桥梁结构在服役过程中受到疲劳荷载作用，结构内部出现疲劳损伤并不断发展，严重危害其正常使用和安全性能^[1-3]. 目前，利用传统方法对桥梁结构疲劳性能进行试验研究和理论分析，主要是从挠度^[4-5]、刚度^[5-7]、应变^[8]等静力特性展开，取得了一些成果. 但这些方法切入点较单一，对于桥梁结构疲劳损伤的发展过程和破坏机理至今未有准确定论，难以满足现今快速发展的高速铁路和重载铁路的建设需要，因此亟需采用新的手段对疲劳问题展开研究.

近年来，基于动力特性的梁结构损伤识别和监测方法应用越来越广. 梁结构的刚度等物理特性会随着疲劳损伤的累积发展发生变化，而这种改变又会进一步对模态频率等动力特性产生影响. 因此，有必要对基于动力特性的疲劳全过程演化规律进行更深入的研究^[9]. 近几年来，部分学者在此方面进行过探索性研究. Hamed等^[10]通过数值算例研究裂缝等损伤对预应力梁固有频率的影响，结果表明大的裂缝损伤会导致固有频率急剧减少；曹晖等^[11]通过对预应力混凝土（prestressed concrete，PC）梁的单调加载与动测分析，发现随着损伤的加重，梁的第1阶频率逐渐减小. 上述研究均表明梁结构损伤与动力特性具有一定的相关性，但都没有考虑疲劳作用损伤特征对动力特性的影响. Sangkeun等^[12]首先将动力测试与疲劳试验相结合，测量得到疲劳试验前后聚合物混凝土梁的动态刚度变化. 综上研究，尚未见针对疲劳作用下梁结构刚度退化对模态频率影响的深入的试验研究.

疲劳试验往往费时费力，所需设备昂贵且易受场地条件限制，因此，越来越多的学者利用有限元软件来对疲劳损伤全过程进行模拟研究. 传统的疲劳全过程有限元分析通过建立钢筋和混凝土的疲劳本构模型，模拟得到模型在疲劳过程中挠度、应力等的变化情况^{[4, 13]}，而未能对后处理模型进行模态分析，也不能得到疲劳全过程的动力特性参数. 因此，亟需对疲劳全过程动力特性有限元分析方法进行针对性研究.

本研究提出将疲劳试验与动力测试相结合的研究思路，针对疲劳刚度退化对梁结构模态频率的影响机制进行研究. 以预应力混凝土缩尺模型梁为对象，在疲劳试验过程中结合动力测试，以期得到疲劳全过程模态频率的变化规律；通过建立疲劳全过程变刚度有限元修正模型，对修正的分阶段有限元模型进行模态分析，提出疲劳全过程动力特性有限元分析方法；通过对试验和有限元分析结果进行比较，探究预应力混凝土梁疲劳刚度退化和模态频率之间的变化规律，为桥梁结构疲劳性能研究提供新思路.

选取32 m普通高度标准铁路桥梁预应力混凝土简支T梁为原型梁，根据相似理论，制作原型梁的1∶6缩尺模型作为模型试验梁^[14]. 设计参数如表1所示，模型梁尺寸如图1所示. 表中，L为梁全长，L₀为计算跨度，h为梁高，b为腹板宽，f_ptk为钢绞线极限强度标准值. 前期研究制作模型梁共3根，其中1根梁（No.4）用于静载试验，以确定疲劳试验所需的静力极限荷载P_u；另外2根（No.2、No.5）用于等幅疲劳试验. 在试验前，3根梁均存放1 a以减少混凝土收缩徐变对试验结果的影响.

混凝土配合比(质量比)为水泥∶水∶石∶砂∶减水剂=460∶118∶1 092∶735∶4.2. 水泥选用P·II42.5R级硅酸盐水泥；粗骨料为石灰岩碎石，最大粒径不大于20 mm；细骨料为天然河砂；减水剂为高星RH-1聚羧酸高效减水剂；水为日常饮用水. 为每根梁预留混凝土试块，其力学性能测试与模型梁试验同时进行，在力学性能测试时混凝土试块龄期为浇筑后1 a. 混凝土试块的实测力学性能如表2所示. 表中，f_cu为立方体抗压强度，f_c为轴心抗压强度，E_c为弹性模量.

模型梁截面配筋如图1所示，由相似原理，模型梁与原型梁几何相似，要保证两者的配筋率相同，则钢筋面积必须相似. 纵筋采用HRB335级钢筋，直径为10 mm；按照铁路桥梁设计构造要求，布置HPB300级箍筋，直径为8 mm，在梁纯弯段内间距为100 mm，在其他区段内间距为50 mm. 钢筋的实测力学性能参数如表3所示. 表中，d为公称直径，f_y为屈服强度，f_u为极限强度.

预应力筋采用2束1×7钢绞线，公称直径为15.2 mm，采用抛物线型布置. 预应力筋采用两端张拉（单孔千斤顶单根钢绞线对拉，分2次完成），张拉控制应力σ_con=1 116 MPa，超张拉5%，在张拉时混凝土龄期均超过28 d. 模型梁实体模型如图2所示.

试验加载方式如图3所示，试验梁两端简支. 加载点与简支支座处均设置钢垫板，以防止发生混凝土局部破坏. 试验均在PMS-500数显式脉动试验机上进行. 疲劳试验采用等幅正弦波加载，加载频率为3.5 Hz. 试验主要参数如表4所示，疲劳荷载下限P_min=0.20P_u，疲劳荷载上限P_max分别取0.45P_u、0.50P_u， $\Delta {P}=P_{\rm max}-P_{\rm min}$，N_f为疲劳试验梁的疲劳寿命.

在试验梁支座、加载点、跨中等5处布有百分表，如图3所示，用以测量在疲劳过程中每次静载试验的荷载-挠度关系曲线. 为了测试试验梁在各个疲劳阶段的模态参数，须进行动测试验. 动测试验采用JZT型永磁激振器，放置在梁各阶理论模态振型幅度最大值处下方. 选取梁各阶理论频率上下10 Hz范围内进行扫频激振，利用DH5922动态信号采集分析仪及配套传感器进行加速度信号采集，传感器布置如图4所示. 将梁划分为10个等长单元，分别在11个单元节点上布置加速度传感器，采样频率为1 kHz，模态分析采用SSI法.

为了获取疲劳历程中梁的模态频率，需要进行动测试验，故在规范[15]的基础上，将修改后的等幅疲劳试验过程分为静载试验、动测试验和疲劳试验3个阶段. 1）对初始完好模型梁进行模态测试，采用激振法进行动测试验，采集加速度信号进行模态分析；2）按照静力单调加载试验的加载程序，进行分级加载至疲劳上限荷载，测量各级荷载下的应变、裂缝、挠度等及其发展情况；3）进行疲劳试验，在疲劳荷载循环至1、5、10万次等后停机（以此类推，直至模型梁接近破坏），分别如前所述进行1次动测试验和1次加载至疲劳上限荷载的静载试验.

静载试验梁No.4的静载破坏始于受拉钢筋屈服，随后跨中受压区混凝土被压溃，属于典型的弯曲破坏，如图5（a）所示. 试验所测得的极限承载力P_u=265 kN. 疲劳试验梁No.2、No.5的疲劳寿命如表4所示，疲劳破坏类型均为纯弯段内普通钢筋发生疲劳断裂，预应力筋没有出现断裂现象，如图5（b）所示.

在疲劳初期，跨中纯弯区段下部混凝土因受拉而开裂，出现细微的竖向裂缝，裂缝数量少而短，肉眼不易分辨，试验梁带缝工作，有效预应力在此阶段大幅下降. 在疲劳中期，跨中竖向裂缝缓慢变宽变长，裂缝数量缓慢增多，与此同时，在加载点下方附近区域有斜裂缝出现并不断发展，随着疲劳荷载的作用，裂缝不断一张一合地变化. 在此阶段裂缝宽度、长度和数量不断发展，直至贯穿整个T梁马蹄形区域，裂缝宽度约为0.6~0.8 mm. 裂缝附近的钢筋与混凝土也发生局部黏结滑移，不再保持协同工作. 在此过程中发生的预应力损失进一步加速混凝土裂缝的发展. 在疲劳末期，当达到某一临界时刻时，裂缝数量和宽度急剧扩展，出现明显的树枝状斜向裂缝，如图5（c）所示，普通钢筋突然断裂，试验梁挠度急剧增大，梁体疲劳破坏. 此时梁体仍具有承受疲劳荷载的能力，但施加在梁上的疲劳外荷载下降明显.

总的来看，在整个疲劳过程中，试验梁裂缝不断发展，预应力损失不断增大，钢筋和混凝土共同受力协同工作的状态逐渐被破坏，疲劳损伤不断累积发展，最终梁体因跨中区域普通钢筋突然断裂而破坏.

根据简支梁在外荷载作用下的挠曲线方程可得抗弯刚度表达式^[16]：

(1) $B{\rm{ = }}S{P/ f}.$

式中：B为梁的抗弯刚度；P为施加的外荷载；f为对应荷载下的挠度；S为常系数，与支撑条件、荷载作用位置和梁长有关. 对于本试验模型梁，跨中位置常系数S_m=3.044 6，左、右加载点处常系数S_l=S_r=2.847 4. 通过静载试验获得荷载-挠度数据，利用最小二乘法拟合成直线，斜率表达式为

(2) ${k{(n)}} ={{\sum\limits_{i = 1}^{14} {\left( {{f_i} - \bar f} \right)\left( {{P_i} - \bar P} \right)} }}{\Bigg/}{{\sum\limits_{i = 1}^{14} {{{\left( {{f_i} - \bar f} \right)}^2}} }}.$

式中：下标i表示第i级荷载，共14级；k (n)为在疲劳n万次后静载的荷载-挠度曲线斜率； $\bar {{f}} $、 $\bar {{P}}$分别为荷载-挠度曲线上f、P的平均值. 跨中位置、左、右加载点处的疲劳抗弯刚度表达式分别为

(3) $\left.\begin{array}{l} {B_{\rm{m}}}\left( n \right){\rm{ = }}3.044\;6{k{(n)}}, \\ {B_{\rm{l}}}\left( n \right){\rm{ = }}{B_{\rm{r}}}\left( n \right){\rm{ = }}2.847\;4{k{(n)}}. \end{array}\right\} $

由试验现象可以发现，试验梁裂缝最早出现在跨中纯弯区段，而后在疲劳作用下其分布范围逐渐由跨中向两端扩大. 裂缝的产生直接导致梁刚度降低，假设在疲劳历程中梁端支座处刚度不随疲劳作用而改变，则通过试验挠度数据处理得到如图6所示的疲劳历程下抗弯刚度分布曲线图.由图6可知，对于初始完好梁，可近似认为沿梁长度方向刚度为定值. 在疲劳历程中，试验梁刚度逐渐降低，其中跨中位置刚度降低幅度最大，刚度从跨中往梁两端方向逐渐增大，呈现凹抛物线型. 说明结构疲劳损伤主要集中在跨中区域，越趋近于跨中，损伤程度越重，往两侧支座处则发展缓慢，与疲劳裂缝的分布规律相似. 此时的试验梁不再为轴向常刚度梁，而应视作轴向变刚度梁. 在此情况下，在疲劳理论计算及有限元模拟研究中，采用常刚度梁体系进行分析显然不合理.

定义疲劳作用下梁的剩余刚度比表达式为

(4) $\varphi (n) = {{B(n)}/ {{B_0}}}.$

式中：B₀为梁的初始抗弯刚度；B（n）为疲劳n万次后的抗弯刚度.

2根梁跨中疲劳抗弯刚度退化曲线如图7所示. 由图7结合试验现象，可以看出，在疲劳试验过程中，疲劳应力幅不同的2根试验梁疲劳抗弯刚度均不断衰退，并且其衰退速率呈现“快-慢-快”三阶段的变化规律. 在疲劳初期，梁抗弯刚度有较大幅度的下降，退化率可达15%~25%，疲劳初期约占其寿命期的10%；在疲劳中期，疲劳刚度呈现较稳定的线性稳定退化，此阶段占疲劳寿命期的绝大部分，最高可达其寿命期的约80%；在疲劳寿命期末段，梁的疲劳刚度退化迅速且历时短暂，此阶段约占整个疲劳过程的5%~10%.

对比2根梁刚度退化曲线可以看出，疲劳应力幅越大，刚度退化越明显. 在疲劳前期，应力幅较大的梁No.2表现出更大的刚度衰减速率；在进入疲劳中期后，刚度退化率接近25%，而应力幅较小的梁No.5在疲劳中期的刚度退化率约为15%；在达到疲劳寿命后，2根梁的刚度比终值基本相同，即在疲劳破坏后梁体剩余刚度比均约为55%～60%. 这一演化规律与众学者^{[5, 17-18]}进行的疲劳刚度退化规律研究结果基本一致.

根据所提出的方法对2根梁进行动力试验. 需要注意的是，激振点的选择应避开每一阶振型的结点附近；应选择振幅较大处进行激振，以最大限度地激发预应力梁的各阶模态，获得较高的信噪比；不应在加速度传感器附近激振，以防信号过大超过传感器量程. 因此，对于第1、3阶模态，激振点选在跨中位置并避开传感器正下方位置；对于第2阶模态，激振点选在梁长1/4处. 以梁No.5疲劳试验前的模态测试为例，在跨中位置附近对梁进行激振并采集各传感器的加速度信号. 利用SSI法进行模态分析得到其第1、3阶频率分别为24.803、141.294 Hz. 按照如此步骤，通过模态分析得到2根梁在疲劳历程中的频率汇总如表5所示.

参照式（4），定义疲劳作用下频率退化比表达式为

(5) $\gamma (n) = {{w(n)}/ {{w_0}}}.$

式中：ω₀为完好梁的初始频率；ω (n)为疲劳n万次后梁的频率. 得到疲劳历程中前3阶实测频率的频率退化比如表5所示. 表中，w_f为模拟频率，w_e为实测频率，δ为偏差，γ_f为模拟频率退化比，γ_e为实测频率退化比. 绘制频率演变曲线如图8所示.

模型梁尺寸、材料力学性能、有效预应力等存在差异，因此试验得到的模态频率并不完全相同. 由表5和图8可知，随着疲劳次数的增加，预应力混凝土梁的前3阶频率均有所下降. 在加载开始时，模态频率即出现较显著的下降；在进入疲劳中期后，频率下降速率变缓，逐渐降低，有波动但基本保持稳定；在达到疲劳寿命时，出现幅度较小的降低，最终梁No.2前3阶频率降低幅度分别为19.5%、15.8%、9.0%，梁No.5前3阶频率降低幅度分别为19.4%、13.6%、7.4%. 由此可见，在疲劳作用下，第1、2、3阶频率的降低幅度依次减小.

由图8还可以看出，预应力混凝土模态频率的退化过程存在类似疲劳刚度退化的三阶段规律. 在疲劳初期，模态频率降幅较大，是因为在加载刚开始时，混凝土裂缝的开展，以及有效预应力损失较大，使试验梁刚度有较大幅度的降低，从而使梁模态频率呈现出迅速减小的特点. 在进入疲劳中期后，裂缝缓慢伸延、扩展，有效预应力损失速率减小并趋于稳定，钢筋和混凝土间出现局部黏结滑移破坏，梁刚度呈近似线性的发展状态，模态频率近似呈线性减小，相对发展较稳定. 在疲劳末期，混凝土裂缝再次急剧扩展并出现树枝状裂缝，此时梁体刚度再次降低，故频率再次下降. 由此可见，试验梁疲劳刚度与模态频率退化存在着一定映射关系.

根据试验研究结果可知，在疲劳过程中材料性能退化，构件内部出现损伤并不断发展，使梁的抗弯刚度退化，而梁的疲劳抗弯刚度与模态频率退化之间存在着一定的映射关系，从而影响梁结构的模态频率. 若将疲劳抗弯刚度变化视作损伤演变的外在反映，通过建立随疲劳历程变化的疲劳变刚度计算模型，对基准有限元模型进行修正，并对修正的分阶段有限元模型进行模态分析，以探究预应力混凝土梁宏观损伤演变和动力特性间的变化规律，从而对疲劳全过程动力特性进行有限元分析.

基于ABAQUS软件采用分离式模型进行基准有限元建模. 分别对钢筋和混凝土进行建模，混凝土选取C3DR8单元，钢筋、预应力筋选取T3D2单元，并赋予其材料和界面属性，最后通过Embedded方式将钢筋和混凝土结合为整体. 这样可以分别对钢筋和混凝土性能进行分析处理，方便独立考察钢筋和混凝土对整体结构的贡献，是较为精细化的建模方式.

模型梁尺寸、钢筋与混凝土材料基本力学性能、尺寸设置均与试验梁概况一致. 如表6所示为材料基本参数. 表中，E为弹性模量，ν为泊松比，ρ为密度. 建立的混凝土实体模型及钢筋网模型如图9所示. 设计试验梁的边界条件为简支边界，考虑到试验梁的实际情况，在梁两端支座处采用接触面的形式施加简支边界条件，在两端支座处分割出宽为30 mm的接触面，一边约束x，y，z 3个方向的平动，一边约束y方向的平动，并约束梁整体的横向侧移. 由于模型较为规整方正，选用六面体单元对模型进行网格划分，综合考虑计算的精确度和运算量，设置全局种子为30. 在进行模态分析时，必须定义材料的密度和弹性模量，同时施加必要的位移约束来模拟实际的固定情况，且不允许有非零位移约束，在没有施加约束的方向上将计算刚体振型. 本例模态分析方法采用lanczos法，lanczos法基于兰索斯算法，具有精度高的特点；采用稀疏矩阵来替代完整的刚度和质量矩阵，计算速度较快；以计算达到数值真实误差限值为原则，属于正常终止，故该方法计算结果的可靠性和准确性均较强.

大量的试验研究和理论分析表明，预应力的施加能促使微裂缝闭合，延缓损伤发展，在一定程度上能增强结构刚度，进而影响结构的动力特性. 然而，在有限元分析过程中，利用常用的降温法、初始应力法、rebar施加初始应力法等模拟预应力的作用效应，都只对静力计算结果产生影响，模态分析结果并没有变化. 根本原因在于在有限元软件的模态分析中只有线性行为是有效的，任何非线性性质都将被忽略. 因此，在常规模态分析模块中，动力特性的计算结果只与结构的质量、弹性模量、阻尼等性质有关，预应力对结构刚度的贡献在模态分析模块中会被自动忽略^[19].

为了考虑预应力对结构动力特性的影响，拟对混凝土弹性模量进行修正，用考虑预应力影响后的等效弹性模量来代替混凝土实际弹性模量以表征预应力对抗弯刚度的贡献（假设截面惯性矩为定值），用放大系数A_q表示两者之间的换算关系^[20]：

(6) ${A_{\rm{q}}}{\rm{ = }}{{{E_{\rm{q}}}}/ {{E_{\rm{c}}}}}{\rm{ = }}a{x^{0.8}} + {b/ {\left( {cx + 1} \right)}} + 1.$

式中：A_q为考虑预应力影响后的抗弯刚度放大系数；E_q为建模等效弹性模量；E_c为混凝土实测弹性模量；a=−6.651 4×10⁻³，b=7.752 9×10⁻³，c=2.409 1×10⁻³；

$\left.\begin{gathered} x = {c_3}{x_1}, \;{x_1} = {N/ {\left( {A{f_{{\rm{ck}}}}} \right)}}, \qquad\qquad\quad\;\; \\ {c_3}{\rm{ = 1}}{{\rm{0}}^{{c_1} + {c_2}}}, \;{c_1} = {{{L_0}}/ {\left( {10h} \right)}}, \;{c_2} = {{3e}/ h}. \end{gathered}\right\}$

其中，N为预应力，A为梁横截面面积，f_ck为混凝土立方体抗压强度标准值，e为偏心距.

关于疲劳过程中预应力损失的大小，通常认为预应力损失主要发生在初始阶段，之后预应力损失速度减缓并趋于稳定^[21-22]. 根据此特点，对雷兵^[23]的研究成果进行改进，保守考虑预应力损失在疲劳全过程中约占初始预应力的20%，提出预应力损失计算公式：

(7) ${\sigma _{{\rm{con}}}}\left( n \right){\rm{ = }}{\sigma _{{\rm{con}}}}\left( {1 - \frac{{0.2\lg \;\left( {n + 1} \right)}}{{\lg \;\left( {{N_{\rm{f}}} + 1} \right)}}} \right).$

式中：σ_con（n）为疲劳n万次后的预应力. 则2根梁有效预应力变化趋势如图10所示.

由试验得到的疲劳抗弯刚度分布曲线可知，在疲劳历程中，梁沿轴向方向的抗弯刚度并非恒量. 在该种情况下，对模型梁而言，采用常刚度梁体系来进行计算显然不合理，往往会导致其模态分析结果与实际工程测量结果存在较大差异. 因此，必须考虑实际变化情况，采用变刚度的发展模式对模型梁进行适当调整与修正，以分析疲劳作用下梁动力特性的变化.

因此，假设如下：1）将梁简化为沿轴向一维线刚度模型，不考虑疲劳损伤沿截面高度的分布变化；2）梁的损伤通过抗弯刚度降低来表示，不考虑疲劳过程中梁的质量改变和呼吸裂缝的影响，在疲劳全过程中梁抗弯刚度呈单调下降的变化趋势；3）损伤的发生与发展不引起结构质量和边界条件的改变，也不影响梁的宏观受力模式及其响应.

当疲劳次数为n万次时，用B（x，n/N_f）表示疲劳历程下梁的抗弯刚度，可见疲劳抗弯刚度B随位置x和疲劳次数n变化. 依据试验结果，对其分布规律进行以下假设：1）对于还未施加疲劳作用的原始无损梁，B₀为一常量，不随位置的变化而改变；2）在任意疲劳次数下，梁疲劳刚度分布规律与梁的支撑方式和荷载作用位置有关. 对于本例的对称梁结构，以及梁上对称加载的情况，疲劳刚度变化规律呈以跨中为对称轴的对称分布. 长度为l的梁，假设支座处为梁轴向坐标原点，则有B（x，n/N_f）=B（l−x，n/N_f）. 特殊地，梁端刚度B（0, n/N_f）=B（l，n/N_f）=B₀.

通过试验现象及相关研究可知，在疲劳初期，梁抗弯刚度有较大幅度的下降，该阶段预应力梁疲劳损伤应主要从混凝土疲劳刚度损伤和有效预应力损失来考虑；疲劳中期是预应力梁疲劳全过程的主体阶段，损伤处于稳定而缓慢的发展状态，约占整个疲劳过程的70%~80%，该阶段主要是混凝土疲劳刚度损伤，同时考虑部分有效预应力损失和钢筋混凝土局部黏结滑移；在疲劳末期，梁抗弯刚度再次出现明显下降，钢筋与混凝土间变形协调不再保持一致，出现局部黏结滑移破坏，因此该阶段模拟内容主要是混凝土疲劳刚度损伤和黏结滑移，同时考虑部分有效预应力损失.

1）疲劳刚度损伤演变. 根据变刚度假设，计算拟合预应力混凝土梁No.2、No.5各自的全过程疲劳刚度退化，如表7所示. 表7仅给出跨中疲劳刚度. 在疲劳全过程中，试验梁疲劳刚度不断衰退，并呈现出三阶段的退化规律.

2）有效预应力损失. 按式（7）计算梁No.2、No.5在疲劳全过程的预应力损失，如表7所示. 表中，A_pσ_con（n）为疲劳n万次后有效预应力大小，其中A_p为预应力筋截面面积. 根据该计算结果，在疲劳初期的有效预应力损失约占整个疲劳过程总损失量的一半；疲劳中期和末期的有效预应力损失速率逐渐减缓并趋于稳定，不再是此阶段预应力梁性能退化的主要原因.

3）钢筋与混凝土局部黏结滑移. 在混凝土开裂后，开裂处钢筋应力增大，处于应力集中状态，受力复杂. 钢筋与混凝土间变形协调不再保持一致，出现局部黏结滑移，使钢筋和混凝土的整体工作性能下降，受此影响预应力混凝土梁性能进一步退化. 在预应力梁有限元模型中，通过在钢筋和混凝土间重合的单元节点上设置弹簧单元的方法来模拟钢筋和混凝土间的黏结滑移状态.

在基准有限元模型的基础上，根据变刚度假设及梁疲劳抗弯刚度退化规律，考虑疲劳全过程主要损伤特征的变化情况，对模型梁抗弯刚度进行进一步修正和调整，用以分析疲劳全过程中梁宏观损伤演变对其动力特性的影响规律. 基本分析步骤如下：

1）将混凝土实体单元沿纵向平均分为若干区段，每一区段默认只存在单一刚度值，不同区段的刚度值各不相同. 分段数目越多，计算量越大，计算精度也越高. 综合考虑计算精度和计算量，将模型梁沿长度方向划分为25个区段，编号为j（j=1，2， $ \cdots $，25）；

2）根据疲劳抗弯刚度分布规律和退化规律，计算各区段梁抗弯刚度B_j（x，n/N_f）；

3）在步骤2）的基础上，根据式（4），考虑预应力对各区段梁抗弯刚度的贡献，并考虑不同疲劳次数下预应力的损失，得到修正后各区段梁的抗弯刚度B_j^*（x，n/N_f）；

4）根据修正后的抗弯刚度，对混凝土实体单元的每一区段赋予各自不同的材料和截面属性，对修正后的模型进行疲劳全过程模态分析.

由此，整个疲劳全过程动力特性有限元分析流程如图11所示.

根据所提出的疲劳全过程动力特性有限元分析方法，模拟分析得到有限元模拟值，并与试验值进行对比，如表5所示. 由表5可知，在疲劳作用下，预应力混凝土梁前3阶模态频率试验值和模拟值变化规律类似，均呈下降趋势. 在达到疲劳寿命时，梁No.2前3阶频率模拟值降低幅度分别为22.9%、22.2%、20.8%，梁No.5前3阶频率降低幅度分别为20.4%、18.1%、17.0%，第1、2、3阶频率的降低幅度依次减小，说明疲劳损伤演变对低阶频率的影响更为突出. 前3阶频率降低幅度相比于实测频率表现出较小的离散性，原因是试验梁在模型施工与试验环境中受到不可避免的干扰.

在计算偏差方面，第1阶频率平均偏差基本在10%以内，最大不超过13%，具有一定的精度；第2、3阶频率偏差稍大，绝大部分平均偏差在30%以内，梁No.5第2阶频率偏差在40%以内. 这是由于常用有限元法分析低阶自振频率时的精度高于分析高阶频率时的精度；其次，有限元软件在进行特征值计算时，未考虑剪切变形对模态频率的影响，而对于高跨比较大的梁结构而言，剪切变形对高阶频率的影响较大，往往不能忽略^[24]. 在实际工程中，在对大型桥梁结构进行模态识别时，往往只用到结构的第1阶模态，较少涉及高阶模态，因此提出的方法在第1阶频率范围内具有一定的准确性，满足工程需求.

根据式（5）定义的疲劳作用下频率退化比，基于通过有限元分析获得的第1阶模态频率，得到其疲劳全过程中频率退化曲线，如图12所示. 由图可知，在疲劳全过程中，预应力混凝土梁模态频率的退化过程存在类似疲劳刚度退化的三阶段规律. 同一根梁的各阶频率退化曲线离散性较小，不过仍可以看出第1阶频率的退化趋势最快，第2阶频率次之，第3阶频率退化趋势最慢.

对比不同疲劳应力幅的2根梁的各阶频率退化曲线可以看出，疲劳应力幅越大，各阶频率退化越明显. 在疲劳初期，应力幅较大的梁No.2表现出更大的频率衰减速率，并且各阶频率均有较大幅度的下降，其频率退化率接近13%，而应力幅较小的梁No.5在疲劳初期的频率退化率约为7%，此阶段约占其寿命期的10%；在疲劳中期，各阶频率呈现较稳定的线性稳定退化阶段，此阶段约占疲劳寿命期的80%；在疲劳寿命期末段，2根梁各阶频率退化均显示出迅速下降的特点，其中应力幅较大的梁No.2在此阶段的频率退化率达到15%，应力幅较小的梁No.5频率退化率达到6%，这一阶段占约整个疲劳过程的5%～10%. 以上结论都显示出与试验研究中模态频率和疲劳刚度相同的退化规律，再次证明梁结构疲劳刚度与模态频率退化之间的映射关系.

（1）基于疲劳试验和动力测试，研究预应力混凝土梁在疲劳全过程中模态频率的变化规律，结果表明由于疲劳作用，预应力混凝土梁疲劳刚度出现退化，其模态频率的演变过程也存在类似疲劳刚度退化的三阶段规律，表明疲劳刚度与模态频率退化之间存在映射关系.

（2）在疲劳过程中，由于预应力混凝土梁跨中区段与梁端刚度退化的不均匀性，梁轴向刚度分布不断变化，演化为轴向变刚度连续梁体系. 由此提出的变刚度假设在有限元模拟中运用良好.

（3）通过建立疲劳全过程变刚度有限元模型，根据疲劳全过程主要损伤特征演变进行模型修正，进而提出疲劳全过程动力特性有限元分析方法. 结果显示第1阶频率模拟值的偏差基本在10%以内，模拟效果良好.

（4）通过试验研究和疲劳全过程动力特性有限元分析均发现，在疲劳作用下，第1阶频率的下降幅度最大，第2阶频率次之，第3阶频率的下降幅度最小.

（5）提出的疲劳全过程动力特性有限元分析方法具有一定的可行性和有效性，为本领域接下来的研究工作奠定了基础.