一类-Hessian方程-允许解的唯一性和收敛性

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.04.005

一类 $k$ -Hessian方程 $k$ -允许解的唯一性和收敛性

何兴玥^,^,, 丁欢欢

西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州 730070

The uniqueness and convergence of $k$ -admissible solutions for a class of $k$ -Hessian equations

HE Xingyue^,^,, DING Huanhuan

College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China

收稿日期: 2022-09-19 修回日期: 2023-04-14 接受日期: 2023-04-17

基金资助:

西北师范大学研究生科研资助项目. 2021KYZZ01032. 2022KYZZ-S112

Received: 2022-09-19 Revised: 2023-04-14 Accepted: 2023-04-17

作者简介 About authors

何兴玥（1995—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-5750-3926，女，博士研究生，主要从事常微分方程动力系统研究，E-mail：hett199527@163.com. , E-mail：hett199527@163.com

摘要

首先，运用 $u_{0}$ -次线性定理，证明了一类耦合 $k$ -Hessian方程在超线性和次线性情形下，至多存在一个径向 $k$ -允许解；其次，用数值例子验证了径向 $k$ -允许解的唯一性；最后，运用单调迭代技巧，讨论了 $k$ -允许解的一致收敛性。

关键词： $k$ -Hessian方程 ; 径向 $k$ -允许解 ; $u 0$ -次线性定理 ; 单调迭代技巧

Abstract

A class of coupled $k$ -Hessian equations is considered. Firstly, by using the $u_{0}$ -sublinear theorem, it is proved that the equation has at most one radial $k$ -admissible solution under the super-linear and sub-linear conditions. The uniqueness of radial k-admissible solution is verified by a numerical example. Finally, by incorporate with the monotone iterative technique, the uniform convergence of the solution is also discussed.

Keywords： $k$ -Hessian equation ; radial $k$ -admissible solution ; $u 0$ -sublinear theorem ; monotone iterative technique

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本文引用格式

何兴玥, 丁欢欢. 一类 $k$ -Hessian方程 $k$ -允许解的唯一性和收敛性. 浙江大学学报(理学版)[J], 2023, 50(4): 424-428 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.04.005

HE Xingyue, DING Huanhuan. The uniqueness and convergence of $k$ -admissible solutions for a class of $k$ -Hessian equations. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2023, 50(4): 424-428 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.04.005

0　引言

一般地，假设 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{N}$ 为Hessian矩阵 $D^{2} u = \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i} \partial x_{j}}$ 的特征值， $λ (D^{2} u) = (λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{N})$ 为 $D^{2} u$ 的特征向量，则定义 $k$ -Hessian算子为

S_{k} (D^{2} u) = S_{k} (λ (D^{2} u)) = \sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} \leq N} λ_{i_{1}} λ_{i_{2}} \dots λ_{i_{k}}, k = 1,2, \dots, N,

即 $D^{2} u$ 的特征值的 $k$ -阶基本对称函数^［1-2］。显然， $S_{k} (λ (D^{2} u))$ 为二阶偏微分算子。特别地，当 $k = 1$ 时， $S_{k} (λ (D^{2} u))$ 为经典的Laplace算子 $Δ u$ ；当 $k = N$ 时， $S_{k} (λ (D^{2} u))$ 退化为一般的Monge-Ampère算子。关于这两类方程解的存在性研究，已有很多经典且有趣的结果，可参见文献［3-5］。

近年来，关于 $k$ -Hessian方程的研究广受关注，运用不同的方法和技巧，证明了解的存在性和渐近性等^［6-12］。如ZHANG^［8］采用上下解方法，研究了边界爆破 $k$ -Hessian方程

\begin{array}{l} S_{k} (D^{2} u) = H (x) u {(x)}^{p} > 0, x \in Ω, \\ u (x) = + \infty, x \in \partial Ω \end{array}

解的存在性，其中 $Ω \subset R^{N} (N \geq 2)$ 为光滑有界的严格凸域，权函数 $H (x)$ 在 $\partial Ω$ 处是无界的。ESCUDERO等 $^{[9]}$ 建立了 $k$ -Hessian方程

Δ^{2} u = {(- 1)}^{k} S_{k} (D^{2} u) + λ f (x), x \in B_{1} (0) \subset R^{N}

径向解的存在性理论，证明了 $λ$ 的可解集是有限的，并给出了其极值的显式界。WEI $^{[10]}$ 采用Pohozaev型恒等式和单调分离技术，研究了 $k$ -Hessian方程

S_{k} (D^{2} u) = f (- u), x \in B_{R}, u = 0, x \in \partial B_{R}

径向解的唯一性。HU等 $^{[5]}$ 研究了Monge-Ampère方程：

\{\begin{array}{l} {(u^{'} {(r)}^{n})}^{'} = λ n r^{n - 1} f (- u (r)), 0 < r < 1, \\ u^{'} (0) = 0, u (1) = 0 \end{array}

径向解的存在性和收敛性，其中 $n \geq 1$ 为空间维数。然而，目前较少研究涉及 $k$ -Hessian方程径向 $k$ -允许解的唯一性和收敛性。受已有研究的启发，本文尝试在超线性和次线性情形下，研究 $k$ -Hessian方程：

\{\begin{array}{l} S_{k} (λ (D^{2} u)) = f_{1} (x, - v (x)), x \in B, \\ S_{k} (λ (D^{2} v)) = f_{2} (x, - u (x)), x \in B, \\ u (x) = v (x) = 0, x \in \partial B \end{array}

（1）

径向 $k$ -允许解的唯一性，其中 $B \subset R^{N}$ 为单位球， $k = 1,2, \dots, N,$ $f_{i} (i = 1,2)$ 满足

（H） $f_{i} : [0,1] \times [0, \infty) \to [0, \infty) (i = 1,2)$ 连续且关于第2个变量非减。

同时，尝试采用单调迭代技巧，讨论径向 $k$ -允许解的收敛性。

1　预备知识

令 $r = \sqrt[]{\sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{2}} < 1$ ，假设 $v (r) \in C^{2} [0,1)$ 是径向对称的，且满足 $v^{'} (0) = 0,$ 则当径向函数 $u (| x |) = v (r)$ 时， $k$ -Hessian算子为

S_{k} (D^{2} u) = \{\begin{array}{l} C_{N - 1}^{k - 1} (- u)'' (r) {[(- u)' (r) / r]}^{k - 1} + \\ C_{N - 1}^{k} {[(- u)' (r) / r]}^{k}, 0 < r < 1, \\ C_{N}^{k} [(- u {(0))'']}^{k} = 0, r = 0 。 \end{array}

将式（1）转化为

\{\begin{array}{l} C_{N - 1}^{k - 1} (- u)'' (r) {[(- u)' (r) / r]}^{k - 1} + \\ C_{N - 1}^{k} {[(- u)' (r) / r]}^{k} = f_{1} (r, v), 0 < r < 1, \\ C_{N - 1}^{k - 1} (- v)'' (r) {[(- v)' (r) / r]}^{k - 1} + \\ C_{N - 1}^{k} {[(- v)' (r) / r]}^{k} = f_{2} (r, u), 0 < r < 1, \\ u' (0) = v' (0) = 0, u' (1) = v' (1) = 0 。 \end{array}

（2）

令 $X : = C [0,1] \times C [0,1]$ 是Banach空间，其范数为 $‖(u, v)‖ = ‖u‖ + ‖v‖$ ，其中 $‖u‖ = \underset{0 \leq r \leq 1}{s u p} u (r),$ $‖v‖ = \underset{0 \leq r \leq 1}{s u p} v (r) 。$ 令

K : = \{(u, v) \in X : u (r) \geq 0, v (r) \geq 0, r \in [0,1] ； \underset{\frac{1}{4} \leq r \leq \frac{3}{4}}{m i n} u (r) \geq \frac{1}{4} ‖u‖ ； \underset{\frac{1}{4} \leq r \leq \frac{3}{4}}{m i n} v (r) \geq \frac{1}{4} ‖v‖\}

为 $X$ 中的一个子锥，定义 $Ω_{r} = ｛ (u, v) \in K : ‖(u, v)‖ < r ｝，$ 则 $\partial Ω_{r} = ｛ (u, v) \in K : ‖(u, v)‖ = r ｝$ 。令 $T : K \to X$ 为带有 $(T_{1}, T_{2})$ 分量的映射， $T_{1}, T_{2}$ 的定义为

T_{1} (u, v) (r) = \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} f_{1} (s, v (s)) d s]}^{\frac{1}{k}} d t, r \in [0,1],

T_{2} (u, v) (r) = \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} f_{2} (s, u (s)) d s]}^{\frac{1}{k}} d t, r \in [0,1] 。

显然，对于 $i = 1,2,$ 算子 $T_{i} : X \to X$ 是全连续的，故 $T$ 是全连续算子。由此可得，式（2）等价于算子方程 $T (u, v) = (u, v) 。$ 事实上，如果 $(u, v) \in K$ 是 $T$ 的一个正不动点，则 $(- u, - v)$ 为式（1）的正径向 $k$ -允许解。反之，如果 $(u, v)$ 为式（1）的正径向 $k$ -允许解，则 $(- u, - v)$ 为 $T$ 在 $K$ 中的正不动点。

为得到主要结果，引入 $u_{0}$ -次线性定义和引理：

定义1^［5］设 $P$ 为实Banach空间中的锥，当存在正的 $u_{0} \in P$ 时，若算子 $A : P \to P$ 满足：

（i）对任意的 $x > 0$ ，存在依赖于 $x$ 的常数 $θ_{1} ， θ_{2} > 0$ ，使得 $θ_{1} u_{0} \leq A x \leq θ_{2} u_{0};$

（ii）对任意的 $θ_{1} u_{0} \leq x \leq θ_{2} u_{0}$ 和 $0 < t < 1$ ，总存在正常数 $η$ ，使得 $A (t x) \geq (1 + η) t A x ，$ 则称算子 $A$ 为 $u_{0}$ -次线性的。

引理1^［5］单调递增的 $u_{0}$ -次线性算子 $A$ 至多存在一个正的不动点。

2　 $k$ -Hessian方程 $k$ -允许解的唯一性

总假设 $i = 1,2$ 。方便起见，记：

f_{i}^{0} = \underset{c \to 0^{+}}{l i m i n f} \underset{0 \leq τ \leq 1}{m i n} \frac{f_{i} (τ, c)}{c^{k}},

f_{i}^{\infty} = \underset{c \to \infty}{l i m s u p} \underset{0 \leq τ \leq 1}{m a x} \frac{f_{i} (τ, c)}{c^{k}} 。

定理1 假设条件（H）成立且 $f_{i}^{0} = 0, f_{i}^{\infty} = \infty$ ，则式（2）至多存在一个径向 $k$ -允许解。

证明令锥 $P = {(u, v) \in C [0,1], u (r) \geq 0, v (r) \geq 0, r \in [0,1]} \subset C [0,1]$ 。由 $T_{1}, T_{2}$ 的定义，知 $T_{1}, T_{2}$ 是由 $P$ 引出的单调递增算子。显然， $K \subset P$ 。由引理1，只需证明 $T$ 为 $u_{0}$ -次线性算子。分两步完成。

第1步宣称对任意的 $(u, v) \in P$ ，存在正常数 $θ_{1} ， θ_{2}$ ，使得 $θ_{1} u_{0} \leq T (u, v) \leq θ_{2} u_{0}$ 。令

\{\begin{array}{l} {\hat{f}}_{1} (r, v (r)) = \underset{0 \leq r \leq 1}{m a x} \{0 \leq v \leq r\}, \\ {\hat{f}}_{2} (r, u (r)) = \underset{0 \leq r \leq 1}{m a x} \{0 \leq u \leq r\} 。 \end{array}

（3）

因为 $f_{i}$ 是连续的，由 $f_{i}^{0}$ 的定义，知 ${\hat{f}}_{i}^{0} = f_{i}^{0} = 0$ 。选取充分小的常数 $r_{1} > 0$ ，使得

\{\begin{array}{l} {\hat{f}}_{1} (r_{1}, v (r_{1})) \leq {(ε v)}^{k}, v \leq r_{1}, \\ {\hat{f}}_{2} (r_{1}, u (r_{1})) \leq {(ε u)}^{k}, u \leq r_{1} ， \end{array}

（4）

则对任意的 $(u, v) \in \partial Ω_{r_{1}},$ 有

T (u, v) = \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} f_{1} (s, v (s)) d s]}^{\frac{1}{k}} d t + \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} f_{2} (s, u (s)) d s]}^{\frac{1}{k}} d t \leq \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} {\hat{f}}_{1} (r_{1}, v (r_{1})) d s]}^{\frac{1}{k}} d t + \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} {\hat{f}}_{2} (r_{1}, u (r_{1})) d s]}^{\frac{1}{k}} d t \leq \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} {(ε v)}^{k} d s]}^{\frac{1}{k}} d t + \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} {(ε u)}^{k} d s]}^{\frac{1}{k}} d t \leq ε ‖v + u‖ \int_{r}^{1} {(\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} d s)}^{\frac{1}{k}} d t \leq \frac{1}{2} ε r_{1} {(\frac{k}{N C_{N - 1}^{k - 1}})}^{\frac{1}{k}} (1 - r) 。

对任意的 $(u, v) \in P$ ，令

m_{i} = {[\frac{k}{c^{N - k}} \int_{0}^{c} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} f_{i} (s, \cdot) d s]}^{\frac{1}{k}},

$c \in (0,1)$ 为常数。因为 $T (u, v) (r)$ 关于 $r$ 递减且在 $r = 1$ 处不存在，因此，对任意的 $r \in [0, c],$ 有

\begin{array}{l} T (u, v) (r) = T_{1} (u, v) (r) + T_{2} (u, v) (r) \geq T_{1} (u, v) (c) + T_{2} (u, v) (c) \geq \int_{c}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} f_{1} (s, v (s)) d s]}^{\frac{1}{k}} d t + \int_{c}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} f_{2} (s, u (s)) d s]}^{\frac{1}{k}} d t \geq \\ m_{1} (1 - c) + m_{2} (1 - c) = (m_{1} + m_{2}) (1 - c) 。 \end{array}

进一步，因为 $f_{i}^{\infty} = \infty,$ 所以存在常数 $r_{2} > 1$ 和 $0 < δ < ε$ ，使得

\{\begin{array}{l} f_{1} (s, v (s)) \geq {(δ v)}^{k}, v \geq r_{2}, \\ f_{2} (s, u (s)) \geq {(δ u)}^{k}, u \geq r_{2} 。 \end{array}

（5）

令 $r_{3} \geq m a x \{2 r_{1}, \frac{1}{4} r_{2}\}$ ，则对任意的 $r \in [c, 1],$ $(u, v) \in K ⋂ \partial Ω_{r_{3}}$ ，有

u (r) \geq \frac{1}{4} ‖u‖ \geq r_{2}, v (r) \geq \frac{1}{4} ‖v‖ \geq r_{2} 。

结合式（5），可得

\begin{array}{l} T (u, v) = \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} f_{1} (s, v (s)) d s]}^{\frac{1}{k}} d t + \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} f_{2} (s, u (s)) d s]}^{\frac{1}{k}} d t \geq \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} {(δ v)}^{k} d s]}^{\frac{1}{k}} d t + \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} {(δ u)}^{k} d s]}^{\frac{1}{k}} d t \geq \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} {(\frac{1}{4} δ ‖v‖)}^{k} d s]}^{\frac{1}{k}} d t + \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} {(\frac{1}{4} δ ‖u‖)}^{k} d s]}^{\frac{1}{k}} d t \geq \frac{1}{4} δ ‖v‖ \int_{r}^{1} {(\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} d s)}^{\frac{1}{k}} d t + \frac{1}{4} δ ‖u‖ \int_{r}^{1} {(\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} d s)}^{\frac{1}{k}} d t \geq \\ \frac{1}{4} δ (‖v‖ + ‖u‖) \int_{r}^{1} {(\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} d s)}^{\frac{1}{k}} d t \geq \frac{1}{8} δ r_{3} {(\frac{k}{N C_{N - 1}^{k - 1}})}^{\frac{1}{k}} (1 - r) 。 \end{array}

取 $M = m i n \{(m_{1} + m_{2}), \frac{1}{8} δ r_{3} {(\frac{k}{N C_{N - 1}^{k - 1}})}^{\frac{1}{k}}\} ，$

则 $T (u, v) (r) \geq M (1 - c) (1 - r), r \in [0,1] 。$

令 $θ_{1} = M (1 - c),$ $θ_{2} = \frac{1}{2} ε r_{1} {(\frac{k}{N C_{N - 1}^{k - 1}})}^{\frac{1}{k}}$ 且 $u_{0} = 1 - r,$ 则 $θ_{1} u_{0} \leq T u \leq θ_{2} u_{0} 。$

第2步宣称对任意的 $u \in [θ_{1} u_{0}, θ_{2} u_{0}]$ 和 $ξ \in [0,1],$ 存在常数 $η > 0$ ，使得 $T (ξ u) \geq (1 + η) T ξ u 。$ 事实上，

T (ξ (u, v)) = \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} f_{1} (s, ξ v (s)) d s]}^{\frac{1}{k}} d t + \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} f_{2} (s, ξ u (s)) d s]}^{\frac{1}{k}} d t \geq \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} {(ξ δ v)}^{k} d s]}^{\frac{1}{k}} d t + \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} {(ξ δ u)}^{k} d s]}^{\frac{1}{k}} d t \geq \frac{δ}{ε} ξ \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} f_{1} (s, v (s)) d s]}^{\frac{1}{k}} d t + \frac{δ}{ε} ξ \int_{r}^{1} {[\frac{k}{t^{N - k}} \int_{0}^{t} \frac{s^{N - 1}}{C_{N - 1}^{k - 1}} f_{2} (s, u (s)) d s]}^{\frac{1}{k}} d t \geq \frac{δ}{ε} ξ T (u, v) 。

对任意的 $ξ \in [0,1],$ 存在常数 $η = η (r, u) > 0$ ，使得 $T (ξ (u, v)) \geq (1 + η) T ξ (u, v)$ ，故 $T$ 为 $u_{0}$ -次线性算子。进一步，由于 $f_{i} (r, c)$ 关于变量 $c$ 是非减的，所以 $T$ 是非减的。由引理1， $T$ 至多存在一个正的不动点，所以式（2）至多存在一个径向 $k$ -允许解。

类似于定理1，可得：

定理2 假设条件（H）成立且 $f_{i}^{0} = \infty, f_{i}^{\infty} = 0$ ，则式（2）至多存在一个径向 $k$ -允许解。

证明对定理1的证明做适当修改，便可证得，此证略。

例1 对式（3），取 $N = 4, k = 3$ ，考虑边值问题：

\{\begin{array}{l} 3 u'' (r) [u' {(r) / r]}^{2} + [u' {(r) / r]}^{3} = \\ f_{1} (r, - v), 0 < r < 1, \\ 3 v'' (r) [v' {(r) / r]}^{2} + [v' {(r) / r]}^{3} = \\ f_{2} (r, - u), 0 < r < 1, \end{array}

选取函数：

\begin{array}{l} f_{1} (r, v) = \{\begin{array}{l} v + s i n r, 0 \leq v \leq 1, \\ v^{5} + \sqrt[]{r}, v > 1 ， \end{array} \\ f_{2} (r, u) = \{\begin{array}{l} \sqrt[]{u} + s i n 2 r, 0 \leq u \leq 1, \\ u^{3} e^{u}, u > 1 ， \end{array} \end{array}

易得 $f_{i}$ 满足条件（H），且由计算可得：

\begin{array}{l} f_{1}^{0} = \underset{v \to 0^{+}}{l i m i n f} \underset{0 \leq r \leq 1}{m i n} \frac{v + s i n r}{v^{3}} = 0; \\ f_{2}^{0} = \underset{u \to 0^{+}}{l i m i n f} \underset{0 \leq r \leq 1}{m i n} \frac{\sqrt[]{u} + s i n 2 r}{v^{3}} = 0; \\ f_{1}^{\infty} = \underset{v \to 0^{+}}{l i m s u p} \underset{0 \leq r \leq 1}{m a x} \frac{v^{5} + \sqrt[]{r}}{v^{3}} = + \infty; \\ f_{2}^{\infty} = \underset{u \to 0^{+}}{l i m s u p} \underset{0 \leq r \leq 1}{m a x} \frac{u^{3} e^{u}}{u^{3}} = + \infty 。 \end{array}

这说明定理1成立，故式（2）至多存在一个径向 $k$ -允许解。

3　 $k$ -Hessian方程 $k$ -允许解的收敛性

定理3 假设算子 $T : E \to E$ 为单调递增的 $u_{0}$ -次线性算子，若 $T$ 存在不动点 $(x^{*}, y^{*}),$ 则对任意的 $(x_{0}, y_{0}) > 0,$ 序列 $(x_{n + 1}, y_{n + 1}) = T (x_{n}, y_{n})$ 收敛于 $(x^{*}, y^{*}),$ 即 $\underset{n \to \infty}{l i m} ‖(x_{n} - x^{*}, y_{n} - y^{*})‖ = 0 。$

证明令 $(u_{0}, v_{0}) = r_{1} (x^{*}, y^{*}), (u_{n + 1}, v_{n + 1}) = T (u_{n}, v_{n}),$ 其中 $r_{1} \in (0,1)$ 为任意常数，则

\begin{array}{l} r_{1} (x^{*}, y^{*}) = (u_{0}, v_{0}) \leq (u_{1}, v_{1}) \leq \\ (u_{2}, v_{2}) \leq \dots \leq (u_{n}, v_{n}) \leq \dots \leq (x^{*}, y^{*}) 。 \end{array}

定义序列 $0 < r_{1} = (φ_{0}, ψ_{0}) \leq (φ_{1}, ψ_{1}) \leq$ $(φ_{2}, ψ_{2}) \leq \dots \leq (φ_{n}, ψ_{n}) \leq \dots \leq 1$ ，则 $\underset{n \to \infty}{l i m} (φ_{n}, ψ_{n}) = 1 。$ 事实上，若 $\underset{n \to \infty}{l i m} (φ_{n}, ψ_{n}) = θ < 1,$ 则存在常数 $η > 0$ ，使得

\begin{array}{l} T (θ (x^{*}, y^{*})) \geq (1 + η) r T (x^{*}, y^{*}) = \\ (1 + η) r (x^{*}, y^{*}) 。 \end{array}

因此，对任意的 $0 < t \leq θ,$ 有

\begin{array}{l} T (r (x^{*}, y^{*})) \geq \frac{r}{θ} T (θ (x^{*}, y^{*})) \geq \\ (1 + η) r T (x^{*}, y^{*}) = (1 + η) r (x^{*}, y^{*}) 。 \end{array}

进一步，由于 $T$ 单调递增且

T (φ_{n} x^{*}, ψ_{n} y^{*}) \geq (1 + η) (φ_{n} x^{*}, ψ_{n} y^{*}),

故 $(u_{n + 1}, v_{n + 1}) = T (u_{n}, v_{n}) \geq T (φ_{n} x^{*}, ψ_{n} y^{*}) \geq$

(1 + η) (φ_{n} x^{*}, ψ_{n} y^{*}),

所以 $(φ_{n + 1}, ψ_{n + 1}) \geq (1 + η) (φ_{n}, ψ_{n})$ 且 $(φ_{n}, ψ_{n}) \geq {(1 + η)}^{n} (φ_{0}, ψ_{0}),$ 矛盾！故 $\underset{n \to \infty}{l i m} (φ_{n}, ψ_{n}) = 1$ 。

另取 $r_{2} > 1$ 且令

(ω_{0}, ϑ_{0}) = r_{2} (x^{*}, y^{*}),

(ω_{n + 1},

ϑ_{n + 1}) = T (ω_{n}, ϑ_{n})

，

则 $r_{2} (x^{*}, y^{*}) = (ω_{0}, ϑ_{0}) \geq (ω_{1}, ϑ_{1}) \geq$

(ω_{2}, ϑ_{2}) \geq \dots \geq (ω_{n}, ϑ_{n}) \geq \dots \geq (x^{*}, y^{*}) 。

定义序列 $(f_{n}, z_{n}) = i n f \{r | r (x^{*}, y^{*}) \geq (w_{n}, ϑ_{_{n}})\}$ ，则 $(ϕ_{n} x^{*}, ζ_{n} y^{*}) \geq (ω_{n}, ϑ_{_{n}})$ ，且

r_{2} = (ϕ_{0}, ζ_{0}) \geq (ϕ_{1}, ζ_{1}) \geq (ϕ_{2}, ζ_{2}) \geq \dots \geq (ϕ_{n}, ζ_{n}) \geq 1 。

类似地，宣称 $\underset{n \to \infty}{l i m} (ϕ_{n}, ζ_{n}) = 1 。$ 反之，若 $\underset{n \to \infty}{l i m} (ϕ_{n}, ζ_{n}) =$ $δ > 1,$ 则存在常数 $μ > 0$ ，使得

T (x^{*}, y^{*}) \geq \frac{1}{δ} T (δ (x^{*}, y^{*})) = \frac{1 + μ}{δ} T (δ (x^{*}, y^{*})),

即

T (δ (x^{*}, y^{*})) \leq \frac{δ}{1 + μ} T (x^{*}, y^{*}) = \frac{δ}{1 + μ} (x^{*}, y^{*}) 。

因此，对任意的 $r \geq δ,$ 有

T (δ (x^{*}, y^{*})) = T (\frac{δ}{r} r (x^{*}, y^{*})) \geq \frac{δ}{r} T (r (x^{*}, y^{*})),

T (r (x^{*}, y^{*})) \leq \frac{r}{δ} T (δ (x^{*}, y^{*})) (δ) \leq \frac{r (x^{*}, y^{*})}{1 + μ} 。

特别地，有 $T (ϕ_{n} x^{*}, ζ_{n} y^{*}) \leq \frac{(ϕ_{n} x^{*}, ζ_{n} y^{*})}{1 + μ} 。$

由 $(ω_{n}, ϑ_{n}) \leq (ϕ_{n} x^{*}, ζ_{n} y^{*})$ ，可知

(ω_{n + 1}, ϑ_{n + 1}) = T (ω_{n}, ϑ_{n}) \leq T (ϕ_{n} x^{*}, ζ_{n} y^{*}) \leq \frac{(ϕ_{n} x^{*}, ζ_{n} y^{*})}{1 + μ} ，

易得 $(ϕ_{n + 1}, ζ_{n + 1}) \leq \frac{(ϕ_{n}, ζ_{n})}{1 + μ}$ ， $(ϕ_{n}, ζ_{n}) \leq \frac{(ϕ_{0}, ζ_{0})}{{(1 + μ)}^{n}},$ 矛盾！故 $\underset{n \to \infty}{l i m} (ϕ_{n}, ζ_{n}) = 1$ 。

又因为 $T$ 是 $u_{0}$ -次线性的，故存在正常数 $α_{i}, β_{i} (i = 0,1)$ ，使得

α_{0} (u_{0}, v_{0}) \leq (x^{*}, y^{*}) = T (x^{*}, y^{*}) \leq β_{0} (u_{0}, v_{0})

，

α_{1} (u_{0}, v_{0}) \leq (x_{1}, y_{1}) = T (x_{1}, y_{1}) \leq β_{1} (u_{0}, v_{0}) 。

因此， $\frac{α_{1}}{β_{0}} (x^{*}, y^{*}) \leq (x_{1}, y_{1}) \leq \frac{β_{1}}{α_{0}} (x^{*}, y^{*}) 。$

取 $0 < r_{1} < m i n \{1, \frac{α_{1}}{β_{0}}\}$ 和 $r_{2} > m a x \{1, \frac{β_{1}}{α_{0}}\},$ 则

(u_{0}, v_{0}) \leq r_{1} (x^{*}, y^{*}) \leq (x_{1}, y_{1}) \leq r_{2} (x^{*}, y^{*}) = (ω_{0}, ϑ_{0}),

进一步，有

\begin{array}{l} (φ_{n} x^{*}, ψ_{n} y^{*}) \leq (u_{n}, v_{n}) \leq (x_{n + 1}, y_{n + 1}) \leq \\ (ω_{n}, ϑ_{n}) \leq (φ_{n} x^{*}, ψ_{n} y^{*}) ， \end{array}

所以 $[(φ_{n}, ψ_{n}) - (1,1)] β_{0} (u_{0}, v_{0}) \leq$

\begin{array}{l} [(φ_{n}, ψ_{n}) - (1,1)] (x^{*}, y^{*}) \leq \\ (x_{n + 1}, y_{n + 1}) - (x^{*}, y^{*}) \leq \\ [(ϕ_{n}, ζ_{n}) - (1,1)] (x^{*}, y^{*}) \leq \\ [(ϕ_{n}, ζ_{n}) - (1,1)] β_{0} (u_{0}, v_{0}) ， \end{array}

可得 $0 \leq [(x_{n + 1}, y_{n + 1}) - (x^{*}, y^{*})] +$

\begin{array}{l} [(1,1) - (φ_{n}, ψ_{n})] β_{0} (u_{0}, v_{0}) \leq \\ [(ϕ_{n}, ζ_{n}) - (1,1)] β_{0} (u_{0}, v_{0}) + \\ [(1,1) - (φ_{n}, ψ_{n})] β_{0} (u_{0}, v_{0}) 。 \end{array}

因为 $E$ 是实锥，故存在常数 $ρ > 0$ ，使得对任意的 $0 \leq (x, y) \leq (\bar{x}, \bar{y})$ ，有 $‖(x, y)‖ \leq ρ ‖(\bar{x}, \bar{y})‖ 。$ 进一步，有

\begin{array}{l} ‖(x_{n + 1}, y_{n + 1}) - (x^{*}, y^{*})‖ \leq | | (x_{n + 1}, y_{n + 1}) - (x^{*}, y^{*}) + [(1,1) - (φ_{n}, ψ_{n})] β_{0} (u_{0}, v_{0}) | | + ‖[(1,1) - (φ_{n}, ψ_{n})] β_{0} (u_{0}, v_{0})‖ \leq ρ ‖[(φ_{n}, ζ_{n}) - (1,1)] β_{0} (u_{0}, v_{0})‖ + \\ (ρ + 1) ‖[(1,1) - (φ_{n}, ψ_{n})] β_{0} (u_{0}, v_{0})‖, \end{array}

所以 $\underset{n \to \infty}{l i m} ‖(x_{n}, y_{n}) - (x^{*} y^{*})‖ = 0 。$

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2023.04.005

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[本文引用: 1]

Hessian measures

1997

... 即

D^{2} u

的特征值的

k

-阶基本对称函数^［1-2］.显然，

S_{k} (λ (D^{2} u))

为二阶偏微分算子.特别地，当

k = 1

时，

S_{k} (λ (D^{2} u))

为经典的Laplace算子

Δ u

；当

k = N

时，

S_{k} (λ (D^{2} u))

退化为一般的Monge-Ampère算子.关于这两类方程解的存在性研究，已有很多经典且有趣的结果，可参见文献［3-5］. ...

The k-Hessian equation

2009

... 即

D^{2} u

的特征值的

k

-阶基本对称函数^［1-2］.显然，

S_{k} (λ (D^{2} u))

为二阶偏微分算子.特别地，当

k = 1

时，

S_{k} (λ (D^{2} u))

为经典的Laplace算子

Δ u

；当

k = N

时，

S_{k} (λ (D^{2} u))

退化为一般的Monge-Ampère算子.关于这两类方程解的存在性研究，已有很多经典且有趣的结果，可参见文献［3-5］. ...

On solutions of ?u=f（u）

1957

... 即

D^{2} u

的特征值的

k

-阶基本对称函数^［1-2］.显然，

S_{k} (λ (D^{2} u))

为二阶偏微分算子.特别地，当

k = 1

时，

S_{k} (λ (D^{2} u))

为经典的Laplace算子

Δ u

；当

k = N

时，

S_{k} (λ (D^{2} u))

退化为一般的Monge-Ampère算子.关于这两类方程解的存在性研究，已有很多经典且有趣的结果，可参见文献［3-5］. ...

“Large” solutions of semilinear elliptic equations： Existence， uniqueness and asymptotic behaviour

1992

Convex solutions of boundary value problems arising from Monge-Ampère equation

2006

... 即

D^{2} u

的特征值的

k

-阶基本对称函数^［1-2］.显然，

S_{k} (λ (D^{2} u))

为二阶偏微分算子.特别地，当

k = 1

时，

S_{k} (λ (D^{2} u))

为经典的Laplace算子

Δ u

；当

k = N

时，

S_{k} (λ (D^{2} u))

退化为一般的Monge-Ampère算子.关于这两类方程解的存在性研究，已有很多经典且有趣的结果，可参见文献［3-5］. ...

... 定义1^［5］设

P

为实Banach空间中的锥，当存在正的

u_{0} \in P

时，若算子

A : P \to P

满足： ...

... 引理1^［5］单调递增的

u_{0}

-次线性算子

A

至多存在一个正的不动点. ...

Boundary blow-up solutions to the k-Hessian equation with a weakly superlinear nonlinearity

2018

... 近年来，关于

k

-Hessian方程的研究广受关注，运用不同的方法和技巧，证明了解的存在性和渐近性等^［6-12］.如ZHANG^［8］采用上下解方法，研究了边界爆破

k

-Hessian方程 ...

Boundary behavior of k-convex solutions for singular k-Hessian equations

2018

On a singular k-Hessian equations

2019

... 近年来，关于

k

-Hessian方程的研究广受关注，运用不同的方法和技巧，证明了解的存在性和渐近性等^［6-12］.如ZHANG^［8］采用上下解方法，研究了边界爆破

k

-Hessian方程 ...

Existence of radial solutions to biharmonic k-Hessian equations

2015

Uniqueness theorems for negative radial solutions of k-Hessian equations in a ball

2016

On a k-Hessian equation with a weakly superlinear nonlinearity and singular weights

2020

On a power-type coupled system of k-Hessian equations

2021

... 近年来，关于

k

-Hessian方程的研究广受关注，运用不同的方法和技巧，证明了解的存在性和渐近性等^［6-12］.如ZHANG^［8］采用上下解方法，研究了边界爆破

k

-Hessian方程 ...

〈

〉

一类k-Hessian方程k-允许解的唯一性和收敛性

The uniqueness and convergence of k-admissible solutions for a class of k-Hessian equations

0 引 言

1 预备知识

2 k-Hessian方程k-允许解的唯一性

3 k-Hessian方程k-允许解的收敛性

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一类 $k$ -Hessian方程 $k$ -允许解的唯一性和收敛性

The uniqueness and convergence of $k$ -admissible solutions for a class of $k$ -Hessian equations

0　引言

1　预备知识

2　 $k$ -Hessian方程 $k$ -允许解的唯一性

3　 $k$ -Hessian方程 $k$ -允许解的收敛性

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子