磨损问题在能源、化工、冶金、建筑等工业中极为常见^[1-2]. 其中，各类破碎机械（包括自磨机、半自磨机、球磨机、塔式磨机等）均须面对严峻的磨损. 由此造成的装置效率降低、设备维护耗时增加等问题，大大增加了破碎成本. 以半自磨机为例，衬板的磨损会显著影响物料的运动状态，进而降低破碎效率. 更换衬板则会导致整个系统停车，造成巨大经济损失. 随着计算机技术的迅速发展，当前广泛使用数值计算方法来加快破碎机械的设计制造以降低其使用、维护成本.

在破碎机械中，物料的运动特征对衬板磨损具有显著影响，对此已有一些分析研究^[3-4]. 为了准确模拟物料运动，当前最常用的数值计算方法之一是离散单元法（discrete element method，DEM）^[5-6]. DEM能够精确计算每一个颗粒的运动^[7]，且已被广泛应用于破碎设备的仿真模拟. Cleary^[8]是采用DEM研究破碎设备的先驱. 针对破碎机械的磨损问题，也有不少学者使用数值方法进行了研究. 比如，Mishra^[9]首先使用Millsoft软件研究了半自磨机衬板上的能量分布. Kalala等^[10]基于2D的DEM模拟结果研究了衬板上的磨损. Cleary等^[11]使用离散单元法研究了衬板设计对HICOM®磨机中磨损行为的影响. Powell等^[12]基于离散单元法定性分析了球磨机衬板形状随运行时间的变化. 此外，国内学者同样采用DEM对破碎机械的各种性质进行了研究^[13-14]，其中也包括磨损问题^[15].

为了准确计算磨损，一个适用于DEM的磨损模型显得尤为重要. 早在20世纪60年代，Finnie^[16]已经提出了针对塑性材料的颗粒尺度磨损模型. 其后这一模型获得了进一步发展^[17]. 但是，Finnie磨损模型并不适用于颗粒排布较密的情况，而破碎机械中物料排布一般较密. 本次研究采用切向碰撞能量模型（shear impact energy model，SIEM）^[18]来预测衬板磨损. SIEM预测半自磨机衬板磨损的准确性已获得了验证. 前期研究发现半自磨机在不同转速下，底脚处物料粒径分布不同，且会对磨损产生一定影响^[19].

本研究采用DEM对比讨论粒径大小对半自磨机衬板磨损的影响，为分析物料粒径分布特点与磨损关系提供理论依据.

在DEM中，应用牛顿运动定律来计算颗粒的运动. 具体来说，对某颗粒i，若其质量为m_i，转动惯量为I_i，则其平移运动和旋转运动按照下式计算：

(1) ${m_i}\frac{{{\rm{d}}{{{v}}_i}}}{{{\rm d}t}} = {m_i}{{g}} + \sum\limits_{j = 1}^{{n_i}} {\left( {{{{F}}_{{\rm{c,n,}}ij}} + {{{F}}_{{\rm{c,t,}}ij}}} \right)}, $

(2) ${{{I}}_i}\frac{{{\rm{d}}{{{\omega}} _i}}}{{{\rm d}t}} = \sum\limits_{j = 1}^{{n_i}} {{{{T}}_{{\rm{c,}}ij}}} .$

式中：v_i为颗粒速度，g为重力加速度，n_i为与颗粒碰撞的所有颗粒以及壁面的数量，ω_i为颗粒角速度， $ {{{F}}_{{\rm{c,n}},ij}} $为颗粒i与颗粒j或壁面j之间的法向碰撞力， $ {{{F}}_{{\rm{c,t,}}ij}} $为切向碰撞力， $ {{{T}}_{{\rm{c}},ij}} $为作用在颗粒i上的力矩. 碰撞力由线性弹性-阻尼模型^[20]计算：

(3) ${{{F}}_{{\rm{c,n,}}ij}} = - {k_{\rm{n}}}{{{\delta}} _{{\rm{n,}}ij}} - {\eta _{\rm{n}}}{{{v}}_{{\rm{n,}}ij}},$

(4) ${{{F}}_{{\rm{c,t,}}ij}} = - {k_{\rm{t}}}{{{\delta}} _{{\rm{t,}}ij}} - {\eta _{\rm{t}}}{{{v}}_{{\rm{t,}}ij}}.$

其中，k_n、k_t为法向和切向弹性系数，η_n、η_t分别为法向和切向阻尼系数， $ {{{\delta }}_{{\rm{n}},ij}} $、 $ {{{\delta }}_{{\rm{t}},ij}} $为颗粒间（或颗粒与壁面间）的法向位移和切向位移， $ {{{v}}_{{\rm{n}},ij}} $、 $ {{{v}}_{{\rm{t}},ij}} $为颗粒间（或颗粒与壁面间）的相对法向速度和相对切向速度. 阻尼系数可根据Ting等^[21]提出的公式计算获得. 切向碰撞力在满足式（5）条件时，则按照（6）式进行计算：

(5) $\left| {{{{F}}_{{\rm{c,t,}}ij}}} \right| > {f_{\rm{s}}}\left| {{{{F}}_{{\rm{c,n,}}ij}}} \right|,$

(6) ${{{F}}_{{\rm{c,t,}}ij}} = - {f_{\rm{s}}}\left| {{{{F}}_{{\rm{c,n,}}ij}}} \right|{{{{{\delta}} _{{\rm{t,}}ij}}}/ {\left| {{{{\delta}} _{{\rm{t,}}ij}}} \right|}}.$

其中，f_s为滑动摩擦系数. 本次研究将颗粒形状简化为球形，因此只需要计算切向力矩：

(7) ${{{T}}_{{\rm{c,}}ij}} = r{{n}} \times {{{F}}_{{\rm{c,t,}}ij}}.$

其中，n为法向单位向量，r为球形颗粒的半径.

由于SIEM磨损模型的准确性已验证^[19]，本文直接使用该模型来预测磨损：

(8) $W = \frac{{{E_{{\rm{shear}}}}}}{{4.0p}}.$

式中：W为一次碰撞过程中壁面损失的体积，E_shear为壁面消耗的颗粒切向动能，p为壁面的塑性流动压力（plastic flow pressure）. 根据Finnie的实验结果^{[16, 22]}，钢材塑性流动压力一般取维氏硬度的1.5倍. 其中，E_shear按下式计算：

(9) ${E_{{\rm{shear}}}} = - \int_{{t_0}}^{{t_1}} {{{{F}}_{{\rm{c,t,}}ij}}{{{v}}_{{\rm{t,}}ij}}{\rm{d}}t} .$

其中，t₀、t₁分别为碰撞开始和接触的时间. 注意当 ${{{F}}_{{\rm{c,t,}}ij}}{{{v}}_{{\rm{t,}}ij}} < 0$且 ${{{F}}_{{\rm{c,t,}}ij}}{{{v}}_i} < 0$时才计算E_shear.

本次研究对象为伊朗Sarcheshmeh铜矿选矿厂中使用的半自磨机^[23]. 实际上，一般工业中使用的半自磨机结构大同小异，因此本次研究结果具有一定的泛化参考价值. 具体来说，半自磨机以10.5 r/min的转速运行. 如图1所示，磨机衬板由60块铸铬钼钢轨道式钢件构成，其中提升条的高度为152 mm，斜面倾角为14°. 由于整台设备尺寸较大（9.75 m×4.88 m），内部物料颗粒的数量亦非常大，实际模拟时切割了0.7 m宽的薄片进行研究，且在两端设置了周期性边界条件.

本研究使用自主开发的DEM软件DEMSLAB来计算半自磨机中物料的运动. 所有物料在模拟时均简化为球形处理，其中使用的钢球直径按实际情况设置为125 mm. 因此，在所有算例中，钢球对衬板磨损的影响均叠加同样计入总磨损中. 由于模拟方法的准确性已经获得了验证，本次研究目标为分析清楚物料粒径对衬板磨损的影响. 因此，5个算例从小到大依次使用5个级别的粒径（最小粒径算例颗粒数量约为500 000），每个算例中粒径在较小的范围内随机分布，分别为25~35，35~45，45~75，75~125，125~175 mm. 滑动摩擦系数、恢复系数等参数则参考了其他研究者的工作^[8]，具体见表1. 实际计算时，首先使半自磨机运转4圈以确保其内的物料运动达到准稳态，然后再运转4圈以获得磨损预测结果. 计算中使用的时间步长为5×10⁻⁵ s.

如图2所示，不同粒径大小的物料在半自磨机内的抛落以及泻落状态并无显著差异. 各算例以对应的平均粒径命名. 从图中可以看到，少部分颗粒在被提升条带至脱离区后，以较高的轨迹抛落至左下角衬板处（称为降落点），到达衬板前速度达到12 m/s以上. 大多数物料运动则类似雪崩（称为崩流），在自由面以中等速度（约8 m/s）泻落至左下角衬板处（因与降落点位置有所区别，下文将称为底脚区）. 底脚区与脱离区之间存在一层低速颗粒带.

粒径增大，衬板的总磨损速率随之增加. 值得注意的是，总磨损速率并非与粒径大小成正比例关系，当粒径较小时，粒径稍微变大一些（如d从30 mm增加到40 mm）即可显著增加总磨损速率. 反过来可以推测，当粒径进一步减小时，总磨损速率将迅速减小，这直接支持了之前工作中大量小粒径颗粒造成的磨损可以忽略的假设^[19]. 图3显示了单块提升条在不同粒径物料作用下的平均磨损率分布曲线. 磨损率大小通过提升条各个位置的磨损体积W，磨机运行总时间t以及各个位置的面积S计算得到. 图中，L 为壁面在单块提升条上的位置. 从图中可以看到，粒径越大，磨损率δ=W/(tS)越大，尤其是提升条上表面的磨损（L=0.03 ~ 0.22 m）. 与此同时，也可以清楚地看到提升条上磨损最大值均出现在右上角位置（约0.2 m处），这与实验结果^[23]是一致的. 有趣的是，在所有粒径下，提升条上平面左侧（约0.1 m处）磨损率均只比对应的右上角最大值小约5 μm/h. 而在粒径分布范围较大的实际情况下，无论是实验还是模拟结果^[19]，右上角的磨损远大于上平面左侧磨损. 基于这一结果可以推论得出，在实际物料粒径分布范围较大的情况下，提升条上平面左侧（约0.1 m处）的磨损很可能主要受小颗粒影响而相对较小，右上角处（约0.2 m处）则很可能主要受大颗粒影响而相对较大. 本次研究中，单个粒径分布范围较小，上表面左侧和右上角磨损差异较小.

为了定量分析衬板在磨机内各个位置时的磨损情况，统计平均60个提升条在半自磨机转动过程中，在磨机内圆周不同位置α处的瞬时磨损率R=ΔW/Δt，结果如图4所示. 在计算瞬时磨损率时，需要获得足够短的时间间隔Δt内，提升条上的磨损体积增量ΔW. 这里按照习惯，将半自磨机的顶部设置为0°位置，其余位置按照逆时针方向确定，如图4中的插图所示. 可以清楚地看到，当平均粒径最大（d=150 mm）时，瞬时磨损率在约135°时达到最大值，而当平均粒径最小（d=30 mm）时，最大值位置也略小（约133°）. 与图2中结果相比较可知，不同粒径下，提升条磨损仍旧主要发生在进入底脚区时. 随粒径增大，瞬时磨损率最大值也增大（当纵坐标转换为线性坐标时很容易观察到）. 此外，随粒径增大，在最大值之后，瞬时磨损率减小得更慢，即减小速率更低. 关于不同粒径下磨损特征的主要原因，将在第3.3和3.4节中详细讨论.

如图5所示，当粒径不同时，目标区域（如图中插图所示，为沿磨机内圆周105°~175°且宽度为提升条高度2倍区域）颗粒平均速率( $\bar v$)曲线彼此相似. 图中，α′表示颗粒沿磨机内圆周位置. 在沿磨机内圆周约120°位置（即降落点位置），颗粒的平均速率均较大，这主要是如图2所示的抛落状态颗粒速度较大所致. 此后，随位置角增大，即在逐渐进入底脚区的过程中，颗粒平均速率迅速减小. 对比图2可知，崩流下来的颗粒群在这一位置与壁面碰撞而减速. 此后，颗粒平均速率不断减小至局部极小值，并在提升条的作用下开始加速过程. 从图中也可以看到，当粒径较大时（d=150 mm），平均速率极小值的位置约为133°，而当粒径较小时（d=30 mm），位置约为130°. 与图4瞬态磨损率最大值位置相比，均略小一些. 这一结果说明粒径大小并未改变磨损发生的主要原因^[19]：在底脚区位置颗粒被加速过程中，颗粒与壁面发生剧烈碰撞. 此外，图5显示，随粒径增大，平均速率极小值也增大，表明在底脚区位置处的激烈碰撞中，大颗粒的动能减小得更慢，原因可能是相比小颗粒，大颗粒经受的碰撞次数更少，进而使得碰撞损失的动能比例更小. 需要注意的是，这里仅仅是比例更小，并不意味着大颗粒损失的绝对动能更少. 实际上，查看如表2所示颗粒的平均平动动能E_t可以发现，最大颗粒（d=150 mm）平均平动动能为最小颗粒（d=30 mm）的100倍以上. 可以推测，大颗粒虽然平均速率减小得更慢，且颗粒数量远远少于小颗粒，但与壁面碰撞中损失的绝对动能总量应当更大，从而造成如图3和4中所示大颗粒带来更大磨损的结果.

如图6所示为目标区域内颗粒速率的标准差. 与约120°处平均速率对应，降落点颗粒速率的标准差也更大一些，且在进入底脚区过程中迅速减小，局部极小值的位置也与平均速率的结果几乎一致，因此不再赘述. 值得注意的是在130°~140°内的结果，当粒径较大时（d=150，100 mm），速率标准差SD在达到局部极小值后进入一个短暂的平台期，此后继续逐渐减小，而当粒径较小时（d=60，40，30 mm）则不同，在速率标准差出现极小值后可以观察到一个局部的极大值（约135°处）. 在颗粒力学中，一般认为较大的速率标准差意味着颗粒群内部存在更多的剪切. 这一结果表明，在临近提升条磨损发生的主要位置处，小颗粒群内部存在更大的速度梯度，更易发生不同速度的颗粒层之间的滑移. 相比于大颗粒，小颗粒更容易在提升条上表面滑动，这很可能是小颗粒造成的提升条上表面磨损较小的原因之一.

在底脚区位置附近，颗粒会在提升条的作用下有一个与半自磨机转动同方向的角速度，模拟结果显示的确如此. 这一角速度在进入底脚区以后达到局部极大值，此后逐渐减小至几乎为0，且不同粒径对目标区域内颗粒的平均角速度几乎没有影响. 显然，相同角速度下，大颗粒具有更大的转动动能. 对临近衬板的底脚区附近颗粒的平均转动动能E_r进行统计，结果如表2所列. 数据表明大颗粒（d=150 mm）的转动动能亦在小颗粒（d=30 mm）的100倍以上，这与颗粒的平动动能结果相似. 此外，颗粒的转动动能比对应平动动能小2个量级，认为转动对磨损的影响可以忽略.

上文从颗粒运动角度分析了粒径对衬板磨损影响的原因. 基于分析结果可知，大颗粒造成提升条磨损更大的主要原因是其具有更大的动能. 但是，动能更大并不代表单次碰撞中碰撞力更大，或剧烈碰撞持续时间更长，或滑动强度更大. 本节的主要目的是从壁面角度分析粒径大小对提升条不同位置磨损的影响因素.

提升条上磨损最大的上平面以及右上角（观察图3可知）对应的瞬时磨损速率沿磨机内圆周分布如图7所示. 这里ΔW为Δt内提升条上4个区域各自的磨损体积增量，瞬时麿损率r=ΔW/(ΔtS). 首先关注一般情况下磨损最大的位置，即提升条的提升位置（位置4）. 在提升位置处，相比于最大瞬时磨损率大小，粒径对最大值之后瞬时磨损率的降幅有更大的影响. 这与提升条的总瞬时磨损率结果一致，表明粒径更大时提升条经过底脚处后剧烈磨损持续的时间更长. 实际上，从4个位置的瞬时磨损率曲线均可观察到这一现象. 因此，粒径越大，目标区域颗粒运动越剧烈，这与图5中平均速率随粒径增大而增大的结果吻合. 与提升位置不同，粒径大小对上平面右侧（位置3）处的瞬时磨损率最大值有显著影响：随粒径增大，瞬时磨损率最大值逐渐增加，甚至粒径最大时（d=150 mm），平面右侧的最大瞬时磨损率超过了提升位置的最大值（见图7（e））. 图4显示，随粒径增大，整个提升条瞬时磨损率最大值增大. 由当前结果可知，主要原因是上平面右侧的最大瞬时磨损率随粒径增大而显著增大. 其余2个位置中，上平面左侧（位置1）的瞬时磨损率也值得注意. 随粒径增加，最大瞬时磨损率并未显著增加，但是曲线在最大值附近出现了一个平台，位置范围大约是135°~145°，这是如图3所示平面左侧与右上角磨损率差距并没有随粒径增大而增大的主要原因之一. 而这个平台的出现可能是因为大粒径颗粒造成的滑动强度更大.

不同粒径大小下，提升条上不同区域所受平均切向应力τ_t沿磨机内圆周位置分布情况如图8所示. 同样，先关注提升位置（位置4）的情况. 显然，在所有粒径大小下，提升位置的切向应力相较于其他位置均更大. 与图7中对应的瞬时磨损率曲线相比较，可知在所有粒径下，当切向应力增长率明显趋缓时，对应瞬时磨损率达到最大值. 与之相比，其他位置（位置1、2、3）对应最大瞬时磨损速率均发生在快速增加阶段，且应力要显著小于提升位置应力. 因此，相比于提升条提升位置处的磨损，上表面磨损受颗粒滑动性质影响更大一些. 切向应力的以上特征在不同颗粒形状影响下同样可以观察到^[24]，具有一定普遍性. 有趣的是，不同粒径大小下，提升位置处所受切向应力在底脚区对应位置处大小差异并不明显，甚至大粒径（d=150 mm）造成的切向应力相对还要更小一些. 这表明壁面所受总力并不随粒径增大而增大. 由于粒径较大时颗粒与壁面间碰撞次数显著少于粒径较小时，对应单次碰撞的切向碰撞力 $ {{{F}}_{{\rm{c}},{\rm{t}},ij}} $必然远远大于粒径较小时，最终导致壁面在单次碰撞中接收的切向动能更大.

基于上述结果可知，改变粒径大小会显著影响底脚区处颗粒获得动能大小，最终使得壁面在单次碰撞中获得更多切向撞击能. 为了定量确定壁面与大颗粒碰撞时确实获得了更多动能，下文将从壁面角度进行能量分析. 如表3所示为不同粒径下衬板与颗粒碰撞后能耗率 $\sum$P_P-L以及颗粒间碰撞的能耗率 $\sum$P_P-P. 数据表明，随粒径增大，衬板能耗率迅速增加. 因此，虽然大颗粒碰撞过程中造成的壁面平均应力不大，但是单次碰撞时更大的滑动强度使得壁面接收的切向撞击总能量更大.

如图9所示为不同粒径下衬板与颗粒间碰撞的频谱图. 结果表明，当粒径较小时（d=30 mm），大量碰撞所在能级非常小（频率最大时对应10⁻⁵ J能级），且没有大于10¹ J能级的碰撞；而当粒径较大时（d=150 mm），频率最大时对应10⁻¹ J能级且存在大量大于10¹ J能级的碰撞. 此外，小颗粒碰撞频率最大值量级为10³ Hz，大颗粒对应的量级为10¹ Hz，与第2.3节中提到的小颗粒动能比大颗粒小2个量级对应.

如图10所示为不同粒径大小下衬板与颗粒碰撞的能谱图. 其中， $ {E_k}_{,{\rm{P}} - {\rm{L}}} $为属于能级E_j的第k次颗粒与衬板间碰撞的耗散能量. 结果表明，当粒径大小不同时，能级越大的碰撞消耗的能量均越大. 不同粒径大小下，能耗速率谱线差异显著. 随粒径增大，谱线整体向右平移，且最大能耗速率增加. 综合图9和10可知，粒径较大时，大能级的碰撞频率更高，导致大能级对应能耗率更大，最终使得如表3中所列衬板上总能耗率也更大.

（1）随物料粒径增大，提升条所受总磨损逐渐增大（增速在粒径较小时尤为明显），但是粒径大小对提升条上磨损分布没有明显影响.

（2）不同粒径下，提升条上磨损均主要发生在其进入底脚区的过程中，且随粒径增大，不仅提升条的最大瞬时磨损率增大，剧烈磨损的持续时间也增加.

（3）粒径增大，磨损增加的主要原因如下：相比小颗粒，虽然大颗粒碰撞壁面次数少，但冲击壁面的能级更大，导致碰撞总能耗更大，且由于大颗粒改变运动状态需要更长时间，剧烈磨损的持续时间也更长.

（4）提升条上磨损最大的位置主要为上表面以及右上角处，但两者磨损受不同粒径颗粒影响的原因不同，上表面更多受不同粒径颗粒与壁面间的滑动性质影响，而右上角更多受底脚区不同粒径颗粒群推动难易程度的影响.