近年来，三周期极小曲面（triply periodic minimal surface，TPMS）的多孔单元结构^［1］因其良好的连通性、可控性和物理性质在多孔结构的主动设计中备受关注^［2］。具有复杂内部特征和复杂外部形状的多形态微通道结构在自然界中广泛存在，如骨骼、蜂巢和木材等^［3］，这些结构可以满足机械和生物功能要求。随着增材制造技术的快速发展，设计和制造的人工多孔结构越来越多，被应用于航空航天、化学、生物和热学等领域^［2-5］。传统的异形TPMS多孔结构生成方法往往分两步：第一步是在规则六面体内设计内部结构，以满足微通道结构的功能需求；第二步是对设计的结构与边界曲面进行布尔运算，裁剪出符合形状要求的TPMS结构。

针对功能TPMS的内部形态建模，为满足力学和热学性能，充分利用不同孔隙率、不同种类、不同尺寸TPMS的优势，设计了梯度、异质、多尺度等TPMS内部通道拓扑结构。雷鸿源等^［6］通过建立参数C与各表征参数的关系，实现了孔隙率过渡均匀的TPMS结构。LI等^［7］开发了一种功能梯度细胞结构的生成和优化方法，生成了孔隙率均匀过渡的TPMS悬臂梁结构和散热器微通道结构。对于不同种类TPMS的过渡，Sigmoid函数^［8］和生长函数^［9］是2种常用的过渡方法，利用径向基函数对TPMS的距离场进行插值，实现了TPMS结构的内部平滑过渡。GÜNTHER等^［10］利用空间加权设计了功能梯度异质多孔支架，利用不同种类的TPMS模拟不同的骨组织结构。但上述方法的过渡边界是由参数方程构建的，如果过渡边界复杂，需要求解线性方程组获得目标结构的距离场，计算量大，而且对于一些复杂的过渡边界，难以构建边界参数方程。REN等^［11］提出一种利用正方形网格边界实现TPMS过渡的方法，虽然能实现过渡边界的TPMS平滑过渡，但都用相互平行或者垂直的直线过渡，难以适应复杂的边界外形。

在TPMS内部形态设计完成后，为了让其满足外部形状约束，布尔运算^［12］是最简单且通用的方法。但布尔运算稳定性较低，而且会切割TPMS结构，破坏内部结构的完整性。所以，亟需开发更实用的异形TPMS结构设计方法。YOO^［13］提出了一种利用体素表示外部边界的方法，可以保持每个TPMS单元的完整性。FU等^［14］使用六面体的等参变化构造了共形TPMS晶格结构，然后通过拼接实现了在曲面上的TPMS布局规划。但是上述方法不能很好地适应自由边界。CHI等^［15］利用共形映射方法将复杂曲面边界映射至平面参数域，进行TPMS的网络拓扑结构设计，从而利用逆映射将设计的微通道结构贴合复杂曲面边界，并且通过补偿映射变形生成尺寸均匀一致的微通道结构。但是该方法只能生成单一形态的TPMS微通道结构。

虽然已有方法设计的异形TPMS结构已经取得显著成果，但是针对拥有复杂内部特征和复杂外部形状的TPMS微通道结构，仅重点考虑其中一个方面。为此，本文同时考虑外部形状和内部特征，提出一种基于共形映射的多形态特征TPMS微通道设计方法。首先，对多形态的TPMS进行定义，并提出一种基于环的TPMS过渡算法，实现不同形态特征TPMS结构在不同边界约束下的平滑过渡，提高设计的自主性。然后，利用共形映射建立自由外形边界的平面参数域，从而将设计好的内部通道拓扑结构映射至平面参数域。最后，利用共形逆映射，将整体结构映射到原曲面上，使其自适应于自由曲面的曲率并且保证其结构完整性。通过多个实例验证了该方法的有效性。

为了得到多形态的TPMS结构，首先，定义每种形态所在的区域，称区域的边界为环，其由一系列首尾相连的有序线段组成，图1所示的为原始闭合环。然后，利用二维等距偏置算法^［16］将环偏移，并采用切线连接方式，得到等距偏置外环和等距偏置内环，二者之间的区域称为过渡区域。

Sigmoid函数和Beta生长函数（BGF）是两种常用的多形态结构加权设计方法，其中BGF可以明确指定过渡区域的起始位置和增长率最大的位置，且相比Sigmoid函数可以更准确地预测生长过程中的权重分布，因此本文选择BGF作为过渡区域的加权函数。其数学方程为^［9］

其中，μ(x,y,z)表示点P(x,y,z)所对应的权重值，t为参数，由点P的位置决定，te表示过渡结束的位置。以往的混合形态设计方法主要通过插值方程求解t，而本文利用闭合环生成的过渡区域定义t。t=0和t=t_e=1分别对应图1的内环和外环位置，是过渡区域的起始值和终止值，t_m是增长率达到最大值的拐点，改变tm可以实现区域的不对称生长。假设外环相对内环的偏置距离为offDis，点P相对内环的偏置距离为dis，则定义点P的t值为

在求解点P相对内环的偏置距离时，需考虑不同的情况，求解流程如图2（a）所示，先遍历内环上的所有点，找到距离最近的点V_a，本文仅考虑最多存在2个内环顶点V_i，V_j 与点P距离相同且最近的情况（不考虑多个顶点与点P距离最近的情况），此时，Vi,Vj均可作为Va执行后续步骤。根据环的定义，V_a 旁边有且只有2条线段。过点P分别作这2条线段的垂线，判断2个垂足与各自线段的关系。如图2（b）所示，当垂足落在线段上时，点P处于位置A，V_a 对应V_a1。

当2个垂足M_B1，M_B2均落在线段的延长线上时，点P处于位置B处。此时V_a 处于位置V_a2且点P在四边形CDEF内（D，F分别为点C在外环上以E为端点的两条线段的垂足），此时应取较长的垂线段作为dis，由几何关系可得，当点B位于三角形CEF内时，

当B位于三角形CDE内时，

常用的TPMS表达式^［1］由傅里叶级数定义：

其中， r 为位置向量，F（k）表示振幅因子，k表示晶格矢量，α（k）表示相位偏移，C为影响孔隙率的常数。通过改变这些参数，可构造不同类型的TPMS，目前最常用的有P型、G型、D型、I-WP型，其近似三角函数表达式可参考文献［6］。利用这些表达式构建相应的距离场，使用Marching Cube算法^［17］提取网格曲面，如图3所示。

构造TPMS多孔结构，需要定义实体区域和空腔区域，Skeletal和Shell TPMS^［18］是两种常用的TPMS实体结构。以实体结构为基础，定义TPMS内部通道的4种基本形态特征：（1） 孔隙率，描述空腔区域占全部体积的比例；（2） 尺寸，单个TPMS晶胞的尺寸，控制TPMS的孔径大小；（3） 种类，如图3所示的4种形状各异的TPMS结构；（4） 厚度，通过不同C值的TPMS结构嵌套得到不同厚度的TPMS结构。

通过环定义不同形态特征TPMS的过渡边界，针对其产生的过渡区域，可以通过环内、环外的TPMS距离场值进行加权：

其中，ϕ_hyb，ϕ₁和ϕ₂分别表示环中混合形态、环外形态和环内形态的距离场值，μ是满足μ(x,y,z)∈[0,1]的混合参数，由Beta生长算法求得。环外形态和环内形态一般为基础的TPMS结构，根据定义，可知ϕ₁和ϕ₂是一阶连续的，由Beta生长函数，可知μ也是一阶连续的，因此ϕ_hyb也是一阶连续函数，故用本算法生成的过渡区域结构满足一阶几何连续。

图4展示了以四角星形环为边界的不同TPMS形态结构，包括变孔隙率、变种类、变尺寸、变厚度。其中环外的TPMS设置为P型，尺寸为5 mm，C为0。左侧图为没有使用过渡的结构，可以看出，在环的边界上，由于距离场值剧烈变化，产生了连续但不平滑的网格结构，极易产生应力集中，影响结构的正常使用。右侧图为采用本文过渡算法的结构，可以看出，以上几种形态变化的边界与星形环相符，且在通过过渡区域时，由于生长算法是一阶连续平滑函数，故实现了TPMS形态特征渐变过渡。

为了在设计TPMS内部形态特征时，考虑微通道结构的外部形状，基于共形映射实现自由曲面约束下的TPMS微通道结构，如图5所示，其基本流程为：（1） 利用共形映射，将三维网格曲面映射至二维平面参数域，（2） 将设计好的TPMS微通道结构投影至平面参数域，（3） 在平面参数域上建立曲面与TPMS微通道结构的映射关系，（4） 将TPMS微通道结构逆映射至三维曲面，（5） 进行法向偏置。

为了建立曲面与TPMS微通道结构的映射关系，利用平均值坐标MVC算法^［19］实现三维网格曲面的平面参数域映射，该算法可以保证共形映射的存在，只要三维网格曲面是简单拓扑结构的二维流形。

对于有自交问题的三维网格曲面，首先，用几何处理软件修复。为方便建立映射关系，平面参数域是xy平面上1×1的正方形。然后，将TPMS微通道结构投影至xy平面，值得注意的是，微通道网格上所有点的z坐标信息是被保存的，不会因投影而丢失。为了让TPMS微通道结构上的点与曲面上的点一一对应，需对投影后的TPMS微通道结构进行归一化，以图5中的M₀（x，y）为例。

其中，t_x，t_y 是点M在平面参数域上的坐标值，点M是M₀在平面参数域上的投影点，x_max，x_min，y_max，y_min分别为TPMS微通道结构上点的x坐标最大值、最小值和y坐标最大值、最小值。最后，建立每个投影点与平面参数域的映射关系。

在建立TPMS微通道与平面参数域的对应关系后，需将微通道映射至曲面，还需建立平面参数域上的点与原曲面的关系。共形映射算法是双射的且不存在翻边的三角网格，即每个三角形都能在平面参数域上找到唯一对应的三角形。对于三角形面片内的点，可以利用重心坐标进行求解。如图6所示，在平面参数域上，点M对应至三角形P₁P₂P₃内，设点M（x， y），P₁（x₁， y₁），P₂（x₂， y₂），P₃（x₃， y₃），利用重心坐标法建立映射关系：

其中，λ₁，λ₂，λ₃是点M关于三角形P₁P₂P₃的重心坐标，A^t 是参数域三角片P₁P₂P₃的面积。利用重心坐标值，可得TPMS微通道结构上的点逆映射回曲面上的点坐标M'（x，y，z）：

其中，P1'，P2'，P3'分别是平面参数域上点P₁，P₂，P₃在原曲面对应三角形上的3个顶点坐标。根据所在点的网格法向 N|_M' 进行法向偏置，可得曲面的TPMS微通道的点坐标M''（x， y， z）：

其中，z_M0是点M₀的z坐标。对微通道上的所有点都执行该操作，就能得到与曲面共形的TPMS微通道结构。

利用C++语言在自主开发的平台上搭建基于共形映射的多形态特征TPMS结构设计系统，并以此为基础对本文过渡算法进行实例分析和讨论。

为验证基于环的过渡算法可以自由设计拥有多形态特征的TPMS微通道结构，首先，在二维参数域中自定义4个不同形状的环，如图7（a）中的黑色环。通过自定义偏置距离和偏置方向，控制过渡区域的大小和位置。然后，定义不同区域的TPMS形态特征，生成如图7（b）（c）所示的多形态特征TPMS结构。环外的主体区域是C为0、单胞尺寸为5 mm的P型TPMS，其他环内的设置如图7（a）所示。圆环区域与主体区域的孔隙率受C值的影响，所以在过渡区域上是孔隙率特征的过渡；正方形过渡区域展示了不同种类的TPMS结构的过渡；三角形环过渡区域则是不同尺寸的TPMS平滑过渡；而星形环过渡区域是不同种类不同尺寸的TPMS平滑过渡。从图中可以清楚地看到，利用本文提出的过渡算法，可以在TPMS微通道结构中自主设计多种形态特征，并且可以自主设计过渡区域。相比以往的参数方程法，本文过渡算法不仅能表示更加复杂多样的形状，还实现了形状的自由组合，提升了设计自由度。相比插值法，本文算法无需求解复杂的参数方程，减少了计算量。

在设计多形态特征TPMS结构后，建立与外部边界曲面参数域的映射关系，自动将多形态特征TPMS结构映射至对应的自由曲面。以半球面、波浪面和人脸3种曲面为例，展示本文方法能够自适应于曲面。

按照曲率将自由曲面分为凸面、凹面和马鞍面3类。图8（a）展示了半球面是恒定曲率的凸面；图8（b）展示的波浪面涵盖了3类自由曲面；图8（c）的人脸模型不仅包含3类自由曲面，而且曲率变化更加剧烈。但是微通道结构都能很好地适应这些曲面，这是因为根据共形映射方法的原理，无论曲面曲率如何变化，只要网格曲面的三角面片可以映射至平面参数域，TPMS微通道上的所有点都能在网格曲面上找到对应的点，使得微通道结构贴合曲面的外形。此外，从图8中可以看出，自主设计的TPMS微通道的各种形态特征在二维上得以保留，各个环的过渡区域依然平滑连接，证明本文算法不会破坏微通道内部结构，充分展示了共形映射的优势，将复杂的三维设计形态特征降至二维，使问题简单化。

燃气轮中的叶片运行环境恶劣，需要承载非常大的机械应力和热应力^［20］。TPMS多孔结构较适用于叶片内部微通道结构的设计，微通道在承载气流压力的同时有助于叶片散热。有研究表明，I-WP型TPMS结构具有较好的刚度，而G型TPMS结构具有更好的流体散热性能^［7］，因此采用I-WP型TPMS和G型TPMS结构设计叶片。图9展示了叶片曲面和多形态特征的TPMS微通道结构。

图9（b）展示了叶片上的自由过渡边界，用于分隔I-WP型和G型TPMS。图9（c）展示了Skeletal I-WP型和Skeletal G型的异质TPMS微通道结构，从图9（e）中可以看出，Skeletal G型和Shell I-WP型的截面轮廓可以完全贴合叶片曲面，并且内部结构与曲面共形。可知，Shell的力学性能较Skeletal高。将Shell I-WP型和Skeletal G型的TPMS结构相结合，如图9（d）所示，可实现变厚度、变种类、变孔隙率等拥有多形态特征的叶片微通道结构设计，并实现形态特征与过渡轮廓的自主设计。从图9（f）的截面图中可以看出，通过向法向方向偏移不同的距离，自由控制TPMS的拉伸尺寸，可生成不同流线形的叶片，且其内部拓扑结构与设计要求一致。未来还可以与拓扑优化相结合，得到符合设计要求的环状边界，充分发挥不同形态特征的优势。

针对复杂外形约束下的TPMS微通道结构，提出了一种基于共形映射的形态特征设计方法，在二维参数域上实现了具有复杂内部特征和复杂外部形状的多形态特征微通道结构设计。针对内部形态特征，提出了一种基于环的Beta生长算法，实现了多形态特征TPMS的平滑过渡，提高了设计自由度。多个实例表明，用本文方法设计的微通道结构不仅可以与边界表面共形，而且可确保TPMS内部多形态特征的完整性，为复杂TPMS多孔微通道结构的设计提供了一种新的思路。下一步，将对共形映射产生的变形进行分析，以更精确地控制TPMS微通道结构参数。对于三维形态特征设计，利用截平面法将三维结构截成二维平面，使用本文加权方法进行设计，即可完成三维形态特征的自主设计。