近些年，青睐于生物鱼类卓越的游动性能，国内外科研人员热衷于通过仿生学原理，模仿鱼类的形态结构和运动特征，设计出高游动性能的仿生机器鱼，改善传统水下推进器的推进性能^[1-4]. 魟鱼属鳐科，环形胸鳍沿身体中线对称分布，游动时单侧胸鳍呈现1.0~1.5个行波；魟鱼的游动方式属于典型的中鳍-对鳍模式（median and/or paired fin，MPF），主要通过胸鳍波动形成沿鳍面向前/后传播的对称、非对称行波，实现向前/后巡游、加速机动以及机动转弯等游动模式 ^[5]. 研究表明，魟鱼胸鳍周期性波动的生物节律运动是由位于脊髓的中枢模式发生器（central pattern generator，CPG）神经元控制的，该类生物CPG神经元广泛存在于生物低级神经中枢中，能够在缺乏外部环境信息反馈和高级神经中枢参与的情况下自发地产生稳定的节律运动，如胃肠蠕动、呼吸运动、肢体运动等^[6].

基于生物低级神经中枢的模式发生器原理，衍生出仿生CPG控制策略，利用多个仿生神经元构建CPG网络模型；模型根据简单的输入参数，耦合输出稳定的节律信号控制机器人运动，即使在缺乏外部反馈信号时，也能够自发地产生稳定的节律运动和平滑的轨迹过渡，鲁棒性强^[7]. Ijspeert^[8]根据CPG控制信号产生的机理不同，将CPG模型分为生物神经元物理模型、非线性振荡器模型、简化的神经元联结模型和神经元机制模型. 其中基于Hopf的非线性振荡器模型具有如下优点：稳定的极限环，输出信号波形稳定，且波形对内部网络的参数变化不敏感；输出信号的幅值、相位和频率相互独立、可以单独控制；单个周期内波形的上升段/下降段可调等^[9]. 另外，Hopf的非线性振荡器模型具有结构简单的特点，便于在微控制器上实现，因而应用广泛.

Zhou等^[10-11]利用8个Hopf振荡器构成链状CPG控制系统，成功控制仿生鳗状波动推进器“NKF-II”产生沿推进器弦展方向传播的波形，实现推进器的前游与倒退，并将遗传算法应用于CPG网络的参数自整定. Yu等^[12]采用5个Hopf振荡器构成仿生海豚机器鱼的链式CPG控制系统，每个振荡器输出节律信号控制一个关节，成功实现了仿生海豚在3维空间内的前游、倒退、转弯、上浮和下潜5种游动模式. Ma等^[13]利用4个Hopf振荡器构建4关节仿生机器鱼的CPG模型，通过该模型控制仿生机器鱼在易变的水下环境保持平滑的波动波形，通过仿真验证了该CPG模型的可行性. 高琴等^[14-15]通过4个Hopf振荡器构成链式CPG网络控制系统，控制4关节蛇形机器人运动，并通过仿真和试验验证了该CPG控制网络的有效性，成功驱动蛇形机器人实现蜿蜒运动和侧向运动2种步态. Hu等^[16]利用2个无耦合Hopf振荡器控制身体-尾鳍模式仿生机器鱼尾鳍运动，实现尾鳍周期性摆动向前推进，试验显示最大推进速度达到1.69 BL/s；通过分析两振荡器之间的滞后相位与其2个状态变量之间的内在联系，指导模型内部参数的整定，为身体-尾鳍模式机器鱼尾鳍运动控制提供了一种可行的控制方案.

本文根据生物魟鱼的形态结构与运动特征，在Hopf振荡器基础上引入幅值映射项，设计中心式CPG网络拓扑运动控制模型，用于控制仿生机器魟鱼20个仿生鳍条耦合运动，形成平滑稳定的胸鳍波形模仿生物魟鱼游动；通过仿真分析该模型输出信号控制仿生机器魟鱼胸鳍波动的有效性. 通过仿生机器魟鱼样机游动试验，分析运动控制参数对游动性能的影响.

Hopf振荡器非线性系统存在一个稳定的极限环，系统稳定后振荡器内状态变量以固定相位差在极限环内随时间产生自激偏振现象，输出不受外界扰动影响的正弦信号，鲁棒性强. Hopf振荡器动态特性的数学描述^[17]为

(1) $\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot x = k[{\mu ^2} - {x^2} - {y^2}]x - 2{\text{π}} fy}, \\ {\dot y = k[{\mu ^2} - {x^2} - {y^2}]y - 2{\text{π}} fx}. \end{array}} \right\}$

式中： $x$、 $y$为状态变量，作为振荡器的输出信号； $\mu $为振荡器的极限环半径，决定输出信号的幅值； $f$为振荡频率； $k$为极限环收敛吸引率， $k$越大，振荡器收敛至极限环的速度越快，但 $k$过大会导致状态变量 $x$、 $y$收敛至极限环期间存在突变， $k$由状态初始位置与稳定极限环之间的距离确定.

取 $k{\rm{ = }}1$， $\mu {\rm{ = }}1$， $f$=1 Hz， $x$、 $y$初始状态取0.1，通过欧拉法求解非线性方程（1），得到Hopf振荡器的状态变量 $x$、 $y$的波动曲线图，如图1（a）所示；可知，状态变量在半个周期内达到稳定，快速锁存相位差，稳定后以固定相位差输出正弦信号. 如图1（b）所示为初始状态变量取不同初始值时，振荡器的极限环收敛轨迹. 图中，符号“ $ \circ $”表示状态初始位置. 图1的结果表明，在给定期望幅值、频率后，Hopf振荡器的内部状态变量能够快速收敛至稳定极限环上，输出相位差稳定的正弦信号，适合用来构建仿生CPG神经元模拟生物魟鱼低级神经中枢产生驱动胸鳍运动的节律信号.

基于仿生学原理，以生物魟鱼(见图2)为仿生原型，采用生物形态结构和运动特征仿生的方法，设计仿生机器魟鱼样机，如图3所示. 仿生机器魟鱼的20个仿生鳍条关节角沿胸鳍鳍面基线均匀分布，分别由对应舵机驱动，作相位差稳定的简谐振动，在环形胸鳍上形成向后传播的正弦波形，模拟生物魟鱼胸鳍肌肉交替收缩舒张驱动胸鳍运动来产生游动胸鳍波形，以致获得生物魟鱼“优秀”的游动性能^[18]. 为了使仿生机器魟鱼具有更好的机动性，将样机结构设计为中心对称形式，使胸鳍波动可以产生沿任意方向的矢量推力，实现沿任意方向游动.

根据仿生机器魟鱼的结构与运动特征，在传统Hopf振荡器中增加幅值映射项，将振荡器的输出信号连续、稳定地映射为魟鱼对应游动模式下的胸鳍波形，确保输出信号准确吻合机器魟鱼在各种游动模式下的胸鳍波形，解决了传统Hopf振荡器因固定的极限环吸引率而导致幅值改变时产生输出信号不连续的现象. 采用20个该新型Hopf振荡器构建中心式CPG网络拓扑模型，控制仿生机器魟鱼鳍条运动，更完美地模拟生物魟鱼的胸鳍波动波形，改善仿生机器魟鱼的游动性能. 中心式CPG网络中各振荡器节点输出的控制信号与鳍条关节角处舵机编号一一对应，中心振荡器节点控制仿生机器魟鱼胸鳍波动起点处的鳍条关节角舵机运动，决定仿生机器魟鱼的游动方向.

相对于传统链式CPG控制网络，中心式CPG网络拓扑模型的内部振荡器节点间耦合度低，如图4（a）所示，网络模型中各振荡器节点只存在与中心振荡器节点之间的单向耦合连接，其余振荡器节点之间不存在直接耦合，而是间接通过中心振荡器节点与相邻振荡器节点建立稳定的锁存相位差，降低了网络的计算复杂度；当仿生机器魟鱼的运动模式切换时，中心振荡器节点随着游动模式的切换而改变，网络快速在线重建，灵活性强，并且重建过程的计算量小，便于在微控制器上实现.

中心式CPG网络的内部耦合连接结构如图4（b）所示，期望锁存相位差以扰动项的形式通过中心振荡器节点正向传输至其余振荡器节点的内部状态变量 ${x_i}$；其余振荡器节点通过内部状态变量 ${x_i}$、 ${y_i}$形成的闭环回路，动态地调整状态变量 ${y_i}$至与中心振荡器节点状态变量 ${y_o}$之间相位差稳定锁存至期望相位差，输出相位差稳定的耦合信号. 网络中所有振荡器节点的输出信号通过波形映射函数映射为仿生机器魟鱼鳍条关节角对应舵机的位置控制信号，控制鳍条运动实现各游动模式下的胸鳍运动波形.

基于改进后的Hopf振荡器，建立中心式CPG网络拓扑模型的数学描述方程：

(2) $\left.\begin{array}{l} {{\dot x}_i} = k(1 - {x_i}^2 - {y_i}^2){x_i} + 2{\text{π}} f{y_i} + {p_{ix}} , \\ {{\dot y}_i} = k(1 - {x_i}^2 - {y_i}^2){y_i} - 2{\text{π}} f{x_i} , \\ {{\ddot r}_i} = {a_i}\left[\dfrac{{{a_i}}}{4}(f({z_i}) - {r_i}) - {{\dot r}_i}\right] , \\ {\theta _i} = f({z_i}){y_i} . \\ \end{array} \right\}$

式中： ${x_i}$、 ${y_i}$为第 $i$个振荡器的状态变量，其中 $i$=1, 2，···，20； $f$为输出信号频率； ${\theta _i}$为第 $i$个振荡器输出的鳍条关节角位置控制信号； $f({z_i})$为第 $i$个鳍条舵机的运动幅值，利用该函数将振荡器输出的稳定节律信号映射为仿生机器魟鱼对应舵机的位置信号； ${r_i}$为非线性幅值映射过渡的状态变量，其收敛于 $f({z_i})$； ${a_i}$为正常数，决定 ${r_i}$收敛于 $f({z_i})$的速度， ${a_i}$越大，收敛速度越快，过大会产生突变，本文取 ${a_i} = 50$； $k$为稳定环吸引率，本文设计稳定极限环半径为1，保证相位由初始状态过渡到稳定状态时不发生突变即可，输出信号幅值的动态变化过程通过 ${r_i}$体现，避免了繁琐的参数整定过程； ${p_{ix}}$为第 $i$振荡器状态变量 ${x_i}$方向上的扰动项^[19]，

(3) $\left. \begin{array}{l} {p_{ix}} = {\lambda _{io}}({x_o}\sin {\varphi _{io}} + {y_o}\cos {\varphi _{io}}), \\ {\varphi _{io}} = {{ - 2{\text{π}} n|i - o|}}/{N}, \\ \end{array}\right\}$

其中， $o \in 1,2, \cdots, 20$，为中心式CPG网络的中心振荡器节点编号，对应仿生机器魟鱼胸鳍波动起点； ${x_o}$、 $ {y_o}$为中心振荡器节点的状态变量； ${\varphi _{io}}$为第 $i$个振荡器节点与中心振荡器节点之间的期望锁存相位差， $i,o \in 1,2, \cdots, 20$且 $i \ne o$； ${\lambda _{io}}$为第 $i$个振荡器节点与中心振荡器节点间的相位耦合权值，决定了稳定锁存至期望相位差的速度，本文取 ${\lambda _{io}} = 1.5$； $n$为仿生机器魟鱼在不同游动模式下单侧胸鳍的波数； $N$为仿生机器魟鱼单侧的鳍条数， $N = 10$； ${p_{ix}}$作为中心式CPG网络中振荡器节点间的耦合因子，建立各振荡器节点与中心振荡器节点之间的相位锁存关系，从而间接建立整个网络输出信号的相位锁存关系.

为了验证本文设计的中心式CPG控制网络的有效性，利用Matlab/Simulink进行仿真. 取网络中的所有振荡器节点的状态变量初值均为0.1，仿生机器魟鱼的运动模式为等幅波动，即 $f({z_i}) = 10$；波动起点舵机编号为1，即 $o$=1；波动频率为1 Hz，单侧胸鳍波数 $n = 1.25$，即网络中相邻振荡器节点的间接锁存相位 ${\varphi _{i,i + 1}} = {\text{π}} /4$. 由于仿生机器魟鱼机械结构的对称性，只取左侧胸鳍的关节角位置信号为输出信号，即网络中振荡器节点输出 ${\theta _1}$～ ${\theta _{11}}$. 仿真结果如图5所示，当 $t $=4 s时，幅值突变为20；当 $t $=8 s时，频率突变为2 Hz； $t $=12 s时，CPG网络结构在线重建，中心振荡器节点突变为CPG6. 仿真结果表明，中心式CPG网络拓扑模型能够在一个周期内快速建立控制网络的拓扑结构，并稳定锁存相位差 ${\varphi _{i,i + 1}}$，输出相位差稳定的正弦信号；当幅值、频率参数改变时，模型能够快速响应参数的变化，输出连续的控制信号；在中心节点变化时，能够在线快速重建网络拓扑结构，重建过程不存在信号突变现象，输出信号连续稳定，并在2个周期内快速重新锁存至新的期望相位差.

利用基于Hopf振荡器构建的中心式CPG控制网络，控制仿生机器魟鱼20个仿生鳍条运动，驱动环形胸鳍模拟生物魟鱼胸鳍波动，实现仿生机器魟直线定常巡游、加速巡游和机动转弯3种游动模式.

直线定常巡游是MPF模式鱼类最常见的一种游动模式. 生物魟鱼在该游动模式下处于低速、稳定的游动状态，以降低自身能量消耗，漫游觅食. 根据对生物魟鱼的游动观测可知，仿生机器魟鱼可以通过胸鳍的等幅值波动和幅值递增波动2种波动方式以及2种模式灵活切换，模拟生物魟鱼定常游动，胸鳍波动包络线函数可以拟合为

$ f({{d}_{i}})=\left\{ \begin{align} & A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\text{等幅值}}; \\ & -0.343\;75{{d}_i}^{2}+6.187\;5{{d}_i}-2.284\;1,\ \ \ \ {\text{幅值递增}}. \\ \end{align} \right. $

式中： $0 < A \leqslant 30$， ${d_i}$为第 $i$个舵机与运动起点舵机间的胸鳍鳍面基线距离. 如图6（a）、（b）所示为胸鳍在2种运动模式下，机器魟鱼单侧舵机1~11在不同时刻运动至瞬时位置时形成的胸鳍鳍面轨迹. 采用提出的中心式CPG控制网络，可以输出模拟生物魟鱼胸鳍波动的关节角位置信号，驱动仿生机器鱼定常游动. 如图6（c）所示，取 ${O_{\rm{E}}}{X_{\rm{E}}}{Y_{\rm{E}}}{Z_{\rm{E}}}$为地球坐标系， ${O_{\rm{F}}}{X_{\rm{F}}}{Y_{\rm{F}}}{Z_{\rm{F}}}$为固连在仿生机器魟质量中心的随体坐标系，以图示 ${O_{\rm{E}}}{Y_{\rm{E}}}$方向游动为例，即中心式CPG控制网络的中心节点为CPG1，取单侧胸鳍波数为1.25，则其余节点与中心节点之间的耦合相位差由式（3）计算可得 ${\varphi _{i1}} = - (i - 1){\text{π}} /4$， $i \in 2,3, \cdots, 20$，相邻节点之间的相位差为 ${\varphi _{ij}} = - {\text{π}} /4$， $i, j \in 2,3, \cdots, 20$. 且 $i \ne j$，故可以输出相位差稳定为 ${\varphi _{ij}}$的正弦信号，驱动20个仿生鳍条运动，在胸鳍鳍面上形成稳定向后传播的正弦波，实现机器魟鱼沿 ${O_{\rm{E}}}{Y_{\rm{E}}}$方向游动.

初始化CPG网络参数 $n = 1.25$， $f$=1 Hz， $o = 1$，仿真时间取8 s；当 $t$=4 s时，游动模式由等幅值波动切换为幅值递增模式. 取单侧胸鳍关节角 ${\theta _1}$～ ${\theta _{11}}$控制信号为输出结果. 如图7所示，仿真结果表明：该中心式CPG控制网络能够连续、稳定地输出等幅值波动与幅值递增波动模式下关节角的控制信号；当游动模式切换时，网络能够快速响应输入控制参数的变化，切换过程信号输出连续平滑，无信号突变、波形尖角等，有利于控制仿生机器魟鱼在水下高效、稳定地游动，不会因胸鳍波形突变而产生流体扰动及湍流，影响游动性能.

加速巡游模式是生物魟鱼捕食、躲避天敌和洄游等基本生命活动的重要游动策略，通过连续增加胸鳍波动的频率和幅值，获得所需的加速度^[20-21]. 对于仿生机器魟鱼，可以通过增大关节角舵机的摆动频率与幅度来获得所需的加速度，得到较大的游动速度，模拟生物魟鱼的加速游动模式. 通过CPG控制网络输入随时间连续变化的幅值和频率，模拟生物魟鱼的加速游动；初始化CPG网络参数 $n = 1.25$, $o = 1$，取频率 $f = 0.4t$， $f({z_{i}}){\rm{ = }}2.5t$，取 ${\theta _1}$～ ${\theta _{11}}$为输出，仿真时间为10 s. 仿真结果如图8所示，各个振荡器节点输出相位差锁存稳定的正弦信号，且正弦信号的频率与幅值随着时间连续、平滑地递增. 结果表明，中心式CPG控制网络能够动态跟随网络外部控制参数变化，输出连续变化的期望信号，且不存在信号突变，适合控制仿生机器鱼关节角舵机摆动频率与幅值连续变化，模拟生物魟鱼加速游动.

如图9所示为CPG网络参数 $n = 1.25$，在 $t$=3 s时控制输入 $f({z_{i}})$由10突变为25， $f$由1 Hz突变为2 Hz，仿生机器魟鱼游动时 $f({z_i})$、 $f$突变前、后的胸鳍波形变化序列图. 试验结果表明，仿生机器魟鱼胸鳍能够实现与生物相似的推进波形，在保持原有波动波形的基础上，连续的增大幅值与频率至期望值，在整个幅值、频率增大的过程中没有出现因胸鳍波形变形而导致的流体扰动产生，实现快速平稳加速. 本文进一步通过试验研究了仿生机器魟鱼的游动速度与中心式CPG网络输入参数 $f({z_{i}})$、 $f$的关系. 如图10所示，试验结果表明：仿生机器魟鱼的游动速度随 $f({z_{i}})$、 $f$的增加而增大，最大游速达到121 mm/s.

生物魟鱼利用左、右胸鳍非对称波动方式获得转弯所需要的偏转力矩，在狭小的空间内原地转弯，展现出优越的转弯性能. 本文结合生物魟鱼机动转弯的运动特征与仿生机器魟鱼机械结构中心对称特征，提出2种仿生机器魟鱼机动转弯方式：胸鳍非对称波动方式和波动起点突变方式. 通过设计的中心式CPG网络输出连续稳定的2种机动转弯的控制信号，控制仿生机器魟鱼胸鳍鳍面波形实现转弯游动. 如图11（a）所示，通过配置中心式CPG网络的输入参数，使左侧振荡器CPG1~CPG11输出的信号幅值大于右侧振荡器CPG20~CPG12，控制仿生机器魟鱼鳍面形成非对称的正弦波，获得绕 ${Z_{\rm{F}}}$轴的正向偏转力矩，实现顺时针方向原地转弯. 另外，通过改变胸鳍波动起点方式，可以实现仿生机器魟鱼快速沿任意方向游动；如图11（b）所示，以初始游动方向为 ${Z_{\rm{E}}}{Y_{\rm{E}}}$为例，配置网络的中心节点为CPG1，通过网络中的相位锁存机制，机器魟鱼鳍面形成向后传播的对称正弦波，驱动机器魟鱼沿初始方向游动，在游动过程中在线改变网络中心节点为CPG11，重整网络耦合连接，改变胸鳍波动起点，快速实现仿生机器鱼180°转弯，由正向前游突变为倒游.

初始化CPG网络参数为: $f$=1 Hz、 $f({z_{i}}){\rm{ = }}10$， $i = 1,2, \cdots ,20$. 网络中心节点为CPG1，仿真时间为10 s. 当 $t$=2 s时，设定 $f({z_{i}}){\rm{ = }}25,i = 1,2, \cdots ,11,$左侧幅值变大，切换直线游动模式为非对称方式机动转弯模式实现顺时针转弯；当 $t$=6 s时， $f({z_{i}})$=25其中 $i = 1,2, \cdots ,20$，切换为直线游动模式；当 $t$=8 s时，改变网络中心节点为CPG11，切换游动模式为波动起点突变方式的转弯游动模式，快速实现 $180^\circ $转弯. 图12所示的仿真结果表明：中心式CPG网络拓扑模型输出的关节角信号波形连续稳定；当由直线游动模式切换为转弯模式时，切换过程输出信号波形无突变、尖点出现，适合用于仿生机器魟鱼鳍条关节角的位置控制，产生稳定、连续的胸鳍波形，不会因鳍条位置突变而产生流体扰动现象. 当仿生机器魟鱼胸鳍波动方向突然改变时，网络输出信号相位差存在扰动现象，但信号波形不存在跳变、尖点等，且在2个波动周期内，相位快速重新稳定锁存到新的期望相位差，输出相位差稳定的信号波形，改变胸鳍的波动方向，迅速变前游为倒游.

如图13所示为中心式CPG网络参数 $n = 1.25$， $f$=1 Hz，左侧胸鳍波动幅值为10°，右侧为25°时的仿生机器魟鱼胸鳍非对称波动方式转弯游动序列图，此时的平均转弯速度为36.2°/s. 试验显示，当通过非对称波动方式实现转弯时，仿生机魟鱼样机的中心偏移量较小，约为14 mm，且在转弯游动过程中胸鳍波形稳定，样机游动平稳，无流体扰动产生.

通过试验研究仿生机器魟鱼样机的转弯速度与左、右胸鳍幅值差的关系. 选定幅值差 $\Delta \theta $为5°~30°，为了便于分析对比，设置3组试验：第1组取f=0.8 Hz，第2组取f=1.0 Hz，第3组取f=1.2 Hz. 试验结果如图14所示，转弯速度随 $\Delta \theta $的增大而增大，当f=1.2 Hz， $\Delta \theta = {30^\circ }$时，最大转弯速度达到114.3°/s.

本文在传统Hopf振荡器的基础上，加入幅值过渡项，将振荡器的状态变量连续、平滑地映射为仿生机器魟鱼鳍条关节角的位置信号；基于仿生学原理，利用20个该振荡器，构建耦合简单的中心式CPG网络拓扑结构，设计仿生机器魟鱼胸鳍波动的幅值、频率和波数为网络的输入控制参数. 调整网络的控制参数，利用该网络输出仿生机器魟鱼定常游动、加速游动和机动转弯3种游动模式的胸鳍鳍条位置控制信号；通过仿真和试验，验证了基于该CPG拓扑网络的仿生控制策略的有效性，为未来研究高性能水下仿生机器人提供了一种可能的控制方法. 考虑设计分层控制系统，将该CPG控制网络作为底层控制，利用传感器将机器鱼游动周围环境信息，如外部流场、机器魟鱼游动速度以及周围是否有障碍物等，反馈到顶层控制系统；通过顶层控制系统，根据外部反馈决策CPG拓扑网络的控制参数，提高仿生机器魟鱼的灵活性与自主性.