近年来，并联机构凭借承载能力强、精度高、响应快等优点^[1-3]在工程中被广泛应用. 在对并联机构的分析过程中，为了简化运动学与动力学模型，将运动关节视作理想关节. 然而，由于制造与装配误差、结构变形和磨损效应，实际关节元素之间不可避免会产生关节间隙. 由于关节间隙的存在，机构在运行的过程中易产生振动与噪声，对机构的精度和动态特性造成恶劣影响，最终缩短机构的寿命. 因此，研究间隙对并联机构动态特性的影响具有重要意义.

目前，关于关节间隙对并联机构动态特性影响的研究引起了国内外学者的广泛关注，并取得了一系列创新性成果^[4-9]. Zhang等^[10]以平面3-PRR并联机构为对象，建立含转动副间隙的机构动力学模型，并提出均方根误差（root-mean-square error，RMSE）指标来量化关节间隙对系统动力学特性的影响. Varedi-koulaei等^[11]研究转动副间隙对3-RRR平面并联机构动力学特性的影响，并提出优化算法来提高其性能. 侯雨雷等^[12]针对PU-RCRR-CRRR解耦机构，建立含虎克铰间隙的机构动力学模型并通过Poincare映射对机构的混沌现象予以辨识. 王庚祥等^[13-14]提出改进的接触力模型，考虑4-SPS/CU并联机构中的1个含间隙的球面副，分析其对该并联机构动力学性能的影响.陈修龙等^[15-17]基于L-N接触模型，用拉格朗日方程建立含1个球面副间隙的4-UPS-RPU并联机构动力学模型，预测球面副间隙对并联机构的动力学行为. 目前对关节间隙的研究主要集中在平面机构中的转动副间隙，关于球面副间隙对空间并联机构的动态特性影响的研究较少. 在对球面副间隙的研究中，仅考虑1个球面副间隙无法真实地反映并联机构的动力学行为.

本研究在前人基础上，以空间5-PSS/UPU并联机构为例，考虑所有支链与动平台相连接的球面副中均含有间隙. 基于“接触-分离”二状态建立含球面副间隙的运动学模型；利用基于Flores模型改进的接触模型与修正的Coulomb摩擦模型计算球面副元素接触时的碰撞力和摩擦力，并将接触力转化至相应部件的质心；采用牛顿-欧拉法并引入拉格朗日乘子，建立含球面副间隙空间并联机构的动力学模型，并用MATLAB软件对其动态特性进行分析.

5-PSS/UPU并联机构的三维模型如图1所示. 该机构的5条驱动支链完全对称，均由1个移动副（P副）和2个球面副（S副）构成，其中移动副为驱动副，由直线电机驱动. 约束支链由上、下2个虎克铰（U副）和1个移动副构成，虎克铰的中心均位于动、静平台的中心.

并联机构结构简图以及坐标系的建立如图2所示. 图中，D、O分别为动、静平台的中心，O-XYZ为与静平台质心固连的静坐标系，Z轴垂直于静平台向上，X轴由坐标原点指向 ${A_1}$，Y轴通过右手螺旋定理确定. $D - {X_D}{Y_D}{Z_D}$为与动平台质心固连的动坐标系，Z_D轴垂直于动平台向上，X_D轴由坐标原点指向C₁，Y_D轴通过右手螺旋定理确定. ${E_i} - {X_{Ei}}{Y_{Ei}}{Z_{Ei}}$为原点与 ${A_i}$重合的局部坐标系， ${Y_{Ei}}$轴与 ${A_i}{B_i}$重合， ${X_{Ei}}$轴垂直于 $O{E_i}$， ${Z_{Ei}}$轴由右手螺旋定理确定， $i = 1,2,3,4,5$. 动、静平台外接圆半径分别为 ${r_1}$、 ${r_2}$，定长杆 ${B_i}{C_i}$的长度均为 $L$，移动副与水平面夹角均为 $\theta $.

由螺旋理论可知，该机构动平台具有5个独立的自由度，分别为沿X、Y、Z轴方向的平动以及绕X、Y轴的转动. 用 $Z - Y - X$欧拉角来描述动平台的姿态，其中 ${\alpha _D} = 0$，则动平台位姿参数可以表示为 $({x_D},{y_D},{z_D},{\beta _D},{\gamma _D})$，α_D、β_D、γ_D分别为绕Z、Y、X轴的转角. 在初始状态下，β_D、 ${\gamma _D}=0$.

求并联机构的位置反解，即在已知动平台位姿参数 $({x_D},{y_D},{z_D},{\beta _D},{\gamma _D})$的情况下，求各驱动副的输入位移 ${l_i}(i = 1,2,3,4,5)$.

描述动坐标系到静坐标系的旋转矩阵：

(1) ${}_D^O{{R}} = {{R}}(y,{\beta _D}){{R}}(x,{\gamma _D}).$

式中：R (y，β_D)为绕Y轴作转角为β_D的旋转变换后的旋转矩阵，R (x，γ_D)为绕X轴作转角为γ_D的旋转变化后的旋转矩阵.

描述局部坐标系到静坐标系的旋转矩阵：

(2) ${}_{Ei}^O{{R}} = {{R}}(z,{\phi _i}){{R}}(x,\theta ).$

式中： ${\phi _i} = (0.4i+0.1){\text{π}}$， $i = 1,2,3,4,5$. ${C_i}$在静坐标系和局部坐标系的位置矢量表达式为

(3) $\begin{array}{l} {{{C}}_i} = {}_D^O{{R}}{}^D{{{C}}_i} + {{D}},\; {}^{Ei}{{{C}}_i} = {}_{Ei}^O{{{R}}^{ - 1}}({{{C}}_i} - {{{A}}_i}). \end{array} $

其中，^DC_i为点C_i在动坐标系D-X_DY_DZ_D中的位置矢量，D、A_i分别为动平台D和点A_i在静坐标系中的位置矢量.

任意时刻球面副中心 ${B_i}$在局部坐标系 $\left\{ {{E_i}} \right\}$中的位置矢量 ${}^{Ei}{{{B}}_i}$= ${\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0,\;{{l_i}},\;0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$，根据支链连杆 ${B_i}{C_i}$在局部坐标系 $\left\{ {{E_i}} \right\}$中的杆长方程可以求得各驱动副的输入位移为

(4) ${l_i} = {}^{Ei}{C_{iy}} - {\left( {{L^2} - {{({}^{Ei}{C_{ix}})}^2} - {{({}^{Ei}{C_{iz}})}^2}} \right)^{1/2}}.$

式中：^EiC_ix、^EiC_iy、^EiC_iz分别为点C_i在局部坐标系E_i-X_EiY_EiZ_Ei中的3个坐标分量.

对于理想球面副，认为连接两构件的球体和球套的几何中心相重合，有3个转动的自由度. 实际上，组成球面副的元素间存在间隙，导致理想的3自由度球面副转化为6自由度球面副，原来的3个运动约束被3个接触力约束所取代，且由于间隙的存在，两者的中心并不重合.

如图3所示，与5-PSS/UPU并联机构动平台相连的5条驱动支链球面副中均含有间隙，球套和球头的球心分别为 ${O_{{{\rm c}i}}}$、 ${O_{{{\rm b}i}}}$，偏心向量为 ${{{e}}_{{\rm{cb}}i}}$；当发生接触时，球套和球头的接触点分别为 ${P_{{\rm c}i}}$、 ${P_{{\rm b}i}}$，两者之间的接触形变量为 ${\delta _{{\rm cb}i}}$； ${O_{{\rm c}i}}$、 ${O_{{\rm b}i}}$、 ${P_{{\rm c}i}}$、 ${P_{{\rm b}i}}$在静坐标系下的位置矢量分别为 ${{{r}}_{{\rm c}i}}$、 ${{{r}}_{{\rm b}i}}$、 ${{{r}}_{p{\rm c}i}}$、 ${{{r}}_{p{\rm b}i}}$；接触面的法向矢量和切向矢量分别为 ${{{n}}_{{\rm cb}i}}$、 ${{{t}}_{{\rm cb}i}}$.

如图4所示为含间隙的支链闭环矢量图. 图中， ${{{s}}_i}$、 ${{{n}}_i}$分别为驱动直线电机和定长杆 ${B_i}{C_i}$的方向向量，通过图3、4可以求得球面副球套与球头之间偏心向量的表达式：

(5) $\left. \begin{array}{l} {{{e}}_{{\rm cb}i}} = {{{r}}_{{\rm b}i}} - {{{r}}_{{\rm c}i}},\\ {{{r}}_{{\rm b}i}} = {{{A}}_i} + {l_i}{{{s}}_i} + L{{{n}}_i},\\ {{{r}}_{{\rm c}i}} = {{D}} + {}_D^O{{R}}{{{C}}_i}. \end{array} \right\}$

则球套与球体之间的偏心距 ${e_{{\rm cb}i}}$和接触面的法向矢量 ${{{n}}_{{\rm cb}i}}$可以表示为

(6) ${e_{{\rm cb}i}} = \left\| {{{{e}}_{{\rm cb}i}}} \right\|,\;\,{{{n}}_{{\rm cb}i}} = {{{{{e}}_{{\rm cb}i}}} / {{e_{{\rm cb}i}}}}.$

假设球套与球头半径 ${R_{{\rm c}i}}$、 ${R_{{\rm b}i}}$为定值，则球面副元素间的间隙量表达式为

(7) ${c_i} = {R_{{\rm c}i}} - {R_{{\rm b}i}}.$

则球面副元素间的接触形变量可以表示为

(8) ${\delta _{{\rm cb}i}} = {e_{{\rm cb}i}} - {c_i}.$

因此，可以根据接触形变量 ${\delta _{{\rm cb}i}}$的符号来判断含间隙球铰链各元素之间是否发生接触：

$\left\{ \begin{array}{l} {\delta _{{\rm cb}i}} < 0,\;\;\;\;\;{\text{未接触；}}\\ {\delta _{{\rm cb}i}} = 0,\;\;\;\;\;{\text{开始发生接触或开始脱离；}}\\ {\delta _{{\rm cb}i}} > 0,\;\;\;\;\;{\text{接触发生弹性形变}}. \end{array} \right.$

当发生接触时，球套和球头的接触点 ${P_{{\rm c}i}}$、 ${P_{{\rm b}i}}$在基坐标系的位置矢量分别为

9) $\begin{array}{l} {{{r}}_{p{\rm c}i}} = {{{r}}_{{\rm c}i}} + {R_{{\rm c}i}}{{{n}}_{{\rm cb}i}},\;\,\; {{{r}}_{p{\rm b}i}} = {{{r}}_{{\rm b}i}} + {R_{{\rm b}i}}{{{n}}_{{\rm cb}i}}. \end{array} $

式（9）等式两端同时对时间求导得到

(10) $ \begin{array}{l} {{{{\dot r}}}_{p{\rm c}i}} = {{{{\dot r}}}_{{\rm c}i}} + {R_{{\rm c}i}}{{{{\dot n}}}_{{\rm cb}i}},\;\;\, {{{{\dot r}}}_{p{\rm b}i}} = {{{{\dot r}}}_{{\rm b}i}} + {R_{{\rm b}i}}{{{{\dot n}}}_{{\rm cb}i}}. \end{array} $

根据式（10）可以得到含间隙球面副元素相互接触时的法向接触速度 ${{{v}}_{{\rm n}i}}$与切向接触速度 ${{{v}}_{{\rm t}i}}$的表达式：

(11) $\left. \begin{array}{l} {{{v}}_{{\rm n}i}} = \left[ {{{({{{{\dot r}}}_{p{\rm c}i}} - {{{{\dot r}}}_{p{\rm b}i}})}^{\rm T}}{{{n}}_{{\rm cb}i}}} \right]{{{n}}_{{\rm cb}i}},\\ {{{v}}_{{\rm t}i}} = ({{{{\dot r}}}_{p{\rm c}i}} - {{{{\dot r}}}_{p{\rm b}i}}) - {{{v}}_{{\rm n}i}}, \end{array} \right\}$

则接触面的切向单位矢量为

(12) ${{{t}}_{{\rm cb}i}} = {{{{{v}}_{{\rm t}i}}}/ {\left\| {{{{v}}_{{\rm t}i}}} \right\|}}.$

接触模型是研究含球面副间隙的并联机构动力学分析的基础，接触模型的准确性在一定程度上反映球面副间隙对并联机构动态性能的影响的精确性. Flores接触模型能够更加准确地反映接触体在发生接触形变时各阶段的能量转化情况，而且能同时反映完全弹性接触和完全塑性接触，使用范围不受恢复系数的限制. 因此，本研究采用Flores接触模型对该并联机构的球面副元素接触碰撞进行描述：

(13) ${F_{{\rm{cn}}i}} = {K_i}{\delta ^n}\left[1 + \frac{{8(1 - {c_{\rm r}})\dot \delta }}{{5{c_{\rm r}}{{\dot \delta }^{( - )}}}}\right].$

式中：F_cni为球铰的法向接触力， ${K_i}$为刚度系数， $\delta $为球铰的接触形变，n为幂指数， ${c_{\rm r}}$为球铰恢复系数， $\dot \delta $为接触形变速度， ${\dot \delta ^{( - )}}$为初始接触速度.

对于5-PSS/UPU并联机构中相互接触的球面副元素来说，刚度系数可以表示为

(14) $\left. \begin{array}{l} {K_i} = \dfrac{4}{{3{\text{π}} ({\sigma _{{\rm c}i}} + {\sigma _{{\rm b}i}})}}\sqrt {\left| {\dfrac{{{R_{{\rm c}i}}{R_{{\rm b}i}}}}{{{R_{{\rm c}i}} - {R_{{\rm b}i}}}}} \right|} ,\\ {\sigma _{{\rm c}i}} = \dfrac{{1 - \mu _{{\rm c}i}^2}}{{{\text{π}} {E_{{\rm c}i}}}},\;\,{\sigma _{{\rm b}i}} = \dfrac{{1 - \mu _{{\rm b}i}^2}}{{{\text{π}} {E_{{\rm b}i}}}}. \end{array} \right\}$

式中： ${\mu _{{\rm c}i}}$、 ${\mu _{{\rm b}i}}$分别为球套与球头材料的泊松比， ${E_{{\rm c}i}}$、 ${E_{{\rm b}i}}$分别为球套与球头材料的弹性模量.

由式（14）可知，刚度系数仅与接触体的材料属性以及曲率半径有关，忽略了接触刚度与其他机械系统之间的耦合关系. 根据文献[13]中提出的非线性刚度系数的计算方法，可以得到改进的刚度系数：

(15) ${K'_i} = \frac{{\sqrt 2 {\text{π}} {R_{{\rm c}i}}{E_{\rm s}}{\delta _{{\rm cb}i}}(2\delta _{{\rm cb}i}^2 + 7{c_i}{\delta _{{\rm cb}i}} + 8c_i^2)}}{{5{{[{c_i} + {\delta _{{\rm cb}i}}]}^{{5}/{2}}}\sqrt {2{c_i} + {\delta _{{\rm cb}i}}} }}.$

式中： ${E_{\rm s}}$为接触体的综合弹性模量，可以表示为

(16) $\frac{1}{{{E_{\rm s}}}} = \frac{{1 - \mu _{{\rm c}i}^2}}{{{E_{{\rm c}i}}}} + \frac{{1 - \mu _{{\rm b}i}^2}}{{{E_{{\rm b}i}}}}.$

因此，含间隙球铰链的接触力模型为

(17) ${F_{{\rm cn}i}} = {K'_i}\delta _{{\rm cb}i}^n\left[1 + \frac{{8(1 - {c_{\rm r}}){{\dot \delta }_{{\rm cb}i}}}}{{5{c_{\rm r}}{{\dot \delta }^{( - )}}}}\right].$

式中：n=1.5； ${c_{\rm r}}$=0.9^[18]； ${\dot \delta ^{( - )}} \leqslant {10^{ - 5}}\sqrt {{{{E_{\rm s}}}}/{\rho }} $^[19]， $\rho $为球铰材料密度.

为了防止切向速度在0附近时方向改变而导致不稳定的数值积分，采用具有修正系数的Coulomb摩擦模型^[20]来描述球铰在接触碰撞过程中的切向力：

(18) ${F_{{\rm ct}i}} = - {\mu _{\rm s}}{c_{\rm s}}{F_{{\rm cn}i}}.$

式中： ${\mu _{\rm s}}$为球铰库仑摩擦系数，取0.01； ${c_{\rm s}}$为库仑摩擦模型动态修正系数，可以表示为

(19) ${c_{\rm s}} = \left\{ \begin{array}{l} 0{\text{，}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\quad\quad\;\;\;\;\left\| {{{{v}}_{{\rm t}i}}} \right\| < {v_0}{\text{；}}\\ \dfrac{{\left\| {{{{v}}_{{\rm t}i}}} \right\| - {v_0}}}{{{v_1} - {v_0}}}{\text{，}}\;\;\;\;{v_0} \leqslant \left\| {{{{v}}_{{\rm t}i}}} \right\| \leqslant {v_1}{\text{；}}\\ 1{\text{，}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\quad\quad\;\left\| {{{{v}}_{{\rm t}i}}} \right\| \geqslant {v_1}{\rm{.}} \end{array} \right.$

其中， ${v_0}$、 ${v_1}$为误差范围内给定的速度极限，在本研究中取 ${v_0}$=0.000 1 m/s， ${v_1}$=0.01 m/s.

根据接触力模型可以得到含间隙的球面副的碰撞力矢量表达式：

(20) ${{{F}}_{{\rm c} i}} = {F_{{\rm cn} i}}{{{n}}_{{\rm cb} i}} + {F_{{\rm ct} i}}{{{t}}_{{\rm cb} i}}.$

将含间隙的球面副所产生的接触力转化到支链连杆和动平台的质心处，同时将会在构件的质心处产生一个额外的力矩. 假设连杆质心为 ${M_i}$，则

(21) ${{{F}}_{Mi}} = {{{F}}_{{\rm c} i}},\;\,{{{M}}_{Mi}} = {{{F}}_{{\rm c} i}} \times ({{{r}}_{Mi}} - {{{r}}_{p{\rm b} i}}){\text{，}}$

(22) ${{{F}}_{Di}} = - {{{F}}_{{\rm c} i}},\;\,{{{M}}_{Di}} = - {{{F}}_{{\rm c} i}} \times ({{{r}}_D} - {{{r}}_{p{\rm c} i}}).$

式中： ${{{F}}_{Mi}}$、 ${{{F}}_{Di}}$分别为接触力转化到杆件质心处和动平台质心处的力矢量； ${{{M}}_{Mi}}$、 ${{{M}}_{Di}}$分别为接触力转化到杆件质心处和动平台质心处的力矩矢量；r_Mi、r_D分别为连杆质心、动平台质心在静坐标系中的位置矢量.

5-PSS/UPU并联机构各部件局部坐标系的建立如图5所示. 以连杆 ${B_i}{C_i}$的质心 ${M_i}$为原点建立局部坐标系 ${M_i} - {X_{Mi}}{Y_{Mi}}{Z_{Mi}}$，其中 ${X_{Mi}}$轴垂直于 $O{M_i}$与 ${B_i}{C_i}$所在平面， ${Z_{Mi}}$轴与连杆 ${B_i}{C_i}$的方向向量 ${{{n}}_i}$方向一致， ${Y_{Mi}}$轴由右手螺旋定则确定；以约束支链的下半段杆件质心为原点建立局部坐标系 $F - {X_F}{Y_F}{Z_F}$， ${Z_F}$轴与 $OD$重合， ${X_F}$轴垂直于 $OD$与静坐标系 $Y$轴所在平面， ${Y_F}$轴由右手螺旋定则确定. 为了描述该并联机构的运动副约束，选取广义坐标如下：

(23) ${{q}} = {\left[{{q}}_1^{\rm{T}},{{q}}_2^{\rm{T}},{{q}}_3^{\rm{T}},{{q}}_4^{\rm{T}},{{q}}_5^{\rm{T}},{{q}}_6^{\rm{T}},{{q}}_7^{\rm{T}}\right]^{\rm{T}}}.$

式中： ${{{q}}_1}$为动平台所在动坐标系 $D - {X_D}{Y_D}{Z_D}$相对于静坐标系 $O - XYZ$的位姿旋转变换矢量， ${{{q}}_1} = {\left[{{r}}_D^{\rm{T}},{{\psi}} _D^{\rm{T}}\right]^{\rm{T}}}$， ${{{r}}_D} = {\left[{x_D},{y_D},{z_D}\right]^{\rm{T}}}$， ${{{\psi}} _D} = {\left[{\alpha _D},{\beta _D},{\gamma _D}\right]^{\rm{T}}}$； ${{{q}}_i}(i = 2,3,4,5,6)$为各支链连杆质心所在的坐标系 ${M_i} - {X_{Mi}}{Y_{Mi}}{Z_{Mi}}$相对于静坐标系 $O - XYZ$的位姿旋转变换矢量， ${{{q}}_i} = {\left[{{{r}}_{Mi}}^{\rm{T}},{{\psi}} _{Mi}^{\rm{T}}\right]^{\rm{T}}}$， ${{{r}}_{Mi}} = {\left[{x_{Mi}},{y_{Mi}},{z_{Mi}}\right]^{\rm{T}}}$， ${{{\psi}} _{Mi}} = {\left[{\alpha _{Mi}},{\beta _{Mi}},{\gamma _{Mi}}\right]^{\rm{T}}}$； ${q_7}$为中间约束分支下段杆件质心所在坐标系 $F - {X_F}{Y_F}{Z_F}$相对于静坐标系 $O - XYZ$的位姿旋转变换矢量， ${{{q}}_7} = {\left[{{{r}}_F}^{\rm{T}},{{\psi}} _F^{\rm{T}}\right]^{\rm{T}}}$， ${{{r}}_F} = {\left[{x_F},{y_F},{z_F}\right]^{\rm{T}}}$， ${{{\psi}} _F} = {\left[{\alpha _F},{\beta _F},{\gamma _F}\right]^{\rm{T}}}$.

局部坐标系到静坐标系的旋转矩阵 ${{{R}}_j}$（ $j$为 $D$、 ${M_i}$或 $F$）可以表示为

(24) ${}_j^O{{R}} = {{R}}({\gamma _j},{\beta _j},{\alpha _j}) = {{{R}}_x}({\gamma _j}){{{R}}_y}({\beta _j}){{{R}}_z}({\alpha _j}).$

5-PSS/UPU并联机构动平台各端球铰 ${C_i}$的约束方程可以表示为

(25) ${{{\varPhi }}_{Ci}} = {{{r}}_{Mi}} + {}_{Mi}^O{{R}}{}^{Mi}{{{C}}_i} - {{{r}}_D} - {}_D^O{{R}}{}^D{{{C}}_i} = {{\bf{0}}_{3 \times 1}}.$

式中： ${}^{Mi}{{{C}}_i}$、 ${}^D{{{C}}_i}$分别为球铰 ${{{C}}_i}$在 ${M_i} - {X_{Mi}}{Y_{Mi}}{Z_{Mi}}$系和 $D - {X_D}{Y_D}{Z_D}$系中的位置矢量.

5-PSS/UPU并联机构 ${B_i}$处球铰的约束方程为

(26) ${{{\varPhi }}_{Bi}} = {{{r}}_{Mi}} + {}_{Mi}^O{{R}}{}^{Mi}{{B}} - {{{A}}_i} - {l_i}{{{s}}_i} = {{\bf{0}}_{3 \times 1}}.$

式中： ${}^{Mi}{{{B}}_i}$为球铰 ${{{B}}_i}$在 ${M_i} - {X_{Mi}}{Y_{Mi}}{Z_{Mi}}$系中的位置矢量.

5-PSS/UPU并联机构中间约束分支上端虎克铰 ${H_{\rm u} }$处的约束方程为

(27) ${{{\varPhi }}_{H{\rm u} }} = {{{r}}_D} - {{{r}}_F} - {}_F^O{{R}}{}^F{{{H}}_{\rm u} } = {{\bf{0}}_{3 \times 1}}.$

式中： ${}^F{{{H}}_{\rm u} }$为上端虎克铰 ${H_{\rm u} }$在 $F - {X_F}{Y_F}{Z_F}$系中的位置矢量.

5-PSS/UPU并联机构中间约束分支下端虎克铰 ${H_{\rm d} }$处的约束方程为

(28) ${{{\varPhi }}_{H{\rm d} }} = {{{r}}_F} + {}_F^O{{R}}{}^F{{{H}}_{\rm d} } = {{\bf{0}}_{3 \times 1}}.$

式中： ${}^F{{{H}}_{\rm d} }$为下端虎克铰 ${H_{\rm d} }$在 $F - {X_F}{Y_F}{Z_F}$系中的位置矢量.

另外，虎克铰不能绕 $Z$轴转动，即动平台不能绕 ${Z_D}$轴转动，因此描述动平台姿态的欧拉角 ${\alpha _D}$=0，因此虎克铰对动平台的约束方程可以表示为

(29) ${{{\varPhi}} _D} = {\alpha _D} = 0.$

综合式（25）~（29）可以得到机构运动副为理想情况下5-PSS/UPU并联机构的运动约束方程：

(30) ${{{\varTheta }}_{\rm o} }({{q}}) = {\begin{array}{*{20}{c}} \left[{{{\varPhi }}_{C1}^{\rm{T}},{{\varPhi }}_{C2}^{\rm{T}},{{\varPhi }}_{C3}^{\rm{T}},{{\varPhi }}_{C4}^{\rm{T}},{{\varPhi }}_{C5}^{\rm{T}},} \right. { {{{\varPhi }}_{B1}^{\rm{T}},{{\varPhi }}_{B2}^{\rm{T}},{{\varPhi }}_{B3}^{\rm{T}},{{\varPhi }}_{B4}^{\rm{T}},{{\varPhi }}_{B5}^{\rm{T}},} \left. {{{\varPhi }}_{H{\rm u} }^{\rm{T}},{{\varPhi }}_{H{\rm d} }^{\rm{T}},{{\varPhi }}_D} \right] } \end{array}} = {{\bf{0}}_{1 \times 37}}.$

考虑到动平台各端球铰 ${C_i}$存在间隙，则其运动约束转变为力约束，须将其运动约束方程在整机运动约束方程中去掉，从而得到含球面副间隙的5-PSS/UPU并联机构的运动约束方程：

(31) ${{\varTheta }}({{q}}) = \begin{array}{l} \left[{{\varPhi }}_{B1}^{\rm{T}},{{\varPhi }}_{B1}^{\rm{T}},{{\varPhi }}_{B1}^{\rm{T}},{{\varPhi }}_{B1}^{\rm{T}},{{\varPhi }}_{B1}^{\rm{T}}, \right. \left. {{\varPhi }}_{H{\rm u}}^{\rm{T}},{{\varPhi }}_{H{\rm d}}^{\rm{T}},{{\varPhi }}_D \right] \end{array} = {{\bf{0}}_{1 \times 22}}.$

式（31）对时间求导可以得到含球面副间隙的5-PSS/UPU并联机构运动副的速度约束方程：

(32) ${{{\varTheta }}_q}{{\dot q}} = - {{{\varTheta }}_t},\quad{{{\varTheta }}_q} = {{\partial {{\varTheta }}}}/{{\partial {{q}}}},\quad{{{\varTheta }}_t} = {{\partial {{\varTheta }}}}/{{\partial t}}.$

式中： ${{{\varTheta}} _q}$为运动副约束方程的雅可比矩阵. 式（32）对时间二次求导可以得到5-PSS/UPU并联机构运动副的加速度约束方程：

(33) $\left. \begin{aligned} {{{\varTheta }}_q}{{\ddot q}} = {{\chi }},\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ {{\chi }} = - \displaystyle\frac{{\partial ({{{\varTheta }}_q}{{\dot q}})}}{{\partial {{q}}}}{{\dot q}} - 2\displaystyle\frac{{\partial {{{\varTheta }}_q}}}{{\partial t}}{{\dot q}} - \displaystyle\frac{{\partial {{{\varTheta }}_t}}}{{\partial t}}. \end{aligned} \right\}$

当不考虑球面副间隙时，机构的运动情况是确定的，采用牛顿-欧拉法将并联机构的各个活动构件单独进行受力分析，分别建立牛顿-欧拉动力学方程，通过消除内力项，建立并联机构的整体动力学模型：

(34) ${{{M}}_q}{{\ddot q}} + {{{C}}_q}{{\dot q}} + {{{G}}_q} + {{{F}}_{\rm w}} = {\left( {{{\varTheta }}_q^{ - 1}} \right)^{\rm{T}}}{{\tau }}.$

式中： ${{{M}}_q}$为并联机构的质量矩阵，只与机构的位姿有关； ${{{C}}_q}$为向心力及科氏力系数矩阵； ${{{G}}_q}$为重力项； ${{{F}}_{\rm w}}$为动平台所受外力项； ${{\tau}} $为驱动力项.

当考虑球面副间隙时，机构的运动情况不能确定，球面副元素接触会产生接触力，接触力约束取代运动约束. 本研究采用牛顿-欧拉法并引入Lagrange乘子建立含球面副间隙的5-PSS/UPU并联机构的动力学模型：

(35) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{M}}_q}}&{{{\varTheta }}_q^{\rm T}}\\ {{{{\varTheta }}_q}}&{\bf{0}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\ddot q}}}\\ {{\lambda }} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{Q}} + {{{Q}}_{\rm c}}}\\ {{\chi }} \end{array}} \right].$

式中： ${{\lambda}} $为拉格朗日乘子矢量，对应于运动副的约束反力； ${{Q}}$为不考虑球面副间隙时的广义外力； ${{{Q}}_{\rm c}}$为考虑球面副间隙时，接触力所对应的广义外力，在理想约束下 ${{{Q}}_{\rm c}}$=0.

为了防止微分代数方程组求解过程中的约束违反问题，采用Baumgarte方法^[21]将运动副约束及速度约束引入式（35）中，得到修正后的动力学模型：

(36) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{M}}_q}}&{{{\varTheta }}_q^{\rm{T}}}\\ {{{{\varTheta }}_q}}&{\bf{0}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\ddot q}}}\\ {{\lambda }} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{Q}} + {{{Q}}_{\rm c}}}\\ {{{\chi }} - 2a{{{\varTheta }}_t} - {b^2}{{\varTheta }}} \end{array}} \right].$

式中： $a$、 $b$为Baumgarte修正系数，值大于0，一般当a、b=5~50时，违约修正效果较好，在本研究中取 $a$=40， $b$=40.

5-PSS/UPU空间并联机构含球面副间隙的动力学迭代计算过程如图6所示，并联机构尺寸以及相关参数如表1所示.

根据动力学迭代计算流程图，采用4阶Runge-Kutta法求解动力学方程，在求得各部件的运动学参数之后判断各球面副元素的接触情况以及计算接触力，再整合含间隙并联机构的动力学模型，如此循环至结束，整个求解过程借助MATLAB软件编制程序并进行计算. 本研究对比球面副间隙为0.05 mm与理想球面副情况下，球面副间隙对空间并联机构动态特性的影响，给定动平台的运动规律表达式如下：

(37) $\left. \begin{array}{l} x = 0, \;\, y = 0, \;\, z = 0.554 + 0.08\sin \; \left( {{\text{π}} t} \right), \\ \beta = \displaystyle\frac{\text{π}} {18}\sin \; \left( {2{\text{π}} t} \right), \;\, \gamma = \displaystyle\frac{\text{π}} {18}\sin \; \left( {2{\text{π}}t} \right). \\ \end{array} \right\}$

如图7所示为在球面副间隙为0.05 mm与不含球面副间隙的情况下，并联机构动平台平动位移与转动角位移随时间变化规律的对比曲线. 图中，x、y、z为动平台质心沿X、Y、Z方向的位移， $\beta $、 $\gamma $为动平台的欧拉角位移. 可以看出，沿 $X$方向的最大位移误差发生在1.582 5 s，为0.000 984 m；沿Y方向的最大位移误差发生在2.000 0 s，为0.001 100 m；沿Z方向的最大位移误差发生在1.736 6 s，为0.000 450 m. 当t=1.772 6 s时， $\beta $发生最大误差，为0.004 8 rad；当t=1.690 2 s时， $\gamma $发生最大误差，为0.003 4 rad. 说明由于球面副间隙的存在，动平台的定位精度以及转动的姿态精度大幅下降.

如图8所示为在球面副间隙为0.05 mm与不含球面副间隙的情况下，并联机构动平台的平动速度与转动角速度随时间的变化规律的对比曲线. 图中， ${v_x}$、 ${v_y}$、 ${v_z}$为动平台质心沿X、Y、Z方向的速度， ${v_\beta }$、 ${v_\gamma }$为动平台的欧拉角速度. 可以看出，沿 $X$方向的最大速度误差发生在1.274 2 s，为0.032 7 m/s；沿Y方向的最大速度误差发生在1.768 7 s，为0.040 3 m/s；沿Z方向的最大速度误差发生在1.824 6 s，为0.031 0 m/s. 当t=0.209 1 s时， ${v_\beta }$发生最大误差，为0.187 1 rad/s；当t=1.755 6 s时， ${v_\gamma }$发生最大误差，为0.228 5 rad/s.

如图9所示为球面副间隙量为0.05 mm与不含球面副间隙的情况下，并联机构动平台的平动加速度与转动角加速度随时间的变化规律的对比曲线. 图中， ${a_x}$、 ${a_y}$、 ${a_z}$为动平台质心沿 $X$、 $Y$、 $Z$方向的加速度， ${a_\beta }$、 ${a_\gamma }$为动平台的欧拉角加速度. 可以看出，当考虑球面副间隙时，动平台在运动过程中会发生高频振荡，而在0.20、0.44、0.70 s附近与1.7~1.9 s内，振荡尤为剧烈；对比2种情况下的各加速度幅值可知，当发生振荡时，动平台的瞬时加速度可以达到理想情况下的几倍甚至几十倍.

根据Zhang等^[10]提出的角加速度均方根误差指标RMSE来量化球面副间隙对并联机构动力学特性的影响，选取欧拉角 $\ddot \beta $作为样本对象，则有

(38) ${\rm{RMSE}}\left( {\ddot \beta } \right) = \sqrt {\frac{1}{k}{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{{\ddot \beta }_i} - {{\ddot \beta }_i}^\prime } \right)^2} }}} .$

式中： $k$为采样个数， ${\ddot \beta _i}$为不含间隙下 $\beta $角加速度， ${\ddot \beta _i}^\prime $为含间隙下 $\beta $角加速度.

分别取间隙为0.05、0.10、0.20、0.40 mm这4种情况进行分析，结果如图10所示. 图中， $c$为球面副间隙. 可以看出，随着间隙的增大，间隙对并联机构动力学特性的影响越明显，并联机构的实际响应性能越差.

本研究以5-PSS/UPU并联机构为对象，分析多个球面副间隙对空间并联机构动态特性的综合影响.

（1）球面副间隙的存在会导致机构动态精度大幅下降.

（2）在机构的运动过程中，运动副元素会发生高频碰撞，导致机构出现高频振荡且瞬时加速度成倍甚至几十倍地增加，最终影响机构的动态响应、稳定性等性能.

（3）RMSE指标的分析结果说明，随着间隙的增大，间隙对并联机构动态性能影响越为明显.

（4）本研究为5-PSS/UPU并联机构的动态精度设计以及控制策略提供了重要的依据和参考，下一步将在该研究基础上，根据并联机构的动态特性进行参数优化.