum\nolimits_{k = 1}^N {{{{x}}_k}(t)}/{N} $为状态均值，满足

(5) ${{\dot {\bar x}}}(t) = {{A\bar x}}(t) + {{{F}}_x}{{r}}(t);$

同步误差

(6) ${{\delta }}(t) = {{x}}(t) - {\bf{1}} \otimes {{\bar x}}(t),$

其中 $ {{x}}(t) = {[{{x}}_1^{\rm{T}}(t), \cdots ,{{x}}_N^{\rm{T}}(t)]^{\rm{T}}}$.

系统（6）结合静态输出反馈协议（3）满足下式：

(7) $\left. \begin{array}{l} {{\dot \delta }}(t) = {{\varDelta \delta }}(t), \\ {{z}}(t) = {{\varPhi \delta }}(t) + {{{\varPhi }}_{{z}}}({{1}} \otimes {{r}}(t)). \\ \end{array} \right\}$

式中：

${{z}}(t) = {[{{z}}_1^{\rm{T}}(t), \cdots ,{{z}}_N^{\rm{T}}(t)]^{\rm{T}}},$

${{\varDelta }} = ({{I}} \otimes {{A}}) - ({{L}} \otimes {{BKC}}),$

${{\varPhi }} = ({{I}} \otimes {{{C}}_z}) - ({{L}} \otimes {{{B}}_z}{{KC}}),$

${{{\varPhi }}_z} = {{I}} \otimes {{{D}}_z}. $

在给出主要结论之前，介绍下述引理和定义.

引理1^[21] 　对给定的标量 $\gamma > 0$，若存在矩阵 ${{P}} > {\bf{0}}$，使得

(8) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\varDelta }}^{\rm{T}}}{{P}} + {{P\varDelta }}}&{{0}}&{{{{\varPhi }}^{\rm{T}}}} \\ *&{ - \gamma {{I}}}&{{{{\varPhi }}_z}^{\rm{T}}} \\ *&*&{ - \gamma {{I}}} \end{array}} \right] < {\bf{0}},$

则系统（7）渐近稳定，并且具有给定的 ${H_{\infty} }$性能 $\gamma $.

定义1^[22] 　若下述条件满足：

(9) $ ({\rm{i}})\;\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } ||{{{x}}_k}(t) - {{{x}}_j}(t)|| = 0,\;j,k = 1, \cdots ,N,\qquad\; $

且在零初始条件下，存在标量 $ {\rm{\gamma }}>0 $，使得

(10) $\int_{\rm{0}}^\infty {{{{z}}^{\rm{T}}}(t){{z}}(t)} {\rm{d}}t \leqslant N{\gamma ^2}\int_{{0}}^\infty {{{{r}}^{\rm{T}}}(t){{r}}(t)} {\rm{d}}t,$

则多智能体系统（1）同步，且具有扰动抑制水平 $\gamma $.

（ii）若同步误差

(11) ${{{\delta }}^{\rm{T}}}(0){{{R}}_1}{{\delta }}(0) \leqslant {c_1} \Rightarrow {{{\delta }}^{\rm{T}}}(t){{{R}}_1}{{\delta }}(t) \leqslant {c_2},\forall t \in [0,T],$

且在零初始条件下，被控输出 ${{z}}(t)$满足

(12) $\int_{\rm{0}}^{{{{T}}}} {{{{z}}^{\rm{T}}}(t){{z}}(t){\rm{d}}t} \leqslant N{\gamma ^2}\int_{\rm{0}}^{{T}} {{{{r}}^{\rm{T}}}(t){{r}}(t){\rm{d}}t} ,\forall t \in [0,T],$

则系统（1）关于 $({c_1},{c_2},T,{{{R}}_1},\gamma ,d)$有限时间同步，且具有给定的 ${H_{\infty} }$性能 $\gamma $，其中 ${c_2} > {c_1} > 0$， ${{{R}}_1} > {\bf{0}}$.

引理2^[23] 　对于给定的矩阵 ${{G}}$和 ${{C}}$， ${{C}}$行满秩， ${{Q}}$ 的列向量由 ${\rm{Ker}}\left( {{C}} \right)$ 的一组基构成， ${{R}} = $ $ {{{C}}^{\rm{T}}}{({{C}}{{{C}}^{\rm{T}}})^{ - 1}} + {{QG}}$ 是 ${{C}}$ 的右逆，下述结论成立：

1） ${{Q}}{{{X}}_Q}{{{Q}}^{\rm{T}}} + {{R}}{{{X}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}} > 0 \Leftrightarrow {{{X}}_Q} > {\bf{0}},{{{X}}_R} > {\bf{0}}$.

2） ${{Q}}{{{X}}_Q}{{{Q}}^{\rm{T}}} + {{R}}{{{X}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}}$非奇异 $ \Leftrightarrow $ ${{{X}}_Q},{{{X}}_R}$非奇异.

3）若 ${{{X}}_R}$可逆，满足 ${{KC}}({{Q}}{{{X}}_Q}{{{Q}}^{\rm{T}}} + {{R}}{{{X}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}}) = {{{Y}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}}$，则 ${{K}} = {{{Y}}_R}{{{X}}_R}^{ - 1}$.

证明：首先证明 $\left[{{Q}} \;\;\; {{R}}\right]$非奇异. 由于

${{CQ = }}{\bf{0}},\;{{CR = I}},$

令

${{Qu}} + {{Rv}} = {\bf{0}},$

可得

${{C(Qu + Rv)}} = {{v}} = {\bf{0}}.$

进而 ${{Qu}} = {\bf{0}}$，即 ${{u}} = {\bf{0}}$，因此 $[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q}}&{{R}} \end{array}}\!\!\! ]$ 非奇异. 由于

${{Q}}{{{X}}_Q}{{{Q}}^{\rm{T}}} + {{R}}{{{X}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q}}&{{R}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{X}}_Q}}&{\bf{0}} \\ {\bf{0}}&{{{{X}}_R}} \end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q}}&{{R}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}},$

i）、ii）成立. 下面证明iii）. 由于

${{KC}}({{Q}}{{{X}}_Q}{{{Q}}^{\rm{T}}} + {{R}}{{{X}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}}) = {{K}}{{{X}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}} = {{{Y}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}},$

且

${{R}} = {{{C}}^{\rm{T}}}{({{C}}{{{C}}^{\rm{T}}})^{ - 1}} + {{QG}},$

因此

${{{R}}^{\rm{T}}}{{R}} = {({{{C}}^{\rm{T}}}{{C}})^{ - 1}} + {({{QG}})^{\rm{T}}}{{QG}} > {\bf{0}},$

${{K}}{{{X}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}}{{R}}{({{{R}}^{\rm{T}}}{{R}})^{ - 1}} \!=\! {{{Y}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}}{{R}}{({{{R}}^{\rm{T}}}{{R}})^{ - 1}}$，即 ${{K}} = {{{Y}}_R}{{X}}_R^{ - 1}$. 证毕.

定理1　对于满足 ${{CQ}} = {\bf{0}}$， ${{R}} = {{{C}}^{\rm{T}}}{({{C}}{{{C}}^{\rm{T}}})^{ - 1}} + {{QG}}$的矩阵 ${{Q}}$、 ${{R}}$、 ${{G}}$，若存在变量 ${{{W}}_Q} > {\bf{0}},{{{W}}_R} > {\bf{0}},{{{F}}_R}$及标量 $\eta > 0$，使得

13) $ \left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{H}} _{\rm{1}}}}\!\!&\!\!{\bf{0}}\!\!&\!\!{{{[{{I}} \otimes {{{C}}_z}({{Q}}{{{W}}_Q}{{{Q}}^{\rm{T}}} + {{R}}{{{W}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}}) - ({{L}} \otimes {{{B}}_z}{{{F}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}})]}^{\rm{T}}}} \\ *\!\!&\!\!{ - {{I}}}\!\!&\!\!{{{({{I}} \otimes {{{D}}_z})}^{\rm{T}}}} \\ *\!\!&\!\!*\!\!&\!\!{ - \eta {{I}}} \end{array}}\!\!\! \! \right] < {\bf{0}}, $

则多智能体系统（1）同步，且具有 ${H_{\infty} }$性能 $\gamma ={{\sqrt \eta }}/{N}$. 相应的反馈增益可由下式得到：

(14) ${{K}} = {{{F}}_R}{{{W}}_R}^{ - 1},$

式中：

${{{H}}_{\rm{1}}} = {\rm{Sym}}\left\{ {{{I}} \otimes {{A}}({{Q}}{{{W}}_Q}{{{Q}}^{\rm{T}}} + {{R}}{{{W}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}}) - {{L}} \otimes {{B}}{{{F}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}}} \right\}. $

证明： 对不等式（8）进行合同变换，左右同乘 ${\rm{diag\;}}[ {\gamma ^{\frac{1}{2}}}{{{P}}^{ - 1}},{\gamma ^{ - \frac{1}{2}}}{{I}},{\gamma ^{\frac{1}{2}}}{{I}}{\rm{] }}$及其转置，令 $\gamma {{{P}}^{ - 1}} = {{I}} \otimes {{W}}$，可得

15) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {({{I}} \otimes {{W}}){{{\varDelta }}^{\rm{T}}} + {{\varDelta }}({{I}} \otimes {{W}})}&{\bf{0}}&{({{I}} \otimes {{W}}){{{\varPhi }}^{\rm{T}}}} \\ *&{ - {{I}}}&{{{\varPhi }}_z^{\rm{T}}} \\ *&*&{ - {\gamma ^{\rm{2}}}{{I}}} \end{array}} \right] < {\bf{0}},$

令 ${{F}} = {{KCW}},\;{\gamma ^2} = \eta $，式（15）可以写成

(16) $ \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{Sym}}\left\{ {{{I}} \otimes {{AW}} - {{L}} \otimes {{BF}}} \right\}}&{\bf{0}}&{{{[{{I}} \otimes {{{C}}_z}{{W}} - {{L}} \otimes {{{B}}_z}{{F}}]}^{\rm{T}}}} \\ *&{ - {{I}}}&{{{({{I}} \otimes {{{D}}_z})}^{\rm{T}}}} \\ *&*&{ - \eta {{I}}} \end{array}}\!\!\! \right] < {\bf{0}}. $

令

(17) $\left. \begin{array}{l} {{W}} = {{Q}}{{{W}}_Q}{{{Q}}^{\rm{T}}} + {{R}}{{{W}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}}, \\ {{F}} = {{{F}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}}, \end{array} \right\}$

可得式（13）. 根据引理1可知， ${{K}} = {{{F}}_R}{{W}}_R^{ - 1}$，闭环系统（7）渐近稳定，故 $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to \infty } \left\| {{{{\delta }}_k}(t)} \right\| = 0,k = 1, \cdots ,N.$由于

$\begin{array}{c} \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to \infty } \left\| {{{{x}}_k}(t) - {{{x}}_j}(t)} \right\| \leqslant \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to \infty } \left\| {{{{x}}_k}(t) - {{\bar x}}(t)} \right\| + \\ \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to \infty } \left\| {{{\bar x}}(t) - {{{x}}_j}(t)} \right\| = 0;\;j,k = 1, \cdots ,N. \end{array} $

多智能体系统（1）同步，且具有 ${H_{\infty} }$ 性能 $\gamma =$ ${{\sqrt \eta }}/{N}$. 证毕.

注3　从定理1的证明可以看出，系统（1）同步问题本质上等价于系统（7）渐近稳定，同步问题可以转化成不等式（16）的求解问题. 不等式（16）是一个高维的非线性矩阵不等式，维数随着网络节点数的增多而逐渐增大，难以求解. 定理1将该不等式的求解问题转化成线性不等式（13）的求解问题，可以通过Matlab中的toolbox直接求解. 反馈增益矩阵可以从 ${{KCW}} = {{F}}$中分离出来， ${{K}} = {{{F}}_R}{{{W}}_R}^{ - 1}$. 这种控制结构适合于反馈增益矩阵具有结构约束的情况（例如高阶线性多智能体系统的线性二次型调节器问题，本质上是反馈增益具有分块对角结构约束的优化问题^[24]）. 通过选取 ${{{W}}_R} = {\rm{diag}}\;[ {{{W}}_1},{{{W}}_2},{{{W}}_3}]$，可以发现 ${{{F}}_R}$和 ${{K}}$结构相同，通过对 ${{{F}}_R}$进行结构定义，得到期望的反馈增益结构.

注4　定理1说明扰动抑制能力与网络节点数目有关，网络节点数目越多，系统抗干扰能力越强.

给出多智能体系统（1）在有限时间内同步，且具有 ${H_{\infty} }$性能 $\gamma $的充分条件.

定理2　如果存在标量 $\alpha {\text{、}}\beta {\text{、}}{\lambda _1}{\text{、}}{\lambda _2}$及矩阵 ${{\tilde Q}} > {\bf{0}}$，使得

18) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\varDelta \tilde Q}} + {{\tilde Q}}{{{\varDelta }}^{\rm{T}}} - \alpha {{\tilde Q}}}&{\bf{0}}&{{{\tilde Q}}{{{\varPhi }}^{\rm{T}}}} \\ *&{ - {{I}}}&{{{{\varPhi }}_z}^{\rm{T}}} \\ *&*&{ - {\beta ^{ - 2}}{{I}}} \end{array}} \right] < {\bf{0}},$

(19) $\lambda _2^{ - 1}{{{R}}_1}^{ - 1} < {{\tilde Q}} < \lambda _1^{ - 1}{{{R}}_1}^{ - 1},$

(20) ${\exp\;({\alpha T})}(d + {\lambda _2}{c_1}) < {\lambda _1}{c_2}$

成立，则多智能体系统（1）关于 $({c_1},{c_2},T,{{{R}}_1},\gamma ,d)$有限时间同步，且具有 ${H_{\infty} }$性能 $\gamma = \sqrt {{{{\exp\;({\alpha T})}}}/({{N{\beta ^2}})}} $.

证明：　对不等式（18）左右同乘 ${\rm{diag\;[ }}{{{\tilde Q}}^{ - 1}},{{I}},{{I}}{\rm{] }}$及其转置，利用Schur补性质，可得

(21) $\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{{\tilde Q}}}^{ - {\rm{1}}}}{{\varDelta }} + {{{\varDelta }}^{\rm{T}}}{{{{\tilde Q}}}^{ - {\rm{1}}}} - \alpha {{{{\tilde Q}}}^{ - {\rm{1}}}}}&{\bf{0}} \\ {\rm{*}}&{ {{- I}}} \end{array}}\!\! \right] + {\beta ^2}\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\varPhi }}^{\rm{T}}}} \\ {{{{\varPhi }}_z}^{\rm{T}}} \end{array}}\!\! \right]\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varPhi }}&{{{{\varPhi }}_z}} \end{array}}\!\! \right] < {\bf{0}},$

构造Lyapunov函数：

(22) $ V({{\delta }}(t)) = {{{\delta }}^{\rm{T}}}(t){{{\tilde Q}}^{ - 1}}{{\delta }}(t);\;\;t \in (0,T]. $

对式（21）两边左右同乘 ${\exp \;({ - \alpha t})}[\!\!\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\delta }}^{\rm{T}}}(t)}&{{{{r}}^{\rm{T}}}(t)} \end{array}\!\!]$及其转置，整理得到

(23) $\begin{split} & [{\exp\;{( - \alpha t)}}v({{\delta }}(t))]' < {\exp\;({ - \alpha t})}{{{r}}^{\rm{T}}}(t){{r}}(t) -\\ & {\beta ^2}{\exp\;{( - \alpha t)}}{{{z}}^{\rm{T}}}(t){{z}}(t); t \in [0,T]. \end{split}$

一方面，对式（23）从0到 $t$积分 $(t \in (0,T])$，可得

(24) ${\exp\;{(- \alpha T)}}V({{\delta }}(t)) - V({{\delta }}(0)) < \int_0^t {{{{r}}^{\rm{T}}}(t){{r}}(t){\rm{d}}t \leqslant d} .$

由式（11）、（19）可知，

${\lambda _1}{{{\delta }}^{\rm{T}}}(t){{{R}}_1}{{\delta }}(t) < {\exp\;{(\alpha T)}}(d + {\lambda _2}{c_1}),$

结合式（20）可得

${{{\delta }}^{\rm{T}}}(t){{{R}}_1}{{\delta }}(t) \leqslant {c_2},$

则多智能体系统（1）在有限时间 $[0,T]$同步.

对式（23）从0到 $T$积分，整理可得

(25) $\int_{\rm{0}}^{{T}} {{\exp\;{(- \alpha t)}}{{{z}}^{\rm{T}}}(t){{z}}(t)} {\rm{d}}t <\int_{\rm{0}}^{{T}} {{{{r}}^{\rm{T}}}(t){{r}}(t)} {\rm{d}}t\Big/{{{\beta ^2}}},$

因此

$\int_{\rm{0}}^{{T}} {{{{z}}^{\rm{T}}}(t){{z}}(t)} {\rm{d}}t < \frac{{{\exp\;{(\alpha T)}}}}{{{\beta ^2}}}\int_{\rm{0}}^{{T}} {{{{r}}^{\rm{T}}}(t){{r}}(t)} {\rm{d}}t,$

此时 $\gamma =[ {{{{\exp\;{(\alpha T)}}}}/{{(N{\beta ^2)}}}}]^{1/2}$，证毕.

注5　定理2保证了多智能体系统（1）在静态输出反馈协议下有限时间同步，且具有 ${H_{\infty} }$性能 $\gamma $. 与文献[1]中基于状态反馈的方法相比，该协议只需每个智能体邻居的输出信息，不需要节点的状态信息，设计是完全分布式的，对参数变化和可能存在的系统外部扰动更加鲁棒.

定理3给出增益 ${{K}}$的具体求解方法.

定理3　对于满足 ${{CQ}} = {{0}}$、 ${{R}} = {{{C}}^{\rm{T}}}{({{C}}{{{C}}^{\rm{T}}})^{ - 1}} + {{QG}}$的矩阵 ${{Q}}$、 ${{R}}$、 ${{G}}$，若存在标量 $\alpha {\text{、}}\beta {\text{、}}{\lambda _1}{\text{、}}{\lambda _2}$以及矩阵 ${{{W}}_Q} > {\bf{0}}{\text{、}}{{{W}}_R} > {\bf{0}}{\text{、}}{{{F}}_R}$，使得

26) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{H}} _{\rm{1}}} - [\alpha {{I}} \otimes ({{Q}}{{{W}}_Q}{{{Q}}^{\rm{T}}} + {{R}}{{{W}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}})]}&{\bf{0}}&{{{[{{I}} \otimes {{{C}}_z}({{Q}}{{{W}}_Q}{{{Q}}^{\rm{T}}} + {{R}}{{{W}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}}) - ({{L}} \otimes {{{B}}_z}{{{F}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}})]}^{\rm{T}}}} \\ *&{ - {{I}}}&{{{({{I}} \otimes {{{D}}_z})}^{\rm{T}}}} \\ *&*&{ - {\beta ^{ - 2}}{{I}}} \end{array}} \right] < {\bf{0}},$

(27) $\lambda _2^{ - 1}{{{R}}_1}^{ - 1} < {{I}} \otimes ({{Q}}{{{W}}_Q}{{{Q}}^{\rm{T}}} + {{R}}{{{W}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}}) < \lambda _1^{ - 1}{{{R}}_1}^{ - 1},$

(28) ${\exp\;{(\alpha T)}}(d + {\lambda _2}{c_1}) < {\lambda _1}{c_2},$

则多智能体系统（1）关于 $({c_1},{c_2},T,{{{R}}_1},\gamma ,d)$有限时间同步，且具有 ${H_{\infty} }$性能 $\gamma =[{{\exp\;{(\alpha T)}}}/{{(N{\beta ^2)}}}]^{1/2}$，相应的增益矩阵为

${{K}} = {{{F}}_R}{{{W}}_R}^{ - 1}. $

证明：证明方法类似定理1，此处略.

下面考虑将外部干扰对系统的影响降低到最低水平. 设 $\;{\beta _{\rm{1}}} = \lambda _1^{ - 1}$， ${\beta _{\rm{2}}} = \lambda _2^{ - 1}$， ${\beta _{{\rm{11}}}} = \sqrt {{\beta _{\rm{1}}}} $，若以下优化问题：

29) $\left.\begin{array}{l} {\rm{min }}\;\gamma; \\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\beta _2}{{R}}_1^{ - 1} < ({{I}} \otimes {{Q}}{{{W}}_Q}{{{Q}}^{\rm{T}}}) + ({{I}} \otimes {{R}}{{{W}}_R}{{{R}}^{\rm{T}}}) < {\beta _1}{{R}}_1^{ - 1},} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\beta _{\rm{1}}}{\exp\;{(\alpha T)}}d - {c_{\rm{2}}}}&{{\exp\;{(\alpha T/2)}}{c_1}^{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}}{\beta _{{\rm{11}}}}} \\ {\rm{*}}&{ - {\beta _{\rm{2}}}} \end{array}} \right] < {\bf{0}},} \\ {\text{式}}{(29)} \end{array}} \right. \\ \end{array}\!\!\!\right\} $

有解，则多智能体系统（1）有限时间同步，且性能指标 $\gamma $可以最小化. 相应地，反馈增益可以由下面的递归算法得到.

算法：

1）选取 $d{\text{、}}T{\text{、}}\alpha {\text{、}}{c_1}{\text{、}}{c_2}{\text{、}}{{{R}}_1}{\text{、}}{{G}} \in {{\bf{R}}^{(n - p) \times p}}{\text{、}}$Q，计算 ${{R}}$.

2）给定 $\varepsilon = {\varepsilon _0}$， ${\beta _{{\rm{11}}}} = \beta _{_{{\rm{11}}}}^1$， $r = 1$.

3）将上述参数代入式（33），得到一组线性矩阵不等式，相应的变量为 ${{{W}}_Q}{\text{、}}{{{W}}_R}{\text{、}}{{{F}}_R}{\text{、}}\beta {\text{、}}{\beta _1}{\text{、}}{\beta _2}{\text{、}}$ $ {\beta _{11}}$. 求解不等式组，得到 $\beta _{\rm{1}}^r$、 $\;\beta _{\rm{2}}^r$.

4）若 $\left| {\beta _{\rm{1}}^r - {{(\beta _{11}^r)}^2}} \right| > {\varepsilon _0}$，且

当 $\beta _{_{\rm{1}}}^r > {(\beta _{_{{\rm{11}}}}^r)^{\rm{2}}}$时， $\beta _{_{{\rm{11}}}}^{r + {\rm{1}}} = \sqrt {{{(\beta _{_{{\rm{11}}}}^r)}^{\rm{2}}} + [\beta _{_{\rm{1}}}^r - {{(\beta _{_{{\rm{11}}}}^r)}^2}]/2} ,$

当 $\beta _{_{\rm{1}}}^r \leqslant {(\beta _{_{{\rm{11}}}}^r)^{\rm{2}}}$时， $\beta _{_{{\rm{11}}}}^{r + {\rm{1}}} = \sqrt {{{(\beta _{_{{\rm{11}}}}^r)}^{\rm{2}}} -[{{(\beta _{_{{\rm{11}}}}^r)}^2} - \beta _{_{\rm{1}}}^r]/2},$

$r = r + 1$，转到3）；否则，算法终止，此时 ${\beta _1} = \beta _{_1}^r$， ${\beta _{\rm{2}}} = \beta _{\rm{2}}^r$， ${{{W}}_Q}{\text{、}}{{{W}}_R}{\text{、}}{{{F}}_R}{\text{、}}\beta {\text{、}}{\beta _{11}}$是式（33）的解. 反馈增益和性能指标分别为 ${{K}} = {{{F}}_R}{{{W}}_R}^{ - 1}$， $\gamma = $ $[ {{{{\exp\;({\alpha T})}}}/{{(N{\beta ^2)}}}}]^{1/2} $. 算法流程如图1所示.

通过数值仿真验证提出同步算法的有效性. 仿真在Matlab软件环境下开展. 考虑由4个智能体构成的多智能体系统，如图2所示.

邻接矩阵 ${ {A}}$和拉普拉斯矩阵 ${{L}}$分别为

$ {{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{0}}&{\rm{1}}&{\rm{1}}&{\rm{0}} \\ {\rm{1}}&{\rm{0}}&{\rm{0}}&{\rm{1}} \\ {\rm{1}}&{\rm{0}}&{\rm{0}}&{\rm{1}} \\ {\rm{0}}&{\rm{1}}&{\rm{1}}&{\rm{0}} \end{array}} \right],\;{{L}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&{ - 1}&0 \\ { - 1}&2&0&{ - 1} \\ { - 1}&0&2&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&{ - 1}&2 \end{array}} \right].$

系统矩阵为

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{A}} = \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ { - 2}&0 \end{array}} \!\!\right],\;}{{{B}} = \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \end{array}} \!\!\right],\;}{{{C}} = [\!\!\begin{array}{*{20}{c}} { - 1},&1 \end{array}\!\!],\;}{{{{F}}_x} = \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {0.5} \\ 1 \end{array}}\!\! \right],\;} \\ {{F_y} = - 1,\;}{{B_z} = - 1,\;}{{C_z} = [\!\!\begin{array}{*{20}{c}} { - 1,}&1 \end{array}\!\!],\;}{{D_z} = 1.} \end{array} $

外部扰动 $r(t) = 1.2{\rm{sin}}\;t$.

1)多智能体系统同步问题. 当控制输入 ${{{u}}_k}(t)$=0时，开环系统（1）状态不同步，轨迹如图3所示.

取定 ${{Q}} = {\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 1,&1 \end{array}}\!\! \right]^{\rm{T}}}$， ${{G}} = {\bf{0}}$， ${{R}} = {\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.5,\;\;0.5} \end{array}}\!\! \right]^{\rm{T}}}$，初始状态取为 ${{x}}(0) = {[\!\!\begin{array}{*{20}{c}} {0.3},\;0,\;{0.5},\;0,\;{0.7},\;{0},\;{2.5},\; 0 ]^{\rm{T}}\end{array}}$，求解定理1，得到增益 $K = - 0.474\;7$，相应的闭环系统状态轨迹如图4所示. 可以发现，大约 $t = 12$ s后各智能体状态达到同步. 与文献[22]的结果进行对比，相应的反馈增益和性能指标如表1所示. 可知，设计的协议使得系统具有更好的抗干扰性.

2)多智能体系统有限时间同步. 考虑由4个智能体构成的多智能体系统，如图5所示.

邻接矩阵和拉普拉斯矩阵为

${ {A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1&1 \\ 1&0&0&1 \\ 1&0&0&0 \\ 1&1&0&0 \end{array}} \right],\;{{L}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1}&{ - 1}&{ - 1} \\ { - 1}&2&0&{ - 1} \\ { - 1}&0&1&0 \\ { - 1}&{ - 1}&0&2 \end{array}} \right].$

取定 ${{x}}(0) = {[\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 2{\text{，}}1{\text{，}}3{\text{，}}2{\text{，}}{1.5}{\text{，}}{1.5}{\text{，}}{2.5}{\text{，}}3 \end{array}\!\!]^{\rm{T}}}$， $d = 4$， $T = 5$， ${c_1} = 3.5$， ${c_2}\! =\! 4$， ${{{R}}_1} \!= \!{{{I}}_{8 \times 8}}$， $\alpha \!=\! 0.006$， ${{Q}} \!=\! {[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 1,\!\!&\!\!1 \end{array}}\!\!\!\! ]^{\rm{T}}}$， ${{G}} = {\bf{0}}$， ${{R}} = {\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.5,\;\;\;\;0.5} \end{array}}\!\! \right]^{\rm{T}}}$，外部扰动信号满足 $ \int_{0}^{5} {{{r}}^{\rm{T}}}(t){{r}}(t){\rm d}t =3.537$. 当控制输入 ${{{u}}_k}(t)$=0时，同步误差 $\left\| {{{\delta}} {(t)}} \right\|$振荡幅度较大，系统无法在有限时间内达到同步，如图6所示. 通过求解定理3，得到反馈增益 $K = - 1.521\;1$，相应的 ${H_{\infty} }$ 性能指标 $\gamma = 1.054\;9$. 从图7、8可以看出，闭环系统在短暂的小幅振荡后，在 $t = 5$ s内达到同步， $\left\| {{{\delta }}(t)} \right\| \leqslant {c_2}$.

改变 $T$的取值， $T = 4$、 $50$、 $100$，求解定理3，分别得到 $K = - 1.521\;3$ ${\text{、}}- 1.510\;7$ ${\text{、}}- 1.477\;9$. 从图9可以看出， $K$的取值与网络收敛快速性有关，同时影响收敛过程中的同步误差. 若 $K$中元素选取较大的数值，则可得快速收敛的同步误差曲线，但此时同步误差的振荡幅度较大.

改变各智能体初始状态，分别取

$\begin{split} & {{{x}}(0) = {{[\!\!\!\begin{array}{*{20}{c}} {0.3},\;0,\;{0.5},\;0,\;{0.7},\;0,\;{2.5},\;0 \end{array}\!\!\!]}^{\rm{T}}},} \\ & {{{x}}(0) = {{[\!\!\!\begin{array}{*{20}{c}} {0.2},\;{0.1},\;{0.2},\;{0.3},\;{0.4},\;{0.2},\;1,\;{1.5} \end{array}\!\!\!]}^{\rm{T}}},} \\& {{{x}}(0) = {{[\!\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 2,\;1,\;3,\;2,\;{1.5},\;{1.5},\;{2.5},\;3 \end{array}\!\!\!]}^{\rm{T}}},} \\ & {{{x}}(0) = {{[\!\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 1,\;1,\;{3},\;{0.5},\;2,\;{1.5},\;3,\;0 \end{array}\!\!\!]}^{\rm{T}}}.} \end{split} $

由图10可知，初始状态对收敛速度有影响，但影响不大.

分别取 $r(t) = {t^{{0.5}}}/2$， $r(t) = {{\sqrt {30} }}{\exp\;{{(t/6)}}}/10$，此时闭环系统（1）的状态轨迹分别如图11、12所示. 系统在短暂的小幅振荡后在 $t = 5$ s内达到同步，可见该算法对扰动具有很好的抑制功能.

3）参数对解空间的影响. 矩阵 ${{Q}}$和 ${{G}}$取值不同，会对定理中不等式的可解性造成影响. 基于定理1，可以得到如图13所示的参数可行域. 该区域关于原点对称，不包含 $q = 0$所在的直线. 当 $q = 0$时，引理1的条件不满足.

本文针对一类多智能体系统，构造静态输出反馈协议，将多智能体系统同步问题转化为一类误差系统的镇定问题. 导出多智能体系统有限时间同步，且具有一定 ${H_{\infty} }$性能的充分条件. 由于参数 ${{Q}}$和 ${{G}}$的取值会对矩阵不等式的可解性造成影响，算例中讨论了参数的可行域. 未来将进一步研究求解参数 ${{Q}}$和 ${{G}}$的启发式算法及异构多智能体系统的同步问题.