浙江大学学报(工学版)

浙江大学学报(工学版), 2020, 54(5): 879-888 doi: 10.3785/j.issn.1008-973X.2020.05.005

土木工程、交通工程

基于弹性约束支承梁转角影响线的梁结构损伤诊断

周宇,, 狄生奎, 项长生, 李万润

Beam structure damage detection based on rotational-angle-influence-lines of elastic-constrained-support beam

ZHOU Yu,, DI Sheng-kui, XIANG Chang-sheng, LI Wan-run

收稿日期: 2019-08-17  

Received: 2019-08-17  

作者简介 About authors

周宇（1989—），男，讲师，博士，从事结构健康监测研究.orcid.org/0000-0003-4743-241X.E-mail：yuzhou923@outlook.com , E-mail：yuzhou923@outlook.com

摘要

针对现有桥梁结构损伤诊断研究中，对实际主梁结构的边界支承条件不理想与截面参数不确定性考虑不充分的问题，提出考虑弹性转动与竖向约束的梁结构模型，引入截面不确定系数与局部损伤来模拟既有桥梁主梁. 推导得到主梁模型转角影响线解析式，提出基于弹性约束支承梁与转角影响线指标的损伤诊断方法与加载实施方案. 结合算例，研究测点位置、损伤程度、测试噪声对损伤诊断结果的影响，提出边界等效子结构模型试验验证所提方法. 研究表明，转角影响线差值曲率能精确定位、定量弹性约束支承梁的局部损伤，在损伤程度定量试验各工况中，最大相对误差为25%. 算例表明，在5%测试噪声时，仍可以定位梁结构局部损伤，且在梁端转动约束较弱时，损伤诊断敏感性较高.

关键词： 梁结构 ; 弹性约束支承 ; 转角影响线 ; 损伤诊断 ; 子结构试验

Abstract

The consideration of non-ideal supporting boundary and uncertainty of section parameters in actual bridge structure are insufficient in the research of beam bridge structure damage identification. Thus a beam structural model considering elastic rotation and vertical restraint was proposed, and the uncertainty coefficient of section parameters and local damage were introduced to simulate the existing beam structure. The analytical expression of the rotational-angle-influence-lines of elastic-constrained-support beam and the damage identification indicator based on that were derived, and the loading implementation scheme was proposed. The influence of measuring point, damage degree and measuring noise on the damage identification was investigated combined with the simulation cases. The experiment of the boundary equivalent substructure model was carried out to verify the proposed method. Research show that the curvature of rotational-angle-influence-lines difference can be used to accurately locate the local damage and effectively calculate the degree of existing beam structural damage, and the maximum relative errors of the damage degree solution are 25%. Simulation cases show that the proposed method can locate the damage positions under the condition of 5% test noise. The susceptibility of damage diagnosis is high when the rotation constraint is weak.

Keywords： beam structure ; elastic-constrained-support ; rotational-angle-influence-line ; damage identification ; substructure experiment

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本文引用格式

周宇, 狄生奎, 项长生, 李万润. 基于弹性约束支承梁转角影响线的梁结构损伤诊断. 浙江大学学报(工学版)[J], 2020, 54(5): 879-888 doi:10.3785/j.issn.1008-973X.2020.05.005

ZHOU Yu, DI Sheng-kui, XIANG Chang-sheng, LI Wan-run. Beam structure damage detection based on rotational-angle-influence-lines of elastic-constrained-support beam. Journal of Zhejiang University(Engineering Science)[J], 2020, 54(5): 879-888 doi:10.3785/j.issn.1008-973X.2020.05.005

在工程中尚难实现理想铰接与刚接，使既有桥梁的实际边界条件与力学模型边界条件存在差异，非理想边界给实际梁桥结构的损伤分析与诊断引入偏差[1-3]. 同时，建造材料的模糊性、施工误差的随机性、截面尺寸的离散性等因素导致桥梁的初始结构模型并非理想，为精确定位定量梁桥损伤带来干扰[4-5]. 因此，有必要在考虑实际桥梁非理想边界与截面参数不确定性的基础上，开展梁结构损伤诊断.

采用影响线方法监测桥梁服役状态，可以基于少量传感器，最大程度反映结构刚度信息[6-7]，如挠度或应力影响线[8-10]方法. 张延庆等[11]考虑转动弹性约束，建立铁路桥和曲线桥模型，采用位移影响线进行桥梁损伤诊断；Chen等[12]利用应力影响线对大跨桥梁进行损伤识别，通过算例验证所提方法的可行性. 此类方法均面临挠度、应变传感器不易布设与拆卸的问题，未考虑支座基础存在弹性变形或沉降的竖向弹性支承边界，也未考虑结构模型的不确定因素. Wang等[13]考虑抗弯刚度不确定性，采用跨中位移影响线进行主梁损伤识别，利用试验验证所提方法；Zhou等[14-15]认为转角影响线便于安装测试，并考虑初始模型不确定因素，提出基于转角影响线的桥梁损伤诊断方法，上述研究均未充分考虑桥梁模型非理想支承边界的影响.

针对上述问题，基于Euler-Bernoulli梁假定，考虑主梁截面参数的不确定性，建立带转动弹性约束与竖向弹性支承边界的主梁模型，推导模型的转角影响线解析式，提出考虑弹性约束支承与结构初始参数不确定性的主梁损伤诊断方法，结合解析证明与连续梁算例分析，研究测点位置、损伤位置与程度以及测试噪声对诊断结果的影响，开展边界等效子结构的室内试验，对所提方法进行试验验证.

1. 模型的建立

基于如图1所示的研究技术路线，建立弹性约束梁模型，如图2所示. 在梁端截面上、下缘设置一对水平平行弹簧实现弹性转动约束，其中刚度均为 ${K_1}$的2根弹簧共同约束梁A截面转动，刚度均为 ${K_2}$的2根弹簧共同约束梁B截面转动. 实际梁结构的多个支座竖向刚度难以完全一致，故采用弹性支承约束梁端竖向位移，竖向弹簧刚度为 ${k_1}$、 ${k_2}$，以此模型来描述支墩、悬索、拉索或吊杆等存在竖向弹性变形且受邻跨约束转动的桥梁主梁. 影响线加载的移动集中力位置为 $x'$，局部损伤中心D至梁端距离为 $d$，损伤区长为 $2\xi $，假定任意截面转角测点C到梁A端的距离为 $c$. 在梁端设置滑动支座以忽略梁端平动与截面转动耦合，即不考虑由竖向弹性支承不均匀变形引起梁的弯曲应力. 以梁端A为例化简水平弹簧约束效应，水平弹簧内力为 $f$、伸缩量为 $\alpha $，梁端截面转角为 $\theta$、高度为 $h$、转动约束（弯矩）为 $M$，转动约束刚度为 ${K_A}$， 由内力平衡与变形近似条件，建立关系：

图 1

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图 1   基于弹性约束支承梁转角影响线的梁结构损伤诊断技术思路

Fig.1   Technical route of beam structure damage detection based on rotational-angle-influence-lines of elastic-constrained-support beam


图 2

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图 2   含局部损伤的弹性约束反承梁模型

Fig.2   Elastic-constrained-support beam model with local damage


$\left.\begin{array}{l} f = \alpha {K_1},\; M + f h = 0, \\ \tan \; \theta = 2f/(h{K_1}) \approx M/{K_A}. \end{array} \right\} $
(1)

化简得到水平弹簧刚度与转动刚度关系：

${K_A}{\rm{ = - (}}{h^2}{K_1}{\rm{)/2}}{\text{.}}$
(2)

在实测中，若A端为连续梁中支座，水平弹簧刚度 ${K_1}$、负弯矩受拉筋面积 $A_{\rm{s}}^{A}$、钢筋平均应变 $\bar \varepsilon _{\rm{s}}^{A}$与其弹性模量 $E_{\rm{s}}^{A}$存在如下关系：

$\alpha {K_1} = A_{\rm{s}}^{{A}} \bar \varepsilon _{\rm{s}}^{{A}} E_{\rm{s}}^{{A}}.$
(3)

根据梁实际受拉区钢筋面积与实测受拉钢筋平均应变、实测受拉钢筋弹性模量可以计算梁A端转动约束刚度 ${K_A}$（B端同理）：

${K_A}{\rm{ = - (}}{h^2}A_{\rm{s}}^{{A}} \bar \varepsilon _{\rm{s}}^{{A}} E_{\rm{s}}^{{A}}{\rm{)/(2\alpha)}} .$
(4)

对如图2所示的模型引入截面不确定性参数列 $\varDelta (x)$，即为具有不确定性的实际刚度与设计刚度 $EI$间偏差，当梁的任意截面出现损伤时不确定性参数退化为 $\delta (x)$. 通过移动集中力 $F = P$进行准静态影响线加载，该过程仅引起结构静态响应，本研究暂不讨论因移动加载产生的动力效应，集中力移动方向与大小不变. 在加载时，梁端弹性约束发生压缩变形，同时梁体产生弯曲变形，变形可以分解，如图3所示. 将模型转角 ${\varTheta _C}(x')$分解为刚度有限大的竖向弹簧和刚度随机的水平弹簧两部分，前者为主梁刚体位移引起的截面转角 ${\theta _{AB}}(x')$，后者为主梁自身抗弯刚度与转动约束叠加的弯曲效应引起的截面转角 ${\theta _C}(x')$.

图 3

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图 3   弹性约束支承梁的变形分解模型

Fig.3   Deformation analyze model of elastic-constrained-support beam


2. 转角影响线分析

在移动集中力影响线加载下，主梁刚体转角影响线即为 ${\theta _{{AB}}}(x')$，如图4所示. 假设梁端竖向弹性变形影响线为 ${d_A}(x')$、 ${d_B}(x')$，求得 ${\theta _{AB}}(x')$：

图 4

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图 4   主梁刚体转动示意

Fig.4   Rigid body rotational of main beam


${\theta _{AB}}(x') \approx \frac{{{d_A}(x') - {d_B}(x')}}{l} = \left(\frac{{l - x'}}{{{l^2}{k_1}}} - \frac{{x'}}{{{l^2}{k_2}}}\right)P.$
(5)

若竖向支承刚度无穷大，主梁刚体转动引起的 ${\theta _{AB}}(x')=0$；若竖向支承的弹簧刚度有限大， ${\theta _{AB}}(x')$与荷载位置 $x'$呈线性关系. 当且仅当 $x' =$ ${k_2}/\left[ {({k_1} + {k_2}) l} \right]$时，主梁均匀沉降， ${\theta _{AB}}(x')=0$. 基于力法，求解主梁截面C由转动约束叠加与自身抗弯刚度弯曲效应引起的截面转动 ${\theta _{C}}(x')$，如图5所示. 利用等效弯矩 ${M_A}$、 ${M_B}$替代梁端弹性转动约束，建立梁端转动平衡方程：

图 5

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图 5   主梁弯曲曲线

Fig.5   Bending curve of main beam


$\left.\begin{split} & {\delta _{AA}}{M_A} + {\delta _{AB}}{M_B} + {\varDelta _{AP}} = - {M_A}/{K_A} = {\theta _A}, \\ & {\delta _{BA}}{M_A} + {\delta _{BB}}{M_B} + {\varDelta _{BP}} = - {M_B}/{K_B} = {\theta _B} . \end{split} \right\}$
(6)

式中： ${\delta _{ij}}$为由 $j$处单位力引起 $i$处转角，i=A, B, 根据位移互等 ${\delta _{AB}} = {\delta _{BA}}$； ${\Delta _{iP}}$为外力 $P$在 $i$处转角.

${\delta _{ij}}$、 ${\varDelta _{iP}}$可以通过图乘法求得：

${\delta _{AA}} = \frac{l}{{3EI\varDelta (x)}} + \left[\frac{1}{{EI\delta (x)}} - \frac{1}{{EI\varDelta (x)}}\right] \left[2{\xi ^3} + 6\xi {(l - d)^2}\right]{\text{，}}$
(7)

$ \begin{split} {\delta _{BA}} = & {\delta _{AB}} = \frac{l}{{6EI\varDelta (x)}} + \left[\frac{1}{{EI\delta (x)}} - \frac{1}{{EI\varDelta (x)}}\right] \times \\ & \left[ - \frac{{2{\xi ^3}}}{{3{l^2}}} + 2\xi \left(\frac{d}{l} - \frac{{{d^2}}}{{3{l^2}}}\right)\right]. \end{split} $
(8)

${\delta _{BB}} = \frac{l}{{3EI\varDelta (x)}} + \left[\frac{1}{{EI\delta (x)}} - \frac{1}{{EI\varDelta (x)}}\right] [2{\xi ^3} + 6\xi {d^2}],$
(9)

${\varDelta _{AP}} = \frac{P}{{EI\varDelta (x)}}\left( - \frac{{{{x'}^3}}}{{6l}} + \frac{{lx'}}{6}\right) + \left[\frac{1}{{EI\delta (x)}} - \frac{1}{{EI\varDelta (x)}}\right] {\varGamma _{\rm{A}}},$
(10)

${\varDelta _{BP}} = \frac{P}{{EI\varDelta (x)}}\left(\frac{{{{x'}^3}}}{{6l}} - \frac{{{{x'}^2}}}{2} + \frac{{lx'}}{3}\right) + \left[\frac{1}{{EI\delta (x)}} - \frac{1}{{EI\varDelta (x)}}\right] {\varGamma _{\rm{B}}},$
(11)

${\varGamma _A} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {[{\xi ^3} + 6\xi {{(l - d)}^2}]x'P/3{l^2}},&{x' \in [0,\;d - \xi }); \\ P{{x'}^3}/(6l) - P{{x'}^2}{\rm{/2 + }}2P{(d - \xi )^3}/(3l) - P{(d - \xi )^2}/2 + \\ \qquad [2P{\xi ^3}/{(3l^2)} - P{\xi ^2}/(2l) + (3Pdl + 2P{d^2} + P{l^2}) \xi /{l^2} + Pd - P{d^2}/(2l)] x', &{x' \in [d - \xi ,\;d + \xi ];} \\ {[2P/(3{l^2}{\xi ^3}) - 2{d^2}/({l^2}\xi) - 2d/(l\xi)] (x' - l),}&{x' \in ( d + \xi ,\;l].} \end{array}} \right.$
(12)

${\varGamma _B} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{[}}2P{\xi ^3}/(3{l^2}) + (2Pd/l - 2P{d^2}/{l^2}) \xi ] x'},&{x' \in [0,\;d - \xi );} \\ [ - 2P{\xi ^3}/(3{l^2}) + P{\xi ^2}/(2l) + (Pd/6 - 2P{d^2}/{l^2}) \xi + P{d^2}/(2l)] x'- \\ \qquad P{{x'}^3}/(6l) - P{(d - \xi )^3}/(3l), &{x' \in [d - \xi ,\;d + \xi ];} \\ { - (2P/(3{l^2} {\xi ^3}) + 2P{d^2} \xi /{l^2}) (x' + l)},&{x' \in ( d + \xi ,\;l].} \end{array}} \right.$
(13)

将式(7)~(11)代入式(6)，求等效弯矩 ${M_A}$、 ${M_B}$：

${M_A}(x') = \frac{{{K_A}{\varDelta _{AP}} + {K_A}{K_B}({\delta _{BB}}{\varDelta _{AP}} - {\delta _{AB}}{\varDelta _{BP}})}}{{{K_A}{K_B}\delta _{AB}^2 - ({K_A}{\delta _{AA}} + 1)({K_B}{\delta _{BB}} + 1)}},$
(14)

${M_B}(x') = \frac{{{K_B}{\varDelta _{BP}} + {K_A}{K_B}({\delta _{AA}}{\varDelta _{BP}} - {\delta _{AB}}{\varDelta _{AP}})}}{{{K_A}{K_B}\delta _{AB}^2 - ({K_A}{\delta _{AA}} + 1)({K_B}{\delta _{BB}} + 1)}}.$
(15)

由式(7)~(11)、(14)、(15)可知， ${M_A}(x')$、 ${M_B}(x')$分母中不含位置参量 $x'$，分子中 $x'$次数与 ${\Delta _{iP}}$一致. 将 ${M_A}(x')$、 ${M_B}(x')$作为已知量代入，建立任意截面弯矩影响线解析式 $M(x)$， $M(x)$同集中力位置 $x'$关系与 ${M_A}(x')$、 ${M_B}(x')$同 $x'$关系一致.

建立虚拟梁模型，如图6所示，图乘法求模型C截面转角.

图 6

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图 6   主梁受弯简化示意

Fig.6   Simplification of beam bending


$ M(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {[(l - x){M_A} + x{M_B} + P(l - x')x]/l,\;x \in [0,x') ;}\\ {[(l - x){M_A} + x{M_B} + P(l - x)x']/l,\;x \in [x',l].} \end{array}} \right.\; $
(16)

$ \overline M{\rm{(}}x{\rm{) = }}\left\{ \begin{array}{l} - (x/l),\;x \in \left[ {0,c} \right);\\ (l - x)/l,\;x \in \left[ {c,l} \right]. \end{array} \right. $
(17)

式中： $\overline M(x) $为虚拟单位弯矩.

建立虚拟梁模型各点弯矩表达式（式(17)）. 将式(16)、(17)图乘，求截面C转角影响线表达式.

当 $x' \in [0, \ c )$时，

$\begin{split} & {\theta _C}(x') = \\ & \frac{1}{{EI\varDelta (x)}}\left\{ \int_0^{x'} {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x')x}}{l}\right] \frac{{ - x}}{l}} {\rm{d}}x + \right. \\ & \int_{x'}^c {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x)x'}}{l}\right] \frac{{ - x}}{l}} {\rm{d}}x + \\ & \int_c^{d - \xi } {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x)x'}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x + \\ & \left. \int_{d + \xi }^l {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x)x'}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x \right\} + \\ & \frac{1}{{EI\delta (x)}}\int_{d - \xi }^{d + \xi } {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x)x'}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x . \end{split} $
(18)

当 $x' \in [c, \ d - \xi )$时，

$\begin{split} & {\theta _C}(x') =\\ & \frac{1}{{EI\varDelta (x)}}\left\{ \int_0^c {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x')x}}{l}\right] \frac{{ - x}}{l}} {\rm{d}}x + \right. \\ & \int_c^{x'} {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x')x}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x + \\ & \int_{x'}^{d - \xi } {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x)x'}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x + \\ & \left. \int_{d + \xi }^l {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x)x'}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x \right\} + \\ & \frac{1}{{EI\delta (x)}}\int_{d - \xi }^{d + \xi } {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x)x'}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x. \end{split} $
(19)

当 $x' \in [d - \xi , \ d + \xi ]$时，

$\begin{split} & {\theta _C}(x') = \\ & \frac{1}{{EI\varDelta (x)}}\left\{ \int_0^c {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x')x}}{l}\right] \frac{{ - x}}{l}} {\rm{d}}x + \right. \\ & \int_c^{d - \xi } {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x')x}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x + \\ & \left. \int_{d + \xi }^l {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x)x'}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x \right\} + \\ & \frac{1}{{EI\delta (x)}}\Bigg\{ \int_{d - \xi }^{x'} {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x')x}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x + \\ & \int_{x'}^{d + \xi } {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x)x'}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x\Bigg\}. \\[-15pt] \end{split} $
(20)

当 $x' \in (d + \xi ,l]$时，

$\begin{split} & {\theta _C}(x') = \\ & \frac{1}{{EI\varDelta (x)}}\left\{ \int_0^c {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x')x}}{l}\right] \frac{{ - x}}{l}} {\rm{d}}x + \right. \\ & \int_c^{d - \xi } {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x')x}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x + \\ & \int_{d + \xi }^{x'} {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x')x}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x + \\ & \left. \int_{x'}^l {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x)x'}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x \right\} + \\ & \frac{1}{{EI\delta (x)}}\int_{d - \xi }^{d + \xi } {\left[\frac{{l - x}}{l}{M_A} + \frac{x}{l}{M_B} + \frac{{P(l - x')x}}{l}\right] \frac{{l - x}}{l}} {\rm{d}}x . \end{split} $
(21)

由于 ${\theta }_C(x')$表达式中 ${M_A}(x')$、 ${M_B}(x')$为分段函数，转角影响线亦为分段函数，限于篇幅，此处不再展开. 将分段函数（式(18)~(21)）分别与式(5)叠加，可以得到弹性约束支承梁的转角影响线解析表达：

$\begin{split} {\varTheta _C}(x') = & {\theta _C}(x') + {\theta _{AB}}(x') = \\ & {\theta _C}(x') + \left(\frac{{l - x'}}{{{l^2}{k_1}}} - \frac{{x'}}{{{l^2}{k_2}}}\right)P. \end{split}$
(22)

3. 损伤诊断方法

分析损伤前、后 ${\varTheta _C}(x')$，建立任意测试截面C在损伤前、后的转角影响线差值（rotational-angle influence lines difference, RILD）：

$\begin{split} {\rm{RILD = }} & \left[\frac{{2\delta (x){\rm{ - 2}}\varDelta (x)}}{{EI\varDelta (x)\delta (x){l^2}}}\right]\Big[({M_A} + Px') \times \\ & \left({{{\xi ^3}}}/{3} + {d^2}\xi - 2ld\xi + {l^2}\xi \right) + \\ & \left. {M_B}\left(ld\xi - {d^2}\xi - {{{\xi ^3}}}/{3}\right)\right] ;\; {x' \in [0,\;d - \xi ],} \end{split} $
(23)

$\begin{split} & \begin{split}{\rm{RILD = }} & \left[\frac{1}{{EI\varDelta (x)}} - \frac{1}{{EI\delta (x)}}\right]\left[\frac{P}{l}(\frac{1}{6}{{x'}^3} - \frac{l}{2}{{x'}^2})\right] + \\ & \left[\frac{1}{{EI\varDelta (x)}} - \frac{1}{{EI\delta (x)}}\right] \left\{ \frac{1}{{{l^2}}}\left[{\xi ^3}\left(\frac{{2Px'}}{3} - \frac{{Pl}}{3}\right) + \right.\right. \\ & {\xi ^2}\left(Pld - \frac{{Plx'}}{2} - \frac{{P{l^2}}}{2}\right) + \\ & \xi {\rm{(2}}P{d^2}x' - Pl{d^2}{\rm{ - 3}}Pldx' + P{l^2}d + P{l^2}x'{\rm{)}} ] + \\ & \left. \left(\frac{{Pl{d^3}}}{3} + \frac{{3Pl{d^2}x'}}{2} - \frac{{P{l^2}{d^2}}}{2} + P{l^2}dx'\right)\right\} ; \end{split} \\ & \qquad\qquad {x' \in [d - \xi ,d + \xi ],} \end{split}$
(24)

$\begin{split} & \begin{split}{\rm{RILD = }} & \left[\frac{{2\delta (x){\rm{ - 2}}\varDelta (x)}}{{EI\varDelta (x)\delta (x)}}\right]\left[\frac{{{M_A}}}{{{l^2}}}\left({{{\xi ^3}}}/{3} + {d^2}\xi - 2ld\xi + {l^2}\xi \right) + \right. \\ & \left. ({M_B} + Pl - Px')\left(ld\xi - {d^2}\xi - {{{\xi ^3}}}/{3}\right)/{l^2}\right]; \end{split} \\ &\qquad\qquad {x' \in [d + \xi ,\;l]} \\[-15pt] \end{split}$
(25)

分析式(23)~(25)可知，损伤前、后的 $\varTheta (x')$、 ${M_A}(x')$、 ${M_B}(x')$曲线均为移动荷载位置量 $x'$（自变量）的函数，将式(23)、(25)中的 ${M_A}$、 ${M_B}$分段函数展开分析，得到：

${\rm{RILD = }}x' \left[\frac{{2\delta (x){\rm{ - 2}}\varDelta (x)}}{{EI\varDelta (x)\delta (x)}}\right] U(P,l,d,\xi {\rm{);}}\;x' \in [0,\;d - \xi ],$
(26)

${\rm{RILD}} = x' \left[\frac{{2\delta (x){\rm{ - 2}}\varDelta (x)}}{{EI\varDelta (x)\delta (x)}}\right] V(P,l,d,\xi {\rm{);}}\;\;x' \in [d{\rm{ + }}\xi ,\;l].$
(27)

式中： ${U(}P,l,d,\xi {\rm{)}}$、 ${V(}P,l,d,\xi {\rm{)}}$为以参数 $P$、 $l$、 $d$、 $\xi $为自变量的参考式. 当移动荷载位于损伤区域外，移动力位置变量 $x'$的高次项被约去，RILD为 $x'$的一次函数，在式(24)中，转角影响线差值为 $x'$的3次函数，所得结论与参考文献[11]、[14]一致.

提出基于弹性约束支承梁的转角影响线差曲率（rotational-angle influence lines difference curvature, RILDC）的损伤诊断指标：

${\rm{RILDC}} = 0;\;x' \in [0,d - \xi ] \cup [d{\rm{ + }}\xi ,\;l],$
(28)

$\begin{split} {\rm{RILDC}} = & \left[\frac{1}{{EI\varDelta (x)}}{\rm{ - }}\frac{1}{{EI\delta (x)}}\right]\left[\frac{P}{l}(x'{\rm{ - }}l)\right];\\ & x' \in [d - \xi ,d + \xi ]. \end{split}$
(29)

根据式(28)~(29)，当移动集中力位于损伤区外时，转角影响线差曲率为零；当移动集中力进入损伤区内时，转角影响线差曲率不为零，利用这一解析特征可以精确定位梁损伤位置. 当截面抗弯刚度确定时，即 $EI\varDelta (x)$已知，根据实测转角影响线差曲率，可以利用式(29)求截面抗弯刚度退化程度，定义残余抗弯刚度率(EI residual，EIR)，并定义损伤程度(damage extent，DE)：

${\rm{EIR}} = \frac{{\delta (x)}}{{\varDelta (x)}} = \frac{{(x' - l)P}}{{(x' - l)P - \operatorname{RILDC} \times l EI\varDelta (x)}},$
(30)

${\rm{DE}} = \frac{{{\rm{RILDC}} \times EI\varDelta (x) l}}{{{\rm{RILDC}} \times EI\varDelta (x) l - P(x' - l)}}.$
(31)

4. 用于梁桥损伤的诊断实施方案

针对梁桥影响线测试中难以施加单轴集中荷载的问题，提出基于移动荷载叠减的3步加载方案，用于在短暂中断交通时快速诊断梁桥损伤.

1）选择2辆轴距相同且前后轴重比不同的两轴加载车. 每车前后、轴可以简化为相对位置相同、数值大小不同的集中力. 须注意，实际加载荷载效率既要考虑给与结构有效激励，又要考虑桥梁潜在损伤状况，限于本研究篇幅，在此不做深入研究.

2）利用两车分别对桥梁进行准静态影响线加载，要求2次影响线加载的桥梁虚拟加载节点相同，可以通过控制加载车辆移动速度一致实现，提取并记录2次转角响应数据.

3）求两车前轴等效集中力 ${F_{{\rm{f1}}}}$、 ${F_{{\rm{f2}}}}$的最小公倍数A1、A2，将两车后轴等效集中力进行相应倍率放大后作差， $\left| {{A_1}{F_{{\rm{f1}}}} - {A_2}{F_{{\rm{f2}}}}} \right|$即为等效加载集中力. 将2次测得的转角数据 ${R_{{\rm{il1}}}}$、 ${R_{{\rm{il2}}}}$同倍率放大后作差，得对应集中力加载下的转角响应 $| {{A_{\rm{1}}} {R_{{\rm{il1}}}} - }$ ${A_{\rm{2}}{R_{{\rm{il2}}}}} | $，可以用于诊断桥梁损伤.

5. 算例验证

5.1. 算例与损伤工况

某三跨连续梁桥为3.0 m×40.0 m，设主梁单元长为0.5 m. 各跨每10.0 m布置一道横隔梁，支点处横隔梁截面为2.0 m×0.3 m，其余横隔梁截面为2.0 m×0.2 m，桥面铺装厚度为0.2 m. 主梁采用C50(E=3.45×107 kN/m2)混凝土，截面如图7所示，桥面板与横隔梁均采用C40(E=3.25×107 kN/m2)混凝土. 算例引入截面不确定性参数 $\varDelta (x)$，Δ(x)为[0.95,1.05]内服从截尾高斯分布的随机数列[15]，将不确定性参数 $\varDelta (x)$与理想截面弹性模量相乘得到算例单元截面弹性模量. 模型设置9个GPZ(Ⅱ)8DX型盆式橡胶支座实现竖向弹性支承，通过一般弹性连接模拟，屈服位移取0.003 m，假定支座竖向刚度一致，用自重作用下支座反力计算支座竖向刚度 $ {k_1} =$ $ {k_2}{\rm{ = 5}} \times {\rm{1}}{{\rm{0}}^5}\;{\rm{ kN/m}}$.

图 7

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图 7   连续梁桥截面尺寸

Fig.7   Section size of continuous beam bridge


通过2 942 kN的移动集中力进行影响线加载，设241个移动加载步，加载步间距为0.5 m，作用在中梁节点上. 算例损伤工况如表1所示，测点与局部位置见图8. 算例不考虑结构材料或边界非线性特征，所加集中荷载仅为获取较显著的转角响应用于构建诊断指标.

表 1   算例损伤工况及测点布置

Tab.1  Damage case and layout of measuring points of example

损伤工况 损伤位置 DE 测点位置 分析结果
Ⅰ G 5%、10%、20%、30% α 图9(a)
Ⅱ E 5%、10%、20%、30% α 图9(b)
Ⅲ F 5%、10%、20%、30% α 图9(c)
Ⅳ E、F 5%、10%、20%、30% α 图9(d)
Ⅴ E 30% α、α'、α'' 图10(a)
Ⅵ E 30% α、β、γ 图10(b)
Ⅶ E 30%（噪声强度水平1%、3%、5%） α’ 图11(a)
Ⅷ E 5%、10%、20%（噪声强度水平5%） α’ 图11(b)

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图 8

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图 8   算例损伤位置与测点位置

Fig.8   Damage and measuring positions of example


工况Ⅰ、Ⅱ考查RILDC对测点所在跨及其邻跨损伤诊断效果；工况Ⅲ检验RILDC对支座损伤诊断效果；工况Ⅳ验证RILDC诊断两点损伤有效性；工况Ⅴ、Ⅵ研究测点位置对损伤诊断结果的影响. 表1中损伤位置E、F、G与各工况测点位置如图8所示. 通过降低单元弹性模量模拟损伤，损伤程度用弹模下降百分比表示，局部损伤沿梁轴长为0.5 m，损伤单元截面尺寸与质量不变.

引入含噪声工况Ⅶ、Ⅷ检验RILDC的抗噪性，噪声以误差方式引入[15]：

$\varTheta _{{\rm{u}}i}^{\rm{N}} = {\varTheta _{{\rm{u}}i}} \;[1 + \mu {\rm{RAND}}\;( - 1,1)],$
(32)

$\varTheta _{{\rm{d}}i}^{\rm{N}} = {\varTheta _{{\rm{d}}i}} \;[1 + \mu {\rm{RAND}}\;( - 1,1)],$
(33)

$\varTheta _{\rm{u}}^{\rm{N}} = [\varTheta _{{\rm{u}}1}^{\rm{N}},\; \cdot \cdot \cdot,\; \varTheta _{{\rm{u}}i}^{\rm{N}} ,\;\cdot \cdot \cdot,\; \varTheta _{{\rm{u}}n}^{\rm{N}}],$
(34)

$\varTheta _{\rm{d}}^{\rm{N}} = [\varTheta _{{\rm{d1}}}^{\rm{N}},\; \cdot \cdot \cdot ,\; \varTheta _{{\rm{d}}i}^{\rm{N}} ,\; \cdot \cdot \cdot ,\; \varTheta _{{\rm{d}}n}^{\rm{N}}].$
(35)

式中：上标N表示含噪声信息，下标u表示损伤前，下标d表示损伤后，RAND (−1,1)为服从标准正态分布的随机数，μ为噪声强度水平.

5.2. 损伤诊断结果

对连续梁桥进行移动集中力加载并提取损伤前、后测点的转角影响线，利用MATLAB求解得到损伤诊断曲线，以加载步Si作为横坐标物理变量，以RILDC计算值VRILDC作为纵坐标物理变量，绘制诊断结果，如图9~11所示.

图 9

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图 9   工况Ⅰ~Ⅳ损伤诊断结果

Fig.9   Damage detection result of Case Ⅰ to Case Ⅳ


图 10

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图 10   不同测点的诊断结果

Fig.10   Detection results of different measurement locations


图 11

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图 11   含噪声损伤诊断工况

Fig.11   Damage detection results of noise cases


由图9(a)~(d)可以看出，RILDC可以准确定位损伤，同时诊断曲线可以定性损伤程度，诊断结果与损伤工况较吻合. 通过滑动平均方法处理转角影响线数据，以消除算例中转角影响线数据在连续梁桥支座附近出现的震荡，但是同时会引起如图9所示非损伤区域RILDC曲线均不为零的现象.

对比工况Ⅰ、Ⅱ诊断曲线，在相同程度损伤下，由于连续梁边支座转动约束刚度小于中跨，中跨损伤曲线幅值小于边跨. 可以看出，当梁端转动约束较弱时，RILDC的损伤诊断敏感性更好. 在截面初始抗弯刚度确定时，利用截面参数与工况Ⅰ中损伤30%的RILDC峰值，根据式（31）计算损伤程度，如表2所示. 损伤程度诊断相对误差为5.27%，表明根据RILDC计算损伤程度是可行的.

表 2   G点损伤程度的计算值

Tab.2  Calculated result of DE at G-Point

RILDC $EI$/(kN·m−2) $P$/kN $l$/m $x'$/m DE
计算值/% 模拟值/% 相对误差/%
2.441 4×10−8 2. 392 3×1010 2 942 40 20 28.42 30.00 5.27

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由图10(a)中诊断结果可以看出，测点到局部损伤距离越小，RILDC曲线损伤处峰值越大. 本研究方法对连续梁桥某跨进行转角测试可以实现诊断邻跨损伤. 由图10(b)可以看出，RILDC可以诊断测点所在邻跨损伤，通过测点β与γ响应计算得到的相邻梁体局部损伤程度均值为27.53%，相对误差为8.23%.

由抗噪性验证（见图11(a)）可知，测试噪声导致损伤程度诊断结果偏大，但对诊断损伤发生位置影响较小，当噪声强度水平为5%时，RILDC仍可以较好地诊断连续梁桥损伤位置. 由图11(b)中工况Ⅷ可知，当噪声强度水平为5%时，RILDC仍可以有效识别10%程度损伤发生的位置，表明指标抗噪性较好.

6. 试验验证

6.1. 试验准备及损伤工况

为了实现弹性约束支承，设计考虑边界等效子结构的试验模型，用于验证所提方法. 在梁悬臂外端进行等效配重，实现与三等跨连续梁中跨变形的等效状态. 配重悬挂用来等效连续梁中跨支座的负弯矩效应，模型实现思路如图12所示. 在简支支座下安装弹簧支承系统，如图13所示. 试件为2根钢扁梁：梁A、梁B. 试件梁因取材、加工引入的材料离散性与尺寸随机性，作为结构初始不确定性参数. 沿梁轴线绘制刻度以定位移动力，试验加载采用滚轴加载，集中力为299.8 N. 模型及安装如图14所示. 等效配重通过支座负弯矩影响线离散数据除以配重点与相邻支座支点间力臂距离得到，移动荷载每前进一加载步，梁两端进行一次配重调整，如此往复至加载完成. 配重影响线如图15所示. 图中，M为两端配重质量.

图 12

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图 12   子结构试验模型的实现方法与建模思路

Fig.12   Implementation approach and modeling principle of substructure test model


图 13

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图 13   竖向弹性支座设计图与倾角传感器安装

Fig.13   Vertical-elastic bearing design and sensor installation


图 14

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图 14   试验梁模型及配重安装

Fig.14   Model of test beam and installation of counter weight


图 15

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图 15   配重称量的影响线

Fig.15   Influence line of counterweight


试件采用Q500低合金高强钢，截面尺寸为100 mm×8 mm，试件尺寸与3种损伤工况如图16所示，加载过程与损伤切口如图17所示. 在支座上方布置倾角仪采集转角响应，倾角仪采用BWS2500超高精度双轴倾角传感器，该传感器在±5°内精度为0.001°，分辨力为0.000 5°，采样频率为100 Hz. 在1/2、1/4、3/4跨截面布设位移计监控模型变形，以保证安全加载. 测得试件角料弹性模量约为1.989×105 N/mm2.

图 16

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图 16   损伤诊断试验工况

Fig.16   Cases of damage detection experiment


图 17

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图 17   滚轴加载过程与模型局部损伤

Fig.17   Loading process of roller and local damage of model


6.2. 损伤诊断试验研究

对3个损伤工况进行诊断试验研究. 试验提取无损A、B梁端的转角响应，经滑动平均后得到无损模型转角影响线基准曲线（baseline），如图18所示. 图中，θA、θB分别为梁A、B端的实测转角响应.

图 18

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图 18   无损模型的转角响应基准曲线

Fig.18   RAIL baseline of undamaged model


提取A、B试验梁转角影响线响应，经滑动平均得到平滑曲线，如图19所示，求解各损伤工况下RILDC. 受测试噪声影响，指标曲线存在波动，但不难发现，RILDC可以定位损伤，根据损伤工况2结果，RILDC可以定性损伤程度. 损伤工况3结果表明，RILDC对诊断测点附件局部损伤敏感性更高. 通过式（31）计算损伤工况1切口处损伤程度为37.5%，相对误差约为25%.

图 19

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图 19   基于RILDC的损伤诊断试验结果

Fig.19   Experiment results of damage detection based on RILDC


7. 结　论

（1）提出弹性约束支承梁的力学模型，推导得到其转角影响线解析表达式，开展边界等效子结构的模型试验.

（2）基于弹性约束支承梁转角影响线可以有效定位、定量梁结构损伤，相比解析解，算例和试验的损伤程度诊断相对误差分别为5.27%、25.00%，指标的抗噪性较好；基于转角影响线指标，可以诊断连续梁桥得测点所在邻跨的损伤，且当梁端转动约束较弱时，损伤诊断敏感性较高.

（3）基于转角影响线的损伤诊断方法，可以解决基于挠度与应变影响线的损伤诊断应用中面临的传感器不易安装问题. 本研究所提出的诊断实施方案可以实现梁桥损伤的快速诊断，为既有梁桥的转角影响线分析与损伤快速诊断实施提供借鉴与参考.

（4）实际桥梁为多个单梁联合受力的复杂空间结构，所提方法在桥梁实际损伤识别中的应用效果有待进一步研究.

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