直桩的水平承载力远小于轴向承载力，若桩倾斜，桩顶水平荷载将部分转化成轴向荷载，这能够提高桩基的水平承载能力^[1]. 近年来，斜桩广泛应用于跨海大桥、高压输电线路塔架及海上风电机基础等水平载荷较大的工程中^[2-4]. 设计斜桩，除须确定斜桩的水平承载力，还须计算桩身截面内力. p-y曲线法是一种在弹性区采用弹性地基反力、在塑性区采用极限地基反力的地基反力法^[5]，能够考虑土体的非线性、弹塑性及不同深度土体间的相互作用，已成为分析水平受荷桩承载变形性状的主流方法^[6-8]. 采用该方法的关键是合理地构建p-y曲线.

国内外学者开展一些水平受荷桩p-y曲线的研究. Reese等^[9-10]假定浅层桩前土发生楔体破坏、深层桩周土发生绕流破坏，推导砂土地基桩侧极限土反力的分布模式，建立砂土地基水平受荷直桩的多段线型p-y曲线. Georgiadis等^[11]在砂土中开展水平受荷直桩的离心模型试验，采用双曲线表达式描述土反力与桩身位移的关系. 朱斌等^[12-14]开展水平受荷直桩的模型试验、离心模型试验及现场试验，获得直桩在饱和粉砂、干砂、饱和砂及饱和黏土中的实测p-y曲线，采用双曲线描述p-y关系获得了良好的效果. Zhang等^[1]基于库仑被动土压力理论，修正Reese等^[9]建立的直桩p-y曲线中的初始地基反力模量和桩侧极限土反力，建立砂土中水平受荷斜桩的p-y曲线. 袁廉华等^[15-16]借鉴Reese等^[9-10]提出的浅层土体发生楔体破坏的假定，由极限平衡条件推导斜桩的桩侧浅层土的极限土反力，在文献[9]的基础上提出砂土中水平受荷斜桩的p-y曲线. 目前的p-y曲线主要是针对直桩构建的，而对于斜桩，仅文献[1, 15, 16]通过对直桩p-y曲线的修正间接获得斜桩的p-y曲线，而通过对直桩的p-y曲线进行修正得到的斜桩p-y曲线难以准确反映斜桩与桩侧土之间复杂的挤压、剪切相互作用.

本文以桩身倾斜方向与水平荷载方向一致的斜桩定为正斜桩，反之为负斜桩. 在水平荷载作用下，桩前土提供给正斜桩的土反力较大，提供给负斜桩的土反力较小，水平受荷直桩对桩前土的挤压作用介于正斜桩与负斜桩之间^[17]. 笔者等^[17]曾在砂土中开展水平受荷斜桩的模型试验，基于模型试验结果建立斜桩的两段线型p-y曲线，数学表达式分为2段，需确定的参数较多且过程繁琐. 本文基于文献[17]的模型试验，研究桩身倾角对斜桩极限土反力和初始地基反力模量的影响，构建砂土中水平受荷斜桩的双曲线型p-y曲线. 基于构建的p-y曲线分析桩顶约束条件、竖向下压及上拔荷载对斜桩水平承载变形性状的影响，得到了一些有意义的规律性认识，这对于类似工程设计有一定的参考价值.

文献[17]中的模型试验及本文中的关于正、负斜桩的规定如图1所示.模型试验的实测结果为水平荷载作用下的桩顶位移及桩身应变，根据实测的桩顶位移及桩身应变，得到斜桩的桩侧土反力及桩身横向位移的过程^[17]，此处仅给出水平荷载作用下的桩侧土反力及桩身横向位移. 图2给出各级水平荷载作用下斜桩和直桩在2倍桩径深度处桩侧土反力p及桩身横向位移y构成的散点. 采用双曲线进行拟合，可见双曲线可以很好地表示p-y之间的关系.

图2的双曲线型p-y曲线可以表示为

(1) $p(y,z) = \frac{{y}}{{\displaystyle\frac{1}{{{k_{\rm ini,b}}(z)}} + \displaystyle\frac{y}{{{p_{\rm ub}}(z)}}}}{\text{.}} $

式中：k_ini，b、p_ub分别为斜桩p-y曲线的初始地基反力模量和桩侧极限土反力（直桩采用k_ini、p_u表示），如何得到这2个参数是构建斜桩p-y曲线的关键.

由模型试验实测结果获得的k_ini，b、p_ub沿深度的分布及拟合如图3所示. 图中，D为桩身直径.

1）初始地基反力模量k_ini，b.

首先考虑直桩条件下砂土的水平向初始地基反力模量. Terzaghi^[18]认为砂土的k_ini随着深度线性增大，即k_ini=η_hz，其中η_h为比例系数. 从图3（a）可以看出，直桩的k_ini随着深度总体上呈线性变化，因此可以采用Terzaghi^[18]的建议计算直桩的k_ini. 表1给出Reese等^[9]、American Petraleum Institute^[6]关于η_h的建议值及文献[17]中试验的实测值.

其次考虑斜桩条件下砂土的横向初始地基反力模量（横向代表垂直斜桩轴线的方向）. 从图3（a）可以看出，斜桩的初始地基反力模量沿深度总体呈线性增长，且正斜桩的初始地基反力模量的比例系数大于直桩，负斜桩的初始地基反力模量的比例系数小于直桩，倾角越大，正斜桩的初始地基反力模量的比例系数越大，负斜桩的初始地基反力模量的比例系数越小. 考虑以直桩的初始地基反力模量为基准，通过引入反映斜桩倾角影响的系数 $\psi $，得到斜桩的初始地基反力模量，即

(2) ${k_{\rm ini,b}} = \psi {\eta _{\rm h}} z{\text{，}}$

(3) $\psi = {\eta _{\rm hb}}/{\eta _{\rm h}}{\text{.}}$

式中：η_hb为斜桩的初始地基反力模量的比例系数；ψ为桩身倾角对斜桩初始地基反力模量的影响系数，根据本文试验得到的ψ随桩身倾角α的变化如图4所示.

图4给出Zhang等^[1]关于ψ的建议值. Zhang等^[1]基于挡土墙理论，令ψ等于墙背倾斜挡墙与墙背直立挡墙的库仑被动土压力系数之比，凌道盛等^[16]基于Reese等^[9-10]提出的浅层土体发生楔体破坏的假设，令ψ等于斜桩与直桩的桩前楔形体剪切面积之比. 从文献[1,9-10,17]可以看出，Zhang等^{[1, 9-10, 17]}建议的值不能总是较好地反映ψ随倾角的变化规律. 本文建议ψ的取值按图4的拟合结果采用（见图4的黑实线）.

2）斜桩的桩侧极限土反力p_ub.

目前关于砂土地基中水平受荷斜桩的桩侧极限土反力的研究较少，最具代表性的是Zhang等^[1]采用墙背倾斜的挡土墙与墙背直立的挡土墙被动土压力系数之比，Zhang等^[1]修正Reese等^[9]建议直桩的桩侧极限土反力的系数，获得斜桩的桩侧极限土反力. 库仑土压力理论基于平面应变假设，斜桩桩侧浅层土体的破坏包括桩前土体发生的被动楔体破坏、桩后土体产生的主动楔体破坏，同时桩身在变位过程中受到左、右两侧土体的摩阻力，另外，桩前、桩后土体达到极限状态的范围不是无限长土体. 根据库仑被动土压力理论得到的桩侧极限土反力不能准确地反映实际情况.

基于文献[17]的室内模型试验，得到直桩和斜桩的桩侧极限土反力随深度的分布，如图3（b）所示. 可以看出，桩侧极限土反力随深度总体呈线性增长，并且正斜桩的桩侧极限土反力大于直桩，负斜桩的桩侧极限土反力小于直桩. 桩身倾角越大，正斜桩桩侧的p_ub越大，负斜桩的p_ub越小.

考虑到斜桩挤压桩侧土体使桩前土发生破坏与挡土墙挤压墙后土体达到极限状态有相似之处，因此可以考虑根据挡土墙被动土压力理论并结合试验结果，获得斜桩极限土反力. 考虑如图5所示的墙背倾角为α的挡土墙，墙后无黏性土有效重度为γ，由库仑被动土压力理论可知，深度z处挡土墙墙背的被动土压力为K_pbγz，其中K_pb为墙背倾斜挡土墙的库仑被动土压力系数. 若墙背与土的界面摩擦角为δ，则宽度为B的挡土墙在z深度处的极限土反力为cos δ·K_pbγzB.

以上述挡土墙极限土反力为基础，考虑水平受荷桩的桩前土体的破坏模式与挡土墙的墙背土体被动破坏模式的区别，引入修正系数λ，得到斜桩的p_ub，即

(4) ${p_{\rm ub}} = \lambda \cos \delta \cdot {K_{\rm pb}} \gamma zD{\text{.}} $

式中：D为桩身直径；λ与地基土性质、桩的横截面形状及尺寸等多种因素有关，由本文的实测结果反算可得λ，如图6所示. δ为桩-土界面摩擦角，与土的性质、桩身表面的粗糙程度及成桩方法等因素相关，参考加拿大岩土工程协会关于界面摩擦角的建议值^[19]及袁廉华等^[15]的工作，考虑本文试桩表面光滑，砂土为中密干砂，因此对于承受较小轴向荷载的水平受荷单桩，取δ=0°；对于承受较大轴向荷载的水平受荷单桩，取δ=14°.

由图6可知，本文试验的λ约为15，可以认为λ几乎不受倾角的影响. 由于λ与多种因素有关，笔者初步探讨了λ与桩径的关系^[17]，λ可以按图7线性插值取用.

图8给出本文实测得到的斜桩与直桩的极限土反力比值以及基于式（4）得到的比值. 可以看出，本文关于斜桩与直桩的极限土反力比值的计算结果与实测结果较接近. 采用式（4）作为斜桩或直桩的桩侧极限土反力的计算式.

文献[11-14,17]中的试验结果表明，对于干砂地基、饱和砂土地基、饱和粉砂地基及软黏土地基，采用双曲线描述水平受荷桩的p-y曲线较合理、简便. 本文建立的斜桩双曲线型p-y曲线中包含了2个待定参数k_ini，b和p_ub，斜桩的p_ub适用于干燥和饱和的无黏性土地基. 由于目前尚未见饱和无黏性土地基中关于倾角对k_ini，b影响规律的试验研究，因此对于饱和无黏性土，采用干燥无黏性土条件下获得的k_ini，b，但须进一步开展饱和地基条件下的相关研究.

考虑如图9所示的斜桩计算模型，根据深度z处桩身单元体的受力平衡条件，可得

(5) $EI\frac{{{{\rm d}^4}y}}{{{\rm d}{z^4}}} + N(z)\frac{{{{\rm d}^2}y}}{{{\rm d}{z^2}}} + p(y,z) = 0{\text{.}} $

式中：EI为抗弯刚度，p（y，z）为桩周土反力，N（z）为轴力.

式（5）可以采用差分法求解，求解过程见文献[17]，此处不赘述. 在求得桩身位移后，根据梁理论计算桩身截面内力.

1）与袁廉华模型试验结果的对比.

袁廉华等^[15]在饱和粉土中开展3根单桩的水平静载试验，包括直桩和倾斜度分别为−1∶5、1∶5的斜桩. 地基砂土参数包括土粒比重G_s、相对密实度D_r、最大干密度ρ_d，max、有效内摩擦角φ'、有效黏聚力c'、液限w_L、塑限w_P，如表2所示，试桩参数包括桩长L、入土桩长L₀、桩身自由段长L₁、桩径D、壁厚t、抗弯刚度EI，如表3所示，桩-土界面摩擦角取0°.

应用构建的p-y曲线，其中参数η_hb（η_h）和p_ub（p_u）/z见表3，计算各级荷载作用下的桩顶横向位移，并与试验结果进行比较，如图10所示.图中，Q为荷载. 可以看出，计算结果与实测结果具有较好的一致性，这说明建立的p-y曲线较合理.

2）与Awoshika模型试验结果的对比.

Awoshika^[20]开展饱和砂土中6根单桩的水平静载试验，包括2根直桩和4根倾斜度分别为−1∶12、−1∶6、1∶12及1∶6的斜桩. 地基土和试桩的主要参数分别如表4、5所示. 表中，ρ_d，min为砂土的最小干密度，桩-土界面摩擦角取0°.

应用构建的p-y曲线，其中参数η_hb（η_h）和p_ub（p_u）/z如表5所示，计算各级荷载作用下桩顶横向位移，并与试验结果进行比较，如图11所示. 可以看出，计算结果与实测结果具有较好的一致性，这说明建立的p-y曲线较合理.

为了分析桩顶约束条件和竖向荷载等因素对水平受荷斜桩性状的影响，以文献[21]中某海上风电场的试桩参数和文献[22]中福建某风电场的工程地质资料为基础，利用本文方法计算分析. 试桩参数^[21]及BY5钻孔天然地基设计参数^[22]如图12所示. 图中，φ为土体内摩擦角，E_s为土体变形模量. 为了计算简便，取桩的抗弯刚度为17.06 GN·m²，自由段长取18 m，砂土有效重度取9.45 kN/m³，桩-土界面摩擦角取14°.

水平荷载设为500 kN. 当桩顶约束条件分别为自由和固支时，桩顶横向位移、桩身最大弯矩M_max及最大剪力F_max与桩身倾角的关系如图13所示.

由图13可知，不同的桩顶约束条件对水平受荷斜桩变形性状和内力的影响差异较大. 与桩顶自由条件相比，桩顶固支有效地减小了桩顶的横向位移、桩身的最大弯矩及最大剪力.

由图13（a）可知，正斜桩的桩顶横向位移随着桩身倾角的增大而减小，负斜桩则相反. 由图13（b）可知，不论是正斜桩还是负斜桩，桩身最大弯矩均随着桩身倾角的增大而减小. 由图13（c）可知，负斜桩的桩身最大剪力随着桩身倾角的增大而减小，正斜桩的桩身最大剪力随着桩身倾角的增大先增大，后有小幅减小.

水平荷载设为500 kN，竖向荷载V以竖直向下为正，桩顶约束条件取自由和固支2种. 以倾角为−15°和15°斜桩的及直桩为例，各桩的桩顶横向位移、桩身的最大弯矩及最大剪力与竖向下压及上拔荷载的关系如图14所示.

对于承受相同水平荷载的直桩和斜桩，由图14（a）可知，当存在竖向下压荷载时，正斜桩和直桩的桩顶横向位移随着下压荷载的增加而增大，且正斜桩的桩顶横向位移的增幅大于直桩的增幅，负斜桩的桩顶横向位移随下压荷载的增加先减小至0，再反向增大. 由图14（a）可知，当存在竖向上拔荷载时，直桩的桩顶横向位移随着上拔荷载的增加而减小，正斜桩的桩顶横向位移随着上拔荷载的增加先减小至0，再反向增大，负斜桩的桩顶横向位移随着上拔荷载的增加而增大.

由图14（b）可知，当存在竖向下压荷载时，正斜桩和直桩的桩身最大弯矩随着下压荷载的增加而增大，且正斜桩的桩身最大弯矩的增幅大于直桩的增幅，负斜桩的桩身最大弯矩随着下压荷载的增加先减小至0，再反向增大. 由图14（b）还可知，当存在竖向上拔荷载时，直桩的桩身最大弯矩随着上拔荷载的增加而减小，正斜桩的桩身最大弯矩随着上拔荷载的增加先减小至0，再反向增大，负斜桩的桩身最大弯矩随着上拔荷载的增加而增大.

由图14（c）可知，当存在竖向下压荷载时，正斜桩和直桩的桩身最大剪力随着下压荷载的增加而增大，且正斜桩的桩身最大剪力的增幅大于直桩的增幅，负斜桩的桩身最大剪力随着下压荷载的增加先减小至0，再反向增大. 由图14（c）还可知，当存在竖向上拔荷载时，直桩的桩身最大剪力随着上拔荷载的增加而减小，正斜桩的桩身最大剪力随着上拔荷载的增加先减小至0，再反向增大，负斜桩的桩身最大剪力随着上拔荷载的增加而增大.

（1）基于模型试验建立的p-y曲线能够反映水平受荷斜桩与桩侧土之间复杂的相互作用. 该双曲线型p-y曲线中仅有2个参数，即初始地基反力模量和桩侧极限土反力，该p-y曲线具有数学描述简单、方便实用的优点.

（2）桩顶约束条件对水平受荷斜桩的变形性状和内力的影响较大，与桩顶自由条件相比，桩顶固支能够有效地减小桩顶横向位移、桩身最大弯矩及最大剪力.

（3）在相同的水平荷载作用下，正斜桩和直桩的桩顶横向位移、桩身最大弯矩及最大剪力随着下压荷载的增加而增大，正斜桩的桩顶横向位移、桩身最大弯矩及最大剪力的增幅大于直桩的增幅；负斜桩的桩顶横向位移、桩身最大弯矩及最大剪力随着下压荷载的增加先减小至0再反向增大. 直桩的桩顶横向位移、桩身最大弯矩及最大剪力随着上拔荷载的增加而减小，正斜桩的桩顶横向位移、桩身最大弯矩及最大剪力随着上拔荷载的增加先减小至0再反向增大，负斜桩的桩顶横向位移、桩身最大弯矩及最大剪力随着上拔荷载的增加而增大.