单交叉口的信号相位设计通常包含两部分内容，一部分是确定信号相位设计方案，属于相对宏观的结构性设计工作；另一部分是确定相位设计方案的配时参数，属于相对微观的参数性设计工作. 选取合适的信号相位方案是进行交叉口信号控制配时设计工作的重要内容. 相位设计方案是交叉口信号控制的结构框架，既决定交叉口内交通流的运行秩序，同时也对交叉口的通行效率起决定性作用；信号配时是对交叉口通行权分配给予更加精细化的设计，对于交叉口的通行效率甚至整个路网的通行状态都发挥着重要作用.

交叉口信号控制设计须满足交叉口各股交通流的通行需求，应当将相位设计与相位配时结合起来. 一方面须根据交通流通行需求决定选择相位设计方案，另一方面须根据各股交通流的通行需求为其所在的信号相位分配通行时间^[1-2]，因此相位设计与相位配时应当同时考虑并同步进行.

目前，针对信号交叉口相位优化设计的研究较少，大多研究针对信号交叉口绿信比与相位时间分配方法，其中，部分学者以交叉口的某个运行评价指标如延误时间、排队长度、停车次数等进行分析^[3-8]，也有学者选取多个优化目标进行研究，以弥补单目标优化的缺陷^[9-10]，还有部分研究通过运用优化算法实现对信号配时方案的优化计算^[11-16]. 对于交叉口信号相位设计与配时同步优化的研究，Wang等^[17]提出自动调整信号相位设计与配时的程序方法；陈琳等^[18]提出新的通用多相位信号控制策略，以及时调整相位数和各相位的车流向组合；Talmor等^[19]针对交叉口拥堵问题提出信号相位设计与配时算法.

上述研究大多仅从交叉口关键车流与独立相位车流的通行效益角度考虑信号配时优化，往往忽视或者淡化非关键车流及跨相位车流的通行需求，甚至没有同时考虑车流与行人的过街需求；在信号相位设置与配时优化方面，通常是根据关键交通流状况首先确定交叉口的相位设计方案，然后再进行相应的信号配时设计，即相位方案设计与配时优化是相对独立的. 这种设计思路通常难以兼顾信号相位方案设计与配时优化以进行最佳信号相位方案设计，往往不能达到交叉口信号控制的全局最优.

针对较为复杂的交叉口相位设计及时间分配问题，特别是在处理存在多个待选相位方案、须考虑行人过街需求、存在跨相位车流的多轮相位时间分配问题时，须综合考虑各个因素，建立通用的相位优化设计模型，以实现交叉口信号相位设置与配时的同步优化. 对此，本研究结合行人过街需求建立行人过街约束下的交叉口相位时间分配基础模型，利用相位时间分配目标函数建立相位设计方案优选模型，采取多轮同步优化方法解决多类型复杂车流的通行时间分配问题，利用同步优化流程实现信号相位设置与配时的同步优化设计.

在整个信号相位设置与配时同步优化过程中，1）须针对各个信号相位设计方案，根据各股车流和行人过街通行时间的约束条件，建立相位时间分配基础模型；2）须考虑多个可选信号相位设计方案，结合相位时间分配基础模型，建立相位设计方案优选模型，实现交叉口相位设置与信号配时的同步优化；3）须针对跨相位非关键车流所存在的配时问题，进一步建立多轮同步优化模型，实现交叉口信号相位设置与配时的同步优化.

假设在待优化信号交叉口存在多股车流受到信号控制，同时存在一定的行人过街需求，根据车流和行人过街通行时间的等式与不等式约束，建立相位时间分配基础模型如下.

1）车流通行时间等式约束. 独立相位车流的通行时间等于其所在信号相位的时长. 若在相位周期内存在跨相位车流或隔相车流，则其通行时间等于其所包含的若干个信号相位时间之和，即

式中： ${t_{{\rm{M}}i}}$为车流i获得的通行时间， ${S_{{\rm{M}}i}}$为车流i所包含的信号相位集合， ${T_j}$为信号相位j的通行时间.

2）车流通行时间不等式约束. 在未饱和情况下，车流i的通行时间 ${t_{{\rm{M}}i}}$必须大于等于满足其通行需求的最短通行时间 ${\tilde t_{{\rm{M}}i}}$，表达式如下：

否则将不能满足通行需求. 车流i需要的最短通行时间 ${\tilde t_{{\rm{M}}i}}$与满足其通行需求的最短绿灯时间或最小绿信比直接相关.

在饱和或过饱和状态下，车流通行时间将无法满足式（2）约束，但是根据城市交叉口安全通行管理需要，各信号相位通常也有最短相位时间的要求，即

式中： ${t_{\Delta i}}$为车流i对应进口道规定信号相位的最短相位时间要求. 在处理饱和或过饱和状态下的相位时间分配问题时，应将式（2）替换为式（3），本研究主要考虑未饱和情况.

3）行人过街通行时间等式约束. 一股过街人流可能在一个信号相位（独立相位）或连续多个信号相位（跨相位）或不连续的多个信号相位（隔相位）获得通行权，但不论行人获得过街通行的相位是独立相位、跨相位还是隔相位，每一次允许行人过街的通行时间都必须大于等于行人横穿马路所需要的步行时间，否则无法保证行人的安全过街.

当行人相位为独立相位或跨相位时，行人获得的过街通行时间等于对应的某个信号相位时间或某几个连续信号相位时间之和；当行人相位为隔相位时，行人在各组分隔相位所获得的过街通行时间应独立计算，即将隔相位分解为独立相位或跨相位进行分析，此时须将各组分隔相位的过街人流当作独立的过街人流进行处理.

过街人流l获得的通行时间 ${t_{{\rm{P}}l}}$等于其包含的连续信号相位时间，即

式中： ${S_{{\rm{P}}l}}$为过街人流l所包含的信号相位集合. 当过街人流l获得的通行相位为独立相位时， ${S_{{\rm{P}}l}}$为单元素集合；当过街人流l获得的通行相位为跨相位时， ${S_{{\rm{P}}l}}$为多元素集合；当某过街方向行人获得的通行相位为隔相位时， ${S_{{\rm{P}}l}}$为单元素或多元素集合，具体视各组分隔相位所包含相位情况而定.

4）行人过街通行时间不等式约束. 过街人流l的通行时间 ${t_{{\rm{P}}l}}$必须大于等于满足行人过街需求的最短通行时间 ${\tilde t_{{\rm{P}}l}}$：

${\tilde t_{{\rm{P}}l}}$由对应的人行横道长度、过街行人平均行走速度、积累的过街人数、人行横道宽度等参数决定^[16]. 须注意在把隔相位的过街人流分成多股独立的过街人流（ ${l_1},{l_2}, \cdots $）时，各股过街人流所获得的通行时间均须大于等于 ${\tilde t_{{\rm{P}}l}}$.

5）信号相位时间等式约束. 所有信号相位时间之和将构成一个完整的信号周期，即

式中：C为信号周期时长，各信号相位时间包括绿灯时间、黄灯时间以及全红时间.

6）相位时间分配目标函数. 相位时间分配首先应满足车流通行与行人过街需求，再考虑通过对车流通行时间进行按需分配，以达到减少车流运行延误和实现均衡分配的控制目的. 根据上述满足机动车通行需求的最短通行时间^[4]，定义车流i实际分配的通行时间 ${t_{{\rm{M}}i}}$与最短通行时间 ${\tilde t_{{\rm{M}}i}}$的比值 ${R_i}$作为分配评价指标，以描述该股车流通行需求的满足度，即

交叉口的相位时间分配目标可以设计为：使通行需求满足度最小的车流也能够获得尽可能大的通行效益^[20]，即绿信比分配的目标函数表达式为

综上，建立交叉口相位时间分配基础模型如下：

利用上述相位时间分配基础模型可以按照各股车流所需的最短通行时间，实现对于车流通行时间的均衡分配.

当交叉口信号相位设计不限于某种既定设计方案时，则存在相位设计方案的优选问题. 假设交叉口存在m个信号相位设计待选方案，分别为 ${A_1},{A_2}, \cdots ,{A_m}$. 与上述相位时间分配基础模型的优化目标一致，在进行相位设计方案优选时，也应该从m个相位设计方案中选出“使通行需求满足度最小的车流也能够获得尽可能大的通行效益”的相位设计方案. 因此基于相位时间分配基础模型（式（9）），建立如下相位设计方案优选模型：

式中：Z为信号相位设计方案优选目标函数， ${Z_k}$为第k个信号相位设计待选方案的相位时间优化目标函数， ${t_{{\rm{M}}\left( {k,i} \right)}}$为第k个相位设计待选方案中车流i拟分配的通行时间， ${R_{\left( {k,i} \right)}}$为第k个相位设计待选方案中车流i拟分配的通行时间与其所需最短通行时间的比值， ${S\!_{{\rm{M}}\left( {k,i} \right)}}$为第k个相位设计待选方案中车流i所包含的信号相位集合， ${t_{{\rm{P}}\left( {k,l} \right)}}$为第k个相位设计待选方案中过街人流l拟分配的通行时间， ${S_{{\rm{P}}\left( {k,l} \right)}}$为第k个相位设计待选方案中过街人流l所包含的信号相位集合， ${T_{\left( {k,j} \right)}}$为第k个相位设计待选方案中信号相位j的拟分配时间.

当信号相位方案中存在跨相位车流时，利用式（10）进行一次求解可能不足以实现对所有车流通行时间的优化分配，所确定的关键车流中可能会包含一股甚至多股跨相位车流，此时须对非关键车流的通行时间进行再一轮的分配.

经过对式（10）的第1轮求解，可能直接得到唯一的最佳相位设计方案，此时只须根据选定的最佳相位方案来建立与求解相位时间分配模型；也可能出现多个相位设计方案的关键车流均获得相同最大通行效益的情况，即存在多个最佳相位设计方案，此时则须通过下一轮的模型求解来继续进行相位设计方案的优选. 在利用相位设计方案优选模型（式（10））进行最佳相位设计方案优选时，关键车流的通行时间也在同步优化，并作为已知数据迭代到下一轮的优化模型中.

假设在第x轮相位设计方案优选过程中，待选相位设计方案集合为 $A\left( x \right)$，方案k（ $k \in A\left( x \right)$）的待分配车流集合为 ${M_k}\left( x \right)$，方案k的待分配过街人流集合为 ${P_k}\left( x \right)$，方案k的时长已定信号相位（组合）集合为 ${G_k}\left( x \right)$. 在进行第1轮相位设计方案优选时， $A\left( 1 \right)$为所有待选相位设计方案所构成的全集， ${M_k}\left( 1 \right)$为方案k所有待分配车流所构成的全集， ${P_k}\left( 1 \right)$为方案k所有待分配过街人流所构成的全集， ${G_k}\left( 1 \right)$为方案k的所有信号相位，其时长总和为信号周期C；在完成最后第n轮相位设计方案优选或相位时间分配后， $A\left( {n + 1} \right)$为单元素集合， ${M_k}\left( {n + 1} \right)$、 ${P_k}\left( {n + 1} \right)$均为空集. 建立第x轮的相位设置与配时同步优化模型：

式中： ${t_{{\rm{M}}{i^*}}}$为已分配车流 ${i^*}$获得的通行时间， ${S_{{\rm{M}}{i^*}}}$为已分配车流 ${i^*}$所包含的信号相位集合， $M_k^*(x)$为所有已分配车流所构成的车流集合， ${t_{{\rm{P}}{l^*}}}$为已分配人流 ${l^*}$获得的通行时间， ${S_{{\rm{P}}{l^*}}}$为已分配人流 ${l^*}$所包含的信号相位集合， $P_k^*(x)$为所有已分配人流所构成的人流集合.

利用同步优化模型（式（11））计算得到第x轮所确定的最佳相位方案（可能多于一个）. 其中，满足式（12）或式（13）的一组链接交通流即为第x轮所确定的相位方案k的交通流：

在利用式（11）进行首轮信号相位设计方案优选与相位时间分配时，所选取的最佳相位设计方案可能不止一个，所确定的通行时间也仅对应为部分车流，之后在进行每一轮的相位设计或时间分配时，须根据上一轮的优化结果来确定该轮的待选相位设计方案集合与对应的待分配车流集合，并且将已确定的相位组合时间代入式（11），建立新的同步优化模型进行迭代求解. 当最佳相位设计方案与所有车流通行时间以及所有信号相位时间都确定时，交叉口的信号相位设计方案与配时方案配置完毕.

根据上述交叉口信号相位设置与配时同步优化模型，绘制同步优化流程，如图1所示. 每一轮信号相位设计及配时方案优化都将对相位设计方案进行优选，并确定一组当前通行需求最大的链接车流及其通行时间，同时为下一轮的相位设计及配时方案优化设置新的约束条件.

选取广州市东晓南路-南洲路交叉口作为分析案例. 该路口为错位十字交叉路口，北进口不设直行车道；西进口不设右转车道；东进口由于有高架桥墩的影响，右转车流为2股分离的车流；东北角与西南角之间设行人斜穿的二次过街横道，路口渠化与信号灯组设置情况如图2所示. 已知该交叉口信号周期为190 s，有2组备选相位设计方案，如图3、4所示，2组相位方案的区别在于相位A. 图中，数字为交通流编号（M_i为车流i，P_l为过街人流l），交通条件允许右转车流7与直行车流1合流.

根据交叉口各股车流的实际流量、饱和流量、对应进口道的饱和度实用限值，可以确定其所需的最短通行时间；根据南进口行人过街对应相位的人行横道长度、过街行人平均行走速度、1个信号周期内过街的行人数、人行横道宽度参数可以确定满足其需求的最短通行时间；根据路口实际交通量大小，考虑2组不同的流量情形，车流的流量和各股交通流需要的最短通行时间如表1所示. 表中，No.为交通流编号，q为实际流量， $\tilde t$为最短通行时间. 2种情形的主要区别在于车流4、5、9的流量和所需最短通行时间.

1）同步优化过程. 待选相位设计方案集合 $A\left( 1 \right){\rm{ = }}\left\{ {1,2} \right\}$，各相位方案通行时间待分配交通流集合 ${M_1}\left( 1 \right) = {M_2}\left( 1 \right) = \left\{ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}$， ${P_1}\left( 1 \right) = {P_2}\left( 1 \right) = \left\{ {10,11,12,13} \right\}$，时长总和已确定的任意多个信号相位组合的集合 ${G_1}\left( 1 \right) = {G_2}\left( 1 \right) = \left\{ {{\rm{A,B,C,D}}} \right\}$. 建立对应的相位设置与配时同步模型，由于待选相位设计方案中部分参数设置相对独立，将相位设置与配时同步模型分解为如下2个子模型及目标函数.

子模型1：

子模型2：

目标函数：

求解结果为 ${Z_1}\left( 1 \right){\rm{ = }}1.333$， ${Z_2}\left( 1 \right){\rm{ = }}1.231$，由 ${Z_\alpha }\left( x \right) =$ $ \max \, \left\{ {{Z_1}\left( x \right),{Z_2}\left( x \right)} \right\}$，并根据式（11）可知，相位方案1为确定的唯一最佳方案.

仅考虑相位方案1，由于模型求解结果为R_（1，1）=R_（1，6）=Z₁（1）=1.333， ${t_{{\rm{P }}\left( {1,12} \right)}} = {\tilde t_{{\rm{P 12}}}} = 30$，根据式（12）、（13），车流1、6与过街人流12共同组成相位方案1在第1轮中确定通行时间分配的链接交通流，分配结果为 ${t_{{\rm{M }}\left( {1,1} \right)}} = 113$， ${t_{{\rm{M }}\left( {1,6} \right)}} = 47$， ${t_{{\rm{P }}\left( {1,12} \right)}} = $30，同时相位方案1相位C、D时长已确定， ${T_{\left( {1,{\rm{C}}} \right)}} = $30， ${T_{\left( {1,{\rm{D}}} \right)}} = 47$，相位A、B时长之和也已确定， ${T_{\left( {1,{\rm{A}}} \right)}} + {T_{\left( {1,{\rm{B}}} \right)}} = 113$，车流3、8与过街人流10、11的通行时间也已确定.

由于还有部分交通流的通行时间未确定，须进行下一轮的相位时间分配，第2轮优化中待分配车流 ${M_1}\left( 2 \right) = \left\{ {2,4,5,7,9} \right\}$，待分配过街人流 ${P_1}\left( 2 \right) = \left\{ {13} \right\}$，时长总和已确定的任意多个信号相位组合的集合 ${G_1}\left( 2 \right) = {\rm{\{ (A,B,C,D)}} = 190,$ $({\rm{A,B}}) = $ $ 113,({\rm{A,B,C}}) = 143,({\rm{A,B,D}}) = 160 {\} }. $此时，根据图3，相位方案1第2轮将至少有3种相位时间分配选择：1）参照相位A与相位B时长之和 ${T_{(1,{\rm{A}})}} + {T_{(1,{\rm{B}})}} = 113$，分配交通流13和5（或7）的通行时间；2）参照相位A、B、C时长之和 ${T_{(1,{\rm{A}})}} +$ $ {T_{(1,{\rm{B}})}} + {T_{(1,{\rm{C}})}} = 143 $，分配交通流13、2的通行时间；3）参照相位A、B、C、D时长之和（即1个完整信号周期） $C = 190$，分配交通流2和4（或9）的通行时间.

须根据各交通流的交通需求来进行相位时间分配选择，因此将第1轮确定的相位时长结果代入原模型，建立相位方案1的第2轮分配模型：

求解结果为 ${R_{\left( {1,2} \right)}} = {Z_1}\left( 2 \right){\rm{ = }}1.440$， ${t_{{\rm{P }}\left( {1,13} \right)}} = {\tilde t_{{\rm{P 13}}}} = $35，根据式（12）、（13），车流2与过街人流13共同组成相位方案1在第2轮中确定通行时间分配的链接交通流（包含的信号相位为相位A、B、C，可以组合成 ${G_2}\left( 2 \right)$中的元素： $\left( {{\rm{A,B,C}}} \right) = 143$），分配结果为 ${t_{{\rm{M }}\left( {1,2} \right)}} = 108$， ${t_{{\rm{P }}\left( {1,13} \right)}} = 35$，同时相位方案1相位A和B时长已确定， ${T_{\left( {1,{\rm{A}}} \right)}} = 35$， ${T_{\left( {1,{\rm{B}}} \right)}} = 78$，此时所有交通流的通行时间均已确定，相位设置与配时同步优化过程结束.

2）对比方案的配时. 为了后续仿真对比验证，继续用本研究模型求解相位方案2在交通情形1中的最佳配时结果. 对于相位方案2，由于上述第1轮求解结果为 ${R_{\left( {2,1} \right)}} = {R_{\left( {2,4} \right)}} = {R_{\left( {2,9} \right)}} = {Z_2}\left( 1 \right){\rm{ = }}1.231$， ${t_{{\rm{P }}\left( {2,12} \right)}} = {\tilde t_{{\rm{P 12}}}} = 30$，根据式（12）、（13），车流1、4（或9）与过街人流12共同组成相位方案2在第1轮中确定通行时间分配的链接交通流，分配结果为 ${t_{{\rm{M }}\left( {2,1} \right)}} = 105$， ${t_{{\rm{M }}\left( {2,4} \right)}} = {t_{{\rm{M }}\left( {2,9} \right)}} = 55$， ${t_{{\rm{P }}\left( {1,12} \right)}} = 30$，此时，方案2相位C、D时长已确定， ${T_{\left( {2,{\rm{C}}} \right)}} = 30$， ${T_{\left( {2,{\rm{D}}} \right)}} = 55$，相位A、B时长之和也已确定， ${T_{\left( {2,{\rm{A}}} \right)}} +$ $ {T_{\left( {2,{\rm{B}}} \right)}} = 105$，车流3、5、6、8与过街人流10、11的通行时间也已确定. 第2轮优化中待分配车流 ${M_2}\left( 2 \right) = \left\{ {2,7} \right\}$，待分配过街人流 ${P_2}\left( 2 \right) = \left\{ {13} \right\}$，将第1轮确定相位时长结果代入原模型并求解，最后确定方案2相位A、B时长分别为 ${T_{\left( {2,{\rm{A}}} \right)}} = 35$， ${T_{\left( {2,{\rm{B}}} \right)}} = 70$.

3）整理情形1中2个相位方案的最佳配时结果，如表2所示.

同情形1求解过程，结果选出相位方案2为最佳方案. 2个方案的最佳配时结果如表3所示.

总而言之，针对案例交叉口2种不同的交通流量情形，利用本研究所建立的信号相位设置与配时同步优化模型对2个备选相位方案同步进行优选与信号配时优化过程，从而分别得到对于上述2种流量情形的同步优化结果，完成交叉口信号配时方案的选择和对案例交叉口相位设置与配时的同步优化. 在各情形的多轮优化中，本研究模型考虑隔相位车流（如本案例中的车流7）的通行需求建立相应的约束条件，实现对于交叉口关键交通流、非关键车流通行时间的均衡分配，同时也考虑行人过街的通行时间约束，在保证满足行人过街需求的前提下，从公平均衡的角度最大限度地实现对于交叉口所有车流通行时间的优化分配.

为了对比验证本研究模型对于案例交叉口的相位方案与配时同步优化效果，用PTV-VISSIM软件进行交通仿真. 建立仿真路网并设置相应的控制信号，对于上述2种不同的交通流量情形，分别用表2、3的2个相位方案的最佳配时结果进行仿真，并利用行程时间检测器获取2种情形、2组相位方案共4组车流延误时间数据，得到情形1的对比结果（见图5），情形2的对比结果（见图6）. 图中，D为各股车流的总延误时间，d为各股车流的车均延误时间, M_all为所有车流.

在交通流量情形1中，由于车流5所需最短通行时间相对较小，而车流4、9所需最短通行时间相对较大，本研究模型自动判别并确定相位设计方案1为最佳方案. 在2组相位设计方案的最佳配时结果中，相位A、C时长相同. 相比方案2仿真结果：1）方案1中相位A、C时长之和相同，所以车流7、8在1个信号周期内获得的通行时间相同，因此其平均延误（总延误）时间基本持平；2）方案1减少相位D时长，导致车流6的平均延误（总延误）时间有所增加；3）方案1通过增加相位B时长，使其车流1、2、3的平均延误（总延误）时间明显减少；4）方案1中车流5仅在相位B中获得通行权，尽管增加了相位B时长，车流5的平均延误（总延误）时间仍有明显增加；车流4、9在相位A、D中均获得通行权，尽管减少了相位D时长，车流4、9的平均延误（总延误）时间仍明显减少；5）综合计算，通行效益受影响的车流（除车流7、8之外的其他车流）的总平均延误时间减少10.8%，所有车流的总平均延误时间减少9.0%.

如图6所示，在交通流量情形2中，由于车流5所需最短通行时间相对较大，而车流4、9所需最短通行时间相对较小，本研究模型自动判别并确定相位设计方案2为最佳方案. 在2组相位设计方案的最佳配时结果中，相位A、C时长相同. 相比方案1仿真结果：1）方案2通过增加相位D时长，直接使车流6的平均延误（总延误）时间有明显减少，原因在于当情形2采用相位方案1时，所有关键车流所需最短通行时间之和将使交叉口交通状态接近饱和（与本研究模型求解结果一致，即关键车流实际分配到的通行时间与所需最短通行时间的比值 ${R_i}$接近1），而车流6的通行需求满足度较小，当增加其通行时间时，其平均延误（总延误）时间会明显减少；2）方案2减少相位B时长，导致车流1、2、3的平均延误（总延误）时间有所增加；3）方案2中相位A、C时长之和相同，所以车流7、8在1个信号周期内获得的通行时间相同，因此其平均延误（总延误）时间基本持平；4）方案2中车流4、9仅在相位D中获得通行权，尽管增加了相位D时长，车流4、9的平均延误（总延误）时间仍明显增加；车流5在相位A、B中均获得通行权，尽管减少了相位B时长，车流5的平均延误（总延误）时间仍明显减少；5）综合计算，通行效益受影响的车流（除车流7、8之外的其他车流）的总平均延误时间和所有车流的总平均延误时间均明显减少，分别减少15.7%、13.1%.

本研究通过对交叉口信号相位设置与配时进行同步优化，不仅完成了对交叉口相位设计方案的优选，而且实现了对关键车流、跨相位车流与非关键车流通行时间的优化分配，有助于提升交叉口的整体通行效率.

本研究所建立的交叉口信号相位设置与配时同步优化通用模型，适用于各种交叉口信号相位设计场合，特别是在须考虑行人过街需求，交叉口相位设计方案复杂，以及交叉口跨相车流较多的情况下. 本研究给出的交叉口信号相位设置与配时优化方法，可以使交叉口信号相位设计方案选择以及相位配时更加合理、科学与规范.