同杆双回线路凭借其高效的输电能力和经济效益已被广泛应用于^[1]我国高压输电系统. 由于同杆双回线路的故障复杂程度远高于传统单回线路，单回线路的故障识别方法不再适用，国内外学者对同杆双回线路的故障识别方法进行了大量研究^[2-6].

蔡国伟等^[7]基于同步相量测量装置提出了一种同杆双回继电保护方案，考虑了输电线路上的参数分布特性，但是算法过于复杂，不利于进行故障识别. 张武军等^[8]推导得出了故障时各相的行波差流特征，根据特征得到相应的行波差动保护判据，但当发生复杂跨线故障时该保护算法可能会失效. 范春菊等^[9]利用横差模量电流高、低频段的能量构建故障识别算法，所提算法满足故障识别的快速性，但是对复杂跨线故障的识别能力略显不足. Eissa等^[10]使用工频分量获取线路的测量阻抗，利用对应相的测量阻抗确定故障位置，但算法特性受到滤波装置精度的影响. 张海等^[11]提出了一种适用于低线间距同杆双回线路的故障计算方法，但是没有提出合适的线路保护方案.

本文借鉴李小鹏等^[12-13]的研究思路，使用S变换提取母线电压与线路电流的单频率行波峰值相量，分析同杆双回线路的测量波阻抗关系，给出综合和波阻抗与综合差波阻抗概念，建立基于测量波阻抗的比率制动故障识别算法.

S变换是一种对信号时频联合分析的方法，是对连续小波变换和短时傅里叶变换的发展. 设信号 $h\left( t \right)$的离散时间序列为 $h\left[ {kT} \right]( k = 0,1, \cdots , N - 1 ),$以T为时间间隔，可得 $h\left[ {kT} \right]$的离散傅里叶变换为

(1) $H\left[ {\frac{n}{{NT}}} \right] = \frac{1}{N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {h\left[ {kT} \right]\exp\,\, \left( - {\rm{j}} \frac{{2{\text{π}} nk}}{N}\right)} .$

式中： $n = 0,1, \cdots ,N - 1$.

当 $n \ne 0$时，时间序列 $h\left[ {kT} \right]$的离散S变换为

(2) $S\left[ {kT,\frac{n}{{NT}}} \right] = \sum\limits_{r = 0}^{N - 1} {H\left[ {\frac{{r + n}}{{NT}}} \right]\exp \,\,\left( - \frac{{2{{\text{π}} ^2}{r^2}}}{{{n^2}}}\right)\exp \,\,\left({\mathop{\rm j}\nolimits} \frac{{2{\text{π}} rk}}{N}\right)} .$

式中： $H\left[ {\left( {r + n} \right){\rm{/}}\left( {NT} \right)} \right]$为 $h\left[ {kT} \right]$离散傅里叶变换的第 $r + n$个数值.

当 $n = 0$时，时间序列 $h\left[ {kT} \right]$的离散变换为一个常数，可得

(3) $S\left[ {kT,0} \right] = \frac{1}{N}\sum\limits_{r = 0}^{N - 1} {h\left( {\frac{r}{{NT}}} \right)} .$

信号 $h\left[ {kT} \right]$经过S变换之后得到一个二维的时频矩阵，该矩阵的行对应信号采样时刻，矩阵的列为S变换后的离散频率.

由于S变换在时频分析中具有良好的信号提取特性，在有噪声干扰的情况下，能较为准确地获得故障信号中的单频率初始电压、电流相量. 本文据此计算相应线路测量波阻抗.

如图1所示为同杆双回线路模型，M端和N端均为与线路相连接的母线，MN为双回线路保护区内部，L₁和L₂分别表示同杆双回保护区内的Ⅰ回线和Ⅱ回线，PM和NO为双回线路保护区外部，L₃和L₄分别表示线路PM和线路NO，W₁~W₆为相应位置靠近母线端的行波保护单元.

规定电流行波从母线流向线路为正方向，对于线路上距离故障点为x的任意一点，可得到该点的暂态电压、电流^[14]：

(4) $\left. \begin{aligned} & u(x,t) = {u_ + }(x - tv) + {u_ - }(x + tv), \\ & i(x,t) = {i_ + }(x - tv) + {i_ - }(x + tv), \\ &v = \left( {LC}\right )^{-1/2} . \end{aligned} \right\}$

式中： $t$为观察时间，L和C分别为单位长度线路的电感和电容； ${u_ + }$和 ${u_ - }$分别为沿x正方向传播的前行波和沿 $x$反方向传播的反向波.

假设 ${t_0}$是初始行波到达母线M的时刻，设行波发生折反射第二次到达M的时刻为 ${t_1}$，在t₀~t₁这段时间内，经过线路上的保护单元 ${W_k}\,\,(k = 1,$2,3,4,5,6)获取的故障行波称为初始电压、电流行波. 本文故障特征分析仅考虑出现初始电压、电流行波的时间段，该时间段内反行波尚未达到母线处，满足彼得逊法则适用条件^[15]，因此选择彼得逊法则作为故障特征分析方法.

基于S变换提取同杆双回输电线路上故障初始电流行波及母线故障初始电压行波相量，可得同杆双回线路上测量波阻抗为

(5) ${{{Z}}_{{\rm I}{{i}}}} = \frac{{\Delta {{\dot U}_i}}}{{\Delta {{\dot I}_{\rm I}}}} ,\quad{{{Z}}_{{\rm I}{\rm I}{{i}}}} = \frac{{\Delta {{\dot U}_i}}}{{\Delta {{\dot I}_{{\rm I}{\rm I}}}}};\quad i = {{\rm M}},{{\rm N}}.$

定义和波阻抗 ${{{Z}}_{\rm{s}}}$与差阻抗 ${{{Z}}_{\rm{d}}}$分别为

(6) ${{{Z}}_{{\mathop{\rm s}\nolimits} {{i}}}} = \frac{{\Delta {{\dot U}_i}}}{{\Delta {{\dot I}_{\rm I}}}} + \frac{{\Delta {{\dot U}_i}}}{{\Delta {{\dot I}_{{\rm I}{\rm I}}}}} = {{{Z}}_{{\rm I}i}} + {{{Z}}_{{\rm I}{\rm I}i}},\quad i = {{\rm M}},{{\rm N}};$

(7) ${Z_{{\mathop{\rm d}\nolimits} i}} = \frac{{\Delta {{\dot U}_i}}}{{\Delta {{\dot I}_{\rm I}}}} - \frac{{\Delta {{\dot U}_i}}}{{\Delta {{\dot I}_{{\rm I}{\rm I}}}}} = {{{Z}}_{{\rm I}{{i}}}} - {{{Z}}_{{\rm I}{\rm I}{{i}}}},\quad i = {{\rm M}},{{\rm N}}.$

式中：下标为Ⅰ、Ⅱ的参数分别表示同杆双回线路上线路Ⅰ和线路Ⅱ的电气量，下标为M、N的参数分别表示母线M端和N端的电气量.

在同杆双回线路上K₁点发生故障，依据彼得逊法则^[16]，将同杆双回输电线路的分布参数电路波过程简化为集中参数电路的暂态分析过程. 在初始行波出现的时间段内，将线路波阻抗用数值相等的电阻代替，将故障点初始行波电压的2倍作为等值电压源，将线路故障特征简化为如图2所示的彼得逊模型. 图中，I_cM和I_cN分别为母线M和N对应的对地杂散电容电流， $U_{{\rm K}_1} $为故障点K₁的电压. 图2（a）为故障发生后行波向母线M传播的模型，图2（b）为行波向母线N传播的模型. 图中， $\Delta {\dot I_k}(k = 1,2,3,4,5,6)$表示线路对应的行波保护单元检测到的故障电流行波； $\Delta {U_{\rm{M}} }$和 $\Delta {U_{\rm{N}}}$分别表示母线M和母线N的初始电压行波；Z₁~Z₄分别表示线路L₁~L₄上的波阻抗， ${Z_{\rm{cM} }}$和 ${Z_{{\rm{cN}}}}$分别为母线M和N的对地杂散电容等值波阻抗.

当行波频率f =50~100 kHz时，超（特）高压输电线路的波阻抗近似为实常数^[16]，可近似等效为电阻R：

(8) ${Z_1} = {Z_2} = {Z_3} = {Z_4} \approx {{R}}.$

母线对地等值电容波阻抗为

(9) ${Z_{{\mathop{\rm c}\nolimits} k}} = \frac{1}{{{\mathop{\rm j}\nolimits} \omega {C_{{\mathop{\rm c}\nolimits} k}}}} = \frac{1}{{{\mathop{\rm j}\nolimits} 2{\rm{{\text{π}} }}f{C_{{\mathop{\rm c}\nolimits} k}}}};\quad i = {{\rm M}},{{\rm N}}{\rm{.}}$

以图2（a）中母线M端等值电路为例分析线路区内故障时的和波阻抗：

(10) $\begin{split} {{{Z}}_{\rm{sM} }} =& \frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{M}} }}}{{\Delta {{\dot I}_1}}} + \frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{M}} }}}{{\Delta {{\dot I}_2}}} = \frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{M}} }}}{{\Delta {{\dot I}_2}}} - \frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{M}} }}}{{\Delta {{\dot I}_2} + \Delta {{\dot I}_5} + \Delta {{\dot I}_{\rm{cM} }}}} = \\ &{Z_2} - {Z_2}//{Z_5}//{Z_{\rm{cM} }} \approx {{R}} - \frac{{{R}}}{{2 + {\rm{j}} \omega {C_{\rm{M}} }{{R}}}} = \\ & {{R}}\left( {1 - \frac{1}{{2 + {\rm{j}} \omega {C_{\rm{M}} }{{R}}}}} \right). \end{split} $

区内故障时线路差波阻抗为

(11) $\begin{split} {{{Z}}_{\rm{dM} }} =& \frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{M}} }}}{{\Delta {{\dot I}_1}}} - \frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{M}} }}}{{\Delta {{\dot I}_2}}} = \frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{M}} }}}{{\Delta {{\dot I}_2}}} + \frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{M}} }}}{{\Delta {{\dot I}_2} + \Delta {{\dot I}_5} + \Delta {{\dot I}_{{\rm{cM}}}}}} = \\ & {Z_2} + {Z_2}//{Z_5}//{Z_{\rm{cM} }} \approx {{R}} + \frac{{{R}}}{{2 + {\rm{j}} \omega {C_{\rm{M}}}{{R}}}} = \\ & {{R}}\left( {1 + \frac{1}{{2 + {\rm{j}} \omega {C_{\rm{M}} }{{R}}}}} \right) {\text{.}} \end{split} $

由式（8）和（9）可知，和波阻抗与差波阻抗模值为

(12) $\begin{split}\!\!\!\left| {{{{Z}}_{{\rm{sM}}}}} \right| =& R \left| {\left( {1 - \frac{1}{{2 + {\rm{j}} \omega {C_{\rm{M}} }{{R}}}}} \right)} \right| = \\&{{R}} \cdot \frac{{\sqrt {4+5{\omega ^{\rm{2}}}{{C}}_{\rm{M}} ^2{{{R}}^2} + {\omega ^4}{{C}}_{\rm{M}} ^4{{{R}}^4}} }}{{4 + {\omega ^2}{{C}}_{\rm{M}} ^2{{{R}}^2}}}{\text{，}}\end{split}$

(13) $\begin{split}\left| {{{{Z}}_{\rm{dM} }}} \right| =& R\left| {\left( {1 + \frac{1}{{2 + {\rm{j} }\omega {C_{\rm{M}} }{{R}}}}} \right)} \right| = \\& {{R}} \cdot \frac{{\sqrt {36+13{\omega ^{\rm{2}}}{{C}}_{\rm{M}} ^2{{{R}}^2} + {\omega ^4}{{C}}_{\rm{M}} ^4{{{R}}^4}} }}{{4 + {\omega ^2}{{C}}_{\rm{M}} ^2{{{R}}^2}}}.\end{split}$

由式（12）和（13）可得

(14) $\frac{{\left| {{{{Z}}_{{\rm{sM}}}}} \right|}}{{\left| {{{{Z}}_{\rm{dM} }}} \right|}} = \frac{{\sqrt {4 + 5{\omega ^{\rm{2}}}{{C}}_{\rm{M}} ^2{{{R}}^{\rm{2}}} + {\omega ^4}{{C}}_{\rm{M}} ^4{{{R}}^4}} }}{{\sqrt {36 + 13{\omega ^{\rm{2}}}{{C}}_{\rm{M}} ^2{{{R}}^2} + {\omega ^4}{{C}}_{\rm{M}} ^4{{{R}}^4}} }} < 1.$

即 $\left| {{Z_{\rm{dM} }}} \right| > \left| {{Z_{\rm{sM} }}} \right|$. 同理，当发生区内故障时，母线N侧有 $\left| {{Z_{\rm{dN} }}} \right| > \left| {{Z_{\rm{sN} }}} \right|$，所以，可根据这一特征判断故障是否发生在同杆双回线路保护区内.

当保护区外K₂点发生故障时，依据彼得逊法则，可将线路故障特征简化为图3的彼得逊模型. 图3（a）为故障发生后行波向母线M传播的模型，图3（b）为行波向母线N传播的模型. 分析图3（a）可知：

(15) $\Delta {\dot I_1} = \Delta {\dot I_2} = - \frac{{\Delta {{\dot I}_5} + \Delta {{\dot I}_{\rm{cM} }}}}{2}.$

母线M端的和波阻抗与差波阻抗模值分别为

(16) $\begin{split} \!\!\!\! \left| {{{{Z}}_{\rm{sM} }}} \right| =& \left| {\frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{M}} }}}{{\Delta {{\dot I}_1}}} \!\!+\!\! \frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{M}} }}}{{\Delta {{\dot I}_2}}}} \right| \!= \!2\left| {\frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{M}} }}}{{\Delta {{\dot I}_1}}}} \right| \!=\! 4\left| {\frac{{ - \Delta {{\dot U}_{\rm{M}} }}}{{\Delta {{\dot I}_5} + \Delta {{\dot I}_{\rm{cM} }}}}} \right| \!\! = \\ & 4\left| \,{{Z_3}/\!\!/{Z_{{\rm{cM}}}}} \right| = \frac{{4{{R}}}}{{1 + {\rm{j}} \omega {C_{\rm{M}} }{{R}}}}{\text{，}} \end{split} $

(17) $\left| {{{{Z}}_{\rm{dM} }}} \right| = \left| {\frac{{\Delta {{\dot U}_M}}}{{\Delta {{\dot I}_1}}} - \frac{{\Delta {{\dot U}_M}}}{{\Delta {{\dot I}_2}}}} \right| \approx 0.$

母线N端的和波阻抗与差波阻抗模值分别为

(18) $\left| {{{{Z}}_{\rm{sN} }}} \right| = \left| {\frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{N}} }}}{{\Delta {{\dot I}_1}}} + \frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{N}} }}}{{\Delta {{\dot I}_2}}}} \right| = \left| {{Z_1} + {Z_2}} \right| \approx 2{{R}}{\text{，}}$

(19) $\left| {{{{Z}}_{\rm{dN} }}} \right| = \left| {\frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{N}} }}}{{\Delta {{\dot I}_1}}} - \frac{{\Delta {{\dot U}_{\rm{N}} }}}{{\Delta {{\dot I}_2}}}} \right| = \left| {{Z_1} - {Z_2}} \right| \approx 0.$

可知在发生区外故障时，有 $\left| {{Z_{{\rm s} i}}} \right| \gg \left| {{Z_{{\rm d} i}}} \right|(i = {\rm{M}},{\rm{N}})$，根据该特征，可判断故障是否发生在保护区外.

对于母线电压采用Clarke解耦，母线上电压 ${{U}}$与模量电压 ${{{U}}_{\rm{m}}}$的关系如下：

(20) ${{U = }}{{C}_{{1}}}{{{U}}_{{\rm m}}}{\text{.}}$

式中： ${{C}_{{1}}}$为Clarke变换矩阵.

同杆双回输电线路中存在着比母线更复杂的耦合情况，不仅相间存在耦合，双回路线间也存在耦合，因此对于线路电流采用类Clarke变换矩阵 ${{C}_{{2}}}$进行解耦变换^[17]，六相电流 ${{I}}$与模量电流 ${{{I}}_{{\rm m}}}$关系如下：

(21) ${{I = }}{{C}_{{2}}}{{{I}}_{\rm{m}}}{\text{.}}$

根据式（21）进行相模变换，获得电压与电流模量，以此消除电气量中的耦合.

在故障于 ${t_0}$时刻发生之后，由行波的传播原理可知，暂态行波向线路两端传播. 经过一段时间的传播，同杆双回线路两端连接的母线M和母线N于 ${t_n}$时刻检测得到相应的初始电压行波相量，使用Clarke变换矩阵对该初始电压行波相量进行解耦变换，可得到模量电压为 $\Delta {u_{{\mathop{\rm M}\nolimits} n}}$和 $\Delta {u_{{\mathop{\rm N}\nolimits} n}}$.

根据式（2）、（3）对电压模量进行离散S变换，在选定的频率 ${f_{\rm Z}}$上取得一维复相量^[16]，表示为

(22) $\Delta {\dot U_{i n}}\left( {{t_n},{f_{\rm Z}}} \right) = \Delta {U_{i n}}\left( {{t_n},{f_{\rm Z}}} \right)\exp \left[{\mathop{\rm j}\nolimits} {\theta _{i n}}\left( {{t_n},{f_Z}} \right)\right]{\kern 1pt} .$

式中： $\Delta {U_{i n}}\left( {{t_n},{f_{\rm Z}}} \right)$、 ${\theta _{i n}}\left( {{t_n},{f_{\rm Z}}} \right)$分别为母线M和N在 ${t_n}$时刻的行波电压对应的幅值和相位.

若在 ${t_1}$时刻母线M的电压行波幅值为 $\Delta {U_{{\mathop{\rm M}\nolimits} 1}}$，并对于任意时刻均有 $\Delta {U_{{\mathop{\rm M}\nolimits} 1}} \geqslant \Delta {U_{i n}}\left( {{t_n},{f_{\rm Z}}} \right)$，则该时刻的模量电压 $\Delta {\dot U_{{\mathop{\rm M}\nolimits} 1}}\left( {{t_1},{f_{\rm Z}}} \right)$为选定频率 ${f_{\rm Z}}$上的初始电压行波峰值相量^[14]. 同理可得，母线M侧 ${t_1}$时刻检测到Ⅰ回线路和Ⅱ回线路的初始电流行波峰值相量分别为 $\Delta {\dot I_{{\rm I} 1}}\left( {{t_1},{f_{\rm Z}}} \right)$和 $\Delta {\dot I_{{\rm I}{\rm I} 1}}\left( {{t_1},{f_{\rm Z}}} \right)$. 使用 ${t_1}$时刻获得的行波峰值，应用式（6）与（7）计算相应的初始行波和波阻抗与差波阻抗.

以线路L₁上K₁点发生三相接地故障时的母线M端为例，将电磁暂态仿真软件（power systems computer aided design，PSCAD）仿真所得的故障数据导入Matlab解耦后进行S变换，选取故障前100个采样点与故障后200个采样点，共计300个采样点的近母线M端保护单元的初始电压和电流初始行波波形如图4所示. 图中，S为经S变换后特定频率下的电压、电流幅值，n为采样点个数. 图4（a）为母线M上的电压波形，图4（b）为对应的S变换后在60 kHz下的电压波形；图4（c）和（e）分别为故障后同杆双回输电线路Ⅰ回线路和Ⅱ回线路的电流波形，图4（d）和（f）分别为S变换后60 kHz下的两回线路电流波形.

分析图4（c）和（e）可知，故障后Ⅰ、Ⅱ回线路出现的行波波头方向相反，根据式（6）与（7）可知，以此计算出的和波阻抗小于差波阻抗，故障发生在保护区内.

当线路上出现噪声信号时，以信噪比为30 dB白噪声为例，可得相应电压与电流波形如图5所示. 当出现噪声信号时，基于S变换的良好去噪能力，在白噪声影响下，行波保护单元仍能准确获取相应的初始行波相量，从而准确判断区内、外故障.

噪声对电流的波形影响较大，对电压的波形影响较小，以母线端获得故障电压初始行波波头出现的时间为基准，统一电压与电流的行波波头取值.

综合上述分析可知，通过比较和波阻抗与差波阻抗可实现故障区域判别. 由于实际工程运行中可能受到行波数据丢失等因素影响，为提高保护可靠性，本文利用选定的S变换单频率下所得的初始电压行波峰值信息确定相应相量，计算在不同故障发生后0.1 ms时间窗内共计20个采样点的信息，以此确定同杆双回线路母线端检测到的线路综合和波阻抗与综合差波阻抗，构造故障识别判据.

以如图1所示的系统为例，同杆双回线路上4个行波保护单元 ${W_1}\sim {W_4}$测量到的故障发生后20个初始电流行波相量为 $\Delta {{{\dot I}}_{1 n}}\sim \Delta {{{\dot I}}_{4 n}}\,\,(n = 1,2, \cdots ,20)$，在母线上检测到的初始电压行波相量分别为 $\Delta {\dot U_{{\rm{M}} n}} $和 $\Delta {\dot U_{{\rm{N}} n}}$，由此可得综合和波阻抗和综合差波阻抗模值分别为

(23) $\left. \begin{gathered} \left| {{Z_{{\rm{sM}}}}} \right| = \sum\limits_{n = 1}^{{\rm{20}}} {\left| {\frac{{\Delta {{\dot U}_{{\rm{M}} n}}}}{{\Delta {{\dot I}_{1 n}}}} + \frac{{\Delta {{\dot U}_{{\rm{M}} n}}}}{{\Delta {{\dot I}_{2 n}}}}} \right|,} \\ \left| {{Z_{\rm{dM} }}} \right| = \sum\limits_{n = 1}^{20} {\left| {\frac{{\Delta {{\dot U}_{{\rm{M}} n}}}}{{\Delta {{\dot I}_{1 n}}}} - \frac{{\Delta {{\dot U}_{{\rm{M}} n}}}}{{\Delta {{\dot I}_{2 n}}}}} \right|.} \\ \end{gathered} \right\}$

(24) $\left. \begin{gathered} \left| {{Z_{\rm{sN} }}} \right| = \sum\limits_{n = 1}^{20} {\left| {\frac{{\Delta {{\dot U}_{{\rm{N}} n}}}}{{\Delta {{\dot I}_{3 n}}}} + \frac{{\Delta {{\dot U}_{{\rm{N}} n}}}}{{\Delta {{\dot I}_{4 n}}}}} \right|,} \\ \left| {{Z_{\rm{dN} }}} \right| = \sum\limits_{n = 1}^{20} {\left| {\frac{{\Delta {{\dot U}_{{\rm{N}} n}}}}{{\Delta {{\dot I}_{3 n}}}} - \frac{{\Delta {{\dot U}_{{\rm{N}} n}}}}{{\Delta {{\dot I}_{4 n}}}}} \right|.} \\ \end{gathered} \right\}$

式（23）和（24）分别为母线M、N端的综合和波阻抗和综合差波阻抗模值，通过对比综合和波阻抗和综合差波阻抗模值识别区内、区外故障：

(25) $\left| {{Z_{{\rm{s}} i}}} \right| < \left| {{Z_{{\rm{d}} i}}} \right|.$

为了增加保护的灵敏性，防止数据丢失及受到噪声干扰时保护误动或拒动，引入比率制动系数 ${{{K}}_{\rm s}}$，构造具有比率特性的故障识别判据^[18]：

(26) ${{{K}}_{\rm s}}\left| {{Z_{{\rm{s}} i}}} \right| < \left| {{Z_{{\rm{d}} i}}} \right|.$

式中： ${{{K}}_{\rm{s}}}\left| {{Z_{{\rm{s}} i}}} \right|$为故障识别判断的制动量， $\left| {{Z_{{\rm{d}} i}}} \right|$为动作量. 当母线端检测到的综合和波阻抗和综合差波阻抗满足式（26），则判断出故障发生在保护区内，保护装置启动；当综合和波阻抗和综合差波阻抗关系不满足式（26），则判断出发生区外故障，保护装置不动作. 比例制动系数 ${{{K}}_{\rm{s}}}$的取值范围为0.3~0.8^[19]. 为防止故障出现后，保护拒动，本文选择较小系数，初步选定为0.3，后文仿真分析将验证 ${{{K}}_{\rm{s}}}$取值的合理性.

当线路故障时，对检测到的故障电压和电流进行相模解耦变换，得到相应的模量电压和电流. 当检测到发生单相接地故障时，选用解耦所得的α模量，当检测到发生两相及多相故障时，使用相模变换之后的β模量^[5].

对所得的行波模量进行S变换，选取变换后60 kHz对应的单频率故障初始行波，提取故障后0.1 ms内20个采样点的初始行波相量，代入式（6）与（7）计算线路上的综合和波阻抗和综合差波阻抗，利用判据式（26）实现同杆双回线路的故障识别. 故障识别算法流程如图6所示.

本文使用PSCAD软件进行同杆双回输电线路的模型建立，并设置故障位置和故障类型，使用Matlab进行相模变换和S变换，最终提取母线电压行波和双回线路电流行波峰相量. 线路全长300 km，电压为500 kV，工频为50 Hz，保护单元设置如图1所示，同杆双回线路的线路参数采用Tower:3L12，单回线路采用的线路参数为Tower:3H5，采样频率设定为200 kHz.

当发生区内故障时，以双回线MN保护区内Ⅰ回线路B相与Ⅱ回线路C相跨线接地故障为例. 设故障位置为距N端150 km处，过渡电阻为300 Ω，故障初始角 $\theta = 90 ^\circ $，线路上电流行波如图2所示. 计算可得M端综合和波阻抗 $\left| {{{{Z}}_{{\rm{sM}}}}} \right| = 1.502 \times $ $ {10^4} \; \Omega $，M端的综合差波阻抗 $\left| {{{{Z}}_{\rm{dM} }}} \right| = 2.295 \times {10^4} \;\Omega $，使用比率制动系数 ${{{K}}_{\rm{s}}}$，有 ${{{K}} _{\rm{s}}}\left| {{{{Z}}_{\rm{sM} }}} \right| < \left| {{{{Z}}_{\rm{dM} }}} \right|$，满足判据式（26），判断为区内故障. 同理可计算N端综合和波阻抗与综合差波阻抗为： $\left| {{{{Z}}_{{\rm{sN}}}}} \right| = 1.502 \times {10^4} \;\Omega $， $\left| {{{{Z}}_{{\rm{dN}}}}} \right| = 2.452 \times$10⁴ Ω，可得 ${{{K}}_{\rm{s}}}\left| {{Z_{{\rm{sN}}}}} \right|$= $4.506 \times {10^3} \;\Omega $， ${{{K}}_{\rm s}} $ $\left| {{Z}}_{{\rm{sN}}}\right|\! < \!\left| {{{{Z}}_{\rm{dN} }}} \right|$ ，两端均满足判据式（26），判断为区内故障.

为了验证算法对区内故障的识别有效性，本文进行大量的仿真试验，如表1所示. 表中， ${R_{\rm{T}}}$为过渡电阻值， $\theta $为故障初始角， ${{l}}$为故障发生位置至母线N端的距离，制动量为 ${{{K}}_{\rm{s}}}\left| {{{{Z}}_{{\rm{s}} {i}}}} \right|$. 表1中序号1与2给出了不同故障类型下的同杆双回线路区内故障仿真；序号3与4中分别给出了不同故障初始角的仿真验证，其中序号4表示Ⅰ回线ABC与Ⅱ回线A跨线非接地故障；序号5给出了不同故障位置和过渡电阻 ${R_{\rm{T}}}$下的仿真验证.

通过分析仿真结果可知，在故障类型、故障初始角、过渡电阻、故障位置发生及线路上噪声情况发生变化时，制动量与动作量基本不变，均有 ${{{K}}_{\rm{s}}}\left| {{{{Z}}_{{\rm{s}} i}}} \right| < \left| {{{{Z}}_{{\rm{d}} i}}} \right|$. 动作量 $\left| {{{{Z}}_{\rm{d} i}}} \right|$均约为制动量 ${{{K}}_s}\left| {{{{Z}}_{\rm{s} i}}} \right|$的10倍，两者关系基本不受故障类型、故障初始角、过渡电阻和故障位置的影响，均能满足判据式（26），能灵敏可靠地识别区内故障.

在同杆双回线路上发生区外故障时，以双回线MN保护区外BC相跨线故障为例. 设故障位置为距离N端100 km处，故障初始角度为45º，线路电流行波示意图如图3所示. 依据本文算法，计算可得M端综合和波阻抗 $\left| {{{{Z}}_{{\rm{sM}}}}} \right| = 2.801 \times {10^4} \;\Omega $，M端的综合差波阻抗 $\left| {{{{Z}}_{\rm{d} M}}} \right| = 2.390 \times {10^{ - 11}} \; \Omega $，使用比率制动系数 ${{{K}}_{\rm{s}}} = 0.3$，有 ${{{K}}_{\rm{s}}}\left| {{Z_{\rm{sM} }}} \right|$， ${{{K}}_{\rm{s}}}\left| {{{{Z}}_{{\rm{sM}}}}} \right| \gg \left| {{{{Z}}_{\rm{dM} }}} \right|$，不满足判据式（26），判断为区外故障. 同理可计算N端综合和波阻抗与综合差波阻抗为 $\left| {{{{Z}}_{\rm{sN} }}} \right| = 1.467 \times {10^4} \; \Omega $， $\left| {{{{Z}}_{\rm{dN} }}} \right| = 3.073 \times {10^{ - 12}}\; \Omega $，可得 ${{{K}}_{\rm{s}}}\left| {{Z_{{\rm{sN}}}}} \right|$ 为 $4.401 \times {10^3} \;\Omega $， ${{{K}}_{\rm{s}}}\left| {{{{Z}}_{{\rm{s}}{{\rm N}}}}} \right| \gg \left| {{{{Z}}_{{\rm{d}}{{\rm N}}}}} \right|$，不满足判据式（26），判断为区外故障.

为了验证算法对于区外故障识别的有效性，进行大量的仿真试验，如表2所示. 表2中序号1与2给出了不同故障类型下的同杆双回线路区外故障仿真，序号3与4分别给出了不同故障初始角的仿真验证，序号5给出了不同故障位置和过渡电阻下的仿真验证.

通过分析仿真结果可知，故障类型、故障初始角、过渡电阻的变化对制动量与动作量影响较小，均有 ${{{K}}_{\rm{s}}}\left| {{{{Z}}_{{\rm{s}} i}}} \right| \gg \left| {{{{Z}}_{{\rm{d}} i}}} \right|$. 即，该算法不受故障类型、故障初始角、过渡电阻和故障位置等因素的影响，均不满足判据式（26），能可靠识别区外故障.

对于只采用行波峰值计算和波阻抗与差波阻抗的保护算法而言，实际运行过程中可能出现采样值丢失的情况，从而导致保护判据失效；实际运行过程中可能出现一定的噪声干扰，也可能导致保护判据的失效. 因此下文对以上2种情况分别进行仿真分析.

在工程实际运行过程中，保护单元采集可能存在数据漏采集或数据在传输过程中丢失的情况，为了验证该情况下本文判据的有效性，对线路检测得到的初始行波电压与电流信息丢失情况进行仿真，与采样点未丢失情况进行对比，以M端数据为数据丢失仿真组，N端数据为数据未丢失仿真组.

表3中的故障一和二为区内故障信息丢失，故障一只考虑丢失故障峰值信息与未丢失信息的情况对比，故障二为在20个采样点中随机丢失 $k$个采样信息与未丢失采样信息的仿真对比，k=1，2，···，20；故障三为发生区外故障时，随机丢失 $k$个采样信息与未丢失采样信息的仿真对比. 其中“电压&电流”一栏的电压、电流采样值各丢失k个.

分析表3中故障一可知，在初始行波峰值信息丢失的情况下，根据采样中另外19个点数据信息计算得到的动作量与制动量满足判据式（26），使保护能动作。

分析表3故障二可知，在保护区内故障时，随着电压采样点丢失数量增加，动作量与制动量均减小，但仍保持动作量 $\left| {{{{Z}}_{{\rm{d}} i}}} \right|$约为制动量 ${{{K}}_{\rm{s}}}\left| {{{{Z}}_{{\rm{s}} i}}} \right|$的10倍，可灵敏识别区内故障；电流采样点丢失数量增多导致制动量增大而动作量减小，当丢失采样点个数为15时，制动量与动作量比值关系最小，约为4.2倍，保护仍可灵敏动作；电压与电流采样点各出现丢失情况时，制动量与动作量均随采样点丢失数量增大而减小，制动量与动作量的最小比值为4.9，保护仍可灵敏动作.

在发生保护区外故障时，M端为距保护区外较远的一端，故障行波传递至M端时衰减较为严重，故对M端进行采样值丢失仿真更有研究价值. 分析表3故障三可知，不论是电压采样值丢失或是电流采样值丢失，制动量均随着采样点丢失数量增多而减小，动作量均保持在约为0的状态，均不满足判据式（26），可确定为区外故障.

线路在实际运行过程当中，会出现一定的噪声信号，从而影响线路保护单元对故障行波的检测. 表4给出了在不同噪声情况下的仿真验证，通过对线路施加不同信噪比（singal-noise ratio, SNR）的噪声信号，模拟实际运行过程当中线路上伴随噪声出现的故障.

分析表4可知，随着信噪比的增大，制动量与动作量均呈增大趋势，当信噪比为10 dB时，线路上出现跨线故障，制动量与动作量比值最小，动作量约为制动量的1.2倍，仍可灵敏地识别区内外故障. 线路上的噪声具有一定的随机性，实际运行过程中，噪声的出现可能会影响算法识别故障的准确率. 为了满足不同信噪比环境下保护不拒动，本文使用较为保守的比率制动系数 ${{{K}}_{\rm{s}}} = 0.3$，以此保证区内故障时能准确动作. 所提出的算法对于噪声环境下的故障识别仍保持一定的准确性与灵敏性.

本文利用S变换给出了线路综合和波阻抗与综合差波阻抗概念，将综合和波阻抗设为制动量，综合差波阻抗设为动作量，同时引入比率制动系数，提出了基于测量波阻抗的比率制动同杆双回线路保护算法. 仿真结果表明：

1）当同杆双回线路发生区内故障时，制动量小于动作量；当发生区外故障时，制动量远大于动作量. 所提算法可以准确识别区内、区外故障，反应速度快，灵敏度高.

2）该算法使用S变换获取单频率初始电压行波和电流行波峰值相量，并据此计算测量波阻抗，基本不受小故障初始角、高阻接地和远端故障等因素的影响.

3）与传统电流横连差动保护相比，所提算法不受采样点数据丢失与高频噪声干扰，抗干扰能力更强，且有更高的灵敏性与准确性.