近年来, 关于有限或无限维Banach空间中演化方程解的渐近行为研究取得了突破性进展, 尤其在指数稳定性理论方面, 取得了丰富的研究成果^[1-14].由于在物理学、工程学、经济学中很难找到准确的数学模型去刻画动力系统, 而其演化过程的解可以形成一个线性斜积半流, 故可借助线性斜积半流来讨论该类发展方程的指数渐近行为.关于线性斜积半流的指数稳定性, MEGAN等利用容许性方法、Datko方法和构造函数空间上的泛函方法对其进行了相关讨论^[3-7]; 文献[10-14]对斜演化半流的指数稳定性进行了探讨, 从而推广了线性斜积半流的概念.本文将在上述文献的基础上, 对Banach空间中线性斜积半流的一致指数稳定性给出Datko、Rolewicz型刻画及遍历刻画.

第1节给出后文需要的概念; 第2节讨论线性斜积半流的一致指数稳定性, 并给出了若干一致指数稳定的充分或必要条件, 所得结果推广了稳定性理论中的一些经典结论.

1 预备知识

设X是一个Banach空间, (Θ, d)为一个度量空间, 将空间X上的范数及其作用于有界线性算子全体B(X)上的范数记作‖·‖, I为恒等算子.

定义1^[5]  如果满足性质:

(ⅰ) σ(θ, 0)=θ,  ∀θ∈Θ;

(ⅱ) σ(θ, t+s)=σ(σ(θ, s), t),   ∀(θ, s, t)∈Θ×R₊².

则称连续映射σ: Θ×R₊→Θ为Θ上的半流.

定义2^[5]  如果σ为Θ上的半流且Φ: Θ×R₊→B(X)满足以下条件:

(ⅰ) Φ(θ, 0)=I, ∀θ∈Θ;

(ⅱ) Φ(θ, t+s)=Φ(σ(θ, t), s)Φ(θ, t), ∀(θ, s, t)∈Θ×R₊²;

(ⅲ)存在M≥1和ω＞0使得

$ \left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,t} \right)} \right\| \le M{{\rm{e}}^{\omega t}},\forall \left( {\theta ,t} \right) \in \mathit{\Theta } \times {{\bf{R}}_ + }; $

(ⅳ)对所有的(θ, x)∈Θ×X, 映射R₊∋t↦Φ(θ, t)x∈X连续,

则称π=(Φ, σ)为X×Θ上的线性斜积半流.

例1  设σ为度量空间Θ上的半流, X是一个Banach空间, A: Θ→B(X)为连续映射.若Φ(θ, t)x为抽象Cauchy问题:

$ \left\{ \begin{array}{l} u'\left( t \right) = A\left( {\sigma \left( {\theta ,t} \right)} \right)u\left( t \right),\;\;\;\;t \ge 0,\\ u\left( 0 \right) = x \end{array} \right. $

的解, 则π=(Φ, σ)为X×Θ上的线性斜积半流.

定义3  如果存在常数N＞0和v＞0, 使得对∀(t, θ, x)∈R₊×Θ×X, 有

$ \left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,t} \right)x} \right\| \le N{{\rm{e}}^{ - vt}}\left\| x \right\|, $

(1)

则称线性斜积半流π=(Φ, σ)为一致指数稳定的.

2 主要结论及其证明

定理1  线性斜积半流π=(Φ, σ)是一致指数稳定的当且仅当存在h＞0和c∈(0, 1), 使得对每个θ∈Θ和每个x∈X存在τ∈(0, h], 满足

$ \left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,\tau } \right)x} \right\| \le c\left\| x \right\|. $

(2)

证明  必要性显然.下证充分性.

设任一固定的θ∈Θ, x∈X.由假设知, 存在τ₁∈(0, h], 使得式(2)成立.对θ₁=σ(θ, τ₁)和x₁=Φ(θ, τ₁)x可选择τ₂∈(0, h], 使得

$ \left\| {\mathit{\Phi }\left( {{\theta _1},{\tau _2}} \right){x_1}} \right\| \le c\left\| {{x_1}} \right\| \le {c^2}\left\| x \right\|, $

由于

$ \begin{array}{l} \mathit{\Phi }\left( {{\theta _1},{\tau _2}} \right){x_1} = \mathit{\Phi }\left( {\sigma \left( {\theta ,{\tau _1}} \right),{\tau _2}} \right)\mathit{\Phi }\left( {\theta ,{\tau _1}} \right)x = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathit{\Phi }\left( {\theta ,{\tau _1} + {\tau _2}} \right)x, \end{array} $

不妨记τ₀=0, s_n=$\sum\limits_{i = 0}^n {{\tau _i}} $,   0＜τ_{i∈{1, 2, …, n}}≤h, 由数学归纳法得

$ \left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,{s_n}} \right)x} \right\| \le {c^n}\left\| x \right\|,\;\;\;\;n \in {\bf{N}}. $

(3)

若s_n→∞(n→∞), 则对每个t∈[s_n, s_n+1], 有t≤(n+1)h.从而

$ \begin{array}{l} \left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,t} \right)x} \right\| = \left\| {\mathit{\Phi }\left( {\sigma \left( {\theta ,{s_n}} \right),t - {s_n}} \right)\mathit{\Phi }\left( {\theta ,{s_n}} \right)x} \right\| \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;M{{\rm{e}}^{\omega h}}{c^n}\left\| x \right\| \le M{{\rm{e}}^{\left( {\omega + v} \right)h}}{{\rm{e}}^{ - vt}}\left\| x \right\|, \end{array} $

其中v=$ - \frac{{\ln \;c}}{h}$＞0.

如果s_n→s(n→∞), 利用式(3)可得Φ(θ, s)x=0.当t≥s时,

$ \mathit{\Phi }\left( {\theta ,t} \right)x = \mathit{\Phi }\left( {\sigma \left( {\theta ,s} \right),t - s} \right)\mathit{\Phi }\left( {\theta ,s} \right)x = 0, $

当0≤t＜s时, 类似于s_n→∞的情况.

综上可知, 对∀(t, θ, x)∈R₊×Θ×X, 式(1)成立.

证毕！

定理2  如果φ, ψ: [0, ∞)→[0, ∞)是2个非减的函数, 满足$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \varphi \left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \psi \left( t \right) = \infty $, 且对所有(θ, x)∈Θ×X, 有

$ \mathop {\sup }\limits_{t > 0} \frac{1}{t}\int_0^t {\varphi \left( {\psi \left( \tau \right)\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,\tau } \right)x} \right\|} \right){\rm{d}}\tau } < \infty , $

(4)

则线性斜积半流π=(Φ, σ)是一致指数稳定的.

证明  结合已知条件, 利用反证法推出式(2)成立.如果式(2)不成立, 则对每个h＞0及每个c∈(0, 1)存在x₀∈X, ‖x₀‖=1及θ₀∈Θ, 使得

$ \left\| {\mathit{\Phi }\left( {{\theta _0},\tau } \right){x_0}} \right\| > c\left\| {{x_0}} \right\| = c $

对所有τ∈(0, h]成立.从而由式(4)可得, 对所有h＞0, 有

$ \begin{array}{l} M = \mathop {\sup }\limits_{t > 0} \frac{1}{t}\int_0^t {\varphi \left( {\psi \left( \tau \right)\left\| {\mathit{\Phi }\left( {{\theta _0},\tau } \right){x_0}} \right\|} \right){\rm{d}}\tau } \ge \\ \;\;\;\;\;\;\;\mathop {\sup }\limits_{t \in \left( {0,h} \right]} \frac{1}{t}\int_0^t {\varphi \left( {c\psi \left( \tau \right)} \right){\rm{d}}\tau } \ge \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{h}\int_0^h {\varphi \left( {c\psi \left( \tau \right)} \right){\rm{d}}\tau } , \end{array} $

因此, 由L'Hospital法则, 有

$ M \ge \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{1}{t}\int_0^t {\varphi \left( {c\psi \left( \tau \right)} \right){\rm{d}}\tau } = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \varphi \left( {c\psi \left( t \right)} \right) = \infty , $

此矛盾说明式(2)成立.从而π=(Φ, σ)是一致指数稳定的.

证毕！

推论1  若φ(t)满足定理2的条件, 则线性斜积半流π=(Φ, σ)是一致指数稳定的当且仅当存在2个常数α＞0和β＞0使得对所有的(θ, x)∈Θ×X有

$ \mathop {\sup }\limits_{t > 0} \frac{1}{t}\int_0^t {\varphi \left( {{{\rm{e}}^{\alpha \tau }}\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,\tau } \right)x} \right\|} \right){\rm{d}}\tau } \le \varphi \left( {\beta \left\| x \right\|} \right). $

(5)

证明  必要性.设存在常数N＞0, v＞0, 使得‖Φ(θ, t)‖≤Ne^{-v t}对所有t≥0和θ∈Θ成立, 任意固定的α∈(0, v]及β≥N, 对每个θ∈Θ和每个x∈X, 当t＞0时, 有

$ \begin{array}{l} \varphi \left( {\beta \left\| x \right\|} \right) = \frac{1}{t}\int_0^t {\varphi \left( {\beta \left\| x \right\|} \right){\rm{d}}\tau } \ge \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{t}\int_0^t {\varphi \left( {{{\rm{e}}^{\alpha \tau }}\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,\tau } \right)x} \right\|} \right){\rm{d}}\tau } . \end{array} $

由定理2可知充分性显然.

证毕！

推论2  如果φ(t)满足定理2的条件, 且存在3个常数α＞0, β＞0, γ＞0, 使得对所有的(θ, x)∈Θ×X, 有

$ \mathop {\sup }\limits_{t > 0} \frac{1}{t}\sum\limits_{n = 0}^{\left[ {t + 1} \right]} {\varphi \left( {\gamma {{\rm{e}}^{\alpha n}}\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,n} \right)x} \right\|} \right)} \le \varphi \left( {\beta \left\| x \right\|} \right), $

(6)

则线性斜积半流π=(Φ, σ)是一致指数稳定的.

证明  利用式(6), 当t＞0时有

$ \begin{array}{l} \mathop {\sup }\limits_{t > 0} \frac{1}{t}\int_0^t {\varphi \left( {{{\rm{e}}^{\alpha \tau }}\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,\tau } \right)x} \right\|} \right){\rm{d}}\tau } \le \\ \mathop {\sup }\limits_{t > 0} \frac{1}{t}\sum\limits_{n = 0}^{\left[ {t + 1} \right]} {\int_n^{n + 1} {\varphi \left( {{{\rm{e}}^{\alpha \tau }}\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,\tau } \right)x} \right\|} \right){\rm{d}}\tau } } \le \\ \mathop {\sup }\limits_{t > 0} \frac{1}{t}\sum\limits_{n = 0}^{\left[ {t + 1} \right]} {\int_n^{n + 1} {\varphi \left( {{{\rm{e}}^{\alpha \left( {n + 1} \right)}} \times } \right.} } \\ \;\;\;\;\;\;\left. {\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\sigma \left( {\theta ,n} \right),\tau - n} \right)\mathit{\Phi }\left( {\theta ,n} \right)x} \right\|} \right){\rm{d}}\tau \le \\ \mathop {\sup }\limits_{t > 0} \frac{1}{t}\sum\limits_{n = 0}^{\left[ {t + 1} \right]} {\int_n^{n + 1} {\varphi \left( {M{{\rm{e}}^{\omega + \alpha \left( {n + 1} \right)}}\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,n} \right)x} \right\|} \right){\rm{d}}\tau } } = \\ \mathop {\sup }\limits_{t > 0} \frac{1}{t}\sum\limits_{n = 0}^{\left[ {t + 1} \right]} {\varphi \left( {M{{\rm{e}}^{\omega + \alpha \left( {n + 1} \right)}}\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,n} \right)x} \right\|} \right)} = \\ \mathop {\sup }\limits_{t > 0} \frac{1}{t}\sum\limits_{n = 0}^{\left[ {t + 1} \right]} {\varphi \left( {\gamma {{\rm{e}}^{\alpha n}}\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,n} \right)x} \right\|} \right)} \le \\ \varphi \left( {\beta \left\| x \right\|} \right), \end{array} $

其中γ=Me^ω+α, M, ω由定义2给出.进而由推论1可知结论成立.

证毕!

定理3  线性斜积半流π=(Φ, σ)是一致指数稳定的当且仅当存在非减函数f(t)＞0(t＞0)满足f(ts)≤f(t)f(s) (t, s≥0)及K＞0, 使得对所有x∈X和θ∈Θ, 有

$ \int_0^\infty {f\left( {\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,\tau } \right)x} \right\|} \right){\rm{d}}\tau } \le Kf\left( {\left\| x \right\|} \right). $

(7)

证明  必要性.若π=(Φ, σ)是一致指数稳定的, 则存在常数N＞0, v＞0, 使得对所有x∈X和θ∈Θ, 有

$ \int_0^\infty {\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,\tau } \right)x} \right\|{\rm{d}}\tau } \le N\int_0^\infty {{{\rm{e}}^{ - v\tau }}\left\| x \right\|{\rm{d}}\tau } = \frac{N}{v}\left\| x \right\|. $

因此, 当f(t)=t, K=N/v时, 式(7)成立.

充分性.如果π=(Φ, σ)非一致指数稳定, 则对每个h＞0及每个c∈(0, 1), 存在x₀∈X及θ₀∈Θ, 使得对所有τ∈(0, h], 有

$ \left\| {\mathit{\Phi }\left( {{\theta _0},\tau } \right){x_0}} \right\| > c\left\| {{x_0}} \right\|, $

(8)

特别地, 取h=Kf(3)及c=1/3, 由式(8)有

$ \begin{array}{l} f\left( 3 \right)\int_0^\infty {f\left( {\left\| {\mathit{\Phi }\left( {{\theta _0},\tau } \right){x_0}} \right\|} \right){\rm{d}}\tau } \ge \\ \int_0^\infty {f\left( {3\left\| {\mathit{\Phi }\left( {{\theta _0},\tau } \right){x_0}} \right\|} \right){\rm{d}}\tau } \ge \\ \int_0^h {f\left( {\left\| {{x_0}} \right\|} \right){\rm{d}}\tau } = Kf\left( 3 \right)f\left( {\left\| {{x_0}} \right\|} \right). \end{array} $

与式(7)矛盾.因此, π=(Φ, σ)是一致指数稳定的.

证毕!

定理4  线性斜积半流π=(Φ, σ)是一致指数稳定的当且仅当存在非减函数f(t)＞0(t＞0), 满足f(ts)≥f(t)f(s) (t, s≥0)及K＞0, 使得对所有x∈X和θ∈Θ, 式(7)成立.

证明  必要性.令f(t)=t即可证得必要性.

充分性.类似定理3.由式(8), 对c∈(0, 1)和h=K/f(c), 有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\int_0^\infty {f\left( {\left\| {\mathit{\Phi }\left( {{\theta _0},\tau } \right){x_0}} \right\|} \right){\rm{d}}\tau } \ge \int_0^h {f\left( {c\left\| {{x_0}} \right\|} \right){\rm{d}}\tau } \ge }\\ {hf\left( c \right)f\left( {\left\| {{x_0}} \right\|} \right) = Kf\left( {\left\| {{x_0}} \right\|} \right).} \end{array} $

与式(7)矛盾.因此, π=(Φ, σ)是一致指数稳定的.

证毕!

推论3  线性斜积半流π=(Φ, σ)是一致指数稳定的当且仅当存在p＞0及K＞0对所有x∈X和θ∈Θ, 有

$ {\left( {\int_0^\infty {{{\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,\tau } \right)x} \right\|}^p}{\rm{d}}\tau } } \right)^{\frac{1}{p}}} \le K\left\| x \right\|. $

(9)

推论4  若f(t)满足定理3或定理4的条件, 则线性斜积半流π=(Φ, σ)是一致指数稳定的充要条件为存在K＞0对所有x∈X和θ∈Θ, 有

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {f\left( {\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,\tau } \right)x} \right\|} \right)} \le Kf\left( {\left\| x \right\|} \right). $

(10)

定理5  线性斜积半流π=(Φ, σ)是一致指数稳定的当且仅当存在K＞0, λ＞0对所有t＞0及∀(θ, x)∈Θ×X, 有

$ \frac{1}{t}\int_0^t {{{\rm{e}}^{\lambda \tau }}\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,\tau } \right)x} \right\|{\rm{d}}\tau } \le K\left\| x \right\|. $

(11)

证明  必要性.如果π=(Φ, σ)是一致指数稳定的, 则由定义, 存在N＞0, v＞0, 使得对∀(θ, x)∈Θ×X, 有

$ \begin{array}{l} \frac{1}{t}\int_0^t {{{\rm{e}}^{\frac{v}{2}\tau }}\left\| {\mathit{\Phi }\left( {\theta ,\tau } \right)x} \right\|{\rm{d}}\tau } \le \\ \;\;\;\;\;\frac{N}{t}\int_0^t {{{\rm{e}}^{ - \frac{{v\tau }}{2}}}\left\| x \right\|{\rm{d}}\tau } = \frac{{2N}}{{vt}}\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \frac{{vt}}{2}}}} \right)\left\| x \right\|, \end{array} $

令λ=v/2, K=$N\;\mathop {\sup }\limits_{\mu > 0} \;\frac{{1 - {{\rm e}^{ - \mu }}}}{\mu }$＜∞, 可得式(11)成立.

充分性.类似定理3的证明.如果π=(Φ, σ)不是一致指数稳定的, 设h＞0满足e^λh＞1+3λhK, 其中K, λ由式(11)给出, 由定理1知, 当c=1/3时存在x₀∈X及θ₀∈Θ对所有τ∈(0, h], 有式(8)成立.从而当t=h时, 有

$ \begin{array}{l} \frac{1}{t}\int_0^t {{{\rm{e}}^{\lambda \tau }}\left\| {\mathit{\Phi }\left( {{\theta _0},\tau } \right){x_0}} \right\|{\rm{d}}\tau } = \\ \;\;\;\;\;\;\frac{1}{h}\int_0^h {{{\rm{e}}^{\lambda \tau }}\left\| {\mathit{\Phi }\left( {{\theta _0},\tau } \right){x_0}} \right\|{\rm{d}}\tau } > \\ \;\;\;\;\;\;\frac{1}{h}\int_0^h {{{\rm{e}}^{\lambda \tau }}\frac{1}{3}\left\| {{x_0}} \right\|{\rm{d}}\tau } = \\ \;\;\;\;\;\;\frac{{{{\rm{e}}^{\lambda h}} - 1}}{{3h\lambda }}\left\| {{x_0}} \right\| > K\left\| {{x_0}} \right\|. \end{array} $

与式(11)矛盾, 因此π=(Φ, σ)是一致指数稳定的.

证毕！