自动驾驶汽车技术旨在提高驾驶安全性，减少交通拥堵和排放，提高能源效率，是汽车技术发展的趋势之一^[1]，在未来的智能交通和军事领域有很广阔的应用前景^[2-3].

作为智能车的关键技术之一，目前已有许多学者对智能车轨迹跟踪进行了研究，提出许多控制方法. MacAdam^[4]建立预瞄最优控制驾驶员模型，采用最优控制理论，计算方向盘转角；Guo等^[5]最早提出预瞄-跟随系统理论，建立驾驶员预瞄最优曲率模型；姜立标等^[6]采用新型的趋近率设计滑模控制轨迹跟踪控制器，提高了状态的趋近速度并消除了抖振；Soudbakhsh等^[7]采用滑模控制设计轨迹跟踪控制器，与LQR控制器进行对比，结果表明，该控制器对横摆角的跟踪优于LQR控制器；李兵^[8]结合滑模控制和RBF神经网络，设计车辆轨迹跟踪控制器，使车辆能够较好地跟踪期望轨迹；龚建伟等^[9-13]采用模型预测控制实现轨迹跟踪控制，使车辆在保证稳定性的同时具有较高的跟踪精度，但模型预测控制在线优化比较耗时且对模型精度要求较高；Wang等^[14]基于鲁棒反步滑模控制理论设计轨迹跟踪控制器，该控制器在轨迹跟踪精度和收敛速度方面均优于滑模控制器. Calzolari等^[15]对8种典型的轨迹跟踪控制器进行对比，分析每种控制器在抑制模型不确定性、噪声和扰动方面的优缺点. 为了描述车辆参数的时变特性，Guo等^[16]设计线性时变车辆侧向动力学模型，基于线性矩阵不等式设计鲁棒变增益控制器，保证轨迹跟踪精度和系统的鲁棒性. Xia等^[17]采用自抗扰技术设计轨迹跟踪控制器，该控制器具有较强的鲁棒性；吴艳等^[18]基于终端滑模控制和自抗扰控制，设计滑模自抗扰轨迹跟踪控制器，该控制器在保证车辆稳定性的同时，能够精确、快速地跟踪期望轨迹.

针对智能车轨迹跟踪控制，本文提出基于线性矩阵不等式(LMI)的轨迹跟踪控制器. 考虑到传统车辆侧向动力学状态空间模型不可控，进行适当的坐标变换，得到基于跟踪误差的车辆侧向动力学状态空间模型；采用饱和线性轮胎模型，推导出车辆侧向动力学多胞型模型，设计LMI反馈控制器和前馈控制器，与模型预测控制器(MPC)和预瞄驾驶员模型(PDM)控制器进行对比.

车辆速度一定，智能车轨迹跟踪实际反映的是车辆侧向动力学控制，因此采用只考虑车辆侧向和横摆运动的二自由度车辆模型，如图1所示，侧向运动和横摆运动方程^[19]如下.

侧向运动方程为

(1) $m({\dot V_{{y}}} + {V_x}\dot \psi ) = {F_{y{\rm f}}} + {F_{y{\rm r}}}.$

横摆运动方程为

(2) ${I_z}\ddot \psi = {l_{\rm a}}{F_{y{\rm f}}} - {l_{\rm b}}{F_{y{\rm r}}}.$

式中：m为车辆质量，I_z为车辆横摆转动惯量，ψ为车辆的横摆角，w_r为横摆角速度，φ为车辆航向角，y为侧向位移，V_x和V_y为车辆坐标系下车辆质心处的纵向和侧向速度，l_a和l_b分别为车辆质心到前后轴距离，F_yf和F_{y r}分别为车辆前、后轴的侧向力.

当轮胎侧偏角较小时，侧向力和侧偏角为线性关系，并采用小角度假设，轮胎侧向力可以线性化为

(3) $\left. \begin{split} & {F_{y{\rm f}}}{\rm{ = 2}}{C_{\alpha {\rm f}}}\left( \delta - \frac{{{V_y} + {l_{\rm a}}\dot \psi }}{{{V_x}}}\right), \\ & {F_{y{\rm r}}}{\rm{ = 2}}{C_{\alpha {\rm r}}} \left( - \frac{{{V_y} - {l_{\rm b}}\dot \psi }}{{{V_x}}} \right) . \\ \end{split} \right\}$

式中：C_αf为每个前轮胎的侧偏刚度，C_αr为每个后轮胎的侧偏刚度，δ为前轮转角.

将式（3）代入式（1）、（2），可得车辆侧向动力学状态空间模型：

(4) $ \!\!\begin{split} \frac{\rm d}{{{\rm d}t}}\left[ \begin{array}{l} \!\!\! y \!\!\! \\ \!\!\! {\dot y} \!\!\! \\ \!\!\! \psi \!\!\! \\ \!\!\! {\dot \psi } \!\!\! \end{array} \right] \!=\!& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\! 0\!\!&\!\!1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!0 \!\!\! \\ \!\!\! 0\!\!&\!\!{ \!-\! \dfrac{{{\rm{2}}{C_{\alpha {\rm{f}}}} + {\rm{2}}{C_{\alpha {\rm{r}}}}}}{{m{V_x}}}}\!\!&\!\!0\!\!&\!\!{ \!-\! {V_x} \!-\! \dfrac{{{\rm{2}}{l_{\rm a}}{C_{\alpha {\rm{f}}}} \!-\! {\rm{2}}{l_{\rm b}}{C_{\alpha {\rm{r}}}}}}{{m{V_x}}}} \!\!\! \\ \!\!\! 0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!1 \!\!\! \\ \!\!\! 0\!\!&\!\!{ \!-\! \dfrac{{{\rm{2}}{l_{\rm{a}}}{C_{\alpha {\rm{f}}}} \!-\! {\rm{2}}{l_{\rm{b}}}{C_{\alpha {\rm{r}}}}}}{{{I_z}{V_x}}}}\!\!&\!\!0\!\!&\!\!{ \!-\! \dfrac{{{\rm{2}}{l_{\rm{a}}}^2{C_{\alpha {\rm{f}}}} + {\rm{2}}{l_{\rm{b}}}^2{C_{\alpha {\rm{r}}}}}}{{{I_z}{V_x}}}} \!\!\! \end{array}} \right] \times \\ \\ & \left[ \begin{array}{l} \!\!\! y \!\!\! \\ \!\!\! {\dot y} \!\!\! \\ \!\!\! \psi \!\!\! \\ \!\!\! {\dot \psi } \!\!\! \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} \!\!\! 0 \!\!\! \\ \!\!\! \dfrac{{{\rm{2}}{C_{\alpha {\rm f}}}}}{m} \!\!\! \\ \!\!\! 0 \!\!\! \\ \!\!\! \dfrac{{{\rm{2}}{l_{\rm a}}{C_{\alpha {\rm f}}}}}{{{I_z}}} \!\!\! \end{array} \right]\delta {\rm{ = }}{{{A}}_1}\left[ \begin{array}{l} \!\!\! y \!\!\! \\ \!\!\! {\dot y} \!\!\! \\ \!\!\! \psi \!\!\! \\ \!\!\! {\dot \psi } \!\!\! \end{array} \right] + \;{{{B}}_1}\delta . \end{split} $

原始系统（4）不可控（系统的能控性矩阵M=[B₁，A₁B₁，A₁²B₁，A₁³B₁]不满秩^[20]，Rank（M）<4），并且为了设计轨迹跟踪控制器，选取位置误差e₁、e₂作为状态变量（其中e₁为车辆质心到期望路径的距离，e₂为车辆横摆角与期望横摆角的偏差）^[19]. 假设车辆在半径为R的路径上以恒定车速V_x行驶，定义期望横摆角速度为

(5) ${\dot \psi _{\rm des}} = {{{V_x}}}/{R}.$

期望侧向加速度可以表示为

(6) ${{{V_x}^{\rm{2}}}}/{R}{\rm{ = }}{V_x}{\dot \psi _{\rm des}}.$

定义 $ {{\ddot e}_1}$和e₂为

(7) $\left. \begin{split} & {{\ddot e}_1}{\rm{ = }}\left( {\ddot y + {V_x}\dot \psi } \right) - \frac{{{V_x}^{\rm{2}}}}{R} = \ddot y + {V_x}\left( {\dot \psi - {{\dot \psi }_{\rm des}}} \right), \\ & {e_{\rm{2}}}{\rm{ = }}\psi - {\psi _{\rm des}}. \end{split} \right\}$

当车辆行驶速度一定时,

(8) ${\dot e_{\rm{1}}}{\rm{ = }}\dot y + {V_x}\left( {\psi - {\psi _{\rm des}}} \right).$

将式（7）、（8）代入式（4），可得基于跟踪误差的车辆侧向动力学状态空间模型^[19]为

(9) $ \begin{split} \frac{\rm d}{{{\rm d}t}}\left[ \begin{array}{l} \!\!\! {e_{\rm{1}}} \!\!\! \\ \!\!\! {{\dot e}_{\rm{1}}} \!\!\! \\ \!\!\! {e_{\rm{2}}} \!\!\! \\ \!\!\! {{\dot e}_{\rm{2}}} \!\!\! \end{array} \right] \!=\! & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\! 0&1&0&0 \!\!\! \\ \!\!\! 0&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{a_{24}}} \!\!\! \\ \!\!\! 0&0&0&1 \!\!\! \\ \!\!\! 0&{{a_{42}}}&{{a_{43}}}&{{a_{44}}} \!\!\! \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} \!\!\! {e_{\rm{1}}} \!\!\! \\ \!\!\! {{\dot e}_{\rm{1}}} \!\!\! \\ \!\!\! {e_{\rm{2}}} \!\!\! \\ \!\!\! {{\dot e}_{\rm{2}}} \!\!\! \end{array} \right]{\rm{ \!+\! }}\left[ \begin{array}{l} \!\!\! 0 \!\!\! \\ \!\!\! {b_2} \!\!\! \\ \!\!\! 0 \!\!\! \\ \!\!\! {b_3} \!\!\! \end{array} \right]\delta {\rm{ + }}\left[ \begin{array}{l} \!\!\! 0 \!\!\! \\ \!\!\! {d_2} \!\!\! \\ \!\!\! 0 \!\!\! \\ \!\!\! {d_4} \!\!\! \end{array} \right]{{\dot \psi }_{{\rm des}}}=\\ & {{{A}}_{\rm{2}}}{{x}}+\;{{{B}}_{\rm{2}}}\delta + {{{d}}_{\rm{2}}}{{\dot \psi }_{\rm des}} . \\ \end{split} $

式中：

$ \begin{split} & {a_{22}} = - ({{{\rm{2}}{C_{\alpha {\rm f}}} + {\rm{2}}{C_{\alpha {\rm r}}}}})/{\left({m{V_x}}\right)},{a_{23}} = ({{{\rm{2}}{C_{\alpha {\rm f}}} + {\rm{2}}{C_{\alpha {\rm r}}}}})/{m},\\ & {a_{24}} = \frac{{{\rm{2}}{l_{\rm b}}{C_{\alpha {\rm{r}}}} - {\rm{2}}{l_{\rm a}}{C_{\alpha {\rm{f}}}}}}{{m{V_x}}},{a_{42}} = \frac{{{\rm{2}}{l_{\rm b}}{C_{\alpha {\rm{r}}}} - {\rm{2}}{l_{\rm a}}{C_{\alpha {\rm f}}}}}{{{I_z}{V_x}}},\\ & {a_{43}} \!=\! ({{{\rm{2}}{l_{\rm a}}{C_{\alpha {\rm f}}} \!-\! {\rm{2}}{l_{\rm b}}{C_{\alpha {\rm r}}}}})/{{{I_z}}},{a_{44}} \!=\! -({{{\rm{2}}{l_{\rm a}}^2{C_{\alpha {\rm f}}} \!+\! {\rm{2}}{l_{\rm b}}^2{C_{\alpha {\rm r}}}}})/\!{\left({{I_z}{V_x}}\right)},\\ & {b_2} = {{{\rm{2}}{C_{\alpha {\rm f}}}}}/{m},{b_4} = {{{\rm{2}}{l_{\rm a}}{C_{\alpha {\rm f}}}}}/{{{I_z}}},\\ & {d_2} = \frac{{{\rm{2}}{l_{\rm b}}{C_{\alpha {\rm r}}} - {\rm{2}}{l_{\rm a}}{C_{\alpha {\rm f}}}}}{{m{V_x}}} - {V_x},\;{d_4} = - \frac{{{\rm{2}}{l_{\rm a}}^2{C_{\alpha {\rm f}}} + {\rm{2}}{l_{\rm b}}^2{C_{\alpha {\rm r}}}}}{{{I_z}{V_x}}}. \end{split} $

车辆在邻近失稳的情况下轮胎会进入非线性区，线性二自由度车辆模型将不适合表示此时的车辆动力学特性，并且轮胎的侧偏刚度会随着垂直载荷、轮胎磨损、路面附着系数、轮胎进入非线性区等因素发生变化. 采用饱和线性轮胎，对轮胎的侧偏刚度进行修正^[20]：

(10) $ {C_{\rm f}}{\rm{ = }}{k_{\rm f}}{C_{\alpha {\rm f}}}, {C_{\rm r}}{\rm{ = }}{k_{\rm r}}{C_{\alpha {\rm r}}}. $

式中：C_f、C_r分别为修正后的前后轮胎侧偏刚度；k_f、k_r分别为前、后轮胎侧偏刚度修正系数.

将式（10）代入式（9），可得时变的车辆侧向动力学状态空间矩阵（A_c，B_c，d_c）. 当车速一定时，该矩阵随着前、后轮胎侧偏刚度修正系数的变化而变化，系统矩阵和控制矩阵的线性时变形式可以表示为

(11) $\begin{split} \left[ {{{{A}}_{\rm c}} \;{{{B}}_{\rm c}}} \right] = & \left[ {{{A}}_{\rm c0}} \;{{{B}}_{\rm c0}} \right]+\left[ {{{{A}}_{\rm c1}} \;{{{B}}_{\rm c1}}} \right]{k_{\rm f}}+\left[ {{{{A}}_{\rm c2}} \;{{{B}}_{\rm c2}}} \right]{k_{\rm r}} = \\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\! 0 & 1 & 0 &0 & 0 \!\!\! \\ \!\!\! 0 &0 & 0 & 0& 0 \!\!\! \\ \!\!\! 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \!\!\! \\ \!\!\! {\rm{0}} & 0 & 0 & 0& 0\!\!\! \\ \end{array}} \right] + \\ & \left[{\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\! 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \!\!\! \\ \!\!\! 0 & - \dfrac{{{\rm{2}}{C_{\alpha {\rm r}}}}}{{m{V_x}}} & \dfrac{{{\rm{2}}{C_{\alpha {\rm r}}}}}{m} & \dfrac{{{\rm{2}}{l_{\rm b}}{C_{\alpha {\rm r}}}}}{{m{V_x}}} &{\rm{0}} \!\!\! \\ \!\!\! 0 & 0 & 0 & 0 & 0\!\!\! \\ \!\!\! 0 & \dfrac{{{\rm{2}}{l_{\rm b}}{C_{\alpha {\rm r}}}}}{{{I_z}{V_x}}} & - \dfrac{{{\rm{2}}{l_{\rm b}}{C_{\alpha {\rm r}}}}}{{{I_z}}} & - \dfrac{{{\rm{2}}{l_{\rm b}}^2{C_{\alpha {\rm r}}}}}{{{I_z}{V_x}}}&{\rm{ 0}} \!\!\! \\ \end{array}} \right]{k_{\rm r}} + \\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\! 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \!\!\! \\ \!\!\! 0 & - \dfrac{{{\rm{2}}{C_{\alpha {\rm f}}}}}{{m{V_x}}} & \dfrac{{{\rm{2}}{C_{\alpha {\rm f}}}}}{m} & - \dfrac{{{\rm{2}}{l_{\rm a}}{C_{\alpha {\rm f}}}}}{{m{V_x}}} & \dfrac{{{\rm{2}}{C_{\alpha {\rm f}}}}}{m} \!\!\! \\ \!\!\! 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \!\!\! \\ \!\!\! 0 & \!\!\!- \dfrac{{{\rm{2}}{l_{\rm a}}{C_{\alpha {\rm f}}}}}{{{I_z}{V_x}}} &\dfrac{{{\rm{2}}{l_{\rm a}}{C_{\alpha {\rm f}}}}}{{{I_z}}} & \!\!\!- \dfrac{{{\rm{2}}{l_{\rm a}}^2{C_{\alpha {\rm f}}}}}{{{I_z}{V_x}}} &\dfrac{{{\rm{2}}{l_{\rm a}}{C_{\alpha {\rm f}}}}}{{{I_z}}} \!\!\! \\ \end{array}} \right]{k_{\rm f}} . \end{split} $

记k_f、k_r的最大值和最小值分别为k_fmax、k_fmin和k_rmax、k_rmin，2个参数可以组成4个顶点：

(12) $\left.\begin{split} & {{ K}_1} = \left[ {{k_{\rm fmin}},{k_{\rm rmin}}} \right] , {{ K}_2} = \left[ {{k_{\rm fmax}},{k_{\rm rmin}}} \right] , \\ & {{ K}_3} = \left[ {{k_{\rm fmin}},{k_{\rm rmax}}} \right] , {{ K}_4} = \left[ {{k_{\rm fmax}},{k_{\rm rmax}}} \right] . \end{split} \right\}$

于是得到顶点处的局部线性状态矩阵：

(13) $\begin{split} & \left[ {{{{A}}_{\rm cb1}} \;{{{B}}_{\rm\rm cb1}}} \right] \!\!=\!\! \left[ {{{{A}}_{\rm c0}} \;{{{B}}_{\rm c0}}} \right]\!\!+\!\!{K_1}(1)\left[ {{{{A}}_{\rm c1}} \;{{{B}}_{\rm c1}}} \right]\!\!+\!\!{K_1}(2)\left[ {{{{A}}_{\rm\rm c2}} \;{{{B}}_{\rm c2}}} \right] , \\ & \left[ {{{{A}}_{\rm cb2}} \;{{{B}}_{\rm cb2}}} \right] \!\!=\!\! \left[ {{{{A}}_{\rm c0}} \;{{{B}}_{\rm c0}}} \right]\!\!+\!\!{K_2}(1)\left[ {{{{A}}_{\rm c1}} \;{{{B}}_{\rm c1}}} \right]\!\!+\!\!{K_2}(2)\left[ {{{{A}}_{\rm c2}} \;{{{B}}_{\rm c2}}} \right] , \\ & \left[ {{{{A}}_{\rm cb3}} \;{{{B}}_{\rm cb2}}} \right] \!\!=\!\! \left[ {{{{A}}_{\rm c0}} \;{{{B}}_{\rm c0}}} \right]\!\!+\!\!{K_3}(1)\left[ {{{{A}}_{\rm c1}} \;{{{B}}_{\rm c1}}} \right]\!\!+\!\!{K_3}(2)\left[ {{{{A}}_{\rm c2}} \;{{{B}}_{\rm c2}}} \right] , \\ & \left[ {{{{A}}_{\rm cb4}} \;{{{B}}_{\rm cb2}}} \right] \!\!=\!\! \left[ {{{{A}}_{\rm c0}} \;{{{B}}_{\rm c0}}} \right]\!\!+\!\!{K_4}(1)\left[ {{{{A}}_{\rm c1}} \;{{{B}}_{\rm c1}}} \right]\!\!+\!\!{K_4}(2)\left[ {{{{A}}_{\rm c2}} \;{{{B}}_{\rm c2}}} \right] . \end{split} $

对顶点处的状态空间模型进行离散化，当采样时间T_s较小时，可以舍去高阶项得到^[21]：

(14) $\left.\begin{split} & {{{A}}_{{\rm b}j}} = {{{A}}_{{\rm cb}j}}{T_{\rm s}}+{{I}} ; \\& {{{B}}_{{\rm b}{j}}} = \;{{{B}}_{{\rm cb}{j}}}{T_{\rm s}} ; \\& {{{d}}_{{\rm b}{ j}}} = {{{d}}_{\rm c}}{T_{\rm s}} , \;\;\; j = 1,2,3,4 . \end{split} \right\}$

离散后的车辆侧向动力学方程可以表示为

(15) ${{x}}(k + 1) = {{Ax}}(k) + {{B}}\delta (k) + {{d}}{\dot \psi _{\rm des}}(k).$

式中^[22]：

(16) $\left. \begin{split} & { A}{\rm{ = }}\sum\limits_{j = 1}^4 {{\alpha _j}} {{ A}_{{\bf{b}}{ j}}},{ B}{\rm{ = }}\sum\limits_{j = 1}^4 {{\alpha _j}} {{ B}_{{\bf{b}}{ j}}},{ d}{\rm{ = }}\sum\limits_{j = 1}^4 {{\alpha _j}} {{ d}_{b{ j}}},\\ & {\alpha _1} = {\sigma _1}{\sigma _2},{\alpha _2} = (1 - {\sigma _1}){\sigma _2},\\ & {\alpha _3} = {\sigma _1}(1 - {\sigma _2}),{\alpha _4} = (1 - {\sigma _1})(1 - {\sigma _2}), \\ & {\sigma _1}{\rm{ = }}\frac{{{k_{{\rm{fmax}}}} - {k_{\rm{f}}}}}{{{k_{{\rm{fmax}}}} - {k_{{\rm{fmin}}}}}},{\sigma _2} = \frac{{{k_{\rm{r}}} - {k_{{\rm{rmin}}}}}}{{{k_{{\rm{rmax}}}} - {k_{{\rm{rmin}}}}}}. \end{split} \right\} $

从式（16）可知，离散后的车辆侧向动力学模型本质上是一个多胞型模型，对于非负常数α_i（i=1，2，3，4），A和B^[23]可以表示为

(17) $ \left. \begin{array}{l} \left[ { A\; B} \right]{\rm{ = }}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^4 {{\alpha _i}} \left[ {{ A_{{\rm{b}}i}}\;{ B_{{\rm{b}}i}}} \right],\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^4 {{\alpha _i}} {\rm{ = 1}};\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ \left[ { A\; B} \right] \in \varOmega {\rm{ = Co}}\left\{ {\left[ {{ A_{{\rm{b1}}}}\;{ B_{{\rm{b1}}}}} \right],\left[ {{ A_{{\rm{b2}}}}\;{ B_{{\rm{b2}}}}} \right],} \right.\\ \left. {\left[ {{ A_{{\rm{b3}}}}\;{ B_{{\rm{b3}}}}} \right],\left[ {{ A_{{\rm{b4}}}}\;{ B_{{\rm{b4}}}}} \right]} \right\}. \end{array} \right\} $

线性矩阵不等式（LMI）问题具有较小的计算复杂度，在迭代结束时更容易获得接近全局最优的解，已有高效的算法解决这类问题，基于LMI的优化问题更容易在线实现^[23].

设计LMI控制器时，忽略系统的扰动项 ${ d}{\dot \psi _{\rm des}}(k)$，则原系统变为

(18) ${ x}(k + 1) = { Ax}(k) + { B}\delta (k).$

类似于线性鲁棒控制，定义一个鲁棒性能目标函数，求解控制量，使得目标函数在不确定集Ω上的最大值最小：

(19) $\mathop {\min }\limits_{{ u}(k + i),i = 0,1 \ldots m} \mathop {\rm max}\limits_{\left[ {{ A}(k + i) { B}(k + i)} \right] \in \varOmega } {J_\infty }(k).$

式中：鲁棒性能目标函数为

(20) $ {J_\infty }(k) \!=\! \sum\limits_{i = 0}^\infty {\left[ {{ x}{{(k + i|k)}^{\rm T}}{{ Q}_1}{ x}(k + i|k)} \right.} + \left. { { u}{{(k + i|k)}^{\rm T}}{{Ru}}(k + i|k)} \right]. $

这是一个min-max问题，直接计算比较复杂，因此需要找到目标函数的上界，定义二次函数：

(21) $ V\left( { x} \right) = {{ x}^{\rm{T}}}{{Px}};\;{ P} > 0,{ P} = {{ P}^{\rm{T}}}. $

在采样点k，假设V（x）满足鲁棒稳定性约束：

(22) $\begin{array}{l} V\left( {{ x}(k + i{\rm{ + 1}}|k)} \right) - V\left( {{ x}(k + i|k)} \right) \leqslant \\ - \left[ {{ x}{{(k + i|k)}^{\rm T}}{{ Q}_1}{ x}(k + i|k){ u}{{(k + i|k)}^{\rm T}}{{Ru}}(k + i|k)} \right] . \end{array} $

式中：

$ \left[ {{ A}(k + i) { B}(k + i)} \right] \in \varOmega ,i \geqslant 0. $

若式（20）表示的目标函数是有界的，则x（∞|k）=0，因此V（x（∞|k））=0，对式（20）从i=0到i=∞进行累加，可得

(23) $ - V\left( {{ x}(k|k)} \right) \leqslant - {J_\infty }(k),$

因此，

(24) $\mathop {\rm max}\limits_{\left[ {{ A}(k + i) { B}(k + i)} \right] \in \varOmega } {J_\infty }(k) \leqslant V\left( {{ x}(k|k)} \right).$

不等式（24）给出目标函数的上界，鲁棒MPC算法的目标是在每个采样点k计算一个恒定的状态反馈控制律u（k+i|k）=Fx（k+i|k），使得目标函数（20）的上界V（x（k|k））最小，对于标准的MPC，仅第一个控制量u（k|k）=F x（k|k）作用于系统，令

(25) ${ F} = {{YQ}}{^{ - 1}}.$

式中：Q为正定对称矩阵，Q>0，Q=Q^T.

该优化问题可以转化为如下LMI问题：

(26) $\mathop {\min }\limits_{\gamma ,{ Q},{ Y}} {\rm{ }}\gamma .$

约束条件为

(27) $\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{1}}&{ x}{(k|k)^{\rm T}} \\ { x}(k|k)&{ Q} \end{array}} \right] \geqslant {\bf 0};$

(28) $ \!\!\!\!\begin{array}{l} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\! { Q}\!&\!{ Q}{{{A}}_{{\rm b}{ j}}^{\rm T}} + {{ Y}^{\rm T}}{{{B}}_{{\rm b}{\ j}}^{\rm T}}\!&\!{ Q}{{ Q}_{\ 1}}^{{1 / 2}}\!&\!{{ Y}^{\rm T}}{{ R}^{{1 / 2}}} \!\!\!\! \\ \!\!\!\! {{{A}}_{{\rm b}{ j}}}{ Q} + \;{{{B}}_{{\rm b}{ j}}}{ Y}\!&\!{ Q}\!&\!{\bf 0}\!&\!{\bf 0} \!\!\!\! \\ \!\!\!\! {{ Q}_{\rm 1}}^{{1 / 2}}{ Q}\!&\!{\bf 0}\!&\!\gamma { I}\!&\!{\bf 0} \!\!\!\! \\ \!\!\!\! {{ R}^{{1 / 2}}}{ Y}\!&\!{\bf 0}\!&\!{\bf 0}\!&\!\gamma { I} \!\!\!\! \end{array}} \right] \geqslant {\bf 0} , \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; j = 1,2,3,4. \end{array} $

对于单输入系统，控制量约束可以表示为

(29) $\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {u_{\max }}&{ Y} \\ {{ Y}^{\rm T}}&{ Q} \end{array} } \right] \geqslant {\bf 0}.$

设计的LMI反馈控制器是在忽略扰动项的基础上推导出来的，本质是状态反馈控制器，但实际上由于扰动项的存在，尽管A+BF渐近稳定，但车辆在跟踪曲线时系统（9）的状态变量不趋近于零^[19]. 为了解决该问题，取

(30) $\delta {\rm{ = }}{{Fx}} + {\delta _{\rm ff}}.$

将式（30）代入式（9）进行拉氏变换，计算系统的稳态跟踪误差，使得系统的侧向位置稳态误差e₁为零，可得δ_ff^[19]为

(31) ${\delta _{\rm ff}}{\rm{ = }}\frac{{mV_x^2}}{{RL}}\left( {\frac{{{l_{\rm b}}}}{{2{C_{\alpha {\rm f}}}}} - \frac{{{l_{\rm a}}}}{{2{C_{\alpha {\rm r}}}}} - \frac{{{l_{\rm a}}}}{{2{C_{\alpha {\rm r}}}}}{f_3}} \right) + \frac{L}{R} + \frac{{{l_{\rm b}}}}{R}{f_3}.$

式中：L为轴距，f₃为矩阵F的分量.

横摆角e₂稳态误差中不包含δ_ff项，因此δ_ff不影响e₂的稳态误差，横摆角的稳态误差^[19]为

(32) ${e_{2\_{\rm{ss}}}} = \frac{{mV_x^2{l_{\rm a}}}}{{2LR{C_{\alpha {\rm r}}}}} - \frac{{{l_{\rm b}}}}{R}.$

轨迹跟踪控制器设计需要用到轨迹上参考点的曲率半径和系统（9）当前时刻的状态变量，状态变量的计算需要参考点的位置信息，基于坐标变换和二分法计算轨迹上参考点坐标，如图2所示.

图中，XOY为惯性坐标系，xoy为局部坐标系，（X_G，Y_G）和（X_C，Y_C）为车辆质心和轨迹上参考点在惯性坐标系下的坐标，（x_G，y_G）和（x_C，y_C）为车辆质心和轨迹上参考点在局部坐标系下坐标，Y=f（X）为参考轨迹.

作过车辆质心且垂直于汽车前进方向的直线l₁为

(33) $Y = - \left( {X - {X_{\rm G}}} \right) /{K_{\rm G}}+ {Y_{\rm G}},\;{\rm{ }}{K_{\rm G}} = \tan \psi .$

记上一采样时刻汽车质心到轨迹上参考点的距离为d_t-1，当采样时间较小时，2个采样间隔内汽车质心到参考点的距离d变化不大.

当车辆质心在曲线的上面时（即Y=f（X_G）<Y_G），

(34) $ {X_{{\rm{start}}}} = {X_{\rm G}} + {d_{t{\rm{ - 1}}}}\sin \psi , \; {\rm{ }}{Y_{{\rm{start}}}} = {\rm{ }}{Y_{\rm G}} - {d_{t{\rm{ - 1}}}}\cos \psi . $

当车辆质心在曲线的下面时（即Y=f（X_G）>Y_G），

(35) $ {X_{{\rm{start}}}} = {X_{\rm G}} - {d_{t{\rm{ - 1}}}}\sin \psi ,\; {\rm{ }}{Y_{{\rm{start}}}} = {\rm{ }}{Y_{\rm G}} + {d_{t{\rm{ - 1}}}}\cos \psi . $

联立式（34）、（35），可得

(36) $\left. \begin{split} & {X_{{\rm{start}}}} = {X_{\rm G}} + {d_{t{\rm{ - 1}}}}\sin \psi \cdot {\rm{sgn}}\left( {{Y_{\rm G}} - f\left( {{X_{\rm G}}} \right)} \right) ,\\ & {\rm{ }}{Y_{{\rm{start}}}} = {\rm{ }}{Y_{\rm G}} - {d_{t{\rm{ - 1}}}}\cos \psi \cdot {\rm{sgn}}\left( {{Y_{\rm G}} - f\left( {{X_{\rm G}}} \right)} \right) . \end{split} \right\}$

以式（36）计算出的起始点的横坐标作为中心点，并以一定的带宽作为进行二分法计算的初始区间，计算直线l₁与曲线Y=f（X）的交点，直至达到指定迭代次数或者迭代精度，初始区间为

(37) $ {X_{{\rm{down}}}} = {X_{{\rm{start}}}} - {\rm{0}}{\rm{.5}}b , {\rm{ }}{X_{{\rm{up}}}} = {X_{{\rm{start}}}} + {\rm{0}}{\rm{.5}}b . $

式中：b为初始区间的带宽，X_up和X_down分别为初始区间的上限和下限.

将汽车质心纵坐标Y_G和参考点纵坐标Y_C转换到相对坐标系下，可得

(38) $ {y_{\rm G}} = {Y_{\rm G}}\cos \psi - {X_{\rm G}}\sin \psi , \; {y_{\rm C}} = {Y_{\rm C}}\cos \psi - {X_{\rm C}}\sin \psi . $

于是，当前时刻汽车质心到参考点的距离d_t为

(39) ${d_t} = \left| {{y_{\rm G}} - {y_{\rm C}}} \right|.$

为了验证提出的轨迹跟踪控制器的控制效果，使用Carsim和Matlab/Simulink建立联合仿真环境，对双移线工况进行仿真分析. 仿真中，车辆模型参数参考文献[9]；LMI控制器的参数如下：R=14，u_max=15°，Q₁=diag[14，1，1，20]，k_fmax=1，k_fmin=0.8，k_rmax=1，k_rmin=0.8，仿真所采用的双移线参考文献[9].

为了验证设计控制器的控制效果，在相同的仿真环境下，对比设计的轨迹跟踪控制器（简称LMI控制器）、Carsim中自带的预瞄时间为0.6 s的预瞄驾驶员模型（PDM）控制器和MPC控制器. 仿真中，车速为80 km/h，路面附着系数为0.8，所使用的MPC控制器参考文献[9].

仿真结果如图3所示. 图3（a）、（b）给出3种控制器作用下车辆的轨迹跟踪仿真结果. LMI控制时，车辆行驶轨迹与期望值的偏差最大值为0.85 m，轨迹跟踪误差的均方根值（RMS）为0.25 m；横摆角偏差最大为5.19°，偏差的RMS为1.61°；MPC控制时，车辆行驶轨迹与期望值的偏差最大值为0.90 m，轨迹跟踪误差的RMS为0.30 m；横摆角偏差最大为6.33°，偏差的RMS为1.82°；PDM控制时，车辆行驶轨迹与期望值的偏差最大值为1.47 m，轨迹跟踪误差的RMS为0.47 m；横摆角的偏差最大值为10.54°，偏差的RMS为3.46°. 可以看出，LMI控制器的轨迹跟踪精度优于MPC和PDM控制器. 如图3（c）所示为不同控制器作用下的前轮转角，LMI控制器的输出前轮转角较大，且超过15°，这是因为在反馈控制器输出的基础上加了前馈控制器输出. 如图3（d）所示为不同控制器作用下的车辆质心侧偏角，3种控制器作用下车辆的质心侧偏角最大值均小于极限范围8.91°，在稳定性范围内^[24]，说明3种控制器在较好地跟踪期望轨迹的同时保持车辆的稳定性. 综上分析可知，LMI控制器在轨迹跟踪精度上优于MPC和PDM控制器，并且在较好地跟踪期望轨迹的同时保持车辆的稳定性；与MPC控制器相比，LMI控制器输入成本增加，稳定性略有下降，这是因为LMI控制器仅利用了道路当前信息，MPC控制器利用未来一段道路信息，可以滤掉道路中的高频成分，使得控制量变化比较平缓，车辆姿态变化平稳，质心侧偏角较小.

在不同的速度下，以相同的控制器参数对智能车进行轨迹跟踪控制，分析控制器对速度的鲁棒性. 仿真车速为70、80、90 km/h，路面附着系数为0.8.

仿真结果如图4所示. 图4（a）、（b）给出3种不同车速下的轨迹跟踪结果. 在相同的控制器参数、不同的车速下车辆能够较好地跟踪期望轨迹，因此控制器对速度具有较好的鲁棒性，且速度越小，轨迹跟踪效果越好. 如图4（c）所示为控制器在不同车速下输出的前轮转角，前轮转角的最大值没有随着车速的增加而增加. 如图4（d）所示为控制器在不同车速下的车辆质心侧偏角，随着车速的增加，车辆质心侧偏角的最大值变大，但小于极限值8.91°，说明车辆在轨迹跟踪的同时保持车辆的稳定性. 综上分析可知：控制器对速度具有较强的鲁棒性，且速度增加没有影响车辆的稳定性.

在不同的路面附着系数下，以相同的车速和控制器参数对智能车进行轨迹跟踪控制，验证控制器对路面附着系数的鲁棒性. 仿真时，路面附着系数为0.8、0.6、0.4，车速为70 km/h.

仿真结果如图5所示. 图5（a）、（b）给出3种不同路面附着系数下的轨迹跟踪结果. 在相同的控制器参数、不同的路面附着系数下，车辆能够较好地跟踪期望轨迹，轨迹跟踪误差随着路面附着系数的减小而增大，这是因为当路面附着系数较小时，地面不能提供足够的侧向力. 如图5（c）所示为控制器在不同路面附着系数下输出的前轮转角，前轮转角的最大值没有随着路面附着系数的变化而变化. 如图5（d）所示为控制器在不同路面附着系数下的车辆质心侧偏角，车辆质心侧偏角的最大值均小于极限值，并且与高附着路面相比，车辆质心侧偏角在低附着路面上的最大值减小. 综上分析可知，控制器对路面附着系数具有较强的鲁棒性及良好的稳定性.

本文将车辆侧向动力学状态空间模型进行坐标变换，得到基于跟踪误差的车辆侧向动力学状态空间模型；考虑轮胎的非线性特性，建立车辆侧向动力学的多胞型模型. 基于LMI设计反馈控制器，在控制器中引入前馈控制量，以消除侧向位置稳态误差；基于坐标变换和二分法计算参考点位置，与传统的MPC和PDM进行对比. 通过Carsim与Matlab/Simulink联合仿真，验证了本文提出的轨迹跟踪控制器的有效性. 仿真结果表明，该控制器在保证车辆稳定性的基础上具有较高的跟踪精度，对车速和路面附着系数具有较强的鲁棒性，在给定工况下的轨迹跟踪精度优于MPC和PDM控制器.