在实际工业中，存在许多难以确定其物理模型的非线性系统^[1]. 数据建模方法常用于该类系统的建模. 由于环境干扰、采样及测量误差、异常值等因素的影响，数据建模方法面临着巨大挑战. T-S模型因逼近能力较强，被广泛应用于非线性系统的建模^[2-7]. 然而大量研究集中在T-S模型的前件参数辨识. K均值聚类将数据聚成K类，并生成K条模糊规则；FCM聚类^[8]使用软聚类方式使子模型的融合变得更加光滑；KFCM聚类^[9]对FCM进行核扩展，有效解决了线性不可分问题；GKCA聚类方法^[10]使用马氏距离对FCM方法进行改进，使得聚类结果呈现椭球状，用以探索数据分布的形状；FCRM聚类^[11-14]对FCM进行改进，使得聚类的结果呈现超平面形状，更贴近线性子模型的要求. 应用于T-S模型的后件参数辨识的方法有迭代最小二乘法（RLS^[5]），该方法适用于在线学习，而WRLS^[12]为RLS的加权方法，一定程度上提高了模型的鲁棒性能. 文献[3]使用卡尔曼滤波进行参数辨识，该方法可以对参数进行在线预测和修正. 但这些方法并未考虑结构风险，模型的复杂度不能得到有效控制，因而泛化性能不强. 同时，这些方法也很少考虑噪声的影响，特别是非高斯噪声与异常值的影响，致使建模的鲁棒性能较差.

针对上述T-S建模方法的不足，构建全新的目标函数，提出考虑结构风险与鲁棒性能的参数辨识方法，并将该建模方法与几种传统建模方法进行比较.

T-S模型的模糊推理由R条If-Then模糊规则组成. 模糊规则r定义如下^[5]：

$\begin{array}{l} {R_k}:{\rm{If}}\;{x_1}\;{\rm{is}}\;{A_k}_1\;{\rm{and}} \cdots {\rm{and}}\;{x_n}\;{\rm{is}}\;{A_{kn}}\\ {\rm{Then}}\;y = {a}_k^{\rm{T}}{x} + {b_k};\;k = 1,2,3, \cdots ,R. \end{array}$

其中，R_k为第k条规则，A_kj为相对于输入变量x_j的模糊子集， ${x} = [{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}]$ 为输入向量， ${{a}_k}$、 ${b_k}$ 为第k条规则的后件参数，R为规则数. T-S模糊模型的输出表达式为

(1) $\hat f({x}) = \sum\limits_{k = 1}^R {{\phi _k}({x})({a}_k^{\rm{T}} {{x}} + {b_k})}, $

(2) ${\phi _k}({x}) = {\beta _k}({x})\Big/\sum\limits_{j = 1}^R {{\beta _j}({x})}, $

(3) ${\beta _k}({x}) = \prod\limits_{j = 1}^n {{G_{kj}}({{{x}}_j})} ;\;\;j = 1,2,3, \cdots, R.$

式中： $ {\phi _k}({x})$为第k条规则的激活强度，G_kj（x）为模糊集合A_kj的隶属度函数.

T-S模型的前件参数 ${\phi _k}({x})$ 辨识通常采用FCM聚类^[8]、KFCM聚类^[9]、GKCA聚类^[10]、FCRM^[11]等方法获得，而后件参数 ${{a}_k}$、 ${b_k}$通过解如下目标函数获得：

(4) $\left.\begin{aligned} J = \sum\limits_{i = 1}^N {e_i^2};\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \\ {\rm{s.t.}}\,\;{y_i} \!=\! \sum\limits_{k = 1}^R {{\phi _k}({{x}_i})({a}_k^{\rm{T}}{{x}_i}} + {b_k}) + {e_i}, \;\; i \!=\! 1,2,3,\cdots,N. \end{aligned}\right\} $

式中：N为数据点个数，e_i为第i个数据的建模误差. 该后件参数辨识方法已有许多成功的应用，但依然存在许多不足：1）由于没有考虑模型的结构风险，模型的泛化性不强；2）在高斯噪声下有较好的辨识效果，但在非高斯噪声或者异常值下辨识效果差，模型鲁棒性差. 因此，为了提高T-S模型的泛化性和鲁棒性，亟需发展新的T-S建模方法.

建模误差的均值越小，模型的逼近程度越好，精确性越高. 但仅最小化建模误差的均值，而其方差较大的话，模型受噪声的影响大，鲁棒性不强. 因此，在最小化建模误差均值的同时，应该最小化其方差，从而使模型具有较好的逼近精度和鲁棒性. 为此，构建如图1所示的建模思想，该思想同时最小化建模误差的均值与方差. 由于同时考虑了误差的均值与方差，新的建模方法可以处理非高斯噪声或异常值，优于仅最小化误差平方和的传统建模方法.

基于上述建模思想，为了提高T-S模型的泛化性和鲁棒性，提出如图2所示的鲁棒模糊建模方法. 该方法通过构建全新的目标函数以获得T-S模型参数 ${{a}_k}$、 ${b_k}$. 该目标函数增加了结构风险项，并且最小化误差的均值和方差，从而提高了建模的精确性与鲁棒性. 原因有如下几点：1）最小化模型的结构风险可提高模型的泛化性；2）最小化误差的均值可提高模型的逼近精度；3）最小化误差的方差可提高模型的鲁棒性；4）数据加权可减少噪声和异常值对建模的影响.

构建如下的目标函数：

(5) $\left.\begin{aligned} J = ({a}_1^{\rm{T}}{{a}_1} + \cdot \cdot \cdot + {a}_R^{\rm{T}}{{a}_R})/2 + \quad\quad\quad\quad \\ \gamma \sum\limits_{i = 1}^N {{v_i}{{({e_i} - \tilde e)}^2}} /2N + \psi {{\tilde e}^2}/2; \quad\quad\\ {\rm{s.t.}}\;\,{y_i} = \sum\limits_{k = 1}^R {{\phi _k}({{x}_i})({a}_k^{\rm{T}}{{x}_i}} + {b_k}) + {e_i}, i = 1,2,3,\cdots,N. \\ \end{aligned}\right\} $

式中：v_k∈（0，1.0]，为误差的权重； $\tilde e$ 为误差的均值；γ、 $\psi $为正则化因子，使用5折交叉验证法求取.

该目标函数具有以下特征：

1）第1项 ${{({a}_1^{\rm{T}}{{a}_1} + \cdot \cdot \cdot + {a}_R^{\rm{T}}{{a}_R})}/2}$ 为模糊模型的结构项. 最小化这项可提高模型的泛化能力；

2）第2项 $\gamma \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{v_i}{{({e_i} - \tilde e)}^2}} /2N$ 为模型误差的方差项. 最小化这项可提高模型的鲁棒性. 权重v_i由误差的统计分布给出，给予正常值较大的权重，给予异常值或噪声点较小的权重，从而降低其对建模的影响，提高鲁棒性.

3）第3项 $\psi {\tilde e^2}/2$ 为误差的均值项. 通过引入这项，使得模型具有较好的逼近能力，同时也具有处理非高斯噪声的能力.

由上述目标函数求解得到的T-S模糊模型具有较好的泛化性、鲁棒性和全局逼近性能，因为该目标函数不仅考虑了模型的结构风险项而且考虑了误差的均值与方差.

构建拉格朗日函数：

(6) $\begin{split} L&({{a}_1},{b_1}, \cdot \cdot \cdot ,{{a}_R},{b_R};{\lambda _1}, \cdot \cdot \cdot ,{\lambda _N}){\rm{ = }}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \\ &\;\;{\rm{ }}({a}_1^{\rm{T}}{{a}_1} + \cdot \cdot \cdot + {a}_R^{\rm{T}}{{a}_R})/2 + \\ &\;\;{\rm{ }}\gamma \sum\limits_{i = 1}^N {{v_i}{{({e_i} - \tilde e )}^2}} /2N + \psi {{\tilde e}^2}/2 - \\ &\;\;{\rm{ }}\sum\limits_{i = 1}^N {{\lambda _i}} \left(\sum\limits_{k = 1}^R {{\phi _k}({{x}_i})({a}_k^{\rm{T}}{{x}_i}} + {b_k}) + {e_i} - {y_i}\right) . \end{split} $

式中：λ_i为拉格朗日乘子. 优化条件可由下式给出：

(7) $\partial L/\partial {{a}_k} = 0 \Rightarrow {{a}_k} = \sum\limits_{i = 1}^N {{\lambda _i}{{x}_i}{\phi _k}({{x}_i})}, $

(8) $\partial L/\partial {b_k} = 0 \Rightarrow \sum\limits_{j = 1}^N {{\lambda _j}{\phi _k}({{x}_j})} = 0,$

(9) $\partial L/\partial {e_i} = 0 \Rightarrow \gamma {v_i}({e_i} - \tilde e)/N - {\lambda _i} = 0,$

(10) $\partial L/\partial {\lambda _i} = 0 \Rightarrow \sum\limits_{j = 1}^R {{\phi _j}({{x}_i})({a}_j^{\rm{T}}{{x}_i}} + {b_j}) + {e_i} - {y_i} = 0,$

(11) $\partial L/\partial \tilde e = 0 \Rightarrow \gamma \sum\limits_{i = 1}^N {{v_i}} (\tilde e - {e_i})/N + \psi \tilde e = 0.$

由式（11）可得

(12) $\tilde e = \left.\left(\frac{\gamma }{N} \times \sum\limits_{i = 1}^N {{v_i}{e_i}} \right)\right/\left(\frac{\gamma }{N} \times \sum\limits_{i = 1}^N {{v_i}} + \psi \right).$

由式（9）、（12）可得

(13) ${{Me}} = {{\lambda}}. $

式中：

(14) $\begin{split} {{M}} =& \frac{\gamma }{N}\times\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_1}}&0& \cdots &0 \\ 0&{{v_2}}& \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ 0&0& \cdots &{{v_N}} \end{array}} \right] \times \\ &\bigg(I - \left.\left(\frac{\gamma}{N}\right)\right/\left(\frac{\gamma }{N}\times\sum\limits_{i = 1}^N {{v_i}} + \psi \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_1}},\;{{v_2}},\; \cdots,\;{{v_N}} \end{array}} \right]\bigg), \\ \end{split} $

(15) ${e} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_1}},\;{{e_2}},\; \cdots,\;{{e_N}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}},$

(16) ${{\lambda}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}},\;{{\lambda _2}},\; \cdots, \;{{\lambda _N}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}.$

由式（7）、（8）、（10）、（13）可建立方程组：

(17) ${\varSigma \theta } = {\eta }.$

式中：

${\Sigma } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{0}_{R \times R}}}&{{{\varPhi }_{R \times N}}}\\{{\varPhi }_{N \times R}^{\rm{T}}}&{{{G}_{N \times N}}}\end{array}} \right],\;{\theta } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{b}_{R \times 1}}}\\{{{\varLambda }_{N \times 1}}}\end{array}} \right],$

${\eta } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{0}_{R \times 1}}}\\{{{y}_{N \times 1}}}\end{array}} \right],\;{{b}_{R \times 1}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}},\;{{b_2}},\;\cdots,\;{{b_R}}\end{array}} \right]^{\rm{T}}},$

${\varLambda }_{N\times 1} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\!{{\lambda _1}},\;{{\lambda _2}},\; \cdots,\;{{\lambda _N}}\end{array}} \right]^{\rm{T}}},\;{{y}_{N \times 1}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_1}},\;{{y_2}},\; \cdots,\;{{y_N}}\end{array}} \right]^{\rm{T}}},$

${G} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_{11}}}&{{g_{12}}}& \cdots &{{g_{1N}}}\\ {{g_{21}}}&{{g_{22}}}& \cdots &{{g_{2N}}}\\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{g_{N1}}}&{{g_{N2}}}& \cdots &{{g_{NN}}} \end{array}} \right],$

${\varPhi } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\phi _1}({{x}_1})}&{{\phi _1}({{x}_2})}&{...}&{{\phi _1}({{x}_N})}\\ {{\phi _2}({{x}_1})}&{{\phi _2}({{x}_2})}&{...}&{{\phi _2}({{x}_N})}\\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{\phi _R}({{x}_1})}&{{\phi _R}({{x}_2})}&{...}&{{\phi _R}({{x}_N})} \end{array}} \right],$

${g_{ij}} = \sum\limits_{k = 1}^R {{\phi _k}} ({{x}_i}){\phi _k}({{x}_j}){x}_i^{\rm{T}}{{x}_j} + {M}_{ij}^{ - 1}.$

通过求解式（17）可得

(18) ${\theta } = {({{\varSigma }^{\rm{T}}}{\varSigma })^{ - 1}}{{\varSigma }^{\rm{T}}}{\eta }.$

式（18）为最小二乘法问题的通用解形式，当N较大时，可以参考文献[15]进行求解. 由式（7）、（18）得到T-S模型的后件参数为

(19) ${{a}_j} = \sum\limits_{i = 1}^N {{\theta }(R + i){{x}_i}{\phi _j}({{x}_i})} ;\;j = 1,2,3,\cdots,R,$

(20) ${b_j} = {\theta }(j);\;j = 1,2,3,\cdots,R.$

式中： $\theta \left( {R + j} \right)$、 $\theta \left({j}\right)$分别为 ${{\theta}} $的第R+j和第j个元素. 使用前件、后件参数构建的鲁棒T-S模型为

(21) $f({x}) = \sum\limits_{i = 1}^R {{\phi _i}({x})} ({a}_i^{\rm{T}}{x} + {b_i}).$

式（5）中v_i是基于对应样本的误差来求解的，可由式（22）决定^[16]：

(22) ${{{v}}_i}{\rm{ = }}\left\{ \begin{array}{*{20}{l}} 1{\rm{,}}\quad &\left| {{e_i}/s} \right|\leqslant{c_1};\\ ({c_2} - \left| {{e_i}/s} \right|)/({c_2} - {c_1}){\rm{,}} &{c_1}<\left| {{e_i}/s} \right|\leqslant{c_2};\\ 0.000\;1,&{\text{其他}}{\rm{.}} \end{array} \right.$

式中：c₁、c₂为常系数，通常取值为c₁=2.5，c₂=3.0；s为统计变量. s的表达式为

(23) $s = {\rm{IQR}}/(2 \times 0.674\;5).$

式中：IQR为四分位距离，即误差排序序列75%位置的数值与25%位置的数值的差.

权重变量v_i是迭代解，可由式（7）~（22）迭代求解. 在实际应用中，迭代1次就足够了^[16]. 另外，式（12）的变换形式有

(24) $\tilde e = \left[\gamma /(\gamma \sum\limits_{i = 1}^N {{v_i}} + N\psi )\right]\times\sum\limits_{i = 1}^N {{v_i}{e_i}} .$

由式（24）可知，当v_i=1时， $\tilde e =\left[ \gamma /(N(\gamma + \psi ))\right]\sum\nolimits_{i = 1}^N {{e_i}} $. 在该条件下，当系统受零均值或接近零均值噪声影响时， $\tilde e$ 趋近于零， $\tilde e$ 在目标函数中不起作用，此时为传统的LS-SVM参数辨识方法；当系统受非零均值噪声影响时，为了使目标函数中后2项相互平衡，必须有 $\gamma $>> $\psi $，此时 $\tilde e$= $\sum\nolimits_{i = 1}^N {{e_i}} /N$，致使式（5）中的第2、3项分别为误差的方差和均值项.

鲁棒T-S模型的建模过程如图3所示，算法流程如下.

1）收集训练数据 $\{ {{x}_i},{y_i}\} _{i = 1}^N$，设定模糊规则数R，使用FCRM方法获取前件参数 ${\phi _k}({x})$. 初始化权重 ${v_i} = 1$；

2）求解式（19）、（20），获取后件参数 ${{a}_j}$、 ${b_j}$，使用前件参数和后件参数构建T-S模型式（21）；

3）计算误差 ${e_i}$. 判断是否满足建模要求. 若是，则完成建模；否则，使用式（22）更新 ${v_i}$，程序跳到步骤2），继续运行.

使用如下均方根误差RMSE和决定系数R-square来评估模型的能力：

(25) ${\rm{RMSE}} = {\left( {\sum\limits_{k = 1}^T {({y_k} - {{\hat y}_k}} {)^2}/T} \right)^{1/2}},$

(26) ${\rm{R {\text{-}} square}} = 1 - \sum\limits_{k = 1}^T {({y_k} - {{\hat y}_k}} {)^2}\Big/\sum\limits_{k = 1}^T {({y_k} - \bar y} {)^2}.$

式中：T为数据的个数；y_k为真实输出； $\bar y$= $\sum\nolimits_{k = 1}^T {{y_k}/T} $，为数据的均值； ${\hat y_k}$ 为预测输出. 对于模型而言，RMSE越小，建模效果越好；R-square越接近于1，建模效果越好.

产生数据的模型如下：

(27) ${y_m} = 10\exp\; ( - 0.05{x_m})\sin\; (0.07{\text{π}} {x_m}) + 5 + \zeta + \varepsilon. $

式中：y_m、x_m分别为模型的输出和输入；ζ为高斯噪声， $\zeta \sim N (0,0.25)$；ε为瑞利分布噪声，其参数为σ=0.1. 通过该模型随机产生1 000个样本，再混入5个异常值（（20.0，12.5）、（21.0，12.3）、（50.0，11.0）、（50.5，10.5）、（51.5，11.5）），用于训练模型，使用真实的无噪声的数据作为测试.

提出的鲁棒T-S建模效果如图4所示. 由该图可知，建立的模型能有效地获得噪声下的系统模型. 此外，也将该方法与传统的T-S模型^[11-12]、WLS-SVM方法^[16]进行比较，对比效果如表1所示. 由表1可知，传统T-S模糊建模方法的训练误差比新方法的训练误差小，而测试误差比新方法大. 原因是传统T-S模糊建模方法只是最小化误差项，而没有最小化结构项，对带有噪声和异常值的训练数据过拟合，导致其泛化性能不强，而新方法考虑了结构项，提高了预测能力. 训练误差比测试误差大的原因主要是训练数据中存在异常值. 因此，提出的鲁棒T-S建模方法性能明显优于传统的T-S模型与WLS-SVM方法.

在算例中，实际的对顶缸试验用于验证所提出方法的有效性，如图5所示，其参数如表2所示. 该实现系统包括主动缸和从动缸，主动缸用于驱动，从动缸用于模拟载荷. 主从动缸的体积流量作为系统的输入，活塞的速度作为输出. 油液脉动、油液可压缩性、非线性摩擦等因素致使该液压系统为强非线性系统. 同时，该液压系统包含泄漏、测量误差等干扰.

随机从500组数据中抽出400个样本作为训练输入样本，剩余100个作为测试输入样本. 液压系统主、从动缸体积流量训练及测试输入样本如图6所示. 图中，主动缸体积流量为q₁，训练及测试样本组数分别为N₁、M₁；从动缸流量为q₂，训练及测试输入样本组数分别为N₂、M₂. 鲁棒T-S模型的训练效果图如图7所示，测试效果图如图8所示. 图中，V₁为从动缸输出速度. 由图7、8可知，所建立的模型能有效地获得噪声下的系统模型. 图中，输出速度训练及测试样本组数分别为N₃、M₃.

此外，也将该方法与传统的T-S模型^[11-12]、WLS-SVM方法^[16]进行了比较，对比效果如表3所示. 由表可知，传统T-S模糊建模方法的训练误差比新方法的训练误差小，而测试误差比新方法的大.

综上，仿真和试验均表明在有噪声的干扰下，提出的方法依然能够获得非线性系统的模型，且建模性能优于传统的建模方法.

提出基于误差均值与方差最小化的鲁棒T-S模糊建模方法，该方法通过最小化模型的结构风险，提高了模型的泛化性；最小化误差的均值，提高了模型的逼近精度；最小化误差的方差，提高了模型的鲁棒性；数据加权，减少了噪声和异常值对建模的影响. 因此，该方法能有效地获得存在噪声或者异常值的非线性系统的模型. 仿真与试验结果均表明所提出的建模方法能有效获得非线性系统的模型，且优于现有的建模方法. 未来的研究计划可针对实际特定的控制需求，基于提出的鲁棒T-S建模方法，探究非线性系统的控制方法.