目的：研究带有径向粗糙项的Marcinkiewicz积分，证明这类积分算子也有Triebel-Lizorkin有界性。
创新点：沿用向量值奇异积分将粗糙核算子光滑化的思路，证明转后的算子具有更好的光滑性条件。
方法：首先利用本文作者之前文章的方法，把带径向粗糙项的Marckinkiewicz积分转化成研究一些具有一定光滑性的算子(需反复利用向量值奇异积分定理)。然后，利用微分指标较低时，Triebel-Lizorkin空间的一个等刻画，把Triebel-Lizorkin有界性转化成向量值的Lebesgue空间有界性。于是我们只需要研究这些有光滑性算子的向量值Lebesgue空间有界性，这整套方法是作者之前系列文章的一个整体思路。本文也利用这套思路，在该框架下，研究转化后算子的核，得到关于这个核的更精细估计，从而推广了原有结果。
结论：对于带有径向粗糙项的算子，同样可以得到一般的Marcinkiewicz积分在Triebel-Lizorkin空间的有界性。

关键词： Marcinkiewicz积分,  Triebel-Lizorkin空间