近年来，有关桩基低应变动力响应的理论研究已经相对完善，且在实际工程领域得到了进一步的验证与应用. 与此同时，随着桩基测试手段的不断丰富，旁孔透射波法^[1-2]等测试方法也得到了越来越多的关注. 旁孔透射波法通过在测桩径向一定范围内打设平行测孔，将传感器置于满水测孔的不同深度位置，利用激振测桩并收集传感器响应来推测桩身缺陷或桩周土成层情况. 可见，该方法需要对桩周土的波动响应规律进行研究. 目前，围绕旁孔透射波的测试理论及桩周土波动响应规律已经取得了一定成果.

Liao等^[3]通过Snell定律提出了通过2条拟合直线交点来推算桩基深度的方法. 黄大治等^[4]建立了桩–土体系的三维有限元模型，并对该方法在水泥搅拌桩中的应用进行了分析. 陈龙珠等^[5]建立了均匀地基下，首至P波传播路径的简化模型，并由此对既有桩基深度的评价方法进行修正. 杜烨等^[6]通过有限元模拟分析，进一步验证了文献[5]所提出的简化理论模型的合理性. 笔者等^[7-8]通过建立弹性支承桩–桩周土、缺陷桩–成层土耦合振动计算模型，考虑桩周土三维振动效应，得到了桩周土波动响应解析解. 文献[7]和[8]中桩周土模型采用离散成层的方式，桩周土层间作用采用均布的Kelvin-Voigt体进行等效模拟，而文献[8]指出该离散化模型并不能很好地处理层间的应力集中或重新分布等问题. 此外，对于桩底以下深度土响应问题的研究，虽然可以借助王奎华等^[9-10]提出的虚土桩模型对上述模型进行拓展^[11-12]，但是仍需要对桩底所在深度的周围土层进行离散化处理，且虚土桩模型周围土的振动响应结果是否符合实际仍未可知. 因此，本文提出一种能直观反映桩周土动态响应的半无限空间连续模型，以实现同时对完整桩周围及桩底以下的土进行分析.

同时，考虑到现有桩基低应变动力响应理论已经较为成熟，与现场测试结果拟合较好^[13-18]；且实际工程中桩–土模量比很大，分析半无限空间土模型在既有桩基振动理论下的受迫响应，可以避免复杂的桩–土耦合振动分析，从而大大简化解析求解过程和编程计算量. 王奎华等^[19]已经对桩周土采用平面应变模型和考虑三维效应模型下的桩顶激振响应结果进行了对比研究，发现其结果差异并不显著；在此基础上对桩身各深度响应进行比较，其结果仍吻合较好^[20].

基于上述，本文提出一类基于桩基动态响应理论的半无限空间土受迫振动反演模型：即根据现有理论模型将桩身振动响应结果视作已知，以桩–土界面位移连续条件作为半无限空间场地低应变动态响应问题的求解边界，得到完整桩竖向振动下的桩周土动态响应解析结果.

提出一类基于桩基动态响应理论的桩周土耦合振动反演模型. 根据本研究工况，即完整桩纵向振动下的周围土动态响应，将桩–土模型分解为以下2种模型.

1）完整桩竖向激振响应模型. 其中桩周土、桩底土分别根据现有理论模型被概化为平面应变模型^[21]、均布支承阻抗；

2）桩周土半无限空间连续体动力响应模型. 其中考虑到桩身所在区域对桩周土动力响应的惯性力作用，引入该区域内的附加体力函数 $B\left( z \right)$及桩底位置附加均布面力函数 $F\left( h \right)$. 其中， $z $为深度 $h$为桩长.

具体而言，由于本文完整桩动力响应分析采用一维杆模型，桩周土中桩身区域的附加函数均仅与深度 $z$有关. 上述桩、土模型示意如图1所示. 其中， ${k_{\rm{s}}}$为桩周土平面应变模型对单位桩长侧壁的摩阻力值； ${Z_0}$为桩底下卧层土等效支承阻抗. 为了建立桩、土模型间的耦合关系，需要引入以下假设：桩、土模型均满足低应变测试条件，且桩–土界面两侧位移连续.

根据计算模型（见图1（a）），将完整桩纵向受迫振动的定解问题作Laplace变换至复数域内，得到控制方程：

(1) ${E_{\rm{p}}}{A_{\rm{p}}}\frac{{{{\rm{d}}^2}{U_{\rm{p}}}}}{{{\rm{d}}{z^2}}} - {C_0}{k_{\rm{s}}} \cdot {U_{\rm{p}}} = {s^2}{\rho _{\rm{p}}}{A_{\rm{p}}}{U_{\rm{p}}},$

(2) ${k_{\rm{s}}} = \left( {1 + {\rm{i}}{D_{\rm{s}}}} \right){G_{\rm{s}}} \cdot \frac{s}{{{v_{\rm{s}}}}} \cdot {{{K_1}\left( {\frac{s}{{{v_{\rm{s}}}}}{r_0}} \right)} \Bigg/ {{K_0}\left( {\frac{s}{{{v_{\rm{s}}}}}{r_0}} \right)}}.$

式中： ${U_{\rm{p}}} = L\left[ {{u_{\rm{p}}}\left( {z,t} \right)} \right]$为桩身质点竖向位移响应 ${u_{\rm{p}}}\left( {z,t} \right)$的Laplace变换； ${E_{\rm{p}}}$、 ${\rho _{\rm{p}}}$、 ${A_{\rm{p}}}$、 ${C_0}$、 ${r_0}$分别为桩身弹性模量、材料密度、截面积、截面周长及半径； $s$为复变量； ${C_{\rm{s}}} = \sqrt {{{{G_{\rm{s}}}}/ {{\rho _{\rm{s}}}}}} $分别为桩周土材料剪切波速，其中，G_s为剪切模量，ρ_s为密度； ${D_{\rm{s}}}$为桩周土材料滞回阻尼； ${v_{\rm{s}}} = {C_{\rm{s}}}\sqrt {1 + {\rm{i}}{D_{\rm{s}}}} $为考虑材料阻尼修正的剪切波速； ${\rm{i}} = \sqrt { - 1} $为虚数单位； ${K_0}\left( \cdot \right)$、 ${K_1}\left( \cdot \right)$分别为零阶、一阶第二类修正Bessel函数.

对式（1）进行整理，可以得到其通解形式，有

(3) ${U_{\rm{p}}} = m\cos\; \left( {\frac{{{\lambda _{\rm{p}}}}}{{{C_{\rm{p}}}}}z} \right) + n\sin \;\left( {\frac{{{\lambda _{\rm{p}}}}}{{{C_{\rm{p}}}}}z} \right),$

(4) ${\lambda _{\rm{p}}} = {\left[ { - \left( {{s^2} + \frac{{{C_0}}}{{{\rho _{\rm{p}}}{A_{\rm{p}}}}}{k_{\rm{s}}}} \right)} \right]^{{1/ 2}}}.$

式中： $m$、 $n$为待定系数； ${C_{\rm{p}}} = \sqrt {{{{E_{\rm{p}}}} / {{\rho _{\rm{p}}}}}} $为桩身一维弹性波波速.

考虑桩顶边界条件：

(5) ${\left. {{E_{\rm{p}}}\frac{{\partial {U_{\rm{p}}}}}{{\partial z}}} \right|_{z = 0}} = - \frac{{Q\left( s \right)}}{{{A_{\rm{p}}}}}.$

式中： $Q\left( s \right) = L\left[ {q\left( t \right)} \right]$为桩顶激振荷载 $q\left( t \right)$的Laplace变换. 将通解式（式（3）和（4））代入式（5），可得

(6) $n = - \frac{1}{{{Z_{\rm{p}}}{\lambda _{\rm{p}}}}} \cdot Q\left( s \right).$

式中： ${Z_{\rm{p}}}$为桩身截面声阻抗.

同样地，考虑桩底边界条件：

(7) ${\left. {{E_{\rm{p}}}\frac{{\partial {U_{\rm{p}}}}}{{\partial z}} + {Z_0} \cdot {U_{\rm{p}}}} \right|_{z = h}} = 0.$

根据Randolph^[22]建议值，此处令

(8) ${Z_0} = \frac{{4{G_{\rm{s}}}}}{{{\text{π}} \left( {1 - {\upsilon _{\rm{s}}}} \right){r_0}}} + \frac{{3.2{G_{\rm{s}}}}}{{{\text{π}}\left( {1 - {\upsilon _{\rm{s}}}} \right){C_{\rm{s}}}}} \cdot {\rm{i}}.$

式中： ${\upsilon _{\rm{s}}}$为桩周土材料泊松比. 将通解式（式（3）和（4））代入式（7），可以解得

(9) $m = \frac{{{E_{\rm{p}}}\dfrac{{{\lambda _{\rm{p}}}}}{{{C_{\rm{p}}}}}\cos\; \left( {\dfrac{{{\lambda _{\rm{p}}}}}{{{C_{\rm{p}}}}}h} \right) + {Z_0}\sin\; \left( {\dfrac{{{\lambda _{\rm{p}}}}}{{{C_{\rm{p}}}}}h} \right)}}{{{E_{\rm{p}}}\dfrac{{{\lambda _{\rm{p}}}}}{{{C_{\rm{p}}}}}\sin\; \left( {\dfrac{{{\lambda _{\rm{p}}}}}{{{C_{\rm{p}}}}}h} \right) - {Z_0}\cos \;\left( {\dfrac{{{\lambda _{\rm{p}}}}}{{{C_{\rm{p}}}}}h} \right)}}n.$

将式（6）、（9）代回通解式（式（3）和（4）），即可以得到完整桩纵向受迫振动问题的完整解析表达.

为了对计算模型图1（b）中的问题进行解析求解，首先对半无限空间场地内圆形均布荷载激振响应问题进行讨论. 根据桩周土内部作用深度为 $\kappa $的圆形均布荷载，将半无限空间场地划分为上、下2个区域，分别命名为区域0和区域1，如图2所示.

各区域内土体均满足中心轴对称三维振动方程（ $j = 0,1$）：

(10) $\begin{split} \left( {{\lambda _{\rm{s}}}^* + 2{G_{\rm{s}}}^*} \right) \cdot & \left( {{{\mathit{\nabla}} ^2} - \frac{1}{{{r^2}}}} \right){U_j} + \left( {{\lambda _{\rm{s}}}^* + {G_{\rm{s}}}^*} \right) \times \\ & \left( {\frac{{{\partial ^2}{W_j}}}{{\partial r\partial z}} - \frac{{{\partial ^2}{U_j}}}{{\partial {z^2}}}} \right) = {s^2}{\rho _{\rm{s}}}{U_j}. \end{split} $

(11) $\begin{split} \left( {{\lambda _{\rm{s}}}^* + 2{G_{\rm{s}}}^*} \right) \cdot & {{\mathit{\nabla}} ^2}{W_j} - \left( {{\lambda _{\rm{s}}}^* + {G_{\rm{s}}}^*} \right) \times \left( {\frac{{{\partial ^2}{W_j}}}{{\partial {r^2}}} + \frac{1}{r} \cdot \frac{{\partial {W_j}}}{{\partial r}} -} \right.\\ & \left. { \frac{{{\partial ^2}{U_j}}}{{\partial r\partial z}} - \frac{1}{r} \cdot \frac{{\partial {U_j}}}{{\partial z}}} \right) = {s^2}{\rho _{\rm{s}}}{W_j}. \end{split} $

式中： ${U_j}\left( {r,z,s} \right)$、 ${W_j}\left( {r,z,s} \right)$分别为某一土体质点径向位移 ${u_j}\left( {r,z,t} \right)$、竖向位移 ${w_j}\left( {r,z,t} \right)$的Laplace变换； ${\mathit{\nabla} ^2}$为轴对称Laplace算子； ${\lambda _{\rm{s}}} = {{{E_{\rm{s}}}{\upsilon _{\rm{s}}}} / [ {\left( {1 + {\upsilon _{\rm{s}}}} \right)}}$ ${\left( {1 - 2{\upsilon _{\rm{s}}}} \right)} ] $为土体材料的拉梅常数， ${E_{\rm{s}}}$为土体弹性模量； ${\lambda _{\rm{s}}}^* = \left( {1 + {\rm{i}}{D_{\rm{s}}}} \right) \cdot {\lambda _{\rm{s}}}$和 ${G_{\rm{s}}}^* = \left( {1 + {\rm{i}}{D_{\rm{s}}}} \right) \cdot {G_{\rm{s}}}$分别为考虑材料滞回阻尼修正后的拉梅常数值.

引入势函数 ${f_j}\left( {r,z} \right)$、 ${g_j}\left( {r,z} \right)$：

(12) ${U_j} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left[ {{f_j}\left( {r,z} \right) + \frac{{\partial {g_j}\left( {r,z} \right)}}{{\partial z}}} \right],$

(13) ${W_j} = \frac{{\partial {f_j}\left( {r,z} \right)}}{{\partial z}} - \left( {\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {r^2}}}} \right){g_j}\left( {r,z} \right).$

将势函数（式（12）和（13））代回控制方程式（式（10）和（11）），整理得到

(14) $\left[ {{G_{\rm{s}}}^*{{\mathit{\nabla}} ^2} - {s^2}{\rho _{\rm{s}}}} \right]{g_j}\left( {r,z} \right) = 0,$

(15) $\left[ {\left( {{\lambda _{\rm{s}}}^* + 2{G_{\rm{s}}}^*} \right){{\mathit{\nabla}} ^2} - {s^2}{\rho _{\rm{s}}}} \right]{f_j}\left( {r,z} \right) = 0.$

对式（14）和（15）进行零阶Hankel变换，得到

(16) $ \left( {\frac{{{{\rm{d}}^2}}}{{{\rm{d}}{z^2}}} - {\gamma _1}^2} \right)\overline {{g_j}} \left( {\xi ,z} \right) = 0,\;{\gamma _1} = {\xi ^2} + {\left( {\frac{s}{{{v_{\rm{s}}}}}} \right)^2}; $

(17) $ \left( {\frac{{{{\rm{d}}^2}}}{{{\rm{d}}{z^2}}} - {\gamma _2}^2} \right)\overline {{f_j}} \left( {\xi ,z} \right) = 0,\;{\gamma _2} = {\xi ^2} + {\left( {\frac{s}{{{v_l}}}} \right)^2}. $

$ {f_j}\left( {r,z} \right) =\! \displaystyle\int_0^\infty {\overline {{f_j}} \left( {\xi ,z} \right) \cdot {J_0}\left( {\xi r} \right)\xi } {\rm{d}}\xi, $

$ {g_j}\left( {r,z} \right) =\! \displaystyle\int_0^\infty {\overline {{g_j}} } \left( {\xi ,z} \right) \cdot{J_0}\left( {\xi r} \right)\xi {\rm{d}}\xi , $

式中： ${J_0}\left( \cdot \right)$为零阶第一类Bessel函数； $\xi $为复变量； ${C_{\rm{l}}} = \sqrt {{{\left( {{\lambda _{\rm{s}}} + 2{G_{\rm{s}}}} \right)} / {{\rho _{\rm{s}}}}}} $为土体内纵波波速， ${v_{\rm{l}}} = {C_{\rm{l}}}\sqrt {1 + {\rm{i}}{D_{\rm{s}}}} $为考虑材料阻尼修正的纵波波速.

根据解耦及Hankel变换后的控制方程式（式（16）和（17）），容易得到 $\overline {{g_j}} \left( {\xi ,z} \right)$、 $\overline {{f_j}} \left( {\xi ,z} \right)$的通解形式；同时对式（式（12）和（13））分别作一阶、零阶Hankel变换，并代入式（16）和（17），则Laplace-Hankel变换下的土质点径向、竖向位移即可表示为

(18) $ \overline {{U_j}} = - {C_j}\xi {{\rm{e}}^{{\gamma _2}z}} - {D_j}\xi {{\rm{e}}^{ - {\gamma _2}z}} - {A_j}\xi {\gamma _1}{{\rm{e}}^{{\gamma _1}z}} + {B_j}\xi {\gamma _1}{{\rm{e}}^{ - {\gamma _1}z}}, $

(19) $ \overline {{W_j}} = {C_j}{\gamma _2}{{\rm{e}}^{{\gamma _2}z}} - {D_j}{\gamma _2}{{\rm{e}}^{ - {\gamma _2}z}} + {A_j}{\xi ^2}{{\rm{e}}^{{\gamma _1}z}} + {B_j}{\xi ^2}{{\rm{e}}^{ - {\gamma _1}z}}. $

$ {U_j}\left( {r,z} \right) = \displaystyle\int_0^\infty {\overline {{U_j}} \left( {\xi ,z} \right) \cdot {J_1}\left( {\xi r} \right)\xi } {\rm{d}}\xi , $

$ {W_j}\left( {r,z} \right) = \displaystyle\int_0^\infty {\overline {{W_j}} } \left( {\xi ,z} \right) \cdot {J_0}\left( {\xi r} \right)\xi {\rm{d}}\xi , $

式中： ${J_1}\left( \cdot \right)$为一阶第一类Bessel函数； ${A_j}$、 ${B_j}$、 ${C_j}$、 ${D_j}$均为待定系数，需要联合边界条件进行确定.

为了求解各区域内的待定系数，需给定边界条件如下：

(20) $ {\left. {\overline {{}^1{\sigma _{zz}}} } \right|_{z = 0}} = 0, $

(21) $ {\left. {\overline {{}^1{\tau _{rz}}} } \right|_{z = 0}} = 0, $

(22) $\overline {{U_1}} \left( \kappa \right) = \overline {{U_0}} \left( \kappa \right),$

(23) $\overline {{W_1}} \left( \kappa \right) = \overline {{W_0}} \left( \kappa \right),$

(24) $\overline {{}^1{\sigma _{zz}}} \left( \kappa \right) - \overline {{}^0{\sigma _{zz}}} \left( \kappa \right) = \frac{{{r_0}{J_1}\left( {\xi {r_0}} \right)}}{\xi },$

(25) $\overline {{}^1{\tau _{rz}}} \left( \kappa \right) - \overline {{}^0{\tau _{rz}}} \left( \kappa \right) = 0.$

式中：

${}^j{\sigma _{zz}}\left( {r,z} \right) = \int_0^\infty {\overline {{}^j{\sigma _{zz}}} \left( {\xi ,z} \right) \cdot {J_0}\left( {\xi r} \right)\xi } {\rm{d}}\xi ,$

${}^j{\tau _{rz}}\left( {r,z} \right) = \int_0^\infty {\overline {{}^j{\tau _{rz}}} \left( {\xi ,z} \right) \cdot {J_1}\left( {\xi r} \right)\xi } {\rm{d}}\xi .$

由于区域0内土体无限深处响应趋于有限值，有 ${A_0} = {C_0} \equiv 0$. 将式（18）和（19）代入边界条件（式（20）~（25）），即可以联立求解得到半无限空间内圆形均布荷载激振响应结果. 本文主要研究对象为桩周土的竖向位移响应，因此仅给出整理后的单位荷载影响函数 $\overline {{H_w}} \left( {\xi ,z,{r_0},\kappa } \right)$：

(26) $ \begin{split} & \overline {{H_w}} \left( {\xi ,z,{r_0},\kappa } \right) \!=\! \phi \! \cdot \!\Bigg(\! {{\gamma _2}{{\rm{exp}}({ - {\gamma _2}\left| {z\! - \!\kappa } \right|})} - {\eta _2}{\gamma _2}{{\rm{exp}}({ - {\gamma _2}\left(\! {z \!+\! \kappa } \right)\!})} + } \\ & \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array}\quad \quad {\eta _3}\frac{{{\gamma _2}}}{{{\gamma _1}}}{{\rm{exp}}({ - \left( {{\gamma _2}z + {\gamma _1}\kappa } \right)})} - \frac{{{\xi ^2}}}{{{\gamma _1}}}{{\rm{exp}}({ - {\gamma _1}\left| {z - \kappa } \right|})} + \\ & \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array}\quad \quad {{\eta _1}{\xi ^2}{{\rm{exp}}({ - \left( {{\gamma _1}z + {\gamma _2}\kappa } \right)})} - {\eta _2}\frac{{{\xi ^2}}}{{{\gamma _1}}}{{\rm{exp}}({ - {\gamma _1}\!\left( {z \!+\! \kappa } \right)})}} \!\Bigg). \end{split} $

(27) $\phi = \frac{{{r_0}{J_1}\left( {\xi {r_0}} \right)}}{{2{G_{\rm{s}}}^*\left( {{\gamma _1}^2 - {\xi ^2}} \right)\xi }},$

(28) ${\eta _1} = \frac{{4{\gamma _2}\left( {{\gamma _1}^2 + {\xi ^2}} \right)}}{{4{\gamma _1}{\gamma _2}{\xi ^2} - {{\left( {{\gamma _1}^2 + {\xi ^2}} \right)}^2}}},$

(29) ${\eta _2} = \frac{{4{\gamma _1}{\gamma _2}{\xi ^2} + {{\left( {{\gamma _1}^2 + {\xi ^2}} \right)}^2}}}{{4{\gamma _1}{\gamma _2}{\xi ^2} - {{\left( {{\gamma _1}^2 + {\xi ^2}} \right)}^2}}},$

(30) ${\eta _3} = \frac{{4{\gamma _1}{\xi ^2}\left( {{\gamma _1}^2 + {\xi ^2}} \right)}}{{4{\gamma _1}{\gamma _2}{\xi ^2} - {{\left( {{\gamma _1}^2 + {\xi ^2}} \right)}^2}}}.$

式中： ${H_w}\left( {r,z} \right) = \displaystyle\int_0^\infty {\overline {{H_w}} \left( {\xi ,z} \right) \cdot {J_0}\left( {\xi r} \right)\xi } {\rm{d}}\xi $为竖向位移导纳函数.

半无限空间体内任意深度圆形激振荷载的导纳函数已经求解完成，即桩底附加均布面力的作用效果已知；还需对式（26）在深度方向 $\left[ {{z_i},{z_{i + 1}}} \right]$上对 $\kappa $进行积分可得桩身区域内附加体力的作用效果，有

(31) $ \begin{split} \overline {H_w^{\rm{B}}} = & \phi \left( {{\eta _2}{{\rm{exp}}({ - {\gamma _2}\left( {z + \kappa } \right)})} - {\eta _3}\frac{{{\gamma _2}}}{{{\gamma _1}^2}}{{\rm{exp}}({ - \left( {{\gamma _2}z + {\gamma _1}\kappa } \right)})} + } \right.\\ & \delta {{\rm{exp}}({ - {\gamma _2}\left| {z - \kappa } \right|})} - {\eta _1}\frac{{{\xi ^2}}}{{{\gamma _2}}}{{\rm{exp}}({ - \left( {{\gamma _1}z + {\gamma _2}\kappa } \right)})} + \\ & {\left. {\left. {{\eta _2}\frac{{{\xi ^2}}}{{{\gamma _1}^2}}{{\rm{exp}}({ - {\gamma _1}\left( {z + \kappa } \right)})} - \delta \frac{{{\xi ^2}}}{{{\gamma _1}^2}}{{\rm{exp}}({ - {\gamma _1}\left| {z - \kappa } \right|})}} \right)} \right|_{{z_i}}^{{z_{i + 1}}}.} \end{split} $

式中：

$\delta = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{\left| {z - \kappa } \right|}}{{z - \kappa }},}&{z \ne \kappa ;}\\ {0,}&{z = \kappa .} \end{array}} \right.$

为符号函数； $H_w^{\rm{B}}\left( {r,z} \right) = \displaystyle\int_0^\infty {\overline {H_w^{\rm{B}}} \left( {\xi ,z} \right) \cdot {J_0}\left( {\xi r} \right)\xi } {\rm{d}}\xi $为指定体应力所对应的竖向位移导纳函数.

至此，可以建立桩–土耦合的反演机制，将桩长 $h$等间距离散为 $n$个单元，将各单元内的附加体力 ${B_n}$视作定值. 由桩–土界面位移连续条件，可以在 ${n + 1} $个节点位置 ${z_0},{z_1}, \cdots ,{z_{n - 1}},{z_n}$建立方程，有

(32) $ \begin{split} {{\varOmega}} \times & {\left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_1},}\;\;{{B_2},}\;\; \cdots,\;\;{{B_n},}\;\;F \end{array}}\!\!\! \right]^{\rm{T}}} = \\ & {\left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{U_{\rm{p}}}\left( {{z_0}} \right),}\;\;{{U_{\rm{p}}}\left( {{z_1}} \right),}\;\; \cdots, \;\;{{U_{\rm{p}}}\left( {{z_{n - 1}}} \right),}\;\;{{U_{\rm{p}}}\left( {{z_n}} \right)} \end{array}} \!\!\!\right]^{\rm{T}}} , \\ \end{split} $

(33) $ {{\varOmega}} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{}^1H_w^{\rm{B}}\left( {{r_0},{z_0}} \right)}& \cdots &{{}^nH_w^{\rm{B}}\left( {{r_0},{z_0}} \right)}&{{H_w}\left( {{r_0},{z_0}} \right)} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ {{}^1H_w^{\rm{B}}\left( {{r_0},{z_{n - 1}}} \right)}& \cdots &{{}^nH_w^{\rm{B}}\left( {{r_0},{z_{n - 1}}} \right)}&{{H_w}\left( {{r_0},{z_{n - 1}}} \right)} \\ {{}^1H_w^{\rm{B}}\left( {{r_0},{z_n}} \right)}& \cdots &{{}^nH_w^{\rm{B}}\left( {{r_0},{z_n}} \right)}&{{H_w}\left( {{r_0},{z_n}} \right)} \end{array}}\!\!\! \right]. $

式中： ${}^nH_w^{\rm{B}}\left( {r,z} \right)$表示深度 $\left[ {{z_{n - 1}},{z_n}} \right]$上单位体力所对应的竖向位移导纳函数. 由式（32~33）即可以求解得到各单元附加体力值及桩底附加面力值. 至此，半无限空间土模型内任意质点的竖向位移响应即可以通过下式求解得到：

(34) $W\left( {r,z} \right) = {H_w}\left( {r,z} \right) \cdot F + \sum {{}^nH_w^{\rm{B}}\left( {r,z} \right){B_n}} .$

其所对应的时域内解析表达则可以通过令 $s = {\rm{i}}\omega $，由Fourier逆变换得到，有

(35) $w\left( {r,z,t} \right) = {\rm{IFT}}\left[ {W\left( {r,z,\omega } \right)} \right],$

(36) $v\left( {r,z,t} \right) = {\rm{IFT}}\left[ {W\left( {r,z,\omega } \right) \cdot {\rm{i}}\omega } \right].$

式中： $v\left( {r,z,t} \right)$为桩周土质点时域内竖向速度响应函数.

笔者已经就弹性支承桩、缺陷桩周围土及成层土振动响应问题进行了解析求解^[7-8]，因此可以将本文解与文献[7]的解析结果进行比较. 为了模拟工程测试中桩顶激振条件，令外荷载为半正弦激振形式：

(37) $ q\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{q_{\max }}\sin \left( {\theta t} \right),}&{0 < t \leqslant \dfrac{{\text{π}} }{\theta };}\\ {0,}&{t > \dfrac{{\text{π}} }{\theta }.} \end{array}} \right. $

式中： ${q_{\max }}$为激振幅值， $\theta $为激振圆频率. 为了方便不同结果间的对比，取量纲归一化的桩周土质点竖向速度响应 $\overline v $与时间 $\overline t $：

(38) $v = \frac{{{q_{\max }}{C_{\rm{p}}}}}{{{E_{\rm{p}}}{A_{\rm{p}}}}} \cdot \overline v ,\;\overline t = \frac{t}{{{T_{\rm{c}}}}},\;{T_{\rm{c}}} = \frac{h}{{{C_{\rm{p}}}}}.$

同时，取桩–土模型主要参数如下，且若无特殊说明，均默认照此取值：

$\begin{split} & h = 10.0\;{\rm{m}},\;{r_0} = 0.50\;{\rm{m}},\;{\rho _{\rm{p}}} = 2\;500\;{{\rm{{kg}}} / {{{\rm{m}}^3}}}, \\ & {E_{\rm{p}}} = 40\;{\rm{GPa}},\;{\rho _{\rm{s}}} = 1\;800\;{{\rm{{kg}}} / {{{\rm{m}}^3}}},\;{\upsilon _{\rm{s}}} = 0.35, \\ & {C_{\rm{s}}} = 200\;{{\rm{m}} / {\rm{s}}},\;{{{D_{\rm{s}}} = 0.05, }\;{\text{π}}/ {\theta {T_{\rm{c}}} = 0.50}},\;r = 0.60\;{\rm{m}} \end{split} $

为了直观对比使桩周土不同深度位置的响应结果，将各深度土质点的竖向速度响应曲线叠加于当前深度位置，得到时间–深度坐标下的速度响应对比曲线. 其中，每一条曲线均代表土质点在当前深度下的无量纲化速度–时间曲线. 该方法常用于旁孔透射波法的数据处理与拟合分析. 取深度方向梯度 $\Delta h = 0.50\;{\rm{m}}$，作对比曲线图，如图3所示. 可见，桩周土激振响应曲线与既有解析结果吻合较好. 特别是首波波峰响应时间基本保持一致，这对旁孔透射波法的现场应用有着十分重要的意义. 本文解析结果在接近自由上表面位置，出现较明显的高频叠加振动，经初步分析，该结果是由数值积分所引起的. 其首至波波峰出现一定程度的迟滞，这是由于近地表Rayleigh波的波速小于剪切波速. 在实际工程应用中，建议由一定深度开始测点激振响应的收集，从而筛除近地表位置的测点影响.

此外，相较于文献[7]和[8]所采用的模型，本文所采用的计算模型可以同时对桩周及桩底以下土的响应进行分析，这对于旁孔透射波法而言具有重要的意义.

虽然将桩周土离散成层，并引入虚土桩模型可以有效拓展文献[7]和[8]中的解析模型，从而分析桩底以下土的激振响应结果，但是由于桩周土离散模型存在着无法模拟层间应力集中或重新分布等工况的局限，且虚土桩模型周围土响应结果的可靠性尚未可知，为了体现本文解在分析桩底土振动响应过程中的优势，需要首先对其可靠性进行进一步地验证. 鉴于此，此处采用有限元分析软件ABAQUS对完整桩周围土激振响应进行模拟，其主要模型及分析条件均与文献[7]相同，此处不再赘述. 将本文解析结果与有限元软件分析结果作时深曲线图，并对不同深度位置的首至波波峰位置进行标记，如图4所示标记位置可以根据桩周土及桩底以下土大致分为2个区域，且在各自区域内由标记位置拟合的时深直线对应不同斜率，这与旁孔透射波法的基本理论及既有研究成果相符合^[1-6]. 同时可以看到，近桩底附近土的首至波响应出现了一定程度的突变，采用本文所提出的连续介质模型可以较好地模拟这一现象，从而避免人为根据桩底深度对土进行离散成层划分. 从这一角度来看，该模型可以突破桩周土离散模型无法模拟层间应力集中或重新分布等工况的局限.

根据上述验证结果可知，本文解析结果可用以分析桩底以下土的激振响应；且相较于有限元软件分析，解析结果可以更好地适应不同工况及模型参数，即更快地获得桩周土动态响应，并为实际工程测试结果提供理论依据.

已有研究中出现了较多通过旁孔透射波法估计未知桩长及相应修正的方法^{[2-3, 5-6, 11-12]}. 根据本文解析结果，提出一种相对简易的未知桩长估计方法.

由于桩身内上、下行波间的叠加，桩底附近的桩周土响应会出现一定程度的扭曲，其首至波峰位置会出现一定程度的突变，其特征如下：首至波波峰位置的时深拟合直线斜率陡然增大，直线几乎垂直甚至反向，如图5所示.

从旁孔透射波法对收集数据的后处理过程来看，该斜率突变区的存在会使得桩周土拟合直线的斜率变化变缓，从而使得桩底拟合深度偏大. 为了更好地研究斜率突变区的首至波波峰响应规律，取更小的测点布置梯度 $\Delta h = 0.25m$，对上述斜率突变区及附近范围进行加密补测，得到时深散点图如图6所示. 可见，斜率突变区的范围跨过实际桩底深度，且其内部也可进一步划分为2个区域，且这2个区域几乎是沿着桩底深度对称展开. 换言之，在测试设备精度允许的条件下，由斜率突变区的范围即可以估计桩长，实际桩底深度略大于该范围的中间深度，相当于给出了估计桩长范围的下界.

另一方面，从桩周土及桩底土的首至波波峰位置直线拟合来看，由各自区域的中段取3~5个测点进行直线拟合已经具有足够的计算精度，即在桩身中段或桩底以下一定位置采用较小的测点布置梯度对提高整体测试精度并没有明显的帮助. 在测点数据处理过程中，可以通过忽略斜率突变区的测点结果及近地表范围的测点数据，对区域中段的首至波波峰位置进行直线拟合，如图7所示.

虽然上述拟合深度结果相对实际桩长仍偏大，但是相对于直接拟合已经有了较明显的改善，且给出了估计桩长范围上界.

至此，可以较为完整的给出一种采用旁孔透射波法估计未知桩长的简化方法.

1）由相对低频的激振测试信号（对应更深的场地影响范围）配合较大的测点布置梯度，从地表一定深度以下开始测试，主要获得桩周土及桩底以下一定范围的首至波波峰响应时深数据. 若无法直观地从时深图中找到桩底附近的斜率突变区域，可取3~5个有效数据点拟合各区域内的时深直线，以两直线间的过渡区域作为预估斜率突变区域；

2）上提测孔内的传感器，重新对斜率突变区域进行加密补测：采用相对高频的测试信号（对应更小的斜率突变区域^[7-8]）配合较小的测点深度梯度，可以进一步明确突变区的实际深度范围；

3）在后期数据处理过程中，对斜率突变区以外的有效数据点进行拟合，得到预估桩长的上界，以加密测得的斜率突变区范围中间深度作为预估桩长的下界，最终给出预估桩长的范围.

当然，实际工程测试情况远比上述工况更为复杂，需要考虑桩身缺陷、桩周成层及环境干扰等情况，其影响规律及判定方式可以参考文献[8]中的一些建议. 在旁孔透射波法中，测点布置梯度往往对应着实际工作量，因此需要综合权衡测点数目与结果精度的关系，实现测试过程的数据优化.

本文桩周土模型采用半无限空间连续介质，相较于桩周土离散成层模型^[7-8]可以更好地用于分析桩底附近土的响应规律，即可以同时对桩周围土及桩底深度以下土进行分析，且桩底附近土的响应规律更符合实际工况.

（1）本文提出了一种基于现有桩基振动理论反演的桩周土半无限空间激振响应模型，通过Laplace-Hankel积分变换求解得到了其复数域内的解析解及时域半解析解.

（2）通过与既有理论解及有限元分析软件ABAQUS结果的对比，分别验证了本文解在桩周土及桩底以下土激振响应问题上的合理性.

（3）基于本文解析结果，对旁孔透射波法估计未知桩长问题进行了讨论，提出了一种相对简单的桩长估计方法.