机械臂在工业生产中的大规模应用，使其越来越受到工业界和学术界的重视. 机械臂的研究重点是轨迹追踪控制，即对期望轨迹的快速高精度追踪. 机械臂是带有时变参数的复杂非线性系统，并伴随摩擦外界扰动的存在，而传统单一的控制方法，如比例-积分-微分（proportion-integral-differential，PID）控制^[1]、自适应控制^[2]和鲁棒控制^[3]等，追踪性能有限，难以满足实际工业应用需求.

滑模控制将系统状态分为从初始值移向滑模面的趋近运动和在滑模面上收敛至平衡点的滑动运动2个阶段，通过控制量的切换使系统在参数变化和外部干扰的情况下仍然保持稳定，鲁棒性强，在非线性系统的运动控制中得到了广泛应用. 为了提高系统状态的趋近速度以及削弱滑模控制输出中常见的抖振问题，常采用趋近律设计方法，如等速趋近律、指数趋近律和幂次趋近律等^[4]. 姜立标等^[5]利用趋近律设计方法将滑模控制应用到智能车辆的轨迹跟踪中. 李慧洁等^[6]提出双幂次趋近律，使滑模及其一阶导数在有限时间收敛到稳态误差界. 终端滑模（terminal sliding mode surface，TSM）控制通过构建非线性滑模面，保证系统状态在有限时间内收敛到平衡点^[7]. 非奇异终端滑模（nonsingular terminal sliding model，NTSM）控制主要用于解决当系统状态趋于平衡态时控制量无限大的奇异问题^[8-9]. 李升波等^[10-11]提出非奇异快速终端滑模（nonsingular fast terminal sliding model，NFTSM）控制，解决NTSM中系统状态在远离平衡点时收敛速度慢的问题，使状态具有全局快速收敛性. 虽然滑模控制实现简单，鲁棒性强，但在实际的机械臂被控系统中，大量的模型不确定信息使仅使用滑模控制时的追踪效果有限.

在滑模控制中引入模糊系统的目的如下：1）通过模糊逻辑来调节控制器输出，削弱抖振^[12-14]. 这类控制器设计方案在一定程度上抑制了因滑模面切换导致的抖振问题，但没有摆脱对具体模型信息的依赖. 2）利用模糊系统的万能逼近特性对模型不确定性信息进行逼近. 对于多自由度机械臂系统来说，其模型信息中的不确定性包括由负载质量、连杆质心分布等造成的参数不确定性以及关节摩擦、外界干扰等因素造成的非参数不确定性. Yoo等^[15]利用模糊系统对机械臂模型中的摩擦以及建模误差等未知变量进行补偿. Tran^[16]利用神经网络对整个机械臂模型信息进行逼近，为模糊系统的进一步应用提供了新思路.

本研究提出带有自适应模糊系统的快速终端滑模控制方法. 该方法采用改进型双幂次趋近律和非奇异快速终端滑模面相结合的方式，提高系统状态收敛速度，并通过自适应模糊系统的万能逼近特性对机械臂系统中的模型信息和外部干扰进行逼近，摆脱对具体模型信息的依赖. 模糊自适应律由Lyapunov方法推导出，通过对模糊系统中权重系数的调整保证整个闭环系统的稳定性. 通过在Denso VP6242G机械臂平台上进行的仿真和实验，证明该控制方法能有效提高控制精度和误差收敛速度，抗干扰能力强，并且大大抑制控制器输出的抖振现象.

多自由度机械臂的动力学模型表达式为

(1) ${{M}}({{q}}){\ddot{ q}} + {{C}}({{q}},{\dot{ q}}){\dot{ q}} + {{G}}({{q}}) + {{{\tau }}_{\rm{d}}} = {{\tau }}.$

式中： ${{q}}$、 ${\dot{ q}}$、 ${\ddot{ q}} \in {\bf{R}}^n$ 分别为关节角位移、角速度和角加速度，均为系统状态向量； ${{M}}({{q}}) \in {\bf{R}}^{n \times n}$ 为惯性矩阵； ${{C}}({{q}},{\dot{ q}}) \in {\bf{R}}^{n \times n}$ 为离心力和哥式力矩阵； ${{G}}({{q}}) \in {\bf{R}}^n$ 为重力项矢量； ${{{\tau }}_{\rm{d}}} \in {\bf{R}}^n$ 来自系统扰动，包括关节误差和外界干扰； ${{\tau }} \in {\bf{R}}^n$ 为控制输入力矩.

该模型具有如下性质：1） ${{M}}({{q}})$ 是对称的正定矩阵；2） ${{M}}({{q}}) - 2{{C}}({{q}},{\dot{ q}})$ 是斜对称矩阵. 选取机械臂的期望轨迹 ${{{q}}_{\rm{d}}} \in {\bf{R}}^n$ 为二阶连续可微的函数，定义跟踪误差 ${{e}} = {{q}} - {{{q}}_{\rm{d}}}$. 控制器的设计目标为使 ${{e}}$ 在有限的时间内收敛至零.

所提出控制器的结构形式如图1所示，其设计分为3个部分：构建非奇异快速终端滑模面；根据改进型双幂次趋近律得到控制器的切换控制项；通过自适应模糊系统对模型信息和外部干扰进行逼近. 图中，s为非奇异快速终端滑模面，F为模糊系统输出.

对于向量 ${{x}} = [{x_1},{x_2},\cdots,{x_n}] \in {\bf{R}}^n$ 和常数y，定义如下等式：

(2) ${\rm{{diag}}}\;{{{x}}^y} = {\rm{{diag}}}\;\left[{x_1}^y,{x_2}^y,\cdots,{x_n}^y\right].$

非奇异快速终端滑模面设计为

(3) ${{s}} = {{e}} + {{{\alpha }}^{ - 1}}{\rm{{diag}}}\;(|{{e}}{|^{{r_1}}}){\rm{{sgn}}}\;({{e}}) + {{{\beta }}^{ - 1}}{\rm{{diag}}}\;(|{\dot{ e}}{|^{{r_2}}}){\rm{{sgn}}}\;({\dot{ e}}).$

式中： ${{\alpha }} = {\rm{{diag}}}\;\left[{\alpha _1},{\alpha_2},\cdots, {\alpha_i}, \cdots, {\alpha _n}\right]$； ${{ \beta }} = {\rm{{diag}}}\;\left[{\beta _1},\right. $ $\left.{\beta _2},\cdots\!, {\beta _i}, \cdots\!, {\beta _n}\right]$， ${\alpha _i}$、 $\;{\beta _i}$ 为正的控制器参数； ${r_1} \!\!=\!\! {{{m_1}}/{{n_1}}}$， ${r_2} = {{{{p_1}}/q}_1}$，m₁、n₁、p₁、q₁均为正奇数，并且满足 ${r_1} > {r_2}$， $1 < {r_2} < 2$.

在整个滑动阶段（ ${{s}} = {{0}}$），当系统状态远离平衡点时，即 ${\rm{|}}{e_i}{\rm{|}} > 1$时， ${{{\alpha }}^{ - 1}}|{{e}}{|^{{r_1}}}{\rm{{sgn}}}\;({{e}})$ 中 ${{e}}$ 的指数更大，起主要作用，此时 ${\dot{ e}} \approx - {({{\beta }}{{{\alpha }}^{ - 1}})^{{{\rm{1}}/{{r_2}}}}}{{{e}}^{{{{r_1}}/{{r_2}}}}}$， ${{e}}$ 的指数大于1，有效加快了状态变量的收敛速度；当系统状态接近平衡点时，即 ${\rm{|}}{e_i}{\rm{|}} \leqslant 1$ 时， $|{{e}}{|^{{r_1}}} \to {\bf{0}}$， ${\dot{ e}} \approx - {({{\beta e}})^{{{\rm{1}}/{{r_2}}}}}$， ${{e}}$ 的指数小于1，状态变量仍具有较大的收敛速度. 两部分共同保证状态的全局快速收敛性，同时通过保证 ${r_2} > 1$ 避免奇异问题.

对式（3）求导可得

(4) ${\dot{ s}} = {\dot{ e}} + {{{\alpha }}^{ - 1}}{r_1}{\rm{diag}}\;(|{{e}}{|^{{r_1} - 1}}){\dot{ e}} + {{{\beta }}^{ - 1}}{r_2}{\rm{diag}}\;(|{\dot{ e}}{|^{{r_2} - 1}}){\ddot{ e}}.$

由式（1）可知，追踪误差的二阶导数可表示为

(5) $\begin{split} {\ddot{ e}} =& {\ddot{ q}} - {{{\ddot{ q}}}_{\rm{d}}} + {{\tau }} - {{M}}({{q}}){\ddot{ q}} - {{C}}({{q}},{\dot{ q}}){\dot{ q}} - {{G}}({{q}}) - {{{\tau }}_{\rm{d}}}= \\ & {{\tau }} + ({{I}} - {{M}}({{q}})){\ddot{ q}} - {{C}}({{q}},{\dot{ q}}){\dot{ q}} - {{G}}({{q}}) - {{{\tau }}_{\rm{d}}} - {{{\ddot{ q}}}_{\rm{d}}} =\\ & {{\tau }} + {{f}}.\,\,\,\,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(5) \end{split} $

式中： ${{f}}$ 为取决于模型参数和外界干扰的非线性函数，I为单位矩阵.

将式（5）代入式（4），并且使 $\dot {{s}} = {\bf{0}}$ ，可以得到等效控制项：

(6) ${{{\tau }}_{{\rm{eq}}}} = - {{\beta }}{r_2}^{ - 1}{\rm{{diag}}}\;(|{\dot{ e}}{|^{2 - {r_2}}})({{I}} + {{{\alpha }}^{ - 1}}{r_1}{\rm{{diag}}}\;(|{{e}}{|^{{r_1} - 1}})){\rm{{sgn}}}\; ({\dot{ e}}).$

采用改进型的带有变系数的双幂次趋近律：

(7) ${\dot{ s}} = - [{{{\lambda }}_1}{\rm{{diag}}}\;(|{{s}}{|^{{c_1}}}){{ + }}{{{\lambda }}_2}{\rm{{diag}}}\;(|{{s}}{|^{{c_2}}})]({{I}} + 2||{{e}}||){\rm{{sgn}}}\; ({{s}}).$

式中： ${{{\lambda}} _1} = {\rm{diag}}\;\left[{\lambda _1}{_1},{\cdots},{\lambda_1}{_n}\right]$， ${{{\lambda}} _2} = {\rm{diag}}\;\left[{\lambda_2}{_1},{\cdots},{\lambda_2}{_n}\right]$, 对角线元素均为正， $ {\lambda _{1i}},{\lambda _{2i}}$ 为控制器参数； ${c_1} = {{{{m_2}}/n}_2}$， ${c_2} \!\!=\!\! $ $ {{{p_2}}/{{q_2}}},$ ${m_2}$、 ${n_2}$、 ${p_2}$、 ${q_2}$ 均为正奇数，并且满足 ${c_1} \!\!\!>\!\!\! 1$， $0 < {c_2} < 1$； $||{{e}}|| = {\rm{{diag}}}\;\left[\max \;(|{e_1}|,|{\dot e_1}|), \cdots, {\rm{max}}\;(|{e_n}|,|{\dot e_n}|)\right]$.

在趋近运动阶段，当系统状态远离滑模面（ $|{s_i}| \ge 1$）时， ${{{\lambda }}_1}{\rm{{diag}}}\;({\left| {{s}} \right|^{{c_1}}})({{I}} + 2||{{e}}||){\rm{{sgn}}}\; ({{s}})$ 能使状态以较大速度趋近于滑模面；当系统状态接近滑模（ $\left| {{s_i}} \right| < 1$）时， ${{{\lambda }}_2}{\rm{{diag}}}\;({\left| {{s}} \right|^{{c_2}}})({{I}} + 2||{{e}}||){\rm{{sgn}}}\; ({{s}})$ 依然能保证状态具有足够的趋近速度，两部分共同作用可以保证系统状态在整个趋近运动阶段的收敛速度. 此外，改进型双幂次趋近律中不存在不连续项，当系统状态接近滑模面时能保证较小的控制增益，从而有效削弱控制器输出抖振.

通过式（7）得到切换控制项：

(8) $\begin{split} {{{\tau }}_{{\rm{sw}}}} = & - {{\beta }}{r_2}^{ - 1}({{{k}}_1}{\rm{{diag}}}\;(|{{s}}{|^{{c_1}}}) + {{{k}}_2}{\rm{{diag}}}\;(|{{s}}{|^{{c_2}}})) \times \\ & ({{I}} + 2||{{e}}||){\rm{{sgn}}}\;({{s}}). \\ \end{split} $

式中： ${{{k}}_1} = {\rm{{diag}}}\;\left[{k_{11}},{k_{12}}, \cdots, {k_{1i}}, \cdots, {k_{1n}}\right]$， ${{{k}}_2} = {\rm{{diag}}}\;\left[{k_{21}},\right. $ $\left.{k_{22}}, \cdots, {k_{2i}}, \cdots, {k_{2n}}\right] $， ${k_{1i}},{k_{2i}}$ 为控制器参数； ${{{\lambda }}_1} = {{{k}}_1}\times $ ${\rm{{diag}}}\;\left(|{{e}}{|^{{r_1} - 1}}\right),{{{\lambda }}_2} = {{{k}}_2}{\rm{{diag}}}\;\left(|{{e}}{|^{{r_1} - 1}}\right)$.

模糊系统能够以任意精度逼近紧致集上的任意连续实函数^[17]. 使用模糊系统对机械臂的模型参数以及环境干扰进行逼近，补偿在控制器输出中. 完整的多输入多输出（multiple-input multiple-output，MIMO）模糊系统的If-Then规则具有以下形式：

(9) $\begin{split} &{\rm{If}}\;{x_1}\;{\rm{is}}\;A_1^l,{x_2}\;{\rm{is}}\;A_2^l, \cdots ,{x_n}\;{\rm{is}}\;A_n^l,{\rm{ }}\\ &{\rm{The}}n\;{y_1}\;{\rm{is}}\;B_1^l,{y_2}\;{\rm{is}}\;B_2^l, \cdots ,{y_m}\;{\rm{is}}\;B_m^l. \end{split}$

式中： ${{x}} = {\left[ {{x_1},{x_2}, \cdot \cdot \cdot ,{x_n}} \right]^{\rm{T}}} \in {{U}} \in {\bf{R}}^n$ 为输入状态向量； ${{y}} = {\left[ {{y_1},{y_2},\cdots,{y_m}} \right]^{\rm{T}}} \in {{V}} \in {\bf{R}}^m$ 为输出状态向量； $A_i^l$、 $B_j^l$ 分别为 ${U_i}$、 ${V_j}$ 上的模糊集合； $l = 1,2,\cdots,M$，其中M为模糊规则的总数.

采用单值模糊器、乘积推理机和中心平均解模糊器的MIMO模糊系统的输出具有以下形式：

(10) ${y_j} = \frac{{\displaystyle\sum\limits_{l = 1}^M {\left(\prod\nolimits_{i = 1}^n {{\mu _{A_i^l}}({x_i})} \right)\bar y_j^l} }}{{\displaystyle\sum\limits_{l = 1}^M {\left(\prod\nolimits_{i = 1}^n {{\mu _{A_i^l}}({x_i})} \right)} }};\quad{\rm{ }}j = 1,2, \cdots ,m.$

式中： $\;{\mu _{A_i^l}}({x_i})$、 $\;{\mu _{B_j^l}}({y_j})$ 分别为对应 $A_i^l$、 $B_j^l$ 的隶属度函数， $\bar y_j^l$ 为使 $\;{\mu _{B_j^l}}({y_j})$ 达到最大值的点.

为了增强系统的鲁棒性，将 $\bar y_j^l$ 改为根据系统状态在线调整的时变参数，因此式（10）可以被改写为

(11) ${y_j} = \sum\limits_{l = 1}^M {\bar y_j^l {\xi_l} ({{x}})} = {{{\theta }}_j}^{\rm{T}}{{\xi }}({{x}});\quad{\rm{ }}j = 1,2, \cdots ,m,$

(12) ${\xi _l}({{x}}) = \frac{{\displaystyle\prod\nolimits_{i = 1}^n {{\mu _{A_i^l}}({x_i})} }}{{\displaystyle\sum\limits_{l = 1}^M {\left(\prod\nolimits_{i = 1}^n {{\mu _{A_i^l}}({x_i})} \right)} }};\quad{\rm{ }}l = 1,2, \cdots ,M.$

式中： ${{{{\xi}} ^{\rm{T}}}({{x}}) = [\xi _1}({{x}}),{\xi _2}({{x}}), \cdots ,{\xi _M}({{x}})]$，相当于神经网络隐藏层中的非线性映射神经元； ${{{\theta }}_j}^{\rm{T}} \!\!=\!\! \left[ \bar y_j^1,\bar y_j^2, \cdots ,\bar y_j^M\right]$， 为可调节的权重系数向量. 整个MIMO模糊系统可以表示为

(13) ${{y}} = {{{\theta }}^{\rm{T}}}{{\xi }}({{x}}).$

式中： ${{{\theta }}^{\rm{T}}} \in {\bf{R}}^{m \times M}$， ${{{\theta }}_j}^{\rm{T}}$ 代表矩阵的第j行.

根据式（5），模糊系统需要逼近补偿的部分的表达式为

(14) ${{f}} = ({{{I}}_{n \times n}} - {{M}}({{q}})){\ddot{ q}} - {{C}}({{q}},{\dot{ q}}){\dot{ q}} - {{G}}({{q}}) - {{{\tau }}_{\rm{d}}} - {{\ddot{ q}}_{\rm{d}}}.$

令 ${{F}} \in {\bf{R}}^n$ 为模糊系统输出，其表达式为

(15) ${{F}}({{q}},{\dot{ q}},{\ddot{ q}}\left| {{\theta }} \right.) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{F}}{_1}({{q}},{\dot{ q}},{\ddot{ q}}{{\left| {{\theta }} \right.}_1})} \\ {{{F}}{_2}({{q}},{\dot{ q}},{\ddot{ q}}{{\left| {{\theta }} \right.}_2})} \\ \vdots \\ {{{F}}{_n}({{q}},{\dot{ q}},{\ddot{ q}}\left| {{{{\theta }}_n}} \right.)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\theta }}_1}^{\rm{T}}{{\xi }}({{q}},{\dot{ q}},{\ddot{ q}})} \\ {{{{\theta }}_2}^{\rm{T}}{{\xi }}({{q}},{\dot{ q}},{\ddot{ q}})} \\ \vdots \\ {{{{\theta }}_n}^{\rm{T}}{{\xi }}({{q}},{\dot{ q}},{\ddot{ q}})} \end{array}} \right].$

式中： ${{{\theta }}_i}$ 为模糊系统中第 $i$ 个映射的权重估计值.

对于自由度为 $n$ 的机器人，如果采用式（15）中的MIMO模糊系统 ${{F}}({{q}},{\dot{ q}},{\ddot{ q}}\left| {{\theta }} \right.)$ 来逼近 ${{f}}$，每个关节有 ${{q}}$、 ${\dot{ q}}$、 ${\ddot{ q}}$ 共3个输入变量，每个变量有 $k$ 个隶属度函数，则整个系统的规则总数为 ${k^{3n}}$. 受控制器的实时计算速度限制，须对式（14）中模糊系统所逼近部分的表达形式进行拆分. 考虑到外部干扰 ${{{\tau }}_{\rm{d}}}$ 主要与角度 ${{q}}$ 和角速度 ${\dot{ q}}$ 有关，将模型及外部干扰分成 ${{{f}}^1}$、 ${{{f}}^2}$这2个部分：

(16) $\left. {\begin{array}{*{20}{c}} & {{{f}}^1} = - {{C}}({{q}},{\dot{ q}}){\dot{ q}} - {{G}}({{q}}) - {{{\tau }}_{\rm{d}}}, \\ & {{{f}}^2} = ({{{I}}_{n \times n}} - {{M}}({{q}})){\ddot{ q}} - {{{\ddot{ q}}}_{\rm{d}}}. \end{array}} \right\}$

同理，将F拆分为F¹、F²，与之对应的权重系数向量θ更新为θ¹、θ²，非线性映射神经元 ${{\xi}}({{q}},{{\dot q}},{{\ddot q}}) $ 更新为 ${{{\xi}}_1}({{q}},{{\dot q}}) $， ${{{\xi}}_2}({{q}},{{\dot q}}) $，式（15）可以被改写为

(17) $\begin{gathered} {{F}}({{q}},{\dot{ q}},{\ddot{ q}}\left| {{\theta }} \right.) = {{F}}{^1}({{q}},{\dot{ q}}|{{{\theta }}^1}) + {{F}}{^2}({{q,\ddot q}}|{{{\theta }}^2}) = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} ({{\theta}}_1^1)^{{\rm{T}}} {{\xi}}_1({{q}},\dot {{q}}) + ({{\theta}}_1^2)^{{\rm{T}}} {{\xi}}_2({{q}},\dot {{q}}) \\ ({{{\theta }}{{_2^1)^{{\rm{T}}}}}{{{\xi }}_1}({{q}},{\dot{ q}}) + ({{\theta }}{{_2^2)^{{\rm{T}}}}}{{{\xi }}_2}({{q}},{\dot{ q}})} \\ \vdots \\ ({{{\theta }}{{_n^1)^{{\rm{T}}}}}{{{\xi }}_1}({{q}},{\dot{ q}}) + ({{\theta }}{{_n^2)^{{\rm{T}}}}}{{{\xi }}_2}({{q}},{\dot{ q}})} \end{array}} \right]. \\ \end{gathered} $

对于同样一个自由度为3的机械臂，当每个输入有5个隶属度函数时，采取如上的拆分后的模糊规则总数从 ${5^{3 \times 3}} = {\rm{1\;953\;125}}$ 下降到 $2 \times {5^{3 \times 2}} = {\rm{31\;250}}$，大大减小了计算量.

综上，本研究设计的控制器输入表达式为

(18) $\begin{aligned} {{\tau }} = & - {{\beta }}{r_2}^{ - 1}{\rm{{diag}}}\;(|{\dot{ e}}{|^{2 - {r_2}}})({{I}} + {{{\alpha }}^{ - 1}}{r_1}{\rm{{diag}}}\;(|{{e}}{|^{{r_1} - 1}})){\rm{{sgn}}}\;({\dot{ e}}) -\\ & {{\beta }}{r_2}^{ - 1}({{{k}}_1}{\rm{{diag}}}\;(|{{s}}{|^{{c_1}}}) + {{{k}}_2}{\rm{{diag}}}\;(|{{s}}{|^{{c_2}}})) ({{I}}+2||{{e}}||){\rm{{sgn}}}\;({{s}}) - \\ & {{F}}{^1} - {{F}}{^2}. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,\,\,\, (18) \end{aligned} $

自适应律表达式为

(19) $\left.{\begin{gathered} {\dot{ \theta }}_i^1 = {\gamma _{1i}}{s_i}{r_2}{\beta _i}^{ - 1}{\varPsi _i}{{{\xi }}_1} - {\gamma _{1i}}{\eta _{1i}}{\psi _i}{s_i}^2(1 + 2||{e_i}||){{\theta }}_i^1, \\ {\dot{ \theta }}_i^2 = {\gamma _{2i}}{s_i}{r_2}{\beta _i}^{ - 1}{\varPsi _i}{{{\xi }}_2} - {\gamma _{2i}}{\eta _{2i}}{\psi _i}{s_i}^2(1 + 2||{e_i}||){{\theta }}_i^2. \\ \end{gathered}} \right\}$

式中： ${\psi _i} = |{\dot e_i}{|^{{r_2} - 1}}$； $||{e_i}|| = {\rm{max}}\;(e_i,\dot e_i)$； ${\gamma _{1i}}$、 ${\eta _{1i}}$、 ${\gamma _{2i}}$、 ${\eta _{2i}}$ 均为正常数.

选取Lyapunov函数为

(20) $V = {{\left[{{{s}}^{\rm{T}}}{{s}} + \sum\limits_{i = 1}^n {(({\tilde{ \theta }}_i^1)^{{\rm{T}}}\gamma _{1i}^{ - 1}{\tilde{ \theta }}_i^1)} + \sum\limits_{i = 1}^n {(({\tilde{ \theta }}_i^2)^{{\rm{T}}}\gamma _{2i}^{ - 1}{\tilde{ \theta }}_i^2)}\right]}\Big/2}.$

式中： ${\tilde{ \theta }}_i^l = {{\theta }}_i^{l * } - {{\theta }}_i^l{\rm{ }}\;(l = 1,2)$ 为第 $i$ 个模糊映射权重向量的理想值 ${{\theta }}_i^{l* }$ 与估计值 ${{\theta }}_i^l$ 之间的误差， 并且因为 ${{f}}$ 有界， ${{\theta }}_i^{1 * }$、 ${{\theta }}_i^{2 * }$ 有界. 取 $\theta _{i\max }^1$、 $\theta _{i\max }^2$ 满足 $\theta _{i\max }^1 \geqslant ||{{\theta }}_i^{1 * }|{|_{\rm{F}}},{\rm{ }}\theta _{i\max }^2 \geqslant ||{{\theta }}_i^{2 * }|{|_{\rm{F}}}$.

将 $V$ 对时间 $t$ 求微分可得

(21) $\dot V = {{{s}}^{\rm{T}}}{\dot{ s}} - \sum\limits_{i = 1}^n ({{\tilde{ \theta }}_i^1)^{{\rm{T}}}\gamma _{1i}^{ - 1}{\dot{ \theta }}_i^1} - \sum\limits_{i = 1}^n ({{\tilde{ \theta }}_i^2)^{{\rm{T}}}\gamma _{2i}^{ - 1}{\dot{ \theta }}_i^2}. $

结合式（4）、（5）、（8）可得

(22) $\begin{split} \dot {{s}} =&{{\beta }}{r_2}^{ - 1}{\rm{{diag}}}\;(|{\dot{ e}}{|^{2 - {r_2}}})[{\tilde{ f}} - {{\beta }}{r_2}^{ - 1}({{{k}}_1}{\rm{{diag}}}\;(|{{s}}{|^{{c_1}}})+ \\ &{{{k}}_2}{\rm{{diag}}}\;(|{{s}}{|^{{c_2}}}))({{I}} + 2||{{e}}||){\rm{{sgn}}}\; ({{s}})]. \end{split} $

式中：

(23) ${\tilde{ f}}{\rm{ = }}{{f}} - {{F}}{^1} - {{F}}{^2}{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} ({{\tilde{ \theta }}{{_1^1)^{{\rm{T}}}}}{{{\xi }}_1}({{q}},{\dot{ q}}) + ({\tilde{ \theta }}{{_1^2)^{{\rm{T}}}}}{{{\xi }}_2}({{q}},{\ddot{ q}})} \\ ({{\tilde{ \theta }}{{_2^1)^{{\rm{T}}}}}{{{\xi }}_1}({{q}},{\dot{ q}}) + ({\tilde{ \theta }}{{_2^2)^{{\rm{T}}}}}{{{\xi }}_2}({{q}},{\ddot{ q}})} \\ \vdots \\ ({{\tilde{ \theta }}{{_n^1)^{{\rm{T}}}}}{{{\xi }}_1}({{q}},{\dot{ q}}) + ({\tilde{ \theta }}{{_n^2)^{{\rm{T}}}}}{{{\xi }}_2}({{q}},{\ddot{ q}})} \end{array}} \right].$

将式（22）代入式（21），可得

(24) $\begin{split} \dot V =& {{{s}}^{\rm{T}}}\{ {{{\beta }}^{ - 1}}{r_2}{\rm{{diag}}}\;(|{\dot{ e}}{|^{{r_2} - 1}})[{\tilde{ f}} - {{\beta }}{r_2}^{ - 1}({{{k}}_1}{\rm{{diag}}}\;({\rm{|}}{{s}}{{\rm{|}}^{{c_1}}}) + {{{k}}_2}{\rm{{diag}}}\;({\rm{|}}{{s}}{{\rm{|}}^{{c_2}}}))({{I}} + 2||{{e}}||){\rm{{sgn}}}\;({{s}})]\} - \sum\limits_{i = 1}^n ({{\tilde{ {\theta }}}_i^1)^{{\rm{T}}}\gamma _{1{\rm{i}}}^{ - 1}{\dot{ \theta }}_i^1} - \sum\limits_{i = 1}^n ({{\tilde{ {\theta }}}_i^2)^{{\rm{T}}}\gamma _{2i}^{ - 1}{\dot{ \theta }}_i^2}= \\ & \sum\limits_{i = 1}^n {{s_i}{r_2}{\beta _i}^{ - 1}{\psi _i}({\tilde{ {\theta }}}_i^1)^{{\rm{T}}}{{{\xi }}_1}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{s_i}{r_2}{\beta _i}^{ - 1}{\psi _i}({\tilde{ {\theta }}}_i^2)^{{\rm{T}}}{{{\xi }}_2}} - \sum\limits_{i = 1}^n {{s_i}{\psi _i}({k_{1i}}|{s_i}{|^{{c_1}}} + {k_{2i}}|{s_i}{|^{{c_2}}})(1 + 2||{e_i}||){{\rm{sgn}}}\;({s_i})}- \\ & \sum\limits_{i = 1}^n {{s_i}{\psi _i}{r_2}{\beta _i}^{ - 1}({\tilde{ {\theta }}}_i^1)^{{\rm{T}}}{{{\xi }}_1}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{\eta _{1i}}{\psi _i}{s_i}^2(1 + 2||{e_i}||)({\tilde{ {\theta }}}_i^1)^{{\rm{T}}}{{\theta }}_i^1} - \sum\limits_{i = 1}^n {{s_i}{\psi _i}{r_2}{\beta _i}^{ - 1}({\tilde{ {\theta }}}_i^2)^{{\rm{T}}}{{{\xi }}_2}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{\eta _{2i}}{\psi _i}{s_i}^2(1 + 2||{e_i}||)({\tilde{ {\theta }}}_i^2)^{{\rm{T}}}{{\theta }}_i^2}= \\ & \sum\limits_{i = 1}^n {{\psi _i}(1 + 2||{e_i}||)( - {k_{1i}}|{s_i}{|^{1 + {c_1}}} - {k_{2i}}|{s_i}{|^{1 + {c_2}}}} + {\eta _{1i}}{s_i}^2({\tilde{ {\theta }}}_i^1)^{{\rm{T}}}{{\theta }}_i^1 + {\eta _{2i}}{s_i}^2({\tilde{ {\theta }}}_i^2)^{{\rm{T}}}{{\theta }}_i^2). \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,(24) \end{split} $

由范数的性质 ${\rm{tr}}\;({{\tilde{ x}}^{\rm{T}}}({{x}} - {\tilde{ x}})) \leqslant {\left\| {{\tilde{ x}}} \right\|_{\rm{F}}}{\left\| {{x}} \right\|_{\rm{F}}} - {\left\| {{x}} \right\|_{\rm{F}}}^2$，可得

(25) $\begin{split} ({\tilde{ \theta }}_i^1)^{{\rm{T}}}{{\theta }}_i^1 &= {\rm{tr}}\;[({\tilde{ \theta }}_i^1)^{{\rm{T}}}({{\theta }}_i^{1*} - {\tilde{ \theta }}_i^1)]\leqslant ||{\tilde{ \theta }}_i^1|{|_{\rm{F}}}||{{\theta }}_i^{1*}|{|_{\rm{F}}} - ||{\tilde{ \theta }}_i^1|{|_{\rm{F}}}^2 \leqslant \\ & ||{\tilde{ \theta }}_i^1|{|_{\rm{F}}}\theta _{i\max }^1 - ||{\tilde{ \theta }}_i^1|{|_{\rm{F}}}^2 \leqslant - ||{\tilde{ \theta }}_i^1|{|_{\rm{F}}} - \theta _{i\max }^1/2{)^2} +\\ & (\theta _{i\max }^{1})^2/4 . \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,(25) \end{split}$

同理可得

(26) $({\tilde{ \theta }}_i^2)^{{\rm{T}}}{{\theta }}_i^2 \leqslant - {(||{\tilde{ \theta }}_i^2|{|_{\rm{F}}} - \theta _{i\max }^2/2)^2} + (\theta _{i\max }^{2})^2/4.$

将式（25）、（26）代入式（24）可得

(27) $\begin{split} \dot V \leqslant & \sum\limits_{i = 1}^n {{\psi _i}} (1 + 2||{e_i}||)( - {k_{1i}}|{s_i}{|^{1 + {c_1}}} - {k_{2i}}|{s_i}{|^{1 + {c_2}}}- \\ & \;\;\; {\eta _{1i}}{s_i}^2{(||{\tilde{ \theta }}_i^1|{|_{\rm{F}}} - \theta _{i\max }^1/2)^2} + {\eta _{1i}}{s_i}^2(\theta _{i\max }^{1})^2/4 -\\ & \;\;\; {\eta _{2i}}{s_i}^2{(||{\tilde{ \theta }}_i^2|{|_{\rm{F}}} - \theta _{i\max }^2/2)^2} + {\eta _{2i}}{s_i}^2(\theta _{i\max }^{2})^2/4). \end{split}$

当 $||{{\tilde \theta }}_i^1|{|_{\rm{F}}}|\geqslant \theta _{i\max }^1$ 且 $||{{\tilde \theta }}_i^2|{|_{\rm{F}}} \geqslant \theta _{i\max }^2$ 时， $\dot V \leqslant 0$，系统闭环稳定， $||{\tilde{ \theta }}_i^1|{|_{\rm{F}}}$ 收敛至 $\theta _{i\max }^1$， $||{\tilde{ \theta }}_i^2|{|_{\rm{F}}}$ 收敛至 $\theta _{i\max }^2$，进而得出 ${{\theta }}_i^1$ 、 ${{\theta }}_i^2$ 有界.

式（27）可以进一步简化为

(28) $\begin{split} &\dot V \leqslant - \sum\limits_{i = 1}^n {{\psi _i}(1 + 2||{e_i}||)( - {k_{1i}}|{s_i}{|^{1 + {c_1}}} - {k_{2i}}|{s_i}{|^{1 + {c_2}}}} - \\ &\quad {\eta _{1i}}{s_i}^2(\theta _{i\max }^{1})^2/4 - {\eta _{2i}}{s_i}^2(\theta _{i\max }^{2})^2/4). \end{split}$

对于 $n$ 个滑模面，假设其中 $p$ 个满足 $|{s_i}| \geqslant 1$， $q$ 个满足 $|{s_i}| < 1$， $p + q = n$. 当 $|{s_i}| \geqslant 1$ 时， $|{s_i}{|^{1 + {c_1}}} \geqslant s_i^2$，当 $|{s_i}| < 1$ 时， $|{s_i}{|^{1 + {c_2}}} > s_i^2$. 式（28）可以被改写为

(29) $\begin{split} &\dot V \leqslant - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^p {{\psi _i}(1 + 2||{e_i}||)s_i^2({k_{1i}} - {\eta _{1i}}(\theta _{i\max }^{1})^2/4}- \\ &\quad {\eta _{2i}}(\theta _{i\max }^{2})^2/4){\rm{ }} - \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^q {{\psi _j}(1 + 2||{e_j}||)s_j^2({k_{2j}}} -\\ &\quad {\eta _{1j}}(\theta _{j\max }^{1})^2/4 - {\eta _{2j}}(\theta _{j\max }^{2})^2/4). \end{split}$

综上，控制器参数的选取应满足

(30) $\left. \begin{split} \!\!\!{k_{1i}} \geqslant {\eta _{1i}}(\theta _{i\max }^{1})^2/4{\rm{ + }}{\eta _{2i}}(\theta _{i\max }^{2})^2/4;\;{\rm{ }}i = 1,2, \cdots ,p,\\ \!\!\!{k_{2j}} \geqslant {\eta _{2j}}(\theta _{j\max }^{1})^2/4{\rm{ + }}{\eta _{2j}}(\theta _{j\max }^{2})^2/4; \;{\rm{ }}j = 1,2, \cdots ,q. \end{split} \right\}$

可保证 $\dot V \leqslant 0$，系统闭环稳定.

选取 Lyapunov函数为

(31) ${V_{\rm{s}}} = {{{{{s}}^{\rm{T}}}{{s}}}/2}.$

对时间微分可得

(32) $\begin{split} {{\dot V}_{\rm{s}}} =& {{{s}}^{\rm{T}}}{{{\beta }}^{ - 1}}{r_2}{\rm{{diag}}}\;(|{\dot{ e}}{|^{{r_2} - 1}})[{\tilde{ f}} - {{\beta }}{r_2}^{ - 1}({{{k}}_1}{\rm{{diag}}}\;({\rm{|}}{{s}}{{\rm{|}}^{{c_1}}}) +\\ & {{{k}}_2}{\rm{{diag}}}\;({\rm{|}}{{s}}{{\rm{|}}^{{c_2}}}))({{I}} + 2||{{e}}||){\rm{{sgn}}}\;({{s}})]= \sum\limits_{i = 1}^n {s_i}{\psi _i}{r_2}{\beta _i}^{ - 1}{{\tilde f}_i} - \\ & ({k_{1i}}{\psi _i}|{s_i}{|^{1 + {c_1}}} + {k_{2i}}{\psi _i}|{s_i}{|^{1 + {c_2}}})\left( {1 + 2||{e_i}||} \right). \qquad\qquad\,\,\,(32) \end{split} $

令 ${d_i} = {r_2}{\beta _i}^{ - 1}{\tilde f_i}$，因为 $\tilde {{\theta}} _i^1$、 $\tilde {{\theta}} _i^2$ 有界， ${\tilde f_i}$ 有界. 假设 $|{d_i}| \leqslant {\delta _i}$，则

(33) $\begin{split} {{\dot V}_{\rm{s}}} \!\!=\!\!& \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n \!\!{{s_i}{\psi _i}{d_i} \!-\! ({k_{1i}}{\psi _i}|{s_i}{|^{1 + {c_1}}} \!\!+\!\! {k_{2i}}{\psi _i}|{s_i}{|^{1 + {c_2}}})\!\left( {1 \!\!+\!\! 2||{e_i}||} \right)} \!\! \leqslant \\ & - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\psi _i}{k_{2i}}|{s_i}{|^{1 + {c_2}}}} - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\psi _i}|{s_i}|({k_{1i}}|{s_i}{|^{{c_1}}} - |{d_i}|)} \leqslant \\ & - m{V_{\rm{s}}}^{{{\left( {1 + {c_2}} \right)}/2}} - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\psi _i}|{s_i}|({k_{1i}}|{s_i}{|^{{c_1}}} - |{d_i}|)}. \end{split}$

式中： $m = \mathop {\min }\limits_{i = 1}^n \;({\psi _i}{k_{2i}})$.

根据Marks等^[18]提出的引理，选取 ${{{k}}_1}$ 满足

(34) ${k_{1i}}|{s_i}{|^{{c_1}}} - {\delta _i} \geqslant 0.$

可使得系统关于平衡零点有限时间收敛，因此区域

(35) $|{s_i}| \leqslant {({\delta _i}{k_{1i}}^{ - 1})^{{1/{{c_1}}}}};\;{\rm{ }}i = 1,2,\cdots,n,$

能够保证系统的有限时间收敛性.

为了验证控制算法的有效性，以6-DOF Denso机械臂作为被控对象，选取前3个关节利用拉格朗日法建立仿真动力学模型进行仿真实验.

3个关节的期望轨迹分别为

(36) $\left. \begin{split} &{q_{\rm{d1}}} = ({{2{\text{π}}}/3})\sin\;(2t), \\ &{q_{\rm{d2}}} = ({{2{\text{π}}}/3})\sin\;(2t) + {{\text{π}}/2}, \\ &{q_{\rm{d3}}} = ({{5{\text{π}}}/{18}})\sin\;(2t). \end{split} \right\}$

被控对象的初始状态为 $[{q_1},{q_2},{q_3},{\dot q_1},{\dot q_2},{\dot q_3}] = $ ${{7{\text{π}} }/6},\;{{5{\text{π}} }/{18}},\;0,\;0,\;0]$ ${{7{\text{π}} }/6},\;{{5{\text{π}} }/{18}},\;0,\;0,\;0]$. 将式（18）所示控制律记为FTSM_Fuzzy，控制参数须满足 ${r_1} > {r_2}$， $1 < {r_2} < 2$， ${c_1} > 1$， $0 < {c_2} < 1$. 其余参数 ${{{k}}_1}$、 ${{{k}}_2}$ 越大，在趋近运动阶段误差收敛速度越快； ${{\alpha }}$ 越小， ${{\beta }}$ 越大，在滑动运动阶段误差收敛速度越快，但在控制器性能提升的同时，输出抖振也会加剧，使系统震荡，损坏控制器. 因此参数最终选取为 ${r_1} = {{\rm{5}}/{\rm{3}}}$， ${r_2} \!=\! {{{\rm{11}}}/{\rm{9}}}$， ${c_1} \!=\! {5/3}$， ${c_2} \!=\! {3/5}$， ${{\alpha }} \!=\! \rm{diag}\;[1,1,1]$， ${{\beta }} \!=\! \rm{diag}\;[6,$ $5,4.5]$， ${{{k}}_1} = {{{k}}_2} = \rm{diag}\;[35,\;30,\;30]$， ${{{\gamma }}_1} = {{{\gamma}} _2} = {{{\eta }}_1} = {{{\eta }}_2} = $ $\rm{diag}\;[0.1,0.1,0.1]$， ${{{\theta}} ^{1}}$、 ${{{\theta}} ^{2}}$ 中各元素初始值为0.1， $i = 1,2, \cdots ,{\rm{31\;250}}$.

模糊系统中3个关节采用的高斯型隶属度函数为

(37) $\mu ({x_i}) = \exp\;[ - {{({x_i} - \bar x_i^l)}/{{\sigma _i}}}].$

式中： ${{x}} = [{q_1},{\dot q_1},{\ddot q_1},{q_2},{\dot q_2},{\ddot q_2},{q_3},{\dot q_3},{\ddot q_3}]$； ${{\sigma}} = [{5/{24}},{3/8},$ ${3/4},{5/{24}},{3/8},{3/4},{1/{12}},{1/6},{1/3}]{\text{π}} $； $A_i^l \!\!=\! \{{\rm NB,NS,ZO,PS,}$ ${\rm PB}\} $， $i = 1,2, \cdots ,9$， $l = 1,2, \cdots ,5$，NB、NS、ZO、PS、PB分别为负大、负小、零、正小、正大； ${\bar x{^l_i}}$ 为输入 ${x_i}$ 对应隶属度函数参数，共 $5 \times 9 = {\rm{45}}$ 个.

为了说明FTSM_Fuzzy控制律的优越性，将其作为控制器1，分别与以下3种控制器进行对比：

1)控制器2：为了突出模糊补偿环节的效果，去掉FTSM_Fuzzy控制律中的模糊补偿部分，记为FTSM，表达式为

(38) $\begin{split} {{\tau }} = & - {{\beta }}{r_2}^{ - 1}{\rm{{diag}}}\;(|{\dot{ e}}{|^{2 - {r_2}}})({{I}} + {{{\alpha }}^{ - 1}}{r_1}{\rm{{diag}}}\;(|{{e}}{|^{{r_1} - 1}})){\rm{{sgn}}}\;({\dot{ e}}) - \\ & {{\beta }}{r_2}^{ - 1}({{{k}}_1}{\rm{{diag}}}\;(|{{s}}{|^{{c_1}}}) + {{{k}}_2}{\rm{{diag}}}\;(|{{s}}{|^{{c_2}}}))({{I}} + 2||{{e}}||){\rm{{sgn}}}\; ({{s}}). \end{split} $

仿真参数 r₁、r₂、c₁、c₂、 ${{\alpha }}$、 ${{\beta }}$、k₁、k₂的选取与FTSM_Fuzzy相同.

2)控制器3：为了突出改进双幂次趋近律的控制效果，将FTSM控制律中的切换鲁棒项改为传统的符号函数，记为STSM，表达式为

(39) $\begin{split} {{\tau }} =& - {{\beta }}{r_2}^{ - 1}{\rm{{diag}}}\;(|{\dot{ e}}{|^{2 - {r_2}}})({{I}} + {{{\alpha }}^{ - 1}}{r_1}{\rm{{diag}}}\;(|{{e}}{|^{{r_1} - 1}})){\rm{{sgn}}}\;({\dot{ e}})- \\ & {{\beta }}{r_2}^{ - 1}({{{k}}_1}{{s}} + {{{k}}_2}{\rm{{sgn}}}\;({{s}})). \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,(39) \end{split} $

式中： ${r_1} = {{\rm{5}}/{\rm{3}}},{r_2} = {{{\rm{11}}}/{\rm{9}}}$， ${{\alpha }} = \rm{diag}\;(1,1,1)$， ${{\beta }} = \rm{diag}\;(5,$ $3,3)$， ${{{k}}_1} = \rm{diag}\;(10,2{\rm{0}},8)$， ${{{k}}_2} = \rm{diag}\;({\rm{0}}{\rm{.5,5,3}})$.

3)控制器4：为了突出终端滑模面的优越性，构建采用线性滑模面的控制器SMC，该控制器的滑模面和控制律分别为

(40) $ \begin{aligned} & {{s}} = {{ce}} + {\dot{ e}}, \;{{\tau }} = - {{{k}}_1}{{s}} - {{{k}}_2}{\rm{{sgn}}}\;({{s}}). \end{aligned} $

式中： ${{c}} \!=\! \rm{diag}\;[{\rm{3,3,3]}}$ ， ${{{k}}_1} \!=\! \rm{diag}\;[10,15,10]$ ， ${{{k}}_2} \!=\! \rm{diag}\;[5,$ $10,4]$.

为了对比控制算法的性能，分别在1 、2 、3 s时在3个关节上施加阶跃扰动，持续时间均为0.5 s，大小分别为 ${\tau _{{\rm{1d}}}} \!=\! 36\;{\rm{N}} \cdot {\rm{m}}$， ${\tau _{{\rm{2d}}}} \!=\! 36\;{\rm{N}} \cdot {\rm{m}}$， ${\tau _{{\rm{3d}}}} \!=\! 9\;{\rm{N}} \cdot {\rm{m}}$. 轨迹追踪过程中的误差变化曲线如图2~4所示. 可以看出所提的4种控制器均能在一定程度上实现轨迹跟踪，控制效果以带有模糊系统的快速终端滑模控制器FTSM_Fuzzy最佳. 下面从控制精度、调节时间、抗扰动性能和控制器输出效果4个角度进行具体分析.

为了更好地对比4种控制器的控制精度，借助数理统计中均方差的概念作为衡量指标^[19]：

(41) $L({{e}}) = \left({\frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {e_i^2} } \right)^{1/2}.$

式中： $N$ 为系统初始化完成以后的总采样数.

系统的初始状态与期望轨迹的初始值之间有较大的误差，这些误差不是由控制器造成的，且对均方差的大小有较大影响，应该排除在外，故在计算均方差时只考虑1 s之后的误差，最终结果如表1所示. 与SMC相比，STSM中3个关节角度追踪误差的均方差分别下降了37.4%、51.8%、38.8%；FTSM中分别下降了93.6%、84.9%、89.2%；FTSM_Fuzzy中分别下降了94.8%、95.2%、94.1%. 可以看出终端滑模面、改进型双幂次趋近律和模糊补偿的引入均能有效降低轨迹追踪误差，提高机械臂系统的控制精度.

从调节时间的角度来看，以1 s时刻SMC控制器所达到的控制精度为基准，STSM控制器3个关节达到相同精度所需时间分别减少了28.0%、14.7%、19.4%；FTSM控制器所需时间分别减少了50.3%、34.8%、30.8%；FTSM_Fuzzy所需时间分别减少了56.3%、57.1%、43.6%. 可以看出改进型双幂次趋近律和模糊系统的加入能有效加快误差收敛速度.

以使用传统线性滑模面的SMC控制器为基准，在施加相同扰动的情况下，使用终端滑模面的STSM控制器3个关节的最大误差分别减小了43.4%、50.6%、25.9%；使用改进快速趋近律的FTSM控制器3个关节的最大误差分别减小了91.9%、85.7%、89.1%；FTSM_Fuzzy控制器添加了模糊补偿环节，其3个关节的最大误差相对于FTSM控制器分别降低了30.1%、88.7%、60.4%. 说明基于改进型双幂次趋近律终端滑模面和模糊系统的引入能有效增强机械臂系统的抗扰动性能.

控制器的输出力矩变化如图5~7所示，通过对比可以看出SMC控制器和STSM控制器由于使用了符号函数 ${\rm{{sgn}}}\; ({{s}})$ 作为鲁棒切换项，给输出带来了较大的抖振；而FTSM控制器和FTSM_Fuzzy控制器由于使用了改进的双幂次趋近律，输出曲线更为平滑，抖振现象得到了抑制. 仿真结果表明，所提出的带有模糊补偿的改进双幂次终端滑模控制方法能够有效提高系统控制精度，增强系统的抗干扰能力，加快收敛速度，同时有效抑制控制器输出抖振.

如图8所示，在Denso实验平台上验证提出的FTSM_Fuzzy算法在实际过程中的有效性. 该实验平台包括安装有Matlab 2014a和QUARC 2.4软件的上位机、Denso VP6242G机械臂和由Quanser公司开发的开放式控制模块. 用户在Simulink中编写控制器，经由QUARC软件编译成实时代码并运行，通过以太网连接控制Quanser模块中的控制器，进而通过电缆控制Denso机械臂中的驱动电机. 利用机械臂中的编码器测得运行过程中的信息并上传回上位机，实验过程中采样时间为0.001 s.

在实验中将后3个机械臂锁死，仅使用前3个关节进行实验，前3个关节的质量分别为2.178、2.830、2.573 kg，长度分别为12.5、21.0、17.5 cm. 期望轨迹设定为

(42) $\left. \begin{aligned} & {q_{{\rm{d1}}}} = 0.08{\text{π}} \sin\;t, \\ &{q_{{\rm{d2}}}} = 0.05{\text{π}} \sin\;t, \\ &{q_{{\rm{d3}}}} = 0.05{\text{π}} \sin\;t - {{\text{π}} /2}. \end{aligned} \right\}$

在实验中FTSM_Fuzzy控制器参数选取为r₁= ${{\rm{5}}/{\rm{3}}}$， ${r_2} = {{{\rm{11}}}/{\rm{9}}}$， ${c_1} = {5/3}$， ${c_2} = {3/5}$， ${{\alpha }} = \rm{diag}[1,1,1]$， ${{\beta }} = $ $\rm{diag}\;[4,5,4]$， ${{{k}}_1} \!=\! \rm{diag}\;[15,10,15]$， ${{{k}}_2} \!=\! \rm{diag}\;[15,10,15]$ ， ${{{\gamma }}_1} = {{{\gamma }}_2} = {{{\eta }}_1} = {{{\eta }}_2} = \rm{diag}\;[0.1,0.1,0.1]$， ${\theta _{1i}}$、 ${\theta _{2i}}$ 的初始值为0.1， $i = 1,2, \cdots ,{\rm{31\;250}}$. 模糊系统部分采用与仿真时同样的高斯型隶属度函数，输入 ${{x}}$ 和模糊集合 ${A^l}$ 也相同. 在实验中仅将FTSM_Fuzzy控制方法与SMC控制器进行对比，SMC控制器的表达式如式（40），参数选取为 ${{c}} = \rm{diag}\;[8,8,8]$， ${{{k}}_1} = \rm{diag}\;[2.5,4,7]$， ${{{k}}_2} = $ $\rm{diag}\;[3,2,4.5]$. 在实验过程中，在5、8、11 s时分别在3个关节上施加阶跃扰动，持续时间均为1 s，大小分别为 ${\tau _{1{\rm{d}}}} = 4\;{\rm{N \cdot m}}$， ${\tau _{2{\rm{d}}}} = 4\;{\rm{N \cdot m}}$， ${\tau _{3{\rm{d}}}} = 2\;{\rm{N \cdot m}}$. 如图9~11所示为FTSM_Fuzzy和SMC控制器轨迹追踪曲线. 实验平台有2.8 s的响应时间，在这段时间内机械臂没有动作，计算均方差时也从2.8 s时算起.

对实验数据进行分析可知，3个关节的角度均方差在使用SMC控制器时分别为0.023 9、0.036 6、0.052 3 rad；在使用FTSM_Fuzzy控制器时分别为0.009 2、0.014 3、0.018 1，相比之下分别降低了61.3%、61.0%、65.4%，可以看出FTSM_Fuzzy控制器能有效降低角度追踪的均方差，提高轨迹追踪精度. 在施加相同的扰动后，在FTSM_Fuzzy控制器作用下3个关节的追踪角度超调量分别为0.015 9、0.049 9、0.027 rad；SMC控制器作用下分别为0.024 1、0.036 8、0.052 7 rad，分别降低了60.3%、44.0%、72.3%. 可以看出相比于传统的线性滑模控制器SMC，FTSM_Fuzzy控制器能有效减小轨迹追踪过程中的超调量. 由图12~14中控制器的输出可知，相对于SMC控制器，使用改进型双幂次趋近律的FTSM_Fuzzy控制器时的抖振现象明显减轻，输出曲线更平滑. 实验结果表明，即使有大量的外界干扰、模型不确定性和采样延迟误差，FTSM_Fuzzy控制器相对于传统的滑模控制仍然有明显优势，能更加精确地追踪期望轨迹，缓解控制器输出抖振，达到较为理想的控制效果.

（1）提出带有模糊系统的终端滑模控制方法来解决机械臂轨迹追踪问题，该方法采用改进型双幂次趋近律和非奇异快速终端滑模面，能提高系统状态的误差收敛速度，降低控制器输出抖振. 通过模糊系统逼近系统模型和外部干扰，摆脱对具体模型信息的依赖，提高控制精度和抗扰动性.

（2）将Denso VP6242G机械臂模型作为被控对象，分别去掉所提出控制算法中的模糊部分、改进型双幂次趋近律和非奇异快速终端滑模面进行对比实验，仿真数据证明这些环节的引入使得控制器的追踪精度、调节速度和抗扰动性能得到提升，输出曲线也更平滑.

（3）在Denso实验平台进行实际测试，并与传统的线性滑模控制方法进行对比，数据表明所设计的控制器能将追踪误差降低60%以上，超调量降低40%以上，同时能有效缓解控制器输出的抖振.