随着城市人口日益增长，越来越多的地下空间得以开发. 在建筑物、管线密集区进行基坑开挖会对邻近环境带来扰动，如引起路面不均匀沉降、地下市政管线的变形，甚至会影响既有建筑物基础的承载性能. 关于基坑开挖引发的土体变形，大多学者的研究重点为以地表沉降为代表的土体竖向位移，已有较多的沉降预测曲线^[1-2]、经验公式^[3-4]、地层损失法^[5]等简化方法用以估算地表沉降量及其影响范围，进而对邻近环境的安全性进行初步评估. 但是，对坑外深层土体变形的关注相对较少. 城市建筑日益密集，越来越多的基坑面临着周边环境日益复杂的挑战，已有多个基坑开挖致使邻近既有桩基或隧道受到破坏的案例^[6]，由此可见，须重视对基坑开挖引起的水平位移的研究. 当前，针对基坑开挖诱发的周围土体水平位移这一问题较有代表性的研究如下.

在现场实测方面，应宏伟等^[7]研究杭州深厚软黏土中某深大基坑开挖的变形性状，发现时空效应是影响软黏土中大型基坑坑外水平位移的重要因素，且坑外最大沉降约为最大水平位移的0.6倍；陈仁朋等^[8]以宁波某地铁深基坑为例，研究基坑开挖下周围土体的变化规律，并发现采用基坑分块开挖对减小土体水平位移有较好的作用，被动区土体加固方法的效果则相对较差; Tan等^[9]发现，对于软土地区的深基坑，及时浇筑混凝土底板能够有效抑制围护结构侧向变形和周围土体位移的发展.

在数值模拟方面，Schuster等^[10]通过Flac3D软件建立三维数值模型模拟基坑开挖诱发的坑外土体水平位移，发现较近范围内的坑外土体水平位移与基坑围护墙变形相似，随着土体逐渐远离基坑，土体水平位移逐渐表现为悬臂状分布；康志军等^[11]基于现场实测数据建立有限元模型模拟不同围护结构最大侧移深度对坑外深层土体水平位移的影响，认为可以通过控制围护结构最大侧移所在位置来有效降低基坑开挖对周边环境的影响；郑刚等^[12]建立能考虑土体小应变特性的有限元模型，对比分析在基坑开挖下，不同围护结构变形形式对坑外土体位移场的影响，认为控制围护结构侧向变形对保证周边环境的安全有积极意义.

在理论解析方面，Sagaseta^[13]利用镜像映射法和弹性力学解推导由不可压缩土体内圆孔收缩诱发的土体位移解析式； Xu等^[14]按“面积等效”原则把基坑围护结构挠曲变形视为圆孔的内缩面积，结合Sagaseta^[13]提出的地层位移解析式并利用积分的思想，给出挡墙变位诱发的墙外土体水平位移解析式；尹盛斌^[15]将围护结构的实测变形划分为正向转动、反向转动及挠曲3种基本变位模式，分别计算3种基本模式下坑外土体水平位移，最后再叠加以获得坑外土体总水平位移；钱建固等^[16-17]基于平面应变下的位移-位移弹性边值问题，通过镜像映射法从理论上分别推导挡墙在水平变位模式、挡墙绕墙趾转动模式下挡墙变位诱发的墙后土体水平位移理论解.

总体而言，关于基坑开挖诱发土体水平位移问题的研究，在以工程实测统计分析以及数值模拟方面取得了较为丰硕的成果，也得到诸多有益的结论^[8-12]，在理论解析方面则略显不足，且所得解析解多针对特定的挡墙变位模式或包含积分式，在工程使用中易受到限制. 为了提出能考虑挡墙在任意变位模式下墙后土体水平位移的简化计算方法，本研究基于现有理论解析成果^[16-19]，利用微元法将挡墙任意形式的实测挠曲线划分为足够多个微段，将各微段水平向挠曲变位近似视为平移变位，再借助挡墙平移变位模式下墙外土体水平位移基本解，通过叠加各微段诱发的土体水平位移，提出挡墙在任意形式的变位模式下墙外土体水平位移的简化解. 可以为快速预测基坑开挖诱发的周围土体水平位移提供一定的理论支持.

对实际问题的解析求解往往较困难，根据具体研究对象，可以将其合理地抽象为简化模型，以方便求解. 顾剑波等^[18-19]将基坑围护挡墙变位诱发的土体位移简化为平面应变问题，并假定围护挡墙发生刚性平移变位，求解挡墙在刚性平移变位模式下诱发墙后土体水平位移的基本解. 如图1所示为力学简化模型，假设挡墙竖直，墙后土体均质且各向同性. 图中，H为深度，E为变形模量，ν为泊松比，d为挡墙的水平变位位移. 将d作为已知的位移边界条件. 由于墙-土摩擦对周围土体水平移动影响较小，忽略墙、土界面之间的摩擦效应^[19]，与既有的位移有限元方法一致，即将已知的水平位移直接施加在墙背土体上^[20].

在不考虑体力的条件下，关于平面应变静力问题的Lame方程在x、z方向可以表示为

(1) $\left. {\begin{split} & (\lambda {\rm{ + 2}}G)\frac{{{\partial ^2}u(x,z)}}{{\partial {x^2}}} + G\frac{{{\partial ^2}u(x,z)}}{{\partial {z^2}}} + (\lambda {\rm{ + }}G)\frac{{{\partial ^2}u(x,z)}}{{\partial x\partial z}} = 0, \\ & (\lambda {\rm{ + 2}}G)\frac{{{\partial ^2}w(x,z)}}{{\partial {z^2}}} + G\frac{{{\partial ^2}w(x,z)}}{{\partial {x^2}}} + (\lambda {\rm{ + }}G)\frac{{{\partial ^2}w(x,z)}}{{\partial x\partial z}} = 0. \end{split}} \right\}$

式中：λ、G为Lame参数；u（x，z）、w（x，z）分别为墙后土体在x、z方向上的位移，x为计算点至挡墙墙背水平距离，z为计算点至地表垂直距离.

(2) $\lambda = \frac{{E\nu}}{{(1 + \nu)(1 - 2\nu)}},\;G = \frac{E}{{2(1 + \nu)}}.$

在刚性挡墙平移变位的边界条件下，对二阶偏微分方程组（式（1））进行解析求解. 解得式（1）的通解^[16-18]为

(3) $\left. {\begin{split} u(x,z) =\!\! & \int_0^{{\rm{ + }}\infty } {\frac{1}{\alpha }} \left[ {{K_1}\cos \;(\alpha z) + {K_2}\sin \;(\alpha z)} \right] \times \\& (A + \alpha x){{\rm{e}}^{ - \alpha x}}{\rm{d}}\alpha ,\\ w(x,z) =\!\! & \int_0^{{\rm{ + }}\infty } {\frac{1}{\alpha }} \left[ { - {K_2}\cos\; (\alpha z) + {K_1}\sin\; (\alpha z)} \right] \times\\ & \left(A - \frac{{\lambda + 3G}}{{\lambda + G}}{\rm{ + }}\alpha x\right){{\rm{e}}^{ - \alpha x}}{\rm{d}}\alpha . \end{split}} \right\}$

式中：K₁、K₂、A为须借助挡墙位移边界条件求解的相关待定系数.

由位移（式（3））引起的各应力分量为

(4) $\left. {\begin{split} & {\sigma _x} = (\lambda + 2G)\frac{{\partial u(x,z)}}{{\partial x}} + \lambda \frac{{\partial w(x,z)}}{{\partial z}},\\ & {\sigma _z} = (\lambda + 2G)\frac{{\partial w(x,z)}}{{\partial z}} + \lambda \frac{{\partial u(x,z)}}{{\partial x}},\\ & {\tau _x}_z = G\left({\frac{{\partial u(x,z)}}{{\partial z}} + \frac{{\partial w(x,z)}}{{\partial x}}}\right). \end{split}} \right\}$

1）由边界条件τ_xz|z=0，结合式（3）、（4）可得

(5) ${K_2} = 0.$

将式（5）代入式（3）、（4），可得

(6) $\left. {\begin{split} & u(x,z) = \int_0^{{\rm{ + }}\infty } {\frac{1}{\alpha }} {K_1}\cos\; (\alpha z) (A + \alpha x){{\rm{e}}^{ - \alpha x}}{\rm{d}}\alpha ,\\ & w(x,z) = \int_0^{{\rm{ + }}\infty } {\frac{1}{\alpha }} {K_1}\sin \;(\alpha z)\left(A - \frac{{\lambda + 3G}}{{\lambda + G}}{\rm{ + }}\alpha x\right) {{\rm{e}}^{ - \alpha x}}{\rm{d}}\alpha , \end{split}} \right\}$

(7) $\left. {\begin{split} & {\sigma _x} \!=\! 2G\int_0^{ + \infty } \left[{1 - \alpha x} - \frac{\lambda }{{\lambda + G}} - A \right] {K_1}\cos\; (\alpha z){{\rm{e}}^{ - \alpha x}}{\rm{d}}\alpha ,\\ & {\sigma _z} \!=\! 2G\int_0^{ + \infty } \left[ - \frac{{2\lambda + 3G}}{{\lambda + G}} + \alpha x + A\right] {K_1}\cos\; (\alpha z){{\rm{e}}^{ - \alpha x}}{\rm{d}}\alpha ,\\ & {\tau _x}_z \!=\! G\int_0^{ + \infty } \left[ (1 - 2\alpha x) + \frac{{\lambda + 3G}}{{\lambda + G}} - 2A\right] {K_1}\sin\; (\alpha z){{\rm{e}}^{ - \alpha x}}{\rm{d}}\alpha . \end{split}}\right\}$

假定挡墙墙背光滑，即τ_xz|x=0，代入式（4），得到：

(8) $A = ({\lambda + 2G})/({\lambda + G}).$

为了简化后续推导计算，令K₃=K₁A，并将式（8）代入式（6），得到如下位移通解：

(9) $\left. {\begin{split} & u(x,z) = \int_0^{{\rm{ + }}\infty } {\frac{1}{\alpha }} \cos\; (\alpha z) \left(\frac{{\lambda + G}}{{\lambda + 2G}}\alpha x + 1 \right){K_3}{{\rm{e}}^{ - \alpha x}}{\rm{d}}\alpha ,\\ & w(x,z) = \int_0^{{\rm{ + }}\infty } {\frac{1}{\alpha }} \sin \;(\alpha z) \left(\frac{{ - G}}{{\lambda + 2G}}{\rm{ + }}\frac{{\lambda + G}}{{\lambda + 2G}}\alpha x \right){K_3}{{\rm{e}}^{ - \alpha x}}{\rm{d}}\alpha . \end{split}} \right\}$

2）对于刚性挡墙平移变位，边界条件有u（0，z）=−d（0≤z≤H），可以求该工况下墙后土体位移的特解.

由平移变位下的位移边界条件，有

(10) $u(0,z) = \int_0^{{\rm{ + }}\infty } {\frac{1}{\alpha }} \cos\; (\alpha z)\left(\frac{{\lambda + G}}{{\lambda + 2G}}\alpha \times 0 + 1\right){K_3}{{\rm{e}}^{ - \alpha \times 0}}{\rm{d}}\alpha = - d. $

对等式右边的−d进行Fourier余弦变换，得到

(11) $ - d{\rm{ = }} - \frac{{2d}}{{\text{π}}} \int_0^{{\rm{ + }}\infty } {\frac{{\sin\; (H\alpha )}}{\alpha }} \cos \;(\alpha z){\rm{d}}\alpha . $

结合式（10）、（11），可得

(12) ${K_3} = - \frac{{2d}}{{\text{π}} }\sin \;(H\alpha ). $

将式（12）代回通解（9），并积分，得到

(13) $\left. {\begin{split} u(x,z) =& \frac{{ - d}}{{\text{π}} }\frac{{\lambda + G}}{{\lambda + 2G}}\left[ {\frac{{(H + z)x}}{{{{(H + z)}^2} + {x^2}}} + \frac{{(H - z)x}}{{{{(H - z)}^2} + {x^2}}}} \right] - \\ & \frac{d}{{\text{π}} }\left(\arctan \; \frac{{H + z}}{x} + \arctan \; \frac{{H - z}}{x}\right),\\ w(x,z) =& \frac{{ - d(\lambda + G)}}{{{\text{π}} (\lambda + 2G)}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {{(H - z)}^2}}} - \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {{(H + z)}^2}}}} \right]+ \\ & \frac{{dG}}{{2{\text{π}} (\lambda + 2G)}}{\rm{ln}}\; \frac{{{x^2} + {{(H + z)}^2}}}{{{x^2} + {{(H - z)}^2}}}.\\[-15pt] \end{split}} \right\}$

3）观察式（13）、（7），可以发现：当x=0时，u（0，z）=−d，与挡墙平移变位边界条件一致；当z=0时，有位移w（x，0）=0，作用于地表的法向应力表达式为

(14) ${\sigma _{z\left| {z = 0} \right.}}{\rm{ = }}\frac{E}{{2(1 - {\nu^2})}}\int_0^{{\rm{ + }}\infty } {(\alpha x - 1) {K_3}{{\rm{e}}^{ - \alpha x}}{\rm{d}}\alpha} . $

将式（12）代入式（7）的第2个公式并积分，得到

(15) ${\sigma _{z\left| {z = 0} \right.}} = - \frac{E}{{1 - {\nu^2}}} \frac{{dH({H^2} - {x^2})}}{{\text{π} ({x^2} + {H^2})}}. $

事实上，作为自由边界，挡墙后的地表土体为零应力状态，因此为了满足自由边界条件，还须对地表施加等值反向的法向应力σ_z. 在z=0的地表边界施加等值反向法向应力σ_z所引起的土层水平向自由位移场的通解^[16-17]为

(16) $u'(x,z) = \int_0^{{\rm{ + }}\infty } C (1 - \frac{1}{{1 - 2\nu}}\alpha z)\sin\; (\alpha z){{\rm{e}}^{ - \alpha x}}{\rm{d}}\alpha,$

(17) $C = - \frac{{1 - 2\nu}}{{\text{π} G}}\frac{1}{\alpha }\int_0^{{\rm{ + }}\infty } \sigma_x\cos\;(\alpha x){\rm{d}}x. $

将式（17）代入式（16）并积分，可以得到反向法向应力σ_z所引起的土体水平位移分布：

(18) $\begin{split} u'(x,z) = & - \frac{{dH}}{{2\text{π} }}\frac{{1 - 2\nu}}{{1 - {\nu^2}}} \times \\ & \left\{ {\frac{x}{{{x^2} + {{(H + z)}^2}}} - \frac{{2xz}}{{1 - 2\nu}}\frac{{H + z}}{{{{\left[ {{x^2} + {{(H + z)}^2}} \right]}^2}}}} \right\}. \end{split}$

叠加式（13）、（18）即可得到在挡墙刚性平移模式下，由挡墙变位所引起的墙外总的土体水平位移场：

(19) $U(x,z) = u(x,z) + u'(x,z). $

在工程实践中挡墙的变位易受较多因素影响，如基坑支护挡墙的挠曲变形往往是基坑支护形式、支撑体系刚度、开挖深度、施工次序以及土层参数等众多因素综合作用的结果，假设实际工程中的挡墙只发生刚性平移变位偏于理想，也不切实际. 不过可以以上述挡墙刚性平移变位模式下的墙后土体水平位移解析解为基础，进一步获取柔性挡墙在其他复杂变位模式下的土体水平向位移解.

求解基本思路如下：基于微分思想，将柔性挡墙任意形式的水平挠曲变形沿挡墙墙身进行等量划分，划分后可得N个微段，若挡墙高为H，每一微段的长度m=H/N，当N足够大时，挡墙各微段的变位可以近似视为刚性平移模式，可以结合上述推导的墙后土体水平位移基本解（式（19）），分别计算各微段所引起的墙外土体水平位移并求和，即可得到整个挡墙挠曲变形引起的墙外土体水平位移.

具体求解过程分2步.

1）参考胡之锋等^[19,21]的做法，如图2、3所示，沿挡墙墙身从上至下等分为N个微段，微段长度m=H/N，并视每一微段的挠曲变形为挡墙的刚性平移变位，结合所推导的挡墙刚性变位引起的墙后土体水平位移解，即式（19），进一步推导挡墙任一微段变位所引起的墙后土体水平位移解析解. 图中，h为挡墙任意深度.

由式（19）可以计算出当深度为H_i、H_i+1时（H_i=mi、H_i+1=m（i+1）），挡墙平移所引起的墙外土体水平向位移分别为

(20) $\begin{split} {U_{i}}(x,z) =& - \frac{{f({\zeta _i})x}}{{2\text{π} (1 - \nu)}}\left[\frac{{{H_i} + z}}{{{{({H_i} + z)}^2} + {x^2}}} + \frac{{{H_i} - z}}{{{{({H_i} - z)}^2} + {x^2}}}{\rm{ + }}\right.\\ & \left.{H_{i}}\frac{{1 - 2\nu}}{{1 + \nu}}\! \left(\frac{1}{{{x^2} \!+\! {{({H_{i}} \!+\! z)}^2}}} \!-\! \frac{{2z}}{{1 \!-\! 2\nu}}\frac{{{H_{i}} \!+\! z}}{{{{\left[ {{x^2} \!+\! {{({H_{i}} \!+\! z)}^2}} \right]}^2}}}\right)\right] - \\ & \frac{{f({\zeta _i})}}{\text{π} }\left(\arctan \;\frac{{{H_i} + z}}{x} + \arctan\; \frac{{{H_i} - z}}{x}\right),\\[-15pt] \end{split}$

(21) $\begin{split} {U_{i}}_{{\rm{ + }}1}(x,z) =& - \frac{{f({\zeta _i})x}}{{2{\text{π}} (1 - \nu)}}\left[\frac{{{H_{i}}_{{\rm{ + }}1} + z}}{{{{({H_{i}}_{{\rm{ + }}1} + z)}^2} + {x^2}}} +\! \frac{{{H_{i}}_{{\rm{ + }}1} - z}}{{{{({H_{i}}_{{\rm{ + }}1} - z)}^2} + {x^2}}}{\rm{ + }}\right.\\ & {H_{i}}_{{\rm{ + }}1}\frac{{1 - 2\nu}}{{1 + \nu}} \left(\frac{1}{{{x^2} + {{({H_{i}}_{{\rm{ + }}1} + z)}^2}}} - \right. \\ & \left.\left. \frac{{2z}}{{1 - 2\nu}}\frac{{{H_{i}}_{{\rm{ + }}1} + z}}{{{{\left[ {{x^2} + {{({H_{i}}_{{\rm{ + }}1} + z)}^2}} \right]}^2}}}\right)\right] - \\ & \frac{{f({\zeta _i})}}{\text{π}}\left(\arctan\; \frac{{{H_{i}}_{{\rm{ + }}1} + z}}{x} + \arctan\; \frac{{{H_{i}}_{{\rm{ + }}1} - z}}{x}\right).\\[-15pt] \end{split}$

式中：f（ζ_i）为挡墙第i微段挠曲变位，即将该微段挡墙等效为刚性变位后的平移距离.

对式（21）、（20）作差，可以得到挡墙第i+1微段变位所引起的墙后土体水平位移：

(22) $\Delta {U_{i}}(x,z) = {U_{i}}_{{\rm{ + }}1}(x,z){\rm{ - }}{U_{i}}(x,z).$

将H_i=mi、H_i+1=m（i+1）以及式（20）、（21）代入式（22），可得

(23) $\begin{split} \Delta {U_{i}}(x,z){\rm{ = }}& - \frac{{f({\zeta _i})x}}{{2\text{π} (1 - \nu)}} {A_{i}} - \frac{{f({\zeta _i})x}}{{2\text{π} }}\frac{{1 - 2\nu}}{{1 - {\nu^2}}} {B_{i}}+ \\ & \frac{{f({\zeta _i})xz}}{{\text{π} (1 - {\nu^2})}} {C_{i}} - \frac{{f({\zeta _i})}}{\text{π} } {D_{i}}, \end{split}$

(24) $\begin{split} {A_{i}} =& \frac{{m(i + 1) + z}}{{{{(m(i + 1) + z)}^2} + {x^2}}} + \frac{{m(i + 1) - z}}{{{{(m(i + 1) - z)}^2} + {x^2}}} + \\ & \frac{{mi + z}}{{{{(mi + z)}^2} + {x^2}}} + \frac{{mi - z}}{{{{(mi - z)}^2} + {x^2}}}, \end{split}$

(25) ${B_{i}} = \frac{{m(i + 1)}}{{{{(m(i + 1) + z)}^2} + {x^2}}} - \frac{{mi}}{{{{(mi + z)}^2} + {x^2}}}, $

(26) ${C_{i}} = \frac{{{m^2}{{(i + 1)}^2} + mz(i + 1)}}{{{{[{{(m(i + 1) + z)}^2} + {x^2}]}^2}}} - \frac{{{m^2}{i^2} + miz}}{{{{[{{(mi + z)}^2} + {x^2}]}^2}}},$

(27) $\begin{split} {D_{i}} = & \arctan \;\frac{{m(i + 1) + z}}{x} + \arctan\; \frac{{m(i + 1) - z}}{x} + \\ & \arctan \;\frac{{mi + z}}{x} + \arctan\; \frac{{mi - z}}{x}. \end{split}$

2）式（23）~（27）给出挡墙第i+1微段刚性平移所引起的墙外土体水平位移ΔU_i（x，z），同理可以求出挡墙第1，2，3，···，i+1，···，N−2，N−1，N微段分别对墙外土体水平位移的贡献量，将以上各微段引起的土体水平位移叠加，即可以获得建立于挡墙刚性变位诱发土体水平位移基本解基础之上的挡墙任意变位模式下的墙后土体水平位移解：

(28) $\begin{split} &\Delta U(x,z) = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} {\Delta {U_{i}}(x,z)} {\rm{ = }} - \sum\limits_{i = 1}^{i = N} {\frac{{f({\zeta _i})x}}{{2\text{π} (1 - \nu)}} {A_{i}}} - \\ & \sum\limits_{i = 1}^{i = N} {\frac{{f({\zeta _i})x}}{{2\text{π}}}\frac{{1 - 2\nu}}{{1 - {\nu^2}}} {B_{i}}} + \sum\limits_{i = 1}^{i = N} {\frac{{f({\zeta _i})xz}}{{\text{π} (1 - {\nu^2})}} {C_{i}}} - \sum\limits_{i = 1}^{i = N} {\frac{{f({\zeta _i})}}{\text{\text{π}} } {D_{i}}} . \end{split}$

须指出的是，将式（2）代入式（13），可以看出，式（13）所包含的土体变形模量E被抵消掉，同样的，形式上由式（28）所反映的挡墙墙后土体水平位移变形仅取决于围护挡墙变位，与土体变形模量E无关. 实际上，挡墙的挠曲变形是多因素综合作用的结果，包括土性参数如土体模量、泊松比，即式（24）中的f（ζ_i）本身可以间接体现土性参数的影响，而且在解析式的形式上，式（24）也与钱建固等^[16]的表达形式一致，即均未直接反映土体模量的作用. 对于这类已知位移边界求位移场的位移-位移边值问题，Loganathan等^[22]在推导隧道开挖诱发地层自由位移场的解析式时也有类似的发现.

为了说明本研究方法的合理性与准确性，选取基坑围护结构分别发生刚性变形、柔性变形这2种典型工况下的实测案例，通过本研究所提方法的计算结果与工程实测数据间的对比，验证所提方法的准确性与适用性.

孙锴等^[23]对某泥炭土深基坑工程进行现场监测，依据实测数据分析泥炭土深基坑的变形规律以评估对周边环境的影响. 该泥炭土基坑深8 m，每2 m为一个开挖阶段，共分为4个阶段，围护结构采用排桩+锚索，排桩桩长为23 m，嵌固端为15 m. 在施工期间对围护结构水平位移、坑外土体水平位移进行重点监测. 围护桩所处土层主要为杂填土、黏土、泥炭质土、粉土等，等效泊松比ν=0.36. 选取该基坑中的监测剖面1-1进行算例验证，围护结构变形实测及现场土层分布如图4所示. 图中，s为围护结构变形，z为土层深度，D为基坑开挖深度. 为了更好地描述围护结构挠曲变形以方便后续计算，将实测挠曲拟合成6次多项式函数，拟合度R²>0.98，拟合效果较好. 2个土体水平位移监测面分别距围护结构5、10 m，不同阶段的土体位移实测数据分别如图5、6所示，限于篇幅，其他未见信息详见文献[23].

如图5、6所示分别为距围护结构距离x=5、10 m的2个断面在D=2、4、6、8 m这 4个不同开挖阶段下，土体的水平位移监测数据和本研究所提方法的计算值经归一化处理后的对比曲线. 图中，z_max为基坑最大开挖深度，S为土体水平侧移.

由图5可以看出，在变化趋势及数值上，本研究计算方法所得结果与实测值较一致，在一定程度上证明了本研究方法的合理性. 进一步对比4个不同挖深工况下的曲线对比图，可以看出，土体水平位移为近似悬臂状，从上至下位移近似呈线性递减的规律. 当z/z_max>0.4时，本研究方法所得计算值与实测值较吻合，当z/z_max<0.4时，计算值与实测值之间有偏差，且随着挖深D的逐渐增大，计算值与实测值之间的偏差越大，在土层浅部这种偏差越大，造成上述现象的原因为本研究理论解的推导基于弹性体基础，与实际土体存在一定出入. 当基坑挖深较浅，土体变形较小仍基本处于弹性状态时，土体的状态接近理论公式的成立条件，因而计算值与实测值较吻合，理论计算值同实测值较一致；随着挖深的进一步增大，围护结构发生较大变形，土体位移较大，由弹性状态逐渐向塑性态发展，而塑性是本研究理论难以考虑的，因此采用所提理论解容易出现一定的高估.

如图6所示为x=10 m时本研究计算值与实测值的对比曲线. 由图6同样可以发现：土体位移整体近似呈现悬臂状，且随着基坑挖深的进一步增大，土体水平位移进一步增大，但由于此时距基坑围护结构相对较远，和x=5 m时相比，各阶段的位移均有明显减小，x=10 m时的土体位移近似为x=5 m时的一半. 当z/z_max<0.4时，本研究方法所得计算值与实测值较吻合，当z/z_max>0.4时，计算值与实测有一定出入. 原因如前所述，随着z/z_max逐渐变小，土体由深变浅，抑或随挖深的增大，土体位移相应变大，逐渐从弹性状态向塑性状态发展，出现实测值偏小于理论计算值的情况. 综合而言，与实测值相比，本研究计算值可以基本反映土体的变形趋势，在数值上略偏大，但是在工程实践的允许误差范围内且偏于保守因而是安全的.

丁智等^[24]详细报道杭州某地铁深基坑工程，对基坑开挖过程中的地连墙深层水平位移、基坑外土体水平位移和坑外地表沉降等进行监测并对监测数据进行分析. 在地连墙埋深范围内，土层呈层状分布，较为均一稳定，以粉土、粉砂、黏土为主，ν=0.30. 如图7所示为场地的土层分布情况以及相关土体物理力学参数. 如图8所示为基坑围护结构在不同开挖深度下的挠曲变形实测曲线，可见呈典型的“鼓肚”状. 图中，u为水平位移. 为了更好地反映围护结构变形规律以便后续计算，采用6次多项式函数对实测数据进行拟合，拟合度R²>0.97，拟合效果较好. 基坑围护形式采用地连墙加5道内撑，其中第1道为砼支撑，其余4道为钢支撑，标准段的地连墙墙深H=32 m. 限于篇幅，其他未尽信息此处不再赘述. 在本研究后续计算中，选用文献[24]中的A-A标准段剖面中的挡墙CX22以及土体测斜TX9的数据来进行算例分析，CX22与TX9两测斜断面水平间距x=2 m.

如图9(a)~(c)所示分别为基坑在不同D下的土体水平位移实测数据以及本研究计算值，对比9(a)~(c)，可以看出，随着D的逐步增大，土体水平位移显著增大，且位移曲线在竖直方向上由“宽”变“窄”，在水平方向上由“短”变“长”，和图8中的围护结构的挠曲变形有着类似的变形规律. 对比本研究计算值和实测值可以进一步发现：在变化趋势上，土体水平位移实测值及本研究计算值较一致，均呈现“两头小，中间大”的抛物线状挠曲变形；对于在工程实践中较为关注的土体最大水平位移，本研究方法给出的最大位移所在深度与实测最大位移所在深度较吻合，均在z/h=0.55附近；对于最大位移，本研究计算值与实测相比，出现了一定程度的高估. 对于最大位移的偏差，原因可能如下：柔性支护结构的变形多呈现“中间大、两头小”的“鼓肚”式变形特点，坑外土体水平位移也会发生类似形态的变形，即中部深度处土体位移较大，土体最易发生塑性变形，而表层和深层土体位移较小，当中部土体开始出现塑性变形时，表层和深层土体还基本处于弹性状态，因而，对于中间部分土体的位移，本研究所得计算值高于实测值；对于底层、表层的土体位移，本研究所得计算值与实测值较一致. 综上所述，对于柔性挡墙的不同变位模式，本研究方法为能较为准确地初步预测坑外土体水平位移的简化计算法.

以3.2节柔性变形实例中D=10 m时的挡墙挠曲变形数据为基础，继续探究土体距挡墙距离不同以及土体泊松比不同情况下的土体水平变形规律.

如图10所示为在D=10 m工况下，当距围护结构水平距离x= 2、5、8、11 m时，土体水平位移计算曲线. 可以看出，在不同水平距离下，土体最大水平位移深度不变，一直保持在z/h=0.5附近；随着水平距离的增大，土体最大水平位移迅速减小，但位移的变化幅度逐渐变小，因为土体距离基坑越远，受到基坑开挖扰动的影响就越小；随着水平距离的增大，底部土体的水平位移略有增大，浅部土体的位移迅速增大，但变化幅度逐渐变小；土体位移的挠曲线整体从“窄长”型变为“宽短”型.

如图11所示为D=10 m的工况下，当泊松比v=0.30、0.35、0.40、0.45时土体水平位移的计算曲线. 随着泊松比从0.45减小到0.30，最大水平位移从12.22 mm变化到11.79 mm，变化幅度仅为3.51%，可见泊松比对土体水平位移的影响较小，且v的变化不影响土体最大水平位移所在位置，最大位移始终保持在z/h=0.5附近.

（1）借助Lame方程推导挡墙平移变位模式下墙后土体的水平位移基本解；利用微元法和叠加原理，将挡墙任意形式下的挠曲变位视作挡墙各微段均发生平移变位模式后的叠加，即对每一挡墙微段应用上述挡墙平移变位下的土体位移基本解求解墙后土体水平位移，对各微段产生的位移进行叠加即可求得挡墙任意变位模式下的墙后土体水平位移.

（2）将本研究计算方法分别应用到刚性围护、柔性围护的不同围护体系下的基坑案例中，并通过对本研究所提方法的计算值同基坑在不同开挖深度D、不同土体距离x下的实测数据进行多角度下的对比，验证本研究所提方法的准确性与适用性.

（3）进一步对比分析本研究计算值与工程实测数据发现，对于土体最大水平位移，计算值有一定程度的高估，但是误差仍在工程实践可接受范围之内，表明本研究计算方法是偏于保守也是偏于安全的.

（4）参数分析表明，泊松比对土体最大水平位移影响不大，可以基本忽略. 随着土体距围护结构距离的增大，坑外土体最大水平位移迅速减小；在土体最大水平位移深度以上存在某一临界位置，在该位置以上土体水平位移随其到围护结构距离的增大而增大，在该临界位置以下，土体水平位移随其距离的增大而减小.

（5）在本研究理论中，挡墙实测位移的获得来源于实际测量，但是由墙体位移去计算土体水平位移的过程建立于弹性理论之上，上述过程未能考虑土体的连续性和阻尼作用，这些不足之处是接下来进一步努力的方向.