随着城市建设的不断推进，轨道交通以其快速、准点等优势在大城市公共交通网络中逐渐占据主导地位，原有的长距离穿越式常规公交（以下简称“公交”）线路受到较大影响，其在公共交通网络中能否继续有效发挥作用值得重新审视.

既有研究中，较多学者致力于对单一公交网络及公交时刻表优化方法的研究^[1-3]，较少考虑出行由单一方式向多方式的转变对公交线路及网络的影响. 在公共交通网络中，轨道交通与公交方式存在较强的互补与替代关系，国内外学者在对轨道交通影响下的公交线路优化研究中，主要考虑3个方面：1) 研究单一轨道交通站点的接运公交网络的优化方法，如Dijoseph等^[4]、Deng等^[5]和Wong^[6]分别考虑不同影响因素以研究接运公交网络运营策略和线路设计优化方法；2) 研究1条轨道交通新线的开通对既有公交网络的影响，如孙杨等^[7]研究轨道交通新线开通影响下的公交线网优化方法；3) 定性与定量相结合，研究轨道交通影响下的公交线路优化方法，如范海雁等^[8]将既有公交线路按照与轨道交通线路的空间位置关系分类，研究轨道交通对不同类型公交线路的影响，并对既有公交线路进行优化. 王振报等^[9]考虑轨道、BRT线路对公交线路的影响，研究与其重叠的公交线路调整方案，并对调整方案进行综合评价. 以上研究仅考虑单一轨道交通站点或部分轨道交通线路，未从乘客出行选择的角度出发，考虑整个轨道交通网络对长距离公交线路竞争力的影响. 目前，对于出行距离分布对公交线路影响的研究相对较少，寇伟彬等^[10]提出在公交线网设计中应注重考虑城市布局形态的变化. 居民出行距离的变化正是城市空间布局变化的体现.

轨道交通与公交在不同出行距离下的竞争力不同，考虑城市扩张背景下居民出行距离分布的变化，研究城市居民出行距离的变化对轨道交通影响下的公交线路竞争力的影响，可为“公共交通一体化”趋势下公交线路的调整提供新的理论依据.

研究对象为长距离穿越式公交线路，如图1所示. 该类线路的特点为：线路总里程较长，与密集轨道交通线网存在2个交汇换乘点（如图1所示点A、B），交汇换乘点间的各个公交站点均位于密集轨道交通线网内部. 该段公交线路与轨道线路在人们的出行选择中存在竞争关系. 线路共由n个站点组成，每2个相邻站点间为路段a， $a=1,2,3, \cdots,$n−1.

在城市扩张趋势下，大城市居民出行距离分布的变化主要体现在以下2个方面.

1）平均出行距离l，即研究区域内包含的所有OD对间总客流的出行距离平均值. 随着城市的不断扩张，居民职住分离的现象越发普遍，l存在逐渐增大的趋势.

2）居住分散性系数β，即研究区域内所有居民出行距离的标准差. β越大，表示居民居住地分布越分散，不同出行距离下的客流分布越均衡；β越小，表示居民住宅地以大型住宅区为主要形式，不同出行距离下的客流分布相对较为集中. 城市新规划的推进使得居民住宅区由“小型分散”向“大型集中”转变，β存在逐渐减小的趋势.

综上所述，城市的不断扩张表现为l的逐渐增大和β的逐渐减小，研究l、β的变化趋势对高密度轨道线网影响下的长距离穿越式公交线路及各站点竞争力的影响，有助于为公交线路的调整提供有力的理论支撑.

假设1 　研究区域内轨道交通线网固定，线网中各条轨道交通线路运行速度、发车间隔等参数固定.

假设2 　公交线路发车间隔为定值.

假设3 　研究区域内乘客出行总量始终不变，区域内OD对总数保持不变.

假设4 　研究区域内个体出行的点O和点D均发生在公共交通网络的站点上.

出行者广义出行费用 $w$ 主要由乘车时间费用 ${w_1}$、站点候车时间费用 ${w_2}$、公交与轨道交通换乘时间费用 ${w_3}$、乘车票价费用 ${w_4}$ 组成. 表达式为

(1) $w = {w_1} + {w_2} + {w_3} + {w_4}.$

1）乘车时间费用的确定.

${w_1}$ 由乘坐公交（或轨道交通）方式出行的距离 ${l_1}$（或 ${l_1}^\prime $）、公交（或轨道交通）车辆平均运行速度 ${v_1}$（或 ${v_1}^\prime $）、乘客对乘坐公交（或轨道交通）的拥挤费用感知系数 ${\rho _1}$（或 ${\rho_1}'$）及时间费用换算系数 $\lambda $ 确定. 表达式为

(2) ${w_1} = \lambda \left( {1 + {\rho _1}} \right){{{l_1}} / {{v_1}}}{\text{ + }}\lambda \left( {1 + {{\rho }_1}'} \right){{{{l}_1}'} / {{{v}_1}'}}.$

对 ${v_1} ({v_1}^\prime )$ 和 ${\rho _1} ({\rho _1}^\prime )$ 作如下定义. 在公共交通网络中，运行时间可靠性是影响公交方式竞争力的重要因素. 设 ${\bar v_1}$ 为公交线路平均旅行速度，该速度可由实际调研得到，则 ${v_1}$ 为 $[{\bar v_1} - \xi ,\;{\bar v_1} + \xi ]$ 的随机数，其中 $\xi $ 为与线路运行可靠性相关的参数. 而轨道交通线路运行时间可靠性相对较高， ${v_1}'$ 即为高峰期轨道交通线路平均运行速度.

考虑实际情况，取 ${\rho _1}^\prime $ 为常数. 而 ${\rho _1}$ 受实际乘客流量影响较大，令

(3) ${\rho _1} = \left\{\!\!\!\! \begin{array}{l} 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\quad\quad\quad\quad{{q}_a}' \leqslant {Z_0};\\ \tau \left( {{{q}_a}' - {Z_0}} \right)/{Z_0}{\rm{,}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{Z_0} < {{q}_a}' \leqslant {C_0};\\ \tau \left( {{{q}_a}' - {Z_0}} \right)/{Z_0} + \omega \left( {{{q}_a}' - {C_0}} \right)/{C_0}{\rm{,}}\;\;\;{{q}_a}' > {C_0}. \end{array} \right.$

式中： ${q_a}'$ 为路段a的乘客总流量，Z₀为公交车上座位数，C₀为公交车容量， $\tau $、 $\omega $ 为相应参数.

2）站点候车时间费用的确定.

${w_2}$ 与乘客所选择的出行方式及出行路径中的换乘次数有关. 设乘客出行过程中乘公交、轨道交通车辆次数分别为 ${x_1}$、 ${x_2}$，公交与轨道交通线路发车间隔分别为 ${f_1}$、 ${f_2}$，等车时间为发车间隔一半^[7]，惩罚权重为 ${\theta _1}$，有

(4) ${w_2} = \lambda {\theta _1}\left( {{f_1}{x_1}/2 + {f_2}{x_2}}/2 \right).$

3）公交与轨道交通换乘时间费用的确定.

${w_3}$ 由乘客从公交站点换乘轨道交通站点的换乘步行时间费用 ${w_3}^\prime $ 和轨道交通站点内换乘步行时间费用 ${w_3}^{\prime \prime }$ 组成. 设网络中公交换乘站和非换乘站与最近轨道交通站点的换乘距离分别为μ、ζ (μ<ζ). 若乘客出行路径中共进行公交非换乘站与轨道交通站点间换乘 ${y_1}$ 次，公交换乘站与轨道交通站点间换乘 ${y_2}$ 次，乘客步行速度为 ${v_0}$，换乘时间惩罚权重为θ₂，有

(5) ${w_3}^\prime = \lambda {\theta _2}{{\left( {{y_1}\zeta + {y_2}\mu } \right)} / {{v_0}}}.$

设乘客在轨道交通站点内的换乘步行时间均为 ${t_0}$，若乘客在出行路径中共进行 $z$ 次轨道交通站点内的换乘，换乘时间惩罚权重为θ₂，则有

(6) ${w_3}^{\prime \prime } = \lambda {\theta _2}z{t_0}.$

综上所述，有

(7) ${w_3} = {w_3}^\prime + {w_3}^{\prime \prime } = \lambda {\theta _2}\left( {{{\left( {{y_1}\zeta + {y_2}\mu } \right)} / {{v_0}}}{\text{ + }}z{t_0}} \right).$

4）乘车票价费用的确定.

${w_4}$ 为乘客出行中乘坐公交的票价费用p₁与轨道交通票价费用p₂之和，即

(8) ${w_4} = {p_1}{\text{ + }}{p_2}.$

穿越式公交线路开行方向上各站点的OD矩阵如图2所示. 其中，O、D分别代表开行方向上客流分布的发生站点与吸引站点，q_ij为由i至j的乘客流量，其中， $i,j = 1,2,3, \cdots ,n$，且仅当i<j时，q_ij≥0（研究单方向上的乘客流量，不涉及反方向的，因此OD矩阵左下角元素均取0，不影响结果）. 由假设3可知，客流总量 $Q = \displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^n {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 1}^n {{q_{ij}}} } $ 为定值，但随着城市居民出行距离的变化， $\forall i,j$， $\displaystyle\sum\nolimits_{j = 1}^n {{q_{ij}}} $、 $\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^n {{q_{ij}}} $ 均将发生变化.

为描述竞争模式下的穿越式公交线路各站点在出行总量客流分配中承担客流量的程度，从而研究居民出行距离变化对穿越式公交线路各站点竞争力的影响，引入公交站点选择概率 $\varPhi $. 编号为m的公交站点的选择概率为该站点客流乘降量与该站点客流的发生与吸引总量的比值，即

(9) ${\varPhi _m} = {{\left( {\displaystyle\sum\limits_{x \in X} {{p_{xm}}{q_{xm}}} {\text{ + }}\displaystyle\sum\limits_{y \in Y} {{p_{my}}{q_{my}}} } \right)}\Bigg / {\left( {\displaystyle\sum\limits_{x \in X} {{q_{xm}}} {\text{ + }}\displaystyle\sum\limits_{y \in Y} {{q_{my}}} } \right)}}.$

式中：p_xm为以x为点O、以m为点D的客流对公交的选择概率；q_xm为以x为点O、以m为点D的客流总量；X、Y分别为m上、下行方向的站点集，如图3所示.

在固定OD客流需求总量的前提下，对于每个OD对间的公交路径及多个轨道交通路径，乘客将选择出行费用最少的路径. 路径选择行为遵循Wardrop第一原理，设以i为点O、以j为点D的OD对间共有r_ij条出行路径，每条路径上分配的流量为 $q_{ij}^k$， $\forall i < j$，有

(10) $\sum\nolimits_{k = 1}^{r_{ij}} {q_{ij}^k} = {Q_{ij}}.$

设 $\delta _{ij}^{ak}$ 为路段-路径相关变量，即0-1变量，若路段a属于由i至j的路径k中，则 $\delta _{ij}^{ak} = 1$，否则 $\delta _{ij}^{ak} = 0$，有

(11) ${q_a}' = \sum\nolimits_{i = 1}^n {\sum\nolimits_{i = j}^n {\sum\nolimits_{k = 1}^{r_{ij}} {q_{ij}^k\delta _{ij}^{ak}} } } .$

运用Logit模型来描述乘客对OD对间出行路径的选择概率，即当达到平衡状态时， $q_{ij}^k$ 满足

(12) $q_{ij}^k = {Q_{ij}}{{\exp\; \left( { - \theta {w^k_{ij}}} \right)} \Big/ {\sum\nolimits_{c = 1}^{r_{ij}} {\exp\; \left( { - \theta {w^c_{ij}}} \right)} }}.$

式中： $w_{ij}^k$ 为以i为点O、以j为点D的OD对间选择线路k的乘客出行广义费用；c为路径编号；r_ij为i与j之间总路径个数；θ为描述乘客对网络中路径费用感知程度的系数，θ取值越大，模型配流的随机性越小，当θ=100时，SUE配流趋近于UE配流^[11].

根据文献[11]，构建基于Logit-SUE的竞争网络客流分配模型^[11]：

(13) $ \begin{split} \min \, Z = &\sum\nolimits_{i = 1}^n {\sum\nolimits_{j = 1}^n {\sum\nolimits_{k = 1}^{r_{ij}} {\sum\nolimits_{a \in R}^{} {\int_0^{{{q}_a}'} {w_{ij}^k \left(q\right) {\rm d}q} } } } } +\\ & \sum\nolimits_{i = 1}^n {\sum\nolimits_{j = 1}^n {\sum\nolimits_{k = 1}^{r_{ij}} {q_{ij}^k\ln } } }\, q_{ij}^k/\theta; \end{split}$

(14) $\left.\begin{aligned} {\rm{s}}.{\rm{t}}.\,\,\,\quad\quad\quad\quad\sum\nolimits_{k = 1}^{r_{ij}} {q_{_{ij}}^k} = {Q_{ij}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ {q_a}' = \sum\nolimits_{i = 1}^n {\sum\nolimits_{i = j}^n {\sum\nolimits_{k = 1}^{r_{ij}} {q_{_{ij}}^k\delta _{ij}^{ak}}}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\,\,\,\,\,\\ \delta _{ij}^{ak} = 0,1, \quad q_{ij}^k \geqslant 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\\\quad a = 1,2,3, \cdots, n - 1,\quad k = 1,2,3, \cdots,{r_{ij}},\,\,\,\,\\ i,j=1,2,3\cdots n,\quad i < j.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \end{aligned}\right\}$

式(13)中第1项为对乘客出行费用函数积分求和，第2项与乘客感知相关.

下面证明模型与SUE条件之间的等价性. 首先构造模型的广义拉格朗日函数：

(15) $L\left( {q,\kappa } \right) = Z\left( q \right) - \sum\nolimits_{i = 1}^n {\sum\nolimits_{j = 1}^n {{\kappa _{ij}}} } \left( {\sum\nolimits_{k = 1}^{r_{ij}} {q_{ij}^k} - Q{}_{ij}} \right).$

可写出优化模型（式（13）和式（14））前3项）Kuhn-Tucker条件：

(16) $q_{ij}^k\left( {w_{ij}^k + \left( {\ln \, q_{ij}^k + 1} \right)\Big/ \theta - {\kappa _{ij}}} \right) = 0,$

(17) $w_{ij}^k + \left( {\ln \, q_{ij}^k + 1} \right) \Big/\theta - {\kappa _{ij}} \geqslant 0,$

(18) $\sum\nolimits_{k = 1}^{r_{ij}} {q_{ij}^k} = {Q_{ij}},$

(19) $q_{ij}^k \geqslant 0.$

式中： ${\kappa _{ij}}$ 为对应于式（14）第1项的K-T乘子.

当 $q_{ij}^k > 0$ 时，式（16）可简化为

(20) $w_{ij}^k + \left( {\ln \, q_{ij}^k + 1} \right) \Big/\theta - {\kappa _{ij}} = 0.$

解得 $q_{ij}^k$，并代入式（14）第1项中，可得到如下Logit模型:

(21) $g_{ij}^k = {Q_{ij}}{{\exp\; \left( { - \theta w_{ij}^k} \right)} \Big/ {\sum\nolimits_{k = 1}^{r_{ij}} {\left( { - \theta w_{ij}^k} \right)} }}.$

由此可证，模型与SUE条件是等价的. 运用MSA算法对模型进行求解，最终得到乘客在竞争网络中的选择结果.

选取某城市某区域的公交竞争网络为研究对象，如图4所示，包含9条轨道交通线路，1条公交线路，其中与轨道线路存在竞争的公交站点共有21个. 研究区域内共包含OD对471对.

算例中的计算参数设定如下. 根据实际调研结果和相关参考文献，公交线路平均站间距设为0.6 km，轨道交通线路平均站间距设为1 km， $\xi $=3 km/h，t₀=5 min，ζ= 1.5 km、μ=0.6 km， ${f_1}$=6 min， ${f_2}$=2 min，v₀=1.5 m/s^[12]， ${\bar v_1}$= 18 km/h^[13]，C₀=75^[13]，Z₀=24. 参考既有文献， $\tau $=0.4， $\omega $=0.8^[14]，θ₁=1.5，θ₂=1.3^[12]，λ=0.3元/min^[15]， ${v_1}^\prime $=35 km/h^[7]， $\rho '$=0.33^[16].

当l=9 km、β=5时，得到的OD分布较符合该城市目前的实际情况，因此，算例中令β=5（或l=9 km），分β（或l）对公交和轨道交通方式的乘客选择概率及公交线路各站点选择概率的影响.

设乘客对公交线路的选择概率为 ${p_{\rm b}}$，对轨道交通方式的选择概率为 ${p_{\rm r}}$，分析l、β的变化对 ${p_{\rm b}}$、 ${p_{\rm r}}$ 及公交线路各站点 $\varPhi $ 的影响.

在OD出行总量固定的前提下，当β=5时，将l由4.8 km增加到15.6 km，分析l增大趋势下的公交线路及各站点选择概率的变化规律.

1）平均出行距离对公交线路选择概率的影响

随着居民平均出行距离的逐渐增大，穿越式公交线路的乘客选择概率呈现逐渐减小的趋势. 在算例中，如图5所示，当l<7.0 km时，该线路的乘客选择概率高于轨道交通方式，竞争力较大；l=7.0 km时，公交线路与轨道方式竞争力基本相当；而随着l的继续增大，轨道交通在中长距离出行中的竞争优势逐渐突显，公交线路竞争力逐渐减弱；当l>15.6 km时，该公交线路选择概率下降至5%以下，基本失去竞争力.

2）平均出行距离对公交站点选择概率的影响

l对公交线路各站点 $\varPhi $ 的影响如图6所示，各站点受l影响的 $\varPhi $ 变化特性，可总结为以下2类.

类型1 　随着l的逐渐增大，公交线路站点 $\varPhi $ 逐渐减小，但其下降速度较小， $\varPhi $ 总体变化不大，站点 $\varPhi $ 对l变化的灵敏度较小，站点选择概率受城市扩张变化的影响较小.

类型2 　随着l的逐渐增大，公交线路站点 $\varPhi $ 逐渐减小，且 $\varPhi $ 下降速度呈现先缓再急再缓的趋势， $\varPhi $ 总体变化较大，站点 $\varPhi $ 对l变化的灵敏度较大，站点选择概率受城市扩张变化的影响较大.

设当乘客平均出行距离为l₀时，公交线路与轨道方式的选择概率均为50%，即竞争力基本相当. 设距公交线路开行方向起始点距离为l₀的位置点为点M，如图7所示.

按公交线路各站点受l影响的 $\varPhi $ 变化特性，将研究区域内的各站点所处位置划分为2类，如图8所示.

a）线路中心区站点，即位于点M附近的站点集合，在本算例中，即为站点11~16. 位于线路中心区的站点受l影响的 $\varPhi $ 变化特性更符合类型1，即位于线路中心区域的各站点选择概率随l的增大而减小，但总体上受l的影响较小.

b）线路边缘区站点，即距点M较远的站点集合，在本算例中，如站点6~10（或17~26）. 位于线路边缘区的站点受l影响的 $\varPhi $ 变化特性更符合类型2，即站点选择概率随l的增大而减小的速度呈现“先小后大再小”的趋势，总体上受l的影响较大，站点选择概率对l变化的灵敏度较大，受城市扩张变化的影响较大.

实际上，线路中心区域与线路边缘区域没有绝对的分界点，即距离点M越近的站点，其受l影响的 $\varPhi $ 变化特性越贴近类型1，相反地，越远离点M的站点，其受l影响的 $\varPhi $ 变化特性越贴近类型2.

在OD出行总量固定的前提下，当l=9 km时，将β由10减小到2，分析β减小趋势下的公交线路及各站点选择概率的变化规律.

1）居住分散性系数对公交线路选择概率的影响

随着居民住宅区由分散向集中转变，β逐渐减小，长距离穿越式公交线路的乘客选择概率呈现逐渐减小的趋势，如图9所示，竞争力逐渐减弱. 在算例中，在l=9 km 条件下，公交线路竞争力始终小于轨道交通. 当β=10时，居民居住地分布较分散，该公交线路的乘客选择概率大于35%；随着β逐渐减小，公交线路乘客选择概率的下降速度逐渐增大；当β减小到2时，居民居住地分布较为集中，该公交线路选择概率下降到20%以下，竞争力较弱.

2）居住分散性系数对公交站点选择概率的影响

由图10可知，随着居民住宅区分布由分散转为集中，β逐渐减小，公交线路所有站点的 $\varPhi $ 均呈现逐渐减小的趋势，且减小的速度逐渐增大，公交线路竞争力逐渐减弱. 分析其原因可知：在 $l $=9 km的条件下，当β较大时，城市内居民住宅区分布较为分散，不同出行距离的OD站点间乘客流量较为平均，公交线路各站点 $\varPhi $ 相对较大中而当β较小时，城市内居民住宅区分布较为集中，大部分乘客的出行距离接近或大于9 km，而在9 km的出行距离下，轨道交通的竞争力大于公交，此时公交线路各站点的 $\varPhi $ 相对较小.

（1）城市不断扩张，乘客平均出行距离 $l$ 存在逐渐增大的趋势，长距离穿越式公交线路竞争力逐渐减弱.

（2）随着 $l$ 逐渐增大，长距离穿越式公交线路各站点选择概率 $\varPhi $ 逐渐减小，且线路中心区站点对平均出行距离的灵敏性相对线路边缘区站点更低.

（3）城市不断扩张，居民居住地分布由“小而分散”向“大而集中”转变，β存在逐渐减小的趋势，长距离穿越式公交线路竞争力逐渐减弱.

（4）随着β逐渐减小，长距离穿越式公交线路各站点选择概率 $\varPhi $ 均存在逐渐减小的趋势.

所提出的模型对分析大城市居民出行距离变化对竞争网络中长距离穿越式公交线路及各站点竞争力的影响具有较为广泛的适用性，研究结果可为大城市公交线路的优化调整、公交站点的增删策略提供理论依据. 该模型对公交运行时间可靠性的处理相对简单，而实际中影响公交线路运行时间可靠性的因素较多，较难定量处理. 对公交运行时间可靠性的准确定量描述成为进一步的研究方向.