对于开合屋盖等大型开启结构，其内含的机构应简单高效，以便于结构的开合控制. 双链形连杆机构（double-chain mechanisms）^[1]是由多个剪式铰组合而成的闭合环链机构，其内部仅有一个运动自由度，适用于大型开启结构的设计. 根据构造准则的不同，双链形连杆机构可分为两类：基于不变角度准则，基于平行四边形准则^[2]. Hoberman^[3-4]最早将双链形连杆机构应用于开启结构，其构造的双链形连杆机构同时满足不变角度准则和平行四边形准则. You等^[5]在Hoberman的基础上提出了更为一般的剪式铰单元，并给出了对应的可展杆式结构. Chen等^[6-7]分析了旋转对称双链形连杆机构的运动奇异性. Kassabian等^[8]用板单元替换剪式铰单元，得到了开合板式结构. Jensen等^[9]进一步研究发现基于不变角度角准则构造的开合板式结构内部存在径向运动的点，并设计出了径向开启板式结构. Thomas等^[10-13]对径向开启板式结构的板单元形状进行了优化设计. 但径向开启板式结构在开合过程中不存在不动点，不利于开启结构和支撑结构间的连接，这也是径向开启板式结构没有实际工程应用的一个重要原因.

上海旗忠森林网球中心^[14]、杭州奥体中心网球中心^[15]以及美国梅赛德斯奔驰体育馆的开启屋盖和径向开启板式结构形似，但均采用了绕定点旋转开启的设计理念，每块屋盖板之间相互独立，开合过程的同步性需依靠外部设施辅助实现. Carolina等^[16-17]提出了另一类开合板式结构—旋板结构，旋板结构在开合过程中各板单元均绕各自的转轴作同速旋转. 已有研究指出旋板结构的基础构架和基于平行四边形准则构造的双链形连杆机构（本文称之为平行四边形环链）存在一一对应关系，通过调整杆件布置可实现两者之间的相互转化^[18-19]. 因此，基于平行四边形环链可设计出绕定点旋转开合的板式结构.

本文基于平行四边形环链对绕定点旋转开合板式结构的构造方法进行研究. 首先运用欧式几何分析方法分析平行四边形环链的运动规律，提出以板单元替换旋转角梁单元来构造绕定点旋转开合板式结构；然后根据平行四边形环链的运动特性，给出板单元分割时需满足的几何协调条件以及板单元分割线的可调整范围；最后研究旋转开合板式结构开启角度、开口面积和板单元分割线倾斜方向、布置位置、形状间的内在关系，得出增加旋转开合板式结构开启角度和开口面积的方法.

在平行四边形环链中，相邻角梁单元围成的四边形都是平行四边形. 文献[20]对平行四边形环链的可动性给出了数学证明，文献[18]采用几何分析方法从物理意义上解释了平行四边形环链中的一组角梁单元具有绕定点转动的特性，本文将从数学上严格证明这一特性，并揭示平行四边形环链的运动特性.

如图1所示为由4个剪式铰单元组成的平行四边形环链，B₁C₁B₂A₂、B₂C₂B₃A₃、B₃C₃B₄A₄、B₄C₄B₁A₁均为平行四边形. A₁B₁C₁、A₂B₂C₂、A₃B₃C₃、A₄B₄C₄为一组角梁单元，各角梁段用向量a₁、a₂、a₃、a₄表示；C₁B₂A₃、C₂B₃A₄、C₃B₄A₁、C₄B₁A₂为另一组角梁单元，各角梁段用向量b₁、b₂、b₃、b₄表示.

假定该平行四边形环链存在一种运动方式，使角梁单元C₄B₁A₂、C₁B₂A₃、C₂B₃A₄、C₃B₄A₁分别绕着定点D₁、D₂、D₃、D₄旋转. 在此假定下，可为角梁单元C₄B₁A₂、C₁B₂A₃、C₂B₃A₄、C₃B₄A₁各自增加角梁段B₁D₁、B₂D₂、B₃D₃、B₄D₄，并固定D_m（m=1，2，3，4）端，而不影响平行四边形环链的可动性. 角梁段B_mD_m用向量c_m表示，定点间的相对关系用向量d_m表示. 根据向量的加减法则可得

(1) $ \left. \begin{array}{l} {{{a}}_2} + {{{b}}_1} + {{{c}}_2} - {{{d}}_1} - {{{c}}_1} = 0,\\ {{{a}}_3} + {{{b}}_2} + {{{c}}_3} - {{{d}}_2} - {{{c}}_2} = 0,\\ {{{a}}_4} + {{{b}}_3} + {{{c}}_4} - {{{d}}_3} - {{{c}}_3} = 0,\\ {{{a}}_1} + {{{b}}_4} + {{{c}}_1} - {{{d}}_4} - {{{c}}_4} = 0. \end{array} \right\} $

简化表示为

(2) $ {{{a}}_{m + 1}} + {{{b}}_m} + {{{c}}_{m + 1}} - {{{d}}_m} - {{{c}}_m} = 0. $

式中： $m = 1,2,3,4$，当m+1=5时，下标用1替换.

向量的转动可用旋转矩阵M（θ）表示，θ为逆时针转过的角度. 对于二维平面空间，旋转矩阵M（θ）的具体形式为

(3) $ {{M}}(\theta ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ - \sin \theta } \\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\;. $

在运动过程中，平行四边形环链的B₁C₁B₂A₂、B₂C₂B₃A₃、B₃C₃B₄A₄、B₄C₄B₁A₁均保持为平行四边形. 因此，角梁单元A₁B₁C₁、A₂B₂C₂、A₃B₃C₃、A₄B₄C₄转过的角度相同，记为α；角梁单元C₁B₂A₃、C₂B₃A₄、C₃B₄A₁、C₄B₁A₂转过的角度也相同，记为β. 运动过后向量a_m，b_m、c_m变为M（α）a_m，M（β）b_m、M（β）c_m，d_m保持不变. 根据向量的加减法则，运动后存在以下关系：

(4) $M(\alpha ){a_{m + 1}} + M(\beta ){b_m} + M(\beta ){c_{m + 1}} - {\rm{ }}{d_m} - M(\beta ){c_m} = 0\;.{\rm{ }}$

将式（2）代入式（4）可得

(5) $ \left[ {{{M}}(\alpha ) - {{M}}(\beta )} \right]{{{a}}_{m + 1}} + \left[ {{{M}}(\beta ) - {{ I}}} \right]{{{d}}_m} = 0\;. $

式中：I为单位矩阵；a_m+1为角梁段向量，不为0. 式（5）成立需满足以下条件之一：1）α=β且d_m=0；2）α=0且a_m+1=d_m. 条件1）对应的运动行为为平行四边形环链整体绕某一定点转动，环链内部无相对运动. 条件2）对应的运动行为为角梁单元C₄B₁A₂、C₁B₂A₃、C₂B₃A₄、C₃B₄A₁分别绕着定点D₁、D₂、D₃、D₄旋转，角梁单元A₁B₁C₁、A₂B₂C₂、A₃B₃C₃、A₄B₄C₄作平移运动，相邻定点间的方向向量d_m须和角梁段向量a_m+1相等，即两组向量组成的多边形相同，但定点和角梁单元间的相对位置可任意.

以上通过4个剪式铰单元组成的平行四边形环链，证明了平行四边形环链具有一组角梁单元绕定点旋转而另一组角梁随之平动的运动特性. 上述论证过程及结论同样适用于任意数量的剪式铰单元组成的平行四边形环链.

将平行四边形环链中绕定点旋转的一组角梁单元用板单元替代并保证相应的定点在板单元内部便可得到旋转开合板式结构. 板单元之间应满足几何协调性：在开合过程中不发生相互碰撞，在闭合和完全开启状态下相邻板单元间不存在缝隙.

如图2所示，角梁单元A_mB_mC_m绕定点D_m旋转，用板单元F_mOF_m+1替换角梁单元A_mB_mC_m，OF_m为板单元间的分割线，m=1~6，当m+1=7时，下标用1替换. 开合过程中，板单元转过的角度和对应的旋转角梁单元相同，因此各板单元的旋转速度一致.

取板单元F₁OF₂和F₂OF₃间的相对运动特性进行独立分析. 分析时将板单元F₂OF₃固定，此时板单元F₁OF₂相对于板单元F₂OF₃作平移运动，而连接两板单元的角梁段C₁B₂、B₁A₂将分别绕点B₂、A₂转动.

如图3所示，将两板单元的初始分割线OF₂转至水平位置. 板单元间的相对运动从相互接触开始至相互之间再次接触结束. 由于板单元F₁OF₂相对于板单元F₂OF₃作平移运动，板单元F₁OF₂上任意一点相对于板单元F₂OF₃的运动轨迹均相同. ${C'_1}{B'_1}$为C₁B₁的终止状态，圆弧 ${\overset{\frown} {{C_1}{C'_1}}}$、 ${\overset{\frown} {{B_1}{B'_1}}}$为点C₁、B₁的运动轨迹线. 圆弧 ${\overset{\frown} {{C_1}{C'_1}}}$对应的圆心角φ为板单元开启过程中的最大可旋转角度，φ和角梁段C₁B₂与分割线OF₂的夹角ξ存在以下关系：

(6) $ \varphi = \pi - \;2\xi , \; 0 < \xi \leqslant \pi/2\;. $

由于平动角梁段和对应的定点多边形的边平行，板单元间的最大可旋转角度φ可通过板单元分割线和对应定点边线的夹角计算得到.

圆弧 $\overset\frown{O{{E}_{1}}}$为板单元顶点O相对于板单元F₂OF₃的运动轨迹，可见相邻板单元的边界分割线在圆弧 $\overset\frown{O{{E}_{1}}}$和OF₂所围成区域内进行调整不影响板单元间的相对运动过程. 为保证开启状态下相邻板单元间无缝隙，两板单元的分割线应参照圆弧 $\overset\frown{O{{E}_{1}}}$内的划分情况进行分段调整，例如圆弧 $\overset\frown{{{E}_{1}}{{E}_{2}}}$和圆弧 $\overset\frown{O{{E}_{1}}}$对应区域的分割线调整情况应相同. 考虑板单元间运动的相对性，分割线的调整可在板单元F₁OF₂内进行，也可在板单元F₂OF₃内进行，但不建议在两板单元内同时进行调整.

板单元间的最大可旋转角度φ决定了板式结构的开启程度. 可见板式结构的几何协调性和板单元间的分割线形状以及分割线和相应的定点边线的夹角相关.

本研究将旋转对称的平行四边形环链称为规则平行四边形环链，除此以外的平行四边形环链为非规则平行四边形环链. 旋转对称可减少开启结构制造难度，下文将基于规则平行四边形环链来构造旋转开合板式结构，与之对应的定点所组成的多边形为正多边形.

如图4（a）所示，将平行四边形环链的旋转角梁单元用板单元替换后，板单元通过平动角梁单元形成一个联动的整体，并具有一个内部运动自由度.

板单元间的可动性仅受连接板单元的平动角梁段和板单元分割线夹角的影响，而与平动角梁段在板单元内的相对位置无关. 如图4（b）所示，平动角梁单元在板式结构内的布置可不受平行四边形环链的约束，并且组成平动角梁单元的角梁段可相互分离.

当板单元固定在定点上时，相邻板单元的定点连线和连接板单元的平动角梁段平行等长，板单元的定点为板单元间的相对运动提供了一个隐形约束. 如图4（c）所示，由平行四边形环链演化而来的板单元间的连接角梁段可减少至1条而不影响板式结构的整体联动性.

由上述分析可见，平行四边形环链为旋转开合板式结构的设计提供了构形基础和理论依据，但设计时可先确定定点位置，再根据定点多边形来确定板单元分割线及连接角梁段的长度和方向.

由式（6）可知，在开启过程中，相邻板单元间的可转动角度由分割线和平动角梁段的夹角ξ决定. 在板式结构中，若各板单元间的可转动角度不相同，则结构整体的开启角度将由板单元间最小的可转动角度确定. 这不仅减少了板式结构的开口面积，同时开启时部分板单元未处于完全开启状态，板单元间将存在缝隙. 因此在设计板单元分割线时应使各板单元的可转动角度φ相同，该角度也是板式结构的开启角度.

利用规则平行四边形环链的旋转对称性，在设计板单元时，可仅设计一块板单元，并将其旋转复制组成最终的旋转开合板式结构。对于n边的定点多边形，分割线和平动角梁段的夹角ξ的最小取值为

(7) $ {\xi _{\min }} = {{\pi}}/{2} - {\pi}/{n}\; . $

将式（7）代入式（6）可得板式结构可取的最大开启角度为

(8) $ {\varphi _{\max }} = {{{2\pi }}}/{n}\; . $

由式（8）可知，旋转开合板式结构最大可取的开启角度将随定点多边形边数n的增加而减小，n的取值一般在5~10. 如 图5所示为n=8时的直线分割线旋转开合板式结构，当开启角度取φ_max（45°）时，板单元的定点将处于分割线上. 考虑定点尺寸以及实际安装时的构件尺寸，这个定点位置并不合理.

上述定点位置问题可以通过调整板单元间的边界分割线得以解决. 此外，由如图5所示的闭合和开启2个状态可见，靠近结构中心的板单元连接角梁段在开启过程中，将从定点内侧平移至定点外侧，即该组角梁段将和定点发生碰撞，因此需调整该组角梁段的布置位置或去掉该组角梁段. 如图6所示为板单元分割线调整为圆弧线的旋转开合板式结构.

记定点多边形的边长为l，旋转开合板式结构中心至定点的距离为l_d，调整后板单元圆弧分割线对应的弦长为l_c，可得

(9) $ {l_{\rm{d}}} = l/\left[ {2\sin \;\left( \pi / n \right)} \right],\;\;\;\;{l_{\rm{c}}} = 2l\sin \;\left( { \pi / n} \right). $

则定点与圆弧分割线的距离和定点多边形边长的比值s为

(10) $ s = 1 - \sqrt {{{{{\left( {{l_{\rm{d}}} - m{l_{\rm{c}}} - 0.5{l_{\rm{c}}}} \right)}^2}} / {{l^2}}} + {{\left[ {\cos\; {\rm{(\pi}}/n{\rm{)}}} \right]}^2}} \;. $

当n取5~10时，对应的s值如表1所示. 由表中数据可见通过调整板单元分割线的方法可增加定点和分割边界间的距离，但对于定点多边形为正六边形的情况，该调整方法无效.

通过增加开启角度可增加旋转开合板式结构的开口面积，即开口面积和板单元分割线的倾斜方向相关. 若不考虑定点尺寸，旋转开合板式结构的最大开口面积（开启角度取φ_max）和定点多边形的面积之比s_a1为

(11) $ s_{\rm{a1}} = 4{\sin ^2}\left( \pi /n \right). $

在确定开启角度（φ<φ_max）后，旋转开合板式结构的开口面积还和板单元分割线的相对位置以及分割线的形状有关.

如图7所示为定点多边形为正六边形的旋转开合板式结构（图中未标出板单元连接角梁段）. 板单元分割线和相应定点多边形边线的夹角ξ=70°，对应的旋转开合板式结构开启角度φ=40°. 记闭合状态下板单元定点、顶点连线D_mO_m与相应定点多边形边线D_mD_m+1的夹角为γ₁，开启状态下对应的夹角为γ₂. 由图7（b）的开启状态可见，旋转开合板式结构的开口面积和各板单元顶点位置相关，通过减小γ₂可增加开口面积. γ₁、γ₂两者的差值为开启角度φ，对固定的开启角度φ可通过减小γ₁来减小γ₂.

通过平移图7中的板单元分割线，可得到如图8所示的旋转开合板式结构，平移后板单元和定点间的相对关系保持不变. 平移分割线前、后的旋转开合板式结构开启状态对比如图8（b）所示，图中阴影区域为平移分割线后新增的开口面积. 在不考虑定点尺寸的条件下，如图7所示的旋转开合板式结构（n=6，ξ=70°，φ=40°）在平移分割线后新增的开口面积的最大值和定点多边形的面积之比s_a2=18.4%.

通过调整板单元分割线形状，可使开口边线向外凸起，以此来增加开口面积. 对板单元分割线形状进行调整时应保证板单元在开合过程中满足几何协调性. 如图9所示旋转开合板式结构是在图8的板式结构基础上通过调整板单元分割线形状得到的. 开启状态下，通过调整分割线形状新增的开口面积如图9（b）中阴影区域所示. 该新增开口面积的最大值和定点多边形的面积之比s_a3为

(12) $ {s_{{\rm{a3}}}} = \tan \;\left( {\pi /n} \right)\left[ {4\pi /n - 2\sin \;\left( {2\pi /n} \right)} \right]\;. $

根据上述调整方法制作如图10所示的旋转开合板式结构模型. 该模型以正六边形定点多边形为基础，通过改变板单元分割线位置和形状来调整板式结构的开口面积和边界形状，并合理设置板单元间连接角梁段的位置，保证连接角梁段在开合过程中不与定点发生碰撞. 该模型在开合过程中，各板单元之间不发生相互碰撞，在闭合和完全开启状态下相邻板单元间不存在缝隙，满足几何协调性要求.

（1） 平行四边形环链在开合过程中，一组角梁单元绕定点转动，另一组角梁单元水平移动，因此用板单元替代平行四边形环链中的转动角梁单元便能设计出旋转开合板式结构.

（2） 相邻板单元间的可动性由板单元的分割线和连接板单元的平动角梁段的夹角决定，为保证旋转开启板式结构整体的几何协调性，板单元间的相对可转动角度应相同.

（3） 平动角梁段应和相应定点多边形的边线平行等长，其在板单元间的相对位置可以调整，为保证旋转开启板式结构绕定点转动的整体联动性，相邻板单元间至少需要1根平动角梁段.

（4） 旋转开合板式结构的开口面积可以通过板单元分割线的倾斜方向、布置位置以及形状来进行调整.