有界线性算子的拓扑一致降标及性质

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.05.005

有界线性算子的拓扑一致降标及 $(W E)$ 性质

李楠^,^,, 曹小红^,^,

陕西师范大学数学与统计学院，陕西西安 710119

Topological uniform descent and property $(W E)$ for bounded linear operators

LI Nan^,^,, CAO Xiaohong^,^,

School of Mathematics and Statistics，Shannxi Normal University，Xi'an 710119，China

通讯作者: ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-9269-6679，E-mail：xiaohongcao@snnu.edu.cn.

收稿日期: 2022-09-13 修回日期: 2022-09-23 接受日期: 2022-09-26

基金资助:

陕西省自然科学基金资助项目. 2021JM-519

Received: 2022-09-13 Revised: 2022-09-23 Accepted: 2022-09-26

作者简介 About authors

李楠（1998—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-7084-6971，男，硕士研究生，主要从事算子理论研究，E-mail：nanli15835472983@163.com. , E-mail：nanli15835472983@163.com

摘要

设 $H$ 为无限维复可分的Hilbert空间， $B (H)$ 为 $H$ 上的有界线性算子全体 $。$ 若 $σ (T) \ σ_{w} (T) = E (T)$ ，其中 $σ (T)$ 和 $σ_{w} (T)$ 分别表示算子 $T$ 的谱集和Weyl谱， $E (T) = \{λ \in i s o σ (T) : d i m N (T - λ I) > 0\}$ ，则称 $T \in B (H)$ 满足 $(W_{E})$ 性质。首先通过拓扑一致降标性质，给出了有界线性算子及其函数满足 $(W_{E})$ 性质的充要条件；然后应用所得结果讨论了Drazin可逆算子与其Drazin逆的 $(W_{E})$ 性质之间的关系。

关键词： $(W E)$ 性质 ; 拓扑一致降标 ; 谱

Abstract

Let $H$ be an infinite dimensional complex separable Hilbert space and $B (H)$ be the algebra of all bounded linear operators on $H$ . We call property $(W_{E})$ holds for $T \in B (H)$ if $σ (T) \ σ_{w} (T) = E (T)$ , where $σ (T)$ and $σ_{w} (T)$ denote the spectrum and Weyl spectrum of $T$ respectively, and $E (T) = {λ \in i s o σ (T) : d i m N (T - λ I) > 0}$ . By using the property of topological uniform descent of operators in this paper, the necessary and sufficient conditions for which the property $(W_{E})$ holds for bounded linear operators and its functions are given. Furthermore, we show the applications of the main results, and explore the relationship of property $(W_{E})$ between the Drazin invertible operator and its Drazin inverse.

Keywords： property $(W E)$ ; topological uniform descent ; spectrum

PDF (501KB) 元数据多维度评价相关文章导出 EndNote| Ris| Bibtex 收藏本文

本文引用格式

李楠, 曹小红. 有界线性算子的拓扑一致降标及 $(W_{E})$ 性质. 浙江大学学报(理学版)[J], 2023, 50(5): 551-557 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.05.005

LI Nan, CAO Xiaohong. Topological uniform descent and property $(W_{E})$ for bounded linear operators. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2023, 50(5): 551-557 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.05.005

有界线性算子的谱理论一直是算子理论中的热门课题。1909年，WEYL^［1］在检测Hilbert空间上自伴算子的谱时发现，自伴算子的Weyl谱恰由谱中的非有限重孤立特征值组成，并将其称为Weyl定理。之后，学者们对Weyl定理做了变形和推广，并获得了许多好的结果^［2-5］。BERKANI等^［6］定义了Weyl定理的一种新的变形，并称之为 $(W_{E})$ 性质。REN等^［7］给出了有界线性算子及其函数满足 $(W_{E})$ 性质的充要条件，并探讨了 $(W_{E})$ 性质的摄动。本文将利用算子的拓扑一致降标性质，讨论有界线性算子及其函数的 $(W_{E})$ 性质。

1　预备知识

$C$ 和 $N$ 分别表示复数集和非负整数集 $， H$ 表示无限维复可分的Hilbert空间， $B (H)$ 表示 $H$ 上的有界线性算子全体。 $n (T)$ 和 $d (T)$ 分别表示算子 $T \in B (H)$ 的零空间 $N (T)$ 的维数和值域 $R (T)$ 的余维数。若 $n (T)$ 有限且 $R (T)$ 为闭集，则称 $T$ 为上半Fredholm算子；若 $d (T)$ 有限，则称 $T$ 为下半Fredholm算子；若 $n (T)$ 和 $d (T)$ 均有限，则称 $T$ 为Fredholm算子。若 $T$ 为上（或下）半Fredholm算子，定义指标 $i n d (T) = n (T) - d (T)$ 。若 $T$ 为指标为0的Fredholm算子，则称 $T$ 为Weyl算子。若 $T$ 为上半Fredholm算子且 $i n d (T) \leq 0$ ，则称 $T$ 为上半Weyl算子。定义算子 $T$ 的升标 $a s c (T) = i n f {n \in N : N (T^{n}) = N (T^{n + 1})}$ ，若这样的整数不存在，则记 $a s c (T) = \infty$ 。定义算子 $T$ 的降标 $d e s (T) = i n f {n \in N : R (T^{n}) = R (T^{n + 1})}$ ，若这样的整数不存在，则记 $d e s (T) = \infty$ 。若 $a s c (T)$ 和 $d e s (T)$ 均有限，则称 $T$ 是Drazin可逆的；若 $T$ 为Fredholm算子且Drazin可逆，则称其为Browder算子。

$σ (T)$ 表示算子 $T$ 的谱集，分别定义算子 $T$ 的Browder谱 $σ_{b} (T)$ ，本质逼近点谱 $σ_{e a} (T)$ ，Weyl谱 $σ_{w} (T)$ ，上半Fredholm谱 $σ_{S F_{+}} (T)$ ，Drazin谱 $σ_{D} (T)$ 以及本质谱 $σ_{e} (T)$ ：

$σ_{b} (T) = {λ \in C : T - λ I$ 不是Browder算子 $}$ ，

$σ_{e a} (T) = {λ \in C : T - λ I$ 不是上半Weyl算子｝，

$σ_{w} (T) = {λ \in C : T - λ I$ 不是Weyl算子｝，

$σ_{S F_{+}} (T) = {λ \in C : T - λ I$ 不是上半Fredholm算子｝，

$σ_{D} (T) = {λ \in C : T - λ I$ 不是Drazin可逆算子｝，

$σ_{e} (T) = {λ \in C : T - λ I$ 不是Fredholm算子｝。

令 $ρ (T) = C \ σ (T)$ ， $ρ_{b} (T) = C \ σ_{b} (T)$ ， $ρ_{w} (T) =$ $C \ σ_{w} (T)$ ， $ρ_{e} (T) = C \ σ_{e} (T)$ 。另记 $σ_{p} (T) = {λ \in C : n (T - λ I) > 0}$ ， $σ_{0} (T) = σ (T) \ σ_{b} (T)$ 。对于复平面内的任意集合 $E$ ， $i s o E$ 、 $a c c E$ 、 $i n t E$ 和 $\partial E$ 分别表示 $E$ 中孤立点的全体、聚点的全体、内点的全体以及边界点的全体。

对 $T \in B (H)$ ，如果 $σ (T) \ σ_{w} (T) = E (T)$ ，则称 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质， $E (T) = {λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) > 0}$ ^［6］，若 $λ_{0} \in σ (T) \ σ_{D} (T) = Π (T)$ ，则称 $λ_{0}$ 为 $T$ 的一个极点。

对 $T \in B (H)$ ，任给非负整数 $n$ ，定义 $R (T^{n})$ 上的新范数 $‖ \cdot ‖_{n}$ 为

‖ y ‖_{n} = i n f {‖ x ‖ : x \in H, y = T^{n} x}

，　

y \in R (T^{n}) ，

由 $‖ \cdot ‖_{n}$ 诱导的拓扑称为 $R (T^{n})$ 上的算子值域拓扑。对任意的非负整数 $n$ ，用 $k_{n} (T)$ 表示由T诱导的向量空间从 $R (T^{n}) / R (T^{n + 1})$ 到 $R (T^{n + 1}) / R (T^{n + 2})$ 线性变换的零空间的维数。如果存在非负整数 $d$ ，使得当 $n \geq d$ 时， $k_{n} (T) = 0$ 且 $R (T^{n})$ 在 $R (T^{d})$ 的算子值域拓扑下都是闭的，则称 $T$ 有拓扑一致降标。令 $ρ_{τ} (T) = {λ \in C : T - λ I$ 有拓扑一致降标｝，记 $σ_{τ} (T) = C \ ρ_{τ} (T)$ ，若 $T$ 为半Fredholm算子，则 $T$ 有拓扑一致降标；若 $λ \in ρ_{τ} (T) ⋂ \partial σ (T)$ ，则 $λ \in Π (T)$ ^［8］。

拟利用拓扑一致降标性质，给出有界线性算子及其函数满足 $(W_{E})$ 性质的充要条件，并应用所得结果讨论Drazin可逆算子与其Drazin逆的 $(W_{E})$ 性质之间的关系。

2　算子及其函数的 $(W_{E})$ 性质

首先，利用拓扑一致降标性质，给出有界线性算子 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质的充要条件。

定理1 设 $T \in B (H)$ ，则 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质 $\Leftrightarrow$ $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ {λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃ a c c σ_{w} (T)$ 。

证明必要性。显然 $[σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃$ ${λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃ a c c σ_{w} (T) \subseteq σ_{b} (T)$ 。

下证 $σ_{b} (T) \subseteq [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ {λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃ a c c σ_{w} (T)$ 。

对任意的 $λ \notin [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ {λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃ a c c σ_{w} (T)$ ，不妨设 $λ \in σ (T)$ ，于是 $n (T - λ I) > 0$ 。由 $λ \notin a c c σ_{w} (T)$ ，知对 $λ$ 的任意邻域 $B (λ; ε)$ ，存在 $λ_{0} \in B^{°} (λ; ε)$ ，使得 $T - λ_{0} I$ 为Weyl算子。由于 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质，则 $T - λ_{0} I$ 为Browder算子，于是 $λ \in \partial σ (T)$ 。当 $λ \notin [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)]$ 时，分2种情况讨论：

（1） $λ \notin σ_{τ} (T)$ ，则 $λ \in ρ_{τ} (T) ⋂ \partial σ (T)$ ，得 $λ \in Π (T)$ ，于是 $λ \in E (T)$ ，由于 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质，所以 $λ \notin σ_{b} (T)$ 。

（2） $λ \notin a c c σ (T)$ ，即 $λ \in i s o σ (T)$ ，结合 $n (T - λ I) > 0$ ，知 $λ \in E (T)$ ，由于 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质，所以 $λ \notin σ_{b} (T)$ 。

充分性。由于｛ $[σ (T) \ σ_{w} (T)] ⋃ E (T)} ⋂$ ${[σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ {λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃$ $a c c σ_{w} (T)} = \emptyset$ ，于是｛ $[σ (T) \ σ_{w} (T)] ⋃ E (T)} ⋂$ $σ_{b} (T) = \emptyset$ 。因此易证算子 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质。

由内点和聚点的关系，在定理1中，将 $a c c σ_{w} (T)$ 替换为 $i n t σ_{w} (T)$ ，可得

推论1 设 $T \in B (H)$ ，则 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质 $\Leftrightarrow$ $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ {λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃ i n t σ_{w} (T)$ 。

证明必要性。由定理1，知当 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质时， $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ {λ \in σ (T) : n (T -$ $λ I) = 0} ⋃ a c c σ_{w} (T)$ 。因为 $a c c σ_{w} (T) = i n t σ_{w} (T) ⋂$ $[\partial σ_{w} (T) ⋂ a c c σ_{w} (T)]$ ，可断言 $\partial σ_{w} (T) ⋂$ $a c c σ_{w} (T) \subseteq$ $σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)$ 。事实上，对任意的 $λ \in \partial σ_{w} (T) ⋂$ $a c c σ_{w} (T)$ ， $以及 λ$ 的任意空心邻域 $B^{°} (λ; δ)$ ，都存在 $λ_{0}$ ，使得 $T - λ_{0} I$ 为Weyl算子。由于 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质，则 $T - λ_{0} I$ 为Browder算子，从而 $λ \in \partial σ (T)$ 。若 $λ \in ρ_{τ} (T)$ ，则 $λ \in ρ_{τ} (T) ⋂ \partial σ (T)$ ，所以 $λ$ 是 $T$ 的一个极点^［8］，进而 $λ \in i s o σ (T)$ ，与 $λ \in a c c σ_{w} (T)$ 矛盾，所以 $λ \in σ_{τ} (T)$ 。显然， $\partial σ_{w} (T) ⋂ a c c σ_{w} (T) \subseteq a c c σ (T)$ ，所以 $\partial σ_{w} (T) ⋂$ $a c c σ_{w} (T) \subseteq σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)$ ，断言得证。于是 $σ_{b} (T) \subseteq [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ {λ \in$ $σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃ i n t σ_{w} (T)$ ，反包含成立，所以 $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ {λ \in σ (T) :$ $n (T - λ I) = 0} ⋃ i n t σ_{w} (T)$ 。

充分性。由 $i n t σ_{w} (T) \subseteq a c c σ_{w} (T)$ ，可得 $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ {λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃ a c c σ_{w} (T)$ 。根据定理1， $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质。

在定理1或者推论1中，若 $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ i n t σ (T)] ⋃ {λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃$ $a c c σ_{w} (T)$ 或 $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ i n t σ (T)] ⋃$ ${λ \in σ (T) :$ $n (T - λ I) = 0} ⋃ i n t σ_{w} (T)$ ，可推得 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质，但反之不成立，例如定义算子 $T \in B (l^{2})$ 为 $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{2} / 2, x_{3} / 3, \dots)$ ，若 $i s o σ (T) \subseteq$ $σ_{p} (T)$ ，其中 $σ_{p} (T) = {λ \in C : n (T - λ I) > 0}$ ，则称 $T \in B (H)$ 为isoloid算子。当 $T$ 为isoloid算子时，类似于定理1或推论1，可得：

推论2 设 $T \in B (H)$ ，则下列叙述等价：

（1） $T$ 为isoloid算子且满足 $(W_{E})$ 性质；

（2） $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ i n t σ_{w} (T)$ ；

（3） $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ a c c σ_{w} (T)$ 。

用 $H (T)$ 表示在 $σ (T)$ 的任一开领域上解析且在 $σ (T)$ 的任一分支上不为常值的函数的全体。当算子 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质时，不能推得其函数满足 $(W_{E})$ 性质。例如，设 $A, B \in B (l^{2})$ ，分别定义 $A (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2}, \dots)$ ， $B (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (x_{2}, x_{3}, x_{4}, \dots)$ ，令

T = (\begin{matrix} A - I & 0 \\ 0 & B + I \end{matrix})

，

可证明 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质。设 $f_{0} (T) = (T + I) (T - I)$ ，则 $f_{0} (T)$ 是Weyl算子但不是Browder算子，故 $f_{0} (T)$ 不满足 $(W_{E})$ 性质。接下来，进一步利用拓扑一致降标性质，研究算子函数的 $(W_{E})$ 性质。

定理2 设 $T \in B (H)$ ，则对任意的 $f \in H (T)$ ， $f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质当且仅当：

（1） $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质；

（2） $ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}$ 或 $ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃$ $a c c {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)}$ ；

（3）当 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ 时 $， σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂$ $a c c σ (T)] ⋃$ $a c c σ_{w} (T)$ 。

证明必要性。只需证明（2）和（3）。

假设（2）不成立，由包含关系 $ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}$ 不成立，知存在 $λ_{1} \in ρ_{τ} (T)$ ，但 $λ_{1} \notin ρ_{b} (T) ⋃$ $a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}$ ，于是当 $| μ - λ_{1} | > 0$ 且充分小时 $， T - μ I$ 为Fredholm算子且 $i n d (T - μ I) \leq 0$ 。断言：在 $λ_{1}$ 的任意空心邻域 $B^{°} (λ_{1}; ε)$ 中，一定存在 $μ_{1}$ ，使得 $T - μ_{1} I$ 为Fredholm算子且 $i n d (T - μ_{1} I) < 0$ 。事实上，若对任意的 $μ \in B^{°} (λ_{1}; ε)$ ， $T - μ I$ 为Fredholm算子且 $i n d (T - μ I) = 0$ ，由 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质，知 $T - μ I$ 为Browder算子，则 $λ_{1} \in \partial σ (T)$ ，由 $λ_{1} \in ρ_{τ} (T)$ ，知 $λ_{1} \in Π (T)$ ^［8］，可得 $λ_{1} \in E (T)$ 。由于 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质，所以 $λ_{1} \in ρ_{b} (T)$ ，与 $λ_{1} \in σ_{b} (T)$ 矛盾。断言得证。

当 $ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃ a c c {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)}$ 不成立时，存在 $λ_{2} \in ρ_{τ} (T)$ ，但 $λ_{2} \notin ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃ a c c {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)}$ 。同理，可证在 $λ_{2}$ 的任意空心领域 $B^{°} (λ_{2}; ε)$ 中，一定存在 $μ_{2}$ ，使得 $T - μ_{2} I$ 为Fredholm算子且 $i n d (T - μ_{2} I) > 0$ 。

设 $i n d (T - μ_{1} I) = - n < 0$ 且 $i n d (T - μ_{2} I) = m > 0$ ，其中 $n$ 和 $m$ 是正整数。令 $f (T) = (T - μ_{1} {I)}^{m} (T - μ_{2} {I)}^{n}$ ，显然 $f (T)$ 为Weyl算子。因为 $f (T)$ 满足 $(W_{E})$ 性质，所以 $f (T)$ 为Browder算子。因此 $T - μ_{1} I$ 为Browder算子，从而 $i n d (T - μ_{1} I) = 0$ ，与 $i n d (T - μ_{1} I) = - n < 0$ 矛盾。因此（2）中必有一种包含关系成立。

对于（3），设 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，可断言 $i s o σ (T) = σ_{0} (T)$ 。事实上，只需证明 $i s o σ (T) \subseteq σ_{0} (T)$ 。由于 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，取 $λ_{1} \in σ_{0} (T)$ ， $λ_{2} \in i s o σ (T)$ 。令 $σ_{1} = {λ_{1}}$ ， $σ_{2} = {λ_{2}}$ ，且 $σ_{3} = σ (T) \ {λ_{1}, λ_{2}}$ ，则 $T$ 可表示为^［9］

T = (\begin{matrix} T_{1} & 0 & 0 \\ 0 & T_{2} & 0 \\ 0 & 0 & T_{3} \end{matrix}),

其中， $σ (T_{i})$ = $σ_{i}$ ，i=1，2，3。令 $f_{0} (T) = (T - λ_{1} I) \times$ $(T - λ_{2} I)$ ，则

f_{0} (T) = (\begin{matrix} f_{0} (T_{1}) & 0 & 0 \\ 0 & f_{0} (T_{2}) & 0 \\ 0 & 0 & f_{0} (T_{3}) \end{matrix}),

其中， $σ (f_{0} (T_{1})) = σ (f_{0} (T_{2})) = {0}$ 且 $0 \notin$ $σ (f_{0} (T_{3}))$ 。因此 $0 \in i s o σ (f_{0} (T))$ ，又因为 $n (T - λ_{1} I) > 0$ ，所以 $n (f_{0} (T)) = n (T - λ_{1} I) + n (T - λ_{2} I) > 0$ ，这说明 $0 \in E (f_{0} (T))$ 。由于 $f_{0} (T)$ 满足 $(W_{E})$ 性质，所以 $f_{0} (T)$ 为Browder算子，从而 $T - λ_{2} I$ 为Browder算子，故 $λ_{2} \in σ_{0} (T)$ 。因此 $i s o σ (T) = σ_{0} (T)$ ，即 $T$ 为isoloid算子。由推论2，可知 $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃$ $a c c σ_{w} (T)$ 。

充分性。分2种情形证明。

情形1 $σ_{0} (T) = \emptyset$ 。

此时，因为 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质，所以 $σ (T) = σ_{w} (T)$ 且 $E (T) = \emptyset$ 。对任意的 $f \in H (T)$ ，由 $E (f (T)) \subseteq f (E (T))$ ，知 $E (f (T)) = \emptyset$ ，故只需证明 $σ (f (T)) = σ_{w} (f (T))$ 。

若 $ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C :$ $d (T -$ $λ I) = \infty}$ ，则对任意的 $λ \in ρ_{e} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) \geq 0$ 。任取 $μ_{0} \in C$ ，使得 $f (T) - μ_{0} I$ 为Weyl算子。下证 $f (T) - μ_{0} I$ 是可逆的。

设 $f (T) - μ_{0} I = (T - λ_{1} {I)}^{n_{1}} (T - λ_{2} {I)}^{n_{2}} \dots (T - λ_{t} {I)}^{n_{t}} g (T)$ ，其中 $λ_{i} \neq λ_{j}$ （ $i \neq j$ ），且 $g (T)$ 为可逆算子，则 $T - λ_{i} I$ 为Fredholm算子，且 $\sum_{i = 1}^{t} n_{i} i n d (T - λ_{i} I) = 0$ 。因为 $i n d (T - λ_{i} I) \geq 0 ， 1 \leq i \leq t$ ，所以 $i n d (T - λ_{i} I) = 0 ， 1 \leq i \leq t$ 。结合 $σ (T) = σ_{w} (T)$ ，知 $T - λ_{i} I$ 是可逆的（ $1 \leq i \leq t$ ），故 $f (T) - μ_{0} I$ 是可逆的。若 $ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃ a c c {λ \in$ $C : n (T - λ I) < d (T - λ I)}$ ，则对任意的 $λ \in ρ_{e} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) \leq 0$ 。类似地，可得 $σ (f (T)) = σ_{w} (f (T))$ 。

情形2 $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃$ $a c c σ_{w} (T)$ 。

此时，由 $i s o σ (T) ⋂ {[σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃$ $a c c σ_{w} (T)} = \emptyset$ ，知 $i s o σ (T) ⋂ σ_{b} (T) = \emptyset$ ，从而 $i s o σ (T) = σ_{0} (T)$ 。对任意的 $f \in H (T)$ ，类似于情形1的证明，当 $ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃$ $a c c {λ \in$ $C : d (T - λ I) = \infty}$ 或 $ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃$ $a c c {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)}$ 时，对任意的 $λ, μ \in ρ_{e} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) i n d (T - μ I) \geq 0$ 。

设 $μ_{0} \in σ (f (T)) \ σ_{w} (f (T))$ ， $f (T) - μ_{0} I = (T - λ_{1} {I)}^{n_{1}} (T - λ_{2} {I)}^{n_{2}} \dots (T - λ_{t} {I)}^{n_{t}} g (T)$ ，其中 $λ_{i} \neq$ $λ_{j}$ （ $i \neq j$ ），且 $g (T)$ 为可逆算子，则 $T - λ_{i} I$ 为Fredholm算子，且 $\sum_{i = 1}^{t} n_{i} i n d (T - λ_{i} I) = 0$ 。当 $1 \leq i, j \leq t$ 时， $i n d (T - λ_{i} I) i n d (T - λ_{j} I) \geq 0$ ，所以 $i n d (T -$ $λ_{i} I) = 0 ， 1 \leq i \leq t$ 。结合条件“ $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质”，可知 $T - λ_{i} I$ 为Browder算子，则 $f (T) - μ_{0} I$ 为Browder算子，从而 $μ_{0} \in E (f (T))$ 。

对另一种包含关系，假设 $μ_{0} \in E (f (T))$ ， $f (T) - μ_{0} I = (T - λ_{1} {I)}^{n_{1}} (T - λ_{2} {I)}^{n_{2}} \dots (T - λ_{t} {I)}^{n_{t}} \times g (T)$ ，其中 $λ_{i} \neq λ_{j}$ （ $i \neq j$ ），且 $g (T)$ 为可逆算子。不失一般性，假设 $λ_{i} \in σ (T)$ ， $1 \leq i \leq t$ ，则 $λ_{i} \in i s o σ (T) =$ $σ_{0} (T)$ ，从而 $μ_{0} \in σ (f (T)) \ σ_{w} (f (T))$ 。

综上， $对任意的 f \in H (T) ， f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质。

由定理2的证明过程，可知若 $T$ 为isoloid算子或 $σ_{0} (T) = \emptyset$ ，则对任意的 $f \in H (T) ， f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质当且仅当（1）与（2）成立。

当 $T$ 为isoloid算子时，可得：

推论3 设 $T \in B (H)$ ，则 $T$ 为isoloid算子且对任 $意的 f \in H (T)$ ， $f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质当且仅当下列条件之一成立：

（1） $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃$ $a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}$ ；

（2） $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃$ $a c c {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)}$ 。

证明必要性。由定理2，知 $ρ_{τ} (T) \subseteq$ $ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}$ 或 $ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃ a c c {λ \in C : n (T - λ I) <$ $d (T - λ I)}$ 。如果 $ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃$ $a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}$ ，则对任意的 $λ \in ρ_{e} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) \geq 0$ ，则 $a c c σ_{w} (T) = a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}$ ，根据推论2，当 $T$ 为isoloid算子且满足 $(W_{E})$ 性质时， $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ a c c σ_{w} (T)$ ，所以 $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in$ $C : d (T -$ $λ I) = \infty}$ 。如果 $ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃$ $a c c {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)}$ ，则对任意的 $λ \in ρ_{e} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) \leq 0$ ，则 $a c c σ_{w} (T) = a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃ a c c {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)}$ 。同理，可证得 $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃$ $a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃ a c c {λ \in C : n (T - λ I) <$ $d (T - λ I)}$ 。

充分性。若（1）成立，由于 $i s o σ (T) ⋂$ ${[σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}} = \emptyset$ ，则 $i s o σ (T) ⋂ σ_{b} (T) = \emptyset$ ，于是 $i s o σ (T) \subseteq ρ_{b} (T)$ ，故对任意的 $λ \in i s o σ (T)$ ，有 $n (T - λ I) > 0$ ，即 $T$ 为isoloid算子。因为｛ $[σ (T) \ σ_{w} (T)] ⋃ E (T)} ⋂ {[σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃$ $a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}} = \emptyset$ ，所以｛ $[σ (T) \ σ_{w} (T)] ⋃ E (T)} ⋂ σ_{b} (T) = \emptyset$ ，可得 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质。显然，对任意的 $λ \in ρ_{e} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) \geq 0$ ，所以 $ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}$ 。由定理2，对任意的 $f \in H (T) ，$ $f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质。同理可证，若（2）成立，结论仍成立。

在推论3中，条件“ $T$ 为isoloid算子”是本质的。如定义算子 $T \in B (l^{2})$ 为 $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2} / 2, x_{3} / 3, \dots)$ ，可验证 $T$ 满足定理2中的3个条件，则对任意的 $f \in H (T) ， f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质，但 $T$ 不是isoloid算子，经计算， $σ (T)$ = $σ_{b} (T) = {0}$ ，故推论3中的（1）和（2）均不成立。

如果将条件“ $T$ 为isoloid算子”去掉，则满足“对任意的 $f \in H (T) ， f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质”的 $σ_{b} (T)$ 的分解又如何呢？分4种情形证明。

情形1 $σ_{0} (T) = \emptyset$ ，对任意的 $λ \in ρ_{e} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) \geq 0$ ，且对任意的 $f \in H (T) ， f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质 $\Leftrightarrow σ (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃$ $a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty} ⋃$ ${λ \in σ_{e} (T) : n (T - λ I) = 0}$ 。

必要性。根据条件， $σ (T) = σ_{b} (T)$ ， $a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty} = a c c σ_{w} (T)$ 。断言 ${λ \in σ_{e} (T) : n (T - λ I) = 0} = {λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0}$ 。事实上，只需证明 ${λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0} \subseteq {λ \in σ_{e} (T) : n (T - λ I) = 0}$ 。对任意的 $μ \in {λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0}$ ，若 $d (T - μ I) < \infty$ ，则 $T - μ I$ 为Fredholm算子。由 $i n d (T - μ I) \geq 0$ ，知 $T - μ I$ 可逆，与 $μ \in σ (T)$ 矛盾，故 $d (T - μ I) = \infty$ ，即 $μ \in σ_{e} (T)$ 。结合定理1，可知 $σ (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty} ⋃ {λ \in σ_{e} (T) : n (T - λ I) = 0}$ 。

充分性。由｛ $[σ (T) \ σ_{w} (T)] ⋃ E (T)} ⋂$ ${[σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C :$ $d (T - λ I) = \infty} ⋃ {λ \in σ_{e} (T) : n (T - λ I) = 0}} =$ $\emptyset$ ，知｛ $[σ (T) \ σ_{w} (T)] ⋃ E (T)} ⋂ σ (T) = \emptyset$ ，于是 $σ (T) = σ_{w} (T)$ ， $E (T) = \emptyset$ ，即 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质。显然，对任意的 $λ \in ρ_{e} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) \geq 0$ 。又 $σ_{0} (T) ⋂ {[σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in$ $C : d (T - λ I) = \infty} ⋃ {λ \in σ_{e} (T) : n (T - λ I) = 0}} = \emptyset$ ，所以 $σ_{0} (T) ⋂ σ (T) = \emptyset$ 。同时，由定理2，可知对任意的 $f \in H (T) ， f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质。

情形2 $σ_{0} (T) = \emptyset$ ，对任意的 $λ \in ρ_{e} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) \leq 0$ ，且对任意的 $f \in H (T) ， f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质 $\Leftrightarrow σ (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃$ $a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃ a c c {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃$ ${λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0}$ 。

情形2的证明同情形1。

情形3 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，对任意的 $λ \in ρ_{e} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) \geq 0$ ，且对任意的 $f \in H (T) ， f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质 $\Leftrightarrow σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃$ $a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}$ 。

情形4 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，对任意的 $λ \in ρ_{e} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) \leq 0$ ，且对任意的 $f \in H (T) ， f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质 $\Leftrightarrow σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃$ $a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃ a c c {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)}$ 。

由定理2的证明和推论3，易证得情形3和情形4。

最终，得到算子函数满足 $(W_{E})$ 性质的等价刻画：

推论4 设 $T \in B (H)$ ，则对任意的 $f \in H (T)$ ， $f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质当且仅当下列条件之一成立：

（1） $σ (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃$ $a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty} ⋃ {λ \in σ_{e} (T) :$ $n (T - λ I) = 0}$ ；

（2） $σ (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃$ $a c c {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ {λ \in σ (T) :$ $n (T - λ I) = 0}$ ；

（3） $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃$ $a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}$ ；

（4） $σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃$ $a c c {λ \in C : n (T - λ I) < d (T - λ I)}$ 。

下面讨论一类特殊算子的 $(W_{E})$ 性质。

若存在算子 $S \in B (H)$ 及 $n \in N$ ，使得

T S = S T, S T S = S, T^{n} S T = T^{n},

则称 $T \in B (H)$ 为Drazin可逆算子，其中，称 $S$ 为 $T$ 的Drazin逆。下面讨论Drazin可逆算子与其Drazin逆的 $(W_{E})$ 性质之间的关系。

根据文献［10］， $T$ 为Drazin可逆算子当且仅当存在两个闭的不变子空间 $X, Y$ ，使得 $H = X \oplus Y$ ，且 $T$ 可分解为 $T = T_{1} \oplus T_{2}$ ，其中 $T_{1} = T |_{X}$ 为幂零算子， $T_{2} = T |_{Y}$ 为可逆算子，从而 $S = 0 \oplus S_{2}$ ，其中 $S_{2} = T_{2}^{- 1}$ 。因此 $S$ 也为Drazin可逆算子，其Drazin逆为 $U = T^{2} S = T S T$ ，而算子 $U$ 也为Drazin可逆算子，其Drazin 逆为算子 $T$ 。特别地，若 $T$ 可逆，则 $S = T^{- 1}$ ，且 $0 \in σ (T)$ 当且仅当 $0 \in σ (S)$ 。

另外，文献［11-14］利用算子 $T$ 和 $S$ 的分解，研究了Drazin可逆算子谱的性质，得到

σ (S) \ {0} = {1 / λ : λ \in σ (T)}

，

σ_{w} (S) \ {0} = \{1 / λ : λ \in σ_{w} (T)\} ，

σ_{e a} (S) \ \{0\} = \{1 / λ : λ \in σ_{e a} (T)\} ，

σ_{b} (S) \ \{0\} = \{1 / λ : λ \in σ_{b} (T)\} ，

σ_{τ} (S) \ {0} = \{1 / λ : λ \in σ_{τ} (T)\}

，

且可证当 $λ \neq$ 0时， $n (S - λ I) = n (T - I / λ)$ 且 $d (S - λ I) = d (T - I / λ)$ 。根据 $T$ 与 $S$ 的各谱集之间的关系，也可证 $a c c σ_{e a} (S) = a c c \{1 / λ : λ \in σ_{e a} (T)\} ，$ $a c c {λ \in C :$ $d (S - λ I) = \infty} =$ $a c c \{1 / λ : d (T - I / λ) = \infty\}$ 。

定理3 设 $T \in B (H)$ 为Drazin可逆算子，其Drazin逆为 $S$ ，则

（1） $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质当且仅当 $S$ 满足 $(W_{E})$ 性质；

（2）对任意的 $f \in H (T)$ ， $f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质当且仅当对任意的 $g \in H (S) ， g (S)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质。

证明（1）必要性。假设 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质，由定理1，知只需证明 $σ_{b} (S) = [σ_{τ} (S) ⋂ a c c σ (S)] ⋃ {λ \in$ $σ (S) : n (S - λ I) = 0} ⋃ a c c σ_{w} (S)$ 。任取 $μ \notin [σ_{τ} (S) ⋂$ $a c c σ (S)] \cup {λ \in σ (S) : n (S - λ I) = 0} ⋃ a c c σ_{w} (S)$ 。由 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质以及 $T$ 为Drazin可逆，知 $T$ 为Browder算子，从而 $S$ 也为Browder算子。不妨设 $μ \neq 0$ 。由 $T$ 与 $S$ 各谱集之间的关系，可知 $1 / μ \notin$ $[σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ {λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃$ $a c c σ_{w} (T)$ ，则 $1 / μ \notin σ_{b} (T)$ ，从而 $μ \notin σ_{b} (S)$ 。反包含显然成立，故 $σ_{b} (S) = [σ_{τ} (S) ⋂ a c c σ (S)] ⋃ {λ \in$ $σ (S) : n (S - λ I) = 0} ⋃ a c c σ_{w} (S)$ 。

充分性。若 $S$ 满足 $(W_{E})$ 性质，因为 $S$ 的Drazin逆为 $T^{2} S$ ， $T^{2} S$ 的Drazin逆为 $T$ ，所以 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质。

（2）必要性。只需证明算子 $S$ 满足定理2（3）。

由（1）可知，当 $T$ 满足 $(W_{E})$ 性质时，S满足 $(W_{E})$ 性质。因此， $T$ 与 $S$ 均为Browder算子。

若 $ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}$ ，可断言 $ρ_{τ} (S) \subseteq ρ_{b} (S) ⋃$ $a c c σ_{e a} (S) ⋃ a c c {λ \in C : d (S - λ I) = \infty}$ 。事实上，任取 $μ \in$ $ρ_{τ} (S) \ [a c c σ_{e a} (S) ⋃ a c c {λ \in C : d (S - λ I) = \infty}]$ ，不妨设 $μ \neq 0$ ，由 $μ \in ρ_{τ} (S)$ ，知 $1 / μ \in$ $ρ_{τ} (T)$ ，所以 $1 / μ \in ρ_{b} (T) \ [a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) =$ $\infty}]$ ，故 $μ \in ρ_{b} (S)$ 。

若 $ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{S F_{+}} (T) ⋃ a c c {λ \in C :$ $n (T - λ I) < d (T - λ I)}$ ，同理，包含关系成立，即 $ρ_{τ} (S) \subseteq ρ_{b} (S) ⋃ a c c σ_{S F_{+}} (S) ⋃ a c c {λ \in C : n (S - λ I) <$ $d (S - λ I)}$ 。

当 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ 时， $σ_{0} (S) \neq \emptyset$ ，于是可证 $i s o σ (S) = σ_{0} (S)$ ，即 $S$ 为isoloid算子。又 $S$ 满足 $(W_{E})$ 性质，由推论2，可知 $σ_{b} (S) = [σ_{τ} (S) ⋂$ $a c c σ (S)] ⋃ a c c σ_{w} (S)$ 。

综上，根据定理2，对任意的 $g \in H (S)$ ， $g (S)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质。

充分性。类似于（1）的充分性证明，可证得对任意的 $f \in H (T) ， f (T)$ 均满足 $(W_{E})$ 性质。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2023.05.005

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

WEYL

H V

$\ddot{U}$ ber beschr $\ddot{a}$ nkte quadratische Formen， deren differenz vollstetig ist

［J］. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo， 1909， 27（1）： 373-392. DOI：10.1007/BF03019655

[本文引用: 1]

[2]

X F

， HUANG

J J

， CHEN

Weylness of 2×2 operator matrices

［J］. Mathematische Nachrichten， 2018， 291（1）： 187-203. DOI：10.1002/mana. 201600424

[本文引用: 1]

[3]

DONG

， CAO

X H

， DAI

On Weyl's theorem for functions of operators

［J］. Acta Mathematica Sinica， 2019， 35（8）： 1367-1376. DOI：10.1007/s10114-019-7512-8

[4]

GUPTA

， KUMAR

Properties （BR） and （BgR） for bounded linear operators

［J］. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo， 2020， 69（2）： 601-611. DOI：10.1007/s12215-019-00422-3

[5]

AIENA

， TRIOLO

Weyl-type theorems on Banach spaces under compact perturbations

［J］. Mediterranean Journal of Mathematics， 2018， 15（3）： 1-18. DOI：10.1007/s00009-018-1176-y

[本文引用: 1]

[6]

BERKANI

， KACHAD

New Weyl-type theorems-Ⅰ

［J］. Functional Analysis， Approximation and Computation， 2012， 4（2）： 41-47.

[本文引用: 2]

[7]

REN

Y X

， JIANG

L N

， KONG

Y Y

Property $(W_{E})$ and topological uniform descent

［J］. Bulletin of the Belgian Mathematical Society-Simon Stevin， 2022， 29（1）： 1-17. DOI：10.36045/j.bbms.210413

[本文引用: 1]

[8]

GRABINER

Uniform ascent and descent of bounded operators

［J］. Journal of the Mathematical Society of Japan， 1982， 34（2）： 317-337. DOI：10. 2969/jmsj/03420317

[本文引用: 3]

[9]

HERRERO

D A

. Approximation of Hilbert Space Operators［M］. 2nd ed. Hasrlow： Pitman Advanced Publishing Program， 1989. DOI：10.1112/blms/7.1.49

[本文引用: 1]

[10]

MÜLLER

. Spectral Theory of Linear Operators and Spectral Systems on Banach Algebras［M］. Berlin： Birkhäuser Basel， 2003. DOI：10.1007/978-3-7643-8265-0

[本文引用: 1]

[11]

AIENA

， TRIOLO

Local spectral theory for Drazin invertible operators

［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2016， 435（1）： 414-424. DOI：10.1016/j.jmaa.2015.10.042

[本文引用: 1]

[12]

AIENA

， TRIOLO

Fredholm spectra and Weyl type theorems for Drazin invertible operators

［J］. Mediterranean Journal of Mathematics， 2016， 13（6）： 4385-4400. DOI：10.1007/s00009-016-0751-3

[13]

AIENA

. Fredholm and Local Spectral Theory Ⅱ， with Application to Weyl-Type Theorems［M］. Switzerland： Springer Cham， 2018. DOI：10.1007/978-3-030-02266-2

U ¨

ber beschr

a ¨

nkte quadratische Formen， deren differenz vollstetig ist

1909

... 有界线性算子的谱理论一直是算子理论中的热门课题.1909年，WEYL^［1］在检测Hilbert空间上自伴算子的谱时发现，自伴算子的Weyl谱恰由谱中的非有限重孤立特征值组成，并将其称为Weyl定理.之后，学者们对Weyl定理做了变形和推广，并获得了许多好的结果^［2-5］.BERKANI等^［6］定义了Weyl定理的一种新的变形，并称之为

(W_{E})

性质.REN等^［7］给出了有界线性算子及其函数满足

(W_{E})

性质的充要条件，并探讨了

(W_{E})

性质的摄动.本文将利用算子的拓扑一致降标性质，讨论有界线性算子及其函数的

(W_{E})

性质. ...

Weylness of 2×2 operator matrices

2018

(W_{E})

性质.REN等^［7］给出了有界线性算子及其函数满足

(W_{E})

性质的充要条件，并探讨了

(W_{E})

性质的摄动.本文将利用算子的拓扑一致降标性质，讨论有界线性算子及其函数的

(W_{E})

性质. ...

On Weyl's theorem for functions of operators

2019

Properties （BR） and （BgR） for bounded linear operators

2020

Weyl-type theorems on Banach spaces under compact perturbations

2018

(W_{E})

性质.REN等^［7］给出了有界线性算子及其函数满足

(W_{E})

性质的充要条件，并探讨了

(W_{E})

性质的摄动.本文将利用算子的拓扑一致降标性质，讨论有界线性算子及其函数的

(W_{E})

性质. ...

New Weyl-type theorems-Ⅰ

2012

(W_{E})

性质.REN等^［7］给出了有界线性算子及其函数满足

(W_{E})

性质的充要条件，并探讨了

(W_{E})

性质的摄动.本文将利用算子的拓扑一致降标性质，讨论有界线性算子及其函数的

(W_{E})

性质. ...

... 对

T \in B (H)

，如果

σ (T) \ σ_{w} (T) = E (T)

，则称

T

满足

(W_{E})

性质，

E (T) = {λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) > 0}

^［6］，若

λ_{0} \in σ (T) \ σ_{D} (T) = Π (T)

，则称

λ_{0}

为

T

的一个极点. ...

Property

(W E)

and topological uniform descent

2022

(W_{E})

性质.REN等^［7］给出了有界线性算子及其函数满足

(W_{E})

性质的充要条件，并探讨了

(W_{E})

性质的摄动.本文将利用算子的拓扑一致降标性质，讨论有界线性算子及其函数的

(W_{E})

性质. ...

Uniform ascent and descent of bounded operators

1982

... 由

‖ \cdot ‖_{n}

诱导的拓扑称为

R (T^{n})

上的算子值域拓扑.对任意的非负整数

n

，用

k_{n} (T)

表示由T诱导的向量空间从

R (T^{n}) / R (T^{n + 1})

到

R (T^{n + 1}) / R (T^{n + 2})

线性变换的零空间的维数.如果存在非负整数

d

，使得当

n \geq d

时，

k_{n} (T) = 0

且

R (T^{n})

在

R (T^{d})

的算子值域拓扑下都是闭的，则称

T

有拓扑一致降标.令

ρ_{τ} (T) = {λ \in C : T - λ I

有拓扑一致降标｝，记

σ_{τ} (T) = C \ ρ_{τ} (T)

，若

T

为半Fredholm算子，则

T

有拓扑一致降标；若

λ \in ρ_{τ} (T) ⋂ \partial σ (T)

，则

λ \in Π (T)

^［8］. ...

... 证明必要性.由定理1，知当

T

满足

(W_{E})

性质时，

σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ {λ \in σ (T) : n (T -

λ I) = 0} ⋃ a c c σ_{w} (T)

.因为

a c c σ_{w} (T) = i n t σ_{w} (T) ⋂

[\partial σ_{w} (T) ⋂ a c c σ_{w} (T)]

，可断言

\partial σ_{w} (T) ⋂

a c c σ_{w} (T) \subseteq

σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)

.事实上，对任意的

λ \in \partial σ_{w} (T) ⋂

a c c σ_{w} (T)

，

以及 λ

的任意空心邻域

B^{°} (λ; δ)

，都存在

λ_{0}

，使得

T - λ_{0} I

为Weyl算子.由于

T

满足

(W_{E})

性质，则

T - λ_{0} I

为Browder算子，从而

λ \in \partial σ (T)

.若

λ \in ρ_{τ} (T)

，则

λ \in ρ_{τ} (T) ⋂ \partial σ (T)

，所以

λ

是

T

的一个极点^［8］，进而

λ \in i s o σ (T)

，与

λ \in a c c σ_{w} (T)

矛盾，所以

λ \in σ_{τ} (T)

.显然，

\partial σ_{w} (T) ⋂ a c c σ_{w} (T) \subseteq a c c σ (T)

，所以

\partial σ_{w} (T) ⋂

a c c σ_{w} (T) \subseteq σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)

，断言得证.于是

σ_{b} (T) \subseteq [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ {λ \in

σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃ i n t σ_{w} (T)

，反包含成立，所以

σ_{b} (T) = [σ_{τ} (T) ⋂ a c c σ (T)] ⋃ {λ \in σ (T) :

n (T - λ I) = 0} ⋃ i n t σ_{w} (T)

. ...

... 假设（2）不成立，由包含关系

ρ_{τ} (T) \subseteq ρ_{b} (T) ⋃ a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}

不成立，知存在

λ_{1} \in ρ_{τ} (T)

，但

λ_{1} \notin ρ_{b} (T) ⋃

a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c {λ \in C : d (T - λ I) = \infty}

，于是当

| μ - λ_{1} | > 0

且充分小时

， T - μ I

为Fredholm算子且

i n d (T - μ I) \leq 0

.断言：在

λ_{1}

的任意空心邻域

B^{°} (λ_{1}; ε)

中，一定存在

μ_{1}

，使得

T - μ_{1} I

为Fredholm算子且

i n d (T - μ_{1} I) < 0

.事实上，若对任意的

μ \in B^{°} (λ_{1}; ε)

，

T - μ I

为Fredholm算子且

i n d (T - μ I) = 0

，由

T

满足

(W_{E})

性质，知

T - μ I

为Browder算子，则

λ_{1} \in \partial σ (T)

，由

λ_{1} \in ρ_{τ} (T)

，知

λ_{1} \in Π (T)

^［8］，可得

λ_{1} \in E (T)

.由于

T

满足

(W_{E})

性质，所以

λ_{1} \in ρ_{b} (T)

，与

λ_{1} \in σ_{b} (T)

矛盾.断言得证. ...

1989

... 对于（3），设

σ_{0} (T) \neq \emptyset

，可断言

i s o σ (T) = σ_{0} (T)

.事实上，只需证明

i s o σ (T) \subseteq σ_{0} (T)

.由于

σ_{0} (T) \neq \emptyset

，取

λ_{1} \in σ_{0} (T)

，

λ_{2} \in i s o σ (T)

.令

σ_{1} = {λ_{1}}

，

σ_{2} = {λ_{2}}

，且

σ_{3} = σ (T) \ {λ_{1}, λ_{2}}

，则

T

可表示为^［9］ ...

2003

... 根据文献［10］，

T

为Drazin可逆算子当且仅当存在两个闭的不变子空间

X, Y

，使得

H = X \oplus Y

，且

T

可分解为

T = T_{1} \oplus T_{2}

，其中

T_{1} = T |_{X}

为幂零算子，

T_{2} = T |_{Y}

为可逆算子，从而

S = 0 \oplus S_{2}

，其中

S_{2} = T_{2}^{- 1}

.因此

S

也为Drazin可逆算子，其Drazin逆为

U = T^{2} S = T S T

，而算子

U

也为Drazin可逆算子，其Drazin 逆为算子

T

.特别地，若

T

可逆，则

S = T^{- 1}

，且

0 \in σ (T)

当且仅当

0 \in σ (S)

. ...

Local spectral theory for Drazin invertible operators

2016

... 另外，文献［11-14］利用算子

T

和

S

的分解，研究了Drazin可逆算子谱的性质，得到 ...

Fredholm spectra and Weyl type theorems for Drazin invertible operators

2016

2018

〈

〉

有界线性算子的拓扑一致降标及(WE)性质

Topological uniform descent and property (WE) for bounded linear operators

1 预备知识

2 算子及其函数的(WE)性质

参考文献 View Option 原文顺序 文献年度倒序 文中引用次数倒序 被引期刊影响因子

有界线性算子的拓扑一致降标及 $(W E)$ 性质

Topological uniform descent and property $(W E)$ for bounded linear operators

1　预备知识

2　算子及其函数的 $(W_{E})$ 性质

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子