活性粉末混凝土（reactive powder concrete，RPC）材料具有较高的抗拉、抗压性能以及良好的抗裂和耐久性能，引起学者们的广泛关注. 随着研究成果日趋成熟，RPC材料被逐渐应用于建筑结构的多个领域^[1]. RPC材料性能优异，但是造价偏高、施工工艺较复杂，综合考虑以上因素，提出将RPC预制梁置于下部，并在上部现浇普通混凝土（normal concrete，NC）梁的组合结构，即RPC-NC叠合梁. 与钢-混凝土组合梁结构相比，RPC-NC叠合梁的抗裂性能相对较差，但梁体刚度更高. RPC优异的耐久性能使得梁结构受环境影响较小，且RPC与NC同为水泥基材料而产生的黏结性以及适量的箍筋配置即可保证叠合梁良好的共同工作性能，无须再设置抗剪连接件. 国内外学者对RPC-NC叠合梁的静力性能已经有了一定深度的研究^[2-3]，对其疲劳性能的研究也正逐步展开.

对于普通混凝土梁，混凝土抗拉强度较低，在开裂后即丧失抗拉承载能力，因此不考虑受拉区混凝土的抗拉强度. RPC抗拉强度较高，且开裂后裂缝间未完全拔出的钢纤维仍具有一定的承载能力^[4]，RPC梁中受拉区RPC对梁正截面承载力的贡献随配筋率的不同占15%～40%^[5]. 此外，在钢纤维的作用下，混凝土疲劳性能的提高幅度大于静力性能的提高幅度^[6]，在低应力水平下对能量的消耗能力大于在高应力水平下，即更有利于增强结构的高周疲劳性能^[7]. 因此，描述RPC-NC叠合梁的疲劳退化过程须考虑RPC的抗拉疲劳性能.

疲劳全过程分析作为能描述结构疲劳损伤全过程的分析方法，是研究结构疲劳性能的重要手段之一. 现有的全过程疲劳分析手段包括等效静力分析法^[8]、基于材料疲劳退化的有限元分析法^[9]、分段线性分析法^[10-11]等. 本研究采用分段线性法，通过建立普通混凝土、RPC和钢筋在任意循环次数后的疲劳参数退化模型，提出适用于RPC-NC叠合梁的疲劳损伤全过程分析模型，并通过2根梁的疲劳试验对计算结果进行验证.

变形模量的退化是描述混凝土材料损伤的重要指标，为了便于考虑普通混凝土、RPC和钢筋在材料性能退化时相互间的耦合影响作用，选取疲劳变形模量作为损伤参数来描述普通混凝土的刚度退化过程. 叠合梁在受弯疲劳荷载作用下，受压区普通混凝土的受力状态近似于单轴受压疲劳，其疲劳损伤根据一维情况下连续损伤力学的定义^[12]可以表示为

(1) ${D_{\rm{c}}}(N) = 1 - {\left( {1 - {N / {{N_{{\rm{cf}}}}}}} \right)^\gamma } .$

式中：D_c（N）为普通混凝土的疲劳损伤变量；N_cf为普通混凝土的疲劳寿命，N_cf可以根据普通混凝土疲劳强度公式计算得出^[13]；N为疲劳循环次数；γ为与疲劳荷载有关的系数^[14]，

(2) $\gamma = 1.305\;7(1 - {R^2}){S^{4.912\;8}}.$

其中， $S = {{{\sigma _{\max }}} / {{f_{\rm{c}}}}}$， $R = {{{\sigma _{\min }}} / {{\sigma _{\max }}}}$， $\sigma_{\max}$、 $\sigma_{\min}$分别为疲劳荷载作用下普通混凝土中的最大、最小应力，f_c为普通混凝土立方体抗压强度.

在N次疲劳循环作用后的变形模量表达式为

(3) ${E_{\rm{c}}}(N) = {E_{\rm{c0}}}[1 - {D_{\rm{c}}}(N)].$

式中：E_c0为普通混凝土初始切线模量.

将式（1）～（3）联立，得到受压区普通混凝土的疲劳变形模量：

(4) ${E_{\rm{c}}}(N) = {E_{\rm{c0}}}{\left( {1 - {N / {{N_{\rm{cf}}}}}} \right)^{1.305\;7(1 - {R^2}){S^{4.912\;8}}}}.$

在单轴受压疲劳荷载作用下，混凝土疲劳变形模量基本呈三阶段衰减趋势，在第2阶段末的变形模量约为0.70E_c0，在第3阶段末的变形模量为0.45E_c0～0.50E_c0^[15]. 由于第3阶段疲劳破坏发展迅速，变形模量急剧减小，这里偏保守地将第2阶段末的变形模量作为发生疲劳破坏的临界值，即受压区混凝土的疲劳破坏准则为

(5) ${E_{\rm{c}}}(N) \leqslant 0.70{E_{\rm{c0}}}.$

在弯曲疲劳荷载作用下，叠合梁下部RPC的疲劳损伤表达式为

(6) ${D_{\rm{R}} }(N) = 1 - {{{E_{\rm{R}} }(N)} / {{E_{\rm{R0}} }}}.$

式中：E_R（N）为在N次受拉循环后的RPC变形模量，E_R0为RPC初始切线模量.

根据文献[16]提出的方法，结合本研究中的RPC-NC叠合梁的疲劳试验数据，拟合得到RPC受拉疲劳损伤：

(7) ${D_{\rm{R}}}(N) = \left\{ \begin{array}{l} 0.074N, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; N \leqslant 6{\rm{ }}; \\ 0.01\ln\; N + 0.428,\;{\rm{ }}6 < N \leqslant 250{\rm{ }}{\rm{.}} \\ \end{array} \right.$

RPC疲劳变形模量的表达式为

(8) ${E_{\rm{R}}}(N) = \left\{ \begin{array}{l} {E_{\rm{R0}}}(1 - 0.074N),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;N \leqslant 6{\rm{ }}; \\ {E_{\rm{R0}}}(0.572 - 0.01\ln\; N),\;{\rm{ }}6 < N \leqslant 250{\rm{ }}{\rm{.}} \\ \end{array} \right.$

式中：疲劳循环次数N的单位为万次.

根据RPC受拉边缘应变和开裂应变间的关系将梁截面受力分为开裂前阶段和开裂后阶段：在开裂前，受拉区法向应力图形为三角形；在开裂后，受拉区RPC应力分布如图1所示. 图中，h为截面高度，h_s为非预应力筋的形心至截面受压混凝土边缘的距离，h_p为预应力筋的形心至截面受压混凝土边缘的距离，a_s为非预应力筋的形心至截面受拉混凝土边缘的距离，a_p为预应力筋的形心至截面受拉混凝土边缘的距离，x为截面受压区高度，A_p为预应力筋面积，A_s为非预应力筋面积，ε_c为截面受压混凝土边缘的应变，ε_cr为RPC开裂应变，ε_p为预应力筋应变，ε_s为非预应力筋应变，ε_tu为RPC的极限抗拉应变，σ_c为截面受压混凝土边缘的应力，σ_cr为RPC开裂强度，σ_tu为RPC的剩余抗拉强度，σ_p为预应力筋应力，σ_s为非预应力筋应力。分为靠近中性轴的未裂区和下部的开裂区，未开裂区RPC的疲劳退化过程和开裂前相同，对于已开裂部分，认为基体混凝土已经退出工作，RPC的剩余抗拉强度由未拔出的钢纤维提供^[17]，且在极限应变内为常量^[18].

(9) ${\sigma _{{\rm{tu}}}} = 2\lambda {\eta _{\rm l}}{\eta _{\rm{o}}}{\eta _{\rm{b}}}{\tau _{\rm{d}}},$

(10) ${\varepsilon _{\rm{tu}}} = {l_{\rm{f}}}/(16{l_{\rm{cr}}}).$

式中： $\lambda$为钢纤维特征系数，η_l为钢纤维长度修正系数，η_o为方向系数，η_b为有效黏结系数，τ_d为钢纤维黏结强度，l_f为钢纤维长度，l_cr为裂缝平均间距.

随着损伤的累积，最大疲劳拉应变逐渐增加，在RPC拉应变大于极限应变后，该部分RPC的抗拉强度为零，退出工作，即受拉区RPC的疲劳破坏准则为

(11) ${\varepsilon _{\rm{t}}}(N) \geqslant {\varepsilon _{\rm{tu}}}.$

式中：ε_t（N）为在N次循环后RPC的应变.

缺陷发展导致材料有效承载面积减小是材料劣化的主要原因^[19]. 钢筋的疲劳断口可以大致分为光滑的疲劳损伤区和粗糙的受拉断裂区，疲劳断口形态反映钢筋疲劳破坏是由于裂纹形成并逐渐扩展，钢筋有效承载面积不断减小. 因此，采用有效承载面积作为钢筋的疲劳损伤参数表征疲劳损伤过程.

1）非预应力筋的疲劳损伤参数. 部分预应力混凝土梁的疲劳破坏一般由非预应力筋的疲劳断裂引起，非预应力筋的损伤可以通过连续损伤力学表示，钢筋疲劳损伤和累积残余应变的关系^[20]为

(12) ${D_{\rm{s}}}(N) = \frac{{{\varepsilon _{\rm{sr}}}(N) - {\varepsilon _{{\rm{sr}}0}}}}{{{\varepsilon _{\rm{sr}}}({N_{\rm{sf}}}) - {\varepsilon _{{\rm{sr}}0}}}}\left[1 - \frac{{{A_{\rm{s}}}({N_{\rm{sf}}})}}{{{A_{\rm{s0}}}}}\right].$

式中：D_s（N）为在疲劳循坏N次后非预应力筋的疲劳损伤，ε_sr（N）为在疲劳循环N次后非预应力筋的累积残余应变^[21]，ε_sr0为在疲劳加载初始时刻非预应力筋的累积残余应变，A_s（N_sf）为在疲劳循环N_sf次后非预应力筋的有效承载面积，A_s0为非预应力筋初始面积，N_sf为非预应力筋的疲劳寿命.

(13) ${A_{\rm{s}}}(N) = {A_{\rm{s0}}}[1 - {D_{\rm{s}}}(N)].$

式中：A_s（N)为在疲劳循环N次后非预应力筋的有效承载面积.

联立式（12）、（13），可以得到

(14) ${A_{\rm{s}}}(N) = {A_{\rm{s0}}}\left[1 - \frac{{{\varepsilon _{\rm{sr}}}(N) - {\varepsilon _{{\rm{sr}}0}}}}{{{\varepsilon _{\rm{sr}}}({N_{\rm{sf}}}) - {\varepsilon _{{\rm{sr}}0}}}}\left(1 - \frac{{{A_{\rm{s}}}({N_{\rm{sf}}})}}{{{A_{\rm{s0}}}}}\right)\right].$

式中：

(15) ${\varepsilon _{\rm{sr}}}(N) = \Delta {\varepsilon _{\rm{s}}}[0.041\;5\lg\;(N - 1) + 0.057\;4].$

其中，∆ε_s为在首次疲劳加载下，从消压荷载加载至疲劳上限荷载过程中非预应力筋的应变增量.

2）预应力筋的疲劳损伤参数. 考虑到预应力筋距截面中性轴较近，承受的疲劳应力幅相对较小，仅当非预应力筋疲劳断裂，截面应力发生重分布并引起裂缝扩展爬升后，预应力筋的应力才会突增，因此，预应力筋一般不会先于非预应力筋发生疲劳断裂. 根据Miner线性累积损伤准则可以得到

(16) ${D_{\rm{p}}}(N) = {D_{\rm{p}}}({N_{\rm{pf}}}){N / {{N_{\rm{pf}}}}},$

(17) ${D_{\rm{p}}}({N_{\rm{pf}}}) = 1 - {{{A_{\rm{p}}}({N_{\rm{pf}}})} / {{A_{\rm{p0}}}}},$

(18) ${A_{\rm{p}}}(N) = {A_{\rm{p0}}}\left[1 - \frac{N}{{{N_{\rm{pf}}}}}\left(1 - \frac{{{A_{\rm{p}}}({N_{\rm{pf}}})}}{{{A_{\rm{p0}}}}}\right)\right].$

式中：D_p（N）为在疲劳循坏N次后预应力筋的疲劳损伤，N_pf为预应力筋的疲劳寿命，A_p（N）为在疲劳循环N次后预应力筋的有效承载面积，A_p0为预应力筋初始面积.

非预应力筋和预应力筋的初始面积分别为A_s0、A_p0. 在不考虑非预应力与预应力筋间的应力重分布影响时，在分别经历N_sf、N_pf次循环加载后，两者的有效承载面积 $A_{\rm{s}}^{'}$（N_sf）、 $A_{\rm{p}}^{'}$（N_pf）所提供的承载力分别达到这2种钢筋在疲劳上限荷载作用下所承担的荷载，此时钢筋的有效承载面积处于临界值. 根据受力平衡条件，经历N_sf、N_pf次疲劳循环后的有效承载面积分别为

(19) $A_{\rm{s}}^{'}({N_{\rm{sf}}}) = {{{A_{\rm{s0}}}{\sigma _{\rm{s,max1}}}} / {{f_{\rm{y}}}}},$

(20) $A_{\rm{p}}^{'}({N_{\rm{pf}}}) = {A_{\rm{p0}}}{{{\sigma _{\rm{p,max1}}}} / {{f_{\rm{py}}}}}.$

式中：σ_{s, max1}、σ_{p, max1}分别为非预应力筋和预应力筋在首次疲劳循环下的最大应力；f_y、f_py分别为非预应力筋和预应力筋的屈服强度.

由于式（15）适用于疲劳过程的前2个阶段，将第2阶段末的非预应力筋有效承载面积作为破坏临界值，第2阶段末非预应力筋的累积损伤为76%^[22]. 同时，考虑非预应力筋和预应力筋间黏结性能的差异，在疲劳加载过程中2种钢筋间会发生应力重分布^[23]，且非预应力筋与RPC间的黏结性能较与普通混凝土更佳^[24]，因此，在RPC-NC叠合梁中，这种应力重分布现象会更加明显. 为此，在考虑应力重分布现象的情况下，2种钢筋经过N_sf、N_pf次循环加载后的有效承载面积表达式分别为

(21) ${A_{\rm{s}}}({N_{\rm{sf}}}) = 0.24\left[ {{A_{\rm{s0}}} - A_{\rm{s}}^{'}({N_{\rm{sf}}}){\eta _{\rm{s}}}} \right]{\rm{ + }}A_{\rm{s}}^{'}({N_{\rm{sf}}}){\eta _{\rm{s}}},$

(22) ${A_{\rm{p}}}({N_{\rm{pf}}}) = A_{\rm{p}}^{'}({N_{\rm{pf}}}){\eta _{\rm{p}}}.$

式中：η_s、η_p分别为考虑2种钢筋黏结性能差异后的应力重分布系数^[23].

(23) ${\eta _{\rm{s}}} = {{\left( {{A_{\rm{s0}}} + {A_{\rm{p0}}}} \right)} \Big/ {\left( {{A_{\rm{s0}}} + {A_{\rm{p0}}}\sqrt {{\xi _1}} } \right)}},$

(24) ${\eta _{\rm{p}}} = \sqrt {{\xi _1}} {{\left( {{A_{\rm{s0}}} + {A_{\rm{p0}}}} \right)}\Big / {\left( {{A_{\rm{s0}}} + {A_{\rm{p0}}}\sqrt {{\xi _1}} } \right)}},$

(25) ${\xi _1} = {{\xi {E_{\rm{p}}}{d_{\rm{s}}}} /(\mu }{E_{\rm{s}}}{d_{\rm{p}}}).$

式中：μ为RPC相对普通混凝土与非预应力筋间黏结性能的提高系数，μ=1.6^[24]；ξ为钢筋的相对黏结特性系数，ξ=0.4^[23]；E_p、E_s分别为预应力筋和非预应力筋的弹性模量；d_p、d_s分别为预应力筋和非预应力筋的直径.

进一步得到非预应力筋和预应力筋的疲劳破坏准则：

(26) ${A_{\rm{s}}}(N) \leqslant {A_{\rm{s}}}({N_{\rm{sf}}}),$

(27) ${A_{\rm{p}}}(N) \leqslant {A_{\rm{p}}}({N_{\rm{pf}}}).$

式中：N_sf、N_pf可以根据试验结果或根据普通钢筋及预应力筋疲劳强度公式计算得出^[25-26].

RPC-NC叠合梁在疲劳循环加载下发生非线性损伤，为了便于进行结构受力计算，有学者提出分段线性计算方法，即采用较少次数的虚拟疲劳循环代替实际情况中上百万次的疲劳循环，每一个虚拟循环代表ΔN个实际循环次数，在每一个虚拟循环内，结构的材料特性保持不变. 在分析过程中，ΔN取值越小计算精度越高，但是为了节省计算工作量，须给ΔN取合适的值. 当ΔN=10 000时，计算可以满足分析要求^[27]，ΔN取值和应力幅有关，和最大应力无关，在混凝土的疲劳非线性分析中，当应力幅不超过0.4倍极限承载力时，ΔN=180 000即可满足分析要求^[11].

混凝土梁的疲劳退化可以分为3个阶段，由于在第3阶段疲劳破坏发展较快，试验观测误差较大，现有材料性能退化模型大多能较好地描述疲劳退化的前2个阶段. 为了缩减计算工作量，ΔN在第2阶段的取值可以稍大一些^[28]. 在本研究中，第1、3阶段ΔN=10 000，第2阶段ΔN′=20 000.

在疲劳循环加载过程中，RPC-NC叠合梁截面满足平截面假定，且由于疲劳上限荷载小于极限承载力，压区混凝土的疲劳应力远小于混凝土的峰值应力，在疲劳加载过程中一般处于弹性阶段.

根据疲劳上限荷载M_max、下限荷载M_min与叠合梁开裂荷载M_cr之间的大小关系分为3种受力情况：1）M_cr>M_max；2）M_cr<M_min；3）M_min≤M_cr≤M_max.

1）M_cr>M_max. 在这种情况下受拉区RPC尚未开裂，截面仍处于弹性受力阶段，根据平截面假定和变形协调条件可以得到

(28) $\frac{{{\varepsilon _{\rm{c}}}}}{x} = \frac{{{\varepsilon _{\rm{s}}}}}{{{h_{\rm{s}}} - x}} = \frac{{{\varepsilon _{\rm{p}}} - {\varepsilon _{\rm{pe}}} - {\varepsilon _{\rm{pc}}}}}{{{h_{\rm{p}}} - x}} = \frac{{{\varepsilon _{\rm{R}}}}}{{h - x}}.$

式中：ε_pe为预应力筋的有效预应力对应的应变，ε_pc为预应力所引起的预应力筋位置处混凝土有效应变，ε_R为拉区RPC应变.

2）M_cr<M_min. 在这种情况下受拉区RPC已经开裂，叠合梁截面应力图如图1所示，为了简化计算，认为受拉区翼缘宽度和腹板等宽.

a. 当x≤ $h_{\rm{f}}^{'}$时，根据截面力和弯矩的平衡条件可得

(29) $\begin{split} & {E_{\rm{c}}(N){\varepsilon _{\rm{c}}}b_{\rm{f}}^{'}x} /2 - {A_{\rm{s}}}(N){E_{\rm{s}}}{\varepsilon _{\rm{s}}} - {A_{\rm{p}}}(N){E_{\rm{p}}}{\varepsilon _{\rm{p}}} - \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{T_{{\rm{R}}1}}(N) - {T_{{\rm{R}}2}}(N) = 0, \end{split}$

(30) $\begin{split} & M - {A_{\rm{p}}}(N){E_{\rm{p}}}{\varepsilon _{\rm{p}}}({h_{\rm{p}}} - {x / 3}) - {A_{\rm{s}}}(N){E_{\rm{s}}}{\varepsilon _{\rm{s}}}({h_{\rm{s}}} - {x / 3}) - \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;{T_{{\rm{R}}1}}(N){C_{{\rm{R}}1}}(N) - {T_{{\rm{R}}2}}(N){C_{{\rm{R}}2}}(N) = 0. \end{split}$

式中： $b_{\rm{f}}^{'}$为受压翼缘宽度， $h_{\rm{f}}^{'}$为受压翼缘高度.

b. 当x> $h_{\rm{f}}^{'}$时，根据截面中性轴是否进入RPC分2种情况分析：

① x≤h−h_R，根据截面力和弯矩的平衡条件可得

(31) $\begin{split} & {E_{\rm{c}}(N){\varepsilon _{\rm{c}}}b_{\rm{f}}^{'}x} /2 - {E_{\rm{c}}(N){\varepsilon _{\rm{c}}}{{(x - h_{\rm{f}}^{'})}^2}(b_{\rm{f}}^{'} - b)} /(2x) - \\ & \;\;\;{A_{\rm{s}}}(N){E_{\rm{s}}}{\varepsilon _{\rm{s}}} - {A_{\rm{p}}}(N){E_{\rm{p}}}{\varepsilon _{\rm{p}}} - {T_{{\rm{R}}1}}(N) - {T_{{\rm{R}}2}}(N) = 0, \end{split}$

(32) $\begin{split} & M - {A_{\rm{p}}}(N){E_{\rm{p}}}{\varepsilon _{\rm{p}}}({h_{\rm{p}}} - {x / 3}) - {A_{\rm{s}}}(N){E_{\rm{s}}}{\varepsilon _{\rm{s}}}({h_{\rm{s}}} - {x / 3}) -\\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;{T_{{\rm{R}}1}}(N){C_{{\rm{R}}1}}(N) - {T_{{\rm{R}}2}}(N){C_{{\rm{R}}2}}(N) -\\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;h_{\rm{f}}^{'}{E_{\rm{c}}(N){\varepsilon _{\rm{c}}}{{(x - h_{\rm{f}}^{'})}^2}(b_{\rm{f}}^{'} - b)} / (3x)= 0. \end{split}$

式中：b为腹板宽度，h_R为RPC高度.

在式（29）~（32）中，均有

(33) ${T_{{\rm{R}}1}}(N) = {b[{\varepsilon _{\rm{cr}}}{E_{\rm{R}}}(N) - {\sigma _{\rm{tu}}}]({h_{\rm{R}}\! - \!h + x{{{\varepsilon _{\rm{cr}}}} / {{\varepsilon _{\rm{c}}}}}\! + \!x)} / 2}, $

(34) ${T_{{\rm{R}}2}}(N) = b{h_{\rm{R}}{\sigma _{\rm{tu}}}},$

(35) $ {C_{{\rm{R1}}}}(N) = (4h - {h_{\rm{R}}} - 2x - x{\varepsilon _{{\rm{cr}}}}/{\varepsilon _{\rm{c}}})/3, $

(36) ${C_{{\rm{R}}2}}(N) = h - {x / 3} - {h_{\rm{R}}} /2.$

② x>h−h_R，根据截面力和弯矩的平衡条件可得

(37) $\begin{split} & { {{E}_{\rm{c}}}(N){{\varepsilon }_{\rm{c}}}b_{\rm{f}}^{'}x}/{2}\;-{{{E}_{\rm{c}}}(N){{\varepsilon }_{\rm{c}}}{{(x-h_{\rm{f}}^{'})}^{2}}(b_{\rm{f}}^{'}-b)}/({2}x)+ \\ & \quad{({{E}_{\rm{R}}}\!\!-\!\!{{E}_{\rm{\rm{c}}}}(N)){{(x\!\!-\!\!h\!+\!{{h}_{\rm{R}}})}^{2}}{{\varepsilon }_{\rm{\rm{c}}}}b}/({2}x)\!-\!{{A}_{\rm{s}}}(N){{E}_{\rm{s}}}{{\varepsilon }_{\rm{s}}}- \\ & \quad {{A}_{\rm{p}}}(N){{E}_{\rm{p}}}{{\varepsilon }_{\rm{p}}}-T_{{\rm{R}}1}^{'}(N)-T_{{\rm{R}}2}^{'}(N)=0, \end{split}$

(38) $ \begin{split} M-&{{A}_{\rm{p}}}(N){{E}_{\rm{p}}}{{\varepsilon }_{\rm{p}}}({{h}_{\rm{p}}}\!\!-\!\!{x}/{3}\;)\!\!-\!\!{{A}_{\rm{s}}}(N){{E}_{\rm{s}}}{{\varepsilon }_{\rm{s}}}({{h}_{\rm{s}}}\!\!-\!\!{x}/{3}\;)- \\ & T_{\rm{R1}}^{'}(N)C_{\rm{R1}}^{'}(N)-T_{\rm{R2}}^{'}(N)C_{\rm{R2}}^{'}(N)- \\ & { {{E}_{\rm{c}}}(N)h_{\rm{f}}^{'}{{\varepsilon }_{\rm{c}}}{{(x-h_{\rm{f}}^{'})}^{2}}(b_{\rm{f}}^{'}-b)}/({3}x)=0. \end{split} $

式中：

(39) $T_{{\rm{R}}1}^{'}(N) = {{{E_{\rm{R}}}(N)bx({\varepsilon _{\rm{cr}}})^2} /( 2}{\varepsilon _{\rm{c}}}),$

(40) $T_{{\rm{R}}2}^{'}(N) = {\sigma _{\rm{tu}}}(h - x - {{x{\varepsilon _{\rm{cr}}}} / {{\varepsilon _{\rm{c}}}}})b,$

(41) $C_{{\rm{R}}1}^{'}(N) = h - {x / 3} - x{{{\varepsilon _{\rm{cr}}}} / ({3{\varepsilon _{\rm{c}}}}}),$

(42) $C_{{\rm{R}}2}^{'}(N) = {{(3h + x + 3x{{{\varepsilon _{\rm{cr}}}} / {{\varepsilon _{\rm{c}}}}})} / 6}.$

分别联立求解上述各组公式，即可得到叠合梁受压区高度，进一步代入式（28），可以得到非预应力筋和预应力筋的应变. 对第3）种情况，在下限荷载M_min作用下，钢筋和混凝土的应变根据式（28）计算，在上限荷载M_max作用下，钢筋和混凝土的应变按式（28）～（42）计算.

部分预应力RPC-NC叠合梁正截面疲劳全过程分析流程图如图2所示.

为了验证提出的RPC-NC叠合梁疲劳全过程分析方法的准确性，以铁路桥梁中32 m 的T型梁为原型设计了3根完全相同的部分预应力RPC-NC叠合梁，叠合梁下部采用RPC，高度h_R=360 mm，弹性模量E_Rc=42.1 GPa，立方体抗压强度f_Rc=132.2 MPa，抗拉强度f_Rt=15.4 MPa，上部采用C50混凝土，弹性模量E_c=35.8 GPa，立方体抗压强度f_c=60.5 MPa. 配有2根直径为20 mm和1根直径为16 mm的纵向钢筋，非预应力筋和箍筋采用HRB335级钢筋，f_y=449 MPa，钢筋极限强度f_u=578 MPa；预应力筋采用3根1 860级7股钢绞线，f_py=1 860 MPa. 1根梁进行静载试验；另外2根梁进行等幅疲劳试验，分别为梁F1、梁F2. 疲劳加载时的下限荷载M_min=0.16M_u，上限荷载分别为M_max=0.28M_u和M_max=0.39M_u，M_u为叠合梁抗弯极限承载力；疲劳加载频率为3 Hz，经过240万次疲劳循环加载后叠合梁未发生破坏，则进行静载压坏，疲劳加载装置图如图3所示.

2根试验梁均承受超过240万次的等幅疲劳循环荷载，在疲劳加载过程中，每隔一定循环次数对钢筋和混凝土的应变进行测量；随后进行静载破坏试验，测得试验梁F1、F2的剩余抗弯承载力分别为600、488 kN·m. 按照2.2节中的叠合梁疲劳全过程分析方法进行计算，此外作为对比，同时进行不考虑RPC抗拉强度的叠合梁疲劳全过程计算. 叠合梁F1和F2的受压区普通混凝土最大疲劳应变ε_c，max及非预应力筋最大疲劳应力σ_s，max的计算值与试验值的对比如图4～7所示. 可以看出，在考虑RPC抗拉强度的情况下，受压区混凝土最大疲劳应变随循环次数的变化趋势与试验结果基本一致，计算值略大于试验值，其中，梁F1的相对误差不超过6%，梁F2的相对误差不超过12%. 非预应力筋最大疲劳应力的计算结果和试验结果也较符合，在疲劳加载初期计算值略小于试验值，之后稍大于试验值，其中，梁F1的相对误差不超过11%，梁F2的相对误差不超过13%. 在不考虑RPC抗拉强度的情况下，受压区混凝土最大疲劳应变和非预应力筋最大疲劳应力计算值的变化趋势与试验值也较相似，但计算值均明显大于试验值. 其中，梁F1中非预应力筋最大疲劳应力的相对误差为53%，梁F2中受压区混凝土最大疲劳应变的相对误差为21%.

在考虑RPC抗拉强度时，梁F1的剩余抗弯承载力计算值为516 kN·m；在不考虑RPC抗拉强度时，其剩余抗弯承载力计算值为392 kN·m；两者与试验结果的相对误差分别为14.0%、34.7%. 在考虑RPC抗拉强度时，梁F2的剩余抗弯承载力计算值为464 kN·m；在不考虑RPC抗拉强度时，其剩余抗弯承载力计算值为387 kN·m；两者与试验结果的相对误差分别为4.9%、20.7%. 基于以上对比结果认为：1）应用所提出的计算方法，可以对RPC-NC叠合梁疲劳过程中的疲劳参数、疲劳剩余承载力和疲劳寿命进行有效计算，且计算结果和试验结果吻合较好；2）在RPC-NC叠合梁中，RPC的抗拉承载能力对于分担叠合梁中非预应力筋的疲劳应力起到了较明显的作用，若不计RPC的抗拉贡献，非预应力筋疲劳应力的计算结果明显偏大，叠合梁的剩余抗弯承载力计算值明显偏低.

（1）在考虑RPC抗拉强度的基础上，将疲劳变形模量和有效承载面积分别作为普通混凝土、RPC和钢筋的疲劳损伤参数，提出适用于RPC-NC叠合梁的分段线性方法来描述实际的疲劳非线性损伤过程；

（2）通过2根部分预应力RPC-NC叠合梁的疲劳试验验证了所提出的疲劳全过程计算方法的可靠性，可以使用该方法计算RPC-NC叠合梁疲劳退化过程中的各项参数，并据此计算疲劳剩余承载力；

（3）通过计算结果和试验结果对比可知，在考虑RPC抗拉强度的情况下，可以较为准确地描述预应力RPC-NC叠合梁的疲劳退化过程. 同时考虑到耐久性的要求，在实际应用中当环境条件允许时，在对RPC-NC叠合梁以及其他受拉区材料具有较好抗拉疲劳性能的梁进行疲劳分析时，不应忽略受拉区材料的抗拉强度.

（4）提出的RPC变形模量的疲劳退化表达式是基于文中所用RPC材料，随着今后对这类钢纤维高性能混凝土在受拉疲劳荷载作用下的损伤过程研究的逐渐全面和深入，本研究中的分析方法能够为RPC-NC叠合梁及其他受拉区材料具有较好抗拉疲劳性能的梁的设计起到一定的参考作用.