相对于串联机构，并联机构具有结构简单、承载能力强、运动惯性小等优点^[1-3]，有效地弥补了串联机构的不足之处，因此已广泛应用于各种机械加工、装配、航空航天等领域.

合理的结构参数一直是机械设计的基础，直接影响机械运动性能的优劣，通过优化机构结构参数来提高机构性能是一项富有意义的课题研究. 目前，已有很多学者在结构参数优化方面作了大量的研究. 早期，Gosselin等^[4-5]以雅可比矩阵条件数作为机构的性能评价指标，条件数越小表明机构的灵活性越好，这种局部条件数的优化，存在多解和难以保证最优解的问题，而全域条件数会大大增加计算量. 陈修龙等^[6-7]以雅克比矩阵的奇异值作为性能指标，对并联机器人进行结构优化设计，但只考虑了机构的速度传递性能. 刘辛军等^[8-10]利用空间模型技术法，研究机构结构参数与各性能指标之间的关系，这种方法只能揭示单一的性能指标与机构尺寸之间的映射关系. 赵星宇等^[11]考虑机构的动力学性能、速度传递性能以及刚度性能，将三者作为优化目标函数，采用遗传算法对机构进行结构参数优化，但没有考虑多个性能指标之间的相关性，简单地对多个目标性能指标加权求和作为最终的优化目标函数，算法的收敛性往往难以保证.

本文针对上述优化方法的不足，基于5-PSS/UPU^[12]并联机构的运动学模型并结合螺旋理论分析，综合考虑线速度传递性能、角速度传递性能、输入运动/力传递性能和输出运动/力传递性能. 通过主成分分析（PCA）法^[13-14]，分析各全域性能指标之间的相关性，去除各全域指标之间的信息冗余，得到综合评价指标函数. 将多个性能指标转化为一个综合性能评价指标，开展结构尺寸参数优化.

如图1所示，该并联机构由动平台、基座以及连接动平台与基座的6条支链分支组成. 6条分支包括5条相同的PSS（移动副-球面副-球面副）分支和1条UPU（胡克铰-移动副-胡克铰）分支. 基座底部呈正五边形分布，5个端点设为 ${B_i}$，外接圆半径为 $R$. 5条PSS分支的移动副与基座底面呈夹角为 $\theta $ 布局，球面副端点设为 ${b_i}$. UPU分支支链分别连接动平台的中心与基座底部的中心. 动平台呈正五边形分布，5个端点设为 ${a_i}$，外接圆半径为 $r$，连杆 ${a_i}{b_i}$ 长设为 $L$. 以基座底面中心为原点，建立基坐标系 $\{ O\} = \left\{ {O{\rm{ {\text{-}} }}xyz} \right\}$， $x$ 轴由原点 $O$ 指向 ${B_1}$， $z$ 轴竖直向上， $y$ 轴满足右手螺旋定则. 以动平台的中心建立动坐标系 $\{ P\} = \left\{ {P{\rm{ {\text{-}} }}{x_p}{y_p}{z_p}} \right\}$， ${x_p}$ 轴由原点 $p$ 指向 ${a_1}$， ${z_p}$ 轴垂直于动平台所处的平面向上， ${y_p}$ 轴满足右手螺旋定则. 以基座底面端点 ${B_i}$ 为原点，建立分支坐标系 $\{ W\} = \left\{ {{W_i}{\rm{{\text{-}} }}{x_i}{y_i}{z_i}} \right\}$ $(i = 1,2,3,4,5)$， ${x_i}$ 轴垂直 $o{w_i}$， ${y_i}$ 轴沿 ${B_i}{b_i}$ 方向， ${z_i}$ 轴满足右手螺旋定则. 由螺旋理论分析可知，该机构能够实现5个独立的自由度，即分别为沿 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的移动以及绕 $x$ 轴、 $y$ 轴的转动. 动平台的姿态参数可以表示为

${{p}} = {[{p_x},{p_y},{p_z},\gamma ,\beta ]^{\rm{T}}}.$

5-PSS/UPU并联机构的位置反解为在已知机构的结构尺寸和动平台末端点 $p$ 的位姿： $({P_x},{P_y},{P_z},\gamma ,\beta )$，求解出各驱动副的输入位移 ${l_i}$（i=0，1，2，3，4，5）. 在任意时刻，动平台各端点 ${a_i}$（i=1，2，3，4，5）在动坐标系 $\{ P\} $ 的位置矢量 ${{a}}^p$ 为

(1) ${\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a_1^p} \\ {a_2^p} \\ {a_3^p} \\ {a_4^p} \\ {a_5^p} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r&{r\cos \lambda }&{ - r\cos \displaystyle\frac{\lambda }{2}}&{ - r\cos \displaystyle\frac{\lambda }{2}}&{r\cos \lambda } \\ 0&{r\sin \lambda }&{r\sin \displaystyle\frac{\lambda }{2}}&{ - r\sin \displaystyle\frac{\lambda }{2}}&{ - r\sin \lambda } \\ 0&0&0&0&0 \end{array}} \right].$

式中： $\lambda $=72°.

采用欧拉变换法，建立机构的位姿模型. 设在运动过程中，坐标系 $\{ P\} $ 的原点 $p$ 相对于基坐标系 $\{ O\} $ 原点 $O$ 的位置参数为 ${{p}} = \left[{p_x},{p_y},{p_z}\right]$，姿态取 $z{\rm{ - }}y{\rm{ - }}x$ 型欧拉角为 $(\alpha ,\beta ,\gamma )$，其中 $\alpha $=0°，则动平台的坐标旋转矩阵 ${}_p^o{{R}}$ 为

(2) $\begin{array}{*{20}{l}} & {{}_p^o{{R}} = {{R}}(z,\alpha ){{R}}(y,\beta ){{R}}(x,\gamma )} =\\ & { \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_\alpha }{c_\beta }}&{{c_\alpha }{s_\beta }{s_\gamma } - {s_\alpha }{c_\gamma }}&{{c_\alpha }{s_\beta }{c_\gamma } + {s_\alpha }{s_\gamma }} \\ {{s_\alpha }{c_\beta }}&{{s_\alpha }{s_\beta }{s_\gamma } + {c_\alpha }{c_\gamma }}&{{s_\alpha }{s_\beta }{c_\gamma } - {c_\alpha }{s_\gamma }} \\ { - {s_\beta }}&{{c_\beta }{s_\gamma }}&{{c_\beta }{c_\gamma }} \end{array}} \right]} . \end{array}$

式中：

$\left. \begin{array}{l} {c_\alpha } = {\rm cos}\;\alpha ,{s_\alpha } = {\rm sin}\;\alpha ;\\ {c_\beta } = {\rm cos}\;\beta ,{s_\beta } = {\rm sin}\;\beta ;\\ {c_\gamma } = {\rm cos}\;\gamma ,{s_\gamma } = {\rm sin}\;\gamma ; \end{array} \right\}$

为了描述分支坐标系 $\{ W\} $ 到基坐标系 $\{ O\} $的变换，绘制分支坐标系的欧拉变换图(见图2)，可得分支坐标系到基坐标系的坐标转换矩阵 ${}_{{w_i}}^o{{R}} = $ $ {{R}}({z_i}, - {\delta _i}){{R}}({x_i}, - \theta )$，其中 ${\delta _i} = {18^\circ } + {72^\circ }i(i = 1,2,3,4,5)$. 动平台端点 ${a_i}$ 在分支坐标系 $\{ W\} $ 下的位置矢量 ${{a}}_i^{{w_i}}$ 可以表示为

(3) $\left. \begin{array}{l} {{a}}_i^o = {}_p^o{{Ra}}_i^p + {{p}},\\ {{a}}_i^{{w_i}} = {}_{{w_i}}^o{{{R}}^{ - 1}}\left( {{{a}}_i^o - {{B}}_i^o} \right). \end{array} \right\}$

式中： ${{a}}_i^o$ 为动平台端点在基坐标系下的位置矢量； ${{B}}_i^o$ 为分支坐标系原点 ${w_i}$ 在基坐标系下的位置矢量，

(4) ${{B}}_i^o = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} R & {R\cos \lambda } & { - R\cos \displaystyle\frac{\lambda }{2}} & { - R\cos \displaystyle\frac{\lambda }{2}} & {\cos \lambda }\\ 0 & {R\sin \lambda } & {R\sin \displaystyle\frac{\lambda }{2}} & { - R\sin \displaystyle\frac{\lambda }{2}} & { - R\sin \lambda }\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}} \right].$

在任意时刻，球面副端点 ${b_i}$ 在分支坐标系 $\{ W\} $ 下的位置矢量 ${{b}}_i^w$ 可以表示为

(5) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b_1^{{w_1}}}&{b_2^{{w_2}}}&{b_3^{{w_3}}}&{b_4^{{w_4}}}&{b_5^{{w_5}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0&0 \\ {{l_1}}&{{l_2}}&{{l_3}}&{{l_4}}&{{l_5}} \\ 0&0&0&0&0 \end{array}} \right],$

因此固定长杆 ${a_i}{b_i}$ 的长度可以表示为

(6) $\left.\begin{aligned} l_i^2 = {\left(a_{ix}^{{w_i}} - b_{ix}^{{w_i}}\right)^2} + {\left(a_{iy}^{{w_i}} - b_{iy}^{{w_i}}\right)^2} + {\left(a_{iz}^{{w_i}} - b_{iz}^{{w_i}}\right)^2}; \\ i = 1,2,3,4,5. \end{aligned}\right\}$

整理式（1）～（6），可得各驱动副的输入位移为

(7) ${l_i} = a_{iy}^{wi} - \sqrt {{L^2} - {{\left(a_{ix}^{{w_i}}\right)}^2} - {{\left(a_{iz}^{{w_i}}\right)}^2}};\;i = 1,2,3,4,5.$

${l_0}$ 为中间UPU支链的长度，

(8) ${l_0} = \sqrt {{{({{{p}}^o} - {{{o}}^o})}^2}} = \sqrt {{p_x}^2 + {p_y}^2 + {p_z}^2} .$

将式（3）代入式（7），则完成了机构的位置反解，通过给定动平台的姿态可得对应的输入行程.

该系统的广义速度为 $\dot {{q}}$，设 ${{V}}$ 为动平台坐标原点 $p$ 相对于基坐标系的速度，表达式如下：

(9) $\dot {{q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{v}}^p}} \\ {{{{\omega }}^p}} \end{array}} \right] = {\left[\dot x,\dot y,\dot z,\dot \gamma ,\dot \beta \right]^{\rm{T}}}.$

式中： ${{{v}}^p}$ 和 ${{{\omega }}^p}$ 分别为参考点 $p$ 在动坐标系下的线速度向量和角速度向量；

${{V}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{v}}^o}} \\ {{{{\omega }}^o}} \end{array}} \right]_{6 \times 1}},$

其中 ${{{v}}^o}$ 和 ${{{\omega }}^o}$ 分别表示参考点 $p$ 在基坐标系下的线速度矢量和角速度矢量，

(10) $ {{{v}}^o} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}} \\ {{v_y}} \\ {{v_z}} \end{array}} \right], \;\; {{{\omega }}^o} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _x}} \\ {{\omega _y}} \\ {{\omega _z}} \end{array}} \right]. $

参考点 $p$ 从动坐标系下的速度向基座坐标系下的速度映射关系为

(11) ${{V}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{v}}^o}} \\ {{{{\omega }}^o}} \end{array}} \right] = {{T}}\dot {{q}}.$

式中：

$ {{T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{3 \times 3}}}&{{{{O}}_{3 \times 2}}} \\ {{{{O}}_{3 \times 3}}}&{{{{T}}_w}} \end{array}} \right], \;\; {{{T}}_w} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \,\beta }&0 \\ 0&1 \\ { - \sin\, \beta }&0 \end{array}} \right]. $

基于该并联机构的几何结构特点，根据速度合成定理可知，动平台端点 ${a_i}$ 相对于基坐标系的速度矢量 ${{{v}}_{ai}}$ 有

(12) ${{{v}}_{ai}} = {{{v}}^o} + {{{\omega }}^o} \times {{a}}_i^o.$

设 ${{{\delta }}_i}$ 为固定杆件 ${a_i}{b_i}$ 的方向单位向量， ${{{v}}_i}$ 为驱动输入速度， ${{{e}}_i}$ 为直线驱动输入的单位向量，当这种并联机构不在奇异位姿时，根据 ${{{v}}_i}$ 和 ${{{v}}_{ai}}$ 在固定长杆 ${a_i}{b_i}$ 方向上的投影相同，则有

(13) ${{\delta }}_i^{\rm{T}}{{{v}}_{ai}} = {{\delta }}_i^{\rm{T}}{{{v}}_i}{{{e}}_i}.$

中间 ${\rm UPU}$ 支链的输入速度 ${{{v}}_0}$ 可以表示为 ${{{v}}_0} = {{\delta }}_0^{\rm{T}}{{v}}$.

结合式（9）～（13），整理可得

(14) $\dot {{q}} = {{J}}{{{v}}_i}.$

式中： ${{J}} = {{{T}}^{ - 1}} {[\begin{array}{*{20}{c}} {{\!\!\!\!{\delta }}_i^{\rm{T}}}&{({{a}}_i^o \times {{{\delta }}_i\!\!\!\!}} \end{array})^{\rm{T}}}{]^{ - 1}} {{\delta }}_i^{\rm{T}}{{{e}}_i}$.

${{J}}$ 为该并联机构的速度雅克比矩阵，式（14）反映了输入速度与输出速度之间的关系. 这种机构不在奇异位形时，考虑线速度和角速度具有不同的量纲，式（14）可以改写成

(15) $\begin{aligned} {{{v}}^o} = {{{J}}_v}{{{v}}_i}, {{{\omega }}^o} = {{{J}}_\omega }{{{v}}_i}. \end{aligned}$

式中： ${{{J}}_v} \in {{\bf R}^{3 \times 6}}$ 和 ${{{J}}_\omega } \in {{\bf R}^{2 \times 6}}$ 分别为线速度和角速度雅可比矩阵.

当机构不在奇异位姿时，由矩阵理论可知, ${{{J}}_v}$ 和 ${{{J}}_\omega }$ 存在奇异值分解，则存在正交阵 ${{{A}}_v} \in {{\bf R}^{3 \times 3}},$ ${{{A}}_\omega } \in {{\bf R}^{2 \times 2}},{{{B}}_v} \in {{\bf R}^{6 \times 6}},{{{B}}_\omega } \in {{\bf R}^{6 \times 6}}$，使得

(16) $ \begin{array}{l} {{{J}}_v} = {{{A}}_v}{{{\varLambda }}_v}{{{B}}_v}, {{{J}}_\omega } = {{{A}}_\omega }{{{\varLambda }}_\omega }{{{B}}_\omega }. \end{array}$

式中：

$\begin{array}{l} {{ \varLambda} _v} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _{1v}}}&0&0&0&0&0\\ 0&{{\sigma _{2v}}}&0&0&0&0\\ 0&0&{{\sigma _{3v}}}&0&0&0 \end{array}} \right];\\ {{ \varLambda} _\omega } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _{1\omega }}}&0&0&0&0&0\\ 0&{{\sigma _{2\omega }}}&0&0&0&0 \end{array}} \right], \end{array}$

${\sigma _{iv}}(i = 1,2,3)$ 为 ${{{J}}_v}$ 的3个奇异值， ${\sigma _{1v}} \geqslant {\sigma _{2v}} \geqslant {\sigma _{3v}}$； ${\sigma _{j\omega }}$ $(j = 1,2)$ 为 ${{{J}}_\omega }$ 的2个奇异值， ${\sigma _{1\omega }} \geqslant {\sigma _{2\omega }}$. 为了便于分析，当输入速度为单位向量，即

(17) ${{v}}_i^{\rm{T}}{{{v}}_i} = 1 $

时，可得

(18) $\left. \begin{array}{l} {{ V}^{\rm T}}{{ A}_V}{\left({ \varLambda} _V^{\rm T}{{ \varLambda} _V}\right)^{ - 1}}{ A}_V^{\rm T}{ V} = 1,\\ {{ \omega} ^{\rm T}}{{ A}_\omega }{\left({\varLambda} _\omega ^{\rm T}{{ \varLambda} _\omega }\right)^{ - 1}}{ A}_ \omega ^{\rm T} { \omega} = 1. \end{array} \right\}$

整理可得

(19) $\left. \begin{array}{l} \displaystyle\frac{{V_x'}}{{{\sigma _{1v}}}} + \displaystyle\frac{{V_y'}}{{{\sigma _{2v}}}} + \displaystyle\frac{{V_z'}}{{{\sigma _{3v}}}} = 1,\\ \displaystyle\frac{{\omega _x'}}{{{\sigma _{1\omega }}}} + \displaystyle\frac{{\omega _y'}}{{{\sigma _{2\omega }}}} = 1 . \end{array} \right\}$

式中：

$ \left. \begin{array}{l} V_x' = {a_{_{11}}}{v_x} + {a_{_{21}}}{v_y} + {a_{_{31}}}{v_z},\\ V_y' = {a_{12}}{v_x} + {a_{_{22}}}{v_y} + {a_{_{32}}}{v_z},\\ V_z' = {a_{13}}{v_x} + {a_{23}}{v_y} + {a_{_{33}}}{v_z}; \end{array} \right\}\;\;\left. \begin{array}{l} \omega _x' = {b_{_{11}}}{\omega _x} + {b_{_{21}}}{\omega _y},\\ \omega _y' = {b_{12}}{\omega _x} + {b_{_{22}}}{\omega _y}. \end{array} \right\} $

由式（19）可知，当输入速度为单位向量时，输出线速度和角速度分别位于一个椭球和一个椭圆上^[15]，椭球的3个主轴长分别为 ${\sigma _{1v}}$、 ${\sigma _{2v}}$、 ${\sigma _{3v}}$，椭圆的2个主轴长分别为 ${\sigma _{1\omega }}$、 ${\sigma _{2\omega }}$. 为了评价该并联机构的运动速度传递性能，定义局部线速度传递性能指标 ${K_v}$ 和局部角速度传递性能指标 ${K_\omega }$：

(20) $ \begin{array}{l} {K_v} = {{{\sigma _{3v}}}}/{{{\sigma _{1v}}}}, {K_\omega} ={{{\sigma _{2\omega}}}}/{{{\sigma _{1\omega}}}}. \end{array}$

矩阵的奇异值可以通过 ${{{J}}^{{\rm{T}}}}{{J}}$ 求得，易知 $0 \leqslant {K_v} \leqslant 1$， $0 \leqslant {K_\omega } \leqslant 1$. 由式（20）可知，当 ${K_v}$ 和 ${K_\omega }$ 都等于或者接近于1时，各向同性好，此时速度传递性能最佳；当 ${K_v}$ 和 ${K_\omega }$ 都等于或接近于0时，雅可比矩阵存在奇异，速度传递性能最差^[15-16]. 用 ${K_v}$ 和 ${K_\omega }$ 来反映该并联机构的速度传递性能和角速度传递性能.

在该并联机构的工作空间内，考虑到速度性能指标在不同的位姿具有不同的值. 分别定义 ${K_v}$ 和 ${K_\omega}$ 在该机构工作空间内的平均值 ${\overline K _v}$ 和 ${\overline K _w}$ 作为全域线速度传递性能指标和全域角速度传递性能指标：

(21) $\begin{array}{l} {\overline K _v} = {{\displaystyle\sum\limits_W {{K_\nu}} }}/{W},\; {\overline K _w} ={{\displaystyle\sum\limits_W {{K_\omega}} }}/{W}. \end{array} $

式中： $W$ 为该5自由度并联机构的工作空间.

并联机构的主要功能是在主动驱动关节的输入端和末端执行器的输出端之间传递运动和力. 输入端的传递性能可以反映机构从输入端到支链分支的运动/力传递效率；输出端的传递性能可以反映机构从支链分支到输出端的运动/力传递效率. 基于螺旋理论分析5-PSS/UPU并联机构的运动/力传递性能特性，得到输入运动/力传递性能指标、输出运动/力传递性能指标.

如图3所示为5-PSS/UPU并联机构驱动分支支链示意图. 经分析可知，该支链存在一个纯移动运动的输入运动螺旋 ${{\textbf{\$}}_{{\rm I}i}} = \left[0;{{{v}}_i}\right]$ 和一个传递力 ${{\textbf{\$}}_{{\rm T}i}} = \left[{{{f}}_i};{{{r}}_i} \times {{{f}}_i}\right]$，该传递力螺旋是节距为0的纯力， ${{{f}}_i}$ 为沿导杆分支 ${a_i}{b_i}$ 方向向量， ${{{r}}_i}$ 为动平台端点 ${a_i}$ 在基坐标系下的位置向量. 当锁住除 $i$ 分支外的其他驱动分支时，该动平台的瞬时运动可以用一个输出运动螺旋 ${{\textbf{\$}}_{{\rm O}i}}$ 来表示：

(22) ${{\textbf{\$}}_{{\rm O}i}} = [{{{\omega}} _{oi}};\;{{{v}}_{oi}}].$

式中： ${{{\omega }}_{oi}}$ 为动平台的角速度， ${{{\omega }}_{oi}} = {{{J}}_\omega }{{{V}}_i}$； ${{{v}}_{oi}}$ 为动平台原点 $p$ 的线速度， ${{{v}}_{oi}} = {{{J}}_v}{{{V}}_i}$，其中 ${{{V}}_i}$ 为当锁住除 $i$ 分支外的其他驱动分支时机构的输入速度， ${{{V}}_i} = {[0, \cdots ,{v_i},0, \cdots, 0]^{\rm{T}}}(i = 1,2,3,4,5)$.

由螺旋理论可知，运动螺旋与力螺旋的互易积的物理意义是力螺旋在刚体运动螺旋方向上做功的瞬时功率. W_i为输入端传递到分支支链的瞬时功率， ${W_i} = {{\textbf{\$}}_{{\rm I}i}} \circ {{\textbf{\$}}_{{\rm T}i}}$；W_o为分支支链传递到动平台的瞬时功率， ${W_o} = {{\textbf{\$}}_{{\rm T}i}} \circ {{\textbf{\$}}_{{\rm O}i}}$. 由于不同结构尺寸的并联机构在不同的姿态，瞬时传递功率往往不同，不能简单地将传递功率用作该并联机构的运动/力传递性能分析. 采用刘辛军等^[17-18]提出的比例系数法，分析5PSS/UPU并联机构的运动/传递性能，即

(23) ${\lambda _i} = \frac{{\left| {{{{\textbf\$ }}_{{\!\!\rm I}i}} \circ {{{\textbf\$ }}_{{\!\!\rm T}i}}} \right|}}{{{{\left| {{{{\textbf\$ }}_{{\!\!\rm I}i}} \circ {{{\textbf\$ }}_{{\!\!\rm T}i}}} \right|}_{\max }}}},\;{\eta _i} = \frac{{\left| {{{{\textbf\$ }}_{{\!\!\rm T}i}} \circ {{{\textbf\$ }}_{{\!\!\rm O}i}}} \right|}}{{{{\left| {{{{\textbf\$ }}_{{\!\!\rm T}i}} \circ {{{\textbf\$ }}_{{\!\!\rm O}i}}} \right|}_{\max }}}}.$

式中： ${\left| {{{{\textbf\$ }}_{{\!\!\rm I}i}} \circ {{{\textbf\$ }}_{{\!\!\rm T}i}}} \right|_{\max }}$ 和 ${\left| {{{{\textbf\$ }}_{{\!\!\rm T}i}} \circ {{{\textbf\$ }}_{{\!\!\rm O}i}}} \right|_{\max }}$ 分别为理论上输入端传到分支支链的最大功率和分支支链到动平台的最大功率； ${\lambda _i}$ 和 ${\eta _i}$ 分别为输入端和输出端的运动/力传递性能指标. 显然， $0 \leqslant {\lambda _i} \leqslant 1;1 \leqslant {\eta _i} \leqslant 1$，当 ${\lambda _i}$ 和 ${\eta _i}$ 越接近于1时，两者的运动/力传递性能越好. 考虑到5-PSS/UPU并联机构共有5条驱动支链，为了更直观地表征该机构的运动/力传递性能，定义各支链输入端和输出端运动/力传递性能指标最小值在工作空间内的平均值作为新的输入运动/力传递性能指标和输出运动/力传递性能指标，即

(24) $ \begin{array}{l} {\overline K _\lambda } = \displaystyle\frac{1}{W}{{\displaystyle\sum\limits_W {{K_\lambda }} }},\;\; {\overline K _\eta } =\displaystyle\frac{1}{W} {{\displaystyle\sum\limits_W {{K_\eta }} }}. \end{array} $

式中：

${K_\lambda } = {\rm min}\,({\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3},{\lambda _4},{\lambda _5}),\;{K_\eta } = {\rm min}\,({\eta _1},{\eta _2},{\eta _3},{\eta _4},{\eta _5}).$

空间模型技术能够在有限的空间图形内，给出机构各全域性能指标与结构参数之间的分布规律^[19-20]. 考虑到该5自由度并联机构须满足结构约束关系：

(25) ${l_i} = |{{a}}_i^o - {{b}}_i^o|.$

独立结构尺寸参数分别为 $r$、 $R$ 和 $L$. 为了系统地研究该机构的结构参数和各全域性能之间的分布规律，将以上结构尺寸参数进行无量纲一化，令

(26) $n = ({{r + R + L}})/{3},$

则 ${n_1} = r/n,{n_2} = R/n,{n_3} = L/n$. 考虑到该机构结构和装配的工艺性要求，须满足条件：

(27) $\begin{array}{l} {n_1} + {n_2} + {n_3} = 3,\; {n_1} \leqslant {n_2} \leqslant 3,\; {n_3} \leqslant 3 . \end{array}$

满足该条件的所有机构结构尺寸参数组合可以用几何空间模型图表示，将空间模型图投影到 $XY$ 系，可以把3个无量纲参数转化成2个无量纲参数，投影方程为

(28) $ \begin{array}{l} X = \displaystyle\frac{{2\sqrt 3 }}{3}{n_2} + \displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{3}{n_3}, Y = {n_3}. \end{array}$

如图4所示，该区域表示了满足5-PSS/UPU并联机构结构要求的所有尺寸参数的组合，利用Matlab分别计算各组参数下所对应的全域性能指标值，绘制出各性能指标的全域性能谱图，如图5所示.

图5（a）~（d）分别揭示了4个性能指标，即全域线速度传递性能指标 ${\bar K_v}$、全域角速度传递性能指标 ${\bar K_w}$、输入运动/力传递性能指标 ${\bar K_\lambda }$ 以及输出运动/力传递性能指标 ${\bar K_\eta }$ 与结构参数 $r$、 $R$ 和 $L$ 之间的分布规律；性能指标数值越大，表明该区域的结构尺寸下对应的机构性能越好. 总体来看，各项性能指标随着结构尺寸的分布规律不一致，单从图5（a）~（d）很难确定最佳尺寸解，需要综合考虑4个性能指标来确定优化尺寸解集范围.

该机构的多目标参数优化是综合考虑该机构速度传递性能及运动/力传递性能进行多目标性能结构尺寸优化. 通过分析得到的多项性能指标，即全域线速度传递性能指标、全域角速度传递性能指标、输入运动/力传递性能指标以及输出运动/力传递性能指标，需要综合各项性能指标找到最优的结构尺寸参数. 基于PCA法^[21]，对该并联机构进行多目标性能参数优化. 首先选取160个参数样本，具体数值如表1所示.

考虑到各单个性能指标具有不同量纲级别，样本数据之间不具有可比性. 首先对样本数据进行标准化处理，使得各指标之间处于同一量级，进一步进行综合评价分析. 首先采用 $Z - {\rm Score}$ 法对样本数据进行标准化后，得到各性能指标标准化数据 $Z \in {{\bf R}^{m \times 4}}$，变换法则如下：

(29) $\left. \begin{array}{l} {Z_{ij}} = \left({{{K_{ij}} - \overline {{K_j}} }}\right)\Big/{{{s_j}}},\\ \overline {{K_j}} =\left( {{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{K_{ij}}} }}/{m}\right)s_j^2 = {{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left( {{K_{ij}} - \overline {{K_j}} } \right)}^2}} }}\Bigg/\left({{m - 1}}\right). \end{array}\right\}$

从表2可以看出，各性能指标之间可能存在一定的相关性，使数据存在一定的信息重叠，应用相关系数矩阵可以充分地反映各性能指标之间的相关性，这是降维的首要条件^[22-23]. 相关系数矩阵 ${ R}$ 表示为

(30) ${ R} = \frac{1}{{m - 1}}{{ Z}^{\rm{T}}}{ Z}.$

通过表3的相关系数矩阵 ${{R}}$ 可知，4个单全域性能指标之间均成正相关性， ${\bar K_v}$ 与 ${\bar K_\lambda }$ 的相关性较强，且与 ${\bar K_\omega }$ 和 ${\bar K_\eta }$ 的相关性较弱； ${\bar K_\omega }$ 与 ${\bar K_\lambda }$ 和 ${\bar K_\eta }$ 的相关性较强，且与 ${\bar K_v}$ 的相关性较弱； ${\bar K_\lambda }$ 与 ${\bar K_v}$ 和 ${\bar K_\omega }$ 的相关性较强，且与 ${\bar K_\eta }$ 的相关性较弱； ${\bar K_\eta }$ 与 ${\bar K_\omega }$ 的相关性较强，且与 ${\bar K_v}$ 和 ${\bar K_\lambda }$ 的相关性较弱；因上述各项性能指标均成正相关性，可以用一个综合性能指标代替各项性能指标. 主成分可以通过分析 ${{R}}$ 的特征值和单位特征向量来确定，即主成分的个数是根据性能指标的累计方差贡献率来确定的，方差贡献率为

(31) ${\delta _i} = {{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^p {{\lambda _i}} }}\\ \Bigg/ {{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} }}.$

式中： ${\lambda _i}$ 为相关系数矩阵的特征值，且按降序排列 ${\lambda _1} \geqslant {\lambda _2} \geqslant \cdots \geqslant {\lambda _n} \geqslant 0$；通常取累计方差率 ${\delta {^{\rm t}_i}} \geqslant 85 $ %来确定主成分的个数 $P$^[24].

根据表4可知，3个主成分可以基本反映全部指标的蕴含信息；将特征向量作为标准化后各项单一性能指标的系数，可得各主成分的表达式.

第一主成分的表达式为

(32) ${F_1} = 0.63{Z_1} + 0.32{Z_2} + 0.66{Z_3} + 0.25{Z_4}.$

第二主成分的表达式为

(33) ${F_2} = - 0.33{Z_1} + 0.63{Z_2} - 0.23{Z_3} + 0.66{Z_4}.$

第三主成分的表达式为

(34) ${F_3} = 0.25{Z_1} - 0.65{Z_2} - 0.19{Z_3} + 0.69{Z_4}.$

根据PCA法，通过提取相关系数矩阵的特征值和单位特征向量，可以构造该机构的全域性能综合评价函数：

(35) $F = \sum\limits_{i = 1}^k {{v_i}} {F_i}.$

由式（36）～（39），可得该5自由度机构的全域综合评价函数的表达式：

(36) $F = 1.06{Z_1} + 0.88{Z_2} + 0.91{Z_3} + 1.8{Z_4}.$

绘制综合评价性能指标与无量纲结构尺寸之间的关系图，可以发现综合性能评价指标性能分布图和4个单一全域性能指标的性能图谱分布规律基本一致. 假设优化目标需要满足： $K \geqslant 2.8$ 时为良好传递性能范围，如图6所示，可以确定最优的尺寸区域，无量纲结构参数在 $x = 2.13,y = 1.1$ 处的综合性能指标数值最大，相应的各项性能较优.

基于综合性能图谱，可以获取一组无量纲尺寸参数集合，最终的机构参数要结合工程实际需要来确定标准系数 $n$；根据 $n$ 可得具有量纲的尺寸参数 $r$、 $R$ 和 $L$.

为了更加直观地验证上述方法的正确性，在最优尺寸区域下，根据离最优解的距离近远选取2组机构参数： $x = 2.13,y = 1.1;$ $x = 2.11,y = 1.3$；在最优尺寸区域外选取一组结构参数： $x = 2.40,y = 1.0$. 计算各参数下的性能指标值，如表5所示；给出综合评价指标在该5自由度并联机构位置工作空间下的分布规律.

从图7可以发现，综合性能指标关于该并联机构的位置工作空间分布是左、右对称的，越靠近位置中心综合性能越好，符合机构的运动特点. 在结构设计时，尺寸的选取在最优尺寸区域内且越靠近最优解附近，综合性能评价指标在机构的工作空间内分布越好，验证了基于空间模型技术结合PCA法确定的综合评价指标受该5自由度并联机构的结构尺寸有较明显的影响，且在综合性能指标较好的情况下各单个性能指标得到相应的提高.5-PSS/UPU并联机构尺寸设计可以参考该综合全域性能图谱，选择较优性能的尺寸参数.

基于参数优化结果，同时考虑加工与装配工艺性，选取第1组结构参数尺寸，给出该5自由度并联机构的设计方案. 如图8所示，驱动器都设置在装置的机架上，减轻了装置的负荷，提高了装置的驱动能力；因此，这种机构具有运动稳定性高、实时控制性强等优点，该装置可以应用于海平面回收平台领域，作为柔性自适应平衡调节系统装置.

（1）对新型5-PSS/UPU五自由度并联机构进行运动学性能分析，得到全域速度传递性能指标、全域输入运动/力传递性能指标以及全域输出运动/力传递性能指标.

（2）应用空间模型技术，绘制了4个全域性能图谱，揭示了各全域性能指标与该机构结构参数之间的映射关系，为该机构的多目标性能参数优化奠定基础.

（3）应用主成分分析法，结合空间模型技术分析各项性能指标之间的相关性，得到各指标的权重系数，有效减小了综合目标函数对权重系数的经验依赖性；结合空间模型技术，绘制了综合性能评价指标的性能图谱.

（4）根据综合性能评价指标的性能图谱，确定最优尺寸区域；在该区域内、外共选取3组结构参数，验证了基于空间模型技术结合PCA法在机构多目标性能优化方面的有效性. 该优化方法能够综合考虑机构的多方面性能，在机构的多目标性能参数优化方面具有一定的参考价值.