基于Conformable分数阶导数的灰色Bernoulli模型

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2024.02.008

基于Conformable分数阶导数的灰色Bernoulli模型

骆世广^,^,¹, 曾亮^,^,²

1.广东金融学院金融数学与统计学院，广东广州 510521

2.广东理工学院基础课教学研究部，广东肇庆 526100

Grey Bernoulli model based on Conformable fractional order derivatives

LUO Shiguang^,^,¹, ZENG Liang^,^,²

1.School of Financial Mathematics and Statistics，Guangdong University of Fiance，Guangzhou 510521，China

2.Department of Basic Courses，Guangdong Technology College，Zhaoqing 526100，Guangdong Province，China

通讯作者: ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-7989-4542，E-mail：zengliang19820809@126.com.

收稿日期: 2022-08-10 修回日期: 2023-06-03 接受日期: 2023-06-18

基金资助:

广东省教育科学“十三五”规划2020年度研究项目. 2020JKDY040

Received: 2022-08-10 Revised: 2023-06-03 Accepted: 2023-06-18

作者简介 About authors

骆世广（1981—），ORCID：https：//orcid.org/0009-0003-3345-4332，男，硕士，副教授，主要从事金融数据挖掘、灰色系统理论研究，E-mail：sgluomaths@gduf.edu.cn. , E-mail：sgluomaths@gduf.edu.cn

摘要

为增强灰色Bernoulli模型对各种实际数据序列的适应性，借助分数阶微积分在描述复杂系统中的优势，提出了一种基于Conformable分数阶导数的灰色Bernoulli模型。研究发现，可通过改变结构参数将模型转换为不同的经典灰色预测模型，体现了其统一性。此外，采用粒子群优化算法求解规划模型，获取了模型的最优超参数。最后，用所提模型和5个竞争模型对3个真实案例进行了预测建模，结果表明，所提模型的2项评估指标均优于5个竞争模型，验证了所提模型的有效性和可行性。

关键词： 灰色系统 ; Conformable分数阶导数 ; 灰色Bernoulli模型 ; 粒子群优化算法

Abstract

To enhance the adaptability of the grey Bernoulli model to various real data series, a grey Bernoulli model based on Conformable fractional order derivatives is proposed by taking advantage of the fractional order calculus in describing complex systems. It is found that the proposed model can be converted to some classical grey prediction models by replacing its structural parameters, which reflects its uniformity. Moreover, the particle swarm optimization algorithm is used to solve the planning model to obtain the optimal hyperparameters of the proposed model. The experimental results show that the two evaluation indicators of the proposed model are superior to the five competing algorithms, which confirms the validity and feasibility of the new model.

Keywords： grey system ; Conformable fractional derivative ; grey Bernoulli model ; particle swarm optimization algorithm

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本文引用格式

骆世广, 曾亮. 基于Conformable分数阶导数的灰色Bernoulli模型. 浙江大学学报(理学版)[J], 2024, 51(2): 196-204 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2024.02.008

LUO Shiguang, ZENG Liang. Grey Bernoulli model based on Conformable fractional order derivatives. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2024, 51(2): 196-204 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2024.02.008

0　引言

灰色预测模型是灰色系统理论的核心内容，相应成果较为丰富。为反映数据序列的非线性特征，邓聚龙^［1］基于伯努利方程和灰色预测理论首次提出了灰色幂模型。灰色幂模型，也称非线性灰色Bernoulli模型或NGBM（1，1）模型^［2］，通过改变非线性伯努利参数可适应不同的时间序列，所以具有优于传统灰色预测模型的拟合性能。作为基础模型，NGBM（1，1）存在一定的改善空间。为进一步提高NGBM（1，1）模型对不同序列的适应能力，实现更好的预测效果，对NGBM（1，1）模型进行了一系列改进。例如，考虑NGBM（1，1）模型难以处理不等间距时间序列，王正新等^［3］提出了非等间距灰色Bernoulli模型，可同时处理等间距和不等间距序列，适应性优于NGBM（1，1）模型。为进一步增强NGBM（1，1）模型对系统动态变化的适应能力，王正新^［4］将NGBM（1，1）模型中的结构参数拓展为时变参数，构建了一种基于时变参数的灰色Bernoulli模型。为拓展NGBM（1，1）模型的应用范围，MA等^［5］建立了多变量灰色Bernoulli模型，并利用真实案例验证了模型的可行性。为进一步增强模型的非线性拟合能力，WU等^［6］将分数阶累加算子纳入NGBM（1，1）模型，并在此基础上建立了基于分数阶累加的灰色Bernoulli模型。WU等^［7］通过组合NGBM（1，1）模型和传统的灰色NGM（1，1，k，c）模型构建了NGBM（1，1，k，c）模型，并以5个国家的天然气消耗量为案例验证了模型的可行性。在WU等^［7］的研究基础上，ZHENG等^［8］进一步建立了基于Conformable分数阶累加算子的NGBM（1，1，k，c）模型，并以中国天然气产量和消耗量为研究对象验证了模型的可行性。WANG等^［9］通过组合时滞效应、Conformable分数阶累加算子、NGBM（1，1）模型、算术优化算法和后差算子开发了全新的CFTDNGBM（1，1）模型，并将其成功应用于乡村经济。LAO等^［10］基于具有时间幂次项的灰色预测模型、NGBM（1，1）模型、向后差分操作和分数阶累加算子开发了DFNGBM（1，1，α）模型。相比于早先的非线性灰色预测模型，DFNGBM（1，1，α）模型不仅能满足无偏性和统一性，而且具有新信息优先累加的特点，使其在天然气消耗量预测任务中表现突出。

虽然以上优化方法都取得了显著的应用效果，但它们的白化微分方程都是一阶的。由于一阶导数模型是一种理想的记忆模型，不适合描述不规则现象，故对数据波动较大的序列，无法根据实际数据特征调整模型参数^［11］。为此，吴利丰等^［12］首次将灰色模型的白化微分方程整数阶拓展至分数阶领域，建立了含Caputo型分数阶导数的GM（1，1）模型，随后通过分析比较证实了基于Caputo型分数阶导数的GM（1，1）模型在数值模拟方面的潜力。受吴利丰等^［12］的启发，之后研究者将Caputo、Grunwald-Letnikov（GL）和Riemann-Liouville（RL）等类型的分数阶导数与一些主流的灰色预测模型相结合开发了性能更加强大的模型^{［11，13-15］}。尽管这类基于分数阶导数的灰色预测模型具有良好的预测性能，但其计算复杂度较高，且大多数是数值解，难以广泛应用于实际。

KHALIL等^［16］提出了Conformable分数阶导数概念，这种分数阶导数在理论上非常容易处理，并且遵循原有分数阶导数（Caputo、GL、RL等）无法满足的常规性质，例如链式法则^［17］，因此，近年来Conformable分数阶导数广受关注。MA等^［18］首次将Conformable分数阶导数的概念纳入灰色预测模型，并开发了基于Conformable分数阶累加操作的灰色预测模型。受MA等^［18］的启发，XIE等^［19］构建了基于Conformable分数阶导数的GM（1，1）模型，并揭示了该模型与传统灰色预测模型以及基于Caputo型分数阶导数的GM（1，1）模型之间的联系，这在一定程度上推动了基于分数阶导数的灰色预测模型的发展。随后，WU等^［20］建立了基于Conformable分数阶导数的多变量灰色预测模型，并用实例验证了该模型的可行性。

为进一步增强灰色Bernoulli模型对各种数据序列的适应性，拓展灰色预测模型的理论体系和应用范围，受文献［18-20］的启发，笔者在传统灰色Bernoulli模型基础上，充分利用Conformable分数阶导数的优势，提出基于Conformable分数阶导数的灰色Bernoulli模型，并给出该模型的解析解（用于模拟预测）。此外，用粒子群优化算法确定模型的最优超参数。最后，通过3个案例验证模型的有效性。

1　预备知识

对任意的 $w \in R$ ， $L \in N$ ，记 $N_{w} : = {w, w + 1, \dots}$ ， $N_{w}^{L} : = {w, w + 1, \dots, w + L}$ 。

定义1^［21］　假设函数 $ϕ : [t_{0}, + \infty) \to R$ ，则以 $t_{0}$ 为起点， $μ$ （ $0 < μ \leq 1$ ）为阶数的Conformable 分数阶导数（CFD）定义为

T_{t_{0}}^{μ} ϕ (t) = \underset{ε \to 0}{l i m} \frac{ϕ (t + ε (t - t_{0})^{1 - μ}) - ϕ (t)}{ε}

，　

t > t_{0}

。（1）

引理1^［21］　若 $0 < μ \leq 1$ ， $ϕ$ 是 $μ$ 阶可导函数，则有

T_{t_{0}}^{μ} ϕ (t) = (t - t_{0})^{1 - μ} \frac{d ϕ (t)}{d t}

。（2）

定义2^［1］　假设 $X^{(0)} = {x^{(0)} {(k)}}_{k = 1}^{n}$ 为非负原始序列，其一阶累加生成序列为 $X^{(1)} = \{\overset{}{\underset{}{x^{(1)} (k)}} =$ ${\sum_{j = 1}^{k} x^{(0)} （ j ）\}}_{k = 1}^{n}$ ，则 $X^{(1)}$ 的紧邻均值生成序列为 $Z^{(1)} = {z^{(1)} {(k)}}_{k = 2}^{n}$ ，其中，

z^{(1)} (k) = 0.5 [x^{(1)} (k) + x^{(1)} (k - 1)]

。（3）

定义3^［1］　称

x^{(0)} (k) + a z^{(1)} (k) = b (z^{(1)} {(k))}^{λ}

，　

λ \neq 1

（4）

为非线性灰色Bernoulli模型，记为NGBM（1，1），其白化方程为

\frac{d x^{(1)} (t)}{d t} + a x^{(1)} (t) = b (x^{(1)} {(t))}^{λ}

。（5）

基于最小二乘法则，NGBM（1，1）的参数估计式可表示为

\overset{⌢}{θ} = {(\hat{a}, \hat{b})}^{T} = {(G^{T} G)}^{- 1} G^{T} η,

（6）

其中，

G = (\begin{matrix} - z^{(1)} (2) & z^{(1)} {(2)}^{λ} \\ - z^{(1)} (3) & z^{(1)} {(3)}^{λ} \\ ⋮ & ⋮ \\ - z^{(1)} (m) & z^{(1)} {(m)}^{λ} \end{matrix})

，　

η = (\begin{matrix} x^{(0)} (2) \\ x^{(0)} (3) \\ ⋮ \\ x^{(0)} (m) \end{matrix})

，

$m$ 为建模的样本数。

基于式（5）和式（6），可得NGBM（1，1）的时间响应函数

\begin{array}{l} {\hat{x}}^{(1)} (k) = {(\{[x^{(0)} {(1)]}^{1 - λ} - \frac{\hat{b}}{\hat{a}}\} e^{- \hat{a} (1 - λ) (k - 1)} + \frac{\hat{b}}{\hat{a}})}^{\frac{1}{1 - λ}}, \\ k = 1,2, \dots, m, \dots, n, \end{array}

（7）

其还原式为一阶逆累加操作，即

\begin{array}{l} {\overset{̑}{x}}^{(0)} (k) = \\ \{\begin{array}{l} {\overset{̑}{x}}^{(0)} (1), k = 1, \\ {\overset{̑}{x}}^{(1)} (k) - {\overset{̑}{x}}^{(1)} (k - 1), k = 2,3, \dots, m, \dots, n, \end{array} \end{array}

（8）

其中， $n - m$ 为外推步长。

2　基于Conformable分数阶导数的灰色Bernoulli模型

在分数阶导数领域，Conformable分数阶导数有其独特优势，而NGBM（1，1）的白化方程式（5）的导数为整数阶，潜在地限制了其应用范围。为克服此局限，将式（5）的一阶导数替换为Conformable分数阶导数，得到Conformable分数阶微分方程：

T_{0}^{μ} x^{(1)} (t) + a x^{(1)} (t) = b [x^{(1)} {(t)]}^{λ}

，

μ \in (0,1]

，　

λ \neq 1

，　

t \in (0, T]

。（9）

若给定 $μ$ 和 $λ$ ，为估计式（9）的参数 $a, b$ ，需对其进行离散化处理。由引理1，可知

T_{0}^{μ} φ (t) = {(t - 0)}^{1 - μ} \frac{d φ (t)}{d t}

。

因此，式（9）可表示为

t^{1 - μ} \frac{d x^{(1)} (t)}{d t} + a x^{(1)} (t) = b [x^{(1)} {(t)]}^{λ}

，（10）

即

\frac{d x^{(1)} (t)}{d t} + a t^{μ - 1} x^{(1)} (t) = b t^{μ - 1} [x^{(1)} {(t)]}^{λ}

。（11）

定义4　称式（11）的离散形式

x^{(0)} (k) + a k^{μ - 1} z^{(1)} (k) = b k^{μ - 1} [z^{(1)} {(k)]}^{λ}

，

μ \in (0,1]

，　

λ \neq 1

（12）

为基于Conformable分数阶导数的灰色Bernoulli模型，记为CFGBM（ $μ$ ，1）。

令

Θ = (\begin{matrix} - 2^{μ - 1} z^{(1)} (2) & 2^{μ - 1} z^{(1)} {(2)}^{λ} \\ - 3^{μ - 1} z^{(1)} (3) & 3^{μ - 1} z^{(1)} {(3)}^{λ} \\ ⋮ & ⋮ \\ - m^{μ - 1} z^{(1)} (m) & m^{μ - 1} z^{(1)} {(m)}^{λ} \end{matrix})

，

ζ = (\begin{matrix} x^{(0)} (2) \\ x^{(0)} (3) \\ ⋮ \\ x^{(0)} (m) \end{matrix})

，

其中 $m$ 为建模的样本数，则可得CFGBM（ $μ$ ，1）模型的参数估计器

\hat{ϑ} = {(Θ^{T} Θ)}^{- 1} Θ^{T} ζ = （ \hat{a}, \hat{b} ）^{T}

。（13）

定理1　若 $μ \in (0,1]$ ， $\hat{ϑ} = {(\hat{a}, \hat{b})}^{T}$ 为CFGBM（ $μ$ ，1）模型参数列的辨识值，则在初值条件 ${\hat{x}}^{(1)} (1) = x^{(0)} (1)$ 下，CFGBM（ $μ$ ，1）的时间响应为

\begin{array}{l} {\hat{x}}^{(1)} (k) = {(\{[x^{(0)} {(1)]}^{1 - λ} - \frac{\hat{b}}{\hat{a}}\} e^{- \frac{\hat{a} (1 - λ)}{μ} (k^{μ} - 1)} + \frac{\hat{b}}{\hat{a}})}^{\frac{1}{1 - λ}}, \\ k = 1,2, \dots, m, \dots, n \end{array}

，（14）

还原式为

{\overset{̑}{x}}^{(0)} (k) = \{\begin{array}{l} {\overset{̑}{x}}^{(0)} (1), k = 1, \\ {\overset{̑}{x}}^{(1)} (k) - {\overset{̑}{x}}^{(1)} (k - 1), k = 2,3, \dots, m, \dots, n, \end{array}

（15）

其中， $m$ 为建模的样本数， $n - m$ 为外推步长。

证明　由式（11），可得

[x^{(1)} {(t)]}^{- λ} \frac{d x^{(1)} (t)}{d t} + a t^{μ - 1} [x^{(1)} {(t)]}^{1 - λ} = b t^{μ - 1}

。（16）

令 $ϕ (t) = [x^{(1)} {(t)]}^{1 - λ}$ ，则

\frac{d ϕ (t)}{d t} = (1 - λ) [x^{(1)} {(t)]}^{- λ} \frac{d x^{(1)} (t)}{d t}

，（17）

故式（16）可表示为

\frac{d ϕ (t)}{d t} + a t^{μ - 1} (1 - λ) ϕ (t) = b (1 - λ) t^{μ - 1}

，（18）

其通解为

\begin{array}{l} ϕ (t) = e^{- \int a t^{μ - 1} (1 - λ) d t} [\int b (1 - λ) t^{μ - 1} e^{\int a t^{μ - 1} (1 - λ) d t} d t + C_{2}] = \\ e^{- [\frac{a (1 - λ)}{μ} t^{μ} + C_{1}]} \{\int b (1 - λ) t^{μ - 1} e^{[\frac{a (1 - λ)}{μ} t^{μ} + C_{1}]} d t + C_{2}\} = \\ e^{- \frac{a (1 - λ)}{μ} t^{μ}} \{\frac{b}{a} \int e^{\frac{a (1 - λ)}{μ} t^{μ}} d [\frac{a (1 - λ)}{μ} t^{μ}] + C\} = \\ \frac{b}{a} + e^{- \frac{a (1 - λ)}{μ} t^{μ}} C 。 \end{array}

由 $ϕ (t) = [x^{(1)} {(t)]}^{1 - λ}$ 和最小二乘参数，可得CFGBM（ $μ$ ，1）的时间响应式

{\hat{x}}^{(1)} (k) = {[C e^{- \frac{\hat{a} (1 - λ)}{μ} k^{μ}} + \frac{\hat{b}}{\hat{a}}]}^{\frac{1}{1 - λ}} 。

（19）

由 ${\hat{x}}^{(1)} (1) = x^{(0)} (1)$ ，式（19）可转换为

C = \{[x^{(0)} {（ 1 ）]}^{1 - λ} - \frac{\hat{b}}{\hat{a}}\} e^{\frac{\hat{a} (1 - λ)}{μ}}

。（20）

将式（20）代入式（19），可得

{\hat{x}}^{(1)} (k) = {(\{[x^{(0)} {(1)]}^{1 - λ} - \frac{\hat{b}}{\hat{a}}\} e^{- \frac{\hat{a} (1 - λ)}{μ} (k^{μ} - 1)} + \frac{\hat{b}}{\hat{a}})}^{\frac{1}{1 - λ}},

由定义2，易得还原式

{\hat{x}}^{(0)} (k) = \{\begin{array}{l} {\hat{x}}^{(0)} (1), k = 1, \\ {\hat{x}}^{(1)} (k) - {\hat{x}}^{(1)} (k - 1), k = 2,3, \dots, m, \dots, n 。 \end{array}

特别地，当CFGBM（ $μ$ ，1）模型的超参数改变时，其可退化为各种经典的灰色预测模型。当 $μ = 1$ ， $λ = 0$ 时，CFGBM（ $μ$ ，1）模型退化为GM（1，1）模型^［1］；当 $μ = 1$ ， $λ = 2$ 时，CFGBM（ $μ$ ，1）模型转换为灰色Verhulst模型^［22］；当 $μ = 1$ 时，CFGBM（ $μ$ ，1）模型转换为灰色Bernoulli模型^［1］。

以上退化和转换表明，CFGBM（ $μ$ ，1）模型可对多种特征（比如单调性、单峰或饱和形态等）的系统行为序列建模。

为进一步验证模型的适应性，下面给出在不同参数值下的还原式曲线图（图1）。从图1中可以看出，3种参数值下的还原式曲线分别表现为递增、递减和单峰特征，表明CFGBM（ $μ$ ，1）模型具有较强的非线性拟合能力。

图1

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图1 不同参数值下的还原式曲线

Fig.1 Curve of restored value under different parameter values

3　评估指标以及CFGBM（ $μ$ ，1）模型参数的确定

为评估灰色模型的模拟预测性能，通常选择平均绝对百分比误差（MAPE）、均方根误差（RMSE）作为判断指标。记 $A P E (k)$ 为序号为 $k$ 时的绝对百分比误差：

A P E (k) = \frac{| {\hat{x}}^{(0)} (k) - x^{(0)} (k) |}{x^{(0)} (k)} \times 100 %

。（21）

若 $m$ 为建模的样本数，则MAPE和RMSE分别为

M A P E = \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} \frac{|{\hat{x}}^{(0)} (i) - x^{(0)} (i)|}{x^{(0)} (i)} \times 100 %

，（22）

R M S E = \sqrt[]{\frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} [{\hat{x}}^{(0)} (i) - x^{(0)} {(i)]}^{2}}

。（23）

当CFGBM（ $μ$ ，1）模型中的参数 $μ$ 和 $λ$ 取不同值时，模型的模拟预测效果有所不同。为达到最好的预测效果，本文以MAPE最小化为目标、以模型的建模机制为约束条件，给出规划模型：

\begin{array}{l} \underset{μ, λ}{m i n} = \frac{1}{m} \sum_{k = 1}^{m} \frac{|{\hat{x}}^{(0)} (k) - x^{(0)} (k)|}{x^{(0)} (k)} \times 100 %, \\ s . t . \{\begin{array}{l} 0 < μ \leq 1, - 2 \leq λ < 1 ⋃ 1 < λ \leq 2, \\ \hat{ϑ} = {(Θ^{T} Θ)}^{- 1} Θ^{T} ζ = {(\hat{a}, \hat{b})}^{T}, \\ {\hat{x}}^{(1)} (k) = (\{[x^{(0)} {（ 1 ）]}^{1 - λ} - \frac{\hat{b}}{\hat{a}}\} e^{- \frac{\hat{a} (1 - λ)}{μ} (k^{μ} - 1)} + \\ {\frac{\hat{b}}{\hat{a}})}^{\frac{1}{1 - λ}}, k = 1,2, \dots, m, \dots, n, \\ {\hat{x}}^{(0)} (k) = \{\begin{array}{l} {\hat{x}}^{(0)} (1), k = 1, \\ {\hat{x}}^{(1)} (k) - {\hat{x}}^{(1)} (k - 1), \\ k = 2,3, \dots, m, \dots, n 。 \end{array} \end{array} \end{array}

（24）

由于式（24）含非线性特征，故采用常规方法求解非常困难。本文利用群体智能算法——粒子群算法（PSO）^［23］求解式（24），以快速获取CFGBM（ $μ$ ，1）模型的最优参数 $μ$ 和 $λ$ 。

首先将获取的 $μ$ 和 $λ$ 代入模型的参数辨识式（13），得到模型的结构参数估计值，然后将参数估计值代入式（14），得到模型的时间响应序列。最后通过式（15）还原时间序列，得到模型的最终预测结果。

考虑在求解过程中可能会出现过拟合现象，利用文献［24］中提及的中点法则进行处理，即在双目标优化算法生成的一系列Pareto最优解中选择一个既不远离也不接近目标函数1和目标函数2的中点完成建模任务。

在建模过程中，如果发生过拟合，则首先基于MAPE和RMSE建立双目标规划模型，然后采用多目标粒子群优化算法^［25］求解基于CFGBM（ $μ$ ，1）模型的双规划问题，并基于中点法则选择适合的建模点。如果没有发生过拟合，则保留单目标粒子群优化算法的结果。

粒子群算法各因子的取值为：学习因子 $c_{1} = 1, c_{2} = 2$ ；惯性因子 $ω = 0.8$ ；最大迭代次数200；群体数50。多目标粒子群优化算法代码可从文献［25］中获取。

4　案例分析

为检验CFGBM（ $μ$ ，1）模型的有效性和实用性，用3个实例进行验证，针对原始序列分别建立传统GM（1，1）模型^［1］、灰色Verhulst模型^［22］（简记为GVM）、NGBM（1，1）模型^［1⁃2］、DFNGBM（1，1，α）模型^［10］、CFTDNGBM模型^［9］和CFGBM（ $μ$ ，1）模型并进行分析比较。需要提及的是除GM（1，1）和GVM外，其他模型的超参数均在MAPE最小化准则下通过粒子群算法获得。

案例1　选取文献［26］某工程施工地基沉降量（cm）数据：43.19，58.73，70.87，83.71，92.91，99.73，105.08，109.73，112.19，113.45，前7个数据用于建模，后3个数据用于测试模型的预测精度，各模型的模拟和预测结果见表1。

表1 6个预测模型对某工程施工地基沉降量的预测结果

Table 1 Prediction results of six prediction models for foundation settlement in a certain engineering construction project

序号	原始数据	GM（1，1）	GVM	NGBM（1，1）	DFNGBM（1，1，α）	CFTDNGBM	CFGBM（μ，1）
1	43.19	43.19	43.19	43.19	43.19	43.19	43.19
2	58.73	64.25	29.35	58.73	58.73	58.73	58.73
3	70.87	71.46	46.03	71.90	71.91	70.88	72.76
4	83.71	79.48	67.41	82.41	83.18	83.68	83.71
5	92.91	88.40	89.48	91.30	92.58	92.96	92.61
6	99.73	98.33	104.40	99.09	99.98	99.70	100.02
7	105.08	109.37	104.98	106.05	105.12	105.08	106.25
8	109.73	121.64	90.90	112.36	107.60	110.10	111.54
9	112.19	135.30	69.07	118.15	106.86	115.65	116.04
10	113.45	150.49	47.44	123.50	102.07	122.59	119.88
训练集	MAPE	3.66	16.15	0.90	0.39	0.02	0.63
训练集	RMSE	3.57	15.94	0.98	0.47	0.03	0.85
测试集	MAPE	21.37	37.93	5.52	5.57	3.83	3.58
测试集	RMSE	26.13	46.80	6.91	7.36	5.65	4.45

注 NGBM（1，1）中的 $λ = 0.309 9$ ； DFNGBM（1，1，α）中的 $r = 0.000 3, λ = - 0.667 4, α = 1.927 1$ ； CFTDNGBM中的 $r = 2.000 1,$ $λ = 0.318 1$ ； CFGBM（μ，1）中的 $λ = 0.400 6$ ， $μ = 0.942 0$ 。

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案例2　选取文献［27］ 2008—2016年中国卫生总费用（亿元）数据：14 535.40，17 541.92，19 980.39，24 345.91，28 119.00，31 668.95，35 312.40，40 974.64，46 344.88，前6个数据用于建模，后3个数据用于测试模型的预测精度，表2为各模型的模拟和预测结果。

表2 6个预测模型对中国卫生总费用的预测结果

Table 2 Predictions results of six prediction models for China's total health expenditure data

年份	原始数据	GM（1，1）	GVM	NGBM（1，1）	DFNGBM（1，1，α）	CFTDNGBM	CFGBM（μ，1）
2008	14 535.40	14 535.40	14 535.40	14 535.40	14 535.40	14 535.40	14 535.40
2009	17 541.92	17 617.80	10 286.00	17 541.65	17 541.08	17 541.92	17 541.64
2010	19 980.39	20 455.07	16 037.56	20 473.20	19 985.59	19 980.39	20 878.03
2011	24 345.91	23 749.26	22 821.97	23 793.30	24 354.53	24 345.90	24 345.81
2012	28 119.00	27 573.97	28 585.05	27 596.61	28 043.26	28 119.02	28 086.19
2013	31 668.95	32 014.63	30 587.93	31 970.74	31 794.67	31 668.94	32 182.36
2014	35 312.40	37 170.44	27 680.65	37 010.24	35 524.30	35 017.07	36 701.95
2015	40 974.64	43 156.56	21 499.78	42 821.58	39 264.53	38 201.53	41 709.18
2016	46 344.88	50 106.72	14 800.90	49 526.37	43 021.49	41 247.34	47 269.85
训练集	MAPE	1.38	12.07	1.26	0.12	0.00	1.04
训练集	RMSE	408.99	3 461.75	389.92	60.06	0.01	422.38
测试集	MAPE	6.23	45.73	5.39	3.98	6.20	2.57
测试集	RMSE	2 730.36	21 852.05	2 339.21	2 161.35	3 354.71	1 052.93

注 NGBM（1，1）中的 $λ = 0.022 8$ ； DFNGBM（1，1，α）中的 $r = 1.258 9, λ = 0.897 3, α = 0.335 9$ ；CFTDNGBM中的 $r = 0.076 3,$ $λ = - 0.340 4$ ； CFGBM（μ，1）中的 $λ = 0.159 6$ ， $μ = 0.932 0$ 。

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案例3　选取中国统计年鉴2020（www.stats.gov.cn）中2003—2018年中国人均天然气生活消费量（m³）数据：4.0，5.2，6.1，7.8，10.9，12.8，13.3，17.0，19.7，21.3，23.8，25.1，26.2，27.5，30.3，33.6，其中2003—2013年的数据用于建模，2014—2018年的数据用于测试模型的预测精度，最终模拟和预测结果如表3所示。

表3 6个预测模型对中国人均天然气生活消费量的预测结果

Table 3 The predictions results of six prediction models for the case of per capita natural gas consumption in China

年份	原始数据	GM（1，1）	GVM	NGBM（1，1）	DFNGBM（1，1， α）	CFTDNGBM	CFGBM（μ，1）
2003	4.00	4.00	4.00	4.00	4.00	4.00	4.00
2004	5.20	6.45	1.69	4.59	5.22	5.19	4.31
2005	6.10	7.51	2.37	6.38	6.10	6.10	6.10
2006	7.80	8.75	3.32	8.24	8.12	8.09	8.08
2007	10.90	10.19	4.59	10.18	10.23	10.31	10.20
2008	12.80	11.86	6.28	12.20	12.39	12.48	12.41
2009	13.30	13.81	8.42	14.32	14.60	14.63	14.69
2010	17.00	16.08	11.03	16.53	16.84	16.78	17.00
2011	19.70	18.73	14.01	18.84	19.13	18.98	19.31
2012	21.30	21.81	17.08	21.27	21.44	21.29	21.61
2013	23.80	25.39	19.85	23.80	23.80	23.80	23.87
2014	25.10	29.57	21.81	26.45	26.18	26.58	26.07
2015	26.20	34.43	22.54	29.23	28.60	29.74	28.21
2016	27.50	40.09	21.86	32.14	31.05	33.39	30.26
2017	30.30	46.69	19.93	35.18	33.53	37.64	32.23
2018	33.60	54.36	17.18	38.36	36.05	42.64	34.11
训练集	MAPE	8.77	39.27	4.38	2.55	2.44	4.03
训练集	RMSE	0.99	4.80	0.57	0.50	0.51	0.58
测试集	MAPE	42.18	26.14	12.82	8.86	18.39	5.89
测试集	RMSE	13.75	9.31	3.98	2.68	6.08	1.82

注 NGBM（1，1）中的 $λ = 0.483 6$ ； CFGBM（μ，1）中的 $λ = 0.825 7$ ， $μ = 0.777 4$ ； CFTDNGBM中的 $r = 2.002 3,$ $λ = 0.474 5$ ； DFNGBM（1，1， α）中的 $r = 2, λ = 0.106 9, α = 1.681 1$ 。

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图2展示了6个模型在3个案例中的评估指标。从图2中可以看出，在3个案例中，CFTDNGBM模型在训练集的MAPE和RMSE最小，意味着其拟合能力是6个模型中最强的，其次为DFNGBM（1，1，α）模型。此两模型突出的拟合性能来自其较多的超参数，由表1~表3的注可知，此两模型都有2个以上超参数，使得其具有优于其他模型的拟合性能。虽然CFGBM（μ，1）也有2个超参数，但 μ 较小的取值范围导致其不能有效增强模型的预测性能。GVM模型的拟合性能最差，主要原因是该模型仅适用于某一特定的时间序列。

图2

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图2 各模型在3个案例中的MAPE和RMSE

Fig.2 MAPE and RMSE of each model in three cases

从图2中可以看到，在测试集上，CFGBM（μ，1）模型的MAPE和RMSE显著低于其他模型，意味着CFGBM（μ，1）模型具有优于竞争算法的预测性能。与训练集类似，GVM模型的预测性能最差。CFTDNGBM和DFNGBM（1，1，α）模型的预测性能劣于CFGBM（μ，1）模型的主要原因是此两模型在训练集上的输出结果过于逼近实际值，即将达到过拟合的临界点。GM（1，1）和NGBM（1，1）模型的性能劣于CFGBM（μ，1）模型的主要原因是此两模型是CFGBM（μ，1）模型的特殊形式，也不具有优于CFGBM（μ，1）模型的性能。

尽管CFGBM（μ，1）模型的训练集精度非最好，但与CFTDNGBM模型的差距非常小，且其测试集性能最好。CFGBM（μ，1）模型的有效性得以验证。

5　结论

借助分数阶微积分理论，在传统灰色Bernoulli模型基础上，将其一阶导数拓展为Conformable分数阶导数，构建了新的非线性灰色预测模型CFGBM（ $μ$ ，1），其是传统GM（1，1）模型、灰色Verhulst模型和非线性灰色Bernoulli模型的推广。由于分数阶导数的引入，CFGBM（ $μ$ ，1）模型的结构更加灵活。通过调整阶数 $μ$ 和幂指数 $λ$ ，该模型可适应更为复杂多变的数据序列。3个案例也验证了其比其他模型具有更好的预测性能。CFGBM（ $μ$ ，1）模型不仅丰富了灰色预测模型的理论体系，而且进一步扩大了灰色预测模型的应用范围。尽管其在预测上显示出一些优势，但在精度上仍有提升空间。下一步可从分数阶累加算子的引入和背景值的优化两个方面展开研究。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2024.02.008

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2002

... 灰色预测模型是灰色系统理论的核心内容，相应成果较为丰富.为反映数据序列的非线性特征，邓聚龙^［1］基于伯努利方程和灰色预测理论首次提出了灰色幂模型.灰色幂模型，也称非线性灰色Bernoulli模型或NGBM（1，1）模型^［2］，通过改变非线性伯努利参数可适应不同的时间序列，所以具有优于传统灰色预测模型的拟合性能.作为基础模型，NGBM（1，1）存在一定的改善空间.为进一步提高NGBM（1，1）模型对不同序列的适应能力，实现更好的预测效果，对NGBM（1，1）模型进行了一系列改进.例如，考虑NGBM（1，1）模型难以处理不等间距时间序列，王正新等^［3］提出了非等间距灰色Bernoulli模型，可同时处理等间距和不等间距序列，适应性优于NGBM（1，1）模型.为进一步增强NGBM（1，1）模型对系统动态变化的适应能力，王正新^［4］将NGBM（1，1）模型中的结构参数拓展为时变参数，构建了一种基于时变参数的灰色Bernoulli模型.为拓展NGBM（1，1）模型的应用范围，MA等^［5］建立了多变量灰色Bernoulli模型，并利用真实案例验证了模型的可行性.为进一步增强模型的非线性拟合能力，WU等^［6］将分数阶累加算子纳入NGBM（1，1）模型，并在此基础上建立了基于分数阶累加的灰色Bernoulli模型.WU等^［7］通过组合NGBM（1，1）模型和传统的灰色NGM（1，1，k，c）模型构建了NGBM（1，1，k，c）模型，并以5个国家的天然气消耗量为案例验证了模型的可行性.在WU等^［7］的研究基础上，ZHENG等^［8］进一步建立了基于Conformable分数阶累加算子的NGBM（1，1，k，c）模型，并以中国天然气产量和消耗量为研究对象验证了模型的可行性.WANG等^［9］通过组合时滞效应、Conformable分数阶累加算子、NGBM（1，1）模型、算术优化算法和后差算子开发了全新的CFTDNGBM（1，1）模型，并将其成功应用于乡村经济.LAO等^［10］基于具有时间幂次项的灰色预测模型、NGBM（1，1）模型、向后差分操作和分数阶累加算子开发了DFNGBM（1，1，α）模型.相比于早先的非线性灰色预测模型，DFNGBM（1，1，α）模型不仅能满足无偏性和统一性，而且具有新信息优先累加的特点，使其在天然气消耗量预测任务中表现突出. ...

... 定义2^［1］　假设

X^{(0)} = {x^{(0)} {(k)}}_{k = 1}^{n}

为非负原始序列，其一阶累加生成序列为

X^{(1)} = \{\overset{}{\underset{}{x^{(1)} (k)}} =

{\sum_{j = 1}^{k} x^{(0)} （ j ）\}}_{k = 1}^{n}

，则

X^{(1)}

的紧邻均值生成序列为

Z^{(1)} = {z^{(1)} {(k)}}_{k = 2}^{n}

，其中， ...

... 定义3^［1］　称 ...

... 特别地，当CFGBM（

μ

，1）模型的超参数改变时，其可退化为各种经典的灰色预测模型.当

μ = 1

，

λ = 0

时，CFGBM（

μ

，1）模型退化为GM（1，1）模型^［1］；当

μ = 1

，

λ = 2

时，CFGBM（

μ

，1）模型转换为灰色Verhulst模型^［22］；当

μ = 1

时，CFGBM（

μ

，1）模型转换为灰色Bernoulli模型^［1］. ...

... ［1］. ...

... 为检验CFGBM（

μ

，1）模型的有效性和实用性，用3个实例进行验证，针对原始序列分别建立传统GM（1，1）模型^［1］、灰色Verhulst模型^［22］（简记为GVM）、NGBM（1，1）模型^［1⁃2］、DFNGBM（1，1，α）模型^［10］、CFTDNGBM模型^［9］和CFGBM（

μ

，1）模型并进行分析比较.需要提及的是除GM（1，1）和GVM外，其他模型的超参数均在MAPE最小化准则下通过粒子群算法获得. ...

... ［1⁃2］、DFNGBM（1，1，α）模型^［10］、CFTDNGBM模型^［9］和CFGBM（

μ

，1）模型并进行分析比较.需要提及的是除GM（1，1）和GVM外，其他模型的超参数均在MAPE最小化准则下通过粒子群算法获得. ...

2002

... 定义2^［1］　假设

X^{(0)} = {x^{(0)} {(k)}}_{k = 1}^{n}

为非负原始序列，其一阶累加生成序列为

X^{(1)} = \{\overset{}{\underset{}{x^{(1)} (k)}} =

{\sum_{j = 1}^{k} x^{(0)} （ j ）\}}_{k = 1}^{n}

，则

X^{(1)}

的紧邻均值生成序列为

Z^{(1)} = {z^{(1)} {(k)}}_{k = 2}^{n}

，其中， ...

... 定义3^［1］　称 ...

... 特别地，当CFGBM（

μ

，1）模型的超参数改变时，其可退化为各种经典的灰色预测模型.当

μ = 1

，

λ = 0

时，CFGBM（

μ

，1）模型退化为GM（1，1）模型^［1］；当

μ = 1

，

λ = 2

时，CFGBM（

μ

，1）模型转换为灰色Verhulst模型^［22］；当

μ = 1

时，CFGBM（

μ

，1）模型转换为灰色Bernoulli模型^［1］. ...

... ［1］. ...

... 为检验CFGBM（

μ

μ

，1）模型并进行分析比较.需要提及的是除GM（1，1）和GVM外，其他模型的超参数均在MAPE最小化准则下通过粒子群算法获得. ...

... ［1⁃2］、DFNGBM（1，1，α）模型^［10］、CFTDNGBM模型^［9］和CFGBM（

μ

，1）模型并进行分析比较.需要提及的是除GM（1，1）和GVM外，其他模型的超参数均在MAPE最小化准则下通过粒子群算法获得. ...

Application of the novel nonlinear grey Bernoulli model for forecasting unemployment rate

2008

... 为检验CFGBM（

μ

μ

，1）模型并进行分析比较.需要提及的是除GM（1，1）和GVM外，其他模型的超参数均在MAPE最小化准则下通过粒子群算法获得. ...

非等间距GM（1，1）幂模型及其工程应用

2012

非等间距GM（1，1）幂模型及其工程应用

2012

时变参数GM（1，1）幂模型及其应用

2014

时变参数GM（1，1）幂模型及其应用

2014

Application of a novel nonlinear multivariate grey Bernoulli model to predict the tourist income of China

2019

Forecasting short-term renewable energy consumption of China using a novel fractional nonlinear grey Bernoulli model

2019

A novel grey Bernoulli model for short-term natural gas consumption forecasting

2020

... ［7］的研究基础上，ZHENG等^［8］进一步建立了基于Conformable分数阶累加算子的NGBM（1，1，k，c）模型，并以中国天然气产量和消耗量为研究对象验证了模型的可行性.WANG等^［9］通过组合时滞效应、Conformable分数阶累加算子、NGBM（1，1）模型、算术优化算法和后差算子开发了全新的CFTDNGBM（1，1）模型，并将其成功应用于乡村经济.LAO等^［10］基于具有时间幂次项的灰色预测模型、NGBM（1，1）模型、向后差分操作和分数阶累加算子开发了DFNGBM（1，1，α）模型.相比于早先的非线性灰色预测模型，DFNGBM（1，1，α）模型不仅能满足无偏性和统一性，而且具有新信息优先累加的特点，使其在天然气消耗量预测任务中表现突出. ...

A MFO-based conformable fractional nonhomogeneous grey Bernoulli model for natural gas production and consumption forecasting

2021

A new conformable fractional-order time-delay grey Bernoulli model with the arithmetic optimization algorithm and its application in rural regional economy

2023

... 为检验CFGBM（

μ

μ

，1）模型并进行分析比较.需要提及的是除GM（1，1）和GVM外，其他模型的超参数均在MAPE最小化准则下通过粒子群算法获得. ...

Predicting the production and consumption of natural gas in China by using a new grey forecasting method

2022

... 为检验CFGBM（

μ

μ

，1）模型并进行分析比较.需要提及的是除GM（1，1）和GVM外，其他模型的超参数均在MAPE最小化准则下通过粒子群算法获得. ...

Fractional derivative multivariable grey model for nonstationary sequence and its application

2020

... 虽然以上优化方法都取得了显著的应用效果，但它们的白化微分方程都是一阶的.由于一阶导数模型是一种理想的记忆模型，不适合描述不规则现象，故对数据波动较大的序列，无法根据实际数据特征调整模型参数^［11］.为此，吴利丰等^［12］首次将灰色模型的白化微分方程整数阶拓展至分数阶领域，建立了含Caputo型分数阶导数的GM（1，1）模型，随后通过分析比较证实了基于Caputo型分数阶导数的GM（1，1）模型在数值模拟方面的潜力.受吴利丰等^［12］的启发，之后研究者将Caputo、Grunwald-Letnikov（GL）和Riemann-Liouville（RL）等类型的分数阶导数与一些主流的灰色预测模型相结合开发了性能更加强大的模型^{［11，13-15］}.尽管这类基于分数阶导数的灰色预测模型具有良好的预测性能，但其计算复杂度较高，且大多数是数值解，难以广泛应用于实际. ...

... ［11，13-15］.尽管这类基于分数阶导数的灰色预测模型具有良好的预测性能，但其计算复杂度较高，且大多数是数值解，难以广泛应用于实际. ...

含Caputo 型分数阶导数的灰色预测模型

2015

... ［12］的启发，之后研究者将Caputo、Grunwald-Letnikov（GL）和Riemann-Liouville（RL）等类型的分数阶导数与一些主流的灰色预测模型相结合开发了性能更加强大的模型^{［11，13-15］}.尽管这类基于分数阶导数的灰色预测模型具有良好的预测性能，但其计算复杂度较高，且大多数是数值解，难以广泛应用于实际. ...

含Caputo 型分数阶导数的灰色预测模型

2015

Research on a novel fractional GM（α，n） model and its applications

2019

Continuous fractional-order grey model and electricity prediction research based on the observation error feedback

2016

Fractional grey model based on non-singular exponential kernel and its application in the prediction of electronic waste precious metal content

2020

A new definition of fractional derivative

2014

... KHALIL等^［16］提出了Conformable分数阶导数概念，这种分数阶导数在理论上非常容易处理，并且遵循原有分数阶导数（Caputo、GL、RL等）无法满足的常规性质，例如链式法则^［17］，因此，近年来Conformable分数阶导数广受关注.MA等^［18］首次将Conformable分数阶导数的概念纳入灰色预测模型，并开发了基于Conformable分数阶累加操作的灰色预测模型.受MA等^［18］的启发，XIE等^［19］构建了基于Conformable分数阶导数的GM（1，1）模型，并揭示了该模型与传统灰色预测模型以及基于Caputo型分数阶导数的GM（1，1）模型之间的联系，这在一定程度上推动了基于分数阶导数的灰色预测模型的发展.随后，WU等^［20］建立了基于Conformable分数阶导数的多变量灰色预测模型，并用实例验证了该模型的可行性. ...

On conformable fractional calculus

2015

The conformable fractional grey system model

2020

... ［18］的启发，XIE等^［19］构建了基于Conformable分数阶导数的GM（1，1）模型，并揭示了该模型与传统灰色预测模型以及基于Caputo型分数阶导数的GM（1，1）模型之间的联系，这在一定程度上推动了基于分数阶导数的灰色预测模型的发展.随后，WU等^［20］建立了基于Conformable分数阶导数的多变量灰色预测模型，并用实例验证了该模型的可行性. ...

... 为进一步增强灰色Bernoulli模型对各种数据序列的适应性，拓展灰色预测模型的理论体系和应用范围，受文献［18-20］的启发，笔者在传统灰色Bernoulli模型基础上，充分利用Conformable分数阶导数的优势，提出基于Conformable分数阶导数的灰色Bernoulli模型，并给出该模型的解析解（用于模拟预测）.此外，用粒子群优化算法确定模型的最优超参数.最后，通过3个案例验证模型的有效性. ...

Continuous grey model with conformable fractional derivative

2020

A novel multivariate grey system model with conformable fractional derivative and its applications

2022

Ulam's stability for some linear conformable fractional differential equations

2020

... 定义1^［21］　假设函数

ϕ : [t_{0}, + \infty) \to R

，则以

t_{0}

为起点，

μ

（

0 < μ \leq 1

）为阶数的Conformable 分数阶导数（CFD）定义为 ...

... 引理1^［21］　若

0 < μ \leq 1

，

ϕ

是

μ

阶可导函数，则有 ...

Analyzing the air quality of Beijing， Tianjin， and Shijiazhuang using grey Verhulst model

2019

... 特别地，当CFGBM（

μ

，1）模型的超参数改变时，其可退化为各种经典的灰色预测模型.当

μ = 1

，

λ = 0

时，CFGBM（

μ

，1）模型退化为GM（1，1）模型^［1］；当

μ = 1

，

λ = 2

时，CFGBM（

μ

，1）模型转换为灰色Verhulst模型^［22］；当

μ = 1

时，CFGBM（

μ

，1）模型转换为灰色Bernoulli模型^［1］. ...

... 为检验CFGBM（

μ

μ

，1）模型并进行分析比较.需要提及的是除GM（1，1）和GVM外，其他模型的超参数均在MAPE最小化准则下通过粒子群算法获得. ...

Forecasting short-term renewable energy consumption of China using a novel fractional nonlinear grey Bernoulli model

2019

... 由于式（24）含非线性特征，故采用常规方法求解非常困难.本文利用群体智能算法——粒子群算法（PSO）^［23］求解式（24），以快速获取CFGBM（

μ

，1）模型的最优参数

μ

和

λ

. ...

A novel elastic net-based NGBMC（1，n） model with multi-objective optimization for nonlinear time series forecasting

2021

... 考虑在求解过程中可能会出现过拟合现象，利用文献［24］中提及的中点法则进行处理，即在双目标优化算法生成的一系列Pareto最优解中选择一个既不远离也不接近目标函数1和目标函数2的中点完成建模任务. ...

2011

... 在建模过程中，如果发生过拟合，则首先基于MAPE和RMSE建立双目标规划模型，然后采用多目标粒子群优化算法^［25］求解基于CFGBM（

μ

，1）模型的双规划问题，并基于中点法则选择适合的建模点.如果没有发生过拟合，则保留单目标粒子群优化算法的结果. ...

... 粒子群算法各因子的取值为：学习因子

c_{1} = 1, c_{2} = 2

；惯性因子

ω = 0.8

；最大迭代次数200；群体数50.多目标粒子群优化算法代码可从文献［25］中获取. ...

2011

... 在建模过程中，如果发生过拟合，则首先基于MAPE和RMSE建立双目标规划模型，然后采用多目标粒子群优化算法^［25］求解基于CFGBM（

μ

，1）模型的双规划问题，并基于中点法则选择适合的建模点.如果没有发生过拟合，则保留单目标粒子群优化算法的结果. ...

... 粒子群算法各因子的取值为：学习因子

c_{1} = 1, c_{2} = 2

；惯性因子

ω = 0.8

；最大迭代次数200；群体数50.多目标粒子群优化算法代码可从文献［25］中获取. ...

A novel power-driven fractional accumulated grey model and its application in forecasting wind energy consumption of China

2019

... 案例1　选取文献［26］某工程施工地基沉降量（cm）数据：43.19，58.73，70.87，83.71，92.91，99.73，105.08，109.73，112.19，113.45，前7个数据用于建模，后3个数据用于测试模型的预测精度，各模型的模拟和预测结果见表1. ...

Analysis of novel FAGM（1，1，t ^α ） model to forecast health expenditure of China

2019

... 案例2　选取文献［27］ 2008—2016年中国卫生总费用（亿元）数据：14 535.40，17 541.92，19 980.39，24 345.91，28 119.00，31 668.95，35 312.40，40 974.64，46 344.88，前6个数据用于建模，后3个数据用于测试模型的预测精度，表2为各模型的模拟和预测结果. ...

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