钢板局部失稳破坏和焊接节点的超低周疲劳开裂是钢桥在强震作用下的2种主要失效形式^[1-2]. 自1995年日本阪神地震发生以来，国内外学者对钢桥墩的抗震性能进行了很多研究，如Usami课题组根据试验中钢桥墩的残余变形、极限承载能力等指标，提出以水平承载能力超过最高点后降至最高点的95%作为极限状态，通过数值计算和试验研究，建立考虑钢板宽厚比、长细比、轴压比等因素影响的矩形和圆形桥墩结构在水平单方向地震作用下承载能力和延性性能的经验公式^[3-5]. Watanabe等^[6]认为钢桥墩在两方向地震作用下结构的抗震性能低于单方向地震作用，结构抗震时另一方向的地震作用不可忽视；Dang等^[7]根据独柱式钢桥墩拟动力试验结果，确认了按单向输入地震动的抗震设计方法偏于危险；Goto等^[8-11]在独柱式钢桥墩拟静力、拟动力试验研究的基础上，提出用截面内力验算水平2方向地震下钢桥墩抗震性能的方法. 上述研究表明，钢桥抗震设计需要关注多方向地震作用对结构抗震性能的影响.

与独柱式钢桥墩相比，钢拱桥为多次超静定结构，地震损伤形式复杂，且水平振型与竖向振型相互耦合，在地震作用下拱肋轴力变动大，目前对这类结构在强地震作用下的失效机理研究比较欠缺. 虽然Nonaka等^[12-15]对钢拱桥在强地震作用下的抗震性能进行研究，但由于这些研究均采用简单的杆系结构计算模型分析结构弹塑性地震反应，结果无法反映薄壁钢板的局部失稳效应^[16].

针对上述存在的问题，本文以一座大跨度中承式钢拱桥为对象，采用能够考虑薄壁钢板局部变形行为的板壳单元和高精度的修正双曲面滞回模型本构模型对潜在地震损伤区域进行模拟，根据不同峰值加速度地震作用下的钢板局部失稳和超低周疲劳损伤等地震反应计算结果，讨论横向地震作用对钢拱桥地震损伤的影响，为建立合理的钢拱桥抗震设计方法提供参考.

如图1所示为130 m跨径的中承式钢拱桥，主拱肋矢高为32.5 m，桥面宽度为50 m. 为了增强结构的整体稳定性，在主拱肋两侧设置了一对矢高34.08 m的副拱肋，通过横撑与主拱肋连接. 主拱和副拱的拱脚为固结，主拱肋竖直，副拱内倾17.5°. 主梁、主副拱肋和立柱均采用薄壁钢箱截面，设置纵向刚性加劲肋和刚性横隔板. 横梁为工字型截面，桥面为正交异性钢板，桥面上设置沥青混凝土铺装层. 吊杆采用高强平行钢丝索，弹性模量为2.0×10⁵ MPa，极限承载力为1 670 MPa.

如图2所示为拱桥主要构件的截面. 主拱肋沿顺桥向为变高变厚截面，截面高度从拱脚到拱顶由3.5 m变为2.0 m，拱肋的钢板厚度为10 mm. 副拱肋为变高度截面，截面高度由2.0 m变为1.2 m，翼缘与腹板壁厚均为8 mm. 系梁沿顺桥向为等截面，翼缘与腹板厚为8 mm. 主拱肋和系梁的宽度均为2.2 m，副拱肋的宽度为1.2 m. 材料采用Q345qC钢材.

拱脚是本桥的地震易损位置. 根据我国公路钢结构桥梁设计规范^[17]，拱脚位置截面的母板相对宽厚比 ${\overline \lambda _{\rm p}}$ 为1.013，加劲板相对刚度比γ/γ*为10.18，属于薄壁刚性加劲截面.

为了反映薄壁钢板的局部变形损伤效应，采用如图3所示的板壳-纤维混合单元计算模型. 在混合计算模型中，可能发生严重地震损伤的部位均采用板壳单元模拟，可能发生轻微地震损伤的拱肋和横梁部分采用纤维单元模拟. 纤维单元与板壳单元之间直接采用多点约束的方式（MPC-beam），进行自由度耦合. 吊杆采用只受拉的弹性桁架单元. 计算采用通用有限元软件ABAQUS 6.14，考虑结构成桥状态的初始应力条件. 钢材滞回本构模型采用由Shen等^[18-19]提出、王彤^[20]改进的修正双曲面滞回本构模型，修正双曲面模型通过用户自定义子程序UMAT实现. 计算同时考虑材料和几何非线性. 如表1所示为Q345qC钢材的修正双曲面模型材料参数. 表中， $E_{{\rm st}}^ {\rm P}$ 和 $\varepsilon _{\rm st}^{\rm P}$ 分别表示强化阶段开始时的塑性模量和塑性应变， $E_{0i}^{\rm P}$ 为初始边界面斜率，ω为边界面斜率随塑性功变化的参数， ${\overline \kappa _0}$ 为初始边界面半径，σ_u为极限强度，a、b、c、α为与弹性域半径变化相关的参数，ζ为与边界面半径变化相关的参数，e、f₀为边界面形状参数，M为与屈服平台长度相关的参数. 材料的初始屈服强度为391.2 MPa，弹性模量为2.045×10⁵ MPa，泊松比取0.3.

全桥混合模型共划分为76 988个单元，其中杆系单元总数为8 816，板壳单元总数为68 172. 如图4所示为结构主要截面纤维条的划分情况，其中主、副拱肋截面划分为208条纤维，立柱和主梁截面划分为145条纤维.

表2列出拱桥前15阶振型的自振频率f及结构在3个方向上的有效质量率，表3给出结构在顺桥向和横桥向上的卓越振型. 结果显示，该钢拱桥在顺桥向上有效质量率最大的3阶振型为第1、6和14阶振型，横桥向卓越振型为第2阶和第13阶振型，其中第2阶振型的有效质量率达到0.89. 另外，顺桥向卓越振型的有效质量率最大仅为50%，低于用Pushover法计算结构极限状态的振型有效质量率条件^[21-22].

为了使桥梁在地震作用下能够进入弹塑性状态，选取1999年台湾集集地震日月潭记录作为地震动输入，该地震动为典型的近场地震动. 如图5（a）~（c）所示为地震动波形. 图中，a为地震动加速度，t为时间. 水平和竖向加速度峰值分别为9.87、3.14 m/s². 如图5（d）所示为地震记录的反应谱曲线，反应谱的阻尼比取5%. 图中，T为周期，S_a为加速度谱值. 为了减少计算量，截取前40 s地震波作为地震输入.

为了研究横桥向地震作用对结构地震损伤发展的影响，计算按以下2种方式输入.

1）顺桥方向X（EW方向）+竖向Z（UD方向）输入（以下称之桥梁面内）；

2）顺桥方向X（EW方向）+横桥方向Y（NS方向）+竖向Z（UD方向）输入.

为了比较地震作用强度对结构地震损伤的影响，将X方向（EW方向）的地震动峰值加速度（PGA）依次调整为4、6、8 m/s² 3种，其他2个方向的地震动大小按同比例调整. 其中，6 m/s²大致为我国桥梁抗震设计规范^[23]中设防烈度为9度的地区遭受E2地震作用时对应的地震动峰值加速度.

如图6所示为以PGA为6 m/s²时拱肋1/4跨位置的动轴力时程响应. 图中，N为轴力，N_y为屈服轴力. 结果显示，不考虑横向地震作用时轴力为−0.39N_y~−0.09N_y，考虑横向地震作用时轴力变为−0.37N_y~−0.03N_y. 这表明横桥向地震作用对拱肋的地震动轴力有一定的影响.

以1/4跨截面为例分析拱肋的位移时程响应. 由于3种PGA的比较结果相似，图7仅给出PGA为6 m/s²时的比较结果. 图中，d_EW、d_NS、d_UD分别为顺桥向位移、横桥向位移、竖向位移. 可知，横桥向地震作用对桥梁面内位移反应的影响可以忽略，但横桥向地震作用会引起桥梁发生横桥向的位移.

如图8所示为在2种地震动输入方式以及不同地震强度输入下的板壳段地震塑性损伤区域分布比较. 可以看出，板壳单元段覆盖了发生塑性损伤的主要区域；当地震动峰值为4 m/s²时，地震塑性损伤仅在拱脚发生，当地震动峰值为6和8 m/s²时，塑性损伤分布在拱脚和拱肋-主梁结合处，且面积较大. 输入横桥向地震作用不影响地震塑性损伤区域的分布位置，但会增大塑性区域的面积.

由于结构的局部变形主要集中在两侧的拱脚附近，以其中一侧拱脚为对象，分析钢板的局部变形情况. 图9给出桥梁整体位移响应最大时刻（23.55 s）拱脚位置的局部变形图，标出了钢板局部变形最大节点的相对变形. 图中，δ为局部变形量，B为截面宽度，H为截面高度. 由于钢板残余变形结果与图9的结果相差很小，不再给出. 从图9可以看出，钢板发生局部变形的程度随着地震作用强度的增大而增大；横桥向地震动输入会改变钢板发生局部变形的形状，显著增大发生局部变形的程度. 横桥向地震作用对结构局部变形损伤的影响不可忽略.

目前，针对钢桥超低周疲劳破坏的验算方法尚未完全建立，在既有文献中一般采用疲劳寿命的经验公式和微观损伤机制模型2种方法. 如Ge等^[24-26]通过钢桥墩水平单向反复加载试验并基于Coffin-Manson疲劳寿命预测公式，提出厚壁钢桥墩的超低周疲劳损伤基本特征及验算方法；Tateishi等^[27-28]开发了钢材超低周疲劳试验装置，建立几种钢材在高应变幅循环下的钢材及焊接接头的超低周疲劳性能，提出超低周疲劳损伤预测模型；Kanvinde等^[29-30]将Rice的微孔穴扩张理论推广至受压条件，提出循环空穴成长模型（即CVGM模型）；Zhou等^[31]应用CVGM模型，研究建筑钢结构梁柱节点的超低周疲劳性能.

以下简要阐述这2种验算方法的基本原理及材料参数取值.

Coffin-Manson公式是低周疲劳寿命预测的传统方法. 超低周疲劳试验中的塑性应变幅与疲劳寿命的关系可以用Coffin-Manson公式来表示：

(1) $\Delta {\varepsilon _{\rm p}}N_{\rm f}^k = C.$

式中：Δε_p/2为塑性应变幅，2N_f为失效反向数，k、C为材料参数.

疲劳损伤一般采用Miner损伤累积准则计算：

(2) $D = \sum\limits_{i = 1}^M ({{n_i}/{N_{{\rm f}i}}}) .$

式中：D为疲劳损伤指标，当D达到1.0时，认为结构发生疲劳破坏；i为疲劳荷载的等级；n_i为第i等级疲劳荷载的循环次数；N_fi为第i等级疲劳荷载对应的疲劳寿命.

由于在地震作用下的塑性应变范围变化具有随机性，从结构地震反应分析结果中只能获得半个周期的结果，如图10所示. 结合式（1）、（2），可得损伤指标为

(3) $D = \frac{1}{{2{C^{{1/k}}}}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {\Delta {\varepsilon _{{\rm p}i}}} \right)}^{{1/k}}}} .$

式中：Δε_pi为履历响应中第i个半循环荷载的塑性应变范围.

为了得到Q345qC钢材的Coffin-Manson公式材料参数，对Q345qC母材及焊接试样进行材料超低周疲劳性能试验. 母材及焊接试样均采用圆形截面，试样尺寸如图11所示. 试验在INSTRON 8850-250KN电液伺服疲劳试验机上实施，如图12所示.

在双对数坐标下进行线性拟合，可得母材和焊接接头的应变-寿命曲线，如图13所示. 图13包含了母材及焊接试样单轴拉伸的试验数据. 由图13可知，试验数据在拟合曲线两侧均匀分布，因此拟合得到的Coffin-Manson公式可以精确预测母材及焊接试样的超低周疲劳寿命，得到的材料参数k、C如表4 所示.

将表4的材料参数k、C代入式（3），则母材和焊接接头的超低周疲劳损伤评价公式^[32]分别为

(4) $D = 0.468\;3\sum\nolimits_{i = 1}^n {{{\left( {\Delta {\varepsilon _{{\rm p}i}}} \right)}^{1.526\;7}}} ,$

(5) $D = 0.746\;6\sum\nolimits_{i = 1}^n {{{\left( {\Delta {\varepsilon _{{\rm p}i}}} \right)}^{1.473\;6}}} .$

由于在试验过程中，焊接接头试样的断裂开始于热影响区，以上损伤指标计算公式可以用于地震作用下钢桥中Q345qC母材位置及热影响区位置的超低周疲劳损伤评价. 在超低周疲劳损伤计算时，根据计算单元在地震荷载作用下的塑性应变履历进行计算，通过泄水法统计塑性应变履历所对应的各塑性应变幅，根据式（4）、（5）计算D.

Kanvinde等^[29-30]提出的循环空穴成长模型（CVGM）基于单元的塑性应变履历和应力三轴度历史进行分析. 该模型采用空穴成长指数（void growth index，VGI）作为超低周疲劳断裂预测指标，认为钢材延性断裂取决于内部空穴的扩张、收缩与聚合过程，其中循环空穴成长指数（VGI_cyc）体现了空穴在拉、压循环中扩张、收缩的累积结果，表达式为

$\begin{array}{l} {\rm VG{I}_{cyc}} \!=\! \displaystyle\sum\limits_{{\rm{}}} {\int_{\varepsilon _{\rm{1}}^{\rm t}}^{\varepsilon _{\rm{2}}^{\rm t}} {\exp \left( {\left| {1.5T} \right|} \right){\rm{d}}{\varepsilon ^{\rm{t}}}} } \!-\!\displaystyle\sum\limits_{{\rm{}}} {\int_{\varepsilon _{\rm{1}}^{\rm c}}^{\varepsilon _{\rm{2}}^{\rm c}} {\exp \left( {\left| {1.5T} \right|} \right){\rm{d}}{\varepsilon ^{\rm{c}}}} } . \end{array}$

式中：ε $_1^{\rm t} $和ε $_2^{\rm t }$分别为受拉循环开始和结束时的等效塑性应变；ε $_1^{\rm c} $和ε $_2^{\rm c}$分别为受压循环开始和结束时的等效塑性应变；dε^t为受拉循环中的等效塑性应变增量；dε^c为受压循环中的等效塑性应变增量；T为应力三轴度，

(7) $T = \frac{{\left( {{\sigma _1} + {\sigma _2} + {\sigma _3}} \right)/3}}{{\left\{ \left[ {{{\left( {{\sigma _1} - {\sigma _2}} \right)}^2} + {{\left( {{\sigma _2} - {\sigma _3}} \right)}^2} + {{\left( {{\sigma _3} - {\sigma _1}} \right)}^2}} \right]/2\right\} ^{{\rm{1/2}}}}},$

其中σ₁、σ₂、σ₃为3个方向的主应力. 当VGI_cyc达到临界空穴成长指数时，认为材料发生韧性开裂. 在循环荷载下的临界空穴成长指数 $ {\rm VGI_{\rm cyc}^{{\rm c}ri}}$随着塑性损伤的累积逐步下降，即

(8) ${\rm VGI}_{\rm cyc}^{\rm cri} = {\rm VGI}_{\rm mon}^{\rm cri}\exp \left( { - \lambda \varepsilon _{\rm p}^{\rm acc}} \right).$

式中：λ为材料在循环荷载下的损伤退化参数； $\varepsilon _{\rm p}^{{\rm acc}} $为每一个受拉循环开始时的累积等效塑性应变. 随着疲劳损伤的累积，当式（6）的结果大于式（8）时，认为材料发生断裂.

为了衡量超低周疲劳损伤程度，引入如下损伤指标：

(9) $\left. \begin{gathered} {D_n} = \max \left\{ {{D_{n - 1}},{D_{\rm th}}} \right\}, \\ {D_{\rm th}} = 1 - \displaystyle{{\left( {\rm VGI_{cyc}^{cri} - VG{I_{cyc}}} \right)}}\Big/{{\rm VGI_{mon}^{cri}}}. \\ \end{gathered} \right\}$

式中：n为有限元计算过程中的增量步数目； ${D_{\rm th}}$ 为当前增量步通过CVGM模型计算得到的损伤指标理论值，在地震时程计算中若大于前一步的损伤指标 ${D_{n - 1}}$，则损伤指标 ${D_n}$ 更新为 ${D_{\rm th}}$，否则不变. 当 ${D_n}$ 达到1.0时，认为结构已发生超低周疲劳破坏.

采用CVGM判据计算钢材地震损伤时，要在特征长度l^*上评价塑性应变履历，才能合理预测延性开裂. Liao等^[33]通过圆周平滑槽口试件循环加载试验，校准了母材、焊材和热影响区3个不同位置的Q345钢材的微观断裂判据参数，结果如表5所示. 表中， ${\rm VGI}_{\rm mon}^{\rm cri} $为材料在单调荷载作用下的临界空穴成长指数，是常数. 表5中特征长度l^*的标定结果表明，需要建立尺寸约为0.2 mm的单元进行计算分析.

CVGM模型参数的标定过程^[33]采用考虑钢材包兴格效应与循环强化效应的Chaboche混合强化滞回本构模型^[34]，故在超低周疲劳验算中也采用这种材料本构模型. 对于本文所涉及的Q345qC钢材，Chaboche滞回本构模型材料参数通过材料试样反复荷载试验得到，结果如表6所示. 表中，σ|₀ 为初始屈服应力，Q_∞为屈服面的最大变化值，b_iso为屈服面随塑性应变发展变化的比率， C_kin，i（i=1~4）为随动强化模量的初始值，γ_i（i=1~4）为塑性变形增加时随动强化模量减小的比率.

由于超低周疲劳破坏发生在强地震作用下的应变集中位置，以立柱-拱肋连接处焊接节点为对象，预测结构的超低周疲劳损伤.

将全桥混合模型中立柱-拱肋连接处至拱脚处的板壳单元段单独取出，建立如图14所示的超低周疲劳验算局部模型. 为了达到CVGM模型所需要的单元尺度并节省计算成本，将焊接节点的一个角端用精细的实体单元进行模拟. 其中拱脚处为固定端，在取出的拱肋和立柱端部边界上，分别强制施加全桥地震反应计算得到的相对于拱脚的位移时程[Δx₁（t），Δz₁（t），Δθ₁（t）]和[Δx₂（t），Δz₂（t），Δθ₂（t）]. 焊缝为深熔斜角角焊缝，曲率半径为8 mm. 在角端分别取热影响区和母材区域中的2最不利单元作为计算单元，计算单元尺寸约为0.3 mm，满足特征长度l*的要求. 通过计算结果的对比，热影响区计算单元的超低周疲劳损伤相对于母材区的计算单元发展更快，对结构的超低周疲劳破坏起到控制作用. 图15给出该单元在3种不同峰值加速度地震动下空穴成长指数VGI的演化过程.

图16给出利用上述2种计算方法得到地震过程中的超低周疲劳损伤指标D发展过程. 其中C-M表示基于Coffin-Manson公式的预测方法，每5 s进行一次泄水法统计后得到损伤指标，最终将一系列损伤指标计算点用直线相连. 由于在峰值加速度为6和8 m/s²的条件下，在前20 s的地震动作用下损伤指标已经达到了发生超低周疲劳开裂的临界值1.0，因此分别给出这2种加速度峰值下前20 s和前15 s的损伤指标发展过程. 从图16可以看出，利用2种预测方法得到的损伤指标发展趋势和大小均较接近，证实了预测方法的可靠性.

根据图16的结果，在3种不同峰值加速度的面内地震动输入下，在应变集中的焊接节点位置均有发生超低周疲劳断裂的可能性，因此在钢拱桥的结构抗震设计中，需要重视对超低周疲劳损伤的验算. 当加入横桥向地震动输入时，计算单元的损伤指标D均出现增大加快和提早达到临界值1.0的情况. 这说明横桥向地震动输入会加快焊接节点超低周疲劳损伤发展，增大结构发生超低周疲劳破坏的可能性.

（1）横桥向地震动输入会改变钢拱桥拱肋动轴力的波动范围并使结构产生横桥向的位移，但对钢拱桥面内位移时程响应的影响较小.

（2）横桥向地震动输入对地震塑性损伤区域分布位置的影响不大，但会增大塑性区域的面积和钢板发生局部变形的程度.

（3）横桥向地震动输入将显著加速焊接节点超低周疲劳损伤发展，增大结构发生超低周疲劳破坏的可能性.

（4）由于横桥向地震动输入会加快钢拱桥的钢板局部变形和焊接节点超低周疲劳这2种地震典型损伤的发展，为了确保桥梁的抗震性能，在抗震设计中宜同时考虑3个方向的地震作用.