在工程应用中，为增加零件的抗腐蚀、耐磨及保温性能，通常需要对其进行表面处理. 其中，表面涂镀作为重要技术手段，被广泛应用于在严苛环境中工作的零部件，例如：三向编织结构碳纤维复合材料作为耐超高温结构烧蚀材料被应用在航天领域要求最严苛的高温耐热部位，如：发动机喉衬、火箭鼻翼体、飞行器翼前端等^[1]. 此外，需要根据零部件的使用环境来确定涂镀层厚度. 涂镀层过厚会造成材料内应力过大，导致基体与涂镀层的结合强度下降，涂镀层易脱落；涂镀层过薄，则达不到材料表面处理要求，因此需要精确测量涂镀层厚度^[2]. 涂镀层厚度未达标的零部件承受各种高强度复变载荷作用，易诱发疲劳裂纹以及其他故障缺陷，如美国“哥伦比亚”号航天飞机在进入大气层时覆有涂镀层的隔热瓦失效，导致重大安全事故^[3]. 此外，通常在燃料贮箱筒段外表面喷涂聚氨酯泡沫来隔热保温. 绝热层过厚会增加贮箱的整体直径，造成标准直径蒙皮无法装配；绝热层过薄则会使保温效果变差，由于燃料贮箱未安装主动冷却系统，严格保证绝热层厚度至关重要.

目前，常用的涂镀层厚度无损检测方法有：涡流测厚法、激光测厚法和显微镜测厚法等. 各种方法所适用的检测对象不同，各有特点，其中涡流测厚法以对被测表面粗糙度不敏感、抗油污染能力强、检测快速等优点，在涂镀层厚度测量领域^[4-6]有着无可比拟的优势. 迄今为止，涡流测厚的研究内容主要集中在平面基体表面涂镀层厚度测量，对于曲面基体的关注比较少. 在实际应用中，基于平板标定法的曲面基体表面涂镀层厚度检测误差大，达不到高精度测量要求. 因此，开展曲面基体涡流测厚研究对于提高涂镀层厚度检测精度、拓宽涡流测厚应用范围具有重要意义.

燃料贮箱筒段外表面聚氨酯泡沫采用半自动化方式喷涂，出料量难以控制，发泡后形成的保温层厚度不均匀，一般为2~50 mm. 厚度偏小处需重新喷涂发泡增厚，厚度偏大处必须经过半自动修磨，将保温层厚度控制在10~30 mm，具体厚度数值根据不同型号需求而定. 在检测、质量控制阶段，将电涡流传感器探头轴线水平沿着筒段的直径方向，通过控制筒段旋转速度和传感器沿着筒段轴线方向平移，连续测量出燃料贮箱筒段外表面各处泡沫层厚度，需要把厚度测量误差控制在−0.15~0.15 mm，为后续厚度精修和蒙皮装配提供依据.

本文针对燃料贮箱筒段外表面聚氨酯泡沫厚度测量精度要求，开展常见曲面试件标定试验，建立针对特定曲率的涡流测厚标定函数，综合评价4种标定方法在测量精度、计算速率方面的优劣.

选取3种常用尺寸的曲面基体作为被测试件，模拟燃料贮箱筒段保温层厚度的测量过程，曲率半径分别为1 125（试件1）、1 675（试件2）、3 000 mm（试件3），材料为铝合金6063，表面粗糙度为Ra 6.4 µm. 氨酯硬质泡沫塑料由异氰酸酯和二醇聚合而成，除具有隔音、防震及绝热性能外，既不导磁也不导电. 考虑到聚氨酯泡沫不会影响曲面基体表面的磁场分布，标定试验过程中曲面试件表面未喷涂聚氨酯泡沫，涡流探头距金属基体表面的距离即为涂层厚度. 试验系统结构框图如图1所示.

选用RP6660型电涡流位移传感器，其性能参数如表1所示. 测量试验在美国赫克公司生产的HURCO VMX42五轴立式加工中心完成，机床参数如表2所示.

使用USB5001数据采集卡实时釆集传感器输出电流信号，如图2所示，采样频率设置为2 kHz. 试验现场设置如图3所示，将传感器探头通过夹具夹持并固定于机床的主轴上，确保探头位于测试件正上方且探头轴线沿试件曲面法线方向.

确定好初始位置后，每隔0.5 mm改变一次提离距离，记录传感器输出电流信号I. 为减少测量误差，对于每个提离距离，在稳定测量阶段，从采集到的电流信号中提取1 s时长数据（即2 000个数据点），对输出电流波形进行滤波去噪，然后取其平均值，所得结果即为该提离距离对应的电流信号. 为减小随机误差，对于每种曲面试件，从起始位置到量程终点，每个位置重复测量5次，取其平均值. 需要注意的是，每次更换被测试件后，都需要对传感器探头进行重新找正与定位.

选用高次多项式、傅里叶级数曲线以及多峰高斯函数对真实提离距离与电流信号进行标定.

多项式标定曲线表达式为

(1) $y = \sum\limits_{i = 1}^{{n_1}} {{a_i}{I^i}} .$

式中：a_i为常数，I为电流信号，y为标定结果，n₁为多项式次数.

傅里叶级数曲线的表达式为

(2) $y = {a_0} + \sum\limits_{i = 1}^{{n_2}} {[{a_i}\cos\; ({\rm i}wI) + {b_i}\sin \;({\rm i}wI)]} .$

式中：a₀、a_i、b_i为傅里叶级数系数，n₂为傅里叶级数项数.

Mallat等^[7]提出了匹配算法，在每个自适应阶段，原始信号由一组时频基函数表示，得到的剩余信号为拟合误差，直至误差达到预设阈值，最后时频基函数即为最优基函数，得到的信号即为最优信号表示^[8]. 高斯多峰法被广泛应用于信号处理，比如Gabriel等^[9]将其应用于复杂色谱分析，此外比较常见的应用领域还有统计学与光谱分析^[10-11]；但是很少见其被应用于传感器标定. 考虑到高斯多峰法是性能优异的曲线拟合方法，本研究选用高斯曲线对电流信号与提离距离进行标定，多峰高斯曲线表达式为

(3) $y = \sum\limits_{i = 1}^{{n_3}} {{a_i}\exp \;\left[ { - {{{{(I - {\mu _i})}^2}} \Big/ {\left( {2\sigma _i^2} \right)}}} \right]} .$

式中：a_i为一维高斯函数曲线尖峰高度，μ_i为尖峰中心坐标，σ_i为标准差，n₃为高斯函数项数.

径向基函数神经网络（radial basis function neural network, RBFNN）是一种3层前向网络. 分为输入层、径向偏置层和线性输出层^[12]. 确定径向偏置节点数量M至关重要，如果M取值太小，则无法精确描述提离距离和电流信号之间的关系，导致标定函数的精度下降；如果M取值太大，训练出来的网络模型可能会过拟合，而且模型结构复杂，需要更大的存储空间和算力. 径向偏置层中的神经元变换函数为关于中心点径向对称且衰减的非负非线性函数.

由输入层、径向偏置层和线性输出层构成的径向基神经网络结构如图4所示. 其中，R为输入向量的元素个数，S₁为径向偏置层神经元个数，S₂为线性输出层神经元个数. RBFNN的径向偏置层将低维空间的输入通过非线性函数映射到高维空间，再在高维空间寻找一个能最佳拟合电流信号与提离距离关系的曲面.

由如图4所示的RBFNN结构可得径向偏置层输出向量 ${a_1}$的各个元素为

(4) ${}_i{a_1} = {\rm{radbas}}\;\left( {\left\| {{{W}}{{{\rm{(}}i{\rm{,:)}}}^{\rm{T}}} - {{ x}_p}} \right\|{}_i\;{b_1}} \right).$

式中：径向基神经元变换函数 ${\rm{radbas}}\;(n) = \exp\; ( - {n^2})$； ${{ x}_p} = {\left[ {x_1^p,x_2^p, \cdot \cdot \cdot ,x_R^p} \right]^{\rm T}}$为第p个输入样本；p=1，2，···，l，l为样本总数；W为输入层到径向偏置层的权值矩阵，又可以称为径向偏置层节点中心，W（i，:）是输入权重矩阵W的第i行向量；b₁为阈值，用于调整神经元的灵敏度.

线性层输出向量为

(5) ${ y} = {{L}} \cdot {{ a}_1}{{ + }}{{ b}_2}.$

式中：L为径向偏置层到输出层的连接权值，b₂为偏置向量.

以曲面试件1为例，使用第2.1节中的4种方法对电流信号与提离距离进行标定，得到不同标定曲线与原始数据的对比关系，如图5所示. 其中，d 为提离距离，9次多项式（Poly9）、7项傅里叶级数稀（Fourier7）、多峰高斯拟合（Gauss8）曲线的参数显示在坐标图左上角，RBFNN标定曲线的参数如表3所示.

RBENN的输出值与样本点的均方根误差随径向偏置层神经元数量的增加而减小. 如图6所示，当径向偏置层神经元个数为23时，均方根误差（RMSE）下降到0.022 5，此时增加神经元数量误差降低不明显，但计算效率却显著下降. 综合考虑计算效率和模型精度，将径向偏置层神经元数量M设定为23.

试验过程中3种曲面试件电流信号与提离距离的变化趋势如图5（d）和图7所示，试件曲率没有改变电流信号随提离距离的变化趋势；但是，当提离距离相同时，曲率不同的试件对应的电流信号大小有区别，且随着提离距离的增大，曲率的影响越来越弱. 在曲率半径为1 125~3 000 mm时，电流信号与提离距离之间的变化趋势相对稳定.

在传感器量程初始区间（2~18 mm），电流信号与提离距离近似为分段线性变化. 在量程区间2~10 mm，提离距离的微小变化即可引起电流信号的明显变化，当提离距离大于10 mm后，电流信号的变化幅度明显变小；当提离距离超过18 mm时，电流信号与提离距离呈非线性变化，随着提离距离的增大，电流信号变化的幅度越来越小；当提离距离达到40 mm时，电流信号几乎达到最大值；当提离距离继续增加时，电流信号增加的幅值几乎为0，在实际检测中，此时很难再通过电流信号准确推断提离距离. 通过试验验证，RBFNN可以在整个曲率半径区间（1 125~3 000 mm）捕捉到这种相对稳定的变化趋势，因此，该标定方法也可以在曲率半径区间1 125~3 000 mm获得精度较高的标定函数.

以上4种高精度标定方法都可以大致追踪电流信号和提离距离之间复杂的线性-非线性变化规律，但拟合精度不同. 对比采用4种标定方法得到的标定函数在测量曲面试件1时的测量值与真实提离距离x的误差Δy在传感器量程内的分布规律，结果如图8所示. 其中，Poly9、Fourier7以及Gauss8标定函数的最大误差出现在17.53 mm处，分别为0.217 87、0.150 85和0.187 03 mm；而采用RBFNN标定后的最大测量误差为−0.124 72 mm，出现在量程终点区域，约在45.53 mm处. 4种标定方法中，只有RBFNN标定方法的测量误差控制在−0.15~0.15 mm.

由图8可知，在提离高度区间Ⅱ（23~38 mm）内，电流信号和提离距离之间的关系处于非线性区域，4种标定方法拟合效果较好，测量误差绝对值在整个量程范围内最小；在区间Ⅰ内，电流信号和提离距离之间的关系处于该型号传感器线性区域和非线性区域的过渡区域，保温层厚度（10~30 mm）正好覆盖此区间，Poly9、Fourier7及Gauss8标定方法的拟合效果差；在量程终点区域Ⅲ（40~48 mm）内，4种标定方法的测量误差绝对值都比较大，此时很难追踪电流信号和提离距离之间的非线性关系. 对于精度要求较高的应用场合，选取标定误差Δy=0处距离值作为参照点，此外，根据实际测量大小，再加上误差曲线对应位置处的误差值，可以实现测量过程误差补偿.

为定量分析标定方法的优劣，对上述4种标定曲线进行误差统计分析，具体评价指标如下：误差平方和、均方根、确定系数^[13].

误差平方和（sum of squared errors，SSE）用来衡量标定曲线与样本点准确性，SSE越接近于0，说明标定方法拟合效果越好，数据预测越成功^[14-15]：

(6) ${\rm{SSE}} = \sum\limits_{p = 1}^l {{w_p}{{({x_p} - {y_p})}^2}} .$

式中：w_p为分布率，此处取1；y_p为标定结果；x_p为真实提离距离.

均方根误差（RMSE）表示样本数据点相对于标定曲线的离散程度^[14-15]：

(7) ${\rm{RMSE = }}\sqrt {{\rm{SSE}}/l} = {\left[ {\frac{{\rm{1}}}{l}\sum\limits_{p = 1}^l {{w_p}{{({x_p} - {y_p})}^2}} } \right]^{{\rm{1/2}}}}.$

上述误差分析参数都是基于标定结果y_p与真实提离距离x_p之间的偏差. 下面引入相对原始数据平均值的确定系数（R²），标定函数对数据拟合程度越好，R²的取值越接近于1^[14-15].

(8) ${{{R}}^2} = \frac{{{{{E}}_{\rm{ssr}}}}}{{{{{E}}_{\rm{sst}}}}}.$

式中：E_ssr为标定结果与样本数据平均值之差的平方和，E_sst为样本数据与样本数据平均值之差的平方和，

$ {{{E}}_{{\rm{ssr}}}} = \sum\limits_{p = 1}^l {{w_p}{{({y_p} - \bar f)}^2}} ,\;{{{E}}_{\rm{sst}}} = \sum\limits_{p = 1}^l {{w_p}{{({x_p} - \bar f)}^2}} . $

其中， $\bar f$为样本数据平均值.

以曲面试件1为例，采用Poly9、Fourier7、Gauss8、RBFNN以及线性函数Plane (常用于平面标定)这5种方法标定电流信号和提离距离之间的关系，并将得到的标定函数用于距离测量。结合式(6)~(8)求得SSE、R²、RMSE以及最大误差E_max等统计量，如表4所示.

1）对于表征标定后距离测量值与真实提离距离匹配程度的R²，RBFNN和Fourier7对应的值均为0.999 99，高于Ploy9对应的0.999 97和Gauss8对应的0.999 36.

2）对于表示真实提离距离与标定后距离测量值误差的SSE，Fourier7的SSE是RBFNN的2.67倍，而Ploy9的SSE更是达到了RBFNN的6.78倍.

3）RBFNN的最大误差E_max相比于Ploy9减小了42.75%，相比于Fourier7减小了9.5%.

综上所述，在4种标定方法中，RBFNN的测量精度最高，标定误差最小，且满足−0.15~0.15 mm的要求. 此外，采用平面标定函数测量曲面基体涂镀层厚度的结果表明，该方法测量误差大，远超误差限值.

采用不同标定方法得到的标定函数因计算复杂程度不一，运算速率也有差异，需要根据具体应用场合的采样频率要求，选择合适的方法. 下面给出不同标定函数单点运算时间Δt的计算步骤. 随机选取100个测试电流信号 I_test∈[4, 20] mA，使用Matlab中的tic和toc命令统计总运行时间，进而得到Δt，当运行环境为Windows10、Matlab R2016b时，得到Poly9的单点运算时间为0.12 ms，Fourier7的单点运算时间为0.14 ms.

当设备采样频率要求高于1 kHz时，只有Poly9和Fourier7这2种标定方法能满足采样频率要求，Gauss8的单点运算时间Δt=1.16 ms，适用于采样频率低于862 Hz的场合. 与前面3种标定方式相比，RBFNN 的运算效率显著下降，Δt=7.98 ms，适用于采样频率不超过125 Hz、测量精度高的场合. Plane的单点运算时间Δt=0.10 ms，其采样频率能够达到10 kHz，但测量精度太低，没有实用价值. 当然，上述比较结果只是给出相对大小关系，测厚系统的最终采样频率还要考虑其他因素的影响，包括数据采集模块数据处理能力、通讯方式的选择等.

为进一步验证由试件1得出的结论，采用上述 5 种标定方法对另外2种尺寸的曲面试件进行标定试验，分析标定函数测量值与原始数据的误差统计量和单点运算时间，如表5所示. 分析表5可以得出，在5种标定方法中，RBNN的拟合效果最好，对应的SSE、RMSE和最大误差最小，但RBFNN结构复杂，单点运算时间最长，对于采样频率要求较高. 对于测量精度要求较低的应用场合，可以选择Poly9、Fourier7和Gauss8. 在进行曲面基体测量时，平板标定函数误差最大，没有实用价值；从表4和中RBFNN在试件1、2和3上的SSE、RMSE和最大误差可以得到，曲率半径越小，测量误差越大，当曲率半径为1 125 mm时，最大误差达到0.124 7 mm；而在曲率半径为3 000 mm时，最大误差为−0.068 5 mm；当曲率半径为1 675 mm时，最大误差为−0.103 6 mm. 综上所述，在曲率半径为1 125~3 000 mm时，RBFNN标定方法可以追踪电流信号与提离距离之间的非线性关系，而且测量误差可以控制在−0.15~0.15 mm.

基于以上结论，选用训练好的RBFNN作为标定函数进行验证性试验. 在曲面试件1、2、3上喷涂聚氨酯泡沫，发泡后形成保温层. 以试件1为例，如图9所示，将金属基体表面泡沫层沿y方向划分为4个测量区域（a、b、c和d），在每个区域沿x方向等步长取7个点作为检验点，如图9（a）所示，分别使用针刺法和涡流侧厚法测量涂镀层厚度，将上述方法同样用于试件2、3. 其中，针刺法是将游标卡尺深度尺刺入泡沫层直至金属基体表面，测量过程如图9（b）所示，游标卡尺示数即为泡沫保温层厚度Δd，每个检验点测量5次. 针刺法需要破坏涂镀层，适用于关键位置的抽样检测；而涡流测厚属于无损测量，操作方便，适用于连续检测.

在使用涡流法测厚时，探头应位于被测试件正上方且探头轴线沿曲面试件法线方向. 将曲面试件通过螺栓固定在机床工作台；将传感器探头通过夹具固定在机床主轴上，模拟圆柱面铣削加工过程；将探头作为刀具，通过数控编程调整探头相对曲面试件的位姿，使探头轴线方向沿着曲面试件圆柱面法线；工作台带动试件沿x方向进给，每次移动较小步长连续测量，直至终点. 沿y方向增加步距，在试件表面4个区域（a、b、c和d）分别测量出该区域各点保温层厚度，验证试验现场设置如图10所示.需要注意的是，在传感器探头进给之前，需要释放夹具中的弹簧压紧机构，确保探头贴在保温层表面.

比较 2 种测量方法在3种曲面试件上不同区域的测量结果，如图11~13所示. 采用基于RBFNN的涡流测厚法连续测量区域a、b、c、d内u=0~343 mm范围的保温层厚度，可得试件1、2、3的保温层厚度数值范围分别为[14.88, 15.12]、[19.92, 20.08]和[24.94, 25.06]. 在各个区域位置（①~⑦）处，以针刺法测量值为保温层实际厚度，基于RBFNN涡流测厚法得到的测量值与实际厚度之间的误差始终在 −0.15~0.15 mm，满足误差要求.

（1）本文综合评价了9次多项式、7项傅里叶级数、8项复合高斯函数和RBFNN 4种标定方法在3种尺寸曲面试件上的标定结果，其中，RBFNN 标定方法精度最高，测量误差最小.

（2）RBFNN 标定方法单点运算时间超过4 ms，限制了涡流测厚系统的采样频率. 因此，在实际应用过程中，当采样频率超过1 kHz时，建议采用9次多项式和7项傅里叶级数，此时为保证测量精度需要根据如图7所示的标定误差在传感器量程范围内不同区间上的分布规律进行误差补偿.

（3）基于 RBFNN 曲面的涡流测厚法能够满足燃料贮箱筒段外表面聚氨酯泡沫层厚度测量要求，测量精度高，无损检测操作方便，易于实现自动化测量，可以为泡沫层厚度精修提供依据.