六杆四面体^[1]是一种形似斜三角锥的空间结构基本单元，其水平投影为四边形，具有几何不变性，可以集合组成多种不同类型的网壳，并容易实现工业化生产和装配化施工. 其中，针对由六杆四面体组成的球面网壳、柱面网壳和扭网壳已作了系统的研究，并论证了其可行性^[2-6]. 本文提出六杆四面体单元组成的双曲面网壳，可以将该双曲面网壳用作大型钢结构冷却塔的主体结构. 冷却塔作为广泛应用于电力、化工等行业的特种结构，主要功能是将工业生产中产生的大量废热排入大气，以维持系统的正常运行. 长期的实践表明，双曲线型的冷却塔具有良好的受力性能和热力学性能，在大型冷却塔中的应用最广泛. 以往我国的大型冷却塔主要采用钢筋混凝土薄壳结构的形式，具有丰富的工程经验，但在建设及使用过程中暴露了一些问题，比如在内陆一些地区混凝土材料不易获得、施工周期长、资源消耗大、无法回收利用等，钢结构冷却塔能够解决这些问题. 国外在20世纪70年代实现了大型钢结构冷却塔的工程应用^[7]，我国对大型钢结构冷却塔的研究与实践仍处于起步阶段，取得了一定成果^[8-10]. 六杆四面体单元组成的双曲面网壳是一种可应用在钢结构冷却塔上的优秀结构形式，本文对该结构形式的构形、静力性能、线性与非线性稳定性能进行深入的研究. 研究表明，这种网壳构造简单、受力明确、静力及稳定性能良好，有工程推广的价值.

如图1所示，六杆四面体单元由2根弦杆和4根腹杆组成，在其构成双曲面网壳的过程中有正交正放和正交斜放2种基本布置形式. 正交正放时（见图2），两向弦杆分别沿着竖直经向和水平环向设置. 可以将同方向弦杆统一布置在筒体的外围或内侧，为了方便起见，将外围杆件称作上弦杆，内侧杆件称作下弦杆. 正交斜放时（见图3），弦杆沿斜向布置，若正好布置在双曲面的直母线上，则弦杆连成一直线. 此时，上、下弦杆都起到了筒体抗扭的作用，但由于分别在外围与内侧，与旋转轴的距离不同，会导致抗扭刚度的不对称. 本文分析的六杆四面体双曲面网壳采用正交正放的形式，考虑竖直弦杆为上弦杆而水平弦杆为下弦杆的情况. 该网壳兼具单层网壳与双层网壳的特性，由于结构是双层的，双层网壳的特性更显著一些. 双曲面网壳和六杆四面体组成的球面网壳具有相似的拓扑关系，研究表明，单元之间铰接的六杆四面体球面网壳为动不定体系^[11]，为了保证稳定性，分析的双曲面冷却塔网壳节点采用全刚接.

若环向有 $m$个单元，径向有 $n$个单元，则网壳共有 $m \times n$个单元组成，可以称该网壳为 ${T_{mn}}$. 网壳底部刚接于支座，顶部须增设一圈环杆，将上弦节点相连. 此为六杆四面体双曲面网壳的基本体系.

为了增加结构的刚度与稳定性，可以增设一部分弦杆，构成该网壳的多层加强环（见图4）. 通常做法是在竖直方向相隔若干六杆四面体单元增设一圈环向杆件. 原先网壳的上、下弦杆几何上为正交关系，增设环杆后具有了相同方向的上、下弦杆，形成一圈环桁架，可以增加钢结构冷却塔的刚度，减小结构的形变.

双曲线的基本方程为

(1) $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.$

需要2个参数就可以获得1条双曲线；由底面和顶面的高度坐标 ${z_{\rm b}}$、 ${z_{\rm t}}$，能够获得双曲面母线的上、下边界. 由此可知，共需要4个参数确定双曲面网壳的基本形状. 如图5所示，通过底面直径 ${d_0}$、喉部直径 ${d_1}$、总高度 ${h_0}$、喉部高度 ${h_1}$来确定一个双曲面，以上参数与 $a$、 $b$、 ${z_{\rm b}}$、 ${z_{\rm t}}$之间的转换关系为

(2) $\left. {\begin{aligned} & {{z_{\rm b}} = - {h_1}} {\text{,}}\\ & {{z_{\rm t}} = {h_0} - {h_1}}{\text{,}} \\ & {a = \displaystyle{{{d_1}}}/{2}}{\text{,}} \\ & {b = \displaystyle\frac{{{h_1}}}{{\sqrt {\displaystyle{{{d_0}^2}}/{{{d_1}^2}} - 1} }}} {\text{.}} \end{aligned}} \right\}$

设有一六杆四面体双曲面网壳 ${T_{mn}}$， $m = 30$， $n = 16$， ${d_0}{\rm{ = }}120$ m， ${d_1}{\rm{ = }}80$ m， ${h_0}{\rm{ = }}160$ m， ${h_1}{\rm{ = }}140$ m. 六杆四面体网格沿经向与环向均匀分布，高度为 $10$ m，宽度为该高度壳体圆形截面12°的圆弧. 双曲面的喉部以上有2层六杆四面体单元，喉部以下有14层. 仅设有顶部环杆，没有其余加强环. 网壳厚度随着高度变化，网壳厚度与该高度的截面直径之比始终保持为 $0.05$. 上下弦杆、腹杆和顶部环杆都采用 ${\rm{Q}}345$的圆钢管，其中上下弦杆及顶部环杆截面采用 $\phi 700 \times 20$，腹杆截面采用 $\phi 450 \times 15$. 所有杆件之间的连接皆为刚接，故杆件为梁单元，结构底部约束按照固定支座计.

风荷载是冷却塔结构的控制荷载，对于冷却塔的结构设计起关键作用. 《工业循环水冷却规范》^[12]给出作用于双曲线型冷却塔外表面的的风荷载标准：

(3) ${\omega _{(Z,\theta )}} = \beta {C_{\rm g}}{C_{\rm p}}(\theta ){\mu _z}{\omega _0}.$

式中： $\beta $为风振系数，考虑 ${\rm{B}}$类地面粗糙度，取为 $1.9$； ${C_{\rm g}}$为塔间干扰系数，取为1； ${\mu _z}$为风压高度变化系数，按照荷载规范 ${\rm{B}}$类地面粗糙度取值； ${\omega _0}$为基本风压，取为 $0.5$ kN/M²； ${C_{\rm p}}(\theta )$为双曲线型冷却塔的风压分布系数，

(4) ${C_{\rm p}}(\theta ) = \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^m {{\alpha _k}\cos\; (k\theta) } ,$

其中 $\theta $为冷却塔表面法线方向与迎风方向的夹角， ${C_{\rm p}}(\theta )$以傅里叶级数的方式列出，通常取前 $8$项，系数见表1.

风荷载按照每个上弦节点管辖的区域以集中力的方式施加到网壳上，以来风方向为0°方向，平均风压系数与上弦节点位置在圆周上所处的角度有关，取值如图6所示.

考虑沿塔身内表面均匀分布的风吸力，标准值按下式计算：

(5) ${\omega _i} = {C_{{\rm p}i}}{\mu _{\rm H}}\beta {C_{\rm g}}{\omega _0}.$

式中： ${C_{{\rm p}i}}$为内吸力系数，取为 $ - 0.5$； ${\mu _{\rm H}}$为塔顶标高处的风压变化系数.

结构的自重放大至1.2倍，以考虑节点和维护结构引起的重力荷载. 温度作用考虑 $ \pm 50$ °C的升温和降温. 使用ANSYS软件的BEAM188单元，对网壳进行建模，分别对结构进行风荷载、自重与温度单工况作用下的静力分析，以考察网壳的受力性能.

如图7所示为冷却塔结构在自重作用下的应力图. 可以看出，自重主要引起了竖直杆件的轴向压力，对水平杆件和腹杆的影响较小. 自重引起的应力从顶部向底部递增，在支座处达到最大应力53.4 N/mm². 自重引起的变形表现为结构整体的下沉，最大位移为0.020 m，出现在冷却塔的顶部.

如图8所示为冷却塔结构在+50 °C温度作用下的应力图. 可以看出，升温引起的变形使六杆四面体单元外扩，支座对变形的约束导致结构底部水平杆件受轴压力作用，竖直杆件受到较大的弯矩作用. 最大应力为97.0 N/mm²，出现在1层竖直杆件支座处的内侧. 最大位移为0.090 m，由结构在升温下的外扩和上升共同引起，出现在冷却塔的顶部.

如图9所示为冷却塔结构在风荷载（包括内吸力）下的应力图（迎风面方向）. 可以看出，风荷载引起的应力分布与变位比自重与温度荷载引起的复杂很多. 在受风压力的方向，冷却塔底部竖直杆件出现了较大的拉应力；在受风吸力的方向，则出现了较大的压应力，整个冷却塔的水平杆件均有内力分布. 为了显示该冷却塔结构的受力特点，对该结构在风荷载单独作用下的静力性能进行分析.

首先分析竖直杆件（上弦杆）的内力分布特点. 图10给出1层竖直杆件的最大应力分布情况，最大应力的分布规律与图6的平均风压分布系数基本一致. 图中，σ为应力. 在受风压力的方向（−36°~36°），底层杆件竖直受拉力作用，在受风拉力方向（−108°~−54°与54°~108°），底层竖直杆件受压力作用. 冷却塔迎风面背面（角度小于−108°与大于108°区域）底层竖直杆件受力方向与平均风压分布系数相反的原因是平均风压系数中未包含内吸力的影响，均匀分布的内吸力使得所有底层杆件均有一个受拉的趋势.

0°与72°方向分别为六杆四面体单元中上弦杆受拉应力与压应力最大的区域，在竖直方向上上弦杆内力的变化规律相似，以0°方向为例，如图11所示为迎风方向0°处竖直杆件（上弦杆）的轴力N、弯矩M 和最大应力分布示意图. 图中，T为层数. 可以看出，受拉的竖直杆件表现出如下变化规律：1）大部分竖直杆件的受力以轴力为主，只有边缘区域的竖直杆件（15层、16层与1层）受到了较大的弯矩作用；2）喉部以下（15层以下）的竖直杆件的轴力为同方向，0°处的竖直杆件均受拉力作用（72°处的竖直杆件均受压力作用），并且轴力随着层数降低而不断增大，最终在支座处杆件达到最大应力（340.6 N/mm²）.

1层的竖直杆件受到弯矩作用主要是由于支座的约束，15、16层的竖直杆件因为顶层环杆导致的刚度增加而产生协同变形，受到较大的弯矩作用. 以15层为例，图12给出15层竖直杆件随着环向变化的弯矩示意图. 可以看出，受风压力和风吸力较大的部位（0°和72°区域）竖直杆件的协同变形较大，故弯矩较大.

分析水平杆件（下弦杆）的内力分布特点，如图13所示为迎风方向（0°）的水平杆件（下弦杆）在竖直方向上的弯矩、轴力和最大应力分布图. 可以看出：1）大部分水平杆件受力以弯矩作用为主，只有顶层附近受到较大的轴力作用；2）12层以下的水平杆件弯矩随着层数的降低而不断减小，喉部附近与顶层的水平杆件弯矩较大；3）大部分水平杆件所受轴力为压力，16层的水平杆件所受轴力出现了变号，受较大的拉力作用.

水平杆件在顶层附近受较大的轴力作用以及16层水平杆件的轴力出现变号，是因为顶部环杆改变了该区域的内力分布. 图14、15给出16层水平杆件（下弦杆）与顶部环杆的最大应力分布，轴力分布基本成反号关系，此时16层的水平杆件与顶部环杆协同作用形成了一榀环桁架，分别受拉与受压，抵御冷却塔顶部水平方向的变形.

该网壳结构中的腹杆内力较小，主要起到联结上、下弦杆的作用，使上、下弦杆能够协同工作，保持了网壳的几何不变和稳定性.

图16给出冷却塔结构的变形图，主要变形模式为迎风方向内凹，迎风方向两侧约45°至90°范围内在风吸力的作用下外凸，背风面的变形较小. 如图17所示为网壳0°~180°方向竖直剖面的变形图. 可以看出，网壳下半部分的位移较小，变形主要集中在双曲面的喉部；整个结构的最大位移出现在迎风面0°方向12、13层之间的上弦节点，位移为0.567 m.

风荷载是冷却塔的控制荷载，在单工况作用下，风荷载引起的内力与变形都比自重与温度作用大很多. 当受风荷载作用时，冷却塔结构的受力和变形主要集中在迎风面. 在风力的作用下，冷却塔迎风面中心受风压力部分内凹，中心两侧受风吸力部分外凸，而在背风面结构的位移和内力均较小. 在协同工作的过程中，竖直杆件和水平杆件表现出不同的功能和受力特点，竖直杆件的主要作用是将风荷载向下传递到地面，内力以轴力为主，在结构的上半部分受力较大；水平杆件的主要作用是抵御冷却塔环向的变形，内力以弯矩为主，在结构的上半部分受力较大. 顶层环杆对附近区域的内力分布有较大的影响，使得竖直杆件受弯矩作用，水平杆件受轴力作用. 结构的较大应力出现在迎风面顶层和底层由弯矩和轴力共同作用的杆件上. 在单工况作用下，网壳所有杆件的最大应力均满足设计要求. 自重在支座处竖直杆件产生的是压应力，故考虑自重将有利于风荷载作用时的受力，“风荷载+温度”的组合可能产生受力更不利的情况.

沿用静力计算时所用的模型与荷载，对该冷却塔结构进行特征值屈曲分析，考虑工况为“自重+风荷载+内吸力”. 表2给出该结构前20阶模态的特征值.

第1阶屈曲模态特征值为7.216，模态如图18所示，为网壳迎风面两侧底部受压部分的局部失稳；观察其余19阶屈曲模态后发现，均为相同区域的局部失稳，未出现整体失稳的情况.

对比相同条件下四角锥网壳的第1阶屈曲模态（见图19），可以看出它们的屈曲模态是相似的，均为受压区域的局部失稳，但六杆四面体网壳的失稳区域更大一些.

考虑材料非线性与几何非线性，对六杆四面体双曲面网壳进行极限承载力分析. 考虑工况与特征值屈曲分析相同，“自重+风荷载+内吸力”. 材料非线性的计算采用理想弹塑性模型，材料本构关系如图20所示. 图中，ε为应变.

考虑结构的几何缺陷，包括杆件初弯曲和安装缺陷. 杆件的初弯曲形式按半个正弦波考虑，根据《钢结构设计规范》^[13]的建议，幅值取杆长的1/500. 安装缺陷考虑局部安装缺陷和整体安装缺陷2种情况，局部安装缺陷采用特征值屈曲分析中的首阶屈曲模态作为缺陷形式，整体安装缺陷采用静力分析中结构在风荷载下的变形作为缺陷形式，按照《空间网格结构技术规程》^[14]的要求可知，2种情况的缺陷幅值均取网壳底部直径的1/300（为0.4 m）.

如图21所示为结构未考虑缺陷时的荷载-位移曲线. 图中，Δ为位移，α为荷载系数. 位移采用的是静力分析中风荷载作用下位移最大节点（12、13层之间的上弦节点）的水平位移，结构的极限荷载系数为2.27. 在荷载较小的情况下，结构刚度保持不变，非线性不明显，当荷载上升至约1.5倍时，荷载位移曲线的斜率开始变小，说明有杆件屈服，刚度受到削弱. 之后荷载可以继续增加，同时节点位移迅速增大，但曲线没有出现下降段，当选取点位移达到3.97 m时，塑性区域扩大，计算停止. 图22给出此时的应力图. 可以看出，0°受压区以及两侧72°受拉区的底部竖直杆件和中上部水平杆件大量进入了全截面屈服，整个结构的受力与变形模式与风荷载下的弹性阶段计算是一致的，没有出现特征值屈曲分析中的局部失稳，说明结构的稳定性能良好.

考察结构在几何缺陷下的极限承载力，考虑“整体缺陷+杆件初弯曲”时极限荷载系数为2.25，考虑“局部缺陷+杆件初弯曲”时极限荷载系数为2.26，与无缺陷时相比变化均较小，说明结构对缺陷不敏感.

（1）提出由六杆四面体单元组成的双曲面网壳，可以作为钢结构冷却塔的主体结构. 总结了正交正放与正交斜放2种单元布置形式，提出在正交正放网壳上布置环向弦杆的加强方式. 该网壳兼具单层网壳和双层网壳的特性，构造简单、形式美观，容易实现工业化生产和装配化施工.

（2）分析该结构在控制荷载（风荷载）作用下的受力变形特点，迎风面变形较大，背风面变形较小. 网壳在迎风面中心受风压力区域内凹，在迎风面两侧受风吸力区域外凸，结构的最大位移产生在迎风方向喉部附近的上弦节点.

（3）揭示了上、下弦杆（竖直杆件与水平杆件）的协同工作机理和受力特点，竖直杆件的主要作用是把风荷载向下传递到地面，在网壳的下半部分受力较大；水平杆件的主要作用是抵御冷却塔环向的变形，在网壳的上半部分受力较大，为结构的进一步优化提供参考.

（4）顶部环杆改变了周围区域的内力分布，和相邻的下弦杆（水平杆件）具有反号的轴力，表明顶部环杆与相邻下弦杆形成桁架共同工作，抵御网壳的环向变形. 这说明了增设环向弦杆的有效性，可以对该网壳加强环的作用进行进一步的研究.

（5）对网壳进行风荷载作用下的线性与非线性稳定性分析，在特征值屈曲分析中，结构的首阶特征值为7.216，前20阶特征值对应的模态均为网壳底部的局部失稳；极限状态下结构的受力特点与弹性阶段相似，在不考虑缺陷的情况下，结构的极限荷载系数为2.27，考虑“整体缺陷+杆件初弯曲”和“局部缺陷+杆件初弯曲”时极限荷载系数分别为2.25与2.26，说明结构对缺陷不敏感，具有良好的稳定性能.

（6）综合来看，该网壳构造简单、受力明确、静力及稳定性能良好，未来拟进一步对该网壳进行动力性能的分析，明确风振响应特点，开展缩尺模型的静载试验研究，验证理论计算的正确性、实践装配施工的可行性，确认该网壳在工程推广中的价值.