离心泵在石油化工、电力、纸浆造纸、通用工业、工业锅炉给水和核电系统辅助供水方面得到广泛应用，约占各类泵总量的70%，年均耗电量超过总发电量的10%. 对离心泵进行效率优化不仅对提高离心泵性能具有重大意义，也能产生巨大的社会效益和经济效益. 目前已有大量基于水力损失模型的离心泵结构优化，如杨军虎等^[1]基于水利损失模型优化叶片出口安放角、叶片数从而提高离心泵的效率. 高江永^[2]利用水力损失模型进行多变量优化设计，对优化后的离心泵进行损失预测并研究多变量对效率的影响大小和排序. 聂松辉等^[3]将水力损失模型作为优化计算模型并以无驼峰、无过载的理论不等式作为约束条件对离心泵进行水力效率优化. 在以上文献中，水力损失模型及优化约束条件公式都是在设计工况点下的半经验半理论推导公式，优化方法简单快速，设计周期短，但是无法研究离心泵在其他工况点的水力效率，公式中系数的选择与修正均依据大量优秀水泵模型，与离心泵过流部件的几何形状密切相关.

此外，目前已有大量国内外学者利用近似模型来优化各类水泵性能，如王春林等^[4]建立二次响应面（quadratic response surface function，RSF）近似模型对旋流泵效率、高效区宽度和无驼峰性能进行优化设计，王文杰等^[5]利用克里金响应面（Kriging response surface function，KRG）近似模型在2个工况点优化离心泵的叶片进口冲角、包角及出口安放角3个参数以提高效率. Bellary等^[6-7]提出利用近似模型分别对工业离心泵和电子潜水泵的叶片进出口安放角进行效率优化设计. Heo等^[8]以离心泵的叶片数、叶片进出口安放角和叶轮后盖板轮廓形状为设计变量，对比使用3种近似模型进行效率优化. 谈明高等^[9]针对数值模拟法和水力损失法对离心泵性能预测的精度进行数值量化比较. 王丹^[10]以蜗壳内水力损失和叶轮摩擦损失之和的极小值作为目标函数进行结构优化. 马艺等^[11]在传统的离心泵无过载设计公式的基础上，提出据速度系数法，可以较准确地推导中比转速多级离心泵无过载叶轮设计公式. 张宇等^[12]基于拉丁超立方抽样、计算流体动力学（computational fluid dynamics，CFD）数值模拟和克里金响应面插值等方法，以离心泵性能参数中的效率和必须汽蚀余量为优化目标，采用二代非劣排序遗传算法（non-dominated sorting genetic algorithm II, NSGA-II）在设计域上求解离心泵性能多目标优化问题. 目前随着CFD分析技术的高速发展和近似模型代理函数响应能力的提高，有必要对水力损失法和近似模型法的计算精度进行量化比较，以指导离心泵优化方法的选择. 综上，对离心泵效率的优化，主要有水力损失法和近似模型法2种优化方法，前者基于半理论半经验公式结合优化算法对离心泵进行优化设计，后者将CFD分析技术与近似模型相结合进行离心泵优化设计. 2种方法的研究均独立进行，未进行过计算精度和有效性的比较.

以中开多级（multistage dual，MSD）离心泵优化设计为例，基于水力损失模型进行设计变量灵敏度分析，选择出关键设计变量；分别利用水力损失、完全二次响应面、径向基高斯响应面（radial basis Gaussian response surface function，RBF）和克里金响应面4种近似模型优化该离心泵的关键设计变量；通过遗传算法确定单级离心泵设计工况点下的关键设计变量Pareto最优解，得到工作性能较好的叶轮.

MSD中开多级（10级）离心泵的设计要求如下：体积流量q_V=100 m³/h，扬程H=80 m（每级）,转速n=2 950 r/min，配套电机的额定输出功率P_r=355 kW，通过计算得到比转速 ${n_{\rm{s}}} = 67.09$. 设计目标为10级整体效率η=70%. 该单级离心泵效率的优化设计方案如图1所示.

离心泵的设计变量较多，主要有叶片数Z、叶轮进口直径 ${D_{\rm{s}}}$、叶轮轮毂直径 ${D_{\rm{h}}}$、叶片进口宽度 ${b_1}$、叶片进口安放角 $\;{\beta _1}$、叶轮出口直径 ${D_2}$、叶片出口宽度 ${b_2}$、叶片出口安放角 $\;{\beta _2}$、叶片包角 $\varphi $、叶片厚度 $S$、蜗壳基圆直径 ${D_3}$、蜗壳隔舌安放角 $\theta $、蜗壳喉部面积比 $Y$. 目前主要通过2种方法选择关键设计变量进行效率优化，一种是通过试验判断以上变量对效率的影响大小并进行排序选择，另一种是随机选择. 前者耗时耗力，后者没有针对性，选择出的设计变量可能对离心泵效率提高作用不显著. 本研究基于水力损失模型对以上设计变量进行灵敏度分析，提出选择关键设计变量的方法.

按照传统速度系数法的统计以及大量实际运行优秀泵的设计经验^[13]，针对MSD中开多级离心泵适当加宽设计变量取值范围，如表1所示.

单级离心泵主要结构为叶轮和蜗壳，结构设计参数较多. Babayigit等^[14]、Mohammadi等^[15]主要研究叶轮出口安放角对多级离心泵性能的影响，Kocaaslan等^[16]利用CFD分析叶片数对泵性能的影响. 叶轮的进口冲击损失 $\Delta {h_1}$、沿程摩擦损失 $\Delta {h_2}$、扩散损失或收缩损失 $\Delta {h_3}$、进口液流变向水力损失 $\Delta {h_4}$ 和出口水力损失 $\Delta {h_5}$ 表达式^[9]分别为

(1) $ \Delta {h_1} = {K_1}{W_1}/\left( {2g} \right), $

(2) $ \Delta {h_2} = {K_2}Z{\lambda _{\rm{a}}}{l_{\rm{a}}}{W_{\rm{a}}}^2/\left( {2g{D_{\rm{a}}}} \right), $

(3) $ \Delta {h_3} = {K_3}\left| {{W_1}^2 - {W_2}^2} \right|/\left( {2g} \right), $

(4) $ \Delta {h_4} = {K_4}({{8{Q_{\rm{s}}}^2}})/({{{{\text{π}} ^2}g{D_1}^4}}), $

(5) $ \Delta {h_5} = {K_5}\left( {{V_{{\rm{m}}2}}^2 + {V_{{\rm{u}}2}}^2 - {V_{\rm{s}}}^2} \right)/\left( {2g} \right). $

式中: ${W_1}$ 、 ${W_2}$ 分别为叶轮进口、出口相对速度， $W_{\rm{a}} = ({W_1}+{W_2})/2$ 为平均相对速度， ${\lambda _{\rm{a}}}$ 为沿程磨擦系数； ${l_{\rm{a}}}$ 为流道水力长度， ${D_{\rm{a}}}$ 为流道平均直径， ${Q_{\rm{s}}}$ 为无冲击损失时的能量， ${D_1}$ 为叶轮进口有效直径， ${V_{{\rm{m}}2}}$ 为叶轮出口轴面速度， ${V_{{\rm{u}}2}}$ 为叶轮出口速度圆周分量， ${V_{\rm{s}}}$ 为蜗壳喉部平均速度，K₁~K₅为各损失系数，g为重力加速度.

蜗壳的水力损失包括流道摩擦损失 $\Delta {h_6}$、扩散损失 $\Delta {h_7}$，表达式分别为

(6) $ \Delta {h_6} = {K_6}{\lambda _{\rm{b}}}l{V_{{\rm{th}}}}/\left( {2gD} \right), $

(7) $ \Delta {h_7} = {K_7}\left( {{V_{{\rm{u}}2}}^2 - {V_{{\rm{th}}}}^2} \right)/\left( {2g} \right). $

式中: ${\lambda _{\rm{b}}}$为蜗壳流道沿程摩擦系数； $D$ 为蜗壳等效圆管直径； $l$ 为蜗壳等效圆管长度； ${V_{{\rm{th}}}}$ 为蜗壳内的平均流速；K₆、K₇为各损失系数. 式（1）~（7）中各中间变量的计算可参考文献[9].

水力损失为

(8) $ \Delta h = \sum\limits_{i = 1}^7 {\Delta {h_i}} . $

水力损失模型中的扬程表达式为

(9) $ H = {H_{\rm{t}}} - \sum\limits_{i = 1}^8 {\Delta {h_i}} . $

式中：H_t为理论扬程.

水力效率 ${\eta _{\rm{h}}}$，有效功率 ${P_{\rm{e}}}$ 表达式分别为

(10) $ {\eta _{\rm{h}}} = {H}/{{{H_{\rm{t}}}}}, $

(11) $ {P_{\rm{e}}} = \rho gq_{V}^{}H. $

式中： $\rho$ 为密度.

为了研究单一设计变量变化对泵性能的影响，基于以上设计变量约束范围（见表1）和水力损失计算模型（式（1）~（7）），针对每个设计变量，保持其他设计变量不变且各取其约束范围内的中间值，得到各单一设计变量对应的单级离心泵水力性能即扬程、功率P和效率的曲线如图2所示.

灵敏度 $\varepsilon $ 为频率变化百分数与参数变化的百分数之比，根据以上单变量对单级离心泵外特性值的影响，对设计变量的 $\varepsilon $ 进行分析：

(12) $ \varepsilon {\rm{ = }}[{{{\rm{(}}{f_1} - {f_0})/{f_0}}}]/{{2\text{% }}}. $

式中：f₁为某设计变量在单调区间内增加2%后单级离心泵的效率或扬程，f₀为各设计变量均为默认值时单级离心泵的效率或扬程.

由图3可知， ${D_2}$、 $\,{\beta _2}$ 、 ${b_2}$ 对扬程、功率和水力效率的影响较大，其余设计变量对离心泵外特性值的影响较小. 故 ${{x}}_ 0 = \left[ {{D_2},\;{b_2},\;{\beta _2}} \right]$ 的优化对效率的提高具有重大意义. 这种关键设计变量的选择方法简单快速且有效.

若选择的离心泵设计变量较多，则近似模型的建立需要大量样本数，消耗较大的计算时间与人力物力. 若合理选择关键设计变量，在合理充分的样本数下，运用近似模型可以对离心泵性能进行多目标优化，如最高效率、高效区宽度、抗汽蚀性能等. 对于 ${D_2}$、 ${b_2}$、 $\;{\beta _2}$ 这3个关键设计变量的优化，采用拉丁超立方试验根据变量范围设计60个样本点作为样本训练集. 该试验抽样设计方法的优点在于在设计空间内样本点分布均匀，避免局部寻优. 60个样本离心泵的其他次要设计变量 ${D_{\rm{s}}}$、 ${D_{\rm{h}}}$、 ${b_1}$、 $\;{\beta _1}$、 $\varphi $、 $S$、 ${D_3}$、 $\theta $、 $Y$ 均根据以上单变量对离心泵外特性值的影响的计算结果，选择合适的大小并保持一致.

MSD中开单级离心泵数值模拟的计算域分为吸水室、叶轮、蜗壳和扩散管. 样本离心泵利用CFturbo、ICEM、Fluent进行CFD数值仿真，网格模型如图4所示. 湍流模型选择雷诺时均中的RNGk-ε模型，并设置速度入口和自由出流边界条件. 首先进行网格无关性验证，比较计算误差和计算时间的长短. 全局网格最大尺寸设为8 mm、最小网格尺寸设为0.5 mm、叶片的最大网格尺寸设为2 mm、内部交界面最大网格尺寸设为4 mm，调节网格质量保证网格质量达到0.4以上. 根据0.2q_V、0.4q_V、0.6q_V、0.8q_V、1.0q_V、1.2q_V、1.4q_V、1.6q_V、1.8q_V、2.0q_V、2.2q_V、2.4q_V共12个工况点的CFD数值仿真，计算分析得到各样本离心泵在对应工况点的扬程、轴功率和水力效率，并依此拟合MSD中开单级离心泵外特性曲线，从而计算 $\eta = 66\text{%} $ 对应的高效区相对宽度.

应用RSF、RBF研究设计变量 ${{x}}_ 0= \left[ {{D_2},{b_2},{\beta _2}} \right]$ 与离心泵在1.0q_V设计工况点的扬程、功率、效率和高效区相对宽度之间的高度非线性关系.

响应面模型有效性检验标准采用均方根误差和决定系数：

(13) $ {\rm{RMSE}} = \frac{1}{{m{{\bar y}\;^{{\rm{cfd}}}}}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {{{({y_i}^{{\rm{cfd}}} - y_i^{{\rm{rsf}}})}^2}} }\right)^{1/2}, $

(14) $ {R^2} = 1 - \frac{{\sum\limits_{i = 1}^m {{{({y_i}^{{\rm{cfd}}} - y_i^{{\rm{rsf}}})}^2}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^m {{{({y_i}^{{\rm{cfd}}} - {{\bar y}^{{\rm{cfd}}}})}^2}} }}. $

式中： $m$ 为训练集样本数， ${y_i}^{{\rm{cfd}}}$ 为CFD计算值， ${\rm{y}}_i^{{\rm{rsf}}}$ 为响应面模型计算值， ${{\bar y}^{{\rm{cfd}}}}$ 为CFD计算值的平均值，RMSE为均方根误差，R²为决定系数. RMSE越接近0，R²越接近1.0，拟合准确度越高.

根据设计变量可知，二次响应面模型分为含有10个未知参数的完全二次响应面模型和7个未知参数的不完全二次响应面模型. 响应函数分别为

(15) $ \begin{split} {y_1} = {a_0} + \sum\limits_{i = 1}^3 {{a_i}{x_i}} + \sum\limits_{j = 1}^3 {{a_j}} {x_j}^2 + \sum\limits_{i = 1}^3 {\sum\limits_{j = 1,j \ne i}^3 {{a_{ij}}} {x_i}{x_j}} = \\ \left[ {1,x,{x^2},{x_1}{x_2},{x_1}{x_3},{x_2}{x_3}} \right] \cdot {{C}}_1 ={ {A}}_1 \cdot {{C}}_1, \end{split} $

(16) $ \begin{split} {y_2} = {b_0} + \sum\limits_{i = 1}^3 {{b_i}{x_i}} + \sum\limits_{j = 1}^3 {{b_j}{x_j}^2} = \left[ {1,x,{x^2}} \right] \cdot {{C}}_2 = {{A}}_2 \cdot {{C}}_2. \end{split} $

式中：x_i、x_j（i, j=1, 2, 3）为样本点中关键设计变量；A₁、A₂为关键设计变量组成矩阵；C₁、C₂为二次响应面函数的系数矩阵.

径向基高斯响应面近似模型结构简单，训练简便，可以拟合任意非线性函数，所需样本数较少. 结构一般分为输入层、隐藏层和输出层，隐藏层神经元变换函数即径向基核函数表达式为

(17) $ d\left( r \right) = \exp \;\left( { - \frac{r^2} {{2{\sigma ^2}}}} \right) = \exp \;\left( { - \frac{{\left\| {{{X}} - {{{X}}_i}} \right\|^2}}{{2{\sigma ^2}}}} \right). $

式中：r为欧氏距离；σ为自由参数；X、X_i为2个样本.

从训练集样本点中随机抽取n组设计变量作为高斯函数的中心，则径向基高斯响应面的输出表达式为

(18) $ y\left( {{x}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}} \exp \;\left( { - \frac{{{{\left\| {{{X}} - {{{x}}_i}} \right\|}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right). $

式中： ${{{x}}_i}$ 为高斯函数中心， ${w_i}$ 为权重系数， ${X}$ 为训练集样本. 可将上式转换为以下矩阵形式：

(19) $ {{y}} = {{{D}}_x} {{w}}. $

式中： ${{y}}$ 为60×1维输出矩阵，表征样本离心泵外特性值； ${{{D}}_x}$ 为60×n维高斯距离矩阵； ${{w}}$ 为n×1维权重系数矩阵，利用60个样本通过RBF训练得到. 由于样本训练集有60个样本，一般选取n=10、20、30进行验证，通过比较均方根误差和决定系数大小，选取n=30.

通过RBF得到的优化模型为

(20) $ f\left( {{x}} \right) = {{D}} {{w}}. $

式中：D为关键设计变量x的1×n维高斯距离矩阵， $f\left( {{x}} \right)$ 为响应函数.

克里金响应面模型具有全局特性，用于在已知60组离心泵外特性值的基础上预测离心泵性能. 表达式由回归模型和高斯相关模型两部分组成：

(21) $ y({{x}}) = {{\beta}} f({{x}}) + z({{x}}). $

式中： $y({{x}})$ 为响应函数， $f({{x}})$ 为全局基函数， $\;{{\beta}} $ 为回归系数， $z({{x}})$ 为高斯相关函数. $z({{x}})$ 的数学期望和协方差分别为

(22) $ \left. \begin{array}{l} E(z({{x}})) = 0,\\ {\rm{Cov}}(z({x_i}),\;z({x_j})) = {\sigma ^2}R({{\theta}} ,{x_i},{x_j}),\\ R(\theta ,{x_i},{x_j}) = \prod\limits_{d = 1}^q {\exp \;( - {{{\theta}} ^d}{{\left| {x_i^d - x_j^d} \right|}^{{p^d}}})}. \end{array} \right\} $

式中： ${\sigma ^2}$ 为方差； ${{\theta}} $ 为未知关联参数； $R({{\theta}} ,{x_i},{x_j})$ 为点 ${x_i}$、 ${x_j}$ 之间的关联函数；q为设计变量的维度；p为可变参数，常为2. 则克里金响应面近似模型中 ${{x}}$ 点的预测值为

(23) $ \mathop y\limits^ \wedge ({{x}}) = \mathop {{\beta}} \limits^ \wedge f({{x}}) + {{{r}}^{\rm{T}}}({{x}}){{{R}}^{ - 1}}({{Y}} - \mathop {{\beta}} \limits^ \wedge {{F}}). $

式中： ${{{r}}^{\rm{T}}}({{x}})$ 为未知点与已知点之间关系向量， $\;\mathop {{\beta}} \limits^ \wedge$为回归系数估计值，Y为响应值矩阵，F为设计点集合矩阵.

2种二次响应面计算模型和径向基高斯响应面计算模型的均方根误差和决定系数如表2所示. 比较完全RSF与不完全RSF模型的均方根误差和决定系数，完全RSF模型拟合准确度较高，所以在后续计算模型中选择完全RSF模型进行运算，简称RSF. RSF、RBF的均方根误差接近0，决定系数接近1.0，说明2种近似模型的拟合准确度均较高.

比较与验证构建的3种近似模型的预测精度，同样采用拉丁超立方取样方法在设计空间中建立3种不同近似模型的测试样本集，即对关键设计变量另抽取样本数目为20的测试集，并利用本研究采用的数值模拟方法求出测试点相应的离心泵外特性值. 将测试点设计变量代入完全二次响应面模型、径向基高斯响应面模型和克里金响应面模型中，得出离心泵外特性预测值，并与CFD数值模拟计算值进行对比.

总的来说，3种近似模型对效率的预测精度低于其对扬程和水力功率的预测精度，主要原因是20组样本测试集的水力效率由公式计算得出，其计算结果误差由扬程和水力功率数值计算误差累积而成. 综合比较3种不同近似模型得出的离心泵外特性预测值与CFD数值模拟值，完全二次响应面模型预测精度最高，径向基高斯响应面模型预测精度次之，克里金响应面模型预测精度最低.

不同于单目标优化，多目标优化存在不唯一解，即存在被称为Pareto最优解集的最优解集合，其中元素被称为Pareto最优解或非支配解. Pareto最优解的定义如下：对于可行解 ${x^ * } \in X$，当且仅当不存在另一个可行解 $x \in X$，使所有不等式 ${f_i}(x) \leqslant {f_i}({x^ * })\;(i = 1,2,3, \cdot \cdot \cdot ,r$，r为评价函数个数）成立，且至少存在1个 ${i_0}\;({i_0} \in \left\{ {1,2,3, \cdot \cdot \cdot ,r} \right\})$，使得不等式 ${f_{i0}}(x) \leqslant {f_{i0}}({x^ * })$ 成立，则 ${x^ * }$ 称为多目标优化问题的1个Pareto最优解.

集合 $P$ 中每个个体均有 $r(r \geqslant 2)$ 个评价函数（目标函数） ${f_i}(x)\;(i = 1,2,3, \cdot \cdot \cdot ,r)$，可将其中个体之间的支配关系定义为： $\forall {x_1},{x_2} \in P$，若 $\forall i \in \left\{ {1,2,3, \cdot \cdot \cdot ,r} \right\}$， ${f_i}({x_1}) \leqslant {f_i}({x_2})$，且 $\exists l \in \left\{ {1,2,3, \cdot \cdot \cdot ,r} \right\}$，使 ${f_l}({x_1}) < {f_l}({x_2})$，称 ${x_1}$ 支配 ${x_2}$；个体之间的不相关关系定义为： $\forall {x_1},{x_2} \in P$，若 ${x_1}$、 ${x_2}$ 间无支配关系，则 ${x_1}$、 ${x_2}$ 不相关. 若 ${x_1} \in P,\;{x_2} \in P,\;{x_1} \ne {x_2}$，则称 ${x_1}$ 在 $P$ 中支配，由这样的 ${x_2}$ 构成的集合称为最大非支配集. 综上，多目标优化遗传算法的本质是不断寻找有支配关系的个体，不断构造非支配集，最终找到Pareto最优解集.

水力损失模型和二次响应面、径向基高斯响应面及克里金响应面近似模型3种不同近似模型的优化目标函数和变量分别为

(24) $ \left. \begin{array}{l} {f_1} = {H_{\max }},{f_2} = {\eta _{\max }}, \\ {{x}} = \left[ {{D_2},\;{b_2},\;{\beta _2}} \right]. \\ \end{array} \right\} $

式中：H_max、η_max分别为扬程和效率最大值.

针对单级离心泵的扬程，根据国家标准GB/T5657-2013《离心泵技术条件（Ⅲ类）》^[17]，离心泵扬程的规定容差系数为3%，所以定义单级离心泵的设计扬程 $H \geqslant (1 + 3\% )H_{\rm{r}} $. 则该优化方案的约束条件为

(25) $ H \geqslant (1 + 3\text{% }){H_{\rm{r}}}. $

在本研究中， $H \geqslant 82.4\;{\rm{m}}$.

3种不同近似模型的总效率为

(26) $ \eta = {\eta _{\rm{m}}}{\eta _{\rm{V}}}{\eta _{\rm{h}}}. $

式中： ${\eta _{\rm{m}}}$ 为机械效率， ${\eta _{\rm{V}}} $ 为容积效率， $ {\eta _{\rm{h}}}$ 为水力效率. 其中， ${\eta _{\rm{V}}} $、 ${\eta _{\rm{m}}}$ 可由比转速估算：

(26) $ {\eta _{\rm{V}}} = ({{1 + 0.68{n_{\rm{s}}}^{ - 2/3}}})^{-1}, $

(27) $ {\eta _{\rm{m}}} = 1 - {{0.07}}/{{{{({{{n_{\rm{s}}}}}/{{100}})}^{{7}/{6}}}}}. $

针对以上水力损失（hydraulic loss, HLoss）模型和3种近似模型优化方案，通过遗传算法分别得到单级离心泵设计工况点下关键设计变量最优解，并经CFD仿真分析计算，结果如表3所示.

根据表3中4种优化计算模型最优关键设计变量、理论计算外特性值、相应的CFD数值模拟分析计算值和误差大小的对比分析，水力损失计算模型对于离心泵外特性值的计算准确度较低，利用理论公式计算得出的扬程、功率与CFD计算得出的扬程、功率相差较大，且CFD计算扬程不满足设计要求. 造成这样结果的原因为，水力损失模型是半经验半理论推导公式，其中系数的选取对计算结果有较大影响，同时修正系数又是根据统计规律给出的，须合理选择与考虑，且与过流部件的几何形状密切相关. 另外，在离心泵内部流场中容易产生旋涡流动，由旋涡流动造成的扬程和效率损失难以用理论公式推导进行准确计算. 因而，水力损失法较近似模型法虽具有一定的实用性，但是适用性往往较差. 在近似模型法中，CFD数值模拟分析得出的计算结果精度较高，其自身响应函数映射能力较强，因此与水力损失法相比，结果更加准确.

近似模型扬程、功率和效率预测值与CFD数值计算结果对比如图5~8所示. 比较RSF、RBF、KRG这3种不同近似模型的拟合精度，发现扬程理论计算值与CFD计算值之间的误差分别为0.50%、0.50%、2.35%，功率理论计算值与CFD计算值之间的误差分别为0.31%、1.15%、2.73%，效率理论计算值与CFD计算值之间的误差分别为0.08%、1.02%、1.04%. 基于KRG近似模型和NSGA-II得到的单级叶轮的Pareto前沿分布离散不连续，又进一步造成KRG近似模型可靠性下降. 综上，选择RSF、RBF这2种近似模型得到的单级叶轮，即叶轮1、2.

通过RSF、RBF近似模型得到单级离心泵叶轮的设计结构参数并建立三维模型. 为了全面准确地预测单级离心泵在非设计工况即小流量和大流量工况下的工作性能，对单级离心泵内流场进行多工况CFD数值模拟分析，进而对拟合出的外特性曲线进行性能预测，结果如图8所示.

作 $\eta = 66 \text{%}$ 水平线与效率曲线交于2点，体积流量分别为q₁、q₂，高效区相对宽度定义为L = $ \left({{{q_2} - {q_1}}}\right)/{q_{V{\rm{r}}}}$，则叶轮1、2的高效区相对宽度分别为

(28) $ {L_1} = ({{179.2 - 63.5}})/{{100}} = 1.157, $

(29) $ {L_2} = ({{193.9 - 69.4}})/{{100}} = 1.245. $

可见经优化后的叶轮高效区相对宽度较大.

针对MSD中开多级离心泵中所有叶轮的效率优化方法与本研究中单级离心泵效率优化方法是一致的. 基于叶轮1、2的首级叶轮优化效果，采用同样的方法进行次级叶轮优化，所有次级叶轮的结构参数一致，从而可以预测全流量下10级中开多级离心泵的整泵性能.

基于水力损失模型进行单级离心泵设计变量灵敏度分析，分析结果与前人关于泵设计参数对性能影响的研究结果相符，凭此筛选出关键设计变量. 根据水力损失法和近似模型法并结合NSGA-Π遗传算法对单级离心泵的关键设计变量进行多目标优化，比较基于各模型的单级离心泵的内流场分析结果，选择确定基于RSF、RBF的叶轮1、2. 在设计流量下，叶轮1的扬程为83.77 m，效率为77.26%；叶轮2的扬程为83.09 m，效率为76.63%. 结合基于近似模型的离心泵效率优化方法和遗传算法可以提高离心泵的水力效率和高效区宽度. 利用该方法不仅可以准确预测扬程、功率、效率及高效区宽度，还可以预测速度场、压力场、漩涡等内部分布，即可以同时预测离心泵的内特性和外特性. 在小流量工况下，基于叶轮1的整台泵高效区范围大于基于叶轮2的整台泵高效区范围；在大流量工况下，基于叶轮1的整台泵高效区范围小于基于叶轮2的整台泵高效区范围. 所以对基于叶轮1的整台泵或者基于叶轮2的整台泵的开模制造须根据企业实际工作需求进行选择确定.