预防性维修（preventive maintenance）是保证系统状态、提高运行质量的有效方法，合理的预防性维修计划对于减少系统故障和提高可用度有重要意义^[1]. 状态维修（condition-based maintenance）方法根据检测的状态调整维修计划，以精确地实施预防性维修^[2]. 检测是状态维修方法的重要内容，已有研究表明预防性维修活动中约80%的任务都是由检测识别并解决的，检测间隔过短或过长会引起维修过度或维修不足等问题，所以合理的检测计划对系统的维护和运行有重要作用^[3].

在状态维修模型中，随机过程方法可以直接描述退化过程^[4-5]. 在实际的维修工作中，常常难以明确具体的退化状态，需要对退化状态进行离散处理^[6]. 延迟时间模型（delay time model）在多阶段退化方面应用广泛，该模型在1984年首次提出并应用于生产线检修问题^[7]. 目前，该模型被广泛应用于检修计划优化，如优化检测间隔^[8]、检测和更换策略^[9]，并开始应用于多部件系统^[10]. 这一类研究通常假设维修效果是完全的，即检出缺陷或发生故障时进行更换. 在实际情况中维修通常是不完全的（imperfect maintenance）^[11]，即维修后系统状态不能恢复至全新. 有效役龄方法是表示不完全维修的常用方法^[12]，并已在延迟时间模型中得到应用^{[6, 13-14]}. 此外，实际维修工作中检测不一定是准确的，不完全检测（imperfect inspection）概念最早由Christer等^[15]提出，并逐渐发展为多等级检测^[16]、时变检测误差^[17]、多阶段延迟时间等模型^[18]. 目前，综合考虑不完全检测和维修的研究较少，且均假设故障时进行更换，无法有效表达系统的故障概率情况，难以实现长期检修计划的优化^[19].

在既有研究的基础上，本文提出同时考虑不完全检测和不完全维修的可靠度模型，以有效描述系统退化过程和故障发生概率. 以最小化系统费用率为目标，构建检修计划优化模型，通过分析检测结果和故障概率，考虑可靠度和可用度等实际约束，同时优化系统检修和更换策略. 通过与既有研究中不考虑检测的维修策略进行对比，获得应用检修策略的必要条件.

根据延迟时间模型^[6]，设正常阶段时间为u，延迟时间阶段时间为v，此时系统寿命为u+v. 定义随机变量u和v的密度函数和累计分布分别为f₁（u）、F₁（u）和f₂（v）、F₂（v），并且2个阶段对应的发生率分别为λ（u）和h（u），称为缺陷率和缺陷发生后的故障率. 系统维修计划取决于检测的状态，当检测需要成本时，有必要首先确定最优的检测策略. 此外，维修不完全性导致系统经多次维修后须对系统进行更换，因此检修计划的另一个重要部分为更换策略.

设系统以固定周期T进行检测，检测只能以概率r（0<r≤1）识别已发生的缺陷，但不会将正常情况识别为缺陷. 当检测到缺陷时，系统进行预防性维修，维修后缺陷将被修复. 若检测不到缺陷，则不进行维修. 维修是不完全的，所以维修后系统不能恢复到全新状态，采用有效役龄方法描述维修后的状态^[20]，记役龄回退因子为a（0≤a≤1），表示维修后系统有效役龄的缩减比例. 若系统累计运行时间达到最大可用时间TC或累计检测次数到达次数上限τ，则进行预防性更换（preventive replacement），更换后系统的状态为全新. 最大可用时间为系统的固有属性，也称为技术寿命，若在之前某时刻进行更换可降低费用，则这一时刻称为经济寿命^[21]. 系统在运行中发生故障时，通过最小维修（minimal repair）恢复到可运行状态，最小维修不改变系统退化情况，缺陷须在下一次检测时通过预防性维修排除.

以上过程中，检测、预防性维修、预防性更换、最小维修（即恢复性维修）的费用分别记为c_in、c_p、c_r、c_c，相应停机时间分别记为t_in、t_p、t_r、t_c. 最小维修费用包括了故障产生的期望损失费用，因此高于预防性维修和更换的费用. 在TC已知的情况下，检修策略定义为检测周期T和检测上限次数τ. 当检测周期过长时，缺陷不能被有效识别，系统易发生故障；若周期过短，则增加额外的维修成本. 需要通过确定合理的检测间隔和更换策略，以最小化系统平均维修费用.

为了方便模型构建，提出以下假设.

假设1　系统的初始状态为全新.

假设2　系统在一个更新周期内存在最低可靠度约束，表示实际中最大故障概率约束^[1-3].

假设3　检修或故障引起的系统停机时间产生停机损失费用，为了保证系统的可使用时间，系统存在最低可用度约束^{[19, 22]}.

假设4　系统检修时间和故障处理时间较短，因此不考虑停机时间对系统退化的影响.

维修优化模型通常包括可靠度模型（即退化模型）和维修计划优化模型^[22]. 首先构建考虑不完全检修的可靠度模型. 检测的不完全性使预防性维修成为随机事件，且在不同时间维修后系统的退化速率不同. 另外，不完全检测使已经发生的缺陷可能延长至下一个检修间隔，系统状态不满足马尔可夫性，因此需要构建基于递推关系的可靠度模型.

通过役龄回退因子描述不完全维修的效果^[20]，设系统在第k次检修（时间为t_k）时累计寿命为T_k，则不完全维修后系统的累计寿命（即有效役龄）恢复为aT_k. 假设役龄回退因子同时作用于正常阶段和延迟时间阶段，则系统在t_k进行维修后的缺陷率λ_k+1（u）和独立故障率h_k+1（u）变化分别如下.

(1) ${\lambda _{k + 1}}(u) = \left\{\!\!\! {\begin{array}{*{20}{l}} {{\lambda _k}(u + a{T_k}) = \lambda (u + a k T)} {\text{，}}&{{\text{在}}{t_k}{\text{时刻维修}}};\\ {{\lambda _k}(u + {T_k}){\text{，}}}&{{\text{不维修.}}} \end{array}} \right.$

(2) ${h_{k + 1}}(v) = \left\{\!\!\! {\begin{array}{*{20}{l}} {{h_k}(v + a{T_k}) = h(v + a k T)} {\text{，}}&{{\text{在}}{t_k}{\text{时刻维修}}};\\ {{h_k}(v + {T_k}) {\text{，}}}&{{\text{不维修.}}} \end{array}} \right.$

式中：T_k为上次维修后系统的累计使用时间.

考虑在t_i（i>0）时刻对系统进行检测，检测到缺陷并进行预防性维修的概率为P_d（t_i）. 设上一次发生预防性维修的时间为t_k（1<k≤i−1），如图1所示. 在（t_l−1，t_l）某一时刻发生缺陷（t_k≤t_l−1<t_l≤t_i），且在检测时刻t_i前没有发生故障的概率如下.

(3) $\begin{array}{*{20}{l}} {{P_{\rm{d}}}({t_i}|{t_k}) = }\\ {r\sum\limits_{l = k + 1}^i {\left\{ {{{(1 - r)}^{i - l}}\int_{{t_{l - 1}} - {t_k}}^{{t_l} - {t_k}} {{g_{k + 1}}(u)[1 - {F_{k + 1}}({t_i} - {t_k} - u)]{\rm{d}}u} } \right\}} .} \end{array}$

若检出概率r=1，则式（3）改写为

(4) ${P_{\rm{d}}}({t_i}|{t_k}) = \int_{{t_{i - 1}} - {t_k}}^{{t_i} - {t_k}} {{g_{k + 1}}(u)[1 - {F_{k + 1}}({t_i} - {t_k} - u)]{\rm{d}}u} ,$

即被检出的缺陷只能发生在时段（t_i−1，t_i）.

考虑上一次预防性维修在t_k时刻发生，系统在检测间隔（t_i−1，t_i）中的t_d时刻发生故障的情况，如图2所示. 缺陷可能发生在（t_l−1，t_l）中的某一时刻，其中t_k≤t_l−1<t_l≤t_i. 该情形发生的概率如下：

(5) $\begin{array}{l} {P_{\rm{f}}}({t_i}|{t_k}) = \sum\limits_{l = k + 1}^i {\left\{ {{{(1 - r)}^{i - l}}\int_{{t_{l - 1}} - {t_k}}^{{t_l} - {t_k}} {{g_{k + 1}}(u)} \times } \right.} \\ \left. {[{F_{k + 1}}({t_i} - {t_k} - u) - {F_{k + 1}}({t_{i - 1}} - {t_k} - u)]{\rm{d}}u} \right\}. \end{array}$

系统在（t_i−1，t_i）时段中发生故障后，会在t_i时刻通过预防性维修排除缺陷. 在t_i时刻进行预防性维修的条件概率为

(6) ${P_{\rm{m}}}({t_i}|{t_k}) = {P_{\rm{d}}}({t_i}|{t_k}) + {P_{\rm{f}}}({t_i}|{t_k}).$

在t_i时刻进行预防性维修的概率为

(7) $\begin{split} {P_{\rm{m}}}({t_i}) = & \sum\limits_{k = 0}^{i - 1} {{P_{\rm{m}}}({t_k}){P_{\rm{m}}}({t_i}|{t_k})} = \\ & \sum\limits_{k = 0}^{i - 1} {{P_{\rm{m}}}({t_k})[{P_{\rm{d}}}({t_i}|{t_k}) + {P_{\rm{f}}}({t_i}|{t_k})]} . \end{split}$

在系统开始使用时（k=0），有P_m（t₀）=1.

可靠度R（t）表示从初始时刻至t时刻系统不发生故障的概率. 为了计算任意时刻的可靠度，考虑t_i−1至t时刻中（t_i−1<t<t_i）不发生故障的概率. 在上一次维修发生在t_k时刻的情况下，系统在时段（t_i−1，t）发生故障的概率如下：

(8) ${P_{\rm{f}}}(t|{t_{i{\rm{ - }}1}}) = \sum\limits_{k = 1}^{i - 1} {{P_{\rm{m}}}({t_k})} {P_{\rm{f}}}(t|{t_k};{t_{i{\rm{ - }}1}}).$

式中：

$\begin{split} {P_{\rm{f}}}(t|{t_k};{t_{i - 1}}) = & \int_0^{t - {t_{i - 1}}} {{g_{k + 1}}(u){F_{k + 1}}(t - {t_{i - 1}} - u){\rm{d}}u} + \\ & \sum\limits_{l = k + 1}^{i - 1} {\left\{ {{{(1 - r)}^{i - l}}\int_{{t_{l - 1}} - {t_k}}^{{t_l} - {t_k}} {{g_{k + 1}}(u) \times } } \right.} \\ & \left. {[{F_{k + 1}}(t - {t_k} - u) - {F_{k + 1}}({t_{i - 1}} - {t_k} - u)]{\rm{d}}u} \right\}. \end{split}$

（t_i−1，t）不发生故障的概率为

9) ${P_{\rm{R}}}(t|{t_{i - 1}}) = 1 - {P_{\rm{f}}}(t|{t_{i - 1}}).$

因此，系统在t（t>t_i−1）时刻的可靠度为

(10) $R(t) = R({t_{i - 1}}){P_{\rm{R}}}(t|{t_{i - 1}}).$

在不完全检修模型中，除了缺陷分布和故障分布参数，还需确定检出概率和役龄回退因子. 基于文献[14]，提出维修和检测间隔均不固定的情况下的参数估计方法.

在实际检测中存在维修和不维修2种情况，记系统的实际维修时间序列为 $(t_1^0,t_2^0, \cdots ,t_n^0)$，设相邻维修 $t_k^0{\text{、}}t_{k + 1}^0$之间共有m（k）次检测未检测到缺陷，即 $t_{k,m(k)}^0$（k<n）的下一次检测时刻为 $t_{k + 1}^0$. 在检测时刻 $t_{k,i}^0,i = 1,\cdots,m(k),k = 1,\cdots,n - 1$检测到缺陷的概率为

(11) $\begin{split} & {P_{\rm{d}}}(t_{k,i}^0|t_k^0) = r\sum\limits_{l = 1}^i {\left\{ {{{(1 - r)}^{i - l}}\int_{t_{k,l - 1}^0 - t_k^0}^{t_{k,l}^0 - t_k^0} {{g_{k + 1}}(u) \times } } \right.} \\ & {[1 - {F_{k + 1}}(t_{k,i}^0 - t_k^0 - u)]{\rm{d}}u} \Bigg\};\;i = 1,\cdots,m(k). \end{split}$

对于检出概率的似然函数为

(12) ${L_1} = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left[\sum\limits_{i = 1}^{m(k)} {\ln\; (1 - {P_{\rm{d}}}(t_{k,i}^0|t_k^0))} + \ln\; ({P_{\rm{d}}}(t_{k + 1}^0|t_k^0))\right]}. $

记系统的实际故障序列为 $(x_1^0,x_2^0, \cdots ,x_m^0)$，实际中故障发生次数较少，为了便于计算，将故障发生时间转换为在检测间隔中是否发生故障，即 $x_{k,i}^0$=1表示在相邻2次检测 $t_{k,i}^0{\text{、}}t_{k,i + 1}^0$中发生故障，这一情形的发生概率为

(13) $\begin{split} & {P_{\rm{f}}}(x_{k,i}^0|t_k^0) = \\ & \sum\limits_{l = 1}^i {\left\{ {{{(1 - r)}^{i - l}}\int_{t_{k,l - 1}^0 - t_k^0}^{t_{k,l}^0 - t_k^0} {{g_{k + 1}}(u)[{F_{k + 1}}(t_{k,i + 1}^0 - t_k^0 - u) - } } \right.} \\ & \left. {{F_{k + 1}}(t_{k,i}^0 - t_k^0 - u)]{\rm{d}}u} \right\};\; i = 0,\cdots ,m(k). \end{split}$

对于故障发生的似然函数为

(14) $\begin{split} {L_2} = & \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left\{ {\left( {\sum\limits_{i = 0}^{m(k)} {\ln\; (1 - x_{k,i}^0)} (1 - {P_{\rm{f}}}(x_{k,i}^0|t_k^0))} \right) + } \right.} \\ & \left. {x_{k,i}^0\ln\; ({P_{\rm{f}}}(x_{k,i}^0|t_k^0))} \right\}. \end{split}$

综合以上，构建似然函数：

(15) $L = {L_1} + {L_2}.$

在检修策略下，系统的检测间隔为T，检测上限次数为τ. 系统第i次检测的时间为

(16) ${t_i} = i T;\quad i = 1,2,\cdots,\tau .$

系统的更新周期受到τ和TC的约束，定义示性变量σ，σ=1表示系统的更新周期为TC.

(17) $\sigma = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1,&{T \tau \geqslant {\rm {TC}},\; R({\rm {TC}}) \geqslant {R_{{\rm{min}}}}}; \\ 0,&{\text{其他}}. \end{array}} \right.$

在更新周期内，系统的总停机时间T_Down包括检测时间、预防性维修时间、最小维修时间和更换时间. 系统一共进行τ−1次检测，因为在第τ次检测或TC时刻将直接执行更换.

(18) $\begin{split} T_{\rm{Down}} = & (\tau - 1){t_{\rm{in}}} + \sum\nolimits_{i = 1}^{\tau - 1} {{P_{\rm{d}}}({t_i}) {t_{\rm{p}}} - } \\& {\left[ {\sigma \ln R({\rm{TC}}) + (1 - \sigma )\ln R({t_\tau })} \right] {t_{\rm{p}}} + {t_{\rm{r}}}.} \end{split}$

可用度A为可运行时间与更新周期的比值：

(19) $A(T,\tau ) = 1 - \frac{{{T_{{\rm{Down}}}}(T,\tau )}}{{\sigma \times {\rm{TC}} + (1 - \sigma ) T \tau }}.$

根据上述分析和更新收益理论^[9]，建立以系统平均费用率最小为目标、考虑可靠度和可用度约束的检修计划优化模型（P1），目标函数与约束条件如下.

(20) $ \begin{split} \min\; \bar C(T,\tau ) = & E({C_{{\rm{sum}}}})/E(L) = \\ & \left\{ {(\tau - 1){c_{\rm{in}}} + \sum\limits_{i = 1}^{\tau - 1} {{P_{\rm{d}}}({t_i}) {c_{\rm{p}}}} - [\sigma \ln R({\rm{TC}}) + } \right.\\ & {(1 - \sigma )\ln R({t_\tau })] {c_{\rm{c}}} + {c_{\rm{r}}} + {T_{{\rm{Down}}}}{c_{\rm{d}}}} \Bigg\}\Bigg/\\ & [\sigma \times {\rm{TC}} + (1 - \sigma )T\tau] . \end{split} $

(21) $\begin{split} & {\rm{s.t.}}\\& \;\;\;{R_{{\rm{min}}}} \leqslant \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {R({t_\tau })},&{{\rm{ }}T \tau < \rm TC}; \\ {R(\rm TC)},&{{\rm{ }}T \tau \geqslant \rm TC}; \end{array}} \right. \end{split}$

(22) $A(T,\tau ) \geqslant {A_{\min }};$

(23) $1 \leqslant T \leqslant {T_{\max }};$

(24) $1 \leqslant \tau \leqslant \left\lceil {{\rm{TC}}/T} \right\rceil ;$

(25) $T,\tau \in \bf N.$

式（20）为目标函数，表示总期望费用C_sum与更新周期L的比值，费用包括检测费用、预防性维修费用、最小维修费用、更换费用和停机损失费用. 式（21）表示最低可靠度约束，系统在任意时刻的可靠度均不低于R_min. 式（22）表示最低可用度约束. 式（23）~（25）为决策变量约束，检测间隔和检测上限次数均为正整数，且存在上限约束. 其中，T_max为系统无维修退化至最低可靠度的时间.

模型（P1）同时考虑了检测和维修活动. 为了验证检修模型的效果，基于文献[23，24]构建2种不考虑检测的预防性维修模型，与模型（P1）的结果进行比较.

定周期维修策略按照固定时间间隔直接对系统进行预防性维修，其余内容均与模型（P1）相同. 维修策略定义为维修周期T₁和最大维修次数τ₁.

系统的检测时刻、更新周期和可用度的计算分别类似于式（16）、（17）、（19），其中停机时间的计算公式为

(26) $\begin{split} & {T_{{\rm{Down}}}} = ({\tau _1} - 1) {t_{\rm{p}}} + {t_{\rm{r}}} + {t_{\rm{c}}} \times \\ & \left[ {\sum\limits_{i = 1}^{{\tau _{_1}} - 1} { - \ln R({t_i})} - \sigma \ln R({\rm TC}) - (1 - \sigma )\ln R ({t_{{\tau _1}}})} \right]. \end{split}$

优化模型（P2）构建如下：

(27) $ \begin{split} & \min {{\bar C}_1}({T_1},{\tau _1}) = {{E({C_{{\rm{sum}}}})}/{E({L_1})}} =\\ & \left\{ {({\tau _1} - 1){c_{\rm{p}}} + \Bigg[\sum\limits_{i = 1}^{{\tau _1} - 1} { - \ln R({t_i})} -\sigma \ln R({\rm{TC}}) - } \right.\\ & \left. {\ln R({t_{{\tau _1}}})(1 - \sigma )\Bigg]{c_{\rm{c}}} + {c_{\rm{r}}} + {T_{{\rm{Down}}}}{c_{\rm{d}}}} \right\}\Bigg/\\ & [\sigma \times {\rm{TC}} + (1 - \sigma ){T_{\rm{1}}}{\tau _{\rm{1}}}]. \end{split} $

约束条件与式（21）~（25）相同.

在固定可靠度阈值模型中，当上一次维修后的可靠度下降至R₂时，系统需要进行预防性维修或更换，其余内容均与模型（P1）相同. 维修策略定义为可靠度阈值R₂和最大维修次数τ₂.

设ρ_i（t）为系统第i次预防性维修后的故障率函数，则第i个维修间隔的表达式为

(28) $\int_0^{{T_i}^*} {{\rho _{i - 1}}(t){\rm{d}}t} = - \ln {R_2}; \quad i = 1,2,\cdots,{\tau _2}.$

实际维修间隔为可靠度对应间隔的下界整数值：

(29) ${T_i} = \left\lfloor {{T_i}^*} \right\rfloor ;\quad i = 1,2,\cdots,{\tau _2}.$

由此可得系统第i次维修的时间：

(30) ${t_i} = \sum\limits_{j = 1}^i {{T_j}} .$

用于计算更新周期的示性变量σ表达式为

(31) $\sigma = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 1,&{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{{\tau _2}} {{T_i}} \geqslant {\rm{TC}},\;R({\rm{TC}}) \geqslant {R_{{\rm{min}}}}}; \\ 0,&{\text{其他}} . \end{array}} \right.$

在更新周期内，系统的可用度计算类似于式（19），其中停机时间的计算公式为

(32) $\begin{split} & {{T_{{\rm{Down}}}} = ({\tau _2} - 1) {t_{\rm{p}}} + {t_{\rm{r}}} + {t_{\rm{c}}} \times }\\& {[{\tau _2}( - \ln {R_2})(1 - \sigma ) -\sigma \ln R({\rm{TC}}) ].} \end{split}$

优化模型（P3）构建如下：

(33) $ \begin{split} \min \;{{\bar C}_2}({R_2},{\tau _2}) = & {{E({C_{{\rm{sum}}}})}/{E({L_2})}} = \\ & \{ {({\tau _2} - 1){c_{\rm{p}}} + [{\tau _2}( - \ln {R_2})(1 - \sigma ) - } \\ & \left.\sigma {\ln R({\rm{TC}}) ]{c_{\rm{c}}} + {c_{\rm{r}}} + {T_{{\rm{Down}}}}{c_{\rm{d}}}} \right\}/\\ & \left[ {\sigma \times {\rm{TC}} + (1 - \sigma )\sum\limits_{i = 1}^{{\tau _2}} {{T_i}} } \right]. \end{split} $

(34) $\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{s.t.}}}\\ \;\;\;\;\;\;{{R_{\min }} \leqslant {R_2} \leqslant 1;}\\[-10pt] \end{array}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\;$

(35) $1 \leqslant {\tau _2} \leqslant {\tau _{\max }},\quad {\tau _2} \in {\bf{N}}.\qquad\qquad\qquad\qquad$

其余约束条件与式（22）相同.

式（34）为决策变量约束，可靠度阈值不能小于最小可靠度. 式（35）类似于式（24），为维修次数上限约束.

为了求解模型（P1）的最优检测周期T^*检测上限次数τ^*，考虑可靠度单调递减的特点，设计如图3所示的枚举优化算法. 在由式（20）计算目标函数值的过程中，需要由式（7）计算每次检测时预防性维修的概率P_m（t_i），并由式（10）计算可靠度.

以某铁路专用线配属的SS_4B机车中空气管路系统为研究对象，选取其中5个子系统进行独立的检修计划优化. 假设各系统的正常阶段和延迟时间阶段均服从威布尔分布，参数估计的结果如表1所示. 表中，m₁、m₂分别为第1阶段和第2阶段分布的形状参数，l₁、l₂分别为第1阶段和第2阶段分布的尺度参数.退化参数均通过参数检验. 各系统的检修成本和最低可靠度参数如表2所示. 设各系统的停机损失费用为300 元/h，最大可用时间均为730 d，可用度约束为0.98.

通过枚举优化算法求解，得到各系统的最优检测间隔和更换时间，如表3所示. 表中，G_a为求解结果与最优可用度的差异.如系统1最优检测间隔为41 d，在第11次检测时进行预防性更换，更新周期为451 d，平均费用率为24.27 元/d. 各系统的可用度均处于较高水平，并且与可实现的最大可用度差异很小.

以系统1为例，分析目标函数与检测间隔和次数的关系，如图4所示. 在相同的检测间隔下，目标值随着检测次数的增大而减小. 各检测间隔对应的最优值（最优解曲线）随着检测间隔的增加先增后减，并在41天时达到最优目标值. 该曲线在检测间隔增大过程中存在波动，且最优检测次数下降. 因为当检测间隔较大时，系统的可靠度下降速度较快，最大检测次数受到最低可靠度的限制. 每个检测间隔下受最低可靠度和最大可用时间约束的最大维修次数分别如图4的点线和虚线所示. 当检测间隔超过32 d时，可靠度下降较快，最优解曲线受到最低可靠度的限制. 当维修间隔较小时，可靠度下降缓慢，较多次数的检测能够保证较高的可靠度，此时最优解曲线受到最大使用时间的约束. 此外，可靠度约束曲线表明，只有当检测间隔和次数均较小时，可用度较低. 在考虑停机损失费用时，可用度与费用的优化方向接近. 在以费用率为优化目标时，全局最优解均满足可用度约束，这与表3的结果一致.

不同维修策略的最优结果如表4所示. 表中，G_c 为求解结果与检修策略费用的差异. 系统1和4的最优策略为可靠度阈值策略，其余系统的最优策略均为检修策略. 由系统参数可知，系统1和4的检出概率较低且检测成本较高，所以会产生大量无效检测，导致系统成本增加. 在2个非检测策略中，固定可靠度阈值策略优于固定周期策略. 因为最低可靠度约束使得固定可靠度阈值策略平均增加一个检测间隔的可用时间，从而延长系统的更新周期.

检出概率是检修模型的重要参数. 由4.2节的策略比较可知，当检出概率较低时，检修策略不是最优策略，因此需要分析检出概率对检修计划的影响. 如图5所示为不同检出概率r下模型最优解和目标值的变化趋势. 随着检出概率的增加，目标值均呈现先稳定后下降的特点；相应地，检测间隔首先不变，之后迅速减小，最后波动增加；更新周期先稳定后逐渐增加，最后在小范围内波动. 最优检测间隔和更新周期的波动变化是因为维修间隔和检测次数均为离散变量，非线性变化的可靠度和线性变化的更新周期均需要满足约束条件. 随着检出概率的增加，会出现检测间隔减小且检测次数增大、检测间隔增大且检测次数减小的情况，分别导致更新周期的增大和减小.

由图5可知，各系统均存在一个检出概率的变化阈值，如系统1的阈值为0.47. 当检出概率小于该值时，进行检测反而增加成本. 当检出概率超过该值时，检测可以减缓可靠度下降速度，从而可以在较长更新周期下满足最低可靠度约束，所以系统通过频繁检测而延长更新周期. 随着检出概率的进一步增大，检测间隔逐渐增大，因为检测更容易识别系统运行中的缺陷，同时更新周期开始受到最大使用时间约束. 综上所述，检出概率要大于相应阈值时才可以执行检修策略. 检出概率越大，不仅能够降低系统的维修成本，而且能够延长系统更新周期，避免系统的频繁更换.

以系统1、2为例，分析检出概率对不同策略的影响，如图6所示. 2个非检测策略的结果不受检出概率变化的影响. 当检出概率分别超过0.83、0.65之后，检修策略成为最优策略，说明只有当检出概率保持在较高水平时，通过检修确定维修计划才具有应用价值. 基于表1的检出概率，对比理想情况（r=1）下的优化结果，如图7所示. 可知，当检出概率为1时各系统的费用率均为全部策略的最优结果，相比可靠度阈值策略（P3）平均可以降低费用率36.78%.

随着检测次数的增加，检测费用的增长是线性的，累计预防性维修概率、故障期望次数的变化是非线性的. 不同检出概率对执行预防性维修和出现故障有较大的影响. 以系统1为例，设检测周期为20 d，不同检出概率下预防性维修概率、故障期望次数E_f随检测次数的变化如图8所示.

随着检测次数的增加，预防性维修的发生概率（包括检出缺陷概率和上一间隔的故障概率）先增后减，当检出概率为1时不存在增加的过程. 故障期望次数基本呈递增趋势，当检出概率较小（r<0.4）时存在一个先减后增的过程，该过程是不完全检测产生的累计效应造成的. 当检出概率较低时，未被检出的缺陷会累计到检测之后的间隔并引发故障，故障期望呈现递增趋势. 相对密集的故障增大了使检修后系统状态处于较新状态的概率，之后发生缺陷和故障的概率均会下降. 预防性维修的发生概率和故障次数期望之差可以近似看成检出缺陷的概率，呈现先增后减的趋势，且下降速度逐渐增大，因为不完全维修的累计效应使得缺陷更容易以故障的形式出现. 在同一检出概率下，不完全维修使故障费用的比例逐渐增加，预防性维修比例逐渐减小，为了实现最优费用率，系统必然在某次检测时进行更换.

随着检出概率的增大，同一次检测对应的预防性维修概率逐渐增大，故障次数期望逐渐减少，不完全检测的累计效应逐渐不明显. 增大检出概率能够降低目标函数值，较高的检出概率使得缺陷更容易在检测时被发现，减少了故障的发生.

本文基于延迟时间模型，建立同时考虑不完全检测和不完全维修的可靠度模型和检修计划优化模型，应用实际数据进行参数标定和案例分析. 结果表明：利用可靠度模型能够有效地描述系统退化和故障情况，且检测间隔对于可靠度变化有明显的影响，较短的间隔能够有效地降低可靠度下降速度. 利用检修计划优化模型可以有效地确定最优检测间隔和更换策略，降低平均维修成本. 与既有研究中基于固定周期和固定可靠度阈值的维修模型相比，只有当检出概率处于较高水平时，检修模型能够有效地降低维修成本，检测无误差时可以平均节省成本36.78%. 本文研究为单一系统维修计划的制定与优化提供了有效方法，今后进一步研究多部件系统的协同检修计划，有助于提高检修计划模型的适用性.