分数阶永磁同步电机混沌系统自适应滑模同步

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.05.007

分数阶永磁同步电机混沌系统自适应滑模同步

毛北行^,^,, 王东晓

郑州航空工业管理学院数学学院，河南郑州 450046

Self-adaptive sliding mode synchronization of fractional-order permanent magnet synchronization motor chaotic systems

MAO Beixing^,^,, WANG Dongxiao

School of Mathematics，Zhengzhou University of Aeronautics，Zhengzhou 450046，China

收稿日期: 2022-07-13 修回日期: 2023-03-29 接受日期: 2023-04-08

基金资助:

国家自然科学基金资助项目. 11801528. 41906003

Received: 2022-07-13 Revised: 2023-03-29 Accepted: 2023-04-08

作者简介 About authors

毛北行（1976—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-9232-3434，男，硕士，教授，主要从事分数阶混沌系统同步控制研究，E-mail：bxmao329@163.com. , E-mail：bxmao329@163.com

摘要

利用滑模控制理论及分数阶微积分2种方法，通过构造滑模函数与控制器及适应规则，研究了分数阶永磁同步电机混沌系统的自适应滑模同步问题，得到系统同步的2个充分条件，并通过数值仿真对所得结果进行了验证与分析。

关键词： 分数阶 ; 永磁同步电机 ; 滑模 ; 同步

Abstract

The fractional-order permanent magnet synchronization motor chaotic systems were studied based on sliding mode control theory and fractional-order calculus, using two self-adaptive sliding mode methods. Self-adaptive sliding mode synchronization of system was researched, by constructing sliding mode function, controllers and adaptive rules. Two sufficient conditions were established to ensure self-adaptive sliding mode synchronization of the systems. Numerical simulations verify the feasibility of the proposed method.

Keywords： fractional-order ; permanent magnet synchronization motor ; sliding mode ; synchronization

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本文引用格式

毛北行, 王东晓. 分数阶永磁同步电机混沌系统自适应滑模同步. 浙江大学学报(理学版)[J], 2023, 50(5): 564-568 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.05.007

MAO Beixing, WANG Dongxiao. Self-adaptive sliding mode synchronization of fractional-order permanent magnet synchronization motor chaotic systems. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2023, 50(5): 564-568 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.05.007

混沌系统的同步研究已有很多成果。经典的控制系统均用整数阶微分方程进行数学建模，随着对分数阶微积分了解的深入，发现现实世界存在大量分数阶系统，如用传统整数阶微分方程建模，与实际情况不符且误差较大。随着对实际控制系统分数阶建模的不断增加，其模型的优越性更加凸显，分数阶系统的混沌分析与同步控制逐渐成为研究热点^［1-3］。滑模理论形成于20世纪60年代，由于其良好的鲁棒性逐渐为人们所了解和掌握，滑模方法亦逐渐被应用于非线性混沌等学科领域。文献［4］通过设计与构造滑模函数，研究了具有不确定项和有界外扰的分数阶金融超混沌系统的滑模同步。文献［5-6］通过构造适当的滑模面及控制器，获得了分数阶多混沌系统滑模同步的充分条件。随着科学技术的飞速发展，对电机控制性能的要求越来越高，其中永磁同步电机因其质量轻、体积小、效率高、鲁棒性好得到快速发展，近年来，随着稀土材料在永磁体中的大量运用，永磁同步电机的控制已成为相关领域的研究重点。永磁同步电机系统因其具有结构简单、运行可靠等优点，在航空航天、新能源、工业自动化等领域得到了广泛应用。文献［7］研究了新能源汽车永磁同步电机系统的标定方法及实现，对影响扭矩控制及系统稳定性的因素进行了分析。文献［8］通过设计非奇异终端滑模控制器研究了永磁同步电机系统的快速终端滑模控制。文献［9］通过调整指数收敛速率，研究了永磁同步电机混沌系统的全局指数稳定控制。文献［10-11］建立了永磁同步电机混沌系统的分数阶模型，用积分滑模方法分析和研究了分数阶永磁同步电机系统。而对分数阶永磁同步电机混沌系统同步控制的研究不多，基于此，本文研究了分数阶永磁同步电机混沌系统的自适应滑模同步，并得到了永磁同步电机混沌系统取得自适应滑模同步的相关结果。

1　主要结果

定义1 $^{[12]}$ 　Caputo分数阶导数定义为

\begin{array}{l} {D_{t}}^{q} x (t) = \frac{1}{Γ (n - q)} \int_{t_{0}}^{t} {(t - τ)}^{n - q - 1} x^{(n)} (τ) d τ, \\ n - 1 < q < n ， q \in Z^{+} 。 \end{array}

分数阶永磁同步电机混沌系统 $^{[10]}$ 可描述为

\{\begin{array}{l} {D_{t}}^{q} x_{1} = - x_{1} + x_{2} x_{3} ， \\ {D_{t}}^{q} x_{2} = - x_{2} - x_{1} x_{3} + γ x_{3} \\ {D_{t}}^{q} x_{3} = σ (x_{2} - x_{3}) ， \end{array} ，

（1）

其中， $γ = 25, σ = 5.46, x_{1} (0) = 1, x_{2} (0) = 0.01,$ $x_{3} (0) = - 5$ ，当 $q \geq 0.98$ 时，系统呈现混沌吸引子，其吸引子相图如图1所示。

图1

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图1 分数阶永磁同步电机混沌系统的吸引子相图

Fig.1 The attractors phase diagram of fractional-order permanent magnet synchronization motor system

设主系统为式（1），从系统为

\{\begin{array}{l} {D_{t}}^{q} y_{1} = - y_{1} + y_{2} y_{3}, \\ {D_{t}}^{q} y_{2} = - y_{2} - y_{1} y_{3} + γ y_{3} + Δ f （ y ） + \\ d (t) + u (t), \\ {D_{t}}^{q} y_{3} = σ (y_{2} - y_{3}), \end{array}

（2）

其中， $Δ f (y)$ 为不确定项， $y = [y_{1}, y_{2}, y_{3}]^{T}$ ， $d (t)$ 为有界外扰， $u (t)$ 为控制量，定义 $e_{i} = y_{i} - x_{i}, i = 1,2, 3$ ，则可得

\{\begin{array}{l} {D_{t}}^{q} e_{1} = - e_{1} + y_{2} y_{3} - x_{2} x_{3}, \\ {D_{t}}^{q} e_{2} = - e_{2} - y_{1} y_{3} + x_{1} x_{3} + γ e_{3} + \\ Δ f (y) + d (t) + u (t), \\ {D_{t}}^{q} e_{3} = σ (e_{2} - e_{3}) 。 \end{array}

（3）

假设1　 $m, n > 0$ 为未知正常值参数，不确定项和有界外扰分别满足 $|Δ f (y)| \leq m$ ， $|d (t)| \leq n$ 。

引理1 $^{[12]}$ 　若 $x (t)$ 为连续可微的函数，则

\frac{1}{2} {D_{t}}^{α} x^{2} (t) \leq x^{T} (t) {D_{t}}^{α} x (t), α \in (0,1)

。

引理2 $^{[12]}$ 　设 $V (t) = \frac{1}{2} [{y_{1}}^{2} (t) + {y_{2}}^{2} (t)]$ ，若存在常数 $k > 0$ ，使得 ${D_{t}}^{q} V (t) \leq - k {y_{1}}^{2} (t)$ ，则 ${y_{1}}^{2} (t) \leq 2 V (0) E_{q, 1} (- 2 k t^{q})$ ，即 $‖y_{1} (t)‖ \to 0,$ 其中， $E_{α, β} (\cdot)$ 为双参数Mittag-Leffler函数。

定理1　在假设1条件下，设滑模函数 $s (t) = {D_{t}}^{q} e_{3} + e_{2}$ （方便起见，下文简写为 $s$ ），控制量

\begin{array}{l} u (t) = e_{2} + y_{1} y_{3} - x_{1} x_{3} - γ e_{3} + \frac{σ^{2}}{1 + σ} (e_{2} - e_{3}) - \\ (\hat{m} + \hat{n} + η |s|) s g n (s), \end{array}

适应规则

\{\begin{array}{l} {D_{t}}^{q} \hat{m} = (1 + σ) |s|, \hat{m} (0) = {\hat{m}}_{0}, \\ {D_{t}}^{q} \hat{n} = (1 + σ) |s|, \hat{n} (0) = {\hat{n}}_{0} ， \end{array}

其中， $\hat{m}, \hat{n}$ 分别为对 $m, n$ 的估计值， $η > 0$ ，则式（1）和式（2）滑模同步。

证明　当系统状态在滑模面上时， $s = 0$ ，从而 ${D_{t}}^{q} e_{3} = - e_{2}$ ，式（3）第3个方程可变为 ${D_{t}}^{2 q} e_{3} = σ {D_{t}}^{q} e_{2} - σ {D_{t}}^{q} e_{3}$ ，得到

{D_{t}}^{q} ({D_{t}}^{q} e_{3}) = - \frac{σ}{(1 + σ)} ({D_{t}}^{q} e_{3})

，

将 ${D_{t}}^{q} e_{3}$ 作为变量，则 ${D_{t}}^{q} e_{3} \to 0$ ，从而 $e_{2} \to 0$ 。所以式（3）第3个方程变为 ${D_{t}}^{q} e_{3} = - σ e_{3}$ ，则 $e_{3} \to 0$ 。

\begin{array}{l} y_{2} y_{3} - x_{2} x_{3} = (y_{2} y_{3} - y_{2} x_{3}) + (y_{2} x_{3} - x_{2} x_{3}) = \\ y_{2} e_{3} + x_{3} e_{2} ， \end{array}

因混沌轨迹有界， $y_{2}$ ， $x_{3}$ 均为有界变量，故 $e_{2}, e_{3} \to 0$ ，从而 $y_{2} y_{3} - x_{2} x_{3} \to 0$ ，所以式（3）第1个方程变为 ${D_{t}}^{q} e_{1} = - e_{1}$ ，从而 $e_{1} \to 0$ 。

当系统状态不在滑模面上时，设

V (t) = \frac{1}{2} s^{2} + \frac{1}{2} {(\hat{m} - m)}^{2} + \frac{1}{2} {(\hat{n} - n)}^{2}

。

由引理1，得

\begin{array}{l} {D_{t}}^{q} V \leq s {D_{t}}^{q} s + (1 + σ) (\hat{m} - m) |s| + \\ (1 + σ) (\hat{n} - n) |s| = \\ s ({D_{t}}^{2 q} e_{3} + {D_{t}}^{q} e_{2}) + (1 + σ) (\hat{m} - m) |s| + \\ (1 + σ) (\hat{n} - n) |s| = \\ s [- σ {D_{t}}^{q} e_{3} + (1 + σ) {D_{t}}^{q} e_{2}] + \\ (1 + σ) (\hat{m} - m) |s| + (1 + σ) (\hat{n} - n) |s| = s {(1 + σ) [- e_{2} - y_{1} y_{3} + x_{1} x_{3} + γ e_{3} + \\ Δ f (y) + d (t) + u (t)] - σ^{2} (e_{2} - e_{3})} + \\ (\hat{m} - m) (1 + σ) |s| + (\hat{n} - n) (1 + σ) |s| \leq (m + n) (1 + σ) |s| - (1 + σ) (\hat{m} + \hat{n} + η |s|) |s| + (1 + σ) (\hat{m} - m) |s| + \\ (1 + σ) (\hat{n} - n) |s| = - η (1 + σ) {|s|}^{2} \leq 0 。 \end{array}

由引理2，得到 $s \to 0$ 。

定理2　在假设1条件下，设滑模函数 $s (t) = e_{2} + e_{3}$ ，控制量 $u = e_{2} + y_{1} y_{3} - x_{1} x_{3} - γ e_{3} + σ (e_{3} - e_{2}) - (\hat{m} + \hat{n} + η |s|) s g n (s)$ ，适应规则

\{\begin{array}{l} {D_{t}}^{q} \hat{m} = |s|, \hat{m} (0) = {\hat{m}}_{0} ， \\ {D_{t}}^{q} \hat{n} = |s|, \hat{n} (0) = {\hat{n}}_{0} ， \end{array}

则式（1）和式（2）滑模同步。

证明　当系统状态在滑模面上时， $s = 0$ ，从而 $e_{2} \to - e_{3}$ 。式（3）第3个方程可变为 ${D_{t}}^{q} e_{3} = - 2 σ e_{3}$ ，所以 $e_{3} \to 0$ ，从而 $e_{2} \to 0$ 。

\begin{array}{l} y_{2} y_{3} - x_{2} x_{3} = (y_{2} y_{3} - y_{2} x_{3}) + (y_{2} x_{3} - x_{2} x_{3}) = \\ y_{2} e_{3} + x_{3} e_{2} \end{array}

，

因混沌轨迹有界， $y_{2}$ ， $x_{3}$ 均为有界变量， $e_{2}, e_{3} \to 0$ ，从而 $y_{2} y_{3} - x_{2} x_{3} \to 0$ 。式（3）第1个方程可变为 ${D_{t}}^{q} e_{1} = - e_{1}$ ，从而 $e_{1} \to 0$ 。

当系统状态不在滑模面上时，设

V (t) = \frac{1}{2} s^{2} + \frac{1}{2} {(\hat{m} - m)}^{2} + \frac{1}{2} {(\hat{n} - n)}^{2}

。

由引理1，得

\begin{array}{l} {D_{t}}^{q} V \leq s {D_{t}}^{q} s + (\hat{m} - m) |s| + (\hat{n} - n) |s| = \\ s ({D_{t}}^{q} e_{2} + {D_{t}}^{q} e_{3}) + (\hat{m} - m) |s| + (\hat{n} - n) |s| = \\ s [- e_{2} - y_{1} y_{3} + x_{1} x_{3} + γ e_{3} + σ (e_{2} - e_{3}) \\ + Δ f (y) + d (t) + u (t)] + (\hat{m} - m) |s| + \\ (\hat{n} - n) |s| \leq (m + n) |s| - (\hat{m} + \hat{n} + \\ η |s|) |s| + (\hat{m} - m) |s| + (\hat{n} - n) |s| = \\ - η {|s|}^{2} \leq 0 。 \end{array}

由引理2，得到 $s \to 0$ 。

2　数值仿真

利用Matlab仿真程序，通过预估校正算法进行数值仿真，采样步长 $h = 0.001$ ，外扰 $d (t) = 0.01 s i n (π t)$ ，不确定项 $Δ f (y) = 0.01 c o s (π y_{2})$ ，初始值设置为 $(x_{1} (0), x_{2} (0), x_{3} (0)) = (1,0.01, - 5)$ 。

定理1和定理2中的未知参数初始值均取 $(\hat{m} (0), \hat{n} (0)) = (0.1,0.01) ， γ = 25, σ = 5.46, q = 0.98$ 。

控制器分别取

\begin{array}{l} u = e_{2} + y_{1} y_{3} - x_{1} x_{3} - γ e_{3} + \frac{σ^{2}}{1 + σ} (e_{2} - e_{3}) - \\ (\hat{m} + \hat{n} + η |s|) s g n (s) ， \end{array}

\begin{array}{l} u = e_{2} + y_{1} y_{3} - x_{1} x_{3} - γ e_{3} + σ (e_{3} - e_{2}) - \\ (\hat{m} + \hat{n} + η |s|) s g n (s) 。 \end{array}

自适应规则分别取

\{\begin{array}{l} {D_{t}}^{q} \hat{m} = (1 + σ) |s|, \hat{m} (0) = {\hat{m}}_{0} ， \\ {D_{t}}^{q} \hat{n} = (1 + σ) |s|, \hat{n} (0) = {\hat{n}}_{0} ， \end{array}

\{\begin{array}{l} {D_{t}}^{q} \hat{m} = |s|, \hat{m} (0) = {\hat{m}}_{0} ， \\ {D_{t}}^{q} \hat{n} = |s|, \hat{n} (0) = {\hat{n}}_{0} 。 \end{array}

定理1和定理2的系统误差变化如图2所示。从图2中可看出，误差变化曲线相对平滑，初始阶段，系统误差距原点较远，误差相差较大，随着时间的推移，逐渐趋于一致，并最终趋近于原点，表明永磁同步电机系统取得了滑模同步，且定理2的同步时间较短。定理1和定理2的滑模函数变化如图3所示。

图2

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图2 定理1和定理2的系统误差

Fig.2 System errors in theorem 1 and theorem2

图3

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图3 定理1和定理2的滑模函数

Fig.3 Sliding mode functions in theorem 1 and theorem 2

3　结论

研究了分数阶永磁同步电机混沌系统的自适应滑模同步，通过构造适当的滑模函数及适应规则，获得了分数阶永磁同步电机混沌系统滑模同步的2个个定理，并用Matlab数值仿真程序对得到的定理进行了验证与分析。下一步将关注分数阶永磁同步电机混沌系统的有限时间滑模同步。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2023.05.007

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

SONG

， ZHANG

B Y

， SONG

X N

， et al.

Fractional-order adaptive neuro-fuzzy sliding mode H_∞ control for fuzzy singularly perturbed systems

［J］. Journal of Franklin Institute， 2019， 356（10）： 5027-5048. DOI：10.1016/j.jfranklin.2019.03.020