我国是大跨空间结构建设大国^[1-3]. 根据第6次体育场地普查结果，截至2013年，我国拥有大型体育场馆1 093座^[4]. 若包含中小型体育场馆和其他类型的建筑，我国正在服役的大跨空间结构数以万计. 据估算，我国人均大型体育场馆的数量仅为美国的1/9^[4]. 考虑到经济活力与发展后劲，我国大跨空间结构的服役数量还将持续增长.

大跨空间结构的跨度为数十米甚至百米，它们的局部破坏或整体坍塌都将产生严重后果^[5]，因此及时发现结构损伤具有重要意义. 与服役数量快速增长不相称的是，大跨空间结构损伤识别理论的发展相对缓慢^[6-7]. 作为复杂结构，大跨空间结构庞大的识别规模与测量噪声干扰之间的矛盾是阻碍其损伤识别理论发展的主要障碍^[8].

一般采用先定位后定量的两步策略来进行结构损伤识别^[9-11]. 损伤定位的有效性影响损伤定量的计算效率与精度^[11]. 因此，从某种意义上讲，损伤定位比损伤定量更为重要. 利用模态参数变化来定位结构损伤是当前的主流方法^[12-14]. 其中，基于模态应变能的一类衍生指标被认为能够灵敏地反映结构损伤，在损伤定位研究中受到广泛关注^[15-18]. 但是，大部分研究^[15-18]仅针对规模较小的简单构件或结构的识别，不完全适用于规模庞大的复杂结构的识别. 在大跨空间结构领域，宋玉普等^[19]针对网架结构的单损伤工况，先基于模态应变能筛选出疑似损伤构件，再采用最小二乘向量机完成损伤的定量估计；李永梅等^[20]提出将模态应变能和小波变换相结合的方法对网壳结构进行损伤定位. 由于庞大的识别规模与测量噪声干扰之间的矛盾，有关大跨空间结构损伤定位的研究较少，且识别精度较低，发展抗噪能力更强的损伤定位指标是最基本的解决途径.

本研究提出基于跨模型模态应变能的损伤定位指标来判断网架结构（空间结构的典型代表）的损伤位置. 所提指标不仅改进了指标表达式，还引入了跨模型模态应变能的概念. 建立基于跨模型模态应变能的损伤定位指标理论公式，并对其抗噪性能进行定性分析；以具有较大识别规模的某网架结构为例进行数值分析，考察所提指标的有效性，分析影响抗噪性能提升的因素，并分析测量噪声、模态数量对损伤定位精度的影响.

对于自由度数为n的结构，其模态方程为

(1) $\left( {{{K}}{\rm{ - }}{\eta _i}{{M}}} \right){{{\varPhi }}_i} = {{0}}.$

式中： ${{K}}$为结构的整体刚度矩阵； ${{M}}$为一致质量矩阵； ${\eta _i}$、 ${{{\varPhi }}_i}$分别为第i阶模态对应的特征值和振型，i=1，2，···，n. 各振型已对质量矩阵进行了归一化处理.

定义在结构损伤前、后，单元j对应模态i的应变能表达式分别为

(2) ${E_{ij}} = {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{\varPhi }}_i},\;{\tilde E_{ij}} = {{\tilde \varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{\tilde \varPhi }}_i}.$

式中： ${{{K}}_j}$为单元j对应的整体刚度矩阵； ${{{\tilde \varPhi }}_i}$为损伤结构对应的第i阶振型. 应当注意，在计算 ${\tilde E_{ij}}$时，采用的是单元j损伤前的刚度矩阵 ${{{K}}_j}$. 式（2）给出的模态应变能可称为传统模态应变能.

文献[19]采用模态应变能变化指标（modal strain energy change index，MSECI）来定位损伤. 单元j的MSECI指标如下：

(3) ${\rm{MSEC}}{{\rm{I}}_j} = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\frac{{\left| {{C_{ij}}} \right|}}{{{C_{i,\max }}}}} .$

式中：m为参与计算的模态数量； $\left| \;\; \right|$表示取绝对值； ${C_{ij}}$、 ${C_{i,\max }}$分别为模态应变能增量及其最大值，表达式分别为

(4) ${C_{ij}} = {{{\tilde E}_{ij}} - {E_{ij}}} ,$

(5) ${C_{i,\max }} = \max\; {C_{ij}}\,;\quad j = 1,2,3,\cdots,b.$

其中，b为结构的单元数量.

可见，式（3）本质上是单元j归一化的模态应变能变化平均值. ${\rm{MSEC}}{{\rm{I}}_j}$越大，单元j越可能发生损伤.

文献[16]提出模态应变能基指标（modal strain energy based index，MSEBI）来定位损伤. 单元j的MSEBI指标表达式如下：

(6) ${\rm{MSEB}}{{\rm{I}}_j} = \max\; \left(0,\;\frac{{{{\tilde D}_j} - {D_j}}}{{{D_j}}}\right),$

(7) ${D_j} = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\frac{{{E_{ij}}}}{{{E_j}}}} ,\;{\tilde D_j} = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\frac{{{{\tilde E}_{ij}}}}{{{{\tilde E}_j}}}} .$

式中： ${E_j}$、 ${\tilde E_j}$分别为单元j在结构损伤前、后所有m阶模态的模态应变能之和. ${D_j}$、 ${\tilde D_j}$本质上是单元j各阶模态应变能的平均占比，相应地， ${\rm{MSEB}}{{\rm{I}}_j}$是该平均占比的变化率. ${\rm{MSEB}}{{\rm{I}}_j}$越大，单元j越可能发生损伤.

定义单元j在结构损伤后对应模态i的跨模型模态应变能为

(8) $\tilde E_{ij}^{\rm{c}} = {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{\tilde \varPhi }}_i}.$

与式（2）中的 ${\tilde E_{ij}}$仅采用结构损伤后的振型 ${{{\tilde \varPhi }}_i}$不同， $\tilde E_{ij}^{\rm{c}}$同时采用结构损伤前的振型和结构损伤后的振型.

定义跨模型模态应变能增量表达式为

(9) ${F_{ij}} = \tilde E_{ij}^{\rm{c}} - E_{ij}^{}.$

基于式（8）、（9），定义基于跨模型模态应变能的改进指标（modal-strain-energy modified index，MSEMI）：

(10) ${\rm{MSEM}}{{\rm{I}}_j} = \max \;\left(0,\;\frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\frac{{{F_{ij}}}}{{{F_{i,\max }}}}} \right).$

式中： ${F_{i,\max }} = \max \;{F_{ij}},j = 1,2,3,\cdots,b.$ ${\rm{MSEM}}{{\rm{I}}_j}$越大，单元j越可能发生损伤. 用 ${C_{ij}}$代替 ${F_{ij}}$，则式（10）给出的指标变为基于传统模态应变能的改进指标，为了方便对比，称其为传统模态应变能改进指标（traditional modal-strain-energy modified index，TMSEMI）.

损伤结构的实测振型总是存在噪声污染，表达式为

(11) ${{{\tilde \varPhi }}_i} = {{{\varPhi }}_i} + \Delta {{{\varPhi }}_i} + {{{N}}_i}.$

式中： $\Delta {{{\varPhi }}_i}$为模态i在结构损伤前、后的振型增量真实值； ${{{N}}_i}$为由测量噪声引起的振型误差，一般假定为零均值高斯白噪声.

将式（11）代入式（2），经整理后得到损伤结构单元j的传统模态应变能：

(12) $\begin{split} {{\tilde E}_{ij}} =& {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{\varPhi }}_i} + 2{{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}\Delta {{{\varPhi }}_i} + \Delta {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}\Delta {{{\varPhi }}_i} + \\ &2{{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{N}}_i} + 2\Delta {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{N}}_i} + {{N}}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{N}}_i}. \end{split} $

将式（11）代入式（8），得到损伤结构单元j的跨模型模态应变能为

(13) $\tilde E_{ij}^{\rm{c}} = {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{\varPhi }}_i} + {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}\Delta {{{\varPhi }}_i} + {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{N}}_i}.$

将式（12）代入式（4），得到

(14) $\begin{split} {C_{ij}} =& \left( {2{{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}\Delta {{{\varPhi }}_i} + \Delta {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}\Delta {{{\varPhi }}_i}} \right) + \\ &\left( {2{{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{N}}_i} + 2\Delta {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{N}}_i} + {{N}}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{N}}_i}} \right). \end{split} $

式中：右端第1个括号内各项之和为未被噪声污染的传统模态应变能增量真实值；右端第2个括号内各项之和为误差.

将式（13）代入式（9），得到

(15) ${F_{ij}} = {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}\Delta {{{\varPhi }}_i} + {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{N}}_i}.$

式中： ${{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}\Delta {{{\varPhi }}_i}$为未受污染的跨模型模态应变能增量； ${{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{N}}_i}$为误差.

比较式（14）、（15），并忽略式（14）中2个高阶项 $\Delta {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}\Delta {{{\varPhi }}_i}$、 ${{N}}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{N}}_i}$，可知 ${C_{ij}}$所含误差的相对变化幅度要比 ${F_{ij}}$的略大，意味着式（3）中 ${C_{ij}}/{C_{i,\max }}$因误差引起的相对波动幅度要比式（10）中 ${F_{ij}}/{F_{i,\max }}$的要大. 因此，从定性的角度分析，对于同一指标表达式，跨模型模态应变能指标比传统模态应变能指标具有更强的损伤定位能力.

以具有一定代表性的两向正放斜交四角锥网架为例进行数值分析，如图1所示. 结构尺寸为18 m×15 m×1.4 m（长×宽×高），上弦、下弦分别为7跨、6跨；结构为下弦支承，共有12个三向铰接支座；节点数量为113，构件数量为392；螺栓球直径均为100 mm. 构件只承受轴向力. 构件截面均采用直径为60 mm、壁厚为3.5 mm的无缝钢管，材料的弹性模量为206 GPa，泊松比为0.3，密度为7 850 kg/m³. 各节点编号如图1所示. 图中，加粗的构件为损伤模拟位置. 采用折减弹性模量的方法模拟构件损伤，模拟的损伤工况及损伤构件对应的节点如表1所示. 在模态分析时，同时考虑杆件和螺栓球自重对质量矩阵的贡献，每个螺栓球的质量为4.10 kg.

为了模拟实测振型受噪声污染的影响，测量噪声的添加方式假定为

(16) ${\tilde \phi _{ik}} = \tilde \phi _{ik}^*\left( {1 + \varepsilon \cdot {\rm{rand}}} \right).$

式中： ${\tilde \phi _{ik}}$、 $\tilde \phi _{ik}^*$分别为损伤结构模态i在第k个自由度上的含噪、无噪振型； $\varepsilon $为噪声水平；rand为符合标准正态分布的随机数.

为了考察跨模型模态应变能指标MSEMI的损伤定位能力，将其与传统模态应变能指标MSECI及MSEBI进行对比. 以表1所示损伤工况1为例展开分析. 考虑噪声水平和参与计算的模态数量这2个因素，分别得到这3种损伤定位指标的计算结果，如图2~4所示.

如图2（a）~（c）所示为不考虑噪声、变化模态数量情况下的MSECI指标计算结果. 在不考虑噪声的情况下，损伤构件（81号构件）对应的MSECI指标较大，损伤构件能够被明确指示出来；其他未损构件的干扰较多，且模态数量的增加反而增大了干扰. 文献[19]针对288杆网架结构进行计算分析，结果表明，即使不考虑噪声影响，MSECI指标也易受到未损构件的干扰. 如图2（d）~（f）所示为考虑5%噪声水平、变化模态数量情况下的MSECI指标计算结果. 在噪声影响下，虽然损伤构件均被明显指示出来，但相比无噪声的情况，未损构件的干扰明显增大；随着模态数量的增加，未损构件的干扰反而有所增大. 综上所述，在进行具有较大识别规模的网架结构损伤定位时，MSECI指标的抗噪能力较弱.

如图3（a）~（c）所示为不考虑噪声、变化模态数量情况下的MSEBI指标计算结果. 在不考虑噪声的情况下，损伤构件（81号构件）对应的MSEBI指标较大，其他未损构件的干扰较少，此时受模态数量变化的影响也较小. 如图3（d）~（f）所示为考虑5%噪声水平、变化模态数量情况下的MSEBI指标计算结果. 在噪声影响下，取5阶模态数量的MSEBI指标较小，损伤构件几乎完全湮没在其他未损构件的干扰中；取10阶模态数量的MSEBI指标有所突出，但仍不能明显指示81号构件的损伤状态；取15阶模态数量的MSEBI指标值更加突出，但部分未损构件的MSEBI指标也较大，使得对81号损伤构件的判断受到较大干扰. 可见，MSEBI指标的抗噪能力较弱，但增加参与计算的模态数量可以改善其抗噪性能. 这与文献[16]基于31杆平面桁架结构的研究结论（考虑3%噪声水平时MSEBI指标抗噪性强）有所冲突. 这是由于文献[16]采用的算例规模较小，且噪声水平相对较低. 综上所述，MSEBI指标的抗噪能力较弱，不适用于具有较大识别规模的网架结构损伤定位.

如图4（a）~（c）为不考虑噪声、变化模态数量情况下的MSEMI指标计算结果. 在不考虑噪声的情况下，损伤构件（81号构件）对应的MSEMI指标较大，其他未损构件的干扰较少，此时受模态数量变化的影响也较小. 如图4（d）~（f）所示为考虑5%噪声水平、变化模态数量情况下的MSEMI指标计算结果. 在噪声影响下，损伤构件对应的MSEMI指标均较大，其损伤状态能被明显指示出来；当取5阶模态数量时，MSEMI指标相对较差；当模态数量增加到10阶时，MSEMI指标明显好转；当继续增加模态数量到15阶时，MSEMI指标无明显改善. 可见，增加参与计算的模态数量可以适当改善MSEMI指标的抗干扰能力. 综上所述，与MSECI、MSEBI指标相比，MSEMI指标的损伤定位能力较强.

所提MSEMI指标既改进了表达形式，也引入了跨模型模态应变能. 因此，有必要分析这2个因素对所提指标抗噪性能的贡献.

如前所述，用传统模态应变能增量 ${C_{ij}}$代替式（10）中跨模型模态应变能增量 ${F_{ij}}$，得到新指标TMSEMI. 如图5所示为变化噪声水平与模态数量情况下TMSEMI指标计算结果. 与图4对比发现，TMSEMI指标与MSEMI指标的柱状图有些相似. 总体而言，在相同噪声和模态阶数下，MSEMI柱状图比TMSEMI柱状图分布更为稀疏，未损构件的MSEMI比TMSEMI更低，因此MSEMI指标比TMSEMI指标对损伤构件的指示性更突出. 结合图2，可以直观判断出，定位指标表达式的改进对所提MSEMI指标的抗噪性能改进起主要作用.

由于噪声的随机性，须从统计意义上进一步分析跨模型模态应变能的引入对所提指标抗噪性能的改善作用.

定义C_ij和F_ij对应的相对波动参数（由噪声引起的误差与模态应变能增量真实值之比）分别为

(17) ${{\rm{CN}}_{ij}} = \frac{{2{{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{N}}_i} + 2\Delta {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{N}}_i} + {{N}}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{N}}_i}}}{{2{{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}\Delta {{{\varPhi }}_i} + \Delta {{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}\Delta {{{\varPhi }}_i}}},$

(18) ${{\rm{FN}}_{ij}} = \frac{{{{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}{{{N}}_i}}}{{{{\varPhi }}_i^{\rm{T}}{{{K}}_j}\Delta {{{\varPhi }}_i}}}.$

式中：下标i、j分别为模态阶次和单元编号. 噪声是随机产生的，因此相对波动参数 ${{\rm{CN}}_{ij}}$、 ${{\rm{FN}}_{ij}}$也是随机出现的. 当指定一定的噪声水平时， ${{\rm{CN}}_{ij}}$、 ${{\rm{FN}}_{ij}}$各自存在最大值、最小值和波动幅这3个统计参数. 波动幅等于最大值减去最小值，代表相对波动参数的变化范围. 不难发现， ${{\rm{CN}}_{ij}}$（ ${{\rm{FN}}_{ij}}$）的波动幅越大，噪声对相应模态应变能增量 ${C_{ij}}$（ ${F_{ij}}$）的干扰越大.

采用蒙特卡洛方法获得 ${{\rm{CN}}_{ij}}$、 ${{\rm{FN}}_{ij}}$的3个统计参数. 引入表1中的损伤工况3来模拟损伤结构. 在对损伤结构进行模态分析后，提取前10阶模态参数. 按式（16）以5%噪声水平随机生成5 000组白噪声，再根据式（17）、（18）计算3个损伤单元对应前10阶模态的 ${{\rm{CN}}_{ij}}$、 ${{\rm{FN}}_{ij}}$. 在对计算结果进行统计分析后得到 ${{\rm{CN}}_{ij}}$、 ${{\rm{FN}}_{ij}}$相应的最大值、最小值和波动幅，如表2所示. 可以看出， ${{\rm{CN}}_{ij}}$、 ${{\rm{FN}}_{ij}}$随模态i和单元j的变化而呈现较大的差别：较大波动幅如 $R\left( {{{\rm{CN}}_{{\rm{1}},300}}} \right)$=129.98、 $R\left( {{{\rm{FN}}_{1,300}}} \right)$=30.05，而较小的波动幅如 $R\left( {{\rm{CN}}_{10,101}} \right)$=0.94、 $R\left( {{{\rm{FN}}_{10,101}}} \right)$=0.67. 此外，对任意模态i和单元j，尽管 ${{\rm{CN}}_{ij}}$的最小值有时大于 ${{\rm{FN}}_{ij}}$的最小值，但 ${{\rm{CN}}_{ij}}$的最大值总是大于 ${{\rm{FN}}_{ij}}$的最大值，且 ${{\rm{CN}}_{ij}}$的波动幅也总是大于 ${{\rm{FN}}_{ij}}$的波动幅. ${{\rm{CN}}_{ij}}$、 ${{\rm{FN}}_{ij}}$波动幅相对大小保持不变的特性，表明跨模型模态应变能增量 ${F_{ij}}$比传统模态应变能增量 ${C_{ij}}$更不易受噪声的影响. 该定量分析结果与第3节的定性分析结果相同，意味着跨模型模态应变能指标MSEMI的抗噪性能优于传统模态应变能指标TMSEMI.

基于前述5 000个噪声样本，取前10阶模态计算损伤工况1下每个样本的MSEMI指标和TMSEMI指标. 经统计，损伤构件（81号）对应的指标总是最大（即最能有效指示）的概率分别为99.82%、99.54%，表明这2种指标均具有较强的鲁棒性. 对于每个样本，分别将所有未损构件的指标平均值除以损伤构件相应的指标，从而得到2种指标各自对应的未损构件归一化平均值. 该归一化平均值的相对大小可以反映2种指标的抗噪性能. 值越小，相应指标的抗噪性能越好. 经统计，未损构件MSEMI指标归一化平均值大于TMSEMI指标归一化平均值的概率仅为3.08%，表明跨模型模态应变能的引入可以降低未损构件对损伤构件的干扰.

综上所述，定位指标表达式的改进对所提MSEMI指标的抗噪性能起主要作用，跨模型模态应变能的引入可进一步改善该指标应对随机噪声干扰的鲁棒性.

以如表1所示损伤工况2、3为例，考察MSEMI指标在多损伤工况下的表现. 选取前10阶模态参与MSEMI指标的计算. 在损伤工况2下，在无噪声、考虑5%噪声水平情况下的MSEMI指标计算结果分别如图6（a）、（b）所示. 由图6（a）可知，在无噪声时MSEMI指标能够清晰指示101号和141号损伤构件，所受干扰较小. 由图6（b）可知，在考虑5%噪声水平时，MSEMI指标所受干扰有所增大，但同样可以明确指示出2根损伤构件. 在损伤工况3下，在无噪声、考虑5%噪声情况下的MSEMI指标计算结果分别如图7（a）、（b）所示. 由图可知，即使考虑5%噪声水平，MSEMI指标依然能够清晰指示101号、141号以及300号损伤构件.

比较图4（b）、6（a）和7（a），可以发现，随着损伤构件数量的增加，未损构件所受干扰有一定程度的增大. 可见，不同损伤构件带来的干扰会产生一定的叠加效应. 由图2~5可知，相比其他指标，MSEMI指标抗噪能力更强，更适用于具有较大识别规模的网架结构损伤定位.

（1）所提指标MSEMI既改进了指标表达式，又引入了跨模型模态应变能. 指标表达式的改进对所提指标的抗噪性能提升起主要作用，而跨模型模态应变能的引入可以进一步改善所提指标的鲁棒性.

（2）定性分析和蒙特卡洛分析均表明，损伤单元跨模型模态应变能增量比传统模态应变能增量受噪声影响的程度更小，基于跨模型模态应变能建立的损伤定位指标较优.

（3）算例表明，所提MSEMI指标比传统模态应变能指标MSECI、MSEBI的抗噪能力更强，更适用于具有较大识别规模的网架结构损伤定位；较多的模态数量（对于本算例，建议取10阶）有利于增强MSEMI指标的抗噪能力.

（4）与传统模态应变能类似，基于跨模型模态应变能也可以衍生出诸多损伤定位指标，它们的性能有待进一步研究.