0 引言

设a_i∈R⁺，t_i∈[0, 1](i=1, 2, …, n)，且$\sum\limits_{i = 1}^n {{t_i}} = 1$，记

$ \begin{array}{l} {\rm{M}}_n^{\left[ r \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right) = \\ \left\{ \begin{array}{l} {\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{t_i}a_i^r} } \right]^{\frac{1}{r}}},\;\;\;r \ne 0,\\ \prod\limits_{i = 1}^n {a_i^{{t_i}}} ,\;\;\;\;r = 0,\\ \max \left\{ {{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right\},\;\;\;\;r = + \infty ,\\ \min \left\{ {{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right\},\;\;\;\;r = - \infty , \end{array} \right. \end{array} $

(1)

则称M_n^[r](t₁, t₂, …, t_n; a₁, a₂, …, a_n)为正数a₁, a₂, …, a_n的加权r次幂平均，简称为n元加权幂平均.特别地，称

$ {\rm{M}}_n^{\left[ 1 \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right) = {\rm{A}}\left( {{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right), $

$ {\rm{M}}_n^{\left[ 0 \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right) = {\rm{G}}\left( {{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right), $

$ {\rm{M}}_n^{\left[ { - 1} \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right) = {\rm{H}}\left( {{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right), $

$ {\rm{M}}_n^{\left[ 2 \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right) = {\rm{SR}}\left( {{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right), $

$ {\rm{M}}_n^{\left[ { - 2} \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right) = {\rm{HS}}\left( {{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right), $

$ {\rm{M}}_n^{\left[ 3 \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right) = {\rm{CR}}\left( {{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right), $

$ {\rm{M}}_n^{\left[ { - 3} \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right) = {\rm{HC}}\left( {{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}} \right) $

分别为n元加权算术平均、n元加权几何平均、n元加权调和平均、n元加权平方根平均、n元加权调和平方根平均、n元加权立方根平均、n元加权调和立方根平均.

针对n元加权幂平均，文献[1]进行了深入研究，并给出了许多重要结果，此处不再赘述.

对n元加权幂平均M_n^[r](t₁, t₂, …, t_n; a₁, a₂…, a_n)，由式(1) 易得如下加权幂平均恒等关系式：

(ⅰ)[M_n^[r](t₁, t₂, …, t_n; a₁, a₂, …, a_n)]^r=M_n^[1](t₁, t₂, …, t_n; a₁^r, a₂^r, …, a_n^r)；

(ⅱ)[M_n^[1](t₁, t₂, …, t_n; a₁, a₂, …, a_n)]^{${\frac{1}{r}}$}=M_n^[r](t₁, t₂, …, t_n; a₁^{${\frac{1}{r}}$}, a₂^{${\frac{1}{r}}$}, …, a_n^{${\frac{1}{r}}$})；

(ⅲ)[M_n^[r](t₁, t₂, …, t_n; a₁^{${\frac{1}{r}}$}, a₂^{${\frac{1}{r}}$}, …, a_n^{${\frac{1}{r}}$})]^r=M_n^[1](t₁, t₂, …, t_n; a₁, a₂, …, a_n)；

(ⅳ)expM_n^[1](t₁, t₂, …, t_n; a₁, a₂, …, a_n)=M_n^[0](t₁, t₂, …, t_n; exp a₁, exp a₂, …, exp a_n)；

若a_i∈(1, +∞)，则

(ⅴ)lnM_n^[0](t₁, t₂, …, t_n; a₁, a₂, …, a_n)=M_n^[1](t₁, t₂, …, t_n; ln a₁, ln a₂, …, ln a_n).

特别地，∀x₁, x₂∈R⁺及∀t₁, t₂, α∈[0, 1]，有

(ⅵ)M₂^[1](M₂^[1](α, 1-α; t₁, t₂), 1-M₂^[1](α, 1-α; t₁, t₂); x₁, x₂)=M₂^[1](α, 1-α; M₂^[1](t₁, 1-t₁; x₁, x₂), M₂^[1](t₂, 1-t₂; x₁, x₂)).

凸函数^[2]、几何凸函数^[3]、调和凸函数^[4]、平方凸函数^[5]、调和平方凸函数^[6]、r-平均凸函数^[7]等都利用幂平均给出的定义，这些凸函数在许多领域的应用及其重要作用已为人熟知，但缺乏规范、简洁的统一定义，考虑到数学的缜密性和严谨性，各方法尚存在不可忽视的缺失，仅就r-平均凸函数而言，张孔生等^[8]在对幂指数做了相应限制的前提下，给出了“P方凸函数”的定义，吴善和^[9]充分考虑了幂指数取值的任意性，在定义中不得不用2个公式来确定其定义的“rP-凸函数”，席博彦等^[7]通过引入加权平均的概念定义了“r-平均凸函数”，虽然弥补了前2种定义的缺陷，但仍未完全解决凸函数定义的统一和简洁性问题，特别是后续推广应用问题.其他类型的凸函数定义中的一些问题，不再列举.

对区间上的二元幂平均确定的凸函数，本文给出了规范统一的定义，并进行了全面深入研究.

定义1    设I⊆R⁺, f:I→R⁺, 若∀x₁, x₂∈I及∀t∈[0, 1]，存在r, p∈R(r，p≠±∞)，使得

$ \begin{array}{l} f\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},{x_2}} \right)} \right) \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{M}}_2^{\left[ p \right]}\left( {t,1 - t;f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)} \right), \end{array} $

(2)

则称f(x)为I上的M_rM_p-凸函数.如果不等式(2) 中的不等号反向，则称f(x)为I上的M_rM_p-凹函数.当r=p≠0时，则称f(x)为I上的r次幂平均凸(凹)函数.

显然，当r=p=1, 0, -1, 2, -2或r=p∈R时，M_rM_p-凸函数为凸函数、几何凸函数、调和凸函数、平方凸函数、调和平方凸函数和r次幂平均凸函数；当r=0且p=1, -1或p∈R(p≠0) 时，M_rM_p-凸函数为GA-凸函数^[10]、GH-凸函数^[11]和GM_p-凸函数^[12]；当r=1且p=0, -1, 2或p∈R时，M_rM_p-凸函数为AG-凸函数(对数凸函数)^[13]、AH-凸函数^[14]、AR-凸函数^[15]和AM_p-凸函数^[16]；当r=-1且p=0, 1或p∈R时，M_rM_p-凸函数为HG-凸函数^[17]、HA-凸函数^[18]和HM_p-凸函数^[19]；当r∈R且p=1, 0, -1时，M_rM_p-凸函数为M_rA-凸函数(P-凸函数)^[20]、M_rG-凸函数^[21]、M_rH-凸函数^[22].

为简洁和统一，将凸函数的记号M_rM_p及AM_p、GM_p、HM_p和M_rA、M_rG、M_rH分别记为MM及AM、GM、HM和MA、MG、MH.由于所有“M”均表示n元加权幂平均，本文规定：凸函数记号“MM”中，第1个M为n元加权r次幂平均，第2个M为n元加权p次幂平均.

1 MM-凸函数的判定

考虑到区间I⊆R⁺上的幂函数τ(x)=x^r(r≠0)、对数函数ω(x)=ln x和幂指复合函数ρ(x)=exp x^r(r≠0) 是单调的, 记τ(I)=I^r，ω(I)=ln I，ρ(I)=exp I^r.∀r, p∈R，由于r=0，p=0时，MM-凸函数分别为几何凸函数、GA-凸函数、GH-凸函数、GM-凸函数、AG-凸函数、HG-凸函数、MG-凸函数，相关讨论参见文献[3, 10-13, 17, 21].本文约定：除r=p=0时MM-凸函数为几何凸函数外，其他都只讨论r≠0，p≠0的情形.

定理1    设I⊆R⁺，f:I→R⁺，则

(ⅰ)当p>0时，f(x)为I上的MM-凸(凹)函数的充要条件是(f(x^{${\frac{1}{r}}$}))^p为I^r上的凸(凹)函数；

(ⅱ)当p＜0时，f(x)为I上的MM-凸(凹)函数的充要条件是(f(x^{${\frac{1}{r}}$}))^p为I^r上的凹(凸)函数.

证明    这里仅证(ⅰ)，用类似方法可证明(ⅱ).

令g(x)=(f(x^{${\frac{1}{r}}$}))^p(x∈I^r)，则f(x^{${\frac{1}{r}}$})=(g(x))^{${\frac{1}{p}}$}.

充分性：设∀x₁, x₂∈I, 则x₁^r, x₂^r∈I^r, 所以，∀t∈[0, 1]，由2个正数幂平均的性质^[1]知，M₂^[r](t, 1-t; x₁, x₂)∈[min{x₁, x₂}, max{x₁, x₂}]⊆I，M₂^[1](t, 1-t; x₁^r, x₂^r)∈[min{x₁^r, x₂^r}, max{x₁^r, x₂^r}]⊆I^r，且[M₂^[1](t, 1-t; x₁^r, x₂^r)]^{${\frac{1}{r}}$}∈I.若g(x)=(f(x^{${\frac{1}{r}}$}))^p是I^r上的凸函数，且p>0，则由加权幂平均恒等关系式和凸函数的定义，有

$ \begin{array}{l} f\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},{x_2}} \right)} \right) = f\left( {\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;x_1^r,} \right.} \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left. {{{\left. {\left. {x_2^r} \right)} \right)}^{\frac{1}{r}}}} \right) = {\left[ {g\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;x_1^r,x_2^r} \right)} \right)} \right]^{\frac{1}{p}}} \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;g\left( {x_1^r} \right),g\left( {x_2^r} \right)} \right)} \right]^{\frac{1}{p}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;{{\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)}^p},{{\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)}^p}} \right)} \right]^{\frac{1}{p}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{M}}_2^{\left[ p \right]}\left( {t,1 - t;f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)} \right), \end{array} $

故f(x)为I上的MM-凸函数.

必要性：设∀x₁, x₂∈I^r，则x₁^{${\frac{1}{r}}$}, x₂^{${\frac{1}{r}}$}∈I，所以, ∀t∈[0, 1]，由2个正数幂平均的性质知，

$ \begin{array}{l} {\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},{x_2}} \right) \in \left[ {\min \left\{ {{x_1},{x_2}} \right\},\max \left\{ {{x_1},{x_2}} \right\}} \right] \subseteq \\ {{\bf{I}}^r},{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;x_1^{\frac{1}{r}},x_2^{\frac{1}{r}}} \right) \in \left[ {\min \left\{ {x_1^{\frac{1}{r}},x_2^{\frac{1}{r}}} \right\},\max \left\{ {x_1^{\frac{1}{r}},} \right.} \right.\\ \left. {\left. {x_2^{\frac{1}{r}}} \right\}} \right] \subseteq {\bf{I}},{\rm{且}}{\left[ {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},{x_2}} \right)} \right]^{\frac{1}{r}}} \in {\bf{I}}. \end{array} $

若f(x)是I上的MM-凸函数，且p>0，则由加权幂平均恒等式和MM-凸函数的定义，有

$ \begin{array}{l} g\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},{x_2}} \right)} \right) = \left[ {f\left( {\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},} \right.} \right.} \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left. {\left. {{{\left. {\left. {{x_2}} \right)} \right)}^{\frac{1}{r}}}} \right)} \right]^p} = {\left[ {f\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;x_1^{\frac{1}{r}},x_2^{\frac{1}{r}}} \right)} \right)} \right]^p} \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ {{\rm{M}}_2^{\left[ p \right]}\left( {t,1 - t;f\left( {x_1^{\frac{1}{r}}} \right),f\left( {x_2^{\frac{1}{r}}} \right)} \right)} \right]^p} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ {{\rm{M}}_2^{\left[ p \right]}\left( {t,1 - t;{{\left( {g\left( {{x_1}} \right)} \right)}^{\frac{1}{p}}},{{\left( {g\left( {{x_2}} \right)} \right)}^{\frac{1}{p}}}} \right)} \right]^p} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;g\left( {{x_1}} \right),g\left( {{x_2}} \right)} \right), \end{array} $

故g(x)=(f(x^{${\frac{1}{r}}$}))^p是I^r上的凸函数.

若f(x)为I上的MM-凹函数，则以上证明中的不等号反向，因此定理1的后半部分成立.

定理2    设I⊆R⁺，f:I→R⁺，则

(ⅰ)当p>0时，f(x)为I上的MM-凸(凹)函数的充要条件是exp[f((ln x)^{${\frac{1}{r}}$})]^p(r≠0) 为exp I^r上的几何凸(凹)函数；

(ⅱ)当p＜0时，f(x)为I上的MM-凸(凹)函数的充要条件是exp[f((ln x)^{${\frac{1}{r}}$})]^p(r≠0) 为exp I^r上的几何凹(凸)函数.

证明    仅证(ⅰ)，用相同的方法可证明(ⅱ).

令g(x)=exp[f((ln x)^{${\frac{1}{r}}$})]^p(x∈exp I^r)，则[f((ln x)^{${\frac{1}{r}}$})]^p=ln g(x).

充分性：设∀x₁, x₂∈I, 则x₁^r, x₂^r∈I^r，exp x₁^r, exp x₂^r∈exp I^r，所以，∀t∈[0, 1]，由2个正数幂平均的性质知，M₂^[r](t, 1-t; x_1, x₂)∈I，M₂^[1](t, 1-t; x₁^r, x₂^r)∈I^r，M₂^[0](t, 1-t; exp x₁^r, exp x₂^r)∈exp I^r，且exp M₂^[1](t, 1-t; x₁^r, x₂^r)∈exp I^r.若g(x)=exp(f((ln x)^{${\frac{1}{r}}$}))^p是exp I^r上的几何凸函数, 则由加权幂平均的恒等关系式和几何凸函数的定义, 有

$ \begin{array}{l} {\left[ {f\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},{x_2}} \right)} \right)} \right]^p} = \\ \;\;\;\;\;\;\;{\left[ {f\left( {{{\left( {\ln \left( {\exp {\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;x_1^r,x_2^r} \right)} \right)} \right)}^{\frac{1}{r}}}} \right)} \right]^p} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\ln g\left( {\exp {\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;x_1^r,x_2^r} \right)} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\ln g\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ 0 \right]}\left( {t,1 - t;\exp x_1^r,\exp x_2^r} \right)} \right) \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\ln {\rm{M}}_2^{\left[ 0 \right]}\left( {t,1 - t;g\left( {\exp x_1^r} \right),g\left( {\exp x_2^r} \right)} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\ln {\rm{M}}_2^{\left[ 0 \right]}\left( {t,1 - t;\exp{{\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)}^p},\exp{{\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)}^p}} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;\ln \left( {\exp{{\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)}^p}} \right),\ln \left( {\exp{{\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)}^p}} \right)} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;{{\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)}^p},{{\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)}^p}} \right), \end{array} $

即f(M₂^[r](t, 1-t; x₁, x₂))≤[M₂^[1](t, 1-t; (f(x₁))^p, (f(x₂))^p)]^{${\frac{1}{p}}$}=M₂^[p](t, 1-t; f(x₁), f(x₂)).

故f(x)为I上的MM-凸函数.

必要性：设∀x₁, x₂∈exp I^r，则ln x₁, ln x₂∈I^r，(ln x₁)^{${\frac{1}{r}}$}, (ln x₂)^{${\frac{1}{r}}$}∈I，所以，∀t∈[0, 1], 由2个正数的幂平均的性质知，M₂^[0](t, 1-t; x₁, x₂)∈exp I^r，M₂^[1](t, 1-t; ln x₁, ln x₂)∈I^r，M₂^[r](t, 1-t; (ln x₁)^{${\frac{1}{r}}$}, (ln x₂)^{${\frac{1}{r}}$})∈I，且[ln M₂^[0](t, 1-t; x₁, x₂)]^{${\frac{1}{r}}$}，[M₂^[1](t, 1-t; ln x₁, ln x₂)]^{${\frac{1}{r}}$}∈I.若f(x)为I上的MM-凸函数，且p>0，则由加权幂平均的恒等关系式和MM-凸函数的定义，有

$ \begin{array}{l} g\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ 0 \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},{x_2}} \right)} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\exp {\left[ {f\left( {{{\left( {\ln {\rm{M}}_2^{\left[ 0 \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},{x_2}} \right)} \right)}^{\frac{1}{r}}}} \right)} \right]^p} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\exp {\left[ {f\left( {{{\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;ln{x_1},ln{x_2}} \right)} \right)}^{\frac{1}{r}}}} \right)} \right]^p} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\exp {\left[ {f\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;{{\left( {\ln {x_1}} \right)}^{\frac{1}{r}}},{{\left( {\ln {x_2}} \right)}^{\frac{1}{r}}}} \right)} \right)} \right]^p} \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\exp {\left[ {{\rm{M}}_2^{\left[ p \right]}\left( {t,1 - t;f\left( {{{\left( {\ln {x_1}} \right)}^{\frac{1}{r}}}} \right),f\left. {\left( {{{\left( {\ln {x_2}} \right)}^{\frac{1}{r}}}} \right)} \right)} \right)} \right]^p} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\exp {\left[ {{\rm{M}}_2^{\left[ p \right]}\left( {t,1 - t;{{\left( {\ln g\left( {{x_1}} \right)} \right)}^{\frac{1}{p}}},{{\left( {\ln g\left( {{x_2}} \right)} \right)}^{\frac{1}{p}}}} \right)} \right]^p} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\exp \left[ {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;\ln g\left( {{x_1}} \right),\ln g\left( {{x_2}} \right)} \right)} \right] = \\ \;\;\;\;\;\;\;\exp \left[ {\ln {\rm{M}}_2^{\left[ 0 \right]}\left( {t,1 - t;g\left( {{x_1}} \right),g\left( {{x_2}} \right)} \right)} \right] = \\ \;\;\;\;\;\;\;{\rm{M}}_2^{\left[ 0 \right]}\left( {t,1 - t;g\left( {{x_1}} \right),g\left( {{x_2}} \right)} \right), \end{array} $

所以g(x)=exp[f((ln x)^{${\frac{1}{r}}$})]^p是exp I^r上的几何凸函数.

由以上证明可知，定理2(ⅰ)的后半部分亦成立.

类似地可证明：

定理3    设I⊆R⁺，f:I→R⁺，则

(ⅰ)当p>0时，f(x)为I上的MM-凸(凹)函数的充要条件是(f(x))^p为I上的MA-凸(凹)函数；

(ⅱ)当p＜0时，f(x)为I上的MM-凸(凹)函数的充要条件是(f(x))^p为I上的MA-凹(凸)函数.

定理4    设I⊆R⁺，f:I→R⁺，则f(x)为I上的MM-凸(凹)函数的充要条件是f(x^{${\frac{1}{r}}$})为I^r上的AM-凸(凹)函数.

定理5    设I⊆R⁺，f:I→R⁺，则

(ⅰ)当p>0时，f(x)为I上的MM-凸(凹)函数的充要条件是exp(f(x))^p为I上的MG-凸(凹)函数；

(ⅱ)当p＜0时，f(x)为I上的MM-凸(凹)函数的充要条件是exp(f(x))^p为I上的MG-凹(凸)函数.

定理6    设I⊆R⁺，f:I→R⁺，则f(x)为I上的MM-凸(凹)函数的充要条件是f((ln x)^{${\frac{1}{r}}$})为exp I^r上的GM-凸(凹)函数.

定理7    设I⊆R⁺，f:I→R⁺，且f在区间I上连续，则

(ⅰ)当p>0时，函数f(x)是I上的MM-凸(凹)函数的充分必要条件是：∀x₁, x₂∈I，函数φ(t)=[f(M₂^[r](t, 1－t; x₁, x₂))]^p为[0, 1]上的凸(凹)函数；

(ⅱ)当p＜0时，函数f(x)是I上的MM-凸(凹)函数的充分必要条件是：∀x₁, x₂∈I，函数φ(t)=[f(M₂^[r](t, 1－t; x₁, x₂))]^p为[0, 1]上的凹(凸)函数.

证明    只证(ⅰ)，同理可证(ⅱ).

由φ(t)=[f(M₂^[r](t, 1－t; x₁, x₂))]^p(t∈[0, 1])，知φ(0)=(f(x₂))^p，φ(1)=(f(x₁))^p.

充分性：若φ(t)为[0, 1]上的凸函数，且p>0，则∀x₁, x₂∈I及∀t∈[0, 1]，有

$ \begin{array}{l} f\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},{x_2}} \right)} \right) = {\left[ {\varphi \left( t \right)} \right]^{\frac{1}{p}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ {\varphi \left( {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;1,0} \right)} \right)} \right]^{\frac{1}{p}}} \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;\varphi \left( 1 \right),\varphi \left( 0 \right)} \right)} \right]^{\frac{1}{p}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;{{\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)}^p},{{\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)}^p}} \right)} \right]^{\frac{1}{p}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{M}}_2^{\left[ p \right]}\left( {t,1 - t;f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)} \right), \end{array} $

故函数f(x)是区间I上的MM-凸函数.

必要性：∀x₁, x₂∈I及∀t₁, t₂∈[0, 1]，由2正数幂平均的性质知，M₂^[r](t₁, 1－t₁; x₁, x₂), M₂^[r](t₂, 1－t₂; x₁, x₂)∈I, 所以，∀α∈[0, 1]亦有M₂^[r](α, 1－α; M₂^[r](t₁, 1－t₁; x₁, x₂), M₂^[r](t₂, 1－t₂; x₁, x₂))∈I，且M₂^[1](α, 1－α; t₁, t₂)∈[min{t₁, t₂}, max{t₁, t₂}]⊆[0, 1]，因此，M₂^[r](M₂^[1](α, 1－α; t₁, t₂), 1－M₂^[1](α, 1－α; t₁, t₂); x₁, x₂)∈I.若f(x)是I上的MM-凸函数，且p>0，则∀t₁, t₂∈[0, 1]及∀α∈[0, 1]，由加权幂平均的恒等关系式和MM-凸函数的定义，有

$ \begin{array}{l} \varphi \left( {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {\alpha ,1 - \alpha ;{t_1},{t_2}} \right)} \right) = \left[ {f\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {\alpha ,1 - \alpha ;{t_1},} \right.} \right.} \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left. {\left. {\left. {\left. {{t_2}} \right),1 - {\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {\alpha ,1 - \alpha ;{t_1},{t_2}} \right);{x_1},{x_2}} \right)} \right)} \right]^p} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left[ {f\left( {\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {\alpha ,1 - \alpha ;{t_1},{t_2}} \right),1 - {\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {\alpha ,} \right.} \right.} \right.} \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left. {\left. {{{\left. {\left. {\left. {1 - \alpha ;{t_1},{t_2}} \right);x_1^r,x_2^r} \right)} \right)}^{\frac{1}{r}}}} \right)} \right]^p} = \left[ {f\left( {\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {\alpha ,} \right.} \right.} \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;1 - \alpha ;{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {{t_1},1 - {t_1};x_1^r,x_2^r} \right),{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {{t_2},1 - {t_2};} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left. {\left. {{{\left. {\left. {\left. {x_1^r,x_2^r} \right)} \right)} \right)}^{\frac{1}{r}}}} \right)} \right]^p} = \left[ {f\left( {\left[ {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {\alpha ,1 - \alpha ;\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {{t_1},} \right.} \right.} \right.} \right.} \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left. {\left. {{{\left. {\left. {{{\left. {\left. {1 - {t_1};x_1^r,x_2^r} \right)} \right)}^r},{{\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {{t_2},1 - {t_2};{x_1},{x_2}} \right)} \right)}^r}} \right)} \right]}^{\frac{1}{r}}}} \right)} \right]^p} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left[ {f\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {\alpha ,1 - \alpha ;{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {{t_1},1 - {t_1};{x_1},{x_2}} \right),} \right.} \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left. {\left. {\left. {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {{t_2},1 - {t_2};{x_1},{x_2}} \right)} \right)} \right)} \right]^p} \le \left[ {{\rm{M}}_2^{\left[ p \right]}\left( {\alpha ,1 - \alpha ;} \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;f\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {{t_1},1 - {t_1};{x_1},{x_2}} \right)} \right),f\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {{t_2},1 - {t_2};} \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\left. {\left. {\left. {\left. {{x_1},{x_2}} \right)} \right)} \right)} \right]^p} = {\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {\alpha ,1 - \alpha ;\left[ {f\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {{t_1},1 - {t_1};} \right.} \right.} \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left. {{{\left. {\left. {\left. {{x_1},{x_2}} \right)} \right)} \right]}^p},{{\left[ {f\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {{t_2},1 - {t_2};{x_1},{x_2}} \right)} \right)} \right]}^p}} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {\alpha ,1 - \alpha ;\varphi \left( {{t_1}} \right),\varphi \left( {{t_2}} \right)} \right), \end{array} $

故φ(t)=[f(M₂^[r](t, 1－t; x₁, x₂))]^p是[0, 1]上的凸函数.

若f(x)为I上的MM-凹函数，则以上证明中不等号反向，故定理7(ⅰ)的后半部分成立.

定理8    设I⊆R⁺，f:I→R⁺，

(ⅰ)若p>0，则f(x)为I上的MM-凸(凹)函数的充要条件是：∀x₁, x₂, x₃∈I且x₁＜x₂＜x₃，当r>0时，有

$ \begin{array}{l} \left( {x_3^r - x_2^r} \right){\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)^p} + \left( {x_1^r - x_3^r} \right){\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)^p} + \\ \;\;\;\;\;\left( {x_2^r - x_1^r} \right){\left( {f\left( {{x_3}} \right)} \right)^p} \ge \left( \le \right)0; \end{array} $

(3)

当r＜0时，有

$ \begin{array}{l} \left( {x_3^r - x_2^r} \right){\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)^p} + \left( {x_1^r - x_3^r} \right){\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)^p} + \\ \;\;\;\;\;\left( {x_2^r - x_1^r} \right){\left( {f\left( {{x_3}} \right)} \right)^p} \le \left( \ge \right)0. \end{array} $

(4)

(ⅱ)若p＜0，则f(x)为I上的MM-凸(凹)函数的充要条件是：∀x₁, x₂, x₃∈I且x₁＜x₂＜x₃, 当r>0时，有

$ \begin{array}{l} \left( {x_3^r - x_2^r} \right){\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)^p} + \left( {x_1^r - x_3^r} \right){\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)^p} + \\ \;\;\;\;\;\left( {x_2^r - x_1^r} \right){\left( {f\left( {{x_3}} \right)} \right)^p} \le \left( \ge \right)0; \end{array} $

(5)

当r＜0时，有

$ \begin{array}{l} \left( {x_3^r - x_2^r} \right){\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)^p} + \left( {x_1^r - x_3^r} \right){\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)^p} + \\ \;\;\;\;\;\left( {x_2^r - x_1^r} \right){\left( {f\left( {{x_3}} \right)} \right)^p} \ge \left( \le \right)0. \end{array} $

(6)

证明    只证(ⅰ)，同理可证(ⅱ).

必要性：∀x₁, x₂, x₃∈I且x₁＜x₂＜x₃，令$t = \frac{{x_3^r - x_2^r}}{{x_3^r - x_1^r}}$，则x₂=M₂^[r](t, 1－t; x₁, x₃).

若f(x)为I上的MM-凸函数，则

$ \begin{array}{l} f\left( {{x_2}} \right) = f\left( {M_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},{x_3}} \right)} \right) \le M_2^{\left[ p \right]}\left( {t,1 - t;} \right.\\ \left. {f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_3}} \right)} \right) = {\left[ {t{{\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)}^p} + \left( {1 - t} \right){{\left( {f\left( {{x_3}} \right)} \right)}^p}} \right]^{\frac{1}{p}}} = \\ {\left[ {\frac{{x_3^r - x_2^r}}{{x_3^r - x_1^r}}{{\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)}^p} + \frac{{x_2^r - x_1^r}}{{x_3^r - x_1^r}}{{\left( {f\left( {{x_3}} \right)} \right)}^p}} \right]^{\frac{1}{p}}}. \end{array} $

因为∀x∈I, f(x)>0，且p>0，注意到x₁＜x₂＜x₃，则当r>0时，将上式整理即得

$ \begin{array}{l} \left( {x_3^r - x_2^r} \right){\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)^p} + \left( {x_1^r - x_3^r} \right){\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)^p} + \\ \;\;\;\;\;\;\left( {x_2^r - x_1^r} \right){\left( {f\left( {{x_3}} \right)} \right)^p} \ge 0. \end{array} $

当r＜0时，类似地，有

$ \begin{array}{l} \left( {x_3^r - x_2^r} \right){\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)^p} + \left( {x_1^r - x_3^r} \right){\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)^p} + \\ \;\;\;\;\;\;\left( {x_2^r - x_1^r} \right){\left( {f\left( {{x_3}} \right)} \right)^p} \le 0. \end{array} $

由于p>0，且当r>0或r＜0时，以上证明步步可逆，所以充分性成立.

若f(x)在I上是MM-凹的，则以上证明中的不等号反向，故定理8(ⅰ)的后半部分成立.

定理9    设I⊆R⁺，f:I→R⁺，且f在I上二阶可导，则f为I上MM-凸(凹)函数的充分必要条件是

$ \begin{array}{l} \left( {p - 1} \right){\left( {f'\left( x \right)} \right)^2}x + f\left( x \right)f''\left( x \right)x + \\ \;\;\;\;\;\;\;\left( {1 - r} \right)f\left( x \right)f'\left( x \right) \ge \left( \le \right)0\left( {p \ne 0} \right). \end{array} $

(7)

证明    只证f为I上MM-凸函数的情形，同理可证f为I上MM-凹函数的情形.

∀x₁, x₂∈I，不失一般性，设x₁＜x₂，令x=[tx₁^r+(1－t)x₂^r]^{${\frac{1}{r}}$}=M₂^[r](t, 1－t; x₁, x₂)(t∈[0, 1])，则由2个正数的幂平均性质知，x∈[x₁, x₂]⊆I.

对函数φ(t)=[f(M₂^[r](t, 1－t; x₁, x₂))]^p=[f([tx₁^r+(1－t)x₂^r]^{${\frac{1}{r}}$})]^p在区间[0, 1]上求变量t的一阶、二阶导数并以x代[tx₁^r+(1－t)x₂^r]^{${\frac{1}{r}}$}，得

$ \begin{array}{l} \varphi '\left( t \right) = \frac{p}{r}{\left( {f\left( x \right)} \right)^{p - 1}}f'\left( x \right){x^{1 - r}}\left( {x_1^r - x_2^r} \right),\\ \varphi ''\left( t \right) = \frac{p}{{{r^2}}}{\left( {f\left( x \right)} \right)^{p - 1}}{x^{1 - 2r}}{\left( {x_1^r - x_2^r} \right)^2}\left[ {\left( {p - 1} \right) \times } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\left( {f'\left( x \right)} \right)^2}x + f\left( x \right)f''\left( x \right)x + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\left( {1 - r} \right)f\left( x \right)f'\left( x \right)} \right], \end{array} $

注意到x∈I⊆R⁺，f(x)>0(∀x∈I)，所以

$ \begin{array}{l} \varphi ''\left( t \right) \ge \left( \le \right)0 \Leftrightarrow p\left[ {\left( {p - 1} \right){{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}x + } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;f\left( x \right)f''\left( x \right)x + \left. {\left( {1 - r} \right)f\left( x \right)f'\left( x \right)} \right] \ge \left( \le \right)0. \end{array} $

由定理7知，当p>0时，f(x)是I上的MM-凸函数⇔∀x₁, x₂∈I, 函数φ(t)=[f(M₂^[r](t, 1－t; x₁, x₂))]^p是[0, 1]上的凸函数⇔φ″(t)≥0⇔p((p-1)(f′(x))²x+f(x)f″(x)x+(1-r)f(x)f′(x))≥0⇔(p-1)(f′(x))²x+f(x)f″(x)x+(1-r)f(x)f′(x)≥0.

所以，当p>0时，f(x)为I上的MM-凸函数的充要条件是∀x∈I，有

$ \begin{array}{l} \left( {p - 1} \right){\left( {f'\left( x \right)} \right)^2}x + f\left( x \right)f''\left( x \right)x + \\ \;\;\;\;\;\;\left( {1 - r} \right)f\left( x \right)f'\left( x \right) \ge 0. \end{array} $

当p＜0时，f(x)是I上的MM-凸函数⇔∀x₁, x₂∈I, 函数φ(t)=[f(M₂^[r](t, 1－t; x₁, x₂))]^p是[0, 1]上的凹函数⇔φ″(t)≤0⇔p[(p-1)(f′(x))²x+f(x)f″(x)x+(1-r)f(x)f′(x)]≤0⇔(p－1)(f′(x))²x+f(x)f″(x)x+(1－r)f(x)f′(x)≥0.

所以，当p＜0时，f(x)为I上的MM-凸函数的充要条件仍然是∀x∈I不等式(7) 成立.

故当p≠0时，f(x)为I上的MM-凸函数的充要条件是∀x∈I不等式(7) 成立.

2 MM-凸函数的复合运算性质

定理10    设A, I⊆R⁺，B⊆I，f:I→R⁺, μ:A→B，则

(ⅰ)若y=f(u)为I上严格递增的MM-凸函数，u=μ(x)为A上的r次幂平均凸函数(r-平均凸函数^[7])，则y=f(μ(x))为A上的MM-凸函数；

(ⅱ)若y=f(u)为I上严格递减的MM-凸函数，u=μ(x)为A上的r次幂平均凹函数(r-平均凹函数)，则y=f(μ(x))为A上的MM-凸函数；

(ⅲ)若y=f(u)为I上严格递增的MM-凹函数，u=μ(x)为A上的r次幂平均凹函数(r-平均凹函数)，则y=f(μ(x))为A上的MM-凹函数；

(ⅳ)若y=f(u)为I上严格递减的MM-凹函数，u=μ(x)为A上的r次幂平均凸函数(r-平均凸函数)，则y=f(μ(x))为A上的MM-凹函数.

证明    只证(ⅰ)，同理可证(ⅱ)、(ⅲ)、(ⅳ).

∀x₁, x₂∈A⊆R⁺及∀t∈[0, 1]，显然有M₂^[r](t, 1－t; x₁, x₂)∈[min{x₁, x₂}, max{x₁, x₂}]⊆A，因为μ:A→B⊆I，所以，μ(x₁), μ(x₂), μ(M₂^[r](t, 1－t; x₁, x₂))∈B⊆I, 且

$ \begin{array}{l} {\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;\mu \left( {{x_1}} \right),\mu \left( {{x_2}} \right)} \right) \in \left[ {\min \left\{ {\mu \left( {{x_1}} \right),\mu \left( {{x_2}} \right)} \right\},} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\max \left\{ {\mu \left( {{x_1}} \right),\mu \left( {{x_2}} \right)} \right\}} \right] \subseteq {\bf{B}} \subseteq {\bf{I}}, \end{array} $

又u=μ(x)是A上的r次幂平均凸函数，所以

$ \begin{array}{l} \mu \left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},{x_2}} \right)} \right) \le \\ \;\;\;\;\;\;\;{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;\mu \left( {{x_1}} \right),\mu \left( {{x_2}} \right)} \right), \end{array} $

且y=f(u)为I上严格递增的MM-凸函数，所以

$ \begin{array}{l} f\left( {\mu \left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},{x_2}} \right)} \right)} \right) \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;f\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;\mu \left( {{x_1}} \right),\mu \left( {{x_2}} \right)} \right)} \right) \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{M}}_2^{\left[ p \right]}\left( {t,1 - t;f\left( {\mu \left( {{x_1}} \right)} \right),f\left( {\mu \left( {{x_2}} \right)} \right)} \right), \end{array} $

即y=f(μ(x))是A上的MM-凸函数.

类似地可以证明：

定理11    设A, I⊆R⁺，B⊆I，f:I→R⁺, μ:A→B，则

(ⅰ)若y=f(u)为I上严格递增的r次幂平均凸函数(r-平均凸函数)，u=μ(x)为A上的MM-凸函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凸函数；

(ⅱ)若y=f(u)为I上严格递减的r次幂平均凸函数(r-平均凸函数)，u=μ(x)为A上的MM-凹函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凸函数；

(ⅲ)若y=f(u)为I上严格递减的r次幂平均凹函数(r-平均凹函数)，u=μ(x)为A上的MM-凸函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凹函数；

(ⅳ)若y=f(u)为I上严格递增的r次幂平均凹函数(r-平均凹函数)，u=μ(x)为A上的MM-凹函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凹函数.

定理12    设A, I⊆R⁺，B⊆I，f:I→R⁺, μ:A→B，则

(ⅰ)若y=f(u)为I上严格递增的AM-凸函数，u=μ(x)为A上的MA-凸函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凸函数；

(ⅱ)若y=f(u)为I上严格递减的AM-凸函数，u=μ(x)为A上的MA-凹函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凸函数；

(ⅲ)若y=f(u)为I上严格递增的AM-凹函数，u=μ(x)为A上的MA-凹函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凹函数；

(ⅳ)若y=f(u)为I上严格递减的AM-凹函数，u=μ(x)为A上的MA-凸函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凹函数.

证明    只证(ⅰ)，同理可证(ⅱ)、(ⅲ)、(ⅳ).

∀x₁, x₂∈A及∀t∈[0, 1], 有M₂^[r](t, 1－t; x₁, x₂)∈A，因为μ:A→B⊆I，所以，μ(x₁), μ(x₂)，μ(M₂^[r](t, 1－t; x₁, x₂))∈B⊆I，且M₂^[r](t, 1－t; μ(x₁), μ(x₂))∈[min{μ(x₁), μ(x₂)}, max{μ(x₁), μ(x₂)}]⊆B⊆I.

又u=μ(x)是A上的MA-凸函数，所以

$ \begin{array}{l} \mu \left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},{x_2}} \right)} \right) \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;\mu \left( {{x_1}} \right),\mu \left( {{x_2}} \right)} \right), \end{array} $

且y=f(u)为I上严格递增的AM-凸函数，所以

$ \begin{array}{l} f\left( {\mu \left( {{\rm{M}}_2^{\left[ r \right]}\left( {t,1 - t;{x_1},{x_2}} \right)} \right)} \right) \le f\left( {{\rm{M}}_2^{\left[ 1 \right]}\left( {t,1 - t;} \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {\left. {\mu \left( {{x_1}} \right),\mu \left( {{x_2}} \right)} \right)} \right) \le {\rm{M}}_2^{\left[ p \right]}\left( {t,1 - t;f\left( {\mu \left( {{x_1}} \right)} \right),} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {f\left( {\mu \left( {{x_2}} \right)} \right)} \right), \end{array} $

即y=f(μ(x))是A上的MM-凸函数.

类似地有：

定理13    设A, I⊆R⁺，B⊆I，f:I→R⁺, μ:A→B，则

(ⅰ)若y=f(u)为I上严格递增的GM-凸函数，u=μ(x)为A上的MG-凸函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凸函数；

(ⅱ)若y=f(u)为I上严格递减的GM-凸函数，u=μ(x)为A上的MG-凹函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凸函数；

(ⅱ)若y=f(u)为I上严格递增的GM-凹函数，u=μ(x)为A上的MG-凹函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凹函数；

(ⅳ)若y=f(u)为I上严格递减的GM-凹函数，u=μ(x)为A上的MG-凸函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凹函数.

定理14    设A, I⊆R⁺，B⊆I，f:I→R⁺, μ:A→B，则

(ⅰ)若y=f(u)为I上严格递增的HM-凸函数，u=μ(x)为A上的MH-凸函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凸函数；

(ⅱ)若y=f(u)为I上严格递减的HM-凸函数，u=μ(x)为A上的MH-凹函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凸函数；

(ⅲ)若y=f(u)为I上严格递增的HM-凹函数，u=μ(x)为A上的MH-凹函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凹函数；

(ⅳ)若y=f(u)为I上严格递减的HM-凹函数，u=μ(x)为A上的MH-凸函数，则y=f(μ(x))为A上的MM-凹函数.

3 MM-凸函数的Jensen型不等式

定理15    设I⊆R⁺，若f(x)是区间I上的MM-凸(凹)函数，则∀x_i∈I和∀t_i∈[0, 1](i=1, 2, …, n)且$\sum\limits_{i = 1}^n {{t_i}} = 1$，有

$ \begin{array}{l} f\left( {{\rm{M}}_n^{\left[ r \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right)} \right) \le \left( \ge \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{M}}_n^{\left[ p \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right), \cdots ,f\left( {{x_n}} \right)} \right). \end{array} $

证明    令g(x)=[f(x)]^p(x∈I)，因为f(x)是I上的MM-凸函数，所以，当p>0时，由定理3(ⅰ)知，g(x)是I上的MA-凸函数，因此有g(x)在I上的Jensen型不等式^[17]：

$ \begin{array}{l} g\left( {{\rm{M}}_n^{\left[ r \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right)} \right) \le \\ {\rm{M}}_n^{\left[ 1 \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};g\left( {{x_1}} \right),g\left( {{x_2}} \right), \cdots ,g\left( {{x_n}} \right)} \right)\\ \Rightarrow {\left[ {f\left( {{\rm{M}}_n^{\left[ r \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right)} \right)} \right]^p} \le \\ {\rm{M}}_n^{\left[ 1 \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};{{\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)}^p},{{\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)}^p}, \cdots ,{{\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right)}^p}} \right)\\ \Rightarrow f\left( {{\rm{M}}_n^{\left[ r \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right)} \right) \le \\ {\left[ {{\rm{M}}_n^{\left[ 1 \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};{{\left( {f\left( {{x_1}} \right)} \right)}^p},{{\left( {f\left( {{x_2}} \right)} \right)}^p}, \cdots ,{{\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right)}^p}} \right)} \right]^{\frac{1}{p}}} = \\ {\rm{M}}_n^{\left[ p \right]}\left( {{t_1},{t_2}, \cdots ,{t_n};f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right), \cdots ,f\left( {{x_n}} \right)} \right). \end{array} $

当p＜0时，类似可证结论成立.

f(x)是区间I上MM-凹函数的情形同理可证.

定理15的一个等价形式：

定理16    设I⊆R⁺, f(x)是I上的MM-凸(凹)函数，则∀x_i∈I及∀q_i∈R⁺(i=1, 2, …, n)，有

$ \begin{array}{l} f\left[ {{\rm{M}}_n^{\left[ r \right]}\left[ {\frac{{{q_1}}}{{{q_1} + {q_2} + \cdots + {q_n}}},\frac{{{q_2}}}{{{q_1} + {q_2} + \cdots + {q_n}}}, \cdots ,} \right.} \right.\\ \left. {\left. {\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{{q_n}}}{{{q_1} + {q_2} + \cdots + {q_n}}};{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right]} \right] \le \left( \ge \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{M}}_n^{\left[ p \right]}\left[ {\frac{{{q_1}}}{{{q_1} + {q_2} + \cdots + {q_n}}},\frac{{{q_2}}}{{{q_1} + {q_2} + \cdots + {q_n}}}, \cdots ,} \right.\\ \left. {\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{{q_n}}}{{{q_1} + {q_2} + \cdots + {q_n}}};f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right), \cdots ,f\left( {{x_n}} \right)} \right]. \end{array} $

进一步，当q₁=q₂=…=q_n时，有

推论    设I⊆R⁺，f(x)是I⊆R⁺上的MM-凸(凹)函数，对∀x_i∈I(i=1, 2, …, n)，有

$ \begin{array}{l} f\left( {{\rm{M}}_n^{\left[ r \right]}\left( {\frac{1}{n},\frac{1}{n}, \cdots ,\frac{1}{n};{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right)} \right) \le \left( \ge \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{M}}_n^{\left[ p \right]}\left( {\frac{1}{n},\frac{1}{n}, \cdots ,\frac{1}{n};f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right), \cdots ,f\left( {{x_n}} \right)} \right). \end{array} $