近年来，随着大量非线性设备的增加以及新能源发电装置接入到电网中，致使电力系统谐波问题日益突出，系统中的谐波成分变得越来越复杂. 与传统的工频整数次谐波相比，间谐波的频率更具有不确定性，危害更大. 复杂的电力谐波信号中很可能含有频率十分接近的谐波/间谐波成分，因此准确地检测出频率相近的谐波/间谐波是谐波检测的一个重要研究方向^[1].

目前，谐波/间谐波的检测方法主要有小波变换法^[2-3]、希尔伯特-黄变换法（Hilbert-Huang Transform，HHT）^[4-5]和傅里叶变换法^[6-7]. 以上方法多用于检测普通谐波，针对含密频成分谐波信号分解的研究很少. 当信号中两频率成分过于密集时，两频率的谱峰主瓣会发生部分重叠，造成主瓣干扰问题^[8]，这使得传统加窗插值的改进算法性能大幅度下降，甚至完全失效. 有学者利用小波变换分析频率较近的谐波信号. 喻敏等^[9]通过同步挤压小波变换（synchrosqueezing wavelet transform，SST）分解信号中频率较近的谐波/间谐波，但方法的分解能力限制了分解效果. 还有学者综合运用频域法和时域法相结合的优势来分析谐波/间谐波信号. 贾清泉等^[10]采用原子分解和加窗频移算法，分析相近的谐波/间谐波，但该方法较复杂，计算量较大. 近年来，HHT是处理复杂信号常用的方法，由经验模态分解法（empirical mode decomposition，EMD）和希尔伯特变换（Hilbert transform，HT）组成. HHT法首先利用EMD将信号分解为一组固有模态函数（intrinsic mode function，IMF）分量，分量个数会随信号的不同而改变，但EMD在分解过程中容易引入虚假成分. 当信号频率较近时，EMD很难将信号分解为单一频率分量，出现模态混叠现象. 孙曙光等^[11]针对谐波信号中的密频问题，利用Hilbert频移方法使信号满足EEMD分解条件. 该方法解决了高次谐波间的频率在二倍频之内且幅值较小的密频问题. 当信号中的谐波频率较低且频率间隔很小时，该方法无法有效地分解出信号中的各次谐波.

针对信号中两频率成分过于接近的密频问题，本文选用解析模态分解法（analytical mode decomposition，AMD）作为信号的分解方法. AMD是Chen等^[12]提出的新的信号分解方法. AMD作为一种时频分析方法，目前主要应用在故障诊断领域. 时培明等^[13]利用AMD能够分解紧密间隔信号、小的间歇波动信号和窄带信号的特性^[12，14-15]，将含故障成分的频率段提取出来. 由于AMD方法在提出时是以傅里叶变换为基础，分解信号前需要确定信号中的频率成分. 王佐才等^[16]利用傅里叶频谱确定信号中的频率成分，通过AMD分解信号，得到模态的参数. 如果信号中存在密集频率成分时，通过傅里叶频谱将无法提前预知信号中全部的频率成分，进而不能得到所有频率成分间的二分频率，不能实现信号的有效分解. 针对信号中的密集频率成分问题，时培明等^[17]利用EMD粗略得到信号中的频率成分，人为按大步长到小步长搜索密集频率间的二分频率，利用AMD分解含有密集频率的信号. 该方法的计算量太大，随机性太强. 为了解决上述方法中存在的问题，本文利用全相位快速傅里叶变换（all-phase fast Fourier transform，apFFT）的相位谱平坦特性来识别信号中的密集频谱^[18]，确定密集频率成分的位置，使用量子粒子群优化密集频段，自动寻优得到密集频率成分间的最佳二分频率.

综上所述，本文将AMD方法首次应用到电力谐波检测领域，提出基于apFFT与AMD的检测方法. 在含密频成分时，通过所得的最佳二分频率，利用AMD方法对谐波信号进行分解，可以完成信号中密频谐波的测量. 与HHT相比，该方法的分解效果更理想.

由于电力谐波信号密集频率成分的存在，需要利用apFFT的相位谱来识别谐波信号中的密集频谱成分.

apFFT对信号的谱分析流程如图1所示.

由图1可知，长度为（2N−1）的卷积窗 ${W_{\rm c}}$对中心样点x（0）前后长度为（2N−1）的数据进行加权，对前后间隔为N的加权数据进行重叠相加形成长度为N的数据，对该数据作FFT，可得全相位谱分析结果.

若图1中输入信号为单频复指数信号，信号的具体表达式为

(1) $x(n) = A{{\rm{exp}}\;[{{\rm j}(\omega n + {\theta _0})}]}{\text{；}}\;n \in [ - N + 1,N - 1].$

式中：A为幅值， $\omega $为角频率， ${\theta _0}$为初始相位.

由文献[19]可知，全相位傅里叶变换的振幅谱公式为

(2) $ Y(k) \!= \!|X(k){|^2}{{\rm{exp}}\,({{\rm j}{\theta _0}}}) \!=\! |F(k\Delta \omega \!-\! {\omega ^*}){|^2}{{\rm{exp}}\,({{\rm j}{\theta _0}}}){\text{；}} \!\!\!\!\! k \!\in [0,N \!- \!1]. $

式中：F（ɷ）为双窗apFFT频谱分析中所采用的窗函数频谱.

通过式（2）可以看出，apFFT的相位谱公式为

(3) $ {\phi _Y}(k) = {\theta _0}{\text{;}}\;k \in [0,N - 1]. $

apFFT主谱线上的相位谱值与中心点x（0）的相位值相等，都为 ${\theta _0}$，所以apFFT的主谱线的相位谱值为中心点的理论相位值. 可以看出，apFFT具有“相位不变性”.

假设单频信号x₁（t）、x₂（t）及复合信号x（t）为

(4) $ {x_1}(t) = \cos \,\,(2 {\text{π}} {f_1}t + {\theta _1}){\text{，}} $

(5) ${x_2}(t) = \cos\,\, (2 {\text{π}} {f_2}t + {\theta _2}){\text{，}}$

(6) $x(t) = \cos \,\,(2 {\text{π}} {f_1}t + {\theta _1}) + \cos \,\,(2 {\text{π}} {f_2}t + {\theta _2}).$

式中：t为时间. ${f_1} = 30$ Hz， ${\theta _1} = 150^\circ $， ${f_2} = 30.5$ Hz， ${\theta _2} = 50^\circ $，采样频率 ${f_{\rm s}} = 256$ Hz，采样长度N=128. 根据频谱分辨率的公式 $\Delta f = {f_{\rm s}}/N = 2$ Hz，由于 $|{f_2} - {f_1}| < $ $\Delta f $，信号x（t）属于密集谱分布^[20]. 对x₁（t）、x₂（t）和x（t）进行apFFT，由于两单频信号频率主要集中在30 Hz左右，图2中横坐标选为0~60 Hz，得到如图2所示的幅值谱和相位谱.

从图2可以看出，当图2（a）、（b）中只有一个单频信号时，单频信号x₁（t）、x₂（t）的相位谱成一条直线，相位没有发生变化，具备平坦性，这与apFFT的相位不变性特点吻合. 图2（c）中，x（t）的相位谱在频率点处存在峰值，不具备平坦性，可以判定为密集谱.

解析模态分解法作为新的信号分解方法，不仅可以分解频率相近的非平稳信号，而且计算效率高，信号处理可靠. 考虑到电力谐波信号中可能存在密集频率的谐波/间谐波成分，将AMD用于谐波信号的分解.

当信号x（t）中含有n个单频信号分量，每个信号对应的频率为 ${\omega _i}$，这n个单频信号分量可以用 ${x_i}^{({\rm d})}(t)$ $(i = 1,2, \cdots ,n)$来表示：

(7) $x(t) = \sum\limits_{i=1}^n {x_i^{({\rm d})}} (t).$

式中：t为时间，n为单频信号分量个数.

2个单频分量信号之间的二分频率为 ${\omega _{{\rm b}i}}$， ${\omega _{{\rm b}i}} \in ({\omega _i},{\omega _{i + 1}})$ $(i = 1,2, \cdots ,n - 1)$. 为了更加直观地表现出二分频率，如图3所示. 图中，I为电流幅值.

(8) ${x_i}^{({\rm d})}(t) = {s_i}(t) - {s_{i - 1}}(t), \cdots ,\;{x_n}^{({\rm d})}(t) = x(t) - {s_{n - 1}}(t).$

(9) $ \begin{split} {s_i}(t) = & \sin \,\,({\omega _{{\rm b}i}}t)H[x(t)\cos \,\,({\omega _{{\rm b}i}}t)] - \\ & \cos\,\, ({\omega _{{\rm b}i}}t)H[x(t)\sin \,\,({\omega _{{\rm b}i}}t)]{\text{;}}\;i = 1, \cdots ,n - 1. \end{split} $

式中：s₀（t）为0， $H[ \cdot ]$为函数的Hilbert变换.

一个时间序列通常可以表示为2个信号的总和：

(10) $x(t) = {s_1}(t) + {{\bar s}_1}(t).$

信号中的二分频率为 ${\omega _{b1}}$，其中 $x(t)$、 ${s_1}(t)$、 ${{\bar s}_1}(t)$的傅里叶变换为 $\hat X(\omega )$、 ${\hat s_1}(\omega )$、 ${\hat {\bar s}_1}(\omega )$， $\omega $为频率变量 $({\omega _1} < {\omega _{{\rm b}1}} < {\omega _2})$， ${\hat s_1}(\omega )$与 ${\hat {\bar s}_1}(\omega )$之和等于 $\hat X(\omega )$，根据傅里叶变换中的Parseval定理可知：

(11) $ \begin{array}{c} {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {|{s_1}(t)|} ^2}{\rm d}t = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {|{{\hat s}_1}(\omega )} {|^2}{\rm d}\omega /(2 {\text{π}}) \leqslant\\ \int_{ - \infty }^{ + \infty } {|\hat X(\omega )} {|^2}{\rm d}\omega /(2{\text{π}}) = {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {x(t)} \right|} ^2}{\rm d}t < \infty . \end{array} $

(12) $ \begin{array}{c} {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {{{{\bar s}}_1}(t)} \right|} ^2}{\rm d}t = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {|{{\hat {\bar s}}_1}(\omega )} {|^2}{\rm d}\omega /(2 {\text{π}}) \leqslant \\ \int_{ - \infty }^{ + \infty } {|\hat X(\omega )} {|^2}{\rm d}\omega /(2{\text{π}})= {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {x(t)} \right|} ^2}{\rm d}t < \infty . \end{array} $

因此， ${s_1}(t)$与 ${{\bar s}_1}(t)$都为 ${L^2}( - \infty , + \infty )$上的实函数.

对 ${s_k}(t)x(t)$进行希尔伯特变换：

(13) $H[{s_k}(t)x(t)] = H[{s_k}(t){s_1}(t)] + H[{s_k}(t){{\bar s}_1}(t)].$

根据Hilbert变换中的Bedrosian定理，可以将式（13）写成如下形式：

(14) $H[{s_k}(t)x(t)] = {s_1}(t)H[{s_k}(t)] + {{\bar s}_1}(t)H[{s_k}(t)].$

令 $k$ 分别为 $p$ 和 $q$， ${s_p}(t) = \cos \,\,({\omega _{{\rm b}1}}t)$， ${s_q}(t) =$ $ \sin \,\,({\omega _{{\rm b}1}}t) $，求得

(15) ${s_1}(t) = \frac{{{s_q}(t)H[{s_p}(t)x(t)] - {s_p}(t)H[{s_q}(t)x(t)]}}{{{s_q}(t)H[{s_p}(t)] - {s_p}(t)H[{s_q}(t)]}}{\text{，}}$

(16) $ H[{{\bar s}_1}(t)] = \frac{{H[{s_p}(t)]H[{s_q}(t)x(t)] - H[{s_q}(t)]H[{s_p}(t)x(t)]}}{{{s_q}(t)H[{s_p}(t)] - {s_p}(t)H[{s_q}(t)]}}. $

对 ${s_p}(t)$和 ${s_q}(t)$进行希尔伯特变换 $H[{s_p}(t)] =$ $ \sin \,\,({\omega _{{\rm b}1}}t)$， $H[{s_q}(t)] = - \cos\,\, ({\omega _{{\rm b}1}}t)$，利用式（15）、（16）可以解得

(17) ${s_q}(t)H[{s_p}(t)] - {s_p}(t)H[{s_q}(t)] = 1.$

将 ${s_q}(t)$、 ${s_p}(t)$代入式（15）、（16），可得

(18) $ \begin{array}{c} {s_1}(t) = \sin \,\,({\omega _{{\rm b}1}}t)H[\cos\,\, ({\omega _{{\rm b}1}}t)x(t)] -\\ \cos \,\,({\omega _{{\rm b}1}}t)H[\sin\,\, ({\omega _{{\rm b}1}}t)x(t)]{\text{，}} \end{array} $

(19) $ \begin{array}{c} H[{{\bar s}_1}(t)] = \sin\,\, ({\omega _{{\rm b}1}}t)H[\sin\,\, ({\omega _{{\rm b}1}}t)x(t)] + \\ \cos\,\, ({\omega _{{\rm b}1}}t)H[\cos\,\, ({\omega _{{\rm b}1}}t)x(t)]. \end{array} $

由式（10）可得

(20) ${{\bar s}_1}(t) = x(t) - {s_1}(t){\text{，}}$

(21) $H[{s_1}(t)] = H[x(t)] - H[{{\bar s}_1}(t)].$

通过式（21）可以看出，经AMD分解后，信号 $x(t)$被分解为 ${s_1}(t)$和 ${{\bar s}_1}(t)$两个信号分量.

根据AMD的分解原理可知，AMD能够将时间序列x（t）分解为任意2个信号的和，实现低通滤波的功能，还可以实现带通和高通滤波的功能. 对于含有多个频率信号叠加的谐波信号，只要知道信号中的频率成分，就能将信号中的多频成分分解出来.

假设有一时间序列，表达式同式（7）. 时间序列中各个单频信号的频率由小到大依次为 ${f_1},{f_2}, \cdots ,{f_{n - 1}},{f_n}$，通过频率可以确定二分频值 ${\omega _{{\rm b}1}}, $ ${\omega _{{\rm b}2}}, \cdot \cdot \cdot \cdot ,{\omega _{{\rm b}(n - 1)}}$ ( ${f_1}< {\omega _{{\rm b}1}} < {f_2},\,{f_2} < {\omega _{{\rm b}2}} < {f_3}, \, \cdots ,\,{f_{n - 1}} < $ $ {\omega _{{\rm b}(n - 1)}}< {f_n})$，通过二分频率对 $x(t)$进行多频信号分解. 先分解信号中 ${f_1}$频率成分 $x_1^{({\rm d})}(t)$， $x_1^{({\rm d})}(t)$是信号中频率最小的成分 ${s_1}(t) = x_1^{({\rm d})}(t)$，可以直接通过式（10）解得，用 $\bar x_1^{({\rm d})}(t)$表示信号的剩余成分；分解 $\bar x_1^{({\rm d})}(t)$中 ${f_2}$频率成分 $x_2^{({\rm d})}(t)$， $x_2^{({\rm d})}(t) = {s_2}(t) - {s_1}(t)$，用 $\bar x_2^{({\rm d})}(t)$表示信号中的剩余成分；按照该方法依次分解，分解 $\bar x_{n - 2}^{({\rm d})}(t)$中 ${f_{n - 1}}$频率成分 $x_{n - 1}^{({\rm d})}(t)$， $x_{n - 1}^{({\rm d})}(t)$= ${s_{n - 1}}(t) - {s_{n - 2}}(t)$，剩余成分 $\bar x_{n - 1}^{({\rm d})}(t)$即为 $x_n^{({\rm d})}(t)$，可以将信号 $x_1^{({\rm d})}(t),x_2^{({\rm d})}(t), \cdot \cdot \cdot \cdot ,x_n^{({\rm d})}(t)$全部分解出来.

当利用AMD算法处理信号时，需要预先确定信号中频率成分. 由于apFFT分解信号前信号源成分未知，按照IEC61000-4-7推荐的10个基波周期进行采样，频谱的分辨率为 $\Delta f$=5 Hz. 若电力谐波信号中存在频率十分接近的谐波/间谐波成分，频率间隔不足一个 $\Delta f$，则频谱重叠十分严重，频谱只呈现出一个谱峰. 通过对apFFT谱峰的搜索，无法确定密集频谱内的频率成分，不能得到二分频率.

采用量子粒子群对密集频段的二分频率进行优化，自动筛选出最佳的二分频率，避免了人为寻找的复杂性与随机性. 量子粒子群算法首先由Sun等^[21]提出，将粒子群引入量子空间，结合粒子群与量子力学的理论知识，利用量子粒子物理学中的量子运动方式描述粒子的运动，从而保证粒子运动覆盖整个区域，保证搜索到全局最优解^[22].

当利用量子粒子群搜寻二分频率的最佳值时，需要确定适应度函数，粒子每次更新一个位置，适应度函数都会产生一个新的适应度，随着粒子位置的更新，适应度会进行对比更新. 利用AMD算法对信号中的密集谐波/间谐波成分进行处理后，密集频谱部分会被分解为2个单频分量的信号x₁（t）、x₂（t）. 根据正弦信号之间的正交特性，相关系数可以定义为r. 当r=0时，表示信号x₁（t）、x₂（t）完全不相关；当r $ \ne $0时，表示信号x₁（t）、x₂（t）之间存在着模态混叠，r越大说明2个信号之间的相关度越大，混叠越严重. 根据这一特点，选取相关度作为适应度函数，r作为寻优过程的适应度，将相关系数最小化作为最终的寻优目标. 量子粒子群优化密集频段的二分频率步骤如下.

1）对量子粒子群进行初始化，设置种群规模M、最大迭代次数T和粒子位置向量 ${{ X}_i}$寻优的频率范围，空间位置维数为1，在规定的范围内随机初始化粒子的位置向量.

2）根据适应度函数计算出每个粒子的适应度值，将它作为每个粒子的最优适应度，记为 ${P_{\rm b}}(i)$（i=1, 2, $\cdots $, M），通过比较每个粒子的最优适应度，选出最小值作为全局最优适应度 ${G_{\rm b}}(i)$.

3）在粒子的位置更新后，对比每个粒子的最优适应度和全局最优适应度的大小，更新 ${P_{\rm b}}(i)$和 ${G_{\rm b}}(i)$. 每个粒子位置更新的表达式为

(22) $ \begin{split} {X_i}(t + 1) =& \varphi {P_i}(t) + (1 - \varphi ){G_{\rm b}}(t) \pm\\ & \beta |{M_{\rm b}}(t) - {X_i}(t)|\ln\,\, ({1 / u}). \end{split} $

式中：t为当前的迭代次数； $\varphi $、u为0~1.0的随机数； $\;\beta $为收缩-扩张系数； ${P_i}(t)$为迭代到t次第 $i$个粒子的最佳位置； ${G_{\rm b}}(t)$为迭代到t次种群 ${M_{\rm b}}(t)$的全局最佳位置，是第t次迭代中M个粒子的平均最佳位置.

4）循环迭代，直到迭代结束，输出全局最优适应度和相应的粒子最优位置，所得最优位置即为最佳的二分频率.

该算法共分为以下5个步骤.

1）对电力谐波信号进行apFFT分解，得到信号的幅值谱和相位谱.

2）通过对信号的幅值谱图进行谱峰搜索，得到信号的各个频率，利用apFFT相位谱的平坦特性判断电力谐波信号中是否含有密集频谱谐波/间谐波成分. 若不含有密集频谱成分，则直接进行步骤5）.

3）若电力谐波信号中含有密集频谱的成分，则通过相位谱找到相位发生改变附近所对应幅值谱图中谱峰的频率f.

4）利用量子粒子群寻优，粒子位置 ${X_i}$的寻优频率为 $f - \Delta f\sim f + \Delta f$，粒子的最优位置是密集频谱内的最佳二分频率.

5）根据步骤2）中幅值谱图的谱峰值，确定非密集频段中各个频率之间的二分频率，进行AMD分解，对分解出的单频信号分量采取希尔伯特变换，得到相应的瞬时幅值和瞬时频率.

该算法的流程如图4所示.

假设电力谐波信号为

(23) $x(t) = \sum\limits_{i = 1}^5 {{A_i}} \cos\,\, (2 {\text{π}} {f_i}t + {\theta _i}).$

基波可能存在频率波动，考虑到这一影响，将基波频率设定为50.2 Hz，信号中谐波/间谐波成分的频率、幅值、相位θ如表1所示.

在谐波源成分未知，基波频率存在0.2 Hz波动的情况下，将采样频率设定为5 120 Hz，根据IEC61000-4-7推荐10个50 Hz基波周期，采样长度为1 024. 对于谐波信号，采用apFFT进行频谱分析. 为了便于观察，横轴频率范围为0~600 Hz，信号的幅值谱图和相位谱图如图5、6所示. 图中，I_n为归一化电流幅值.

对apFFT的幅值谱图5进行谱峰搜索，可以得到5个谱峰值，对应的频率分别为20、50、100、230和520 Hz. 由图6可知，信号相位谱在各频率处均呈现出平坦特性，因此可以确定幅值谱图中检测出信号均为单频谱成分. 在对信号进行AMD分解时，采样频率为5 120 Hz，采样长度变为5 120. AMD的计算效率很高，增大采样长度不会增大计算的复杂度，而且该方法是时频分析方法，增大采样长度能够更好地反映分解后信号的物理意义. 将该方法与HHT方法进行对比，如图7、8所示为原始信号及本文方法和EMD的分解结果.

由于采样点数较多，分解结果的波形较密集，无法看出波形的具体特征，对图7、8的波形进行局部放大，放大的时间段为0.40~0.45 s，幅值不变. 通过幅值谱图确定原始信号中共有5种频率成分，由图7可知，x（t）为原始信号，x₁~x₅为分解出的单频信号分量，频率依次为20.07、50.08、99.95、228.00和519.98 Hz. 经本文方法检测出的分量x₄为228 Hz与apFFT频谱分析中的230 Hz不同，这是因为apFFT作频谱分析时，频谱分辨率为5 Hz，只能检测出频率为5 Hz整数倍的谐波/间谐波成分，apFFT在对228 Hz的间谐波进行检测时会找取靠近该频率处的最高谱线，而这根谱线所对应的频率是230 Hz. apFFT检测出的频率成分230 Hz与实际频谱成分228 Hz稍微有些差异，但该方法能够将信号中频率为228 Hz的间谐波分解出来，并且检测结果十分接近真实值，表明本文方法几乎不受基波频率波动的影响. 由于信号中的频率成分间隔较大，通过图8可以看出，EMD可以将谐波/间谐波分解出来，IMF₁~IMF₅的频率依次为519.91、227.93、99.92、49.92和19.92 Hz，IMF₆分量为虚假分量. 受EMD算法端点效应的影响，波形端点处的分解效果不是很好. 对各分量进行希尔伯特变换，求得瞬时幅值和瞬时频率，采取求平均值的方法得到本文方法和EMD的幅值和频率检测结果，如表2所示. 表中，f_e为估计频率，ξ_f为频率估计误差，I_e为估计电流幅值，ξ_I为电流幅值的估计误差.根据表2可知，当信号中的频率成分间隔较大时，该方法的幅值和频率检测精度均高于EMD的检测精度.

AMD算法的运算时间复杂度为O（N），EMD算法的复杂度为O（N），其中N为采样点数. 为了对比该方法与EMD算法的计算效率，使用笔记本电脑联想G400s，Intel i5-5400的CPU，在软件Matlab 2014a中运行AMD算法和EMD算法各10次，记录10次的时间求取平均值. AMD运行时间的平均值为0.778 444 s，EMD运行时间的平均值为1.074 201 s. 通过运行时间的对比可以发现，AMD算法的计算效率高于EMD算法.

改变算例1中电力谐波信号成分的频率和幅值，具体参数如表3所示.

基波频率为50 Hz，采样频率和采样长度同算例1，采用apFFT进行频谱分析，得到信号的幅值谱图和相位谱图，如图9、10所示，横轴的频率为0~260 Hz.

从图9的幅值谱图可以看出共有4个谱峰值，对应的频率分别为20、50、160和250 Hz. 从图10可以看出，相位存在一个尖峰值，尖峰值所对应幅值谱中的谱峰频率为160 Hz，其他频率处的相位趋于平坦. 根据相位谱的平坦特性，可以判断该电力谐波信号中含有密集频谱的谐波/间谐波成分，密集频率集中在160 Hz附近.

利用量子粒子群对密集频率段寻优，最大迭代次数为50次，种群粒子数为50个，粒子位置 ${X_i}$的寻优频率为155~165 Hz. 粒子在寻优的过程中随着种群迭代次数的增加适应度逐渐变小，迭代至31次时适应度变为0，适应度达到最优. 图11中，F为适应度，f_p为粒子位置，N_i为迭代次数. 2个单频信号之间完全不相关，如图11所示，相应粒子的位置为最优位置，即最佳二分频率，是161 Hz.

通过量子粒子群寻优，确定161 Hz是密集频段的最佳二分频率，根据非密集频段的其他频率确定所需的二分频率. 利用AMD算法对信号进行分解，得到各个单频信号分量x₁~x₅，如图12所示. 如图13所示为EMD对该信号的分解结果.

对该方法分解出的信号分量x₁、x₂、x₃、x₄、x₅进行希尔伯特变换，得到图14各个单频信号分量的瞬时幅值、瞬时频率及密集频率的局部放大图.

图12和图13局部放大的时间段为0.40~0.45 s. 通过图12可知，在信号源成分未知的情况下，利用该方法能够将信号中谐波/间谐波成分全部检测出来；图14中经希尔伯特变换得到的各分量的瞬时幅值和瞬时频率非常平稳，基本上没有任何波动，检测结果准确. 尤其是两密频间谐波x₃、x₄的检测频率为160、162 Hz，检测幅值为1、2 A，与信号的实际频率和幅值相同，这表明所提方法能够很好地分辨出2个频率接近的间谐波. 由图13的分解结果可以看出，EMD共分解出6个IMF分量，IMF₁、IMF₂、IMF₃的检测频率分别为249.91、49.98和20.90 Hz，其他IMF分量为虚假分量，信号中的2个密频间谐波没有被分解出来. EMD的分解之所以会出现这样的结果，原因是信号中存在频率比较接近谐波/间谐波的成分，当较大与较小频率的比值小于2时，EMD将其看成是一个调制信号，造成模态混叠的情况^[23]. 根据仿真结果可知，当信号中含有密频谐波/间谐波成分时，AMD对密频的分解能力强于EMD，该方法的检测结果十分准确.

为了验证该方法在实际中的整体应用性能，采用半物理实验，通过信号发生器模拟实际电力谐波信号. 如图15所示为实验中用到的设备，谐波源装置为泰克信号发生器AFG3152C. D/A的输出频率高达150 MHz，完全可以将离散的数据点转化为连续的模拟信号，该实验中将谐波电流信号模型数据通过ArbExpress软件导入到信号发生器中，输出与电流信号成比例缩放的电压模拟信号. 在信号采集部分，采用Labview操作研华公司生产的PCI-1712L数据采集卡进行信号的采集. 实验的整体过程方案如图16所示，信号发生器产生实际模拟信号，采集卡采集信号，计算机对采集到的信号进行分析处理. 采集卡采样频率为5 120 Hz，谐波源信号模型的具体参数如表4所示. 为了对比实验数据与仿真算例2的参数，表4给出的模型参数是信号发生器实际输出参数的10倍. 该模型参数和仿真算例2的参数有区别，主要考虑在实际情况下，当谐波与间谐波频率接近时该方法的适用性及分解结果的准确性.

采用该方法分析采集的信号，结果如图17、18所示.

粒子位置 ${X_i}$的寻优频率为145~155 Hz，其他参数的初始化与仿真算例2相同，量子粒子群寻优的最佳二分频率为151 Hz. 对实测信号进行AMD分解，分解结果如图19所示，对分解后信号进行希尔伯特变换，如图20所示.

图19局部放大的时间段为0.40~0.45 s. 信号发生器产生实际模拟信号，通过采集卡采集信号的过程中会存在一些噪声干扰. 由图20（a）可知，x₁~x₅分量瞬时幅值相对平稳，基本为一条直线，但与实际幅值相比存在一定的偏差. 图20（b）中瞬时频率存在一定的波动，x₄分量的波动较大，波动范围为151~153 Hz，其余4个分量的瞬时频率波动幅度较小.

如表5所示为该方法对实测信号的幅值和频率检测结果. 根据表5可知，该方法能够将实测信号中的各次谐波/间谐波分解出来，频率和幅值检测的平均误差分别为0.01%和0.85%. 与3次谐波频率接近的间谐波的幅值和频率检测存在一定的误差，频率检测的精度高于幅值检测的精度.

（1）利用apFFT相位谱的平坦特性，实现了对电力谐波信号中密集频率成分的判定，可以确定该成分的频率区间.

（2）以相关系数r作为适应度，在密集频段频率范围内，利用量子粒子群可以完成最佳二分频率的自动寻优，避免了人为搜索的复杂性与随机性.

（3）利用AMD算法实现了信号中频率相近的谐波/间谐波成分的分解，将该分解结果与EMD的分解结果进行对比. 对比结果表明，AMD算法的执行效率更高，各分量能够真实地反映信号的实际物理意义，相应的参数检测达到了很高的精度.

（4）基于半物理实验测试表明了该方法对密频信号检测的有效性，密频成分的频率和幅值检测的误差小.

该方法存在一定的局限性，局限性在于本文的密集频谱中只包含2个频率接近的谐波/间谐波成分，当密集频谱中含有多个频率接近的成分时，如何准确地检测出密集频谱中的多个频率成分是值得研究的问题.