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图1 平行板电容器的扩展模型示意

Fig.1 Expansion model of parallel plate capacitor

1.2　相关结论

为给出电容的定义，先推导一些有用的结论。

（i）如果上、下两极板短路，则两极板间的电势差为0，即

u_{S} = \sum_{j = 1}^{n} [\frac{h_{j}}{ε_{0} ε_{r j}} (σ'_{2} + \sum_{i = 0}^{j - 1} σ_{i})] = 0

，（6）

下标S表示短路，下同。

由式（3）、式（4）和式（6），可得

σ'_{S 2} = - \frac{\sum_{j = 1}^{n} (\frac{h_{j}}{ε_{0} ε_{r j}} \sum_{i = 0}^{j - 1} σ_{i})}{\sum_{j = 1}^{n} (\frac{h_{j}}{ε_{0} ε_{r j}})}

，

σ'_{S 3} = \frac{\sum_{j = 1}^{n} (\frac{h_{j}}{ε_{0} ε_{r j}} \sum_{i = 0}^{j - 1} σ_{i})}{\sum_{j = 1}^{n} (\frac{h_{j}}{ε_{0} ε_{r j}})} - \sum_{i = 0}^{n} σ_{i}

。（7）

（ii）如果上、下两极板带电量均为0且开路，则有

σ'_{1} + σ'_{O 2} = σ'_{O 3} + σ'_{4} = 0

，（8）

下标O表示开路且电极电量为0，下同。由式（4）、式（5）和式（8），可得

σ'_{O 2} = σ'_{O 3} = - \sum_{i = 0}^{n} \frac{σ_{i}}{2}

，（9）

u_{O} = \sum_{j = 1}^{n} [\frac{h_{j}}{2 ε_{0} ε_{r j}} (\sum_{i = 0}^{j - 1} σ_{i} - \sum_{i = j}^{n} 2 σ_{i})]

。（10）

（iii）如果上、下两极板间电势差为u且开路，由式（5），可得

σ'_{u 2} = \frac{u - \sum_{j = 1}^{n} (\frac{h_{j}}{ε_{0} ε_{r j}} \sum_{i = 0}^{j - 1} σ_{i})}{\sum_{j = 1}^{n} (\frac{h_{j}}{ε_{0} ε_{r j}})}

，

σ'_{u 3} = \frac{\sum_{j = 1}^{n} (\frac{h_{j}}{ε_{0} ε_{r j}} \sum_{i = 0}^{j - 1} σ_{i}) - u}{\sum_{j = 1}^{n} (\frac{h_{j}}{ε_{0} ε_{r j}})} - \sum_{i = 0}^{n} σ_{i}

，（11）

下标u表示开路且上、下两极板间电势差为u。由式（6）~式（11），可知当上、下两极板间电势差为0时，极板带电量不为0；当上、下两极板电量均为0时，两极板的电势差不为0。显然，当电介质表面带电荷时，用式（1）定义电容器的电容是不合适的。

1.3　电容器的有效电量与电容

将式（7）代入式（11）且两边同乘以极板面积A，可得

q = C U

，（12）

其中，

\{\begin{array}{l} q = |(σ'_{u 2} - σ'_{S 2}) A| ， \\ C = \frac{A}{\sum_{j = 1}^{n} (\frac{h_{j}}{ε_{0} ε_{r j}})} ， \\ U = | u | 。 \end{array}

（13）

显而易见，式（12）与式（1）不但在形式上完全相同，而且电压U的定义相同、C的值也相等，但式（12）中的q与式（1）中的Q有差别。因此仍可定义C为电容器的电容，其仅与电容器的几何性质以及极板间的电介质有关，与电容器是否带电荷无关，与介质表面是否带电荷亦无关。可定义式（13）中的q为电容器的有效电量。注意到U为上、下两极板间的电势差，如果令 $u'$ 为下、上两极板间的电势差，则有 $u' = - u$ ，且有 $q = |(σ'_{u' 3} - σ'_{S 3}) A| = |(σ'_{u 2} - σ'_{S 2}) A|$ 。当电介质表面不带电荷时， $σ'_{1} = σ'_{4} = 0$ ， $σ'_{S 2} = 0$ ，由式（11）和式（13），可得此时的q即为单个极板所带电量的绝对值Q。

综上，当电介质表面带电荷时，电容C等于电容器的有效电荷量与两端电压的比，即

C = \frac{q}{U}

。（14）

1.4　电容器的储能

当电容器两端电压为0时无法对外提供电能，尽管此时极板带电荷，但没有储存能量。下面求当电容器两端电压为U时的储能。

假设初始时刻电容器电压为0，将正电荷从下极板连续地转移至上极板，最终使两端电压为U。在电量转移过程中，电压是关于时间t的函数，设任一时刻的电压为u（t），上极板所带有效电量为q（t），转移电量为dq，如图1（c）所示。在转移电量dq的过程中需要克服电压u（t）做功： $u (t) d q = C u d u$ ，在转移过程中克服电压所做的功即为电容器的储能：

W = \int_{0}^{U} C u d u = \frac{1}{2} C U^{2}

。（15）

将式（14）代入式（15），可得

W = \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{1}{2} q U = \frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C}

。（16）

可见，如果传统电容器中的极板带电量Q变为有效电量q，则电容器的储能公式亦与传统电容器储能公式完全相同。

2　TENG的电容理论

2.1　接触分离式TENG模型及原理

接触分离式TENG模型如图2所示。由上、下2个导体构成TENG的2个电极，导体表面附着不同材料的电介质薄膜。两极间距随时间周期性变化，使得上、下两极板不断接触和分离。对于TENG，要求两介质具有不同的得失电子倾向，即一种介质容易得电子、另一种介质容易失电子，2种介质在相互接触前不带电（图2状态I）。相互接触后令2种介质表面带上极性相反的电荷，多次接触后介质表面的带电量将达到饱和状态（图2状态II）。

图2

图2 接触分离式TENG模型

Fig.2 Contact-separation TENG model

电荷在状态II下，2种介质表面完全接触，介质表面的正负电荷距离无限小，此时2个极板的电势差接近0。在II→III→IV过程中，即两电极相互分离，下电极的电势将高于上电极电势，如果连接上、下两极，则外电路中将产生自下而上的电流。此过程使上电极带正电荷、下电极带等量负电荷。在IV→V→II过程中，如果两电极断开，则上电极的电势将高于下电极电势，因此外电路将产生自上而下的电流。如果上、下两电极不断接触分离，外电路将形成交变电流，此为TENG产生电流的基本原理。

TENG的原理亦可用电容理论进行定性解释^［9］。上、下电极构成一个电容器，其电容C如式（13）所示。当上、下两极运动时，电容是关于时间的函数C（t）。当电极带电不变时，电容变化，两电极的电压也会发生变化，外电路产生电流。TENG电荷的转移原理与目前很多TENG研究中的解释类似^［11-13］，但这样的解释仅在外电阻R=0时正确，对R不可忽略的情形，将在下文分析。

2.2　理论分析与数值计算

计算任意t时刻TENG电极上的电量、流过外电阻的瞬时电流，以及外电阻两端的电压。相关参数如图3所示，设电极和电介质面积均为A，2种电介质的厚度和相对介电常数分别为h₁，ε_r₁和h₂，ε_r₂，不失一般性，设上下两种介质接触后，上方介质得电子带负电，面电荷密度为－σ；下方介质失电子带正电，面电荷密度为σ。上、下电介质间距为h（t），上、下电极电荷面密度与电量分别为 $σ'_{1} (t)$ ，q₁（t）和 $σ'_{2} (t)$ ，q₂（t）。外电阻两端的瞬时电压及流过的瞬时电流分别为u（t）和i（t）。

图3

图3 接触分离式TENG任意时刻状态参数

Fig.3 State parameters of contact-separation TENG at any time

由式（4），可知2个电极的外表面所带电量均为0，且上、下两电极带等量异号电荷，因此可设

q (t) = q_{1} (t) = σ'_{1} (t) A

，

q (t) = - q_{2} (t) = - σ'_{2} (t) A

。（17）

由式（12），可得

\frac{h (t) σ A}{\frac{h_{1}}{ε_{r 1}} + \frac{h_{2}}{ε_{r 2}} + h (t)} - q (t) = \frac{A}{\frac{h_{1}}{ε_{0} ε_{r 1}} + \frac{h_{2}}{ε_{0} ε_{r 2}} + \frac{h (t)}{ε_{0}}} u (t)

。（18）

2.2.1　外电阻R≠0

将电流的定义i（t）=dq（t）/dt以及欧姆定律u（t）=i（t）R代入式（18），可得

\frac{d q (t)}{d t} + X (t) q (t) = Y (t)

，（19）

其中，

X (t) = \frac{h_{12} + h (t)}{ε_{0} R A}

，　

Y (t) = \frac{σ h (t)}{ε_{0} R}

，

h_{12} = \frac{h_{1}}{ε_{r 1}} + \frac{h_{2}}{ε_{r 2}}

。（20）

式（19）为非齐次线性微分方程，其解为

q (t) = c e^{- \int_{0}^{t} X (x) d x} + e^{- \int_{0}^{t} X (x) d x} \int_{0}^{t} [Y (y) e^{\int_{0}^{y} X (x) d x}] d y

，（21）

其中，c为积分常数。假设t=0时电极所带电量为0，即初始条件为q（0）=0，则积分常数c=0，将式（21）化为

q (t) = - A σ e^{\frac{- 1}{ε_{0} R A} [h_{12} t + \int_{0}^{t} h (x) d x]} + A σ - \frac{h_{12} σ}{ε_{0} R} \int_{0}^{t} e^{\frac{1}{ε_{0} R A} [h_{12} (y - t) + \int_{0}^{y} h (x) d x - \int_{0}^{t} h (x) d x]} d y

。（22）

分析式（22），可知其第1项在短时间内衰减为0，所以仅考虑t ≤15 ms无法体现TENG稳定后的输出特性。

由于h在0至某高度之间周期性变化，设 $h (t) = h_{0} (1 - c o s ω t)$ ，此式包含了初始条件h（0）=0，且0≤ h（t）≤ 2h₀，将式（22）化为

q (t) = - σ A e^{\frac{- 1}{ε_{0} ω R A} [ω (h_{12} + h_{0}) t - h_{0} s i n ω t]} + σ A - \frac{σ h_{12}}{ε_{0} R} \int_{0}^{t} e^{\frac{1}{ε_{0} ω R A} [ω (h_{12} + h_{0}) (y - t) - h_{0} (s i n ω y - s i n ω t)]} d y

。（23）

外电路的瞬时电流以及瞬时电压分别为

i (t) = \frac{d q}{d t} = \frac{σ [h_{12} + h_{0} (1 - c o s ω t)]}{ε_{0} R} \times e^{\frac{- 1}{ε_{0} ω R A} [ω (h_{12} + h_{0}) t - h_{0} s i n ω t]} - \frac{σ h_{12}}{ε_{0} R} + \frac{σ h_{12}}{ε_{0} R} \frac{[h_{12} + h (t)]}{ε_{0} R A} \times \int_{0}^{t} e^{\frac{1}{ε_{0} ω R A} [ω (h_{12} + h_{0}) (y - t) - h_{0} (s i n ω y - s i n ω t)]} d y

，（24）

\begin{array}{l} u (t) = R i (t) = σ \frac{[h_{12} + h_{0} (1 - c o s ω t)]}{ε_{0}} \times e^{\frac{- 1}{ε_{0} ω R A} [ω (h_{12} + h_{0}) t - h_{0} s i n ω t]} - \frac{σ h_{12}}{ε_{0}} + \\ \frac{σ h_{12}}{ε_{0}} \frac{[h_{12} + h (t)]}{ε_{0} R A} \times \\ \int_{0}^{t} e^{\frac{1}{ε_{0} ω R A} [ω (h_{12} + h_{0}) (y - t) - h_{0} (s i n ω y - s i n ω t)]} d y \end{array}

。（25）

由于式（23）~式（25）不可积分，下面将采用数值计算的方法研究TENG的输出。

设σ =10⁴ nC·m^-2，A=100 cm²，f = 2 Hz，ω = 2πf，h₀=5 mm，h₁= h₂= 30 μm，ε₁= 4，ε₂= 2，ε₀= 8.85×10^-12 F·m^-1，R = 10⁷Ω。利用Mathematica求数值解，并利用其结果作图，得到图4和图5。由于u（t）=i（t）R，电压曲线与电流曲线完全一致。从图4和图5中可看出，第1个周期（0.5 s）的输出与其后的输出明显不同。1个周期后，TENG的输出便可达到稳定状态，且电极上的最小电量不再为0。其原因在于式（23）~式（25）的第1项均为衰减项，在开始的短时间内不能忽略，但之后迅速衰减为0。所以文献［10］用初始15 ms内的结果描述TENG的输出是不合理的。此外，注意到式（21）第1项也为衰减项，因此初始时刻的q（0）可取任意值，不会影响TENG稳定后的输出结果。

图4

图4 当外电阻R=10⁷ Ω时TENG电极的电量

Fig.4 Electric charge for the electrode of TENG under external resistance R=10⁷ Ω

图5

图5 当外电阻R=10⁷ Ω时TENG的输出电流

Fig.5 Output current of TENG under external resistance R=10⁷ Ω

2.2.2　外电阻R=0

当外电阻R=0（即短路）时，瞬时电压u（t）恒为0，由式（18），可得

q (t) = \frac{A σ h (t)}{h_{12} + h (t)} = \frac{A σ h_{0} (1 - c o s ω t)}{h_{12} + h_{0} (1 - c o s ω t)}

，（26）

i (t) = \frac{d q}{d t} = \frac{ω A σ h_{0} h_{12} s i n ω t}{[h_{12} + h_{0} {(1 - c o s ω t)]}^{2}}

。（27）

对应的电量和输出电流随时间变化的情况如图6和图7所示。比较图4和图6，可知无论电阻R是否为0，电极上电量的最大值均接近100 nC，即接近绝缘介质表面所带的电量，但电极上电量的最小值有区别。因此一个周期转移的电量随电阻的增大而减小，进而导致输出电流随电阻的增大而减小。

图6

图6 当外电阻R=0时TENG电极的电量

Fig.6 Electric charge for the electrode of TENG under external resistance R=0

图7

图7 当外电阻R=0时TENG的输出电流

Fig.7 Output current of TENG under external resistance R=0

2.2.3　外电阻R→∞

当外电阻R→∞ （即外电路开路）时，上、下电极均无电荷转移，因此i=dq/dt=0。电极上所带电量由初始条件q（0）决定。由式（18），可得

u (t) = - \frac{q (0) h_{12}}{ε_{0} A} + \frac{σ A - q (0)}{ε_{0} A} h_{0} (1 - c o s ω t)

。（28）

通常情况下当TENG的电路开路时，q（0）=0，因此

u (t) = \frac{σ}{ε_{0}} h (t) = \frac{σ}{ε_{0}} h_{0} (1 - c o s ω t)

。（29）

电压u随时间变化的情况如图8所示。

由式（29）和图8，可知TENG的开路电压是平移的余弦函数，从图8中还可看出，开路电压很大，体现了TENG的高压特性。如前所述，当外电路接通时，TENG的电压为脉冲电压，与图5中的电流曲线相同。两者不同的原因在于TENG电介质表面的电荷量较少，电路接通时电量的快速转移导致电压快速变化。此外，如果q（0）≠0，由式（28），可知电压曲线仍是平移的余弦函数，但不一定恒大于0，其峰值亦会发生变化。

图8

图8 当外电路开路时TENG两端的电压

Fig.8 Open circuit voltage of TENG

3　不同外电阻时TENG的电荷转移

当外电阻R取不同值时，用Mathematica对式（23）进行数值计算，结果见图9。由图9的主图，可知当R无穷大（即开路）时，电荷无转移，极板上电量始终为0。当R有限时，TENG稳定后电极上电量的最大值均接近100 nC，即接近绝缘介质表面所带电量。但随着R的增大，TENG达到稳定状态所需的时间将增长，此外，电荷变化的振幅将减小。

由图9中的插图可分析TENG电荷转移的滞后性。由于计算中选择的频率为f =2 Hz、初始状态为h（0）=0，因此插图中红色虚线均表示TENG两极分离的高度h=0（即相互接触）时的情形。可见，当R=0，TENG两极接触时的电量最小，为0。随着R的增大，TENG电量的最小值出现在两极分离后，且R越大，分离所需时间越长（即分离越远）。

当TENG两极分离的高度h最大（完全分离）时，对应的时间为t=0.5n+0.25 （n为整数）。由图9知，当R较小或等于0、TENG两极完全分离时，电量达到最大值且不存在滞后效应。而当R较大时，TENG两极电量的最大值并未出现在h最大处，且具有一定的滞后效应。

图9

图9 不同外电阻R时TENG电极上的电量

主图为多周期的电量，插图为两极相互接触时的电量。

Fig.9 Electric charge for the electrode of TENG via different external resistance R

Electric charge in multiple periods for the main picture and for the illustration when the two poles touch eath other.

由上述分析可知，图2中关于接触分离式TENG的解释仅针对外电阻R=0的情况。当R≠0时，需对R较小和较大2种情况分别进行讨论，其电荷的分布及转移可由上述分析给出，电量转移示意见图10和图11。R较小时的情况如图10所示，状态II电极上的电荷量最小且不为0，状态IV电极上的电荷量最大且接近于电介质表面的电量；从状态II经过III到状态IV的过程中，电流自下而上，从状态IV经过V、VI、I到状态II的过程中，电流自上而下，两过程转移的电荷量相等但时间不同，所以此两过程的电流不等，此性质可从图5的电流曲线中得到体现。

图10

图10 当外电阻R较小时TENG的电量转移

Fig.10 Charge transfer of TENG when resistance R is small

R较大时的情况如图11所示，状态II电极上的电荷量最小（R越大，电量越大），状态V电极上的电荷量最大且接近电介质表面的电量；从状态II到状态V的过程中，电流自下而上，从状态V到状态II的过程中，电流自上而下。

图11

图11 当外电阻R较大时TENG的电量转移

Fig.11 Charge transfer of TENG when resistance R is large

以上详细分析了外电路电阻不为0时接触分离式TENG的电荷转移过程，该分析有助于深刻理解TENG的原理。

4　总结

分析了当电容器内的电介质表面带电荷时电容的定义及电容器储能，发现无论是电容的定义还是电容器储能，在形式上均与传统电容器相同，但需将电容器的带电量修正为有效电量。推导了接触分离式TENG的电输出函数，用数值计算结果绘图，得到了函数图像，发现TENG在初始较短时间的输出与达到稳定后的输出是不同的。最后讨论了当外电阻不能忽略时接触分离式TENG的电荷转移规律，此时电极上的电量相对迟后于电极位置，即电量具有一定的滞后性。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2023.04.001

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