高压直流输电以其传输功率大、线路造价低、控制性能好等优点，在远距离、大功率输电以及异步联网中占有越来越重要的位置^[1]. 而担负容量传输重任的直流输电线路，距离长且工作环境复杂，线路故障已成为直流输电系统最常见的故障之一^［2］. 因此提高直流线路的保护性能具有重要意义.

目前，现有直流输电线路保护以行波保护、微分欠压保护等构成主保护，以电流差动保护、低电压保护等构成后备保护. 行波保护动作速度快，不受过渡电阻、负载、长线分布电容等因素的影响，但波头捕捉的方法相对匮乏，定值整定尤为困难，可靠性不高，易误动^[3-4]；微分欠压保护特点与行波保护大同小异^[5]，而电流差动保护主要用于检测出线路高阻接地的故障^[6-7]，由于受运行环境的影响，主要可能涉及到电力电子和分布电容等原因，整定门槛与动作时间较难协调，门槛值大多凭借以大量的仿真数据增加可靠系数的方法来整定，缺乏相对稳定制动量. 因此，有必要对高压直流输电线路的差动保护进行改进.

为了提高差动保护性能，电力研究者作了大量研究. 目前，高淑萍等^[8]提出了一种可用于高压直流(high voltage direct current，HVDC) 输电线路的电流差动保护方法，该方法通过高、低不同整定值的判据配合使用，具有良好的性能，但对两端数据同步、通信速率和采样频率有一定要求；郑晓东等^[9]提出了基于分布电容电流补偿的直流差动保护算法，提高了直流差动保护的灵敏度与可靠性，但对补偿算法要求较高. 邢鲁华等^[10-11]均利用了区内、外故障突变量方向的差异构造保护判据，能有效判别直流线路的区内、外故障，具有较高的实用价值和借鉴性.

在分析特高压直流线路传统差动保护特点的基础上，借鉴交流线路中纵向阻抗的思想，根据线路两端电压差、电流与线路串联电阻三者间存在的电气三角平衡关系，提出一种差动保护改进方案. 根据故障附加网络模型的分析结果可知，线路两端电压差、线路两端电流和以及线路的串联电阻之间，具备特定的制衡机制和等量的转换关系. 利用上述特点，转变算式，可构造差动保护改进判据. 考虑到大量高频谐波分量等因素对差动保护性能的影响，利用积分滤波算法可以对高频分量进行有效抑制和滤除，达到保护可靠判别故障的目的. 当发生区外故障时，所用线路两端电压突变量差经过积分算法滤波后，高频分量被明显滤除，使直流分量有效保留，线路两端电压量中的直流分量能够绝对遏制差动电流不平衡的扰动，保证了保护的可靠性；当发生区内故障时，线路两端电流突变量和中的直流分量得到保留和放大，强化了故障状态，线路两端电压中的扰动分量不足以影响保护对故障状态的判别，且保证了差动保护具有一定的灵敏性. 相比传统差动保护，该方案原理简单，不仅可以解决传统差动保护缺乏相对稳定制动量的问题，而且可以有效抵御电力电子和分布电容等因素带来的高频谐波的影响，对采样速率要求低. 本研究采用PSCAD/EMTDC搭建±800 kV仿真模型并配置3种典型故障对方案进行验证.

直流输电线路传统差动保护由于缺乏有效工频量，无法构成类似交流电流差动保护一样的制动电流，只能凭借区外故障时的实际瞬时最大不平衡电流增加可靠系数，以此来设置固定的门槛值. 常见的传统电流差动保护动作方程如下：

(1) $\left| {{i_m}(t) + {i_n}(t)} \right| > {I_{{\rm{set}}}}.$

式中： $m$、 $n$ 为线路整、逆两端的测量点； $t$ 为时间； ${i_m}(t)$、 ${i_n}(t)$ 分别为 $t$ 时刻线路 $m$、 $n$ 两测量点处的电流值； ${I_{{\rm{set}}}}$ 为动作的整定值.

在式(1)动作方程中，直流线路差动保护采用线路两端直流电流差值作为动作量，理论上保证了差动保护绝对的选择性. 由于传统差动保护受线路分布电容、电力电子操控和直流控制系统等因素的影响，差动保护必须通过设置短延时、高定值来躲避区外故障暂态过程中最大不平衡电流的干扰，以此来保证保护的可靠性；或通过长延时、低定值来确保系统进入故障稳态运行后差动保护判据的成立. 可见，传统直流线路差动保护缺乏相对稳定制动量，只能根据故障后运行特点，通过调节门槛值的大小及保护的出口时间来确保差动保护判据成立.

目前，国内特高压直流输电系统均采用双12脉动换流器的接线方式. 在稳态运行和系统故障条件下，换流器会产生特征和非特征谐波^[12]. 为了消除这些暂态谐波分量的影响，直流线路两端安装有消除特征谐波的直流滤波器和平波电抗器. 然而，系统外部故障时除了这些特征谐波外还存在大量的非特征谐波，会对故障暂态过程中的电流和电压测量产生影响. 暂态谐波电流可能会降低差动保护的性能指标，引起直流差动保护的误动与拒动，因此为了最大程度地抑制交流分量和保留直流信号完整性，需要采用数字滤波手段来消除暂态谐波的影响.

积分滤波算法具有3个特点^[13]：1）理论上，能够有效地滤除整次谐波，对高频分量的滤除能力很强；2）对于非整次（分次）高频谐波，当积分步长超过半个周波时，虽然不能完全滤除该谐波，但对相关的谐波分量仍有明显的抑制作用；3）对于衰减的高频谐波分量，只要保证一定积分时间，也能有效遏制其振荡部分. 本文采用积分算法进行滤波. 经典的积分差动保护动作方程中典型的采样值表达式如下：

(2) $\frac{1}{N}\sum\nolimits_{t = 0}^T \,\,{\left| {{i_m}(t) + {i_n}(t)} \right|} > {I_{{\rm{set}}}}.$

式中： $T$ 为积分时长， $N$ 为时间段 T 内的采样值点数.

相比式(1)，在经过积分滤波算法后，式(2)动作量中的暂态谐波成分被有效削弱，整定值可以大幅降低，提高了保护灵敏度，改善了差动保护的性能^[9].

目前，世界上已运行的特高压直流输电工程大多为双极系统，主要由整流站、逆变站和直流输电线路三部分构成^[14]，结构如图1所示. 图中， ${G_{{\rm{rec}}}}$ 为整流站的交流电源， ${G_{{\rm{inv}}}}$ 为逆变站的交流电源，直流侧的滤波环节由平波电抗器与直流滤波器组成， ${f_1}$ 为整流站交流侧的故障点， ${f_2}$ 为逆变站交流侧的故障点， ${f_3}$ 为线路内的故障点.

在直流线路发生故障的瞬间，根据叠加定理，故障模型可等效为负荷分量模型与故障附加的模型叠加. 本研究针对双极对称的直流输电系统的直流线路，且利用的是线路两端故障电压与电流的突变量的数据，因此可对整、逆两侧交流系统进行等效. 考虑线路分布电容的影响，线路采用带补偿电容支路的 $\prod $ 型线路模型. 线路外部发生故障时的等效附加网络模型如图2所示. 规定正方向均为从母线指向线路. 图中， $\varphi {\rm{ = }}p,q$ 分别为直流输电线路的正、负极； $\Delta {i_{m\varphi }}(t)$、 $\Delta {i_{n\varphi }}(t)$ 与 $\Delta {u_{m\varphi }}(t)$、 $\Delta {u_{n\varphi }}(t)$ 分别为从 $m$、 $n$ 两测量点实时获得线路各极线的电流突变量值和电压的突变量值； $\Delta {i'_{m\varphi }}(t)$、 $\Delta {i'_{n\varphi }}(t)$ 分别为 $m$、 $n$ 两测量点补偿了电容电流后各电流突变量值； $\Delta {i_{m\varphi c}}(t)$、 $\Delta {i_{n\varphi c}}(t)$ 分别为靠近 $m$、 $n$ 两测量点处电容支路的电容电流突变量值； ${u_F}(t)$ 与 ${i_F}(t)$ 分别为故障点F对应的等效电压与故障电流； ${u_F}^\prime (t)$ 为故障点的电压值； ${R_F}$ 为故障点过渡电阻； $D$ 和 $d$ 分别为被保护线路全长和从测量点 $m$ 至故障点的线路长度； $l\text{、}r$ 和 $c$ 分别为单位长度线路电感、电阻和电容； ${L_m}$ 和 ${R_m}$、 ${L_n}$ 和 ${R_n}$ 分别为线路 $m$、 $n$ 两侧电气设备等效电路的电感和电阻； ${L_n}^\prime $ 和 ${R'_n}$ 分别为区外故障时 $n$ 测量点至故障点的等效电感和等效电阻.

在直流输电系统中，受电力电子操控、长距离输电线路参数分布以及电压电流互感器传变误差等因素的影响，采样信号中不仅含有脉动且幅值变化的直流分量，同时含有大量的暂态高频谐波分量^[14]. 因此，无论是区内还是区外故障，均可设定故障或者扰动中心所呈现故障电压突变量与故障电流的时域描述：

(3) $ \!\!\!\!\!\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_F}^\prime (t) \!=\! {U_0}\left[ {1 + {y_{u0}}\exp \,\, \left( { - t/{\tau _0}} \right)} \right]{\rm{ + }}}\\ \;\;\;\;\;\;{\displaystyle\sum\limits_{k \in {{K}}}\,{\left\{\!\! {\sqrt 2 {U_k}\!\left[ {1 \!+\! {y_{uk}}\exp\,\, \left( { - t/{\tau _k}} \right)} \right]\sin\,\, (k\omega t + {\phi _{uk}})} \right\},} }\\ {{i_F}(t) \!=\! {I_0}\left[ {1 \!+\! {y_{i0}}\exp\,\, \left( { - t/{\tau _0}} \right)} \right]{\rm{ + }}}\\ \;\;\;\;\;\;{\displaystyle\sum\limits_{k \in {{K}}}\, {\left\{\!\! {\sqrt 2 {I_k}\!\left[ {1\! +\! {y_{ik}}\exp\,\, \left( { - t/{\tau _k}} \right)} \right]\sin \,\,(k\omega t + {\phi _{ik}})} \right\}.} } \end{array}} \!\!\!\!\!\!\right\} $

式中： ${U_0}$ 和 ${I_0}$ 分别为故障点直流电压和直流电流的稳态值； ${\gamma_{u0}}$ 和 ${\gamma_{i0}}$ 分别为故障点直流电压和故障直流电流的衰减值与稳定值的比值； ${\tau _0}$ 为故障点直流电压幅值的衰减时间常数； ${ K}$ 为 $k$ 整次高阶谐波的集合； ${U_k}$ 和 ${I_k}$ 分别为 $k$ 次谐波电压和谐波故障电流的有效稳态幅值； ${\gamma_{uk}}$ 和 ${\gamma_{ik}}$ 分别为 $k$ 次谐波电压和谐波故障电流的衰减幅值与稳态幅值的比值； ${\tau _k}$ 为 $k$ 次谐波电压幅值的衰减时间常数； ${\phi _{uk}}$ 和 ${\phi _{ik}}$ 分别为 $k$ 次谐波电压和谐波故障电流的初始相位； $\omega $ 为直流输电线路外侧交流系统的工频角频率.

当发生区外故障时，根据式(3)得到故障电压突变量的时域表达式以及如图2所示的等效故障网络附加模型，经过分压计算后，可得区外故障时 $m$ 和 $n$ 两测量点处的故障电压突变量如下：

(4) $ \!\!\!\!\!\left. \begin{array}{l} \Delta {u_{m\varphi }}(t) \!=\! {{\textit{λ}}_m}{u_F}^\prime (\!t\!) \!=\! {{\textit{λ}}_{m0}}{U_0}\left[ {1 \!+\! {{\gamma}_{u0}}\exp \; \left(\! { - t/{\tau _0}} \right)} \right]\!{\rm{ + }} \qquad \\ \;\;\left. { \displaystyle\sum\limits_{k \in { K}}\; {\left\{ {{\textit{λ}_{mk}}\sqrt 2 {U_k}\!\left[ {1 + } \right.} \right.} {\gamma_{uk}}\exp \;\left( { - t/{\tau _k}} \right)} \right]\sin\; (k\omega t \!+\! {\phi _{uk}}\!){\text ，}\\ \Delta {u_{n\varphi }}(t) \!=\! {\textit{λ}_n}{u_F}^\prime (\!t\!) \!=\! {\textit{λ}_{n0}}{U_0}\left[ {1 \!+\! {\gamma_{u0}}\exp \!\;\left( { - t/{\tau _0}} \right)} \right]\!{\rm{ + }} \qquad \\ \;\;\left. { \displaystyle\sum\limits_{k \in { K}} \;{\left\{\! {{\textit{λ}_{nk}}\sqrt 2 {U_k}\left[ {1 + } \right.} \right.} {\gamma_{uk}}\exp \!\;\left( { - t/{\tau _k}} \right)} \right]\sin\; (k\omega t \!+\! {\phi _{uk}}\!). \end{array}\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\right\}$

式中： ${\textit{λ}_m}$ 和 ${\textit{λ}_n}$ 分别为故障点故障电压突变量的时域表达根据电路理论阻抗分压关系折算至 $m$ 和 $n$ 测量点处的综合比例系数；同理， ${\textit{λ}_{m0}}$ 和 ${\textit{λ}_{n0}}$ 分别为在 $m$ 和 $n$ 测量点对应故障点直流分量的电压分配系数； ${\textit{λ}_{mk}}$ 和 ${\textit{λ}_{nk}}$ 分别为在 $m$ 和 $n$ 测量端对应故障点高次谐波分量的电压分配系数.

当发生区外故障时，根据图2(a)和电路理论中的分压公式， ${\textit{λ}_{m0}}$、 ${\textit{λ}_{n0}}$ 以及 ${\textit{λ}_{mk}}$、 ${\textit{λ}_{nk}}$ 可近似表示为

(5) $ \!\!\!\!\left. \begin{array}{l} {\textit{λ}_{m0}} \approx \displaystyle\frac{{{R_m}}}{{{R_m} + rD + {{R'}_n}}}{\text ，}\\ {\textit{λ}_{n0}} \approx \displaystyle\displaystyle\frac{{{R_m} + rD}}{{{R_m} + rD + {{R'}_n}}}{\text ，}\\ {\textit{λ}_{mk}} \approx \displaystyle\frac{{{Z_{nk}}^\prime }}{{{Z_{nk}}^\prime + {R_n}^\prime + {\rm j}k\omega {L_n}^\prime }} \times \displaystyle\frac{{{Z_{mk}}^\prime }}{{{Z_{mk}}^\prime + rD + {\rm j}k\omega lD}}{\text ，}\\ {\textit{λ}_{nk}} \approx \displaystyle\frac{{{Z_{nk}}^\prime }}{{{Z_{nk}}^\prime + {R_n}^\prime + {\rm j}k\omega {L_n}^\prime }}. \end{array}\!\!\!\!\! \right\} $

式中：

$ \begin{array}{l} {Z_{mk}}^\prime {\rm{ = }}\displaystyle\frac{{2({R_m} + {\rm j}k\omega {L_m}){{\left( {{\rm j}k\omega cD} \right)}^{{\rm{ - 1}}}}}}{{{R_m} + {\rm j}k\omega {L_m} + 2{{\left( {{\rm j}k\omega cD} \right)}^{{\rm{ - 1}}}}}}{\text，}\\ {Z_{nk}}^\prime = \displaystyle\frac{{2({Z_{mk}}^\prime + rD + {\rm j}k\omega lD){{\left( {{\rm j}k\omega cD} \right)}^{{\rm{ - 1}}}}}}{{({Z_{mk}}^\prime + rD +{\rm j}k\omega lD) + 2{{\left( {{\rm j}k\omega cD} \right)}^{{\rm{ - 1}}}}}}. \end{array} $

同理，当发生区内故障时，根据图2(b)可得， ${\textit{λ}_{m0}}$、 ${\textit{λ}_{n0}}$ 以及 ${\textit{λ}_{mk}}$、 ${\textit{λ}_{nk}}$可近似为

(6) $ \left. \begin{array}{l} {\textit{λ}_{m0}} \approx \displaystyle\frac{{{R_m}}}{{{R_m} + rD}}{\text，}\\ {\textit{λ}_{n0}} \approx \displaystyle\displaystyle\frac{{{R_n}}}{{{R_n} + r(D - d)}}{\text，}\\ {\textit{λ}_{mk}} \approx \displaystyle\frac{{{Z_{mk}}^\prime }}{{{Z_{mk}}^\prime + rd + {\rm j}k\omega ld}}{\text，}\\ {\textit{λ}_{nk}} \approx \displaystyle\frac{{{Z_{nk}}^{\prime \prime }}}{{{Z_{nk}}^{\prime \prime } + r(D - d) + {\rm j}k\omega l(D - d)}}. \end{array} \right\} $

式中： ${Z_{nk}}^{\prime \prime }{\rm{ = }}\frac{{2({R_n} + {\rm j}k\omega {L_n}){{\left( {{\rm j}k\omega cD} \right)}^{{\rm{ - 1}}}}}}{{{R_n} + {\rm j}k\omega {L_n} + 2{{\left( {{\rm j}k\omega cD} \right)}^{{\rm{ - 1}}}}}}.$

根据图2(a)和基尔霍夫电流定律，可以得线路 $m$、 $n$ 两测量点处电流突变量值的时域表达式：

(7) $ \left. \begin{array}{l} \Delta {i_{m\varphi }}(t) = \Delta {{i'}_{m\varphi }}(t) + \Delta {i_{m\varphi C}}(t){\text，}\\ \Delta {i_{n\varphi }}(t) = \Delta {{i'}_{n\varphi }}(t) + \Delta {i_{n\varphi C}}(t){\text，}\\ \Delta {{i'}_{m\varphi }}(t) + \Delta {{i'}_{n\varphi }}(t) = 0{\text，}\\ \Delta {i_{m\varphi C}}(t){\rm{ = }}\displaystyle\frac{{cD}}{2}\frac{{{\rm d}\Delta {u_{m\varphi }}(t)}}{{{\rm d}t}}{\text，}\\ \Delta {i_{n\varphi C}}(t){\rm{ = }}\displaystyle\frac{{cD}}{2}\frac{{{\rm d}\Delta {u_{n\varphi }}(t)}}{{{\rm d}t}}{\text，}\\ \Delta {i_{m\varphi }}(t) + \Delta {i_{n\varphi }}(t) = \Delta {i_{m\varphi C}}(t) + \Delta {i_{n\varphi C}}(t). \end{array} \right\} $

从式(7)可知，电容电压在求导后能够将电容支路的直流分量滤除，因此电容电流呈周期性，且其频率与干扰谐波的频率基本相同. 根据积分滤波算法的低通滤波特性可知，在理想状态下，电容电流在经过积分滤波算法后能够被很好地滤除，正常滤波下所剩的尾值也很小，因此能够忽略长线路分布中电容电流的影响.

根据式(7)可得线路两端电流突变量和在T时间段内的积分值：

(8) $\begin{aligned} &\sum\nolimits_{t=0}^{T}\;{\Delta {{i}_{{\varphi }}}(t)}=\left| \sum\nolimits_{t=0}^{T}\;{\left[ \Delta {{i}_{m\varphi }}\left( t \right)+\Delta {{i}_{n\varphi }}\left( t \right) \right]} \right|= \\ &\quad \text{ }\left| -\frac{cD}{2}\left\{ \left( {{\textit{λ}}_{m0}}+{{\textit{λ}}_{n0}} \right){{U}_{0}}\frac{{{\gamma }_{u0}}}{{{\tau }_{0}}}{{A}_{1}}+ \right. \right. \\ &\quad \left. \left. \sum\limits_{k\in K}{\left[ \left( {{\textit{λ}}_{mk}}+{{\textit{λ}}_{nk}} \right)\left( \sqrt{2}{{U}_{k}}\frac{{{\gamma}_{uk}}}{{{\tau }_{k}}}{{A}_{2}}-k\omega \sqrt{2}{{U}_{k}}{{\gamma}_{uk}}{{A}_{3}} \right) \right]} \right\} \right|\cdot \text{ } \end{aligned} $

式中： $\displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T {\Delta {i_{ \varphi }}(t)} $ 为 $\varphi $ 极在T时间内线路两端电流突变量和的积分值；A₁为直流衰减分量的积分数据；A₂为正弦衰减分量的积分数据项；A₃为余弦衰减分量的积分数据项. 各积分数据近似情况如下：

$\begin{split} {A_1} &\!\!=\!\! \sum\nolimits_{t = 0}^T \;{\exp\; \left( { - t/{\tau _0}} \right)} {\rm{ = }}1{\rm{ \!+\! }}\exp\; \left( { \!-\! 1/{\tau _0}} \right){\rm{ \!+\! }} \cdot \cdot \cdot {\rm{ \!+\! }}\exp \;\left( { \!-\! T /{\tau _0}} \right)\approx\\ &{ \left[ {{\rm{1}} - \exp\;\left( { - \frac{{T + 1}}{{{\tau _0}}}} \right)} \right]{\Bigg /}\left[ {{\rm{1}} - \exp\;\left( { - \frac{1}{{{\tau _0}}}} \right)} \right].}\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\;\,\,(9) \end{split}$

(10) $\begin{split} {A_2} &= \displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T \;{\left[ {\exp\;\left( { - t/{\tau _k}} \right)\sin\; (k\omega t + {\phi _{uk}})} \right]} \approx \\ & f'(\sin\; ({\phi _{uk}}),k,N,{\tau _0}) \times \\ &\quad \left\{ {\left[\! {1 \!-\exp\, \left( { \!-\! \frac{{T - 1}}{{{\tau _0}k}}} \right)} \right]{\Bigg /}\left[\! {1 \!-\! \exp\,\left( { \!-\! \frac{{N - 1}}{{{\tau _0}k}} \!-\! \frac{{\rm{1}}}{{{\tau _0}}}} \right)} \right]} \right\}. \end{split}$

(11) $\begin{split} {A_3} &= \displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T\; {\left[ {\exp\;\left( { - t/{\tau _k}} \right)\cos\; (k\omega t + {\phi _{uk}})} \right]} \approx\\ & f'(\cos \;({\phi _{uk}}),k,N,{\tau _0}) \times \\ &\quad \left\{ {\left[\! {1 \!- \exp\, \left( { \!-\! \frac{{T - 1}}{{{\tau _0}k}}} \right)} \right]{\Bigg /}\left[\! {1 \!- \exp\left( { - \frac{{N \!-\! 1}}{{{\tau _0}k}} - \frac{{\rm{1}}}{{{\tau _0}}}} \right)} \right]} \right\}. \end{split}$

其中， $f'(x)$ 为周期性积分和式的滤波函数.

由式(9) ~(11)可以看出，在合适的积分时间下，函数 $f'(x)$ 具有明显的滤波效应. 式(8)在经过积分算法滤波消除高频谐波后，可近似为

(12) $ \sum\nolimits_{t = 0}^T \;\,{\Delta {i_{ \varphi }}(t)} \approx \left| { - \frac{{cD}}{2}\left[ {\left( {{\textit{λ}_{m0}} + {\textit{λ}_{n0}}} \right){U_0}\frac{{{\gamma_{u0}}}}{{{\tau _0}}}{A_1}} \right]} \right|. $

在合适的时间段T内，利用积分算法的低通滤波的效果可以大幅降低直流线路高频谐波对启动门槛设置的影响，降低谐波信号的干扰性.

同理，在经过积分算法滤波后，根据式(4)可得线路两端电压突变量的采样积分值，近似为

(13) $ \begin{split} \sum\nolimits_{t = 0}^T \;\,{\Delta {u_{ \varphi }}(t)} =& \left| {\sum\nolimits_{t = 0}^T \;\,{\left[ {\Delta {u_{m\varphi }}(t) - \Delta {u_{n\varphi }}(t)} \right]} } \right|{\kern 1pt} \approx\\ & {\kern 1pt} \left| {\left( {{\textit{λ}_{m0}} - {\textit{λ}_{n0}}} \right){U_0}{A_4}} \right|. \end{split}$

式中： $\displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T \;{\Delta {u_{\varphi }}(t)} $ 为 $\varphi $ 极在T时间段内的线路两端电压突变量差的积分值;

$\begin{aligned} & {{A}_{4}}= \displaystyle\sum\nolimits_{t=0}^{T}\;{\left[ 1+{{\gamma}_{u0}}\exp \;\right.}\left. \left( -t/{{\tau }_{0}} \right) \right] \\ & {A_5} = \displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T \;{\left\{ {\left[ {1 + {\gamma_{uk}}\exp \;\left( { - t/{\tau _k}} \right)} \right]\sin\;(k\omega t + {\phi _{uk}})} \right\}} \end{aligned}$

根据式(5)、(12)和(13)可得

(14) $\begin{split} & {\displaystyle\sum\nolimits_{t=0}^{T}\;{\Delta {{u}_{{\varphi }}}(t)}}{\Bigg /}{\displaystyle\sum\nolimits_{t=0}^{T}\;{\Delta {{i}_{{\varphi }}}(t)}}\approx \\ &\quad \frac{\left| rD\displaystyle\sum\nolimits_{t=0}^{T}\;{\left\{ 1+{{\gamma}_{u0}}\exp \;\left( -t/{{\tau }_{0}} \right) \right\}} \right|}{\left| -\displaystyle\frac{cD}{2}\left[ (2{{R}_{m}}+rD)\displaystyle\frac{{{\gamma}_{u0}}}{{{\tau }_{0}}}\displaystyle\sum\nolimits_{t=0}^{T}\;{\exp \;\left( -t/{{\tau }_{0}} \right)} \right] \right|}>rD. \end{split} $

式中： $rD$ 为线路全长串联电阻. 分子为一个直流衰减分量残值，分母为一个直流分量值与一个残值之和，分母中的直流分量 $rD$ 明显占优势. 转换算式可得

(15) $\sum\nolimits_{t = 0}^T \;{\Delta {i_{\varphi }}(t)} - \frac{{\rm{1}}}{{rD}}\sum\nolimits_{t = 0}^T \;{\Delta {u_{ \varphi }}(t)} < 0.$

综上所述，区外故障时，线路两端电流突变量和的积分值 $\displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T {\Delta {i_{ \varphi }}(t)} $ 小于线路两端电压突变量差的积分值 $\displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T {\Delta {u_{ \varphi }}(t)} $ 与 $rD$ 的比值，有明显的区外故障特性.

根据图2(b)、基尔霍夫电流定律与基尔霍夫电压定律可得 $m$ 和 $n$ 两侧的各极电气突变量的时域关系式如下：

(16) $ \left. \begin{array}{l} \Delta {i_{m\varphi }}(t) = \Delta {{i'}_{m\varphi }}(t) + \Delta {i_{m\varphi C}}(t){\text ，}\\ \Delta {i_{n\varphi }}(t) = \Delta {{i'}_{n\varphi }}(t) + \Delta {i_{n\varphi C}}(t){\text ，}\\ \Delta {i_{m\varphi C}}(t){\rm{ = }}\displaystyle\frac{{cD}}{2}\displaystyle\frac{{{\rm d}\Delta {u_{m\varphi }}(t)}}{{{\rm d}t}}{\text ，}\\ \Delta {i_{n\varphi C}}(t){\rm{ = }}\displaystyle\frac{{cD}}{2}\displaystyle\frac{{{\rm d}\Delta {u_{n\varphi }}(t)}}{{{\rm d}t}}{\text ，}\\ \Delta {{i'}_{m\varphi }}(t) + \Delta {{i'}_{n\varphi }}(t) = {i_F}(t){\text ，}\\ \Delta {u_{m\varphi }}(t) = rd\Delta {{i'}_{m\varphi }}(t) + ld\displaystyle\frac{{{\rm d}\Delta {{i'}_{m\varphi }}(t)}}{{{\rm d}t}} + {u_F}^\prime (t){\text ，}\\ \Delta {u_{n\varphi }}(t) = r(D - d)\Delta {{i'}_{n\varphi }}(t) + l(D - d)\displaystyle\frac{{{\rm d}\Delta {{i'}_{n\varphi }}(t)}}{{{\rm d}t}} + {u_F}^\prime (t). \end{array} \!\!\!\!\!\right\} $

经过积分算法滤波后，根据式(12)与(16)可得线路两端电流突变量和的积分值的近似表达式如下：

(17) $ \begin{split} &\displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T \;{\Delta {i_{ \varphi }}(t)} \approx \left| { - \frac{{cD}}{2}\left[ {\left( {{\textit{λ}_{m0}} + {\textit{λ}_{n0}}} \right){U_0}\frac{{{\gamma_{u0}}}}{{{\tau _0}}}{A_1}} \right] + } \right.\\ &\quad \left. {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \displaystyle\frac{{{R_m} + rD + {R_n}}}{{({R_m} + rD) + \left[ {{R_m} + r(D - d)} \right]}}{U_0}{A_6}} \right|. \end{split} $

式中： ${A_6} = \displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T \;{\left[ {1 + {{\gamma _{_i{_0}}}}\exp \;\left( { - t/{\tau _0}} \right)} \right]} $.

根据式(17)可以看出，在相同条件下，利用积分算法的低通滤波可以明显提升故障电流对启动门槛设置的可靠触发，提高状态判别的灵敏度. 同理，根据式(4)与(6)可得

(18) $\sum\nolimits_{t = 0}^T \;{\Delta {u_{\varphi }}(t)} \!\! \approx \left| {\frac{{{R_m} + r(D - d) - {R_n}rd}}{{({R_m} + rD) + \left[ {{R_m} + r(D - d)} \right]}}{U_0}{A_4}} \right|.$

将式(17)和(18)作商可得如下关系：

(19) $\begin{split}\sum\nolimits_{t = 0}^T &{\Delta {u_{ \varphi }}(t)} {\Bigg /}\sum\nolimits_{t = 0}^T {\Delta {i_{\varphi }}(t)} \approx \\ & \!\left| {\frac{{{R_m}r(D - d) - {R_n}rd}}{{{R_m} + rD + {R_n}}}} \right| <\; \left| {\frac{{{R_m}r(D - d)}}{{{R_m} + rD + {R_n}}}} \right| < rD.\end{split}$

转换算式可得

(20) $\sum\nolimits_{t = 0}^T \;\,{\Delta {i_{\varphi }}(t)} - \frac{{\rm{1}}}{{rD}}\sum\nolimits_{t = 0}^T \;\,{\Delta {u_{\varphi }}(t)} > 0.$

当遇到区内故障时，根据式(19)的估算结果和式(20)可以看出，线路两端电流突变量和的积分值 $\displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T \;\,{\Delta {i_{ \varphi }}(t)} $ 大于线路两端电压突变量差的积分值 $\displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T \;\,{\Delta {u_{\varphi }}(t)} $ 与线路电阻值 $rD$ 的比值，具有明显的区内故障特性.

需要补充说明的是，两侧系统的等值在附加模型网络中是一个复杂的问题，是时变的且取决于两端系统的调节特性^[11]. 系统运行方式以及内部故障位置变化等对两侧系统阻抗值 ${R_m}{\text、}{R_n}$ 的影响，可用如下极端情况来反映.

当受端为无穷大系统，同时故障发生在 $n$ 端出口处时，即 ${R_m} \to 0{\text，}d \to D$ 时，

(21) $\begin{aligned} \sum\nolimits_{t = 0}^T \;& {\Delta {u_{ \varphi }}(t)} {\Bigg /}\sum\nolimits_{t = 0}^T \;{\Delta {i_{ \varphi }}(t)}\approx\\ & {\left| {\frac{{{R_m}r(D - d) - {R_n}rd}}{{{R_m} + rD + {R_n}}}} \right|_{\begin{array}{*{20}{c}} _{{{R_m} \to 0}{\text，}{ d\to D}} \end{array}}}{\rm{ < }}rD. \end{aligned}$

当受端为极弱系统，同时故障发生在 $m$ 端出口处时，即 ${R_m} \to \infty{\text，}d \to 0$ 时，

(22) $\begin{aligned} \sum\nolimits_{t = 0}^T \;&{\Delta {u_{ \varphi }}(t)} {\Bigg /}\sum\nolimits_{t = 0}^T \;{\Delta {i_{ \varphi }}(t)} \approx \\ & {\left| {\frac{{{R_m}r(D - d) - {R_n}rd}}{{{R_m} + rD + {R_n}}}} \right|_{\begin{array}{*{20}{c}} _{{{R_m} \to \infty }{\text，}{d \to 0}} \end{array}}}{\rm{ < }}rD. \end{aligned} $

从式(21)和(22)可以得出，利用阻抗对两侧系统进行等值，虽然与实际不符，但并不影响区内故障分析结论的正确性.

由第3.1和3.2节可知，在区外、区内故障情况下，线路两端的 $\displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T {\Delta {u_{ \varphi }}(t)} $、 $\displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T {\Delta {i_{ \varphi }}(t)} $ 与 $\left| {f(rD)} \right|$ 三者间，具有显著的区外、区内故障特性，利用上述特性，借鉴文献[15]、[16]中纵向阻抗的研究成果，利用上述指定的电压、电流结构与线路串联电阻三者间所形成的特定关系，转变算式，构造差动保护改进判据如下：

(23) $\begin{split} & \frac{\text{1}}{N}\left| \sum\nolimits_{t=0}^{T}\;{\left[ \Delta {{i}_{m\varphi }}(t)+\Delta {{i}_{n\varphi }}(t) \right]} \right|-\frac{\text{1}}{NrD} \times\\ &\quad \left| \sum\nolimits_{t=0}^{T}\;{\left[ \Delta {{u}_{m\varphi }}(t)-\Delta {{u}_{n\varphi }}(t) \right]} \right|>{{I}_{{\rm set}}}. \end{split} $

在积分数据窗的选择上，一是考虑积分算法的滤波效果，时间越长，效果越明显；二是控制系统约在故障发生4~5 ms后开始启动，调节过程一般约为30 ms^[11,17]. 综合考虑选择积分时间长度为 T =0~10 ms.

在启动门槛值的整定上，考虑到故障稳态电流为0.1的额定电流^[8,11]，因此可按0.1的额定电流来整定，即 ${I_{{\rm{set}}}} = 0.1{I_{\rm{e}}}$， ${I_{\rm{e}}}$ 为直流输电系统的额定电流.

式(23)改进保护判据可以描述如下：根据线路两端电流突变量和的积分滤波值与线路两端电压突变量差的积分滤波值跟线路电阻值之比的大小关系来识别区内、区外故障. 其中线路两端的 $m$ 测量点、 $n$ 测量点与故障点构成电气三角的3个顶点， $m$ 测量点到故障点的电流突变量 $\Delta {i_{m\varphi }}(t)$ 为电气三角的一边、 $n$ 测量点到故障点的电流突变量 $\Delta {i_{n\varphi }}(t)$ 为另一边， $m$ 和 $n$ 两个测量点之间的电流突变量 $\left[ {\Delta {u_{m\varphi }}(t) - \Delta {u_{n\varphi }}(t)} \right]/(rD)$ 为第三边，三边构成一个具备特定制衡机制和等量转换的电气三角平衡关系. 电气三角平衡关系类似数学几何中的三角关系，具有两边之差小于第三边，两边之和大于第三边的特点. 当发生区外故障时，经过积分算法滤波后， $\Delta {i_{m\varphi }}(t)$ 与 $ - \Delta {i_{n\varphi }}(t)$ 之差明显小于 $\left[ {\Delta {u_{m\varphi }}(t) - \Delta {u_{n\varphi }}(t)} \right]/(rD)$，线路两端电压突变量差中的直流分量能够有效抵御区外故障时不平衡电流的干扰，保证了区外故障时差动保护的可靠性. 同理，当线路发生区内故障时，在经过积分算法滤波后， $\Delta {i_{m\varphi }}(t)$ 与 $\Delta {i_{n\varphi }}(t)$ 之和明显大于 $\left[ {\Delta {u_{m\varphi }}(t) - } \right.$ $ \left. {\Delta {u_{n\varphi }}(t)} \right]/(rD)$，即两边之和大于第三边，线路两端电压突变量差值的残余分量能够反映出差动小故障电流，保证了在线路发生内部故障时保护的灵敏度.

与如式(1)所示的传统直流差动保护判据相比，式(23)所示的改进判据具有相对稳定的制动量，判据设置清晰，整定方便，可以在故障暂态过程中投入，积分算法的运用有效地遏制了高频谐波的干扰，抗扰动能力强，不需进行延时处理，可靠性和速动性均得到提高.

利用PSCAD/EMTDC电磁暂态仿真软件，参照国内现有±800 kV特高压直流输电工程^[18-19]，建立±800 kV双极直流输电系统仿真模型，如图2所示. 双极直流输电系统的传输直流功率为5 000 MW，额定电压为±800 kV，额定电流为3.125 kA，输电线路长度为1 418 km，单位电阻为0.046 33 Ω/km，线路模型采用依频参数模型，杆塔结构见文献[19]. 仿真系统的数据采样频率为10 kHz，故障发生在1.0 s时刻. 采用PSCAD进行故障仿真，采用Matlab进行算法分析.

整流侧交流母线处发生 ${f_1}$ 单相接地故障时，各量变化情况如图3所示. 故障发生5 ms内，制动量就明显大于动作量，改进差动保护能够快速判定该故障为区外故障，保证了改进差动保护在区外故障时不动作，确保了保护的可靠性.

$\displaystyle\sum \Delta {i_{\varphi {\rm avg}}}$、 $\displaystyle\sum \Delta {u_{\varphi {\rm avg}}}$ 为电流突变量、电压突变量的积分平均值； $\displaystyle\sum \Delta {i_{m\varphi {\rm avg}}}$、 $\displaystyle\sum \Delta {u_{m\varphi {\rm avg}}}$ 为线路 $m$ 测量点处的电流突变量、电压突变量的积分平均值； $\displaystyle\sum \Delta {i_{n\varphi {\rm avg}}}$、 $\displaystyle\sum \Delta {u_{n\varphi {\rm avg}}}$ 为线路 $n$ 测量点处的电流突变量、电压突变量的积分平均值； $\displaystyle\sum \Delta {i_{ \varphi {\rm avg}}}$、 $\displaystyle\sum \Delta {u_{ \varphi {\rm avg}}}$ 为线路两端 $m$ 与 $n$ 两测量点处电流突变量之和、电压突变量之差的积分平均值； ${I_\varphi }$ 为判据各相关值， ${I_{{\rm op}\varphi }}$ 为动作量， ${I_{{\rm{res}}\varphi }}$ 为制动量，

$\begin{aligned} & {I_{{\rm op}\varphi }}{\text{ = }}\left| {\displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T {\left[ {\Delta {i_{m\varphi }}(t) + } \right.} } \right.\left.\left. {\Delta {i_{n\varphi }}(t)} \right]\right|{\Big /}N, \\ & {I_{{\rm res}\varphi }}{\text{ = }}\left| {\displaystyle\sum\nolimits_{t = 0}^T {\left[ {\Delta {u_{m\varphi }}(t) - } \right.} } \right.\left.\left. {\Delta {u_{n\varphi }}(t)} \right]\right|{\Big /}\left( {rD \cdot N} \right) \end{aligned}$

$L$ 为保护判据成立情况（当 $L{\rm{ = 1}}$ 时，判据成立；当 $L{\rm{ = 0}}$ 时，判据不成立）.

逆变侧交流母线 ${f_2}$ 单相接地故障，如图4所示，制动量明显大于动作量，判据不成立.

从5.2节可知，发生区外故障时，分布电容电流等不平衡电流在电压制动和积分算法的滤波作用下，对方案影响较小，制动量大于动作量，改进差动保护能够准确作出判断，没有误动，验证了保护的可靠性.

正极直流输电线路中点处（即图1中 ${f_3}$ ）发生金属性接地故障时，保护特性如图5所示. 线路中点发生金属性接地故障时，保护可以准确识别故障.

讨论不同位置与过渡电阻对保护的影响，在与整流侧保护安装处距离X=0.01、100、400、700、1000、1400、1417.99 km 七个位置处设置故障点，每个故障点均考虑0 、100 、300 $\Omega $ 三种过渡电阻情况. 保护特性仿真结果见表1，表中 $t'$ 为判据满足时刻.

从表1可以看出：1）故障点距离线路两端的保护测量点越近，判据成立时间越短；2）随着过渡电阻不断增大，判据成立时间延长，动作量与制动量均有所减小，但保护灵敏度均大于1.5，可以快速、灵敏地识别出区内故障.

所提改进方案需要利用线路两端数据，因此要考虑两端数据同步问题. 目前，解决同步问题的方法主要有乒乓法、参考矢量同步法和GPS同步法. 其中，基于“乒乓法的同步方法产生了2 ms的偏差”^[20-21]. 文献[17]、[22]在分析两侧数据同步误差时，其最大误差也均设置为2 ms.

为了进一步研究改进方案在两侧数据不同步时的可靠性问题，在距离整流侧700 km处设置故障点，过渡电阻为100 $\Omega $，整流侧与逆变侧考虑2 ms、0和−2 ms三种情况. 通过验证，可知同步误差达 ± 2 ms，保护均能可靠动作，具体情况如图6所示.

由于双极线路中存在耦合作用，在发生单极线路故障时，健全极会有感应电压、电流的变化，会对差动保护产生影响. 下面就故障对健全极的影响进行仿真分析. 图7给出了线路中点发生正极金属性接地时，负极各电气量的变化情况及改进差动保护判据成立情况.

从图7可以看出，积分滤波算法能够有效地抑制线路间耦合作用的影响，线路发生金属性接地故障时，健全极的 $\displaystyle\sum \Delta {u_{ \varphi {\rm avg}}}$ 和 $\displaystyle\sum \Delta {i_{ \varphi {\rm avg}}}$ 变化值均较小，保护动作量远小于设定的门槛值或明显小于制动量，判据不成立，改进差动保护能可靠不动作. 因此，故障对于健全极的保护没有产生影响.

综上所述，线路发生单极故障时，故障极能够正确动作，不拒动，而健全极则会由于电流未达到设定的门槛值而可靠不动作.

本文提出了一种改进的差动保护方案. 利用积分算法的低通滤波特性以及电压量等效转换的制动效果，构造差动保护改进判据. 该改进方案具有明确的整定依据，原理简单，整定简便. 积分滤波算法的运用降低了对采样频率的要求，能有效遏制高频谐波的干扰，再加上电压制动的运用，使得保护可在故障暂态过程中投入. 仿真结果表明，该改进方案能准确识别区内、区外故障，解决直流输电线路传统差动保护缺乏相对稳定制动量的问题，耐过渡电阻能力强，适用于一般高压直流输电工程的线路保护，具有较好的工程运用前景.