我国北方地区雾霾严重，而冬季供暖会进一步加重雾霾，因此对清洁能源供暖技术需求迫切. 地热作为清洁可再生能源，在北方供暖中越来越受到重视. 目前，我国地热供暖制冷面积已超过5亿 m²，稳居世界第1位. 十三五能源规划指出，到2020年新增供暖制冷面积11亿 m²，地热供暖制冷总面积将达到16亿 m².

目前市场上新出现了单井地热供暖（single well geothermal heating，SWGH）系统，井深一般大于1 000 m，采用同轴套管结构，通过金属外壁向岩石取热，通过内保温管将热量输出，原理与地源热泵类似. SWGH系统全封闭循环，不采地下热水，无腐蚀结垢和回灌等问题，很受市场欢迎. SWGH系统基本不受地域限制，占地小，若能规模化推广，可为我国冬季雾霾的解决做出巨大贡献.

目前针对地热单井换热（包括SWGH）的研究较多，从经济层面考虑，多选用废弃油气井作为研究对象^[1]. Templeton等^[2]研究将废弃油井改造为地热井进行地热开采的可行性，通过数学模型分析地温梯度、保温层、注入温度和速率对采出温度和功率的影响. Cheng等^[3-6]对地热单井换热进行深入研究，分析保温层、注入工质、运行时间、井深和流速等对采出温度和功率的影响. Røksland等^[7]对废弃井采出地热能进行研究，重点分析工质密度、比热和导热系数对采出温度的影响. Wight等^[8]分析废弃油气井获取地热能用于有机朗肯发电的可行性，考察流速和井深对发电功率的影响. 为了降低深层地热的投资，Cui等^[9]采用单井水平井的方式获取地热能，分析井底温度、水平井段长度以及取热年限对采热功率的影响. Davis等^[10-11]对废弃油井地热发电进行研究，以异丁烷作为工质，分析不同体积流量对应的发电功率. Caulk等^[12]利用废弃油气井开采地热，分析井底温度对热量获取的影响. Alimonti等^[13]研究深油井用于有机朗肯循环地热发电的问题，重点探索沿井筒的温度分布. 孔彦龙等^[14]分析地热单井换热的技术原理并对换热量进行评估. Kujama等^[15]通过建立传热方程研究单井地热的换热情况，讨论不同速度的循环流体所对应的采出热量. 华北油田新留检1井进行的地热水开采试验结果^[16]为平均日产液1 932 m³，井口温度116 °C，表明老油井转为地热井进行地热开发利用是可行的.

目前国内很多企业已经涉足单井地热供暖，并在天津、西安和青岛等多地开展了实践. 在实践过程中遇到了不少问题，其中最突出的问题就是单井采热功率小，功率衰减快. 目前很多企业对单井地热供暖的原理和性能认识不清，除经济性外，他们最关心的问题有以下3个：单井采热功率可以达到多大；采热功率随时间如何衰减，岩石温度场随时间如何变化；地温梯度、岩石导热系数、井深、井的规格和运行方式对采热功率有多大影响. 上述文献并没有系统地回答这3个问题，因此，本研究通过建立流体的流动换热方程以及岩石的能量方程，从原理上回答上述3个问题，使企业认清单井地热供暖的性能和规律，增加投资信心，促进地热供暖的推广和雾霾的解决.

单井地热供暖原理如图1所示，结构主要包括岩石、井壁和保温管. 井壁和保温管组成的环空部分作为注入井，保温管作为采出井，井底封死. 流体从注入井流入，到达井底后反向从采出井流出，注入流体通过井的外壁和岩石换热.

数学模型主要包括注入井和采出井中流体的流动和换热方程、岩石的能量方程以及流体与岩石之间的热量传递^[17-20].

(1) $ {{\partial {T_{\rm{e}}}} / {\partial t}} + {{\partial \left( {V{T_{\rm{e}}}} \right)} / {\partial z}} = - {S_{{\rm{ei}}}}, $

(2) $ {S_{{\rm{ei}}}} = {{{k_{\rm{l}}}\left( {{T_{\rm{e}}} - {T_{\rm{i}}}} \right)} / {\left( {\rho {A_{\rm{e}}}c} \right)}}, $

(3) ${k_{\rm{l}}} ={\text{π}}\Big/\left( {{\frac{1}{{2{h_{{\rm{e1}}}}{r_{\rm{1}}}}} + \displaystyle\frac{1}{{2{\lambda _{\rm{s}}}}}\ln\; \displaystyle\frac{{{r_{\rm{2}}}}}{{{r_1}}} + \displaystyle\frac{1}{{2{h_{{\rm{e2}}}}{r_{\rm{2}}}}}}}\right).$

式中： ${T_{\rm{e}}}$ 为采出井中流体的温度；V为流速；z为距地表的距离； ${S_{{\rm{ei}}}}$ 为采出和注入井之间的传热速率； ${T_{\rm{i}}}$ 为注入井流体的温度； ${r_1}$ 为保温管内半径； ${r_2}$ 为保温管外半径， ${r_2} = {r_1} + b$， $b$ 为保温管厚度； ${A_{\rm{e}}}$ 为采出井流通面积， ${A_{\rm{e}}} = \text{π} r_1^2$； ${\lambda _{\rm{s}}}$ 为保温材料导热系数； ${k_{\rm{l}}}$ 为单位长度传热量； ${h_{{\rm{e1}}}}$ 为采出井内壁对流换热系数； ${h_{{\rm{e2}}}}$ 为采出井外壁对流换热系数； $\rho $ 为水的密度； $c$ 为水的比热容.

(4) ${{\partial {T_{\rm{i}}}} / {\partial t}} + {{\partial \left( {V{T_{\rm{i}}}} \right)} / {\partial z}} = {S_{{\rm{ei}}}} + {S_{{\rm{iw}}}},$

(5) $ {S_{{\rm{iw}}}} = {{{h_{\rm{w}}}2\text{π} {r_{\rm{3}}}\left( {{T_{{\rm{wf}}}} - {T_{\rm{i}}}} \right)} / {\left( {\rho {A_{\rm{i}}}c} \right)}}. $

式中： ${S_{{\rm{iw}}}}$ 为流体和井壁之间的传热速率； ${T_{{\rm{wf}}}}$ 为与流体接触的井壁温度； ${h_{\rm{w}}}$ 为内井壁对流换热系数； ${r_{\rm{3}}}$ 为金属井内半径； ${A_{\rm{i}}}$ 为注入井流通面积.

(6) $ \frac{{\partial {T_{\rm{r}}}}}{{\partial t}} = \frac{{{\lambda _{\rm{r}}}}}{{{\rho _{\rm{r}}}{c_{\rm{r}}}}}\left( {\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial {T_{\rm{r}}}}}{{\partial r}}} \right)} \right);\;\;{r_4} \leqslant r \leqslant {r_\infty }. $

式中： ${T_{\rm{r}}}$ 为岩石温度； ${\lambda _{\rm{r}}}$ 为岩石导热系数； ${\rho _{\rm{r}}}$ 为岩石密度； ${c_{\rm{r}}}$ 为岩石比热容；r为距地热井中心线的距离； ${r_4}$ 为金属井外半径， ${r_4} = {r_3} + {b_{\rm{w}}}$， ${b_{\rm{w}}}$ 为金属井壁厚；r_∞为距地热井中心线无限远.

流体和管壁的对流换热系数采用Dittus-Boelter公式^[21]进行计算. ${h_{\rm{w}}}$、 ${h_{{\rm{e2}}}}$ 表达式为

(7) $h = 0.023\lambda {{{{\operatorname{} Re}^{0.8}}{{Pr }^{0.4}}} /{{d_{\rm{e}}}}}.$

式中： $\lambda$为水的导热系数，d_e为水力直径，Re、Pr分别为雷诺数和普朗特数.

采出井内壁对流换热系数表达式为

(8) ${h_{{\rm{e1}}}} = 0.023\lambda {{{{\operatorname{}Re }^{0.8}}{{Pr }^{0.3}}} / {\left( {2{r_1}} \right)}}.$

本研究中注入和采出井中流体的 ${Re} $、 ${Pr} $ 以及井的结构参数均满足Dittus-Boelter公式.

岩石传给井壁的热量等于井壁传给流体的热量，三者接触处采用第3类边界条件给出：

(9) ${h_{\rm{w}}}\left( {{T_{{\rm{wf}}}} - {T_{\rm{i}}}} \right)\left| {_{r = {r_3}}} \right. = {\lambda _{\rm{r}}}{{\partial {T_{\rm{r}}}} / {\partial r}}\left| {_{r = {r_4}}} \right..$

假设距离井壁100 m外的岩石温度不受干扰，地表温度T_s=288.15 K，则岩石的初始温度为

(10) ${T_{{\rm{r,0}}}} = {T_{\rm{s}}} + {{z{T_{\rm{g}}}} / {1\;000}}.$

式中：z为距地面的距离；T_g为地温梯度.

注入流体速度V_in=1 m/s，温度T_in=278.15 K，保温材料按绝热计算. 岩石的密度为2 700 kg/m³，比热容为1 098 J/（kg·K）. 涉及到的3种井的规格如下：1）井管ϕ244.50 mm×8.94 mm，保温管ϕ170 mm×10 mm，简称B型井，注入水质量流量为63.49 t/h；2）井管ϕ219.10 mm×7.72 mm，保温管ϕ150 mm×10 mm，简称M型井，注入水质量流量为53.66 t/h；3）井管ϕ177.80 mm×6.91 mm，保温管ϕ120 mm×10 mm，简称S型井，注入水质量流量为35.31 t/h. 每年供暖时间为21周，其他时间岩石恢复温度. 上述方程采用控制容积法^[22]进行离散，应用Matlab软件进行编程求解.

单井地热的关键性能指标包括采出水温度、采热功率、性能衰减. 影响这3个指标的因素包括井深、井直径、岩石导热系数、保温材料性能、地温梯度、运行时间以及运行过程中的注入水温度和质量流量等. 从传热学原理分析，要提高岩石和流体的换热，主要手段有降低传热热阻和提高传热温差. 传热热阻涉及到井直径、岩石导热系数和流速；传热温差涉及到井深、地温梯度和注入水温度. 本研究仅讨论井直径、岩石导热系数、井深和地温梯度对采出水温度和采热功率的影响以及单井性能随时间的衰减.

已知条件：M型井，T_g=30 K/km，λ_r=3.0 W/（m·K），井深H=3 000 m. 分析第1个供暖季采出水温度和采热功率随时间的变化，如图2所示，图中，T_out为采出水温度，Q_e为采热功率，即从地热井获得的热功率.

由图2可知，采出水温度和采热功率随供暖时间均有所下降，在前7周，采出水温度和采热功率随供暖时间下降较快，在7周后下降速率变缓. 这是因为在供暖刚开始时，井周围岩石温度较高，岩石与流体温差大，导致采出水温度和采热功率较大. 随着时间的推进，岩石热量不断被提走，靠近井壁的岩石温度降低，与流体的温差逐渐变小并渐趋稳定，采出水温度和采热功率逐渐减小并渐趋稳定. 在第1、3、5、7、10、14、21周，采出水温度分别为294.32、292.12、291.24、290.71、290.20、289.74、289.23 K，采热功率分别为1 016.01、879.77、824.45、791.19、758.47、729.82、697.88 kW. 第21周的采出水温度比第1周降低5.09 K，比第5周降低2.01 K，比第7周降低1.48 K，而比第10周仅降低0.97 K，可见采出水温度逐渐趋于稳定. 同样，采热功率也逐渐趋于稳定.

如图3所示为平均采出流体温度和采热功率随时间的变化. 可以看出，单井采出水温度和采热功率随供暖年限的增加逐渐减小，减小趋势渐缓. 第1、10、20个供暖季对应的平均采出水温度分别为290.15、288.61、288.28 K，对应的平均采热功率分别为755.01、660.02、639.42 kW. 对20个供暖季取平均，采出水温度和采热功率分别为288.74 K、668.05 kW. 第1个供暖季的平均采热功率较20 a的平均采热功率高13.02%，第20个供暖季的平均采热功率较20 a的平均采热功率低4.29%. 热泵的选型，可以参考上述数据.

由图2、3可知，在注入水温度不变的情况下，同一个供暖季的采热功率随时间衰减，不同供暖季的采热功率也随时间衰减，衰减趋势均为先快后慢. 因此，在供暖期间，可以通过改变热泵的运行方式（比如改变注入水温度和质量流量），调节不同供暖季以及同一个供暖季始末负荷的不平衡性.

已知条件：M型井，T_g=30 K/km，λ_r=3.0 W/（m·K），H=3 000 m. 一般认为在供暖季节岩石温度随着热量的提取会降低，在非供暖季会部分恢复，但针对岩石温度具体的降低和恢复程度的研究较少. 选择第1、20个供暖季始末岩石的温度进行研究. 在第1个供暖季开始前，假设岩石温度未受干扰. 经过21周的供暖后，岩石温度降低，特别是靠近井壁的岩石，温度降低最大，如图4所示. 距井壁0.5 m，深度分别为500、1 000、1 500、2 000、2 500 m处的岩石温度较未受干扰时分别降低14.68、23.00、31.03、38.75、46.19 K；距井壁10、15 m，相同深度处的岩石温度较未受干扰时分别降低0.21、0.33、0.44、0.55、0.65 K和0.01、0.02、0.02、0.03、0.03 K. 由此可知，经过1个供暖季，岩石温度场受干扰范围的半径约为15 m. 由上述数据可知：1）深度越大，岩石的温降越大. 由于注入水温度为278.15 K，而采出水温度低于295.00 K，越靠近下部，岩石和流体的温差越大，换热量也越大，导致下部岩石的温降大. 沿井深方向流体的温度分布如图5所示；2）靠近井壁的岩石温降大，且近井岩石存在较大的温度梯度. 距离井壁越远，岩石的温降越小. 这说明岩石的导热系数小，无法将远处岩石的热量快速传导到近井处，致使近井处岩石的热量得不到有效补充，造成地热井周围岩石温度迅速降低，这是单井采热功率小的最主要原因. 因此，提高单井换热量的有效手段是强化岩石的传热性能，特别是近井地带岩石，以便将远处岩石的热量迅速传导到井筒.

由图4可知，经过1个供暖季，岩石的温度受干扰范围的半径为15 m. 按15 m半径计算岩石热阻. 井壁的导热系数为16.3 W/（m·K），岩石的导热系数为3.0 W/（m·K），注入流速为1 m/s，均温为283.15 K. 热阻计算结果如表1所示. 表中，R_h、R_s、R_r分别为流体对流热阻、井壁导热热阻、岩石导热热阻.

由表1可知，热阻主要出现在岩石侧，流体对流换热热阻与井壁导热热阻相差不大. 以M型井为例，R_r是R_h的380.47倍，是R_s的365.55倍. 这与上述理论计算结论一致. 可见，要提高单井采热功率，强化近井地带岩石的传热性能是关键.

岩石导热热阻的表达式为

(11) ${R_{\rm{r}}} = \frac{1}{{2{\text{π}}{\lambda _{\rm{r}}}}}\ln\; \frac{{{r_\infty }}}{{{r_4}}}.$

式中： $ {r_\infty }=15 \;{\rm{m}}$. 由式（11）可以看出，要降低岩石导热热阻有2个措施：提高岩石导热系数、扩大井管直径. 如图6、7所示为第20个供暖季开始和结束时岩石的温度场. 在第19个供暖季结束后，岩石经过约31周的恢复，温度场如图6所示. 图中，距井壁5 m，深度分别为500、1 000、1 500、2 000、2 500 m的岩石，温度较未受干扰时分别降低4.14、6.49、8.77、10.96、13.08 K；距井壁60 m的各深度岩石的温度较未受干扰时分别降低0.14、0.22、0.30、0.37、0.44 K；距井壁95 m的各深度岩石的温度较未受干扰时分别降低0.01、0.03、0.06、0.07、0.09 K. 通过图4、7的比较可知，第20个供暖季末的岩石温度场较第1个供暖季末有所降低，且井越深，温度降低越大. 分析表明，经过20个供暖季，岩石受干扰半径超过95 m.

已知条件：T_g=30 K/km，λ_r=3.0 W/（m·K），H=3 000 m. 由图8可知，井直径越大对应的采热功率越大. 仍以1个供暖季内的平均采出水温度和平均采热功率作为考核指标，S、M、B型井对应的平均采出水温度分别为295.17、290.50、289.07 K，平均采热功率分别为702.62、777.52、812.85 kW. 相比S型井，M、B型井采热功率分别增加74.89、110.23 kW. M、B型井的井口截面积分别为S型井的1.52、1.89倍，采热功率分别为S型井的1.12、1.16倍. 以采热功率除以井口截面积作为指标，设S型井为1.00，则M、B型井分别为0.73、0.61. 由上述分析可知，扩大井的直径可以提高采热功率，当井径越小时，功率提高越明显，随着井径的增加，功率提高的幅度变小. 在实际工程建设时，要考虑井径增加所带来的钻探成本增加，选择经济合理的钻井直径和井管尺寸. 图8中之所以会出现S型井的采出水温度最高，是因为S型井质量流量最小（S、M、B型井的质量流量分别为35.31、53.66、63.49 t/h），在采热功率相差较小的情况下，S型井采出水温度最高.

结合式（11）和表1的热阻数据可知，相比于R_h和R_s，R_r随井径的变化较明显. M型井对应的R_r比S型井小0.011 m·K/W，B型井对应的R_r比S、M型井分别小0.016、0.005 m·K/W. 即，M型井对应的R_r比S型井小4.04%，B型井对应的R_r比M型井小1.92%. 可见，在井径较小时，随着井直径的变化，岩石导热热阻变化较明显，这与上述对采热功率的分析是一致的. 可见，扩大井直径可以提高单井换热量，但效果不显著.

已知条件：M型井，T_g=30 K/km，H=3 000 m. 如图9所示为3种岩石导热系数（2.5、3.0、3.5 W/（m·K））对应的采出水温度和采热功率的变化趋势. 由图9可知，随岩石导热系数的增加，采出水温度和采热功率均增加. 仍以1个供暖季内的平均采出水温度和平均采热功率作为考核指标，岩石导热系数为2.5、3.0、3.5 W/（m·K）对应的平均采出水温度和采热功率分别为288.81、290.50、292.11 K和672.71、777.52、877.62 kW. 岩石导热系数从2.5 W/（m·K）增加到3.0、3.5 W/（m·K），采热功率分别增加104.80、204.91 kW，近似于导热系数每增加0.5 W/（m·K），采热功率增加100 kW.

由式（11）可知，岩石的导热热阻与岩石导热系数成反比，导热系数越大，导热热阻越小. 岩石导热系数为2.5、3.0、3.5 W/（m·K）对应的R_r分别为0.314、0.261、0.224 m·K/W. 在实际地热单井供暖工程进行井位选址时，应尽量选择岩石导热系数好的区域. 即使岩石的导热系数为5.0、10.0 W/（m·K），对应的R_r分别为0.16、0.08 m·K/W，虽较导热系数为3.0 W/（m·K）时有大幅减小，但仍远大于R_h、R_s. 因此，纯粹靠增加岩石的导热系数来减小岩石的热阻，理论上可行，但在实际工程操作中很难找到如此理想的实施地. 因此，必须改变思路. 对流的换热系数远大于导热，可以设想在井的周围岩石中存在流体的流动，通过流动换热将远处岩石的热量传递到井筒，解决岩石导热热阻大的问题. 对流可以通过2种方式实现：1）在地热单井选址时，可以选择岩石裂隙发育、上下联通性好并富含地热水的地点；2）对于致密岩石进行热储改造，在井筒周围的岩石中通过射孔、压裂、爆破等手段或者几种手段的组合人造多孔体系（孔隙度和渗透率高，且连通性好），并在多孔体系中注入流体形成热对流.

已知条件：M型井，T_g=30 K/km，λ_r=3.0 W/（m·K）. H=2 000、3 000、4 000 m. 由图10可知，对于M型井，随着井深的增加，采出水温度和采热功率均增加. 以1个供暖季内的平均采出水温度和平均采热功率作为考核指标，井深2 000、3 000、4 000 m对应的平均采出水温度分别为284.33、290.50、298.66 K，对应的平均采热功率分别为387.04、777.52、1 285.85 kW. 3 000 m深度的井比2 000 m深度的井增加采热功率390.48 kW，4 000 m深度的井比3 000 m深度的井增加采热功率508.33 kW. 可见，随着井深的增加，单位井深对应的采热功率增幅加大. 这是因为在地温梯度不变的情况下，井越深，岩石温度越高，与注入水的温差越大，单位井深传导到井筒内的热量越大. 在实际工程建设时，要综合权衡井深增加所带来的换热量增加和经济成本增加，确定经济合理的钻井深度.

已知条件：M型井，λ_r=3.0 W/（m·K），H=3 000 m， T_g=20、30、40 K/km. 地温梯度对采出水温度和采热功率的影响和井深类似，都是改变岩石和注入流体的温差. 由图11可知，地温梯度越高，采出水温度和采热功率越大. 仍以1个供暖季内的平均采出水温度和平均采热功率作为考核指标，在温度梯度分别为20、30、40 K/km时对应的平均采出水温度分别为287.06、290.50、293.94 K，对应的平均采热功率分别为563.97、777.52、991.06 kW. 温度梯度由20 K/km增加到30 K/km，采热功率增加213.55 kW，由30 K/km增加到40 K/km，采热功率增加213.54 kW. 可见，采热功率与地温梯度成正比. 因此，在实际工程中，应尽量选择地温梯度较高的地方打井.

（1）地热单井采出水温度和采热功率在同一个供暖季随时间衰减，在不同供暖季间也随时间衰减，衰减趋势均为先快后慢. 对于深度为3 000 m的M型地热井，第1、10、20个供暖季对应的采出水温度分别为290.15、288.61、288.28 K，对应的采热功率分别为755.01、660.02、639.42 kW. 热泵的选型，可以参考上述数据；

（2）虽有非供暖季的恢复，但岩石的温度随时间一直在衰减. 经过20个供暖季，岩石温度受干扰半径超过95 m；

（3）径向15 m范围内的岩石导热热阻是井内对流热阻的380.47倍，是井壁导热热阻的365.55倍. 因此，提高地热单井采热功率的最有效手段是降低岩石的导热热阻；

（4）增加井直径和岩石导热系数均可以降低岩石导热热阻. 当井直径越小时，增加井径对岩石热阻的降低效果越明显. 在实际工程建设时，要考虑井径增加所带来的钻探成本增加，选择经济合理的钻井直径和井管尺寸. 岩石导热系数每增加0.5 W/（m·K），采热功率增加100 kW. 纯粹靠增加岩石导热系数来减小岩石热阻，理论上可行，但在实际工程操作中很难找到较理想的实施地. 因此，必须改变思路，另辟途径，比如通过在近井地带的岩石中形成对流来降低岩石的热阻，提高单井换热量；

（5）井深和地温梯度的增加均可以提高岩石和井内流体的传热温差，提高采热功率. 随井深的增加，单位井深对应的采热功率增幅加大. 因此，通过增加钻井深度是获取更多地热能的有效手段，但要考虑经济性. 采热功率与地温梯度成正比，对于3 000 m深的地热井，地温梯度每增加10 K/km，采热功率约增加213.54 kW.