混沌是由内在随机性产生的貌似无规则、类似随机的动力学行为，是非线性系统中特有的运动形式，在生物工程、神经网络、密码学、化学、保密通信、电路控制等工程领域有着广阔的应用前景^[1−3].自60年代初，麻省理工大学著名气象学家Lorenz在研究大气湍流现象时发现Lorenz吸引子^[4]以来，人们已经发现许多新的混沌系统^[5-9].同时，还构建了分数阶系统^[10]、多翼混沌系统^[11]、超混沌系统^[12]、多涡卷混沌系统^[13]及恒Lyapunov指数系统^[14]等. 目前，构造具有简单代数式且在大范围变化下仍具有共存混沌吸引子的动力学系统是混沌理论与应用中的关注热点.

大范围参数的混沌系统是指在某个参数大范围变动下仍处于混沌状态的混沌系统，避免因参数的变更或误差改变系统动力学行为而使系统相轨收敛于不动点，或处于周期、拟周期和混沌的振荡状态. 贾红艳等^[15]给出一个大范围的超混沌系统，参数范围为[10，1 000]；梅蓉等^[16]给出一类超大范围超混沌系统，仿真中给出的参数范围为[0，2 000].在确定的参数组合下，不同的初值组合导致系统的运行轨迹不同，一些运行轨迹最终收敛在同一个吸引子上，而有些运行轨迹收敛在其他吸引子上，称这些吸引子为共存吸引子. 有共存吸引子的混沌系统具有更复杂的动力学行为，并且由于共存吸引子的复杂性，系统在信息加密和保密通信领域具有较好的应用价值. 譬如，按某种伪随机方式选取初始值所得到的密钥对应于不同的混沌吸引域，增加了密钥破解的难度，从而提高了信息加密的安全性. Zhang^[17]提出新颖的四维蝴蝶超混沌系统；史传宝等^[18]提出有共存吸引子的三维连续混沌系统；雷腾飞等^[19]构造了仅有1个线性项的有共存吸引子的三维连续自治混沌系统. 在已有关于大范围参数混沌系统的文献中，当系统参数在大范围内改变时，系统具有混沌吸引子，但没有共存的混沌吸引子.

在已有的大多数系统中，系统特性对系统参数的敏感性不强，即当系统参数发生微小改变时，系统的动力学特性变化较小. 在混沌保密通信中，系统特性对参数敏感性强意味着能得到更强的伪随机密钥，更有利于信息加密.

针对以上问题，本研究构建新型的混沌系统.基于Lorenz系统，通过改变其中的状态变量及其参数，构建当参数d在超大范围内变化时，2个孤立双翼混沌吸引子与1个四翼混沌吸引子均共存的混沌系统.通过对参数a做微小改变验证系统特性对参数a的敏感性；通过Multisim电路仿真，验证系统在硬件电路仿真方面的可实现性.

参照Lorenz系统，新系统的数学模型为

(1) $\left. \begin{gathered} \dot x = - x + yz + ay, \ \dot y = b(y - xz), \\ \dot z = - cz + dxy. \end{gathered} \right\} $

式中： $x$、 $y$、 $z$为系统变量；参数 $a = 1$， $b = {\rm{2}}$， $c = {\rm{3}}$， $d = 1$. 系统为三维，方程组右端有7项，每个方程均只含有1个由其他2个系统变量相乘而成的非线性项. 当参数 $d$在超大范围内变化时，系统均具有共存的2个孤立双翼混沌吸引子与1个四翼混沌吸引子. 系统特性对参数a具有较强的敏感性. 当选取初值为 $[1.0,\;1.0,\;1.0]$时，系统存在1个典型的吸引子，如图1所示. 此时系统的3个Lyapunov指数分别为 $0.395\;1,\;0.003\;7,\; - 2.398\;8$，显然系统处于混沌状态.

令式(1)的左边等于0，即

(2) $\left. \begin{gathered} 0 = - x + yz + ay,\ 0 = b(y - xz), \\ 0 = - cz + dxy. \end{gathered} \right\} $

求解式(2)得到5个平衡点分别为

${S_0} = (0,0,0),$

$ \begin{split} {S_1} = & \Biggr({\left[{{{\left( {a + \sqrt {{a^2} + 4} } \right)}/ 2} - a}\right]} {\left[ {{{\left( {ac\frac{{a + \sqrt {{a^2} + 4} }}{2} + c} \right)} / d}} \right]^{1/2}}, \\ & - {\left[ {{{\left( {ac\frac{{a + \sqrt {{a^2} + 4} }}{2} + c} \right)} / d}} \right]^{1/2}}, \frac{{ - a - \sqrt {{a^2} + 4} }}{2}\Biggr), \quad\quad(4) \end{split} $

$ \begin{split} {S_{\rm{2}}} = & \Biggr({\left[{{{\left( {a - \sqrt {{a^2} + 4} } \right)} / 2} - a}\right]} {\left[ {{{\left( {ac\frac{{a - \sqrt {{a^2} + 4} }}{2} + c} \right)} / d}} \right]^{{1 / 2}}}, \\ & - {\left[ {{{\left( {ac\frac{{a - \sqrt {{a^2} + 4} }}{2} + c} \right)} / d}} \right]^{{1 / 2}}}, \frac{{\sqrt {{a^2} + 4} - a}}{2}\Biggr), \quad\quad(5) \end{split} $

$ \begin{split} {S_{\rm{3}}} = & \Biggr({\left[a - {{\left( {a + \sqrt {{a^2} + 4} } \right)} / 2}\right]} {\left[ {{{\left( {ac\frac{{a + \sqrt {{a^2} + 4} }}{2} + c} \right)} / d}} \right]^{{1 / 2}}}, \\ & {\left[ {{{\left( {ac\frac{{a + \sqrt {{a^2} + 4} }}{2} + c} \right)} / d}} \right]^{{1 / 2}}}, \frac{{ - a - \sqrt {{a^2} + 4} }}{2}\Biggr), \quad\quad(6) \end{split} $

$ \begin{split} {S_{\rm{4}}} = & \Biggr({\left[{a - {{\left( {a - \sqrt {{a^2} + 4} } \right)} / 2}}\right]} {\left[ {{{\left( {ac\frac{{a - \sqrt {{a^2} + 4} }}{2} + c} \right)} / d}} \right]^{{1 / 2}}}, \\ & {\left[ {{{\left( {ac\frac{{a - \sqrt {{a^2} + 4} }}{2} + c} \right)} / d}} \right]^{{1 / 2}}}, \frac{{\sqrt {{a^2} + 4} - a}}{2}\Biggr). \quad\quad(7) \end{split} $

系统在平衡点 $({x^*},{y^*},{z^*})$处的Jacobi矩阵为

(3) ${{J}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{a + {z^ * }}&{{y^ * }} \\ { - b{z^ * }}&b&{ - b{x^ * }} \\ {d{y^ * }}&{d{x^ * }}&{ - c} \end{array}} \right].$

令 $\det \;(\lambda { I} - { J}) = 0$ （λ为特征值），得到其特征多项式

(4) $f(\lambda ) = {\lambda ^3} + {A_2}{\lambda ^2} + {A_1}\lambda + {A_0}.$

式中：

(5) $ \left. \begin{array}{l} \qquad\qquad\qquad\quad {A_2} = c - b + 1,\\ {A_1}{x^ * }^2 - d{y^ * }^2 + b{z^ * }^2 + abz - bc - b + c,\\ {A_0} = bd{x^{*2}} + bd{y^{*2}} + bc{z^{*2}} + 2bdxyz + abdxy\\ \quad \quad + abcz - bc. \end{array} \right\} $

当参数 $a = 1$， $b = {\rm{2}}$， $c = {\rm{3}}$， $d = 1$时，其平衡点的稳定性如表1所示.

采用四阶龙格-库塔(ODE45)算法对式(1)进行数值求解，可得时域波形图和选取的Poincaré截面，分别如图2、3所示. 图中，t为时间.可知系统为非周期系统，其相图在 $x$的正负半轴随机跳跃性变化，系统有复杂的混沌行为.

当 $b = {\rm{2}}$， $c = {\rm{3}}$， $d = 1$时，Lyapunov指数LE随参数 $a$的变化如图4(a)所示，系统变量 $x$随参数 $a$变化的分岔图如图5(a)所示. 由分岔图可以看出，随着 $a$的变化，系统相图可从四翼混沌变到双翼混沌状态，再变到周期状态，最后再从周期变到混沌状态，且在最后的混沌状态变化中，系统相图从双翼变为四翼.

当 $a = {\rm{1}}$， $b = 2$， $c = {\rm{3}}$时，LE随参数 $d$的变化如图4(b)所示，系统变量x随参数 $d$变化的分岔图如图5(b)所示. 说明当参数 $d$∈ $( {0,2 \times {{10}^4}} ]$时，系统均具有混沌特性，而且混沌的吸引域有一个非线性收缩的过程，吸引域越来越紧密.

系统的Lyapunov维数表达式为

(6) ${D_{\rm{L}}} = j + \frac{1}{{\left| {{L_{j + 1}}} \right|}}\sum\limits_{i = 1}^j {{L_i}} = 2 + \frac{{{L_1} + {L_2}}}{{\left| {{L_3}} \right|}}{\rm{.}}$

式中：j为常数；当 $a = {\rm{1}}$， $b = {\rm{2}}$， $c = {\rm{3}}$， $d = 1$时，系统的Lyapunov指数分别为 ${L_1} = 0.395\;1$， ${L_2} = 0.003\;7$， ${L_3} = - 2.398\;8$，其Lyapunov维数 ${D_{\rm{L}}} = 2.{\rm{166\;2}}$. 由此可见，系统的Lyapunov维数为分数维，从而验证了系统为混沌系统.

系统参数的变化会改变平衡点的稳定性，这将引起系统状态的变化. 在确定系统参数的条件下，选择参数a作为控制参数，采用文献[20]所提出的方法，得出系统的Lyapunov指数谱如图4(a)所示，系统的分岔图如图5(a)所示. Lyapunov指数谱和分岔图可以较直观地反映非线性动力学系统随参数变化的动态特性，当有一个Lyapunov指数大于0时，系统处于混沌状态；随着参数a的改变，系统的吸引子会发生翼的变化，这种变化具有对参数的高度敏感性，增加了混沌系统的复杂性.

以x-z相图为例，当 $a $ = $ - 1.50,\; - 0.95,\;0,\;0.95,\;1.00$时，系统相图如图6所示，系统对应的Lyapunov指数如表2所示. 由图6可知，固定参数b、c、d，当参数 $a$在 $[ - 1.5,\;1.0]$内由小到大取值时，系统特性从四翼混沌变到双翼混沌，再变到周期，最后从周期变到混沌，期间，系统特性从双翼变到四翼（见图5(a)）.由表2可知，当参数 $a$由 $ - 1.5$变化到 $1.0$时，最大Lyapunov指数先变小到零再变大，说明系统的混沌特性为先退化到周期，再到混沌，与图6的相图相对应.

在系统参数确定的情况下，改变初始值，系统呈现出复杂的动力学变化，即2个孤立双翼混沌吸引子与1个四翼混沌吸引子共存的特性. 以x-y相图为例，当参数为 $a = 1,b = {\rm{2}},c = 3,d = 1$，初始值为 $[1.5,\;1.0,\;1.0]$、 $[ - 1.5,\;1.0,\;1.0]$、[−1.5, −1.0, 1.0]时，系统x-y相图如图7(a)、(b)所示；选择 $d$作为控制参数，当 $0.8 < d < 1.2$时，状态变量 $x$的共存分岔图如图7(c)所示. 其中，初始值为 $[1.5,\;1.0,\;1.0]$的吸引子如图7(a)左边所示，初始值为[−1.5, −1.0, 1.0]的吸引子如图7(a)右边所示，初始值为 $[ - 1.5, $ $ 1.0,\;1.0]$的吸引子如图7(b)所示. 对比图7(a)、(b)可知，初始值正负改变，可以使系统的吸引域出现在2个完全不同的区域内，并且这2个区域不重叠；当再次改变初始值的正负时，两部分吸引域合并为一个，即系统具有2个孤立双翼混沌吸引子与1个四翼混沌吸引子共存的特性.

如图7所示，改变初始值的正负实现共存吸引子. 在实际应用中，改变正负意味着电源正负的转变，这无疑为电路实现增加了难度. 对于本研究构建的混沌系统，改变初始值的正负能够出现共存吸引子，不改变初始值的正负也能够出现共存吸引子，如图8(a)、(b)所示；选择 $d$作为控制参数，当 $0.5 < d < 1.5$时，状态变量 $x$的共存分岔图如图8(c)所示. 以x-z相图为例，当参数 $a = 1$， $b = {\rm{2}}$， $c = {\rm{3}}$， $d = 1$，初始值为[0.1, 0.5, 1.7]、[0.5, 1.0, 1.0]、[0.8, 1.5, 1.5]时，系统x-z相图如图8所示. 对比图8(a)、(b)可知，在初始值不同，且不用改变初始值正负的情况下，系统的吸引域也同样能出现在2个完全不同的区域内，并且这2个区域不重叠；当再次改变初始值的大小时，两部分吸引域合并为一个，即2个孤立双翼吸引子与1个四翼吸引子共存.

系统不仅在参数 $a = 1$， $b = {\rm{2}}$， $c = {\rm{3}}$， $d = 1$时存在共存吸引子，当参数 $a = 1$， $b = {\rm{2}}$， $c = {\rm{3}}$时，在 $d \in( {0,2 \times {{10}^4}} ]$内系统都存在共存吸引子. 当系统参数 $a = 1$， $b = {\rm{2}}$， $c = {\rm{3}}$， $d$=10、100、1 000、10 000时，系统均存在共存吸引子，相图及分岔图分别如图9~12所示.

利用Multisim电路仿真软件，采用线性电阻、电容、LM2924N运算放大器、AD633模拟乘法器，实现该混沌系统的电路设计与模拟. 根据系统的动力学方程，设计电路原理图如图13所示. 其中乘法器的输出增益为0.1，通过改变电容和电阻，实现大范围混沌系统电路的模拟.

根据电路原理图，得到自激振荡电路表达式为

(7) $\left. \begin{gathered} \dot x = - \frac{{{R_3}{R_6}}}{{{R_1}{R_4}{R_5}{C_1}}}x + \frac{{{R_3}}}{{10{R_2}{R_4}{C_1}}}yz + \frac{{{R_3}}}{{{R_9}{R_4}{C_1}}}y, \\ \dot y = \frac{{{R_{10}}}}{{{R_7}{R_{11}}{C_2}}}y - \frac{{{R_6}{R_{10}}}}{{10{R_8}{R_5}{R_{11}}{C_2}}}xz, \\ \dot z = - \frac{{{R_{16}}{R_{19}}}}{{{R_{15}}{R_{18}}{R_{17}}{C_3}}}z + \frac{{{R_{16}}}}{{10{R_{14}}{R_{17}}{C_3}}}xy. \\ \end{gathered} \right\}$

式中：R₁~R₁₁、R₁₄~R₁₇为电阻，C₁~C₃为电容. 取C₁=C₂=C₃=1 uF，R₄=R₁₁=R₁₇=1 kΩ，R₅=R₆=R₁₈=R₁₉=100 kΩ.

设 $\tau {\rm{ = }}{\tau _0}t$，其中 ${\tau _0} = 100$，为时间尺度变换因子，则式(1)可以改写为

(8) $\left. \begin{gathered} \dot x = - 100x + 100yz + 100y, \\ \dot y = 200(y - xz), \\ \dot z = - 300z + 100xy. \\ \end{gathered} \right\}$

通过对比式(5)、(6)，并保持相应系数相等，可以得到电阻为

$ \left. \begin{split} & \frac{{{R_3}{R_6}}}{{{R_1}{R_4}{R_5}{C_1}}}{\rm{ = }}100,\;\,\frac{{{R_3}}}{{10{R_2}{R_4}{C_1}}}{\rm{ = }}100,\;\,\frac{{{R_3}}}{{{R_9}{R_4}{C_1}}}{\rm{ = }}100, \\ & \frac{{{R_{10}}}}{{{R_7}{R_{11}}{C_2}}}{\rm{ = }}200,\;\,\frac{{{R_6}{R_{10}}}}{{10{R_8}{R_5}{R_{11}}{C_2}}}{\rm{ = }}200, \\ & \frac{{{R_{16}}{R_{19}}}}{{{R_{15}}{R_{18}}{R_{17}}{C_3}}}{\rm{ = }}300,\;\,\frac{{{R_{16}}}}{{10{R_{14}}{R_{17}}{C_3}}}{\rm{ = }}100. \end{split} \right\}\; (14) $

求解可得

(9) $ \; \left. \begin{aligned} & {R_2}{\rm{ = }}{R_3}{\rm{ = }}{R_8} = 1\;{\rm k}\rm\Omega , \\ &{R_{10}}{\rm{ = 2\;k }}\Omega , \\ &{R_{14}}{\rm{ = }}{R_{16}} = 3\;{\rm k}\rm\Omega , \\ & {R_1} = {R_7} = {R_9} = {R_{15}} = 10\;{\rm k}\rm\Omega . \end{aligned} \right\} $

如图14所示为示波器上观察到的结果，可以看出当初始值为[0.1, 0.5, 1.7]、[0.5, 1.0, 1.0]、[0.8, 1.5, 1.5]时，实验结果与数值仿真结果完全相符.

对大范围参数下的多重共存吸引子进行电路仿真，如图15所示. 由于Multisim电路仿真软件精度及文章篇幅的原因，只给出当d=10、100、300时的电路仿真图，结果与Matlab仿真结果一致，证明在大范围参数下系统的3个共存吸引子的可实现性.

构建的新型混沌系统中的参数d在超大范围 $( {0,2 \times {{10}^4}} ]$内变化时，系统具有混沌吸引子，且均具有共存的2个孤立双翼混沌吸引子与1个四翼混沌吸引子的特点；仅改变初始值的大小，系统同样具有2个孤立双翼混沌吸引子与1个四翼混沌吸引子共存的特性，为实际电路的共存吸引子的实现提供便利；系统特性对参数a具有较强的敏感性，当参数 $a$在 $[ - 1.5,\;1.0]$内由小到大取值时，系统从四翼混沌变到双翼混沌，再变到周期，最后从周期变到混沌（在此混沌期间，系统特性由双翼变到四翼）.仿真结果与数值仿真结果一致. 针对三维混沌系统，在超大范围参数下进行详细的数值仿真及电路仿真分析，但由于条件限制，未做实际电路分析. 下一步将尝试将该系统构建成高维或超混沌系统，并对其进行实际电路分析.