多孔介质中一类Boussinesq方程组的连续依赖性

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.04.003

多孔介质中一类Boussinesq方程组的连续依赖性

石金诚^,^,¹, 肖胜中^,^,²

1.广州华商学院数据科学学院，广东广州 511300

2.广东农工商职业技术学院科研处，广东广州 510507

Continuous dependence result for Boussinesq type equations in a porous medium

SHI Jincheng^,^,¹, XIAO Shengzhong^,^,²

1.Guangzhou Huashang College，Guangzhou 511300，China

2.Scientific Research Department，Guangdong AIB Polytechnic，Guangzhou 510507，China

通讯作者: ORCID： https：//orcid.org/0000-0002-0910-213X，E-mail：172013444@qq.com.

收稿日期: 2020-10-19 修回日期: 2020-11-18 接受日期: 2021-11-28

基金资助:

广东省普通高校重点科研项目（自然科学）. 2019KZDXM042
国家自然科学基金资助项目. 11371175

Received: 2020-10-19 Revised: 2020-11-18 Accepted: 2021-11-28

作者简介 About authors

石金诚（1983—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-4016-1197，男，硕士，副教授，主要从事偏微分方程研究，E-mail：hning0818@163.com. , E-mail：hning0818@163.com

摘要

研究了二维空间多孔介质中与溶解度和温度有关的Boussinesq方程组的结构稳定性。首先得到了一些有用的先验界，然后在此基础上推出了解所满足的微分不等式，并求解该微分不等式，最后建立了解对结构系数 $λ$ 的连续依赖性结果。

关键词： Boussinesq方程组 ; 结构稳定性 ; 连续依赖性 ; 溶解度

Abstract

The structural stability of a Boussinesq type model with temperature dependent solubility is studied. We firstly obtain some useful priory bounds in $R^{2}$ . Using these bounds, we then formulate a differential inequality that the solution satisfies and then solve this inequality. At last, we get the continuous dependence for the constructive coefficient $λ$ .

Keywords： Boussinesq equations ; structural stability ; continuous dependence ; solubility

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本文引用格式

石金诚, 肖胜中. 多孔介质中一类Boussinesq方程组的连续依赖性. 浙江大学学报(理学版)[J], 2023, 50(4): 409-415 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.04.003

SHI Jincheng, XIAO Shengzhong. Continuous dependence result for Boussinesq type equations in a porous medium. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2023, 50(4): 409-415 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.04.003

0　引言

近年来，对偏微分方程解的连续依赖性问题已有较广泛研究，研究者越来越重视由模型系数变化引起的解变化问题，即偏微分方程的结构稳定性问题。有关结构稳定性问题的本质可参见文献［1］。结构稳定性研究，有助于了解模型在物理中的适用性，是非常必要的。在实际建模过程中，数据的测量和计算均不可避免会产生误差。那么，微小的误差能否引起解的急剧变化？

多孔介质在日常生活中广泛存在，对多孔介质中流体方程组解的性态研究已经成为数学与力学领域的热点。已有研究主要集中在对Brinkman、Darcy和Forchheimer方程组模型的讨论。如NIELD等^［2］和STRAUGHAN^［3］讨论了多孔介质中的Brinkman、Darcy、Forchheimer方程组以及其他多孔介质方程的Saint-Venant原则。PAYNE等^［4］研究了多孔介质中流体方程组的空间衰减估计结果。FRANCHI等^［5］、PAYNE等^［6］、LIN等^［7］开展了多孔介质中流体方程组的结构稳定性研究。文献［8-20］集中研究了Brinkman、Forchheimer、Darcy类方程组的结构稳定性，并取得了一些成果。但针对其他非线性方程组的研究较少，这是由于非线性项的求解难度很大。二维空间中与溶解度和温度有关的Boussinesq方程组的控制方程为

\{\begin{array}{l} \frac{\partial u_{i}}{\partial t} + u_{j} u_{i, j} = - p_{, i} + λ ∆ u_{i} + g_{i} T - h_{i} C, \\ \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}} = 0, \\ \begin{array}{l} \frac{\partial T}{\partial t} + u_{i} T_{, i} = ∆ T, \\ \frac{\partial C}{\partial t} + u_{i} C_{, i} = ∆ C + L T - k C ， \end{array} \end{array}

（1）

其中， $u_{i} (i = 1, 2)$ ， $p$ ， $T$ 和 $C$ 分别表示速度、压强、温度和盐浓度。 $g_{i} (x)$ 和 $h_{i} (x) (i = 1, 2)$ 均为引力函数，假设 $g_{i}$ 满足 $|g (x)| \leq 1 ， h_{i}$ 满足 $|h (x)| \leq 1$ ， $∆$ 为拉普拉斯算子， $λ$ 为黏性系数且 $λ > 0$ ， $L$ 和 $k$ 均为大于零的常数。式（1）在 $Ω \times [0, τ]$ 区域内成立，其中 $Ω 为 R^{2}$ 中的有界单连通星形区域， $τ$ 为给定的常数且 $0 \leq τ < \infty$ 。

式（1）是一种基于动量守恒、质量守恒、能量守恒以及盐浓度守恒，并在动量方程中采用Boussinesq逼近而得到的方程组。有关该方程组的详细介绍可参见文献［2-3，21］。

在文献［21］中，温度 $T$ 与盐浓度 $C$ 的边界条件为 $T (x, t) = g (x, t), C (x, t) = h (x, t)$ ，其结果建立在对温度 $T$ 的最大值估计上。

考虑边界条件为

\begin{array}{l} u_{i} (x, t) = 0, \frac{\partial T}{\partial n} = k_{1} C, \frac{\partial C}{\partial n} = k_{2} T, \\ (x, t) \in \partial Ω \times [0, τ], \end{array}

（2）

初始条件为

\begin{array}{l} u_{i} (x, 0) = u_{i 0} (x), T (x, 0) = T_{0} (x), \\ C (x, 0) = C_{0} (x), x \in Ω ， \end{array}

（3）

在此边界条件下无法得到温度 $T$ 与盐浓度 $C$ 的最大值估计，须采用其他方法处理，其中处理边界项相关估计是难点。由于Boussinesq方程组的非线性项与Navier-Stokes方程组的相同，该方程组的研究对后续研究Navier-Stokes方程组解的性态具有重要意义。

符号约定如下：逗号表示求偏导 $, i$ 表示对 $x_{i}$ 求偏导，如 $u_{, i}$ 表示 $\frac{\partial u}{\partial x_{i}}$ ；重复指标表示求和，如 $u_{i, i} = \sum_{i = 1}^{2} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}}$ ， $u_{i, j} u_{i, j} = \sum_{i, j = 1}^{2} {(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}})}^{2} ； {‖∙‖}_{p}$ 表示 $L_{p}$ 范数。

1　先验估计

引理1　温度 $T$ 和盐浓度 $C$ 满足以下最大值估计：

\int_{\partial Ω}^{} T^{2} d S \leq [\frac{2}{m} + \frac{2 d^{2} ε_{1}}{m^{2}}] \int_{Ω}^{} T^{2} d x + \frac{1}{2 ε_{1}} \int_{Ω}^{} T_{, i} T_{, i} d x,

（4）

\int_{\partial Ω}^{} C^{2} d S \leq [\frac{2}{m} + \frac{2 d^{2} ε_{2}}{m^{2}}] \int_{Ω}^{} C^{2} d x + \frac{1}{2 ε_{2}} \int_{Ω}^{} C_{, i} C_{, i} d x,

（5）

\int_{\partial Ω}^{} T^{4} d S \leq [\frac{2}{m} + \frac{d^{2} ε_{3}}{m^{2}}] \int_{Ω}^{} T^{4} d x + \frac{1}{ε_{3}} \int_{Ω}^{} (T^{2})_{, i} (T^{2})_{, i} d x,

（6）

\int_{\partial Ω}^{} C^{4} d S \leq [\frac{2}{m} + \frac{d^{2} ε_{4}}{m^{2}}] \int_{Ω}^{} C^{4} d x + \frac{1}{ε_{4}} \int_{Ω}^{} （ C^{2} ）_{, i} （ C^{2} ）_{, i} d x,

（7）

其中， $m, d$ 为大于零的常数， $ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}, ε_{4}$ 为大于零的任意常数。

证明　对于任意可微的函数 $ω = ω (x, t),$ $(x, t) \in Ω \times [0, τ]$ ，由散度定理，可得

\int_{\partial Ω}^{} ω^{2} x ∙ n d S = \int_{Ω}^{} d i v (ω^{2} x) d x = 2 \int_{Ω}^{} ω^{2} d x + 2 \int_{Ω}^{} ω (x ∙ \nabla ω) d x ，

（8）

其中， $n$ 为 $\partial Ω$ 上的单位外法向量。

设 $m = \underset{\partial Ω}{m i n} x_{i} n_{i} > 0, d^{2} = \underset{Ω}{m a x} x_{i} x_{i}$ ，由于 $Ω$ 是有界单连通的星形区域，所以

\int_{\partial Ω}^{} ω^{2} d S \leq \frac{2}{m} \int_{Ω}^{} ω^{2} d x + \frac{2}{m} \int_{Ω}^{} ω (x ∙ \nabla ω) d x 。

（9）

分别取 $ω = T, ω = C, ω = T^{2}$ 和 $ω = C^{2}$ ，可得

\int_{\partial Ω}^{} T^{2} d S \leq [\frac{2}{m} + \frac{2 d^{2} ε_{1}}{m^{2}}] \int_{Ω}^{} T^{2} d x + \frac{1}{2 ε_{1}} \int_{Ω}^{} T_{, i} T_{, i} d x,

（10）

\int_{\partial Ω}^{} C^{2} d S \leq [\frac{2}{m} + \frac{2 d^{2} ε_{2}}{m^{2}}] \int_{Ω}^{} C^{2} d x + \frac{1}{2 ε_{2}} \int_{Ω}^{} C_{, i} C_{, i} d x,

（11）

\int_{\partial Ω}^{} T^{4} d S \leq [\frac{2}{m} + \frac{d^{2} ε_{3}}{m^{2}}] \int_{Ω}^{} T^{4} d x + \frac{1}{ε_{3}} \int_{Ω}^{} (T^{2})_{, i} (T^{2})_{, i} d x,

（12）

\int_{\partial Ω}^{} C^{4} d S \leq [\frac{2}{m} + \frac{d^{2} ε_{4}}{m^{2}}] \int_{Ω}^{} C^{4} d x + \frac{1}{ε_{4}} \int_{Ω}^{} (C^{2})_{, i} (C^{2})_{, i} d x,

（13）

其中， $ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}, ε_{4}$ 为大于零的任意常数。

引理2　温度 $T$ 和盐浓度 $C$ 的估计为

\begin{array}{l} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (T_{, i} T_{, i} + C_{, i} C_{, i}) d x d η \leq \\ 2 \int_{Ω}^{} (T_{0}^{2} + C_{0}^{2}) d x e^{N t}, \end{array}

（14）

其中， $t$ 为时间变量， $N$ 为大于零的常数。

证明　在式（1）第3式两边同时乘以 $2 T$ ，并在 $Ω \times [0, t]$ 上积分，可得

\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} T^{2} d x + 2 \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} T_{, i} T_{, i} d x d η \leq \\ \int_{Ω}^{} T_{0}^{2} d x + k_{1} \int_{0}^{t} \int_{\partial Ω}^{} T^{2} d S d η + k_{1} \int_{0}^{t} \int_{\partial Ω}^{} C^{2} d S d η 。 \end{array}

（15）

在 $式 (1)$ 第4式两边同时乘以 $2 C$ ，且在 $Ω \times [0, t]$ 上积分，可得

\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} C^{2} d x + 2 \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} C_{, i} C_{, i} d x d η \leq \\ \int_{Ω}^{} C_{0}^{2} d x + \frac{L^{2}}{2 k} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} T^{2} d x d η + k_{2} \int_{0}^{t} \int_{\partial Ω}^{} T^{2} d S d η + k_{2} \int_{0}^{t} \int_{\partial Ω}^{} C^{2} d S d η 。 \end{array}

（16）

联合式（15）和式（16），可得

\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} (T^{2} + C^{2}) d x + \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (T_{, i} T_{, i} + C_{, i} C_{, i}) d x d η \leq \\ \int_{Ω}^{} (T_{0}^{2} + C_{0}^{2}) d x + \frac{L^{2}}{2 k} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} T^{2} d x d η + \\ (k_{1} + k_{2}) \int_{0}^{t} \int_{\partial Ω}^{} C^{2} d S d η + \\ (k_{1} + k_{2}) \int_{0}^{t} \int_{\partial Ω}^{} T^{2} d S d η 。 \end{array}

（17）

将式（4）和式（5）代入式（17），取 $ε_{1} = ε_{2} = (k_{1} + k_{2})$ ，可得

\int_{Ω}^{} (T^{2} + C^{2}) d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (T_{, i} T_{, i} + C_{, i} C_{, i}) d x d η \leq \int_{Ω}^{} (T_{0}^{2} + C_{0}^{2}) d x + \{\frac{L^{2}}{2 k} + (k_{1} + k_{2}) \times [\frac{2}{m} + \frac{2 d^{2} (k_{1} + k_{2})}{m^{2}}]\} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} T^{2} d x d η + (k_{1} + k_{2}) [\frac{2}{m} + \frac{2 d^{2} (k_{1} + k_{2})}{m^{2}}] \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} C^{2} d x d η \leq \int_{Ω}^{} (T_{0}^{2} + C_{0}^{2}) d x + N \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (T^{2} + C^{2}) d x d η,

（18）

其中，

N = m a x \{\frac{L^{2}}{2 k} + (k_{1} + k_{2}) [\frac{2}{m} + \frac{2 d^{2} (k_{1} + k_{2})}{m^{2}}], (k_{1} + k_{2}) [\frac{2}{m} + \frac{2 d^{2} (k_{1} + k_{2})}{m^{2}}]\} 。

对式（18）两边同时在 $[0, t]$ 上积分，可得

\begin{array}{l} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (T^{2} + C^{2}) d x d η \leq \\ \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (T_{0}^{2} + C_{0}^{2}) d x e^{- N (t - η)} d η 。 \end{array}

（19）

因此

\int_{Ω}^{} (T^{2} + C^{2}) d x \leq \int_{Ω}^{} (T_{0}^{2} + C_{0}^{2}) d x e^{N t} ，

（20）

代入式（18），可得

\begin{array}{l} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (T_{, i} T_{, i} + C_{, i} C_{, i}) d x d η \leq \\ 2 \int_{Ω}^{} (T_{0}^{2} + C_{0}^{2}) d x e^{N t} 。 \end{array}

（21）

引理3　温度 $T$ 和盐浓度 $C$ 的估计为

\int_{Ω}^{} (T^{4} + C^{4}) d x \leq n_{1} (t),

（22）

其中， $n_{1} (t)$ 为大于零的函数。

证明　在式（1）第3式两边同时乘以 $4 T^{3}$ ，并在 $Ω \times [0, t]$ 上积分，可得

\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} T^{4} d x + 3 \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (T^{2})_{, i} (T^{2})_{, i} d x d η \leq \\ \int_{Ω}^{} T_{0}^{4} d x + 4 k_{1} \int_{0}^{t} \int_{\partial Ω}^{} T^{3} C d S d η \leq \\ \int_{Ω}^{} T_{0}^{4} d x + 3 k_{1} \int_{0}^{t} \int_{\partial Ω}^{} T^{4} d S d η + \\ k_{1} \int_{0}^{t} \int_{\partial Ω}^{} C^{4} d S d η 。 \end{array}

（23）

在式（1）第4式两边同时乘以 $2 C^{3}$ ，并在 $Ω \times [0, t]$ 上积分，可得

\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} C^{4} d x + 3 \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} （ C^{2} ）_{, i} （ C^{2} ）_{, i} d x d η \leq \\ \int_{Ω}^{} C_{0}^{4} d x + 4 k_{2} \int_{0}^{t} \int_{\partial Ω}^{} C^{3} T d S d η + \\ 4 L \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} C^{3} T d x d η \leq \\ \int_{Ω}^{} C_{0}^{4} d x + 3 k_{2} \int_{0}^{t} \int_{\partial Ω}^{} C^{4} d S d η + \\ k_{2} \int_{0}^{t} \int_{\partial Ω}^{} T^{4} d S d η + 3 L \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} C^{4} d x d η + \\ L \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} T^{4} d x d η 。 \end{array}

（24）

联合式（23）和式（24），可得

\int_{Ω}^{} (T^{4} + C^{4}) d x + 3 \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} [（ T^{2} ）_{, i} （ T^{2} ）_{, i} + （ C^{2} ）_{, i} （ C^{2} ）_{, i}] d x d η \leq \int_{Ω}^{} (T_{0}^{4} + C_{0}^{4}) d x + (3 k_{1} + k_{2}) \int_{0}^{t} \int_{\partial Ω}^{} T^{4} d S d η + (k_{1} + 3 k_{2}) \int_{0}^{t} \int_{\partial Ω}^{} C^{4} d S d η + 3 L \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} C^{4} d x d η + L \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} T^{4} d x d η 。

（25）

将式（6）和式（7）代入式（25），取 $ε_{3} = 3 k_{1} + k_{2}, ε_{4} = k_{1} + 3 k_{2}$ ，可得

\int_{Ω}^{} (T^{4} + C^{4}) d x \leq \int_{Ω}^{} (T_{0}^{4} + C_{0}^{4}) d x + γ \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (T^{4} + C^{4}) d x d η,

（26）

其中， $γ = m a x \{(3 k_{1} + k_{2}) [\frac{2}{m} + \frac{d^{2} (3 k_{1} + k_{2})}{m^{2}}] + L, (k_{1} + 3 k_{2}) [\frac{2}{m} + \frac{d^{2} (k_{1} + 3 k_{2})}{m^{2}}] + 3 L\} 。$

对式（26）两边同时在 $[0, t]$ 上积分，可得

\int_{Ω}^{} (T^{4} + C^{4}) d x \leq \int_{Ω}^{} (T_{0}^{4} + C_{0}^{4}) d x e^{γ t} = n_{1} (t) 。

（27）

引理4　对于任意定义在 $Ω$ 上的可微函数 $ω (x)$ ，存在二维的Sobolev不等式：

{(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} \leq [k_{3} {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}} + k_{4} {(\int_{Ω}^{} {|\nabla ω|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}}] {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}},

（28）

其中， $k_{3}, k_{4}$ 为大于零的常数。

证明　假设 $P_{1}, P_{2}$ 是 $\partial Ω$ 与通过点 $P$ 的直线 $x_{2} =$ 常数的交点，则有

{|ω (P)|}^{3} = {|ω (P_{1})|}^{3} + 3 \int_{P_{1}}^{P} |ω| ω_{i} ω_{i, 1} d x_{1} = {|ω (P_{2})|}^{3} - 3 \int_{P}^{P_{2}} |ω| ω_{i} ω_{i, 1} d x_{1},

（29）

可知

{|ω (P)|}^{3} \leq \frac{1}{2} [{|ω (P_{1})|}^{3} + {|ω (P_{2})|}^{3}] + \frac{3}{2} \int_{P_{1}}^{P_{2}} {|ω|}^{2} |\nabla ω| d x_{1} 。

（30）

假设 $Q_{1}, Q_{2}$ 是 $\partial Ω$ 与通过点 $P$ 的直线 $x_{1} =$ 常数的交点，同理可得

{|ω (P)|}^{3} \leq \frac{1}{2} [{|ω (Q_{1})|}^{3} + {|ω (Q_{2})|}^{3}] + \frac{3}{2} \int_{Q_{1}}^{Q_{2}} {|ω|}^{2} |\nabla ω| d x_{2}

。（31）

联合式（30）和式（31），并将 $P$ 在 $Ω$ 上积分，可得

\int_{Ω}^{} {|ω|}^{6} d x \leq \frac{1}{2} \oint_{\partial Ω}^{} {|ω|}^{3} d S + \frac{3}{2} \int_{Ω}^{} {|ω|}^{2} |\nabla ω| d x 。

（32）

由Hölder不等式，可得

\int_{Ω}^{} {|ω|}^{4} d x \leq {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{6} d x)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}}

。（33）

由Rellich恒等式，可得

\begin{array}{l} m \oint_{\partial Ω}^{} {|ω|}^{3} d S \leq \oint_{\partial Ω}^{} x_{i} n_{i} {|ω|}^{3} d S \leq \\ 2 \int_{Ω}^{} {|ω|}^{3} d x + 2 d \int_{Ω}^{} {|ω|}^{2} |\nabla ω| d x 。 \end{array}

（34）

由Hölder不等式，可得

\oint_{\partial Ω}^{} {|ω|}^{3} d S \leq \frac{2}{m} {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 d}{m} {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} \int_{Ω}^{} {|\nabla ω|}^{2} d x 。

（35）

将式（35）和式（32）代入式（33），可得

\int_{Ω}^{} {|ω|}^{4} d x \leq {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} [k_{3} {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}} + k_{4} {(\int_{Ω}^{} {|\nabla ω|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}}] {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}},

（36）

其中， $k_{3} = {(\frac{4}{m})}^{\frac{1}{2}}, k_{4} = {(\frac{4 d}{m} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

因此，

{(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} \leq [k_{3} {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}} + k_{4} {(\int_{Ω}^{} {|\nabla ω|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}}] {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}} 。

（37）

引理5　速度 $u_{i}$ 的估计为

\int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x d η \leq m_{3} (t),

（38）

其中， $m_{3} (t)$ 为大于零的函数。

证明　在式（1）第1式两边同时乘以 $u_{i}$ ，并在 $Ω$ 上积分，此时 $λ = λ_{1}$ ，可得

\frac{d}{d t} \frac{1}{2} {‖u‖}^{2} + λ_{1} {‖\nabla u‖}^{2} \leq ‖T‖ ∙ ‖u‖ + ‖C‖ ∙ ‖u‖ \leq \frac{{‖T‖}^{2} + {‖C‖}^{2}}{2} + {‖u‖}^{2} = \frac{m_{1} (t)}{2} + {‖u‖}^{2},

（39）

其中， $m_{1} (t) = {‖T‖}^{2} + {‖C‖}^{2}$ 。

对式（39）两边同时在 $[0, t]$ 上积分，可得

{‖u‖}^{2} \leq \int_{0}^{t} e^{2 (t - s)} \frac{m_{1} (s)}{2} d s + e^{2 t} {‖u_{0}‖}^{2} = m_{2} (t) 。

（40）

对式（39）两边同时在 $[0, t]$ 上积分，可得

\int_{0}^{t} {‖\nabla u‖}^{2} d s \leq \frac{1}{λ_{1}} \int_{0}^{t} [\frac{m_{1} (s)}{2} + {‖u‖}^{2}] d s 。

（41）

将式（40）代入式（41），可得

\int_{0}^{t} {‖\nabla u‖}^{2} d s \leq \frac{1}{λ_{1}} \int_{0}^{t} [\frac{m_{1} (s)}{2} + m_{2} (s)] d s = m_{3} (t) 。

（42）

2　解对系数 $λ$ 的连续依懒性

设 $(u_{i}, p, T, C)$ 为 $λ = λ_{1}$ 时式（1）~式（3）的解， $(u_{i}^{*}, p^{*} T^{*}, C^{*})$ 为 $λ = λ_{2}$ 时式（1）~式（3）的解。假设 $ω_{i} = u_{i} - u_{i}^{*} (i = 1,2),$ $π = p - p^{*}$ ， $θ = T - T^{*}$ ， $φ = C - C^{*}, λ = λ_{1} - λ_{2}$ ，则 $(ω_{i}, π, θ, φ)$ 满足

\{\begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac{\partial ω_{i}}{\partial t} + ω_{j} u_{i, j} + u_{j}^{*} ω_{i, j} = \\ π_{, i} + λ_{2} Δ ω_{i} + λ Δ u_{i} + g_{i} θ - h_{i} φ, \end{array} \\ \frac{\partial ω_{i}}{\partial x_{i}} = 0, \\ \begin{array}{l} \frac{\partial θ}{\partial t} + ω_{i} T_{, i}^{*} + u_{i} θ_{, i} = ∆ θ, \\ \frac{\partial φ}{\partial t} + ω_{i} C_{, i}^{*} + u_{i} φ_{, i} = ∆ φ + L θ - k φ ， \end{array} \end{array}

（43）

其边界条件为

ω_{i} = 0, \frac{\partial θ}{\partial n} = k_{1} φ, \frac{\partial φ}{\partial n} = k_{2} θ, (x, t) \in \partial Ω \times [0, τ],

（44）

初始条件为

ω_{i} (x, 0) = 0, θ (x, 0) = 0, φ (x, 0) = 0, x \in Ω 。

（45）

主要结果如下：

定理1　设 $(u_{i}, p, T, C)$ 为 $λ = λ_{1}$ 时初边值问题式（1）~式（3）的经典解， $(u_{i}^{*}, p^{*}, T^{*}, C^{*})$ 为 $λ = λ_{2}$ 时初边值问题式（1）~式（3）的经典解， $(ω_{i}, π, θ, φ)$ 为这2个解的差。当 $λ$ 趋于 $0$ 时，解 $(u_{i}, p, T, C)$ 收敛于解 $(u_{i}^{*}, p^{*}, T^{*}, C^{*})$ 。解的差 $(ω_{i}, π, θ, φ)$ 满足

\begin{array}{l} \int_{Ω_{}}^{} ω_{i} ω_{i} d x + \int_{Ω}^{} θ^{2} d x + \int_{Ω}^{} φ^{2} d x \leq \\ \frac{λ^{2}}{λ_{2}} m_{3} (t) e^{k_{7} m_{3} (t) + k_{8} t} \end{array}

，（46）

其中， $k_{7}, k_{8}$ 为大于零的常数。

证明　在式（43）第1式两边同时乘以 $ω_{i}$ ，并在 $Ω$ 上积分，可得

\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{d}{d t} {‖ω‖}^{2} = - \int_{Ω}^{} u_{i, j} ω_{i} ω_{j} d x - λ_{2} {‖\nabla ω‖}^{2} - λ \int_{Ω}^{} ω_{i, j} u_{i, j} + \int_{Ω}^{} g_{i} θ ω_{i} d x - \int_{Ω}^{} h_{i} φ ω_{i} d x \leq {(\int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x)}^{\frac{1}{2}} {[\int_{Ω}^{} {(ω_{i} ω_{i})}^{2} d x]}^{\frac{1}{2}} - \\ λ_{2} {‖\nabla ω‖}^{2} + \frac{λ_{2}}{2} {‖\nabla ω‖}^{2} + \frac{λ^{2}}{2 λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x + \frac{{‖θ‖}^{2}}{2} + \frac{{‖φ‖}^{2}}{2} + {‖ω‖}^{2} 。 \end{array}

（47）

利用式（28），可得

\frac{d}{d t} {‖ω‖}^{2} \leq 2 k_{3} {(\int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x)}^{\frac{1}{2}} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x + 2 k_{4} {(\int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x)}^{\frac{1}{2}} \times {(\int_{Ω}^{} ω_{i, j} ω_{i, j} d x)}^{\frac{1}{2}} - λ_{2} {‖\nabla ω‖}^{2} + \frac{λ^{2}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x + {‖θ‖}^{2} + {‖φ‖}^{2} + {‖ω‖}^{2} \leq 2 k_{3} {(\int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x)}^{\frac{1}{2}} {‖ω‖}^{2} + \frac{8 k_{4}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x {‖ω‖}^{2} - \frac{λ_{2}}{2} {‖\nabla ω‖}^{2} + \frac{λ^{2}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x + {‖θ‖}^{2} + {‖φ‖}^{2} + {‖ω‖}^{2} 。

（48）

在式（43）第3式两边同时乘以 $2 θ$ ，并在 $Ω$ 上积分，可得

\frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} θ^{2} d x = 2 \int_{Ω}^{} θ (Δ θ - u_{i} θ_{, i} - ω_{i} T_{, i}^{*}) d x = - 2 \int_{Ω}^{} {|\nabla θ|}^{2} d x + 2 k_{1} \int_{\partial Ω}^{} θ φ d S + 2 \int_{Ω}^{} θ_{, i} ω_{i} T_{, i}^{*} d x \leq - 2 \int_{Ω}^{} {|\nabla θ|}^{2} d x + k_{1} \int_{\partial Ω}^{} θ^{2} d S + k_{1} \int_{\partial Ω}^{} φ^{2} d S + \int_{Ω}^{} θ_{, i} θ_{, i} d x + {[\int_{Ω}^{} {(ω_{i} ω_{i})}^{2} d x]}^{\frac{1}{2}} {[\int_{Ω}^{} {(T^{*})}^{4} d x]}^{\frac{1}{2}} \leq - \int_{Ω}^{} {|\nabla θ|}^{2} d x + k_{1} \int_{\partial Ω}^{} θ^{2} d S + k_{1} \int_{\partial Ω}^{} φ^{2} d S + [n_{1} {(t)]}^{\frac{1}{2}} {[\int_{Ω}^{} {(ω_{i} ω_{i})}^{2} d x]}^{\frac{1}{2}} 。

（49）

同理，在式（43）第4式两边同时乘以 $2 φ$ ，并在 $Ω$ 上积分，可得

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} φ^{2} d x = 2 \int_{Ω}^{} φ (∆ φ - u_{i} φ_{, i} - ω_{i} C_{, i}^{*} - k φ) d x + 2 L \int_{Ω}^{} φ θ d x \leq \\ - \int_{Ω}^{} {|\nabla φ|}^{2} d x + k_{2} \int_{\partial Ω}^{} θ^{2} d S + k_{2} \int_{\partial Ω}^{} φ^{2} d S + \\ [n_{1} {(t)]}^{\frac{1}{2}} {[\int_{Ω}^{} {(ω_{i} ω_{i})}^{2} d x]}^{\frac{1}{2}} + \\ L \int_{Ω}^{} φ^{2} d x + L \int_{Ω}^{} θ^{2} d x 。 \end{array}

（50）

联合式（49）和式（50），可得

\frac{d}{d t} (\int_{Ω}^{} θ^{2} d x + \int_{Ω}^{} φ^{2} d x) \leq - \int_{Ω}^{} {|\nabla θ|}^{2} d x - \int_{Ω}^{} {|\nabla φ|}^{2} d x + (k_{1} + k_{2}) \int_{\partial Ω}^{} θ^{2} d S + (k_{1} + k_{2}) \int_{\partial Ω}^{} φ^{2} d S + 2 [n_{1} {(t)]}^{\frac{1}{2}} \times {[\int_{Ω}^{} {(ω_{i} ω_{i})}^{2} d x]}^{\frac{1}{2}} + L \int_{Ω}^{} φ^{2} d x + L \int_{Ω}^{} θ^{2} d x \leq - \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} {|\nabla θ|}^{2} d x - \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} {|\nabla φ|}^{2} d x + (k_{1} + k_{2}) [\frac{2}{m} + \frac{2 d^{2} (k_{1} + k_{2})}{m^{2}}] \int_{Ω}^{} θ^{2} d x + (k_{1} + k_{2}) [\frac{2}{m} + \frac{2 d^{2} (k_{1} + k_{2})}{m^{2}}] \int_{Ω}^{} φ^{2} d x + L \int_{Ω}^{} φ^{2} d x + L \int_{Ω}^{} θ^{2} d x + 2 [n_{1} {(t)]}^{\frac{1}{2}} \times {[\int_{Ω}^{} {(ω_{i} ω_{i})}^{2} d x]}^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} {|\nabla θ|}^{2} d x - \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} {|\nabla φ|}^{2} d x + (M + L) \int_{Ω}^{} θ^{2} d x + (M + L) \int_{Ω}^{} φ^{2} d x + 2 [n_{1} {(t)]}^{\frac{1}{2}} {[\int_{Ω}^{} {(ω_{i} ω_{i})}^{2} d x]}^{\frac{1}{2}},

（51）

其中， $M = (k_{1} + k_{2}) [\frac{2}{m} + \frac{2 d^{2} (k_{1} + k_{2})}{m^{2}}]$ 。

联合式（37）、式（48）和式（51），可得

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} ({‖ω‖}^{2} + {‖θ‖}^{2} + {‖φ‖}^{2}) \leq 2 k_{3} {(\int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x)}^{\frac{1}{2}} {‖ω‖}^{2} + \frac{8 k_{4}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x {‖ω‖}^{2} - \frac{λ_{2}}{2} {‖\nabla ω‖}^{2} + \frac{λ^{2}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x + (M + L + 1) {‖θ‖}^{2} + (M + L + 1) {‖φ‖}^{2} + {‖ω‖}^{2} + 2 [n_{1} {(t)]}^{\frac{1}{2}} {[\int_{Ω}^{} {(ω_{i} ω_{i})}^{2} d x]}^{\frac{1}{2}} \leq [2 k_{3} {(\int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 k_{4}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x + 1] {‖ω‖}^{2} + \\ k_{5} {‖θ‖}^{2} + k_{5} {‖φ‖}^{2} - \frac{λ_{2}}{2} {‖\nabla ω‖}^{2} + \frac{λ^{2}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x + 2 [n_{1} {(t)]}^{\frac{1}{2}} [k_{3} {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}} + k_{4} {(\int_{Ω}^{} {|\nabla ω|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}}] {(\int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x)}^{\frac{1}{2}} \leq {\{2 k_{3} (\int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 k_{4}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x + 1 + 2 k_{3} [n_{1} {(τ)]}^{\frac{1}{2}} + \frac{n_{1} (τ) k_{4}^{2}}{λ_{2}}\} {‖ω‖}^{2} + k_{5} {‖θ‖}^{2} + k_{5} {‖φ‖}^{2} + \frac{λ^{2}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x, \end{array}

（52）

其中， $k_{5} = M + L + 1 。$

令 $F (t) = {‖ω‖}^{2} + {‖θ‖}^{2} + {‖φ‖}^{2}$ ，则

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} F (t) \leq [2 k_{3} {(\int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 k_{4}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x + k_{6}] F (t) + \frac{λ^{2}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x \leq \\ [(\frac{8 k_{4}}{λ_{2}} + k_{3}^{2}) \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x + k_{6} + 1] F (t) + \\ \frac{λ^{2}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x = \end{array}

(k_{7} {‖\nabla u‖}^{2} + k_{8}) F (t) + \frac{λ^{2}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x,

（53）

其中，

\begin{matrix} k_{6} = m a x \{1 + 2 k_{3} [n_{1} {(τ)]}^{\frac{1}{2}} + \frac{n_{1} (τ) k_{4}^{2}}{λ_{2}}, k_{5}\}, \\ k_{7} = \frac{8 k_{4}}{λ_{2}} + k_{3}^{2}, k_{8} = k_{6} + 1 。 \end{matrix}

所以

{[e^{- \int_{0}^{t} (k_{7} {‖\nabla u‖}^{2} + k_{8}) d η} F (t)]}^{'} = e^{\frac{λ^{2}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x}

，（54）

两边同时在 $[0, t]$ 上积分，可得

\begin{array}{l} F (t) \leq \frac{λ^{2}}{λ_{2}} e^{k_{7} m_{3} (t) + k_{8} t} \int_{0}^{t} {‖\nabla u‖}^{2} d η \leq \\ \frac{λ^{2}}{λ_{2}} m_{3} (t) e^{k_{7} m_{3} (t) + k_{8} t}, \end{array}

（55）

这表明在指定测度下当 $λ$ 趋于 $0$ 时， $u_{i}$ 收敛 $于 u_{i}^{*}$ ， $T$ 收敛于 $T^{*}$ ， $C$ 收敛于 $C^{*}$ ，从而当黏性系数 $λ$ 产生微小误差时，方程的解不会出现急剧变化，所以此模型是稳定的。

3　结论

获得了解对结构系数 $λ$ 及其他系数的连续依赖性结果，但仅得到了 $\int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {|\nabla u|}^{2} d x d η$ 的界，无法扩展至三维空间，这是由于三维空间的Sobolev不等式为

\int_{Ω}^{} {|ω|}^{4} d x \leq \tilde{λ} {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{Ω}^{} {|\nabla ω|}^{2} d x)}^{\frac{3}{2}}

，

需要获得 $\int_{Ω}^{} {|\nabla u|}^{2} d x$ 的界。因此，要将其从二维推广至三维，需解决 $\int_{Ω}^{} {|\nabla u|}^{2} d x$ 界这一难题，有待进一步研究。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2023.04.001

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... 近年来，对偏微分方程解的连续依赖性问题已有较广泛研究，研究者越来越重视由模型系数变化引起的解变化问题，即偏微分方程的结构稳定性问题.有关结构稳定性问题的本质可参见文献［1］.结构稳定性研究，有助于了解模型在物理中的适用性，是非常必要的.在实际建模过程中，数据的测量和计算均不可避免会产生误差.那么，微小的误差能否引起解的急剧变化？ ...

1992

... 多孔介质在日常生活中广泛存在，对多孔介质中流体方程组解的性态研究已经成为数学与力学领域的热点.已有研究主要集中在对Brinkman、Darcy和Forchheimer方程组模型的讨论.如NIELD等^［2］和STRAUGHAN^［3］讨论了多孔介质中的Brinkman、Darcy、Forchheimer方程组以及其他多孔介质方程的Saint-Venant原则.PAYNE等^［4］研究了多孔介质中流体方程组的空间衰减估计结果.FRANCHI等^［5］、PAYNE等^［6］、LIN等^［7］开展了多孔介质中流体方程组的结构稳定性研究.文献［8-20］集中研究了Brinkman、Forchheimer、Darcy类方程组的结构稳定性，并取得了一些成果.但针对其他非线性方程组的研究较少，这是由于非线性项的求解难度很大.二维空间中与溶解度和温度有关的Boussinesq方程组的控制方程为 ...

... 式（1）是一种基于动量守恒、质量守恒、能量守恒以及盐浓度守恒，并在动量方程中采用Boussinesq逼近而得到的方程组.有关该方程组的详细介绍可参见文献［2-3，21］. ...

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海洋动力学中二维黏性原始方程组解对热源的收敛性

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2015

... 在文献［21］中，温度

T

与盐浓度

C

的边界条件为

T (x, t) = g (x, t), C (x, t) = h (x, t)

，其结果建立在对温度

T

的最大值估计上. ...

〈

〉